goniometria e trigonometria file2 circonferenza goniometrica in un triangolo rettangolo con...
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Dispensa di Matematica per la classe 4. C
Anno scolastico 2017-2018
GONIOMETRIA E
TRIGONOMETRIA
Nome e Cognome:
2
CIRCONFERENZA GONIOMETRICA
In un triangolo rettangolo con ipotenusa 1 e angolo ðŒ
i due cateti sono ð¬ð¢ð§ ð¶ e ððšð¬ ð¶.
In una circonferenza di raggio 1 disegniamo un angolo ðŒ.
La lunghezza della circonferenza Ú 2ð.
La lunghezza dellâarco di circonferenza Ú lâangolo ð¶ in radianti.
La circonferenza goniometrica Ú una circonferenza di raggio 1
e centro nellâorigine del piano ð¥ððŠ.
1) la distanza tra P e O Ú sempre 1 |ðð| = 1
2) il punto P ha coordinate ð·(ððšð¬ ð¶ ; ð¬ð¢ð§ ð¶)
3) la parte verde Ú il coseno di alfa
4) la parte blu Ú il seno di alfa
5) la parte rossa Ú la tangente di alfa
GUARDA SU INTERNET IL FILE SIN COS TAN
La tangente di un angolo Ú ððð§ ð¶ =ð¬ð¢ð§ ð¶
ððšð¬ ð¶.
Il significato grafico Ú il segmento ET: ððð§ ð¶ = |ð¬ð»|
1) |ðð| = |ððž| = 1 |ðð·| = cos ðŒ |ð·ð| = sin ðŒ
2) Nel triangolo ODP: ððð§ ð¶ =ððð¡ð ððððð ð¡ð
ððð¡ð ð£ððððð=
ð¬ð¢ð§ ð¶
ððšð¬ ð¶
3) Nel triangolo OET: ððð§ ð¶ =ððð¡ð ððððð ð¡ð
ððð¡ð ð£ððððð=
|ðžð|
1= |ð¬ð»|
4) I risultati sono uguali: |ð¬ð»| =ð¬ð¢ð§ ð¶
ððšð¬ ð¶
3
CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Angolo 0°, 0 radianti
oppure 360°, 2ð
ð(1,0) ððšð¬ ð = ð
ð¬ð¢ð§ ð = ð ððð§ ð = ð
30°, ð
6 radianti
APO Ú equilatero
ð (â3
2,
1
2) ððšð¬
ð
ð=
âð
ð
ð¬ð¢ð§ð
ð=
ð
ð ððð§
ð
ð=
âð
ð
45°, ð
4 radianti
APCO Ú un quadrato
ð (â2
2,
â2
2) ððšð¬
ð
ð=
âð
ð
ð¬ð¢ð§ð
ð=
âð
ð ððð§
ð
ð= ð
60°, ð
3 radianti
come 30° ma âin piediâ
ð (1
2,
â3
2) ððšð¬
ð
ð=
ð
ð
ð¬ð¢ð§ð
ð=
âð
ð ððð§
ð
ð= âð
90°, ð
2 radianti
ð(0,1) ððšð¬ð
ð= ð
ð¬ð¢ð§ð
ð= ð ððð§
ð
ð= â
120°, 2ð
3 radianti
ð (â1
2,
â3
2) ððšð¬
ðð
ð= â
ð
ð
ð¬ð¢ð§ðð
ð=
âð
ð ððð§
ðð
ð= ââð
135°, 3ð
4 radianti
ð (ââ2
2,
â2
2) ððšð¬
ðð
ð= â
âð
ð
ð¬ð¢ð§ðð
ð=
âð
ð ððð§
ðð
ð= âð
150°, 5ð
6 radianti
ð (ââ3
2,
1
2) ððšð¬
ðð
ð= â
âð
ð
ð¬ð¢ð§ðð
ð=
ð
ð ððð§
ðð
ð= â
âð
ð
180°, ð radianti
ð(â1,0) ððšð¬ ð = âð
ð¬ð¢ð§ ð = ð ððð§ ð = ð
210°, 7ð
6 radianti
ð (ââ3
2, â
1
2) ððšð¬
ðð
ð= â
âð
ð
ð¬ð¢ð§ðð
ð= â
ð
ð ððð§
ðð
ð=
âð
ð
225°, 5ð
4 radianti
ð (ââ2
2, â
â2
2) ððšð¬
ðð
ð= â
âð
ð
ð¬ð¢ð§ðð
ð= â
âð
ð ððð§
ðð
ð= ð
240°, 4ð
3 radianti
ð (â1
2, â
â3
2) ððšð¬
ðð
ð= â
ð
ð
ð¬ð¢ð§ðð
ð= â
âð
ð ððð§
ðð
ð= âð
270°, 3ð
2 radianti
ð(0, â1) ððšð¬ðð
ð= ð
ð¬ð¢ð§ðð
ð= âð ððð§
ðð
ð= â
300°, 5ð
3 radianti
ð (1
2, â
â3
2) ððšð¬
ðð
ð=
ð
ð
ð¬ð¢ð§ðð
ð= â
âð
ð ððð§
ðð
ð= ââð
315°, 7ð
4 radianti
ð (â2
2, â
â2
2) ððšð¬
ðð
ð=
âð
ð
ð¬ð¢ð§ðð
ð= â
âð
ð ððð§
ðð
ð= âð
330°, 11ð
6 radianti
ð (â3
2, â
1
2) ððšð¬
ððð
ð=
âð
ð
ð¬ð¢ð§ððð
ð= â
ð
ð ððð§
ððð
ð= â
âð
ð
4
FUNZIONE ð = ð¬ð¢ð§ ð
Il disegno della funzione si chiama sinusoide. Caratteristiche:
1) periodica di periodo ðð , cioÚ sin ð¥ = sin(ð¥ + 2ðð)
2) il campo di esistenza della ð¥ Ú (ââ ; +â)
3) il codominio della ðŠ Ú [â1 ; +1]
4) non ci sono asintoti
5) incontra gli assi in infiniti punti: ð¶(ð ; ð), (ð; 0), (2ð; 0), (3ð; 0) ⊠(ðð; 0)
6) Ú dispari, cioÚ simmetrica rispetto al centro, cioÚ ð¬ð¢ð§(âð) = â ð¬ð¢ð§ ð
7) sin ð¥ > 0 per ð¥ â (0; ð)
8) sin ð¥ < 0 per ð¥ â (ð; 2ð)
La funzione del seno descrive le onde sonore, le onde luminose, le onde... marine. Molte cose assomigliano alla sinusoide: la
variazione del tempo durante lâanno, il nostro umore, i risultati a scuola...
Alle nostre orecchie e ai nostri occhi arriva un suono o una luce che ha questa forma, e il nostro cervello Ú capace di trasformare
questa forma in una sensazione, in un suono, in un colore. Ã incredibile! Siamo meglio di un computer...
5
FUNZIONE ð = ððšð¬ ð
Caratteristiche:
1) periodica di periodo ðð , cioÚ cos ð¥ = cos(ð¥ + 2ðð)
2) il campo di esistenza della ð¥ Ú (ââ ; +â)
3) il codominio della ðŠ Ú [â1 ; +1]
4) non ci sono asintoti
5) incontra gli assi in infiniti punti: ð¶(ð ; ð), (ð
2; 0) , (
3
2ð; 0) , (
5
2ð; 0) ⊠(
2ð+1
2 ð; 0)
6) Ú pari, cioÚ simmetrica rispetto allâasse ðŠ, cioÚ ððšð¬(âð) = ððšð¬ ð
7) cos ð¥ > 0 per ð¥ â (âð
2;
ð
2)
8) sin ð¥ < 0 per ð¥ â (ð
2;
3ð
2)
La funzione del coseno Ú uguale a quella del seno, ma spostata a sinistra (o a destra?)
6
FUNZIONE ð = ððð§ ð
Caratteristiche:
1) periodica di periodo ð, cioÚ ððð§ ð = ððð§(ð + ð )
2) campo di esistenza ð â ð
ð+ ðð ,
3) ha infiniti asintoti, le rette ð¥ =ð
2+ ðð
4) codominio ð â (ââ ; +â)
5) Ú dispari, cioÚ simmetrica rispetto al centro, cioÚ ððð§(âð) = â ððð§ ð
6) incontra gli assi nei punti: ð¶(ð ; ð), (ð; 0), (2ð; 0), (3ð; 0) ⊠(ðð; 0)
7) tan ð¥ < 0 quando ð¥ â (0; ð
2)
8) tan ð¥ > 0 quando ð¥ â (ð
2; ð)
Ci sono dei punti in cui la funzione non esiste, gli asintoti sono disegnati in giallo.
7
EQUAZIONI GONIOMETRICHE
1. ð¥ Ú un ANGOLO, invece seno, coseno, tangente sono NUMERI. Le soluzioni sono ANGOLI!
2. Le equazioni ð¬ð¢ð§ ð = ðð¢ððððð ð hanno di solito 2 soluzioni in [0; 2ð):
ðð = ð¶ ðð = ð â ð¶ Con la calcolatrice trovo solo la prima soluzione
3. Le equazioni ððšð¬ ð = ðð¢ððððð ð hanno di solito 2 soluzioni in [0; 2ð):
ðð = ð¶ ðð = ðð â ð¶ Con la calcolatrice trovo solo la prima soluzione
4. sin ð¥ e cos ð¥ hanno periodo 2ðð, cioÚ le soluzioni sono ð¥1 + 2ðð ð¥2 + 2ðð
5. Le equazioni sin ð¥ = 1, , sin ð¥ = â1, , cos ð¥ = 1, cos ð¥ = â1 hanno UNA soluzione in [0; 2ð).
6. Fuori da [â1; 1] lâequazione con seno e coseno Ú SENZA soluzioni: sin ð¥ = â2, cos ð¥ = â2âŠ
7. Le equazioni ððð§ ð = ðð¢ððððð ð hanno SEMPRE 2 soluzioni in [0; 2ð):
ðð = ð¶ ðð = ð + ð¶ Con la calcolatrice trovo solo la prima soluzione
8. tan ð¥ ha periodo ðð, cioÚ le soluzioni sono ð¥1 + ðð
sin 2ð¥ ha periodo ðð, sin 3ð¥ periodo 2ðð
3, sin 4ð¥ periodo
ðð
2, sin 5ð¥ periodo
2ðð
5âŠ
sinð¥
2 ha periodo 4ðð, sin
ð¥
3 ha periodo 6ðð⊠La stessa cosa vale per il coseno.
La tangente ha sempre periodo metà di seno e coseno.
8
FORMULE:
Fondamentali:
ððšð¬ð ð + ð¬ð¢ð§ð ð = ð ððð§ ð =ð¬ð¢ð§ ð
ððšð¬ ð cot ð¥ =
cos ð¥
sin ð¥
cos2 ð¥ significa (cos ð¥)2 mentre cos ð¥2 significa cos(ð¥2)
Periodicità :
cos ð¥ = cos(ð¥ + 2ð) sin ð¥ = sin(ð¥ + 2ð) tan ð¥ = tan(ð¥ + ð)
Simmetrie:
ððšð¬(âð) = ððšð¬ ð ð¬ð¢ð§(âð) = â ð¬ð¢ð§ ð tan(âð¥) = â tan ð¥
cos (ð
2â ð¥) = sin ð¥ sin (
ð
2â ð¥) = cos ð¥ tan (
ð
2â ð¥) = cot ð¥
cos(ð â ð¥) = â cos ð¥ sin(ð â ð¥) = sin ð¥ tan(ð â ð¥) = â tan ð¥
Somma, differenza, duplicazione:
ððšð¬(ð + ð) = ððšð¬ ð ððšð¬ ð â ð¬ð¢ð§ ð ð¬ð¢ð§ ð ððšð¬(ð â ð) = ððšð¬ ð ððšð¬ ð + ð¬ð¢ð§ ð ð¬ð¢ð§ ð
ð¬ð¢ð§(ð + ð) = ð¬ð¢ð§ ð ððšð¬ ð + ð¬ð¢ð§ ð ððšð¬ ð ð¬ð¢ð§(ð â ð) = ð¬ð¢ð§ ð ððšð¬ ð â ð¬ð¢ð§ ð ððšð¬ ð
ððšð¬ ðð = ððšð¬ð ð â ð¬ð¢ð§ð ð (= 2 cos2 ð¥ â 1 = 1 â 2 sin2 ð¥) ð¬ð¢ð§ ðð = ð ð¬ð¢ð§ ð ððšð¬ ð
Teorema dei seni: Teorema del coseno: Formule area triangolo:
sin ðŒ
ð=
sin ðœ
ð=
sin ðŸ
ð ð2 = ð2 + ð2 â 2ðð cos ðŒ ðŽððð =
ððð ðâððð¡ðð§ð§ð
2
oppure ð2 = ð2 + ð2 â 2ðð cos ðœ ðŽ = âð+ð+ð
2â
âð+ð+ð
2â
ðâð+ð
2â
ð+ðâð
2
ð
sin ðŒ=
ð
sin ðœ=
ð
sin ðŸ ð2 = ð2 + ð2 â 2ðð cos ðŸ ðŽ =
ðâðâsin ðŸ
2=
ðâðâsin ðŒ
2=
ðâðâsin ðœ
2
9
ESERCIZI BASE DI TRIGONOMETRIA
Risolvere un triangolo significa trovare tutti gli angoli, tutti i lati, perimetro e area usando i teoremi dei seni e
del coseno. Di seguito alcuni esempi:
1. Conosco tre lati ð = 7 cm, ð = 3 cm, ð = 5 cm.
Uso uno dei teoremi del coseno, ad esempio il secondo:
32 = 72 + 52 â 2 â 7 â 5 cos ðœ cos ðœ =65
70=
13
14 ðœ = 21,79°
Uso di nuovo il teorema del coseno: 72 = 32 + 52 â 2 â 3 â 5 cos ðŒ ðŒ = 120°
Il terzo angolo Ú ðŸ = 180° â ðœ â ðŒ ðŸ = 38,21°
2. Conosco due lati e lâangolo tra i lati ð = 8 cm, ð = 5 cm, ðŸ = 60°.
Uso il teorema del coseno ð2 = 82 + 52 â 2 â 5 â 8 â cos 60° ð = 7 cm
Poi continuo come lâesempio 1 ðŒ = 81,79°
ðœ = 38,21°
3. Conosco un lato e due angoli ð = 10 cm, ðŒ = 40°, ðœ = 75°.
Trovo subito ðŸ = 180° â ðŒ â ðœ ðŸ = 65°
Uso il teorema dei seni 10
sin 75°=
ð
sin 40° ð = 6,65 cm
Uso il teorema dei seni 10
sin 75°=
ð
sin 65° ð = 9,38 cm
4. Conosco 2 lati e lâangolo non compreso ð = 7 cm, ð = 5 cm, ðŸ = 40°
Uso il teorema dei seni 5
sin 40°=
7
sin ðœ Due possibili soluzioni ðœ = 64,15° ðœ = 115,85°
Trovo il terzo angolo ðŒ = 180° â ðœ â ðŸ ðŒ = 75,85° ðŒ = 24,15°
Uso il teorema del coseno ð2 = 72 + 52 â 2 â 7 â 5 cos ðŒ ð = 7,54 cm ð = 3,18 cm
â Usa sempre la formula con una sola incognita
â Dai precedenza al teorema del coseno
â Se si usa il teorema del seno per trovare un angolo possono esserci 2 soluzioni!
10
ESERCIZI:
1) Il perimetro di una circonferenza di raggio 1 Ú 2ð. Trova la lunghezza della parte rossa:
2) Scrivi una regola per passare da gradi a radianti.
3) Scrivi una regola per passare da radianti a gradi.
Scrivi in radianti lâangolo che formano le lancette dellâorologio alle ore:
4) 6:00
5) 9:00
6) 3:00
7) 1:00
8) 2:00
9) 11:00
10) 12:00
11) 4:00
12) 8:00
13) 7:00
14) 5:00
15) 10:00
16) 4:30
17) 7:30
18) 10:30
19) 1:30
Trasforma da gradi in radianti:
20) 30°
21) 45°
22) 90°
23) 60°
24) 120°
25) 150°
26) 210°
27) 270°
28) 225°
29) 0°
30) 240°
31) 330°
32) â45°
33) 315°
34) 360°
35) 180°
36) 300°
37) 100°
38) 10°
39) 1°
40) 18°
41) â1°
42) 15°
43) 36°
44) 720°
45) 1080°
46) 450°
47) 2°
Trasforma da radianti a gradi:
48) ð
4
49) 2
3ð
50) ð
51) 3
4ð
52) 3
2ð
53) ð
3
54) 7
4ð
55) 2ð
56) 5
3ð
57) ð
6
58) 5
6ð
59) 11
6ð
60) 3ð
61) 7
6ð
62) ð
2
63) 5
4ð
64) 2
5ð
65) 4ð
66) 5
3ð
67) 9
4ð
11
Trasforma questi angoli in angolo compresi tra [0; 360) oppure tra [0; 2ð):
68) 400° =
69) 720° =
70) 1000° =
71) 600° =
72) 5
2ð =
73) 7ð =
74) 10
3ð =
75) 450° =
76) â90° =
77) â180° =
78) 500° =
79) 7
2ð =
80) 25ð =
81) 17
6ð =
82) 1200° =
83) 1440° =
84) 700° =
85) 405° =
86) âð
4=
87) â4ð =
88) 11
2ð =
89) â45° =
90) â60° =
91) â30° =
92) â360° =
93) âð =
94) âð
2=
95) âð
3=
Trova SENZA CALCOLATRICE il risultato:
96) cos 30° =
97) sin 60° =
98) tan 45° =
99) sin 30° =
100) cos 45° =
101) tan 90° =
102) sin 0° =
103) cos 90° =
104) tan 0° =
105) tan 60° =
106) cos 135° =
107) sin 270° =
108) cos 300° =
109) tan 270° =
110) cos 315° =
111) sin 330° =
112) tan 180° =
113) cos 360° =
114) sin 225° =
115) tan 315° =
116) cos ð =
117) tanð
3=
118) sin3
4ð =
119) tan7
6ð =
120) cos11
6ð =
121) sin5
3ð =
122) tan5
4ð =
123) cos3
2ð =
124) sin 2ð =
125) tan7
4ð =
126) cos7
4ð =
127) sin5
6ð =
128) cos5
3ð =
129) tan5
3ð =
130) sin7
4ð =
131) tanð
4=
132) cos9
2ð =
133) cosð
2=
134) sin7
3ð =
135) tan25
4ð =
136) sin 600° =
137) Disegna le funzioni ðŠ = sin ð¥ e ðŠ = cos ð¥.
ð¥ ðŠ
0
ð 6â
ð 4â
ð 3â
ð 2â
2 ð 3â
5ð 6â
ð
7ð 6â
âŠ
â ð 6â
12
138) I dati si riferiscono al triangolo rettangolo in figura. Completa CON LA CALCOLATRICE
la tabella (le misure sono in centimetri):
Triangolo |ðŽð¶| |ðµð¶| |ðŽðµ| ðœ cos ðœ sin ðœ tan ðœ |ðŽð¶|
|ðµð¶| cos2 ðœ + sin2 ðœ
1° 1 10°
2° 1 20°
3° 1 30°
4° 1 40°
5° 1 50°
6° 1 60°
7° 1 70°
8° 1 80°
139) Usa goniometro e righello. In tutti questi triangoli usiamo le lettere come nella figura a destra. Tutte le
misure sono in centimetri. Completa la tabella e disegna tutti i triangoli SENZA CALCOLATRICE:
|ðµð¶| |ðŽð¶| |ðŽðµ| ðŒ ðœ ðŸ sin ðŒ cos ðŒ sin ðœ cos ðœ |ðŽð¶|
|ðŽðµ|
|ðµð¶|
|ðŽðµ|
1° 3 70° 90°
2° 5 50° 90°
3° 4 50° 90°
4° 6 45° 90°
5° 5 30° 90°
6° 8 70° 90°
7° 4 4 90°
8° 3 6 90°
9° 4 2 90°
10° 8 45° 90°
11° 7 20° 90°
12° 7 70° 90°
13° 3 5 90°
13
140) Completa la tabella SENZA calcolatrice:
141) Per quali angoli il coseno Ú positivo?
142) Per quali angoli il coseno Ú negativo?
143) Per quali angoli il seno Ú positivo?
144) Per quali angoli il seno Ú negativo?
145) Per quali angoli la tangente Ú positiva?
146) Per quali angoli la tangente Ú negativa?
147) Disegna 30° e 135° in alto. Trova seno e coseno.
148) Quali angoli hanno seno e coseno uguali?
149) Trova tutte le soluzioni di sin ðŒ =â3
2
150) Trova tutte le soluzioni di cos ðŒ = 0,5
angolo gradi coseno seno
0 0° 1 0
ð
6
â3
2
1
2
ð
4
â2
2
ð
3
â3
2
ð
2 0
2
3ð â
1
2
3
4ð
â2
2
5
6ð
ð â1
7
6ð â
1
2
5
4ð â
â2
2
4
3ð
3
2ð
5
3ð
7
4ð
11
6ð
2ð
9
4ð 405°
â2
2
7
3ð
5
2ð
3ð
9
2ð
âð
4
14
151) Completa la tabella senza calcolatrice, ma con
lâaiuto del disegno:
ðŒ cos ðŒ sin ðŒ tan ðŒ
0,6
0,6
â0,4
â0,4
â1
Risolvi queste equazioni e disequazioni SENZA CALCOLATRICE nellâintervallo [0; 2ð):
152) sin ð¥ = 1
153) cos ð¥ =â2
2
154) tan ð¥ =â3
3
155) cos ð¥ = 0
156) sin ð¥ =â3
2
157) cos ð¥ = â1
2
158) tan ð¥ = â3
159) cos ð¥ = ââ3
2
160) sin ð¥ = ââ3
2
161) tan ð¥ = â1
162) cos ð¥ = ââ2
2
163) sin ð¥ >â2
2
164) cos ð¥ = 2
165) sin ð¥ = â1
2
166) sin 𥠆â1
2
167) ð¬ð¢ð§ ð ⥠âð
ð
168) tan ð¥ > 1
169) ððšð¬ ð < ð
170) ð¬ð¢ð§ ð †ð
171) tan ð¥ = ââ3
3
172) sin ð¥ = 0
173) â2 cos ð¥ = 2
174) 2 sin ð¥ â 1 = 0
175) cos ð¥ â â2 = 0
176) 2 sin ð¥ + â2 = 0
177) tan ð¥ â â3 †0
178) tan ð¥ + â3 ⥠0
179) 2 cos ð¥ + â3 = 0
180) 2 sin ð¥ â â3 †0
181) cos ð¥ > â3
182) ð¬ð¢ð§ ð
ððšð¬ ð= ð
183) ð¬ð¢ð§ ð = ð¬ð¢ð§ð
ðð
184) ð¬ð¢ð§ ð
ððšð¬ ð†ð
185) âð ððšð¬ ð = ð¬ð¢ð§ ð
186) cos ð¥ = cosð
3
187) sin ð¥ + cos ð¥ = 0
188) cos ð¥ < ââ3
2
189) sin ð¥ > â2
190) ððšð¬ ð †âð
191) sin ð¥ = sin5ð
4
192) sin ð¥ + 2 †0
193) sin(ð + ð¥) =1
2
194) cos (ð
2+ ð¥) =
â2
2
195) tan(ð + ð¥) = â1
196) sin (ð¥ +2ð
3) =
â3
2
197) Risolvi gli esercizi 160-170 nellâintervallo (ââ; +â).
167) ð¥ â [0;5
4ð] ⪠[
7
4ð; 2ð) 169) ð¥ â 0 170) ð¥ â [0; 2ð) 182) ð¥ =
ð
4 ð
5
4ð
183) ð¥ =7
4ð e
5
4ð 184) ð¥ â (
ð
2; ð] ⪠(
3
2ð; 2ð] 185) ð¥ =
ð
3 ð
4
3ð 190) ð¥ = ð
15
Esercizi vari:
198) cos ð¥ sin ð¥ = 0
199) sin2 ð¥ = 0
200) (cos ð¥ â 1)(sin ð¥ + 1) = 0
201) (cos ð¥ + tanð
4) (cos ð¥ â 1) = 0
202) (tan ð¥ + 1)(2 sin ð¥ â 1) = 0
203) (tan ð¥ â â3) (cos ð¥ ââ2
2) = 0
204) (tan ð¥ + log 10)(cos ð¥ â 2) = 0
205) (sin ð¥ â log4 2)(2 cos ð¥ + â3) = 0
Trova TUTTE le soluzioni di queste equazioni nellâintervallo [0; 2ð):
206) sin 2ð¥ = 1
207) sin 3ð¥ =1
2
208) sin 4ð¥ = â1
209) tan 2ð¥ =â3
3
210) cos 3ð¥ =1
2
211) cos 5ð¥ = â1
2
212) tan 4ð¥ = 1
213) sin 3ð¥ = ââ2
2
214) tan 3ð¥ = â1
215) cos 4ð¥ = â1
2
216) tan 4ð¥ = ââ3
217) sin 2ð¥ = â1
2
218) cos 4ð¥ = â1
219) cos 5ð¥ =â3
2
220) sin 3ð¥ = ââ3
2
221) cos(âð¥) =â2
2
222) sin(âð¥) = 0
223) tan(âð¥) = 1
Risolvi queste equazioni nellâintervallo (ââ; +â) con la sostituzione ð = cos ð¥:
224) cos2 ð¥ â 1 = 0
225) cos2 ð¥ + 1 = 0
226) 2 cos2 ð¥ + 3 cos ð¥ + 1 = 0
227) 2 cos2 ð¥ + 1 = 3 cos ð¥
228) 2 cos2 ð¥ = 1
229) 4 cos2 ð¥ = 1
230) 4 cos2 ð¥ = 3
231) (cos ð¥ â 1)(2 cos ð¥ â 1) = 0
232) cos2 ð¥ + cos ð¥ â 2 = 0
233) 2 cos2 ð¥ + 3 cos ð¥ â 2 = 0
Risolvi queste equazioni nellâintervallo [0; 2ð) con la sostituzione ð = sin ð¥:
234) sin2 ð¥ â 1 = 0
235) sin2 ð¥ + 1 = 0
236) 2 sin2 ð¥ + 3 sin ð¥ + 1 = 0
237) 2 sin2 ð¥ + 1 = 3 sin ð¥
238) 2 sin2 ð¥ = 1
239) 4 sin2 ð¥ = 1
240) 4 sin2 ð¥ = 3
241) (sin ð¥ â 1)(2 sin ð¥ â 1) = 0
242) sin2 ð¥ + sin ð¥ â 2 = 0
243) 2 sin2 ð¥ + 3 sin ð¥ â 2 = 0
Risolvi queste equazioni nellâintervallo (ââ; +â) con la sostituzione ð = tan ð¥:
244) tan2 ð¥ â 1 = 0
245) tan2 ð¥ = 3
246) tan2 ð¥ + 3 = 0
247) tan2 ð¥ +1
â3tan ð¥ = 0
248) tan2 ð¥ + tan ð¥ = 0
249) tan2 ð¥ = tan ð¥
250) 3 tan2 ð¥ = 1
251) tan ð¥ =1
tan ð¥
16
Risolvi questi esercizi usando le formule di pagina 8:
252) sin ð¥ + cos ð¥ = 0
253) sin ð¥ â cos ð¥ = 0
254) â3 sin ð¥ = cos ð¥
255) cos2 ð¥ â sin2 ð¥ = 0
256) sin2 ð¥ â cos2 ð¥ = 0
257) sin2 ð¥ â 2 sin ð¥ cos ð¥ = 0
258) ð¬ð¢ð§ð ð + ððšð¬ð ð â ð = ð
259) cos2 ð¥ â 2 sin ð¥ cos ð¥ + sin2 ð¥ = 0
260) cos2 ð¥ + 2 sin ð¥ cos ð¥ + sin2 ð¥ = 0
261) cos2 ð¥ + 2 sin2 ð¥ = 0
262) sin2 ð¥ + 5 cos2 ð¥ = 4
263) cos 2ð¥ = cos ð¥
264) cos 2ð¥ = sin ð¥
265) 2 cos2 ð¥ + sin ð¥ = 2
266) 3 + 3 sin ð¥ = 2 cos2 ð¥
267) 2 cos2 ð¥ = 3 sin ð¥
268) 2 sin2 ð¥ + 3 cos ð¥ = 0
269) sin 2ð¥ â cos ð¥ = 0
270) sin 2ð¥ + sin ð¥ = 0
271) 2 sin ð¥ = â3 tan ð¥
272) 2 sin ð¥ cos ð¥ = 1
273) sin 2ð¥ â 2 sin2 ð¥ = 0
274) ð¬ð¢ð§ð ð â ððšð¬ð ð = ð
275) sin4 ð¥ â cos4 ð¥ + cos2 ð¥ â sin2 ð¥ = 0
276) ð¬ð¢ð§ ð + ð¬ð¢ð§(âð) = ð
277) ððšð¬ (ð +ð
ð) + ððšð¬ (ð â
ð
ð) + ð = ð
278) sin (ð¥ +ð
6) â sin (ð¥ â
ð
6) = 0
279) sin (ð¥ +ð
3) + sin (ð¥ â
ð
3) =
1
2
280) sin2 2ð¥ = 2 â cos2 2ð¥
281) ððšð¬ð ð â ð¬ð¢ð§ ðð = ð¬ð¢ð§ð ð
282) cos(ð¥ + 2ð) + cos ð¥ = 1
283) sin(ð¥ + 2ð) + sin ð¥ = â3
284) cos ð¥ + cos(âð¥) = 1
285) sin ð¥ + sin(ð¥ â ð) = 1
286) cos ð¥ + cos(ð¥ â ð) = 1
287) cos 2ð¥ + sin 2ð¥ = 1
288) ððšð¬ ð + ð¬ð¢ð§ ð = ð
Calcola questi valori senza calcolatrice usando le formule di somma e differenza di angoli:
289) cos 15° =
290) sin7
12ð =
291) sin5
12ð =
292) cos 165° =
293) cos 75° =
294) sin13
12ð =
Problemi SENZA calcolatrice:
295) Se cos ð¥ = 0,28, quanto vale sin ð¥ ?
296) Se sin ð¥ =8
17, quanto vale cos ð¥ ?
297) Se tan ð¥ =3
4, quanto valgono sin ð¥ e cos ð¥?
298) Se tan ð¥ =12
5, quanto valgono sin ð¥ e cos ð¥?
258) SEMPRE 274) Diventa (sin2 ð¥ + cos2 ð¥)(sin2 ð¥ â cos2 ð¥) ⊠276) â
277) Diventa cos ð¥ cosð
3â sin ð¥ sin
ð
3+ cos ð¥ cos
ð
3+ sin ð¥ sin
ð
3+ 1 = 0 e quindi cos ð¥ + 1 = 0 âŠ
281) cos2 ð¥ â 2 sin ð¥ cos ð¥ â sin2 ð¥ e si divide tutto per cos2 ð¥ ⊠288) Si fa come lâesercizio 287
17
299) Disegna su Geogebra le funzioni ð = ð¬ð¢ð§ ð e ð = ð ð¬ð¢ð§ ð e descrivi le differenze.
300) Disegna su Geogebra le funzioni ð = ððšð¬ ð e ð = ððšð¬ ðð e descrivi le differenze.
301) Trova con la calcolatrice questi risultati:
arctan 5 = arcsin 0,4 = arccos(â0,9) = arcsin(â1,1) =
78,69° 23,58° 154,16° â
302) Dimostra la formula sin ðŒ
ð=
sin ðœ
ð usando la figura a destra.
Usa il lato CD e la definizione di seno
303) Dimostra che ð2 = ð2 + ð2 â 2ðð cos ðŒ usando la figura a destra.
Usa |ð·ðµ| = ð â ð cos ðŒ
Risolvi matematicamente i seguenti triangoli e disegnali (le misure sono in centimetri e in gradi):
304) ð = 5 ð = 6 ð = 7 ðŒ = 44,42°; ðœ = 57,12°; ðŸ = 78,46°; ðŽ = 14,7
305) ð = 5 ð = 3 ð = 4 ðŒ = 90°; ðœ = 36,87; ðŸ = 53,13°; ðŽ = 6
306) ð = 6 ðœ = 45° ðŸ = 60° ð = 4,39; ð = 5,38; ðŽ = 11,41
307) ð = 7 ðŒ = 35° ðœ = 70° ð = 4,27; ð = 7,2; ðŽ = 14,44
308) ð = 5 ð = 5 ðŒ = 50° ð = 4,23; ðœ = 65°; ðŸ = 65°; ðŽ = 9,58
309) ð = 4 ð = 6 ðœ = 60° ð = 5,29; ðŒ = 40,9°; ðŸ = 79,1°; ðŽ = 10,39
310) ð = 5 ð = 2 ðŸ = 45° ð = 3,85; ðŒ = 113,48°; ðœ = 21,52°; ðŽ = 3,54
311) ð = 8 ðŒ = 20° ðŸ = 100° ð = 2,78: ð = 7,04; ðŽ = 9,62
312) ð = 7 ð = 5 ð = 6 ðŒ = 78,46°; ðœ = 44,42°; ðŸ = 57,12°; ðŽ = 14,7
313) ð = 5 ð = 13 ðŸ = 67,38° ð = 12; ðŒ = 22,62°; ðœ = 90°; ðŽ = 30
314) ð = 7,5 ð = 8,5 ðŒ = 28,07° ð = 4; ðœ = 61,93°; ðŸ = 90°; ðŽ = 15
315) ð = 6 ð = 5 ð = 12
316) ð = 4 ð = 7 ðŒ = 30° ð = 8; ðœ = 61,04°; ðŸ = 88,96°; ðŽ = 14
ð = 4,13; ðœ = 118,96°; ðŸ = 31,04°; ðŽ = 7,22
317) ð = 7 ð = 4 ðŒ = 80° ð = 6,48; ðœ = 65,76°; ðŸ = 34,25°; ðŽ = 12,77
318) ð = 6 ð = 8 ðœ = 36,87° ð = 10; ðŒ = 90°; ðŸ = 53,13°; ðŽ = 24
ð = 2,8; ðŒ = 16,26°; ðŸ = 126,87°; ðŽ = 6,72
319) ð = 5 ð = 6 ðœ = 40° ð = 8,9; ðŒ = 32,39°; ðŸ = 107,61°; ðŽ = 14,3
320) ð = 8 ð = 4 ðŸ = 30° ð = 6,93; ðŒ = 90°; ðœ = 60°; ðŽ = 13,86
321) ð = 11 ð = 11 ðŸ = 60° ð = 11; ðŒ = 60°; ðœ = 60°; ðŽ = 52,39
322) ð = 24 ð = 21 ðŸ = 60° ð = 15; ðŒ = 38,21°; ðœ = 81,79°; ðŽ = 155,88
ð = 9; ðŒ = 21,79°; ðœ = 98,21; ðŽ = 93,53
18
323) Risolvi i seguenti esercizi:
324) Nel lancio del disco uno strumento nel punto A misura
distanze e angoli. La distanza AB Ú 10 metri.
Il raggio della pedana Ú 2 metri.
Il primo atleta lancia il disco, lo strumento misura
ðŽð¶ = 75ð, ðŒ = 77°.
Il secondo atlet lancia il disco, lo strumento misura
ðŽð¶ = 77ð, ðŒ = 60,5°.
Chi ha vinto? Con quale misura?
325) Un triangolo iscritto in una semicirconferenza Ú sempre rettangolo.
In una circonferenza lâangolo al centro Ú sempre
il doppio dellâangolo sulla circonferenza.
Il punto D Ú il centro della semicirconferenza. |ðŽð·| = |ð·ð¶| = |ð·ðµ| = 1
Dimostra che 2 sin ðŒ cos ðŒ = sin 2ðŒ.
Usa il teorema del coseno in BCD per trovare |ðµð¶| Usa il triangolo ABC per trovare |ðµð¶|
326) Lâombra Ú lunga 139,7 m. Calcola lâaltezza della piramide.
19
ASTRONOMIA (LE PRIME MISURE DEGLI ASTRI)
327) Eratostene nel 200 a.C. misurò il raggio della Terra
conoscendo la distanza Siene â Alessandria di 787 Km. A
mezzogiorno il sole Ú verticale a Siene e forma un angolo di
7° ad Alessandria. Trova il raggio della Terra.
328) Il tempo tra il sorgere della luna e il suo essere
verticale alla terra Ú 5h56m17s, cioÚ 89,07°. Se il
raggio della Terra Ú 6350 Km, quanto Ú la distanza
Terra â Luna?
329) La distanza Terra â Luna Ú circa 385.000 Km.
Quando câÚ mezzaluna, forma un angolo di 90°
con il sole. Se lâangolo SâTâL Ú 89,852°, quanto
Ú la distanza Terra â Sole?
330) Se si tiene una moneta da 1 centesimo (diametro 16,25 mm) a 1,8 m di distanza, la moneta copre
perfettamente la luna piena. Se la distanza Terra â Luna Ú 385.000 Km, quanto Ú il diametro della luna?
331) La luna appare grande esattamente quanto il sole. Se la luna ha diametro 3500 Km, e sappiamo che la
distanza Terra â Luna Ú 385.000 Km e la distanza Terra â Sole 150.000.000 Km, quanto Ú il diametro
del sole?
20
Esercizi di goniometria, trigonometria della maturità :
332) sin2 ð¥ â cos ð¥ = 1 (anno 2017)
333) 2 sin(ð¥) + â2 sin(2ð¥) = 0 (anno 2016)
334) cos(2ð¥) + sin(ð¥) = 1 (anno 2015)
335) Risolvere il triangolo in cui ðŒ = ðœ = 4ðŸ e ð = 8 cm. Trova tutte le soluzioni. (anno 2014)
336) cos(4ð¥) + â2 sin(2ð¥) = 1 (anno 2013)
337) Risolvere il triangolo in cui ðŒ = 30°, ð = 4, ð = 4â2 cm. Trova tutte le soluzioni. (anno 2012)
RIPASSO POTENZE E LOGARITMI
Esercizi su logaritmi e potenze alla maturità :
338) Risolvi log0,5(ð¥ â 2) ⥠0 (anno 2017)
339) Scrivi quando ðŠ = log(ð¥ + 2) + log(6 â ð¥) Ú positiva, negativa, uguale a 0 (anno 2016)
340) Risolvere lâequazione 32ð¥ â 3 â 3ð¥ = 4 nellâinsieme dei numeri reali. (anno 2016)
341) Scrivi quando ðŠ =10 log ð¥
ð¥ Ú positiva, negativa, uguale a 0 (anno 2015)
342) Scrivi quando ðŠ =â10 log ð¥+10
ð¥2 Ú positiva, negativa, uguale a 0 (anno 2015)
343) Scrivi quando ðŠ = (ð¥ â 1) â 3ð¥ Ú positiva, negativa, uguale a 0 (anno 2014)
344) Risolvi log(3 â ð¥) + log(ð¥ + 4) = log(2 â ð¥) (anno 2014)
345) Scrivi quando ðŠ = (3ð¥ + 5) â 2ð¥ Ú positiva, negativa, uguale a 0 (anno 2013)
346) Risolvi (1
2)
ð¥2
>1
16 (anno 2013)
347) Scrivi quando ðŠ = ð¥2 ln ð¥ Ú positiva, negativa, uguale a 0 (anno 2012)
348) Risolvi 2012 â (1
2)
ð¥2
> 503 (anno 2012)
Risolvi queste equazioni e disequazioni:
349) 3ð¥ â 1 ⥠0
350) 2ð¥ â 1 < 0
351) 2âð¥ â 1 > 0
352) 4âð¥ + 1 †0
353) (1
2)
ð¥
â1
16> 0
354) (3
2)
ð¥
â2
3†0
355) log ð¥ + 1 †0
356) log(ð¥ + 1) †0
357) log ð¥ â 2 > 0
358) log16 ð¥ = 2
359) â2 ð¥
=1
2
360) â8 ð¥
=1
â23
361) logâ2 ð¥ = 4
362) log(ð¥2 â 3) = 0
363) log ð¥ â log(ð¥ + 1) = 1
364) log1
4
ð¥ =1
2
365) log ð¥ + log(2ð¥ + 1) = 1
366) log(3ð¥2 + 5ð¥) = 2
Trova il risultato SENZA calcolatrice:
367) 43
2 =
368) (1
9)
â3
2=
369) log21
â32=
370) log1
2â32 =
371) 1005
2 â 0,13 â 10000 =
372) log â1000ââ0,001
0,01=