gra Đevinski fakultet - grad.hr · pdf fileseminarski rad – gra Đevna statika 2 6...
Embed Size (px)
TRANSCRIPT

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
GRAĐEVINSKI FAKULTET
Predmet: GRAĐEVNA STATIKA 2
SEMINARSKI RAD
METODA SILA, METODA POMAKA, CROSS-OV POSTUPAK
Predmetni nastavnik: Prof.dr.sc. Krešimir FRESL
Student: Mario Božinović
ZAGREB 2009.

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
2

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
3
ZADATAK 1.
M E T O D A S I L A

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
4
OPĆENITO O STATIČKI NEODREĐENIM SISTEMIMA:
Sile u statički neodređenim sustavima (sistemima) ovise o broju i vrsti veza, te o omjeru krutosti njegovih
dijelova.
Uslijed prisilnih pomaka ili promjene temperature u sistemu pojavljuju se unutarnje sile i sile reakcije. S obzirom
da se pod djelovanjem sila sustav deformira, dolazi do iskrivljavanja osi što znači da se javljaju i momenti na
tim sistemima.
Promjena oblika dijela statički neodređenog sistema izazvati će promjenu i u ostalim dijelovima sistema.
Zamjenom zadanog opterećenja statički ekvivalentnim, doći će do promjene sila na cijelom nosaču. Statički
neodređene sisteme moramo uvijek proračunavati kao jednu cjelinu tj., ne mogu se izdvojiti pojedini elementi
da bi se promatrali izdvojeno.
Statički neodređeni sistemi (sustavi) su oni sustavi kod kojih ne možemo odrediti unutarnje sile samo iz
jednadžbi ravnoteže i to iz razloga što imaju veći broj veza, te moramo uspostaviti onoliki broj jednadžbi koliko
je i veza na sistemu.
Za statički neodređen sistem kažemo da je to također sustav kod kojeg je broj veza veći od minimalno
potrebnog za geometrijsku nepromjenjivost. Takva definicija statički neodređenog sustava naziva se
kinematička definicija.
Da bi sistem bio u ravnoteži u ravnini, potrebno je postaviti tri (3) jednadžbe ravnoteže, a najčešće se koriste
jednadžbe: ΣM=0, ΣFx=0 i ΣFy=0. Prema tome, sistem (tijelo) će biti u ravnoteži u ravnini samo ako je vektorski
zbroj svih slia (i momenata) jednak nuli (nul-vektoru).
METODA SILA:
Metodom sila rješavamo statički neodređene sisteme zamišljenim raskidanjem veza pri čemu se zadani sistem
pretvara u statički određeni sistem, koji nazivamo osnovnim sistemom, a raskinute se veze nadomještaju
silama koje odgovaraju silama koje su te veze prenosile.
Vrijednosti tih sila potom izračunavamo iz uvjeta kompatibilnosti pomaka na mjestima raskinutih veza — sile
moraju povratiti narušenu neprekinutost polja pomaka ili osigurati podudaranje pomaka na mjestima uklonjenih

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
5
ležajeva sa stvarnim ležajnim uvjetima. Prilikom isključivanja sila na sistemu mora se paziti da sistem ne pređe
u mehanizam.
Vrijednosti pomaka koji se pojavljuju u uvjetima kompatibilnosti proračunavamo metodom jedinične sile; na
temelju principa superpozicije možemo to napraviti za zasebna djelovanja zadanoga opterećenja i pojedinih
jediničnih sila u raskinutim vezama.
Završetkom rješavanja osnovnog sustava, nacrta se M0 dijagram, sustav riješimo i za jediničnu silu te i za
njega nacrtamo m1 dijagram. Sada postoje uvjeri za izračun pomaka δ10 i δ11 , tj. pomaka u smjeru i na mjestu
raskinute veze od zadanog vanjskog opterećenja. Za δ10, indeks 1 označava mjesto i smjer a 0 označava
uzrok, tj. vanjsku silu. Za δ11 indeks 1 označava mjesto i smjer a 1 označava uzrok tj. jediničnu silu S=1. Kod
izračuna pomaka δ10 i δ11 potrebno je izračunati dijagrame M0 i m0 , te vrijedi da je ∫⋅
= dxEI
mM 10
10δ , i da je
∫∫ =⋅
= dxEI
mdx
EI
mm 2
111
11δ .
Utjecaj uzdužnih sila najčešće se zanemaruje zbog manjeg utjecaja na rezultat, no to nije uvijek tako, te treba
pripaziti kod zanemarivanja uzdužnih sila da se ne zanemare npr. uzdužne sile u zategama jer one imaju
značajan utjecaj na rezultat, jer je tu uračunata i površina presjeka F.
Osnovna ideja kod METODE SILA prilikom rješavanja neodređenih sistema je da se statički određen (osnovni)
sistem deformira isto kao i zadani statički neodređeni sistem, tj. da je ispunjen uvjet KOMPATIBILNOSTI.
Prema rečenome mora biti zadovoljen uvjet da je: 010111 =+⋅ δδX , ako se radi o jedanput statički
neodređenom sustavu, tj ako se radi o n-puta statički neodređenom sustavu onda mora biti zadovoljena
MATRICA FLEKSIBILNOSTI, koja je uvijek simetrična i pozitivno definirana (matematički definirano),
−=
0
20
10
2
1
333231
232221
131211
........
............
....
....
....
nnX
X
X
nn δ
δ
δ
δ
δδδ
δδδ
δδδ
pri čemu su δij koeficijenti fleksibilnosti, X1, X2, … Xn nepoznate sile, te δ10, δ20, … δnn pomaci.
Odavde se izračunaju nepoznate sile X te se nacrta konačni M dijagram.

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
6
RJEŠENJE 1. ZADATKA - METODA SILA - POTREBNO NACRTATI M DIJAGRAM ZA SISTEM NA SLICI
Zadano: q=80kN/m', EI1=1,62x105kNm2, EI2=1,94x105kNm2, EI1=2,00x106kNm2
3 3
22
q
EI1
EI1 EI2
EI2
EF
(A) (B)
Određivanje statičke neodređenosti: zadani sustav u ravnini ima dva zgloba koji sprečavaju horizontalne i
vertikalne pomake, tj imaju ukupno 4 veze.
Da bi sustav u ravnini bio u ravnoteži, potrebno je minimalno tri veze, dakle 4-3=1.
Zadani sustav je statički 1 puta neodređen.
OSNOVNI sistem se dobiva zamišljenim isključivanjem jedne veze. Isključio sam vezu u točki B, i omogućio
horizontalni pomak. Naravno, mogao sam isključiti i vezu u točki A.
Sada određujem dijagram M0 na osnovnom sistemu od zadanog vanjskog opterećenja.

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
7
ODREĐIVANJE DIJAGRAMA M0 na osnovnom sistemu:
(B)(A)
EF
EI2
EI2EI1
EI1
q=80kN/m'
22
33
(C)
Ah
Av Bv
X1
Određivanje sila reakcija:
Σ M(A)=0 ⇒
kNBv
kNBv
Bv
Bv
240
2406
1440
14406
036806
=
==
=
=⋅⋅−⋅
Σ M(B)=0 ⇒
kNAv
kNAv
Av
Av
240
2406
1440
14406
036806
=
=−
−=
−=−
=⋅⋅+⋅−
Σ F(x)=0 ⇒ kNAh 0=

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
8
SILA U ZATEZI:
Z
Cv
Ch
(B)
EF
EI2
EI2
q=80kN/m'
22
3
(C)
Bv=240Kn
Σ M(C)=0 ⇒
kNZ
kNZ
Z
Z
180
1802
360
3607202
05.138023240
=
=−
−=
+−=−
=⋅⋅−⋅−⋅
Proračun momenata u karakterističnim presjecima:
240kN
(C)
3 3
22
q=80kN/m'
EI1
EI1 EI2
EI2
EF
(A) (B)
240kN
1 1
2 2
3 344
5 5
66
7 788

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
9
PRESJEK 1-1 i 5-5:
(A)
2
240kN
T
NM
PRESJEK 2-2 i 6-6:
Z
MN
T
240kN
2
(A)
PRESJEK 3-3:
MN
T
240kN
2
(A)
Z=180kN
2
ΣM=0 ⇒ M1-1=M5-5=0kNm
ΣM=0 ⇒ M2-2=M6-6=0kNm
ΣM=0 ⇒ M3-3+180⋅2=0 ⇒ M3-3=-360kNm

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
10
PRESJEK 4-4: iz ravnoteže čvora
PRESJEK 7-7:
2
Z=180kN
(B)
2
240kN
T
NM
PRESJEK 8-8: iz ravnoteže čvora
Kontrola: moment u zglobu jednak je nuli. Prema tome razlika momenata u presjeku 4-4 i provjesa parabole
MPR, mora mora biti jednaka nuli. ⇒ 044 =−= − PRZGLOB MMM ; kNmlq
M PR 3608
680
8
22
=⋅
=⋅
= ; ⇒
036036044 =−=−= − PRZGLOB MMM ⇒ zadovoljava uvjet.
ΣM=0 ⇒ M4-4+360=0 ⇒ M4-4=-360kNm
M4-4
360kNm
ΣM=0 ⇒ M-180⋅2=0
M-360=0 ⇒ M7-7=360kNm
ΣM=0 ⇒ M8-8+360=0 ⇒ M8-8=-360kNm
M8-8
360kNm

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
11
MOMENTNI DIJAGRAM OSNOVNOG SISTEMA M0:
Uzdužne sile zanemarujemo jer je njihov utjecaj na konačni rezultat vrlo malen. Međutim, uzdužnu silu u zatezi
ne smije se zanemariti jer je njezin utjecaj na konačan rezultat značajan. Z=180kN (vlačna sila).
ODREĐIVANJE DIJAGRAMA m1 (od jedinične sile):
1
BvAv
Ah
(C)
3 3
22
Z
(A) (B)
360kN 360kN
360kN360kN

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
12
Određivanje sila reakcija (na osnovnom sistemu sa jediničnom silom):
Σ M(A)=0 ⇒
kNBv
Bv
0
06
=
=⋅
Σ M(B)=0 ⇒
kNAv
Av
0
06
=
=⋅−
Σ F(x)=0 ⇒ kNAh
Ah
1
01
−=
=+
SILA Z U ZATEZI:
1
(C)
3
22
(B)
Ch
Cv
Z
Σ M(C)=0 ⇒
kNZ
kNZ
Z
2
22
4
0241
=
==
=⋅−⋅
- sila u zatezi je vlačna

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
13
MOMENTI U KARAKTERISTIČNIM PRESJECIMA:
PRESJEK 1-1 i 2-2:
MN
T
2
(A) 1
PRESJEK 3-3:
2
Z=2kN
(A)
2
T
NM
1
PRESJEK 4-4: (iz ravnoteže čvora)
PRESJEK 5-5 i 6-6:
Z=2kN
(B)
2
T
NM
1
ΣM=0 ⇒ M1-1= 1⋅2=0
M1-1=-⋅2kNm M2-2=-2kNm
ΣM=0 ⇒ M3-3+2⋅2-4⋅1=4-4=0 M3-3=0kNm
M4-4
0kNm
ΣM=0 ⇒ M4-4+0=0 M4-4=0kNm
ΣM=0 ⇒ M5-5+2⋅1=0 M5-5=-2kNm M6-6=-2kNm

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
14
PRESJEK 7-7:
MN
T
2
(B)
Z=2kN
2
1
MOMENTNI DIJAGRAM m1 od jediničnog opterećenja:
2 2
KOEFICIJENTI POPUSTLJIVOSTI (pomak na mjestu i u smjeru jedinične sile):
( )
m
EFEIEIEFEIEI
dxEF
nndx
EI
mm
5
65511
2121
11
1111
11
1023566.7102
24
1094.1
1
1062.1
1
3
16
24
3
16
3
16622
122
3
2
2
22122
3
2
2
221
−⋅=⋅
+
⋅+
⋅=
++=⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅+
⋅⋅⋅
⋅=
⋅+
⋅= ∫∫
δ
δ
δ
ΣM=0 ⇒ M7-7+4⋅1-2⋅2=0 M7-7=4-4=0kNm
Iz ravnoteže čvora ⇒ M8-8=0kNm

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
15
POMAK (na mjestu i u smjeru od djelovanja vanjskog opterećenja) δδδδ10:
( )
m
mm
EFEIEIEFEIEI
dxEF
nNdx
EI
mM
3
10
33
65510
2121
10
1010
10
10636.1
1008.110716.2102
2160
1094.1
1
1062.1
1240
21601124026180
12)
3
1(
2
236012)
3
1(
2
23601
−
−−
⋅−=
⋅+⋅−=⋅
+
⋅+
⋅−=
+
+⋅=⋅⋅+
⋅−⋅
⋅+
⋅−⋅
⋅=
⋅+
⋅= ∫∫
δ
δ
δ
δ
IZ JEDNADŽBE KONTINUITETA IZRAČUNAMO NEPOZNATU SILU X1:
kNX
kNX
X
X
X
61.22
61.221023566.7
10636,1
10636,11023566.7
010636,11023566.7
0
1
5
3
1
3
1
5
3
1
5
10111
=
=⋅
⋅=
⋅=⋅⋅
=⋅−⋅⋅
=+⋅
−
−
−−
−−
δδ
KONAČNI MOMENTNI DIJAGRAM M (prema principu superpozicije):
110 mXMM ⋅+=
kNmM 22.45261.22011 =⋅+=−
kNmM 22.45261.22022 =⋅+=−
kNmM 360061.2236033 −=⋅+−=−
kNmM 36044 =−
kNmM 22.45261.22055 −=⋅−=−
kNmM 22.45261.22066 −=⋅−=−
kNmM 360061.2236077 =⋅+=−
kNmM 36088 −=−

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
16
MOMENTNI DIJAGRAM M
45,22kNm
360kNm
360k
Nm
360k
Nm
360kNm
45,22kNm

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
17
ZADATAK 2.
I N Ž E NJ E R S K A M E T O D A P O M A K A

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
18
INŽENJERSKA METODA POMAKA
Metode pomaka su metode proračuna štapnih sistema u kojima su nepoznanice translacijski pomaci i kutevi
zaokreta odabranih točaka sistema koje nazivamo čvorovima.
Čvorovi su, u metodi pomaka, sve karakteristične točke sistema, poput ležajeva u kojima se sastaje više
štapova, točaka u kojima se dva štapa sastaju pod nekim kutom, točke u kojoj su dva kolinearna štapa spojena
zglobno ili slobodnog kraja prepusta.
Čvorom se može proglasiti bilo koja točka.
Krutim čvorom nazivamo čvor u kojemu su svi stapovi međusobno kruto spojeni a zglobnim čvor u kojem su svi
štapovi spojeni zglobno, čvor može biti i mješoviti kruto-zglobni.
Elementom, nazivamo dio štapa između dva susjedna čvora.
Svaki kruti ravninski čvor j ako nije ležajni, ima dva translacijska stupnja slobode — to su: translacijski pomak
po općem pravcu koji možemo uvijek rastaviti na komponente iuu jj
rr⋅=
u smjeru osi x, i jww jj
rr⋅=
u
smjeru osi z — te jedan rotacijski stupanj slobode — zaokret za kut ϕj oko osi okomite na ravninu sistema.
Zanemarimo li uzdužne deformacije ravnih elemenata, razmak čvorova jednoga elementa se neće mijenjati pa
između njihovih translacijskih pomaka postoji kinematičko ograničenje, te se time broj nepoznanica smanjuje,
ali treba prepoznati neovisne translacijske pomake sistema.
Takav se način metode naziva inženjerskom metodom pomaka.
Svaki (kruti) čvor u ravnini ima tri stupnja slobode gibanja pa je u općoj metodi pomaka broj nepoznanica
približno jednak trostrukom broju čvorova sistema (treba oduzeti broj komponenata pomaka po pravcima
ležajnih veza jer one nisu nepoznanice). Zanemarivanjem utjecaja uzdužnih sila, što je temeljna pretpostavka
inženjerske metode pomaka, broj nepoznanica možemo bitno smanjiti.
U inženjerskoj metodi pomaka nepoznanice su kutevi zaokreta i vrijednosti neovisnih translacijskih pomaka
čvorova.

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
19
Broj neovisnih translacijskih pomaka određujemo s pomoću zglobne sheme sistema koju oblikujemo
pretvaranjem svih krutih i kruto-zglobnih čvornih veza, uključujući i ležajne, u zglobne pri čemu štapne
elemente u shemi smatramo apsolutno krutima. Tu shemu nazivamo i pridruženom rešetkom. Broj neovisnih
translacijskih pomaka u sistemu jednak je broju stupnjeva slobode zglobne sheme.
Dok smo u metodi sila isključivali veze, u inženjerskoj metodi pomaka dodajemo veze čime sustav pretvaramo
u sustav obostrano upetih greda, ili u npr. sustav upete grede i zglobne veze na krajevima grede. Tražimo
neovisne translacijske pomake, međutim ako ih nema onda su nepoznanice samo kutevi zaokreta čvorova, te
postavljamo jednadžbe ravnoteže čvorova i jednadžbe virtualnih radova. Za slučaj obostrano upetih greda
momenti uslijed zaokreta čvorova određuju se iz jednadžbi:
ijijjijiijij kkkm Ψ⋅−⋅+⋅= 624 ϕϕ ; i ijijjijiijji kkkm Ψ⋅−⋅+⋅= 642 ϕϕ
Za slučaj upete i zglobne veze na gredi, momenti se određuju iz uvjeta STATIČKE KONDENZACIJE određuju
se iz jednadžbi:
ijijiij
C
ij kkm Ψ⋅−⋅= 33 ϕ ; i jiij
C
ij MMM2
1−=
Statička kondenzacija predstavlja ”uklanjanje” nepoznate vrijednosti (poopćenog) pomaka iz izraza za
(poopćene) sile i/ili iz jednadžbi ravnoteže na temelju poznatoga statičkog uvjeta.
mij mji
mij mji

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
20
RJEŠENJE ZADATKA – INŽENJERSKA METODA POMAKA - POTREBNO NACRTATI M DIJAGRAM ZA
SISTEM NA SLICI: Zadano: K=100kN, EI=1x105kNm2, δn=2mm=2⋅10-3m.
5
5
K
Određivanje koeficijenata krutosti:
kNmkkkk
kNmm
kNm
l
EIk
kNmm
kNm
l
EIk
kNmm
kNm
l
EIk
l
EIk
20000
200005
100000
;200005
100000
;200005
100000
243413
2
24
2
34
2
13
====
===
===
===
=
Zglobna shema:
nδ
EI EI
EI
(1) (2)
(3) (4)
U3 U4

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
21
OSNOVNI SISTEM:
(1) (2)
(4)(3)
Dodajemo jednu vezu u čvoru (4).
NEPOZNANICE su kutevi zaokreta u čvorovima (3) i (4). Prema tome, nepoznanice su kutevi zaokreta ϕ3, ϕ4
te translacijski pomak U34.
PLAN POMAKA OD NEOVISNOG TRANSLACIJSKOG POMAKA:
5
5
U34 U34
13Ψ 24Ψ5
34
13
U−=Ψ
5
34
24
U−=Ψ

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
22
PLAN POMAKA OD NEOVISNOG PRISILNOG POMAKA:
5
5
MOMENTI NA KRAJEVIMA ELEMENATA:
013 =M kNm (zglob)
++
⋅=Ψ⋅−⋅+Ψ⋅−=
−
55
1023333 34
3
3
1331331
UkkkkM
C ϕϕ
4334 24 ϕϕ kkM ⋅+⋅=
3443 24 ϕϕ kkM ⋅+⋅=
024 =M kNm (zglob)
+=Ψ⋅−⋅=
5333 34
424442
UkkkM
C ϕϕ
Jednadžbe ravnoteže:
Za čvor 3:
( )
3
3443
43343
3
43
34
3
3
3431
3
102,16,027
0246,03102,1
:02455
1023
0
0
−
−
−
⋅−=++
=++++⋅
=⋅+⋅+
++
⋅
=−−
⇒=Σ
U
U
kkkU
k
MM
M
C
ϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
13Ψ
mn
3102
−⋅=δ
m4
3
13104
5
102 −−
⋅=⋅
=Ψ

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
23
Za čvor 4:
06,072
0246,03
:0245
33
0
0
3443
34344
3434
4
4342
4
=++
=+++
=++⋅
+
=−−
⇒=Σ
U
U
kkkUk
k
MM
M
C
ϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
Jednadžbe ravnoteže virtualnog rada od sile K na jediničnom pomaku U34=1:
3
3443
34434
3
3
34
4
34
3
3
1
2442
1
1331
1024,0100
24,06,06,0
0100
5
6,0
5
3
5
6,03
5
102,1
:011005
1
5
33
5
1
5
33
5
1023
01
0
−
−
−
⋅−=⋅+⋅+
=−⋅
++⋅
+⋅+⋅
=⋅+
−⋅
⋅+⋅+
−⋅
⋅+⋅+
⋅⋅
=⋅+Ψ⋅+Ψ⋅
⇒=Σ
kU
k
UUk
kUk
kUk
kk
KMM
W
CC
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
1 1 K
CM 42C
M 31
1
13Ψ 1
24Ψ
5

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
24
Sada imamo 3 jednadžbe sa tri nepoznanice, te rješimo sustav:
3443
3
3443
3443
3
3443
3,05,3
1024,0100
24,06,06,0
06,072
102,16,027
U
kU
U
U
⋅−−=⇒
⋅−=⋅+⋅+
=++
⋅−=++
−
−
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
( )
( )
( )
mU
m
m
surješenja
mU
k
k
kU
kUU
U
U
UU
03025,0
10963,1
10203,2
:
10203,203025,03,0)10963,1(5,3
03025,0)10963,1(15108,0
10963,14,2
10712,4
10048,01024,020000
1004,2
1024,0100
9,010048,05,1
1024,0100
15108,06,05,1
1024,0100
06,05,1
1024,0100
24,06,03,05,36,0
15108,0
102,15,15,22
102,16,023,05,37
34
3
4
3
3
33
3
33
34
33
4
33
4
33
4
3
4
3
4
3
344
3
344344
4
3
34
3
344
3
344344
=
⋅−=
⋅−=
⋅−=⋅−⋅−−=
=⋅−⋅=
⋅−=⋅
−=⇒
⋅−⋅−=−
⋅−=−⋅+−
⋅−=−⋅+−
⋅−=⋅+−
⋅−=++⋅−−
−⋅=
⇒⋅−=−−
⋅−=⋅++⋅−−
−
−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−
−
−
−
−
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
25
Proračun momenata na krajevima elemenata:
013 =M kNm
kNmU
kMC
8,2545
03025,010203,2104,0200003
55
1023
3334
3
3
31 =
⋅−⋅⋅=
++
⋅= −−
−
ϕ
( ) ( ) kNmkkM 80,25410963,120000210203,22000042433
4334 −=⋅−⋅+⋅−⋅=⋅+⋅= −−ϕϕ
( ) ( ) kNmkkM 20,24510203,220000210963,12000042433
3443 −=⋅−⋅+⋅−⋅=⋅+⋅= −−ϕϕ
024 =M kNm
( ) kNmU
kMC
20,24503025,05
20000310963,1200003
53
334
442 =⋅⋅
+⋅−⋅=
+= −ϕ
KONAČNI MOMENTNI DIJAGRAM:
254,80kNm
254,
80kN
m
245,20kNm
245,20kNm

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
26
ZADATAK 3.
C R O S S – ova M E T O D A

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
27
Crossova metoda.
Crossova metoda izračuna pomaka određenog dijela sustava je relaksacijski tj. iteracijski postupak rješavanja
sistema. Sama ideja rješavanja iteracijom polazi od činjenice da bi za npr. inženjersku metodu pomaka u
slučaju velikog broja nepoznanica bilo potrebno riješiti isto toliki veliki broj jednadžbi što je vrlo težak i
mukotrpan zadatak, pogotovo u vremenu kada nisu postojala računala koja danas takove sisteme relativno
brzo rješavaju.
Prvi koji se je bavio proučavanjem iteracijske metode proračuna konstukcija je Konstantin Čališev, koji se bavio
proučavanjem pomaka u sistemu preko kuteva zaokreta i translacijskih pomaka. Prilikom korištenja iteracijskih
postupaka rješavanja sistema svakom iteracijom smo bliži točnom rješenju. Već druga iteracija može dati
dovoljno točan rezultat.
Međutim, Čališevu metodu usavršio je Cross, koji je vidio da se umjesto kuteva zaokreta i translacijskih
pomaka može raditi sa momentima na krajevima ležajeva, a to je interesantno zbog toga što nas u biti
zanimaju sile i njihova djelovanja.
Crossov postupak se koristi za proračun pomaka kod nepomičnih sistema. Izračunom razdjelnih koeficijenata i
momenata upetosti počinjemo sa iteracijom od onog čvora na kojemu očekujemo da će se pojaviti najveći
neuravnoteženi moment. Važno je napomenuti da su razdjelni koeficijenti pokazatelj koliki će se dio od
ukupnog neuravnoteženog momenta prenijeti na promatrani element.
Nakon određivanja momenta potrebno ga prilikom uravnoteženja raspodijeliti na element u omjeru krutosti, tj.
prema razdjelnim koeficijentima, te prema elementu prijenosnim koeficijentima na drugi kraj elementa
prenesemo moment.
Prijenosni koeficijenti: 1:0,5 i 1:-1.
M
M2
-M
M
1⋅k4
3⋅k
4
1⋅k

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
28
3. CROSS-ova METODA
Potrebno je Crossovom metodom izračunati vertikalni pomak točke A.
Zadano je: l=3m, q=25kN/m'; EI=100000kNm2
(1) (2) (3) (4)EI 2EI EI
q=25kN/m'
3 3 3
Dodamo vezu na čvoru 3. OSNOVNI SISTEM:
333
EI2EIEI
(4)(3)(2)(1)
KOEFICIJENTI KRUTOSTI ELEMENATA:
312
EIk =
3
223
EIk =
334
EIk =
KOEFICIJENT KRUTOSTI ČVORA 2:
EIEIEIEIEI
kkk ⋅=+=⋅+=+=6
5
233
2
4
3
34
323122
RAZDJELNI KOEFICIJENTI:
5
2
15
6
6
5
3
2
12
21 ====EI
EI
k
kµ

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
29
5
3
10
6
345
236
6
5
3
2
4
3
4
3
2
23
23 ==⋅⋅
⋅⋅=
⋅
==EI
EI
k
k
µ
Kontrola:
azadovoljav11
15
3
5
2
12321
=
=+
=+ µµ
MOMENTI UPETOSTI:
- element 2-3
(2) (3)
25kN/m'
3
kNmM
kNmlqlqlq
M
MMM
C
C
C
13,28
13,2824
3253
24
3
122
1
12
2
1
23
2222
23
322323
=
=⋅⋅
=⋅⋅
=
⋅−⋅−
⋅=
⋅−=
- element 3-4
3
25kN/m'
(4)(3)
kNmM
kNmlqlqlq
M
MMM
C
C
C
13,28
13,2824
3253
24
3
122
1
12
2
1
34
2222
34
343434
−=
−=⋅⋅−
=⋅⋅
−=
⋅−⋅−
⋅−=
⋅−=

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
30
ITERACIJA: ČVOR 2:
kNm
kNm
kNm
kNmM
1,28
9,161,285
3
2,111,285
2
1,28
−=Σ
−=⋅−
−=⋅−
=∆
-5,6 -11,2
25 5
3
28,1
-16,9
11,2
-28,1
PRORAČUN SILE V U DODANOM ŠTAPU
- ukupna sila V je zbroj poprečnih sila u čvoru 3 na elementima 2-3 i 3-4.
- element 2-3
3
25kN/m'
(3)(2)
kNT
T
M
76,33
032
33252,11
0
32
32
2
−=
=⋅−⋅⋅−
=Σ
T23
N23
M2=11,2kNm
N32
T32

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
31
- element 3-4
3
25kN/m'
(4)(3)
kNT
T
M
13,28
032
33251,28
0
34
34
4
−=
=⋅+⋅⋅+−
=Σ
Reakcija V:
⇒=Σ 0yF
kNV
kNTTV
TTV
9,61
9,6113,2876,33)13,28()76,33(
0
3432
3432
=
=+=−−−−=−−=
=++
SISTEM ZA PRISILNI POMAK U1: PLAN POMAKA:
333
(4)(3)(2)(1)
3
123
U−=Ψ
3
134
U=Ψ
T34
N34
M4=28,1kNm
N43
T43
Ψ23 Ψ34
U1

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
32
ZAMJENJUJUĆI KOEFICIJENTI:
3
1
3
2
3
1
34*
34
23*
23
12*
12
*
==
==
==
=
EI
kk
EI
kk
EI
kk
EI
kk
ij
ij
Uvedemo jednadžbu: EI
UUEIUU
*
111
*
1 =⇒⋅=
Momenti upetosti zbog prisilnog pomaka:
*
1
*
1
*
23
*
123123232323
3
2
3
3
33
333 UUk
EI
UkUkkM
C =⋅=⋅
⋅⋅=⋅=Ψ⋅−=
Sada odaberemo proizvoljnu veličinu *
1U ali u takvom iznosu koji je reda veličine izračunatog momenta
upetosti na osnovnom sistemu., dakle cca 20 do 30kNm.
Odabrano: kNmU 25*
1 =
kNmUM C7,1625
3
2
3
2 *
123 =⋅==
kNmUkEI
UkUkkM
C3,825
3
1
3
3
33
333
*
1
*
34
*
1341
34343443 −=⋅−=⋅−=⋅
⋅⋅−=⋅−=Ψ⋅−=

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
33
ITERACIJA: ČVOR 2:
kNm
kNm
kNm
kNmM
7,16
0,107,165
3
7,67,165
2
7,16
−=Σ
−=⋅−
−=⋅−
=∆
-8,316,7
-10,0
6,7
355
2
-6,7-3,3
PRORAČUN SILE V1 U DODANOM ŠTAPU
- ukupna sila V1 je zbroj poprečnih sila u čvoru 3 na elementima 2-3 i 3-4.
- element 2-3
3(3)(2)
kNT
T
M
23,2
037,6
0
32
32
2
=
=−
=Σ
T23
N23 M2=6,7kNm N32
T32

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
34
- element 3-4
3(4)(3)
kNT
T
M
76,2
0333,8
0
34
34
4
=
=⋅+−
=Σ
REAKCIJA V1:
⇒=Σ 0yF
kNV
kNTTV
TTV
0,5
0,523,276,2
0
1
34321
34321
=
=+=+=
=++−
S OBZIROM NA LINEARNOST SISTEMA VRIJEDI ODNOS:
mU
UV
VU
V
V
U
U
A
34
1
111
10095,3105,20,5
9,61 −− ⋅=⋅⋅=
⋅=⇒=
Vertikalni pomak točke A je 3,1mm prema dolje.
T34
N34 M4=8,3kNm
N43
T43
T32=2,23kN T34=2,76kN
V1

Seminarski rad – GRAĐEVNA STATIKA 2
35
LITERATURA:
[1] K.Fresl, Bilješke s predavanja iz kolegija Statika I i Statika II sa web stranice Građevinskog fakulteta
Zagreb, http://www.grad.hr/nastava/gs/
[2] H. Werner: Tehnička mehanika, 1986.
[3] M. Anđelić: Statika neodređenih štapnih konstrukcija, Zagreb 1993.
[4] Bilješke s predavanja i vježbi na razlikovnom studiju građevinarstva, Zagreb 2009.
[5] Bilješke sa predavanja iz kolegija Teorija konstrukcija, Varaždin 1998.