GOVERNO DO ESTADO DO PARANÁ SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL UNICENTRO – UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-OESTE

NÚCLEO REGIONAL DE EDUCAÇÃO DE GUARAPUAVA

PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA

UNIDADE DIDÁTICA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS GEOMÉTRICOS APLICADOS NA 7ª SÉRIE DO

ENSINO FUNDAMENTAL

PALMAS – PR 2011

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-OESTE - UNICENTRO

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE

HELIO ERECE BANNACH STAHLSCHMIDT

Produção Didático-Pedagógica apresentada ao PDE – 2010, para complementação da Proposta de Implementação Didática, Ensino Fundamental, a ser aplicada no Colégio Estadual Sebastião Paraná - EFM, Município de Palmas – PR, na disciplina de Matemática, sob orientação do Professor Reinaldo Francisco – UNICENTRO

PALMAS – PR 2011

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1. DADOS DE IDENTIFICAÇÃO

Professor PDE: Helio Erece Bannach Stahlschmidt

Área PDE: Matemática

NRE: Pato Branco

Professor Orientador: Reinaldo Francisco

IES vinculada: UNICENTRO

Escola de Implementação: Colégio Estadual Sebastião Paraná

Público alvo: Alunos da 7º ano do ensino fundamental.

2. TÍTULO: Material Didático-Pedagógico – A Resolução de Problemas

Geométricos Aplicados na 7ª série do Ensino Fundamental

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INTRODUÇÃO

A resolução de problemas no processo ensino-aprendizagem na matemática

tradicionalmente trata-se de uma atividade desenvolvida após o ensino de um

conceito, como forma de aplicação do conteúdo desenvolvido, tal prática se constitui

em mais uma forma de resolução de exercícios, que por inúmeras vezes ao invés de

desenvolver o raciocínio lógico e a capacidade de interpretação de dados e

situações, acaba por gerar no aluno uma sensação de impotência, bloqueando a

criação de meios e estratégias de resolução, uma vez que o aluno se habitua em

ficar mais preocupado com as operações que terá que usar para resolver o problema

do que com a interpretação da situação e com os processos envolvidos na sua

solução.

Utilizando a resolução de problemas como uma alternativa interdisciplinar no

ensino da Matemática, com vistas à contextualização, por acreditar que a sua

proposição aos alunos da 7ª série do Ensino Fundamental, poderá proporcionar um

ganho de conhecimentos, bem como desenvolver significativamente o

desenvolvimento do pensamento lógico-matemático.

Como a Matemática é uma disciplina com características relevantes, entende-

se a necessidade de que para compreendê-la, não basta conhecer, é necessário

criar, é preciso que o processo ensino aprendizagem tenha uma caminhada que

apresente desafios, e que estes sejam interdisciplinares, aplicada com o devido

cuidado mediante uma metodologia consistente e capaz de acompanhar a evolução

do conhecimento.

Os alunos precisam ser inseridos na sociedade, e cabe a escola colaborar

para que saibam tomar iniciativas rápidas e precisas, possibilitando-lhes resolver os

problemas que aparecerão em sua vida, ter uma concepção do certo e errado.

Na Matemática a resolução de exercícios, aplicação de fórmulas, não é

suficiente para a construção do conhecimento desse cidadão e seu meio, o

importante é dar condições a esse aluno (cidadã), motivação e interesse e a

capacidade de criar a sua inserção e atitude no meio do qual faz parte.

No contexto de educação matemática, um problema, ainda que simples, pode

suscitar o gosto pelo trabalho mental se desafiar à curiosidade e proporcionar ao

aluno o gosto pela descoberta da resolução.

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Neste sentido, acredita-se que a metodologia da resolução de problemas

pode estimular a curiosidade do aluno e fazendo-o se interessar pela Matemática, e

ainda munindo-o de recursos para tentar resolvê-los, adquirindo criatividade e

aprimorando o raciocínio, além de utilizar e ampliar o seu conhecimento matemático.

As Diretrizes Curriculares Estaduais (2008), recomendam que a Educação

Matemática possibilita ao professor balizar sua ação docente, fundamentado numa

ação crítica que conceba a matemática como atividade humana em construção. Um

ensino que possibilite aos estudantes análises, discussões, conjecturas, apropriação

de conceitos e formulação de idéias, reitera-se que a matemática deve ser aprendida

não somente por sua beleza ou pela consistência de suas teorias, mas, para que a

partir dela, o homem amplie seu conhecimento e, por conseguinte, contribua para o

desenvolvimento da sociedade.

Pretende-se neste estudo despertar a motivação dos estudantes a partir da

crença de que não estarão aprendendo matemática pela matemática, mas sim

descobrindo uma nova maneira de resolver problemas de seu cotidiano e para tal

estarão aplicando conhecimentos matemáticos.

Considera-se o tema proposto de grande relevância para a atuação do

pesquisador, considerando-se que o cotidiano dos nossos alunos são permeados de

problemas, entende-se assim a necessidade de incorporá-los a prática pedagógica,

a fim de que os conteúdos matemáticos se tornem mais significativos para os

alunos.

É essencial que o professor assegure em suas aulas um espaço de

discussão, no qual os alunos pensem sobre os problemas que irão resolver,

estabelecendo estratégias diferenciadas, levantem hipóteses, por se tratar de

situações que favorecem o pensamento matemático livre do apego às regras.

Acredita-se que um dos grandes problemas que diz respeito ao ensino da

Matemática, e da escola está na dificuldade dos alunos em resolver problemas,

assim é importante que esta prática faça parte do cotidiano das aulas de

Matemática, durante todo o processo de ensino e não apenas na etapa de

consolidação do conhecimento.

As Diretrizes Curriculares Estaduais de Matemática (2008) orientam para a

articulação dos conteúdos estruturantes com os específicos, estabelecendo relações

de interdependência que enriquecem o processo pedagógico, bem como de que

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sejam abandonadas as formas fragmentadas como se os conteúdos existissem em

patamares distintos e sem vínculos.

Desta forma busca-se atender as orientações das DCEs (2008), articulando

o conteúdo estruturante geometria, com números e álgebra, a partir da opção

metodológica da resolução de problemas, sendo utilizados para sua resolução as

etapas propostas por Polya.

2 PROCEDIMENTOS

A escola não pode continuar a ser vista como o espaço de disseminação do

conhecimento, mas sim como espaço de construção do conhecimento e como tal é

preciso que se busquem metodologias apropriadas e capazes de atender aos

desafios do mundo contemporâneo, uma vez que precisa ir além da apropriação do

conhecimento historicamente acumulado, é preciso contribuir para a formação do

cidadão.

O desenvolvimento da habilidade de resolver problemas e a capacidade de

utilização do pensamento reflexivo é considerado como sendo o resultado principal a

ser observado na aprendizagem matemática.

Considerando o exposto pretende-se responder as seguintes questões: como

desenvolver a metodologia da resolução de problemas no Ensino Fundamental, de

maneira a tornar o processo de ensino-aprendizagem em Matemática interessante e

desafiador? Quais os tipos de problemas que podem ser utilizados?

A presente unidade didática será desenvolvida em uma turma de sétima

série do Ensino Fundamental do Colégio Estadual Sebastião Paraná – Ensino

Fundamental e Médio, do município de Palmas, no turno vespertino.

A implementação ocorrerá a partir das seguintes ações:

a) Contato com a direção e equipe pedagógica, bem como com os

docentes que atuam nas séries em questão, para a definição da classe a ser

implementado o projeto.

b) Análise e discussão do professor regente da classe, para possíveis

sugestões e modificações.

c) Definição do cronograma de aplicação, tarefa esta a ser realizada com o

professor e com a equipe pedagógica.

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d) Discussão e apresentação do projeto para a classe, tendo em vista

despertar a motivação dos alunos em participar ativamente das aulas.

e) A proposta de implementação terá início ao ser disponibilizado aos

alunos da série alvo do conceito de problema, para que possam constatar que estes

fazem parte do cotidiano das pessoas.

f) Disponibilizar como se desenvolvem as etapas da resolução de

problemas sugeridas por Polya, resolvendo problemas com os alunos.

g) Explicação aos alunos do conceito de Geometria e de Álgebra, partindo

de problemas contextualizados.

h) Resolução dos problemas propostos nas atividades.

i) Paralela a implementação os alunos deverão registrar as dificuldades que

vem apresentando em relação as atividades propostas, tendo em vista a

possibilidade de avaliarem seu próprio crescimento, dados estes que serão

utilizados na redação do artigo final, que serão ainda comparados com a avaliação

realizada pelo professor.

3 CONTEÚDOS

Resolução de problemas. Entende-se que a aprendizagem torna-se

significativa quando o aluno encontra uma situação de resolução de problemas. A

resolução de problemas consiste em um paradigma de ensino-aprendizagem, que

tem como objetivo colocar o aluno como foco central dessa interação, e capacitando-

o a construir seu conhecimento a partir da solução de problemas.

De acordo com Libâneo (2004), a metodologia da resolução de problemas

não consiste em apenas buscar a resolução do problema, exige o entendimento de

sua finalidade e utilidade em relação à situação questionada, bem como quais os

objetivos de aprendizagem. Portanto, pode-se dizer que se constitui em uma atitude

de construção do conhecimento em que todas as etapas utilizadas são fundamentais

e não apenas o resultado final obtido. É preciso que os alunos identifiquem a partir

da situação, quais são os objetivos de estudo, para a solução da dificuldade em

questão. Assim, estimular o aluno a ser um constante pesquisador, é sem dúvida

uma das tarefas que a aprendizagem fundamentada nessa abordagem pode

realizar.

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Pretende-se assim, mediante a metodologia da resolução de problemas opor-

se ao modelo transmissor e bancário de ensino, oportunizando a interatividade e

participação e não a cópia e reprodução de tarefas, uma vez que esta tendência

pressupõe como linha norteadora a participação e a informação como alicerce do

exercício da democracia, fazendo o vínculo indivíduo-sociedade, formando uma

comunidade de aprendizagem.

Portanto, a abordagem, a informação, a estratégia e a distribuição de tarefas

a serem cumpridas pelos alunos é que tornará a aprendizagem, um espaço para que

os educandos possam pensar e julgar por si, desenvolvendo o pensamento, a

autonomia e a criatividade. Possibilitando assim, que os aprendizes, ao

determinarem, opinarem, debaterem, se tornem protagonistas, comprometendo-se

com o social, buscando a sua identidade como sujeitos históricos e culturais. É na

mediação do professor que se encontra o segredo para desencadear o processo de

construção da aprendizagem, através da resolução de problemas de forma

intencional, sistemática e planejada, potencializando ao máximo as capacidades do

aluno.

De acordo com Smole e Diniz (2001), cabe ao professor a tarefa de assegurar

um espaço de discussão no qual os alunos pensem sobre os problemas que irão

resolver, elaborem estratégias, levantem hipóteses, e façam o registro da solução

encontrada ou dos recursos utilizados para chegar ao resultado, uma vez que esta

prática favorece a formação do pensamento matemático livre do apego ás regras.

Schoenfeld citado nas Diretrizes Curriculares Estaduais (2008) assevera que

a resolução de problemas possibilita compreender os argumentos matemáticos e

ajuda a vê-los como um conhecimento passível de ser apreendido pelos sujeitos do

processo de ensino e aprendizagem.

4 ORIENTAÇÕES: APRESENTAÇÃO DO MATERIAL

4.1 FUNCIONAMENTO E OPERAÇÃO

A execução do projeto será no Colégio Estadual Sebastião Paraná de Palmas

– Paraná. A utilização da resolução de problemas como uma alternativa

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interdisciplinar de contextualização no ensino da Matemática, para os alunos do

Ensino Fundamental da 7ª série.

Serão também colocadas várias situações-problemas nos murais da escola, a

fim de que se possa perceber que a linguagem matemática pode ser utilizada como

uma ferramenta de comunicação, enriquecendo a capacidade de transmissão,

simplificando modos de pensar aguçando a criticidade e a criatividade dos alunos.

4.2 APRESENTAÇÃO DAS ATIVIDADES

A seguir são apresentadas as atividades a serem desenvolvidas junto aos

alunos da 7ª série do Ensino Fundamental.

Os objetivos que se pretende alcançar mediante o desenvolvimento das

atividades propostas são:

Identificar monômios como generalizações das operações e

propriedades dos números já estudados.

Desenvolver habilidades de cálculos com monômios e polinômios a

partir da resolução de problemas.

De acordo com Ribeiro (2010, p.41), “A representação geométrica constitui-se

em uma importante ferramenta utilizada para o entendimento dos conceitos de

monômio e polinômio, utilizados para representar áreas e volumes, quadrado da

soma e da diferença entre dois termos.”

Área é a medida de uma superfície. É possível encontrar a área de uma

superfície verificando quantas unidades de área cabem dentro dessa superfície.

Perímetro consiste na medida do contorno de uma forma geométrica plana.

Em um polígono, o perímetro é dado pela soma das medidas dos seus lados.

Para a execução das atividades o professor deverá orientar o aluno para

recortar o polígono solicitado conforme suas respectivas medidas, em papel

quadriculado e colá-lo abaixo da atividade copiada, na seqüência deverá ser

representada as medidas dos lados realizando os cálculos indicados.

Em conjunto com o professor os alunos devem estabelecer as unidades de

medida, sugere-se que a medida do lado de um “quadradinho” é uma unidade de

medida de comprimento e então um “quadradinho” é uma unidade de área.

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Para a primeira atividade será aprimorado o conceito de perímetro e área,

bem como as figuras geométricas planas, tendo em vista a necessidade do domínio

destes conteúdos para o desenvolvimento dos polinômios.

Após a revisão do conceito de perímetro, área e das formas geométricas

planas, serão desenvolvidas as seguintes atividades:

4.3 Exemplos:

1) Recorte e cole um quadrado com 4 unidades de medida de lado. Quantas

unidades de área são necessárias para recobrir o quadrado?

1 unidade de área.

São necessárias 16 unidades de área para recobrir o quadrado.

Em relação ao quadrado, pode-se observar que se trata de uma figura

geométrica plana que apresenta quatro lados com a mesma medida, quatro ângulos

retos, ou seja, igual a 90 graus, que seus lados são paralelos.

2) Recorte e cole um retângulo com cinco unidades de medida na base em 3

unidades de medida de lado. Quantas unidades de área são necessárias para

recobrir a superfície do retângulo?

1 unidade de área

São necessárias 15 unidades de área para recobrir o retângulo.

Em relação ao retângulo responda:

a)Quantos ângulos possui um retângulo ?

O retângulo possui quatro ângulos.

b) É correto afirmar que um retângulo possui quatro ângulos retos?

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Sim. Um retângulo possui quatro ângulos retos.

c) Qual o perímetro deste retângulo, sabendo que cada unidade de área possui 0,7

cm de comprimento e 0,5 cm de largura?

Sabendo que o comprimento de uma unidade de área é 0,7 cm e o retângulo

possui 5 unidades de área , a operação a ser efetuada é 5 x 0,5 = 3,5 cm.

A largura de uma unidade de área é de 0,5 cm, como o retângulo possui 3

unidades de largura a operação a ser efetuada é 3 x 0,5 = 1,5 cm.

Sabendo que o perímetro consiste na soma das medidas dos lados do

retângulo e que estes são paralelos entre si, seu perímetro é P = ( 2 x 3,5) + (2 x

1,5), logo: P = 7 + 3 = 10 cm.

3) Utilizando a trena, meça os lados de sua sala de aula e responda:

a) A sala de aula possui a forma quadrangular? Explique:

A sala de aula não tem a forma quadrangular, pois seus lados não possuem a

mesma medida.

b) É correto afirmar que seus lados são paralelos? Por quê?

Sim, a sala de aula possui lados opostos paralelos, pois mantém entre si a

mesma distância.

b) Quantos metros de rodapé são necessários para a sala de aula, sabendo que

mede 6 e 8 metros.

São necessários 30 metros.

3) Sabendo que um quadrado tem perímetro igual a 20 cm, responda:

a) Quantas unidades de área são necessárias para recobrir este quadrado?

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b) Qual a área deste quadrado?

A = l x l = l2

A = 5 x 5 = 52 A = 25 cm2

5) Recorte e cole um retângulo cujas dimensões sejam x e y. Calcule a sua área.

Sendo x = 5 e y = 7

A = 5 . 7 A = 35 unidades de área.

6) Escreva expressões algébricas para representar o perímetro de cada uma das

figuras abaixo:

a) P = 2x + 2 y

b) P = 4 a

c) 2 m + 3 k + 2 k + x + 2 t

7) Um quadrado de lado com medida igual a x teve seus lados aumentados em 2

cm.

a) Faça a representação geométrica.

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b) Qual expressão algébrica representa a área desse quadrado aumentado?

A = (x + 2) . (x + 2)

8) Pedrinho fez uma mesa de formato quadrado. Ao entregá-la percebeu que havia

um erro de medida, pois a mesa estava maior do que deveria. Considerando que

teria que reduzir a mesa em 5 cm no comprimento e 5 cm na largura, qual é a

medida de cada lado da mesa se ela está ocupando uma área de 4 m2?

A = a . a

4 = a2 a = √4 a = 2 m

a) Que área a mesa ocupará após Pedrinho fazer a redução necessária?

A = 4 – 0,25 A = 3,75 m2

b) Qual é a diferença entre a área que a mesa está ocupando e a área que

deveria ocupar?

A diferença é de 0,25 m2

9) Recorte e cole as figuras na seqüência indicada:

a) Se um retângulo tem lados medindo 4 e a, qual é a sua área?

A = 4ª

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b) Se um retângulo tem lados medindo 2 e a, qual é a sua área?

A = 2ª

c) Recortando novamente dois retângulos congruentes aos anteriores e colando-

os um ao lado do outro, de modo que os lados congruentes de cada retângulo

se justaponham, que polígono você obtém?

d) Quais são as medidas dos lados do polígono assim obtido?

Qual a área de sua superfície?

A = 8 a A = 10 a

e) Se um quadrado possui lado medindo a, qual é a sua área?

A = a2

f) Se um retângulo possui lados medindo 3 e a, qual é o valor da sua área ?

A = 3 a

10) Calcular a área do trapézio ilustrado na figura, sabendo-se que esta área

pode ser calculada pela expressão algébrica A = (B+b)×h/2, onde B é a medida

da base maior, b é a medida da base menor e h é a medida da altura.

A = (B + b) x h/2

A = (9 + 4) x 3/2 A = 13 cm x 1,5 cm

A = 19,5 cm2

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4.4 Exercícios:

11) Determine figuras geométricas com áreas que possam ser representadas

pelas seguintes expressões algébricas:

3 . x

m . n

4 . a

12) Utilizando desenhos determine geometricamente:

a) 2 a . 3 a = 6 a2

13) Utilizando papel quadriculado determine geometricamente: (a + 2)2.

a) Recorte as seguintes peças no papel quadriculado:

- um quadrado de lado de medida a

- dois retângulos com lados medindo a e 2

- um quadrado de lado de medida 2

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14) Utilizando papel quadriculado, determine geometricamente:

a) (a + 5)2

b) (x + 3)2

15) Utilizando papel quadriculado determine geometricamente: (x – 2)2:

a) Recorte um quadrado de lado x.

b) Recorte de um dos lados desse quadrado (altura) um retângulo cuja área seja

2x.

c) Recorte do outro lado desse quadrado (base) um retângulo cuja área seja 2x.

d) Qual é a área da superfície do quadrado cujo lado é representado por (x – 2)?

16) Utilizando papel quadriculado, determine geometricamente:

a) (x – 3)2 (a – 1)2

17) Utilizando papel quadriculado, determine geometricamente: (a + 2) . (a – 2).

a) Recorte um quadrado cujo lado mede a.

b) Acrescente a um dos lados (base) um retângulo cujos lados medem 2 e a.

c) Retire da base do quadrado um retângulo cujos lados medem 2 e a e recorte

o excesso.

18) Carlos comprou uma porta para colocar em sua casa com as seguintes medidas:

(x + 75 ) cm

x cm

a) A porta tem 75 cm de largura. Qual é a área de sua superfície?

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19) Em um loteamento , cada quadra de terreno é um quadrado com 61 metros de

lado. O autor do projeto resolveu então aumentar a largura da calçada e, com isso,

cada quadra passou a ser um quadrado de 59 metros de lado. Que área os terrenos

perderam?

5 AVALIAÇÃO

A avaliação é um processo contínuo de observações, avanços e descobertas,

como também, na criação de hipóteses frente ao avanço do conhecimento do aluno

rumo a seu processo de reelaboração conceitual ao conhecimento elaborado. Têm-

se na avaliação, também, uma dimensão de direcionar o trabalho do professor num

processo contínuo, amplo e mediador no processo pedagógico envolvendo a trilogia

do processo ensino X aprendizagem X avaliação como indissociáveis ao mundo

contemporâneo do conhecimento e ao processo escolar como num todo.

A avaliação é parte do processo ensino aprendizagem. Ela incide sobre uma

grande variedade de aspectos relativos ao comportamento e desempenho, tais

como:

Assiduidade e pontualidade;

Observação;

Criatividade;

Participação;

Trabalhos individuais ou em grupos;

Pesquisas;

Testes, provas orais e escritas.

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6 REFERÊNCIAS

LIBÂNEO, J. C. A didática e a aprendizagem do pensar e do aprender: a Teoria

Histórico-cultural da Atividade e a contribuição de Vasili Davydov. Revista Brasileira

de Educação. Goiânia: Universidade Católica de Goiás, n. 27, Set./Out./Nov./Dez.

2004.

PARANÁ. Currículo básico para a escola pública do Paraná. Curitiba: SEED,

1990.

_______. Diretrizes Curriculares Estaduais. Educação Física. Curitiba: Secretaria

de Estado da Educação, 2008.

POLYA, G. Arte de Resolver Problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1975.

RIBEIRO, J. Matemática. São Paulo: Scipione, 2010.

SAVIANI, Dermeval. Educação do Senso Comum à Consciência Filosófica. São

Paulo: Cortez, 1965.

SMOLE, K. C. S.; CENTURIÓN, M. A matemática de jornais e revistas. RPM n.

20, 1º quadrimestre de 1992.

SMOLE, Kátia Stocco.; DINIZ, Maria Ignez (org.). Ler, escrever e resolver

problemas: Habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre: Artmed,

2001. 203 p.