grabitazioa eta kosmologia

8/18/2019 Grabitazioa eta Kosmologia

1/301

Grabitazioa eta

Kosmologia(2016ko argitalpena)


2/301


3/301

GRABITAZIOA ETA KOSMOLOGIA


4/301

ii

Grabitazioa eta Kosmologia(2016ko argitaraldia)

Copyright c 2010 Juan M. AguirregabiriaCopyright c 2012 UPV/EHUko Euskara ErrektoreordetzaEuskal Herriko Unibertsitatea (UPV/EHU)

Zientzia eta Teknologia FakultateaFisika Teorikoa eta Zientziaren Historia SailaP. K. 644, 48080 Bilbo

Telefonoa: +34 946015915Posta elektronikoa: [email protected] orrialdea: http://tp.lc.ehu.eus/jma.html

ISBN: 978-84-9860-710-9 (bigarren argitaraldia)Osorik edo zatiz, eskuz, makinaz zein informatikaz kopiatzea, Copy-right -en jabeen baimenik gabe, debekaturik dago.

LEHEN ARGITARALDIA: 2011KO URTARRILAREN 19ABIGARREN ARGITARALDIA: 2012KO URTARRILAREN 13AHIRUGARREN ARGITARALDIA: 2012KO URRIAREN 3A

LAUGARREN ARGITARALDIA: 2014KO URTARRILAREN 20ABOSGARREN ARGITARALDIA: 2015EKO URTARRILAREN 16ASEIGARREN ARGITARALDIA: 2016KO URTARRILAREN 15A

Egileak berak konposatu du testu hau LATEX 2ε formatuan. Halaber, irudigehienak Mathematica eta egilearen Dynamics Solver progra-

mailto:[email protected]://tp.lc.ehu.eus/jma.htmlhttp://tp.lc.ehu.eus/jma.htmlmailto:[email protected]


5/301

iii

JULENI


6/301

iv


7/301

HITZAURREA

«Grabitazioa eta Kosmologia» Fisikako lizentziaturaren bigarren zikloko eta graduaren hi-rugarren eta laugarren ikasturteetako hautazko ikasgaia da, Zientzia eta Teknologia Fakultatean.Gaia, batez ere kosmologia, pil-pilean dago, azken hamarkadetan oinarri esperimentalak (sateli-teen bidez egindako behaketak eta abar) zabaltzen eta sendotzen ari diren heinean. Ez da harritze-koa, beraz, gaur egun eta mundu osoan, fisikako oinarrizko titulazio guztietan gai hauei buruzko

ikasgairen bat eskaintzea.Gaia oso zabala da eta 6 ECTS kredituko ikastaro batean ikus daitekeena arreta handiz au-keratu behar da. Alde batetik, kosmologia asko ikas daiteke erlatibitate orokorra erabili gabe(horrela egiten da, adibidez, [15] testu bikainean), baina kosmologiaren azpian dagoen elkarre-kintza grabitatorioaren funtsezko teoria klasikoa (eta oraindik ez daukagu grabitazio kuantikoa-ren teoria onarturik) erlatibitatea da. Azken teoria honekin arazo bat dago ikastaro labur batean:erabili behar den matematika benetan ederra da, baina ikasleek ez dute aldez aurretik ezagutzen.

Tresna matematikoa sakonki aztertzen bada, oso denbora laburra gera daiteke grabitazioaren etakosmologiaren fisika ikusteko.Edukia eta maila aukeratzean hauxe izan da nire irizpide nagusia, zaletasunak alde batera

utzita: fisika ikasle arruntarentzat (eta ez bakarrik geroago gai hauetaz jardun nahi duenarentzat)interesgarria eta pizgarria izatea. Horrexegatik, ikastaroan ikusiko den fisika ulertzeko behar denminimora laburtu da tresna matematikoa eta behar den heinean sartuko da eta ez, liburu gehie-netan egiten den bezala, hasierako gai batean. Arrazoi beragatik, ikusten diren egiaztapen espe-rimentalak ez dira bilduko gai berezi batean eta ahal den bezain laster aztertuko dira. Era berean,gure titulazioan astrofisikari buruzko ikasgai bat eskaintzen denez, han aztertutako gai batzuk(hala nola, bariogenesia eta nukleosintesia) ez dira hemen ikusten. Hala ere, espero dugu testuaoso erabilgarria izango dela, lehen sarrera moduan, geroago gaian sakondu nahi duenarentzat ere.Testu labur honetatik kanpo geratu diren gai interesgarri asko, liburuko gaien amaierako «Gehia-go ikasteko» ataletan zerrendatzen dira, dagokien bibliografia eskuragarriarekin, gehiago ikasi


8/301

vi HITZAURREA

kurleari (ikus bibliografiaren 263. orrialdea eta behean aipatzen den ikasgaiaren orrialdea). Izanere, Mathematica [299] sistemaren bidez egindako kalkulu batzuk tartekatu dira testuan, adibidemoduan eta azalpena laburtzeko.

Dokumentu elektronikoaren erabilera

Testu hau ordenagailuaren pantailan ikustean, paperezko idatzaldiak ez dituen hipertestuarenabantailak erabil daitezke. Horrela, formula bat aipatzen den bakoitzean, bere zenbakian klikeginez gero, formula dagoen orrialdea ikusiko da pantailan. Gauza bera egin daiteke irudien,taulen, atalen, erreferentzien, orrialdeen eta orri-oinen zenbakietan, eta hatz erakuslea agertzenden bakoitzean, hala nola WWW helbide baten gainean dagoenean. Azken kasuan, Internetekinkonektatuta egonez gero, dagokion orrialdea zabalduko da edo, dokumentu baten helbidearenkasuan, dokumentua ekartzeko edo zabaltzeko aukera edukiko du irakurleak.

Huts-zuzenketak eta material osagarria

http://tp.lc.ehu.eus/jma/GK.htmlorrialdean aurki dezakete material osagarria goianaipaturiko ikasgaietan matrikulatutako ikasleek: liburu honen hutsen zuzenketak, ikasgaiaren pro-grama, zenbakizko simulazioak eta abar. Handik ere joan daiteke eGela plataforman jarritakoikasgaiaren orrira.

Eskerrak

Géza Tóth lagunari zor diot Eötvös izenaren idazkerari eta ahoskerari buruzko informazioa.

Leioa, 2010–2011 eta 2011-2012 ikasturteak.

2014KO ARGITALPENA

Aurreko eta aurtengo ikasturteetako esperientziaz baliatu gara huts batzuk zuzentzeko, gai

http://tp.lc.ehu.eus/jma/GK.htmlhttp://tp.lc.ehu.eus/jma/GK/zuzenketak.pdfhttp://tp.lc.ehu.eus/jma/GK/zuzenketak.pdfhttp://tp.lc.ehu.eus/jma/GK/zuzenketak.pdfhttp://tp.lc.ehu.eus/jma/GK.html


9/301

vii

2016KO ARGITALPENAProblema batzuk gehitu dira.

Leioa, 2014–2015 ikasturtea


10/301

viii HITZAURREA


11/301

AURKIBIDE OROKORRA

HITZAURREA v

Notazioa eta unitate-sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vKalkulu aljebraikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vDokumentu elektronikoaren erabilera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

Huts-zuzenketak eta material osagarria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viE sk errak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

TAULEN ZERRENDA xv

IRUDIEN ZERRENDA xviii

IRUDIEN KREDITUAK xix

I Erlatibitate orokorrerako sarrera 1

1 Erlatibitate berezia 5

1.1 Minkowskiren espazio-denbora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1 Lorentzen transformazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Espazio-denborako tartea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Espazio motako tarteak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Denbora motako tarteak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3 Argi motako tarteak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.4 Argi-konoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11


12/301

x AURKIBIDE OROKORRA

2 Baliokidetasunaren printzipioa 392.1 Eötvösen esperimentua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Higidura hiperbolikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3 Rindlerren metrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3.1 Denbora propioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3.2 Horizonteak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3.3 Rindlerren metrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4 Metrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.5 Konexioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.5.1 Metrika eta konexioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.5.2 Erreferentzia-sistema inertzial lokala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.6 Geodesikoak eta denbora propioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.7 Limite newtondarra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.8 Gorriranzko lerrakuntza grabitatorioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.9 Gehiago ikasteko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.10 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3 Kobariantzia orokorra 63

3.1 Riemannen geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2 Magnitude fisikoak eta eremuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.1 Eskalarrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.2 Bektoreak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.3 Tentsoreak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3 Deribatu kobariantea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.4 Kobariantzia orokorraren printzipioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.5 Kurbadura-tentsorea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.6 Garraio paraleloa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.7 Geodesikoen desbideratzea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.8 Kurbadura eta koordenatuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.9 Koordenatu-singularitateak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.9.1 Geometria eta topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.10 Notazio kobariantea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.11 Gehiago ikasteko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.12 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80


13/301

AURKIBIDE OROKORRA xi

5 Schwarzschilden soluzioa 1035.1 Birkhoffen teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.2 Geodesikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.2.1 Orbitaren ekuazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.3 Argi motako geodesikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.3.1 Gorriranzko lerrakuntza grabitatorioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.3.2 Argiaren desbideratzea (1915) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.4 Denbora motako geodesikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.4.1 Denbora motako geodesiko zirkularrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.4.2 Merkurioren perihelioaren aurreratzea (1915) . . . . . . . . . . . . . . 1145.4.3 Giroskopioen prezesio geodesikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.5 Schwarzschilden erradioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.5.1 Argi motako geodesiko erradialak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.5.2 Denbora motako geodesiko erradialak . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.5.3 Marea-indarrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.6 Eddington eta Finkelsteinen koordenatuak (1924, 1958) . . . . . . . . . . . . . 1235.6.1 Kolapso grabitatorio esferikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.7 Kruskal eta Szekeresen koordenatuak (1960) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.8 Barne-soluzio esferiko estatikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.9 Schwarzschilden barne-soluzioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.10 Reissner eta Nordströmen soluzioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.10.1 Horizonteak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.11 Gehiago ikasteko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.12 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6 Uhin grabitatorioak 149

6.1 Hurbilketa lineala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.1.1 Koordenatu kuasiminkowskiarrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.1.2 Geometria linealizatua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.1.3 Eremu grabitatorioaren ekuazio linealizatuak . . . . . . . . . . . . . . 1516.2 Uhin grabitatorio lauak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.2.1 TT gaugea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.3 Uhin grabitatorioen detekzioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.4 Uhin grabitatorioen igorpena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155


14/301

xii AURKIBIDE OROKORRA

7.2.1 Kurbadura konstanteko sekzio espazialen geometria . . . . . . . . . . . 1717.3 Geodesikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1747.4 Gorriranzko lerrakuntza kosmologikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

7.4.1 Distantzia eta abiadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.4.2 Argitasun-distantzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.4.3 Hubbleren legea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.4.4 Diametro angeluarraren distantzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

7.5 Friedmann eta Lemaîtreren ekuazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797.5.1 Fluido kosmikoaren higidura-ekuazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . 1807.5.2 Egoera-ekuazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

7.6 Gehiago ikasteko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.7 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

8 Eredu kosmologikoak 1878.1 Friedmannen ereduak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1878.1.1 Sekzio lauak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888.1.2 Sekzio itxiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898.1.3 Sekzio irekiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1908.1.4 Laburpena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

8.2 Horizonteak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

8.2.1 Partikula-horizontea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1918.2.2 Gertaera-horizontea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

8.3 Lemaîtreren ereduak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1928.3.1 Einsteinen unibertso estatikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1948.3.2 Azterketa kualitatiboa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1948.3.3 De Sitterren unibertsoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

8.3.4 Eddington eta Lemaîtreren ereduak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1958.3.5 Unibertsoaren adina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978.4 Gehiago ikasteko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988.5 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

9 U ib t i itib 203


15/301

AURKIBIDE OROKORRA xiii

Eranskinak 214

A Datu-taulak eta bestelako informazioa 217

A.1 Konstante fisikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217A.2 Astronomia-unitateak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217A.3 Parametro kosmologikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

B Problema batzuk egiteko iradokizunak 219

C Problemen soluzioak 223

1. GAIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2232. GAIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2243. GAIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2264. GAIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2295. GAIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

6. GAIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2337. GAIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2348. GAIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2349. GAIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

BIBLIOGRAFIA 237

AURKIBIDE ALFABETIKOA 265

HIZTEGIA 277


16/301

xiv AURKIBIDE OROKORRA


17/301

TAULEN ZERRENDA

3.1 Zenbait ekuazio kobariante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

A.1 Konstante fisikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217A.2 Astronomia-unitateak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217A.3 Parametro kosmologikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218


18/301

xvi TAULEN ZERRENDA


19/301

IRUDIEN ZERRENDA

1.1 Bi erreferentzia-sistemetako ardatzak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Espazio motako tartea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Denbora motako tartea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Argi motako tartea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 G0 gertaeraren argi-konoa z balio bakoitzeko. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Masadun partikula baten unibertso-lerroa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7 Masadun partikula baten eta fotoi baten unibertso-lerroak. . . . . . . . . . . . . 141.8 Hautsaren partikulen eta V bolumenaren eboluzioa. . . . . . . . . . . . . . . . 171.9 Erradiazioaren partikulen eta V bolumenaren eboluzioa. . . . . . . . . . . . . . 191.10 Fluido perfektuaren eboluzioa eta presioa pausaguneko sisteman. . . . . . . . . 211.11 V bolumena inguratzen duen S gainazala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1 Baliokidetasunaren printzipio ahularen egiaztapen esperimentalak . . . . . . . 402.2 Behatzaile azeleratuaren higidura hiperbolikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3 Baliokidetasunaren printzipioaren egiaztapen esperimentalak. . . . . . . . . . . 452.4 Uhinaren igorpena eta detekzioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.5 Bihurdura-balantza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1 Garraio paraleloa planoan eta gainazal esferikoan. . . . . . . . . . . . . . . . . 723.2 Garraio paraleloa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3 Geodesikoen desbideratzea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.4 Konoa paper orri batez egiteko modua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.5 Bi geodesiko planoan eta konoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.1 Simetria esferikoaren ideia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035 2 Birkhoffen teorema Mathematica ren bidez 105


20/301

xviii IRUDIEN ZERRENDA

5.15 Fluido-soluzioen ekuazioak Mathematica-ren bidez. . . . . . . . . . . . . . . . 1295.16 (5.134)–(5.135) emaitzak, Mathematica-ren bidez. . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.17 Maxwellen ekuazioak Mathematica-ren bidez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.18 Einsteinen ekuazioak Mathematica-ren bidez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.19 Reissner eta Nordströmen metrika Eddington eta Finkelsteinen koordenatuetan. 1375.20 5.1 problemako konoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.21 Flammen paraboloidea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.1 Uhin lauen bi polarizazioek proba-partikuletan duten eragina. . . . . . . . . . . 1546.2 LIGO detektagailuen interferometroen eskema. . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.1 WMAP sateliteak egindako mikrouhin-hondo kosmikoaren neurketa. . . . . . . 1687.2 Oinarrizko behatzaileak eta denbora kosmikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697.3 Geometria koordenatu kohigikorretan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1707.4 Sekzio espazial esferikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

7.5 Sekzio espazial hiperbolikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737.6 Uhin-luzera espazioarekin batera luzatzen da. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1757.7 Argitasun-distantziaren definizioaren geometria. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.8 Diametro angeluarraren distantziaren definizioaren geometria. . . . . . . . . . 1787.9 Friedmann eta Lemaîtreren ekuazioak, Mathematica-ren bidez. . . . . . . . . . 179

8.1 Einstein eta de Sitterren unibertsoaren eboluzioa k = 0 denean. . . . . . . . . . 1898.2 Friedmannen unibertsoaren eboluzioa k = 1 denean. . . . . . . . . . . . . . . . 190

8.3 Friedmannen unibertsoen eboluzioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1918.4 Partikula- eta gertaera-horizonteen eskemak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1928.5 Ia supernoben itxurazko magnitudeen eta lerrakuntzen arteko erlazioa. . . . . . 1938.6 Lemaîtreren ereduen potentzial eraginkorra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1948.7 Eddington eta Lemaîtreren ereduen eboluzio kualitatiboa. . . . . . . . . . . . . 197

9.1 COBE sateliteak neurtutako mikrouhin-hondo kosmikoaren espektroa. . . . . . 203

9.2 Azken sakabanatzearen gainazala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2049.3 Azken sakabanatzea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2059.4 Horizontearen arazoaren eskema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079.5 Inflazioaren eskema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2089.6 Unibertsoaren historia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210


21/301

IRUDIEN KREDITUAK

Hurrengo erakundeen doako irudi batzuk erabiltzen dira testu honetan.

NASA1 Using NASA Imagery and Linking to NASA Web Sites2

Still Images, Audio Files and Video

NASA still images, audio files and video generally are not copyrighted. You may useNASA imagery, video and audio material for educational or informational purposes, inc-

luding photo collections, textbooks, public exhibits and Internet Web pages. This generalpermission extends to personal Web pages. . .Copyright notice3

Material credited to STScI on this site was created, authored, and/or prepared for NASAunder Contract NAS5-26555. Unless otherwise specifically stated, no claim to copyright isbeing asserted by STScI and it may be freely used as in the public domain in accordancewith NASA’s contract. . .

PDG4 Copyright Information5

The contents of the Particle Adventure are copyright 2000 by the Particle Data Group of Lawrence Berkeley National Laboratory.You are permitted to use images and text from this site provided you give credit to theParticle Data Group.

Irudia Estekai. orrialdea http://map.gsfc.nasa.gov/media/poster2002/WMAP_poster2002a.jpg5.6 http://imgsrc.hubblesite.org/hu/db/images/hs-2000-07-c-full_jpg.jpg5.11 http://grin.hq.nasa.gov/IMAGES/SMALL/GPN-2000-001069.jpg7.1 http://wmap.gsfc.nasa.gov/media/101080/index.html9 1

http://map.gsfc.nasa.gov/media/poster2002/WMAP_poster2002a.jpghttp://imgsrc.hubblesite.org/hu/db/images/hs-2000-07-c-full_jpg.jpghttp://grin.hq.nasa.gov/IMAGES/SMALL/GPN-2000-001069.jpghttp://wmap.gsfc.nasa.gov/media/101080/index.htmlhttp://wmap.gsfc.nasa.gov/media/101080/index.htmlhttp://grin.hq.nasa.gov/IMAGES/SMALL/GPN-2000-001069.jpghttp://imgsrc.hubblesite.org/hu/db/images/hs-2000-07-c-full_jpg.jpghttp://map.gsfc.nasa.gov/media/poster2002/WMAP_poster2002a.jpg


22/301

xx IRUDIEN KREDITUAK

Copyright & Terms of Use

In order to support widest dissemination, all articles in Living Reviews in Relativity arepublished under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Germany license, whichpermits readers to read, download, and/or redistribute the work under the following conditions:

• You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor.

• You may not use this work for commercial purposes.

http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/de/deed.enhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/de/deed.en


23/301

I. ZATIA

Erlatibitate orokorrerako sarrera


24/301


25/301

3

Lehenengo zati honetan Einsteinen erlatibitate orokorraren teoria aztertukodugu. Badaude grabitazioaren beste teoria klasiko batzuk; baina erlatibitate oro-korra da datu eta esperimentuekin bat datorrena (gainera, askoren ustez, fisikarenteoria ederrena da). Gaur egun, zenbait arrazoirengatik (energia eta materia ilunaazaltzeko, partikulen fisika, eta abar), Einsteinen teoriaren aldaketak eta dimen-

tsio gehiagorako hedapenak aztertzen ari dira; baina testu honen mailatik goradaude eta, oraindik behintzat, ez dute oinarri esperimental sendorik.

It can scarcely be denied that the supreme goal of

all theory is to make the irreducible basic elements


26/301

4


27/301

1. GAIA

Erlatibitate berezia

Erlatibitate orokorrean beharko ditugun kontzeptu fisikoak eta tresna matematikoak apurka--apurka aztertzeko, erlatibitate bereziaren emaitza batzuk berrikusiko ditugu gai honetan, notazio

kobariantea erabiliz. Mekanikan eta elektromagnetismoan ikusitakoa gogora ekartzea gomenda-tzen zaio irakurleari. Hala ere, [303] liburutik ekarri dugu 1.2 atala, askotan ez baita ikusi biga-rren mailan. Kontzeptu fisiko berri garrantzitsuena energia-momentuaren tentsorea da, bera baitagrabitazioaren iturria erlatibitate orokorrean.

1.1 Minkowskiren espazio-denbora

S erreferentzia-sistema inertzial batean neurtutako gertaera baten osagaiak xµ notazio labur-

tuaz adieraziko ditugu. Gai honetako koordenatu minkowskiarretan, denbora-osagaia x0 = ct(argiak hutsean duen abiadura bider denbora) izango da eta espazialak triedro batean neurtutakokoordenatu kartesiarrak1: x1 = x, x2 = y eta x3 = z . Indize grekoak (µ , ν , . . .) 0-tik 3-ra doazeta latinezkoak (i , j , . . .) 1-tik 3-ra. Hiru dimentsioko bektoreak letra lodiz idatziko dira: adibi-dez, posizio-bektorea x = x i + y j + z k da. Komeni denean ondoko notazio baliokideetako bataukeratuko dugu2:

xµ = (ct,x) = (ct,xi) = (ct,x,y,z ). (1.1)

1.1.1 Lorentzen transformazioak

1.1 irudiko S ′ erreferentzia-sistema inertziala x ardatz komunean barrena higitzen da, v abia-dura konstantez, S sisteman. Bi behatzaileen triedroak paraleloak dira eta jatorriak puntu berean


28/301

6 1 Erlatibitate berezia

non dimentsio gabeko β ≡ v/c abiadura eta Lorentzen γ ≡ (1 − β 2

)−1/2

faktorea erabil ditugun.

1.1 IRUDIA Bi erreferentzia-sistemetako ardatzak.

Transformazio zuzena eta alderantzizkoa era laburragoan idazteko, defini ditzagun ondoko bimatrizeak3:

(Λµ′

ν )3µ′,ν =0 =

γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

, (Λµν ′)3µ,ν ′=0 =

γ γβ 0 0γβ γ 0 00 0 1 00 0 0 1

. (1.7)

Hauen bidez honela idazten dira (1.3)–(1.6) transformazioak:

xµ′

= Λµ′

ν xν

, xµ

= Λµ

ν ′xν ′

. (1.8)Testu osoan erabiliko dugun ondoko notazio-hitzarmenaz baliatu gara azken formulan.

Einsteinen batuketa-hitzarmena

• Gai batean indize bat goiko eta beheko posizioetan agertzen bada, berebalio guztietarako batuketa egiten dela ulertu behar da.

• Deribatu baten izendatzailean dagoen goi-indize (azpiindize) bat az-piindizetzat (goi-indizetzat) ulertu behar da hitzarmen hau aplikatzean.

Horrela, Λµ′

ν xν idatzi dugu

3ν =0 Λ

µ′

ν xν laburtzeko.

v = cβ abiadura erlatiboa ez badago x ardatzaren norabidean edo triedroak ez badira parale-


29/301

1.2 Espazio-denborako tartea 7

• Baina, hor (1.9) adierazpenen osagaiak (1.3)–(1.6) dira.• Ondorioz, adierazpen eskalarra eta bektoriala triedroen beste orientazio guztietan ere bete-

tzen dira.

Hortaz, (1.9) adierazpenak erabiltzeko, bi sistemetako triedroek ez dute zertan paraleloak izan etaabiadura erlatiboa edozein norabidetan egon daiteke (baina t′ = t = 0 unean bi jatorriek puntuberean egon behar dute: ikus 1.1 problema). Bestalde, (1.9) transformazioak linealak direnez,

(1.8) eran idatz daitezke, Λµ′

ν edo Λµ

ν ′

matrize konstante egokiaren bidez (ikus 1.2 problema).Hemendik aurrera, matrize orokor horiek izan daitezke Λµ′

ν edo Λµν ′ notazioaz idatzitakoak.

Aurkako transformazioei dagokienez, elkarren aurkakoak dira (1.8) transformazioetako ma-trizeak4:

Λµ′

ν Λν ρ′ = δ

µ′

ρ′ , Λµν ′Λ

ν ′

ρ = δ µρ , (1.10)

non Kroneckerren delta erabili dugun identitatearen elementuak adierazteko: 1 da bi indizeakberdinak badira eta 0 bestela. (1.8) transformazio-legearen ondorioz hauxe dugu:

Λµ′

ν = ∂xµ

′

∂xν , Λµν ′ =

∂xµ

∂xν ′. (1.11)

1.2 Espazio-denborako tartea

Izan bitez xµ1 eta xµ2 gertaerak. Bien arteko denbora-tartea eta posizio erlatiboa biltzen dituen

diferentzia hauxe da:

∆xµ = (c∆t, ∆x) ≡ xµ2 − xµ1 = (c (t2 − t1) ,x2 − x1) . (1.12)Lorentzen (1.8) transformazioak linealak direnez, era berean transformatzen dira kendurak:

∆xµ′

= Λµ′

ν ∆xν , ∆xµ = Λµν ′∆x

ν ′ . (1.13)

Bi gertaera horien arteko espazio-denborako tartea honela definitzen da:

∆s2 ≡ −c2∆t2 + ∆x2 = −c2∆t2 + ∆x2 + ∆y2 + ∆z 2. (1.14)Nahiz eta karratu moduan idatzi, argi dago ∆s2 delakoa positiboa, negatiboa zein nulua izan dai-tekeela. Bi gertaerak aldiberekoak badira (∆t = 0), espazio-denborako tartea ohiko distantziaralaburtzen da: ∆s = |∆x| ≥ 0 Bi gertaerak puntu berean jazotzen badira (∆x = 0) denbora tar


30/301


1.2.1 Espazio motako tarteakBi gertaeraren arteko espazio-tartea denbora-tartea baino handiagoa (|∆x| > c |∆t|) denean,

∆s2 > 0 dugu. Analisia errazteko (ondorioak aldatu gabe) aukera dezagun OX eta OX ′ ardatzennorabide komuna ∆y = ∆z = 0 izateko moduan. Orduan |∆x| > c |∆t| eta

∆s2 = ∆x2 − c2∆t2 > 0 ⇐⇒

∆x

∆t

> c. (1.16)

1.2 IRUDIA Espazio motako tartea5.

Orain,

ve ≡ c2

∆x∆t

(1.17)

definitzen badugu,|ve| < c (1.18)

da. Hasierako S sistemarekiko v i abiaduraz higitzen den sisteman


31/301


tartea espazio motakoa bada. Hau bermatzeko, elkarrekintza kausala ezin heda daitekeela c bai-no abiadura handiagorekin onartzen da beti. Izan ere, hipotesi honekin ez dago erlazio honetakobi gertaera lot litzakeen elkarrekintza kausalik, zeren (1.16) hipotesiaren ondorioz batetik bestera joateko c baino abiadura handiagoz hedatu beharko bailuke.

1.2 ARIKETA Frogatu horrelako bi gertaeraren arteko ordena espaziala ezin alda daitekeela erre-ferentzia-sistema aldatuz eta, bereziki, ezin gerta daitezkeela puntu berean.

1.2.2 Denbora motako tarteak

Denbora-tartea espaziala baino handiagoa (c |∆t| > |∆x|) denean, ∆s2 < 0 dugu. Berriroere, ∆y = ∆z = 0 direla joz, |∆x| < c |∆t| dugu eta, ondorioz,

∆s2 = ∆x2 − c2∆t2


32/301


da eta ∆t-ren zeinua berbera sistema guztietan. Ez dago, beraz, denbora-ordena aldatzerik eta,bereziki, horrelako bi gertaera ez dira aldiberekoak ezein erreferentzia-sistematan. (Azken hauhonela ere ikusten da: sistema batean aldiberekoak balira, han ∆t = 0 eta ∆s2 = |∆x|2 > 0lirateke eta tartea espazio motakoa, nahitaez.)

Bestalde, erreferentzia-sistemen arteko abiadura erlatiboaren modulua c baino txikiagoa de-nez, sistema guztietan lehenago jazotzen den gertaeratik bestera |∆x/∆t| < c abiaduraz hedatzenden seinale bat bidal daiteke eta, hortaz, lehenengoa bigarrenaren zergatia izatea ez lihoake kau-salitatearen printzipioaren kontra.

1.3 ARIKE TA Frogatu horrelako bi gertaeraren arteko ordena espaziala aldatu ahal dela errefe-rentzia-sistema egokia aukeratuz eta, bereziki, puntu berean gerta daitezkeela, nahiz eta desberdinakizan.

1.2.3 Argi motako tarteak

Espazio- eta denbora-tarteak berdinak (|∆x| = c |∆t|) direnean, ∆s2 = 0 dugu. Gainera,∆y = ∆z = 0 denean, |∆x| = c |∆t| eta

∆s2 = ∆x2 − c2∆t2 = 0 ⇐⇒

∆x

∆t

= c (1.25)

dugu. Espazio-denborako tartea nulua dela ere esaten da.


33/301


betetzen da. Hasierako S

sistemarekiko vi abiaduraz higitzen den sisteman

∆t′ = γ

∆t − vc2

∆x

= γ ∆t

1 − vvec2

(1.28)

dugu eta, v abiadura erlatiboak |v| < c baldintza betetzen duenez, ∆t-ren zeinua berbera dasistema guztietan. Ez dago, beraz, denbora-ordena aldatzerik eta, bereziki, bi gertaerak ez diraaldiberekoak izango ezein erreferentzia-sistematan.

Gainera, sistema guztietan lehenago jazotzen den gertaeratik bestera seinale bat bidal daiteke|∆x/∆t| = c abiadurarekin (argiaren bidez edo). Ondorioz, erlazio kausala egon liteke kasuhonetan bi gertaeren artean kausalitatearen printzipioa hondatu gabe.

1.4 ARIKETA Frogatu horrelako bi gertaeraren ordena espaziala ezin alda daitekeela erreferen-tzia-sistema aldatuz eta ezin gerta daitezkeela puntu berean, desberdinak badira.

1.2.4 Argi-konoa

G0 = (ct0, x0, y0, z 0) gertaera batekin batera espazio-denborako tarte nulu bat osatzen du-ten puntuen leku geometrikoa G0-ren argi-konoa deitzen da eta erreferentzia-sistema inertzialguztietan ∆s2 = 0 ekuazioak emandakoa da:

(x

−x0)

2 + (y

−y0)

2 + (z

−z 0)

2 = c2 (t

−t0)

2 . (1.29)

Bi dimentsioko irudietan, ±1 maldako bi lerro elkarzuten bidez adierazten dugu G0 gertaerarenargi-konoa, (ct,x) planoan ∆y = ∆z = 0 eginez lorturiko proiekzioa

(x − x0)2 = (ct − ct0)2 (1.30)

baita. ∆z = 0 soilik egiten badugu,

(x − x0)2 + (y − y0)2 = (ct − ct0)2 (1.31)

ekuazioak 1.5 irudiko konoa definitzen du (ct,x,y) espazioan.


34/301


Kasu orokorrean, (1.29) ekuazioak hiru dimentsioko (hiper)kono bat definitzen du (ct,x,y,z )espazio-denboran, baina ezin da hau bi dimentsiotan marraztu.

Goiko konoerdia etorkizuneko argi-konoa da eta G0-ren etorkizun absolutua definitzen du:bere azalean eta barruan dauden gertaera guztiak G0 baino beranduago jazotzen dira erreferen-tzia-sistema inertzial guztietan eta G0-ren ondorioak izan daitezke, G0-tik bidalitako seinalerenbat jaso baitezakete. Kontsidera dezagun G0 gertaeran igorritako argi-pultsu bat. Norabide guz-tietan igorritako fotoiak t aldiunean (1.29) ekuazioak definituriko argi-konoaren gainazal esferi-koan egongo dira: t aldatzean argiaren uhin-frontearen eboluzio osoa emango du ekuazio horrek.

Beraz, etorkizuneko argi-konoa G0 gertaeran igorritako fotoien unibertso-lerroen multzoa da.Beheko konoerdia iraganeko argi-konoa da eta G0-ren iragan absolutua definitzen du: bere

azalean eta barruan dauden gertaera guztiak G0 baino lehenago jazo dira erreferentzia-sistemainertzial guztietan eta G0-ren zergatia izan daitezke, eurek bidalitako seinaleren bat jaso baitaite-ke G0-n. Izan ere, iraganeko argi-kono hau, G0 gertaeran detektatzen diren fotoi guztien uniber-tso-lerroen multzoa da. Argi dago, bestalde, G0 gertaera iraganeko (etorkizuneko) argi-konokopuntu guztien etorkizuneko (iraganeko) argi-konoetan dagoela.

Argi-konotik kanpoko gertaerak G0 baino lehenago, beranduago edo aldi berean jazotzen di-ra erreferentzia-sistema desberdinetan. Beraz, ez dute inolako erlazio kausalik gertaera harekin.Kontuan hartu behar da Minkowskiren diagrametan ct erabiltzen dugula ardatz bertikalean eta,ondorioz, eskalak ez direla ohiko esperientzian erabiltzen ditugunak: segundo bati argi-segundobat (hau da, ia 300 000 km) dagokio! Ez da harritzekoa, beraz, gure eguneroko esperientzianetorkizuna eta iragana ez dena oraina izatea, gure erreferentzia-sisteman aldiberekoak ez direnargi-konotik kanpoko gertaera gehienak oso-oso urrun baitaude. Kosmologia egitean, berriz, dis-

tantzia eta denbora-tarte handiak aztertu behar dira eta argi-konoek definituriko kausalitate-mu-gak kontuan hartu beharko ditugu (erlatibitate orokorraren ondorioekin batera).

1.2.5 Tarte infinitesimalak

Bi gertaera oso hurbil badaude espazioan eta denboran, bien arteko espazio-denborako tarteainfinitesimala eta absolutua izango da:

ds2 = −c2dt2 + dx2 + dy2 + dz 2 = −c2dt′2 + dx′2 + dy ′2 + dz ′2. (1.32)Tarte infinitesimalak finituak bezala transformatzen dira:

dxµ′

= Λµ′

ν dxν =

∂xµ′

∂ ν dxν , dxµ = Λµν′dx

ν ′ = ∂xµ

∂ ν′dxν

′

. (1.33)


35/301


1.5 ARIKETA Frogatu espazio-denborako ds2 tartearen aldaezintasuna Minkowskiren metrika-ren aldaezintasunaren baliokidea dela, hurrengo adierazpenetan primak kendu daitezkeelako Min-kowskiren metrikaren indizeetatik:

ηµ′ν ′ = Λρµ′ Λ

σν ′ηρσ =

∂xρ

∂xµ′∂xσ

∂xν ′ ηρσ, ηµν = Λ

ρ′

µ Λσ′

ν ηρ′σ′ = ∂xρ

′

∂xµ∂xσ

′

∂xν ηρ′σ′ . (1.36)

Lorentzen (1.9) transformazio bereziak ez dira ds2 aldatu gabe uzten duten guztiak. Ar-gi dago gauza bera gertatzen dela triedro baten edo denbora baten jatorria aldatzen bada. Izan

ere, 1.7 atalean frogatuko dugun bezala, erreferentzia-sistema inertzialen arteko (1.9) transfor-mazioak, denbora- eta espazio-translazioak, biraketak eta denboraren eta espazioaren inbertsioakkonbinatuz lortzen dira (1.35) espazio-denborako tartea aldatu gabe uzten duten transformaziolineal guztien multzoa, Poincaréren taldea deitzen dena. Hemendik aurrera, talde horretako batizango da xµ → xµ′ transformazioa eta Λµ′ν = ∂xµ′/∂xν eta Λµν ′ = ∂xµ/∂xν

′

matrizeak konstan-teak (ikus 1.7 atala).

1.2.6 Denbora propioa

Partikula (edo erloju) baten unibertso-lerroa xµ(σ) ekuazio parametriko egokiek emandakoaizango da, erreferentzia-sistema inertzial batean (σ parametroa edonolakoa izan daiteke: sistemainertzialaren t denbora, beheko denbora propioa, . . . ). Unibertso-lerroko xµ eta xµ + dxµ gertaerahurbilen arteko espazio-denborako tartea

ds

2

= ηµν dx

µ

dx

ν

= −c2

dt

2

+ dx2

= − c2 − v2 dt2 1 baita.


36/301


partikula geldi dagoenez, v∗ = 0 eta ds2 = −

c2dτ 2 dugu eta hortik lortzen da partikularenunibertso-lerroan barrena neurtutako denbora propioa9:

dτ =

√ −ds2c

. (1.38)

Jakina, adierazpen hori ez da ds2 neurtzeko erabilitako erreferentzia-sistemaren menpekoa: ab-

solutua, eskalarra da. Ondorioz, hauxe da sistema inertzial batean partikularen unibertso-lerroanbarrena neurtutako dt denbora-tarte infinitesimalarekin duen erlazioa:

ds2 = −c2 dτ 2 = −c2

1 − v2

c2

dt2 ⇐⇒ dt = dτ

1 − v2/c2 ≥ dτ. (1.39)

Denboraren zabalkuntza ezaguna dugu hau: denbora propioaren tartea beti da partikula geldi ezdagoeneko sistemetan neurtutakoa baino laburragoa.

dτ ekarpen infinitesimal horiek unibertso-

-lerroan barrena integratuz lortzen dira denbora propioaren tarte finituak.

1.7 IRUDIA Masadun partikula baten eta fotoi baten unibertso-lerroak, y = z = 0 planoan.

Masa gabeko partikulen (fotoien) unibertso-lerroak zuzen nuluak, argi motakoak, dira, haie-tan barrena ds2 = 0 baita: ezin defini daiteke horrelako partikulen denbora propioa, ez baitaude


37/301

1.3 Zinematika 15

ren abiadura10:

uµ ≡ dxµ

dτ =

c

dt

dτ , dx

dτ

= γ (c,v) , v ≡ dx

dt, γ ≡

1 − v

2

c2

−1/2. (1.40)

1.6 ARIKETA Erabili (1.39) emaitza azken berdintzafrogatzekoeta (1.33) transformazioak, abia-dura modu berean transformatzen dela ondorioztatzeko:

uµ′

= Λµ′

ν uν =

∂xµ′

∂xν uν , uµ = Λµν ′u

ν ′ = ∂xµ

∂xν ′ uν

′

. (1.41)

Oro har, era honetan transformatzen den aµ ≡ (a0, a1, a2, a3) multzo bat, bektore kontraba-riantea dela esango dugu:

aµ′

= Λµ′

ν aν =

∂xµ′

∂xν aν , aµ = Λµν ′a

ν ′ = ∂xµ

∂xν ′aν

′

. (1.42)

Minkowskiren (1.34)–(1.35) metrika eta (1.38) denbora propioa erabiliz, hauxe dugu:

ηµν uµuν = −c2. (1.43)

Jakina, emaitza hau ez da erreferentzia-sistema inertzialaren menpekoa, eskuinaldea aldaezinerlatibista (eskalar) bat baita.

Azken adierazpenaren ildotik, bi bektoreren arteko biderkadura eskalarra honela definitzenda:

ηµν aµbν = −a0b0 + a1b1 + a2b2 + a3b3 = −a0b0 + a · b. (1.44)

Gainera, aµ bektore kontrabariante bakoitzari, honela definitutako bektore kobariante bategokitzen zaio:

aµ ≡ ηµν aν = (a0, a1, a2, a3) =−a0, a1, a2, a3 = −a0, a . (1.45)

1.7 ARIKETA Erabili (1.36), biderkadura eskalarra ez dela erreferentzia-sistemaren menpekoa(horrexegatik da eskalarra) eta hauxe dela bektore kobarianteen transformazioa egiaztatzeko:

aµ′ = Λν µ′aν = ∂xν

∂xµ′ aν , aµ = Λν

′

µ aν ′ = ∂xν ′

∂xµ aν ′ . (1.46)

Bektore kobarianteak erabiliz, honela ere kalkula daiteke biderkadura eskalarra:

ηµν aµbν = aµb

µ = aµbµ = aµ′bµ′ . (1.47)


38/301


1.8 ARIKE TA Egiaztatu

mc2 = −uµ pµ, pµ pµ = −m2c2 (1.49)

emaitzak eta azkena ondoko aldaezin erlatibista ezagunaren baliokidea dela:

m2c4 = E 2 − c2p2. (1.50)

Fotoi baten kasuan, masa gabekoa denez, pµ pµ = 0 dugu: pµ = (E/c,p) momentua bek-tore nulua da. Gainera, mekanika kuantikoari esker, badakigu E = c|p| = hν dela, fotoiarenmaiztasuna ν bada. Fotoiak ez du denbora propiorik eta ezin da (1.40) erabili haren abiaduradefinitzeko; horren ordez, hauxe dugu:

v = dx

dt

= c p

|p| =

c2p

E

,

|v

|= c. (1.51)

(Ohar zaitez v = c2p/E erlazioa masa gabeko eta masadun partikulen kasuetan betetzen dela.)

1.9 ARIKE TA Egiaztatu masa gabeko partikulen kasuan, unibertso-lerroa xµ(σ) moduan idaztenbada, σ parametro baten funtzioan, hauxe dugula:

ηµν dxµ

dσ

dxν

dσ = 0. (1.52)

Partikula baten azelerazioa honela definitutako bektorea da:

aµ ≡ duµ

dτ =

d2xµ

dτ 2 . (1.53)

1.7 probleman frogatuko dugun bezala, abiadura eta azelerazioa ortogonalak dira:

uµaµ = 0. (1.54)

1


39/301

1.4 Energia-momentuaren tentsorea 17

1.8 IRUDIA Hautsaren partikulen eta V bolumenaren eboluzioa dy = dz = 0 planoetan.

Honela definitzen da hautsaren energia-momentuaren tentsorea:

T µν ≡ ρuµuν . (1.55)Tentsore kontrabariantea dela esaten dugu, (1.41)-ren ondorioz honela transformatzen baita:

T µ′ν ′ =

∂xµ′

∂xρ

∂xν ′

∂xσ

T ρσ. (1.56)

Ageri denez, simetrikoa da tentsore hau: T µν = T νµ.

1.11 ARIKE TA Metrikaren alderantzizkoa ηµν eran idazten da:

ηµν ηνλ = ηλρηρµ = δ µλ. (1.57)

Egiaztatu ηµν tentsore simetriko kontrabariantea dela, (ηµν ) = (ηµν )−1 = (ηµν ) eta aν bektorekobarianteari dagokion kontrabariantea honako hau:

aµ = ηµν aν . (1.58)

Kontsidera dezagun dV ∗ bolumen propioko elementu infinitesimal batean dagoen energiak k i i i l dE ( dV ) 2 i ld k

18 1 E l tibit t b i


40/301


Arrazoi beragatik, momentu linealaren i osagaiaren korrontearen j osagaia ργ 2viv j = T ij = T ji

da. Momentu linealaren denbora-unitateko transferentzia indarra denez, hauxe da T ij = T ji ele-mentua: j ardatzarekiko perpendikularra den gainazal infinitesimalaren alde negatiboan dagoenmateriak (eta, oro har, eremuek) alde positiboan dagoenaren gainean egindako azalera-unitatekoindarraren i osagaia. Hortaz, hiru dimentsioko esfortzu-tentsorea12 da T ij . Izan ere, hiru dimen-tsioko tentsorea da, (t, xi) → (t, xi′) espazio-transformazioetan hauxe baitugu:

T i′ j′

=

∂xi′

∂xk∂x j

′

∂xl T kl

, (t′ = t). (1.61)

T ij = T ji = momentu linealaren i osagaiaren korrontearen j osagaia

= esfortzu-tentsorearen (i, j) osagaia. (1.62)

1.12 ARIKETA Frogatu T µν tentsore kontrabariantearen eta aµ eta bν bektore kobarianteen ar-

teko T µν aµbν kontrakzioa eskalarra dela. Erabili emaitza hori eta aldiuneko pausaguneko sistema,ondoko magnitudea pausaguneko energiaren dentsitatea dela frogatzeko:

T µν uµ

c

uν c

= T ∗00 = ρc2. (1.63)

Hautsaren eboluzioa ondoko kontserbazio-legeak13 emandakoa da:

T µν ,ν = 0, (1.64)

non f eremu eskalar, bektorial edo tentsorial baten xν -rekiko deribatua adierazteko hurrengonotazioa erabili dugun14:

f ,ν ≡ ∂f ∂xν

. (1.65)

Hautsaren (edo fluido baten) azelerazioa hauxe da:

aµ = duµ

dτ =

∂uµ

∂xν dxν

dτ = uµ,ν u

ν . (1.66)

H ki h d

1 4 Energia moment aren tentsorea 19


41/301


1.9 IRUDIA Erradiazioaren partikulen eta V bolumenaren eboluzioa dy = dz = 0 planoetan.

1.4.1 Erradiazioaren energia-momentuaren tentsoreaEman dezagun fluidoaren partikulak ultraerlatibistak (|v| ≈ c) direla eta zoriz higitzen direla:

edozein norabidetan E ≈ c|p| energiarekin higitzen diren elkarrekintzarik gabeko partikulengas bat da. Ikus dezagun nola idazten den dagokion energia-momentuaren tentsorea, aurrekoatalekoaren esanahi berdinarekin.

Ikuspuntu makroskopikotik deskribatzeko, elementu infinitesimal bakoitzean dauden partiku-la guztiekiko batezbestekoak egin beharko ditugu. Horrela, gertaera batean elementuaren pausa-

guneko sisteman —hau da, ikuspuntu makroskopikotik elementu infinitesimala geldi dagoenekomasa-zentroaren sisteman (ikus 1.13 problema)— koordenatuak xµ

′

= (cτ, x∗) badira, energia-ren dentsitatea

ε ≡ T 0′0′ = ργ 2c2 (1.70)izango da eta momentu linealaren dentsitatea nulua (masa-zentroaren sisteman neurtzen baita):

T 0′i′ = T i

′0′ = ργ 2cvi

′

= 0. (1.71)Era berean, zoriz higitzen direnez, i′ = j ′ badira,

T i′ j′ = T j

′i′ =

ργ 2vi′

v j′

= 0 (1.72)

dugu, baina i′ = j ′ direnean, |v| ≈ c erabiliz, hauxe geratzen zaigu:



42/301


Gertaera horretan, baina beste erreferentzia-sistema inertzial batean idazteko, (1.56) erakoLorentzen transformazio bat egin behar da:

T µν = ∂xµ

∂xρ′∂xν

∂xσ′T ρ

′σ′, (1.76)

non magnitude guztiak aipaturiko gertaeran kalkulatzen diren. Baina kalkulu hori baino erra-zagoa da aztertzea edozein gertaeratan eta edozein erreferentzia-sistematan honela idazten denadierazpen tentsoriala:

T µν = ε3

ηµν + 4 u

µ

uν

c2

. (1.77)

Azken hau aipaturiko gertaeran eta dagokion pausaguneko sisteman

T ρ′σ′ =

∂xρ′

∂xµ∂xσ

′

∂xν T µν (1.78)

da eta (1.75) moduan idazten da, han elementuaren abiadura uρ′

= (c, 0, 0, 0) baita. Baina (1.76)

eta (1.78) transformazioak alderantzizkoak direnez, pausaguneko sistemako (1.75) adierazpenaeta (1.77) emaitza orokorra baliokideak dira. Izan ere, hemen erabili dugun estrategia (transfor-mazio orokorragoetara egokitu ondoren, 2. eta 3. gaietan erabiliko duguna), hurrengo printzipioanlabur daiteke:

Kobariantziaren printzipioa

Fisikako adierazpen bat erlatibitate berezian (hau da, erreferentzia-sistema

inertzial guztietan) beteko da (gertaera batean),

1. kobariantea (hau da, tentsoriala) bada eta

2. sistema inertzial partikular batean betetzen bada (gertaera horretan).

Erradiazioaren energia-momentuaren tentsorea, beraz, (1.77) adierazpen tentsoriala da errefe-rentzia-sistema inertzial guztietan. Neutrinoekin eta masa gabeko partikulen limitean (fotoiekin)erabil daiteke (1.77) energia-momentuaren tentsorea: horrexegatik deitzen zaio erradiazioarenenergia-momentuaren tentsorea. Erradiazioaren eboluzioa ere (1.64) kontserbazio-legearen eranidazten da interpretazio berdinarekin. (Ikus 1.25 problema.)

1.4.2 Masa gabeko partikulen unibertso-lerroa eta momentu lineala

Kobariantzaren printzipioaren aplikazioaren beste adibide bat ikusteko azter dezagun fotoi

1 4 Energia-momentuaren tentsorea 21


43/301


Kobariantzaren printzipioaren ondorioz, (1.79)–(1.81) tentsorialak direnez, sistema inertzial guz-tietan beteko dira. σ parametro afina (ikus 3.9 problema) ez da bakarra, (1.80)–(1.81) emaitzakσ′ = aσ + b guztiekin ere beteko baitira, a eta b konstanteak badira. Parametro afina alda-tzean, (1.80) adierazpenean idatzi ez dugun proportzionaltasun-konstantea aldatuko da, bainaez (1.81) eboluzio-ekuazioa. Adibidez, beti aukera daiteke σ parametroa, hauxe izateko moduan:

pµ = dxµ

dσ ,

dpµ

dσ = pµ,ν p

ν = 0. (1.82)

1.4.3 Fluido perfektuaren energia-momentuaren tentsorea

Kosmologian erabiliko dugun fluido perfektuaren energia-momentuaren tentsorea idazteko,ρ(x) masa-dentsitate propioaz gain, aldiuneko pausaguneko sisteman neurtutako p(x) presio-ere-mu eskalarra hartu behar da kontuan. G gertaera baten aldiuneko pausaguneko sistemako koor-denatuak xµ

′

= (cτ, x∗) badira, energiaren dentsitatea gertaera horretan T 0′0′ = ρc2 da. Fluidoa

gertaera horretan geldi dagoenez, ez dago momentu linealaren dentsitaterik, T 0′i′ = T i

′0′ = 0.

Perfektua denez, esfortzua gainazalarekiko perpendikularra da eta berdina norabide guztietan(Pascalen legea): T i

′ j′ = p δ ij . Beraz, honela idazten da energia-momentuaren tentsorea gertaeraeta koordenatu horietan:

T ρ′σ′ =

ρc2 0 0 00 p 0 00 0 p 00 0 0 p

. (1.83)



44/301


Fluidoa ez bada erlatibista, hau da, abiadura eta presioa txikiak badira,|v

| ≪ c eta p

≪ ρc2

dugu eta, ondorioz,

T 00 =

ρ + p

c2

u0u0 − p ≈ ρc2, (1.85)

T 0i = T i0 =

ρ + p

c2

u0ui ≈ ρcvi, (1.86)

T ij =

ρ +

p

c2uiu j + p δ ij ≈ ρviv j + p δ ij. (1.87)

Hautsaren kasuan (hemen limite ez-erlatibistan) aurkitu genituen ekarpenez gain, hidrodinamikaez-erlatibistan presioari dagokion p δ ij esfortzu-tentsorea ikusten dugu azken gaian eta honelageratzen dira (1.64) ekuazioaren osagaiak:

T 0ν ,ν = T 00

,0 + T 0i

,i = c

∂ρ

∂t +

∂ ρvi

∂xi

= 0, (1.88)

T iν ,ν = T i0

,0 + T ij

,j

= ∂ρv i

∂t +

∂ρv iv j

∂x j + δ ij

∂p

∂x j

=

∂ρ

∂t +

∂ ρv j

∂x j

vi + ρ

∂v i

∂t + v j

∂vi

∂x j

+ δ ij

∂p

∂x j

= ρ

∂v i

∂t + v j

∂vi

∂x j

+ δ ij

∂p

∂x j = 0. (1.89)

Azken ekuazioan erabili dugun lehenengoa jarraitutasun-ekuazioa da, masaren kontserbazioaadierazten duena [303]:

∂ρ

∂t + ∇ · (ρv) = 0. (1.90)

Bestalde (1.89) delakoa fluido perfektuen higidura-ekuazioa, Eulerren ekuazioa, da [303]:

ρ

∂ v

∂t + (v · ∇)v

= −∇ p. (1.91)

Aurreko bi kasuak, hautsa eta erradiazioa, fluido perfektuaren kasu partikularrak dira, nahikoa

baita (1.84) adierazpenean p = 0 eta p = ρc2/3 ≡ ε/3 egitea, hurrenez hurren (ikus 1.25 proble-ma).

1.5 Elektrodinamika

1.5 Elektrodinamika 23


45/301

Tentsore hau kontrabariantea da, (1.56) legearen arabera transformatzen baita.Horrela, uµ abiaduraz higitzen den e kargaren higidura-ekuazioa hauxe da:

dpµ

dτ =

e

cF µν uν . (1.93)

Izan ere, µ = i eginez, Lorentzen indarrari dagokion higidura-ekuazio erlatibista berreskuratzendugu,

dp

dt = eE

+

v

c ×B

, (1.94)

eta µ = 0 osagaia potentziaren baliokidea da:

v · dpdt

= eE · v. (1.95)Jakina, azken emaitza ez da independentea, (1.94) ekuazioa v abiadurarekin biderkatuz lortzenbaita. Izan ere, F µν antisimetrikoa denez, F µν uµuν = 0 dugu eta (1.93) ekuazioak ez ditu hiruosagai independente baino gehiago.

1.13 ARIKE TA Egiaztatu (1.94) eta (1.95) emaitzak.

Minkowskiren metrika erabiltzen bada indize bat jaisteko,

F µν ≡ F µσησν =

0 E x E y E zE x 0 Bz −ByE y −Bz 0 BxE

z B

y −B

x 0

(1.96)

tentsorea lortzen da. Mistoa dela esaten da indize bat kontrabariantea delako eta bestea kobarian-tea:

F µ′

ν ′ = ∂xµ

′

∂xρ∂xσ

∂xν ′F ρσ. (1.97)

1.14 ARIKE TA Egiaztatu azken transformazio-legea.

Bi indizeak beheratzen badira, tentsore kobariante antisimetriko bat lortzen da:

F µν = −F νµ ≡ ηµρF ρν = ηµρηνσ F ρσ =

0 −E x −E y −E zE x 0 Bz −ByE y −Bz 0 BxE z By −Bx 0

, (1.98)

∂ ρ ∂ σ



46/301

1.15 ARIKETA Egiaztatu honela berreskuratzen direla Maxwellen ekuazio bektorialak:

F 0i,j + F ij,0 + F j0,i = 0 ⇐⇒ ∇ ×E = −1c

∂ B

∂t , (Faraday-Henry), (1.103)

F 12,3 + F 23,1 + F 31,2 = 0 ⇐⇒ ∇ · B = 0, (monopolorik eza), (1.104)F 0ν ,ν = F

00,0 + F

0j,j =

4π

c J 0 ⇐⇒ ∇ ·E = 4π

̺, (Gauss), (1.105)

F iν ,ν = F i0,0 + F

ij,j =

4π

c J i ⇐⇒ ∇×B = 4π

c J +

1

c

∂ E

∂t , (Ampère-Maxwell). (1.106)

Taulan agertzen ez diren ekuazioak (hala nola F 00,i + F 0i,0 + F i0,0 = 0) identikoki betetzen dira edogoiko baten baliokideak dira.

1.16 ARIKETA Zeintzuk dira F µν ,ν eta F µν,λ magnitudeen transformazio-legeak?

1.17 ARIKETA Egiaztatu (1.102) ekuaziotik jarraitutasun-ekuazioa (kargaren kontserbazioa) be-

rreskuratzen dela: J µ,µ = ∂ρ

∂t + ∇ · J = 0. (1.107)

Eremu elektromagnetikoaren energia-momentuaren tentsorea hauxe da:

T µν = 1

4π

F µσF ν σ −

1

4ηµν F ρσF

ρσ

. (1.108)

1.18 ARIKETA Egiaztatu hauexek direla tentsorearen osagaiak:

T 00 = 1

4π

E2 + B2

, (1.109)

T 0i = T i0 = 1

4π (E×B)i , (1.110)

T ij = − 14π E

iE j + BiBj+ 1

8πδ ij E

2 + B2 . (1.111)Ikusten dugunez, (1.59), (1.60) eta (1.62) adierazpenen esanahi fisiko bera dute osagai hauek:energia elektromagnetikoaren dentsitatea T 00 da, momentu linealaren dentsitatea T i0/c, energia-ren korrontea (Poyntingen bektorea) cT 0i eta Maxwellen tentsio-tentsorea T ij .

1.6 Kontserbazio-legeak 25


47/301

dugu fluidoaren T µν fluidoa tentsorearen eta eremuaren T µν em ekarpenaren arteko erlazio diferentziala.

Horrela, fluido kargatu ez-erlatibista baten kasuan, Eulerren (1.91) ekuazioan, presioari dagokion−∇ p indar-dentsitateaz gain, indar elektromagnetikoak eragindakoa agertuko da17:

ρ

∂ v

∂t + (v · ∇)v

= −∇ p +

̺E +

1

cJ×B. (1.114)

Gainera, T µν ≡ T µν fluidoa + T µν em energia-momentuaren tentsore osoa erabiliz, honela geratzen da(1.113) eboluzio-ekuazioa:

T µν ,ν = 0. (1.115)

Modu honetan idazten dira kontserbazio-legeak eremuen teorietan, energiaren eta momentu li-nealaren dentsitateak eta korronteak biltzen dituen energia-momentuaren tentsore osoa erabiliz.

1.11 IRUDIA V bolumena inguratzen duen S gainazala.

1.6 Kontserbazio-legeak18

Ikus dezagun zer dagoen (1.64) edo (1.115) egiturako kontserbazio-legeetan eta zergatik dei-tzen diren horrela. Hasteko, 0 osagaia

T 0ν ,ν = 1

c

∂T 00

∂t + ∂T 0i

∂xi = 1

c∂ E ∂t + ∇ · JE = 0 (1.116)

jarraitutasun-ekuazioa da eta S gainazal finko itxiak inguratzen duen V bolumenean integratuondoren dibergentziaren teorema erabiltzen bada,



48/301

1.7 Lorentz aldaezintasuna

Azter ditzagun espazio-denborako tartea (eta Minkowskiren metrika) aldatu gabe uzten dutenxµ → xµ′ transformazio erregular19 alderantzikagarriak. (1.36) baldintza20,

ηρσ = ∂xµ

′

∂xρ∂xν

′

∂xσ ηµν , (1.119)

xλ-rekiko deribatuz,

0 = U ρσλ ≡ ηµν

∂ 2xµ′

∂xρ∂xλ∂xν

′

∂xσ +

∂xµ′

∂xρ∂ 2xν

′

∂xσ∂xλ

(1.120)

dugu, (ρ,σ,λ) aukera guztietarako. Ondorioz,

0 = U ρσλ + U λσρ − U ρλσ= ηµν

∂ 2xµ

′

∂xρ∂xλ∂xν

′

∂xσ + ∂x

µ′

∂xρ∂ 2xν

′

∂xσ ∂xλ + ∂

2xµ′

∂xλ∂xρ∂xν

′

∂xσ +

∂xµ′

∂xλ∂ 2xν

′

∂xσ ∂xρ − ∂

2xµ′

∂xρ∂xσ∂xν

′

∂xλ − ∂x

µ′

∂xρ∂ 2xν

′

∂xλ∂xσ

. (1.121)

ηµν = ηνµ denez, laugarren eta bosgarren gaiak aurkakoak dira. Gauza bera gertatzen da bigarre-narekin eta seigarrenarekin, baina lehenengoa eta hirugarrena berdinak dira:

2ηµν ∂xν ′

∂xσ∂ 2xµ′

∂xλ∂xρ = 0. (1.122)

(ηµν ) eta (∂xν ′

/∂xσ) matrizeak alderanzgarriak direnez,

∂ 2xµ′

∂xλ∂xρ = 0 (1.123)

geratzen zaigu; baina hau zuzenean integratzen da:

xµ′

= Λµ′

ν xν + bµ, (1.124)

′ ′

1.8 Gehiago ikasteko 27


49/301

(1.124) transformazioek osatutako Poincaréren taldearen azpitaldeen artean ondokoak aipa

daitezke:

Translazioak: Λµ′

ν = δ µν

Lorentzen taldea: bµ = 0

Lorentzen talde propioa: bµ = 0, Λ0′

0 ≥ 1, det Λµ

′

ν = 1

Biraketak: bµ = 0, Λ0′

0 = 1, Λi′

0 = Λ0′

i = 0, Λi′

j = Ri′

j

Lorentzen transformazio bereziak: bµ = 0, Λµ′

ν = 1.2 problemaren emaitza

(Hemen R ≡ Ri′ j 3i′,j=1 biraketa-matrize bat da: R ·R⊤ = R⊤ ·R = 1, detR = 1.)Transformazio bereziak (ikus 1.2 problema) erreferentzia-sistema inertzialaren aldaketei da-

gozkie. Triedroen orientazioa aldatzen duten biraketak gehitzen bazaie, Lorentzen talde propioa

lortzen da. Espazioaren inbertsioak (Λ0′

0 = 1, Λi′

0 = Λ0′

i = 0, Λi′

j = −δ i j , det Λµ′ν = −1) etadenboraren inbertsioak (Λ0

′

0 = −1, Λi′0 = Λ0′i = 0, Λi′ j = δ i j, det

Λµ′

ν

= −1) kontuan hartuta,

Lorentzen taldea lortzen da eta translazioak sartzen badira Poincarérena21.Gai honetako tentsore-notazioari esker, erlatibitatearen printzipioak simetria bat adierazten

duela ikusten dugu: fisikaren legeak Poincaréren taldearekiko aldaezinak dira erlatibitate be-rezian. Erlatibitate orokorrean hurrengo gaiko baliokidetasunaren printzipioaren ondorioz, betidugu Lorentzen taldearekiko kobariantzia lokala, hau da, gertaera bakoitzaren inguruan: Lorentz

aldaezintasuna lokala izango da.

1.8 Gehiago ikasteko

• Kalibre-parabola: [11], 11. or.

• Ikus daiteke Lorentz eta FitzGeralden uzkurdura?: [190].

• Erlatibitate bereziaren (eta orokorraren) egiaztapen esperimentalak: [64].• Thomas prezesioa: [108]; [162]; [216].• Bikien paradoxaren eta Thomas prezesioaren teoria eta egiaztapen esperimental makrosko



50/301

1.9 Problemak

1.1 Lorentzen transformazioak. Nola orokortzen da (1.9) transformazioa, (ct,x) = (0, 0) ger-taera (ct′0,x

′0) bada beste sistemaren koordenatuetan?

1.2 Lorentzen transformazio bereziak. Aurkitu (1.9) transformazioari dagokion LorentzenΛµ

′

ν matrizea.

1.3T Bikien paradoxa. Irudiko G1 eta G2 gertaeren arte-ko espazio-denborako tartea denbora motakoa da. Frogatubiak lotzen dituzten denbora motako unibertso-lerro guz-tien artean denbora propioa maximoa dela abiadura kons-tanteko higidurari dagokionean barrena. Zein da balio mi-nimoa? Iruzkina egin emaitzari.

Oharra: Ia-ia kalkulurik gabe aurkitzen da soluzioa.

1.4T Aldakuntza-printzipioa. Aurreko problemaz balia gaitezke partikula askearen higidura--ekuazioa aldakuntza-printzipio batetik lortzeko:

δ 2

1

dτ = 0.

Ekintzaren dimentsioak edukitzeko eta minimoa izateko higiduran barrena,

I = −mc2 21

dτ

eran definitzen bada ekintza, hauxe da aldakuntza-printzipioa:

δ I = 0.Mekanika klasikoaren

I = 21

L dt

1.9 Problemak 29


51/301

1.7T Azelerazioa. Aurkitu partikula baten azelerazioaren osagaiak erreferentzia-sistema inertzial

batean eta frogatu ondoko propietateak:

uµaµ = 0,

aµaµ = a∗2,

non aldiuneko pausaguneko sisteman neurtutako azelerazioa a∗ ≡ d2x∗

dt∗2 den. Egiaztatu

a∗2 = γ 6a2 − 1c2 (v× a)2

betetzen dela, sistema orokorrean v ≡ dx

dt, a ≡ dv

dt =

d2x

dt2 eta γ ≡

1 − v

2

c2

−1/2erabiltzen

badira.

1.8T Behatzaile baten neurketak. Behatzaile baten abiadura uµB da eta partikula baten momentulineala pµ. Bien unibertso-lerroek elkar ebakitzen duten gertaeran bi magnitude hauek definitzendira:

p ≡ −1c

pµuµB,

pµ⊥ ≡ pµ + 1

c2 pν u

ν B u

µB.

Egiaztatu ondoko emaitzak:

uBµ p

µ

⊥ = 0, pµ =

1

c pu

µB + p

µ⊥.

Zein da p eta pµ⊥ magnitudeen esanahia?

1.9T Doppler efektua. Argi-iturri bat v = βc abiaduraz urruntzen ari da detektagailu batetik.Erabili momentu lineala bektore bat dela, gorriranzko lerrakuntza hauxe dela ondorioztatzeko:

1 + z ≡ ν Iν D

=

1 + β 1 − β , (1.128)

non iturriaren eta detektagailuaren sistema propioetan neurtutako maiztasunak diren ν I eta ν D.Askatu abiadura z -ren funtzioan. Zer gertatzen da v


52/301

(c) Detektagailuaren sisteman iturriaren abiadura vI bada eta iturriaren eta fotoiaren abiaduren

arteko angelua θ, egiaztatu hauxe dugula:

λDλI

= γ

1 − vIc

cos θ

, γ ≡

1 − v2I

c2

−1/2.

(d) Nola idazten da Doppler efektua θ = 0, π/2, π kasu partikularretan?(e) Beharrezkoa da aurreko kalkuluetan iturriaren eta detektagailuaren abiadurak konstanteak

izatea?1.11 Doppler efektua (III). Orain, iturriaren sisteman de-tektagailuaren abiadura vD da eta detektagailuaren eta fo-toiaren abiaduren arteko angelua θ. Egiaztatu hauxe delaDoppler efektua:

ν D

ν I = γ

1 − vD

c cos θ

, γ ≡ 1 − v2D

c2−1/2

.

Zein da hemengo eta aurreko problemako emaitzen artekoerlazioa?

1.12 Irudiko diskoa ω abiadura angeluar konstantez ari dabiratzen O zentro finkoaren inguruan. O-tik a distantzia

berdinera daude I argi-iturri isotropoa eta D detektagailua.Iturriaren maiztasun propioa ν bada, zein da detektagai-luan neurtutakoa?

1.13 Masa-zentroaren sistema. Behatzaile bat uµ = γ (c,v) abiaduraz higitzen ari da errefe-rentzia-sistema inertzial batean, non partikula-sistema baten momentu lineal osoa pµ = (E/c,p)

den. Partikulak askeak dira, elkarrekintzarik gabekoak.(a) Egiaztatu behatzailea partikulen masa-zentroaren sisteman dagoela (hau da, berak neurtutakohiru dimentsioko momentu lineal osoa p∗ = 0 dela) honako hau betetzen bada:

pµ + pν uν

c2 uµ = 0.

1.9 Problemak 31


53/301

Unibertso lerroko xµ(τ ) gertaeran vµ bektore baten denbora- eta espazio-osagaiak kalkula

ditzake behatzaileak, eµ̂0 aukeraz baliatuz (gogoratu 1.8 problema):

v ≡ −vν eν 0̂ = −1

c vν u

ν , (1.130)

vµ⊥ ≡ vµ + vν eν 0̂ eµ0̂ = vµ + 1

c2 vν u

ν uµ, (1.131)

vµ = veµ

0̂ + vµ⊥. (1.132)

(a) Zergatik dira naturalak definizio hauek?Eman dezagun orain vµ bektorea espaziala dela, behatzailearen definizioaren arabera, v = 0,

eta bere modulua eta norabidea ez direla aldatzen dimentsio espazialetan:dvµ

dτ

⊥

= 0. (1.133)

Adibidez, masa-zentrotik (indar-momenturik eragin gabe) daraman giroskopio baten momentuangeluar intrintsekoa izan daiteke vµ.(b) Egiaztatu honela idazten dela (1.133) baldintza (Fermi, 1922):

dvµ

dτ =

1

c2 vν a

ν uµ. (1.134)

Lege hori zuzenean orokortzen da v

= 0 kasura bi gauza eskatuz: vµ

⊥ osagaiaren garraioa

Fermirena izatea eta v konstantea (Walker, 1932):

dvµ

dτ =

1

c2 (uµaν − uν aµ) vν . (1.135)

(c) Egiaztatu lege hori eta honako propietate hauek:

1. Behatzailea inertziala bada, v µ garraioa Fermi eta Walkerrena da baldin eta soilik baldin

vµ

konstantea bada: dvµ

/dτ = 0.2. Behatzailearen uµ abiaduraren garraioa (eta eµ

0̂ bektorearena) Fermi eta Walkerrena da.

3. vµ eta wµ bektoreen garraioa Fermi eta Walkerrena bada, vµwµ biderkadura eskalarra ez daaldatzen behatzailearen unibertso lerroan barrena: d(vµw )/dτ 0



54/301

Oinarri honetaz baliatzen da behatzailea neurketak (proiekzioak) egiteko. Adibidez, beha-

tzailearen eta partikula baten unibertso-lerroek elkar ebakitzen dutenean, honela neurtzen ditupartikularen E energia eta momentu linealaren pı̂ osagai kartesiarrak:

p0̂ = − p0̂ = pµeµ0̂ = 1

c pµu

µ = −E c

, (1.138)

pı̂ = pı̂ = pµe

µı̂ . (1.139)

1.16T

Behatzaile inertzial baten oinarri ortonormala. Zein da cβ i abiadura konstantez higi-tzen den behatzaile inertzialaren oinarri ortonormal bat? Eta cβ abiadura konstantea ez badagoardatz kartesiar baten norabidean?

1.17∗ Thomas prezesioa. Behatzaile azeleratu baten aldiuneko pausaguneko erreferentzia-sis-tema inertziala, translazio bat eta partikularen abiadurari dagokion (1.9) transformazioaz ba-liatuz lortzen da, hiru dimentsioko biraketarik gabe. 1.15 problemako oinarri ortonormalaren

definizioan, ordea, biraketa (aldakor) bat neurtu daiteke laborategian. Eman dezagun behatzai-learen sisteman beti dugula s = 0 eta sµ⊥ = (0, s) abiaduraren osagaiak konstanteak dire-

la behatzailearen oinarri ortonormalean (adibidez, ardatz baten norabidea definitzeko erabiltzenduen giroskopioaren momentu angeluarra da sµ). Laborategian, (1.9) transformazioaren arabera

sµ =

γ β · s, s + γ −1β2 β · sβ

dugu, behatzailearen abiadura cβ denean. Erabili 1.14 problema-

ko Fermi eta Walkerren garraioa, laborategiaren oinarrian hauxe dugula frogatzeko (puntu baterabiltzen dugu behatzailearen τ denbora propioarekiko deribatua adierazteko):

ṡ = ωT × s, ωT ≡ −γ − 1β 2

β × β̇.

(Ikus, gainera, [162].)

1.18T Minkowskiren indarra. Newtonen bigarren legearen orokorpen erlatibista honela idaztenda:

F µ = dpµ

dτ , (1.140)

non pµ eta τ partikularen momentu lineala eta denbora propioa diren. Aurkitu zein den F i osagaiespazialaren eta ohiko dpi/dt deribatuaren arteko erlazioa Zer da F 0? Zer gertatzen aldiuneko

1.9 Problemak 33


55/301

1.21∗ Suziri erlatibista. Suziri erlatibista baten motorrak igortzen duen gasaren (hiru dimentsio-

ko) abiadura eskalarra beti da w (suziriaren sisteman). Hasieran, denbora propioa τ = 0 zenean,Lurraren sisteman geldi zegoen eta suziriaren pausaguneko masa m0 zen. τ unean masa m(τ ) daeta (τ, τ + dτ ) tartean igorritako gasen pausaguneko masa dmg.(a) Idatzi, (grabitazioa arbuiatuz), momentu linealaren kontserbazioaren ekuazio kobariantea.(b) Kalkulatu azken horren eta suziriaren uµ abiaduraren arteko kontrakzioa, dm eta dmg alda-keten arteko erlazioa aurkitzeko.(c) Kalkulatu gasen abiaduraren ugµuµg karratua ondokoa ondorioztatzeko:

̇uµ u̇µ = −w ṁ

m,

non puntuak denbora propioarekiko deribatua adierazten duen.(d) Integratu ekuazio hori, higidura zuzenaren kasuan, m aurkitzeko, Lurrean neurtutako (hirudimentsioko) abiadura eskalarra v denean.(e) Zein da v abiaduraren balio maximoa? Noiz lortzen da? Iruzkina egin emaitzari.

(f) Zer gertatzen da m(v) erlazioarekin w → c limitean?(g) Eta abiadura guztiak ez-erlatibistak badira?(h) Nola aukeratu behar da w abiadura, v ezagun bat ahalik masa gutxien erabiliz lortzeko?

1.22∗ Keplerren problema erlatibista. Azter dezagun V = −k/r energia potentzialean higitzenari den partikula erlatibistaren higidura laua.(a) Erabili energiaren eta momentu angeluarraren kontserbazio-legeak orbitaren ϕ(r) ekuazioaintegral baten funtzioan idazteko.(b) Egin integralean u = 1/r aldagai-aldaketa eta egiaztatu honela idazten dela orbitaren ekua-zioa, bi kasu desberdinetan:

r =

p

1 + ǫ cosh µ (ϕ − ϕ0) , p

1 + ǫ cos µ (ϕ − ϕ0) .

(c) Kalkulatu, kasu eta hurbilketa egokietan, planeten perihelioaren prezesioa erlatibitate bere-zian.(d) Aplikatu emaitzak Merkurioren perihelioaren aurreratzearen kasuan eta erkatu erlatibitateorokorraren emaitzarekin (ikus 5.4.2 atala).Oharrak: Ondoko helbidean aurki daitezke Merkurioren datuak:



56/301

1.26 S ′ erreferentzia-sistema cβ abiadura konstantez higitzen ari da S sistema inertzialean. Fro-

gatu honela transformatzen direla eremu elektromagnetikoaren osagai paraleloak (E, B β)eta perpendikularrak (E⊥, B⊥ ⊥ β):

E′ = E, E′⊥ = γ (E⊥ + β ×B⊥) ,

B′ = B, B′⊥ = γ (B⊥ − β ×E⊥) ,

non Lorentzen γ

≡(1

−β2)−1/2 faktorea erabili den. Idatzi emaitzak era honetan:

E′ = γ E− γ 2

1 + γ (β · E)β + γ β ×B,

B′ = γ B− γ 2

1 + γ (β ·B)β − γ β × E.

1.27T Potentzial elektromagnetikoa. Φ potentzial elektriko eskalarra eta A potentzial bektoria-

la biltzen dituen Aµ ≡ (Φ,A) bektorearen bidez, honela kalkulatzen da eremu elektromagneti-koa:F µν = Aν,µ − Aµ,ν .

(a) Frogatu hortik ohiko erlazioak berreskuratzen direla:

E = −∇Φ − 1c

∂ A

∂t , B = ∇ ×A.

(b) Egiaztatu (1.101) ekuazioa identikoki betetzen dela Aµ guztiekin eta (1.102) delakoa ondokoekuazioaren soluzioekin22:

Aν,µν − Aµ,ν ν = 4π

c J µ.

(c) Gauge transformazio batean honela aldatzen da potentziala:

Aµ

−→ Ãµ = Aµ + Λ,µ,

non Λ eremu eskalarra edonolakoa izan daitekeen. Egiaztatu horrelako transformazio batek ezduela F µν eremu elektromagnetikoa aldatzen. Nola idazten da gauge transformazioa hiru dimen-tsioko formalismoan?(d) Lorenzen gaugean

1.9 Problemak 35


57/301

(f) Bakarra al da potentzial elektromagnetikoa Lorenzen gaugean?

(g) Egiaztatu hutsean, eta Lorenzen gaugean, 2 Aµ = 0 uhin-ekuazio homogeneoaren soluzioenartean uhin elektromagnetiko lauak daudela:

Aµ = C µeikρxρ ,

non C µ bektorea konstantea den eta kµ uhin-bektorea nulua eta zeharkakoa:

kµkµ = 0, kµC

µ = kµAµ = 0.

Zer esan nahi du kµ bektorea nulua izateak?

1.28 Partikula kargatuaren lagrangearra. Partikula baten masa m da, karga e eta unibertso-le-rroa σ parametroaren funtzioan emandako xµ(σ). Potentzial elektromagnetikoa Aµ bada, honelaidazten da partikularen lagrangearra:

L = −mc −ηµν ẋµẋν + e

c Aµ ẋ

µ

, ẋ

µ

≡ dxµ

dσ .

Erabili Euler eta Lagrangeren ekuazioak,

d

dσ

∂L

∂ ẋµ − ∂L

∂xµ = 0,

eta denbora propioaren definizioa,

cdτ = −ηµν dxµ dxν = −ηµν ẋµẋν dσ,

(1.93) higidura-ekuazioa berreskuratzeko.Zein da lagrangearraren hurbilketa ez-erlatibista?

1.29 Levi-Civitaren tentsorea. εµνρσ tentsorea alternatua (hau da, azpiindize bikote bakoitzare-kiko antisimetrikoa) da eta erreferentzia-sistema inertzial batean ε0123 = 1 dugu. Frogatu errefe-rentzia-sistema inertzial guztietan hauxe dugula:

εµνρσ = −εµνρσ =

1, {0, 1, 2, 3}-ren permutazio bikoitia bada {µ,ν,ρ,σ};−1, {0, 1, 2, 3}-ren permutazio bakoitia bada {µ,ν,ρ,σ};

0, bestela.



58/301

1.32T Energia-momentuaren tentsore elektromagnetikoaren aztarna. Kalkulatu (1.108) ten-

tsorearen T µµ kontrakzioa.

1.33 Energia-baldintza ahula. T µν energia-momentuaren tentsore batek energia-baldintza ahu-la betetzen duela esaten da, denbora motako vµ bektore guztietarako hauxe dugunean:

T µν vµvν ≥ 0, (vµvµ


59/301

Egiaztatu hemendik ere ekuazio newtondarra berreskuratzen dela, baina orain masa konstantea

dela.(c) Defini dezagun σ ≡ τ /m. Egiaztatu pµ = dxµ/dσ dela eta aurkitu dagokion higidura-ekua-zioa, τ -ren ordez σ erabiliz.(d) Fotoien higidura-ekuazioa kalkulatzeko, egin τ , m → 0 limite bikoitza, σ = τ /m konstantemantenduz.(e) Frogatu geratzen den ekuazioaren higidura-konstantea dela eΦ/c

2 pµ magnitudea. Horrek esan

nahi du teleskopioan, non Eguzkiaren Φ potentziala arbuiagarria den, fotoiaren norabidea berdina

izango dela eklipsearekin eta eklipserik gabe: teoria hau ere onartezina da (ikus 5.3.2 atala).



60/301


61/301

2. GAIA

Baliokidetasunaren printzipioa

Geometria diferentzialaren tresnen beharra ikusteko, baliokidetasunaren printzipioa eta er-latibitate berezia erabiliko dira gai honetan. Biak daude erlatibitate orokorraren oinarrian etanahikoak dira esperimentuetan egiaztatu diren ondorio fisiko berriak aurkitzeko.

2.1 Eötvösen esperimentua

Newtonen fisikan hiru leku desberdinetan agertzen da masa: indar osoaren eta azelerazioarenarteko proportzionaltasun-konstantetzat Newtonen bigarren legean eta bi aldiz grabitazio uniber-tsalaren legean. Izan ere, Lurraren eremu grabitatorioan erortzen ari den partikula baten higidu-ra-ekuazioa honela idatz daiteke:

miẍ = −GM ⊕mg|x|3 x. (2.1)Lurraren M ⊕ masa, masa grabitatorio aktiboa dela esan dezakegu, erakarpenaren jatorrian bai-tago. Bestalde, partikularen bi masa idatzi ditugu: bigarren legetik datorren mi masa inertzialaeta grabitazio unibertsalaren legean agertzen den mg masa grabitatorio pasiboa, erakarpenapairatzen duena. Hemen ez gara masa grabitatorio aktiboaz arduratuko (geroago ikusiko dugunola sortzen duten grabitazioa masak eta energiak) eta, laburtzeko, masa grabitatorio pasiboa-

ri masa grabitatorioa esango diogu. Azken hau eta inertziala proportzionalak direla (eta, beraz,berdinak unitateak ondo aukeratzen badira) uste zuten Newtonek eta ondorengo fisikariek (eta ba-dago, nolabait, Galileoren esperimentuetan): pisua ez da partikularen izaeraren menpekoa, masa(inertzial) osoarekiko proportzionala baizik.

Hipotesi hau egiaztatzeko bihurdura balantza bat erabili zuen Eötvösek 1885etik aurrera

40 2 Baliokidetasunaren printzipioa


62/301

non λ angelua laborategiaren latitudea den (ikus 2.1 eta 2.2 problemak). Eötvösek aurkitu zuen,

oso zehaztasun handiz, mi/mg zatidura berdina dela zenbait materialetan eta handik hona ma-terial gehiagorekin, bestelako esperimentuetan eta doitasun handiagoekin egiaztatu da emaitzabera. Adibidez, 2.1 irudian laburtzen dira emaitza batzuk1, erorketa askean ari diren izaera des-berdineko bi gorputzen azelerazioen arteko diferentzia proportzionala neurtzen duen Eötvös za-tidura erabiliz:

η ≡ 2 a1 − a2a1 + a2 = 2

m1gm1i

− m2gm2i

m1g

m1i +

m2g

m2i

. (2.4)

2.1 IRUDIA Baliokidetasunaren printzipio ahularen egiaztapen esperimentalak [284, 285].

Baliokidetasunaren printzipio ahula

Masa inertzialaren eta grabitatorioaren arteko erlazioa ez da gorputzaren

izaeraren edo barne-egituraren menpekoa.

Postulatu honen ondorioz, bestelako indarrik pairatzen ez duen gorputz baten ibilbidea ere-bi i b d i k H ik k t k

2.3 Rindlerren metrika 41


63/301

Alderantziz, gorputz guztietatik oso urrun badago, igogailuan ez da benetako erakarpen gra-

bitatoriorik pairatuko; baina g i azelerazio propio konstantez higitzen bada, −g i eremu grabita-torio artifiziala pairatuko du (geroago frogatuko dugunez, erlatibitatean ez da guztiz homogeneoaizango).

Azter dezagun behatzaile azeleratu horren higidura.

grabitazioa eta kosmologia

Documents