Inst. für Theoretische Physik Vektordifferentialoperatoren (kartesisch) 30. April 2010

Die Vektordifferenzialoperatoren „grad“ „div “ „rot“

und der Nabla-Operator−→∇

Der Nabla-Operator−→∇ ist ein Vektordifferenzial-Operator, der aus drei Komponenten be-

steht, die selbst Differenzialoperatoren sind. In kartesischen Koordinaten ist er definiert:

−→∇ = ~ex

∂

∂x+ ~ey

∂

∂y+ ~ez

∂

∂z≡(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)T

=

∂

∂x∂

∂y∂

∂z

1. Der Gradient ist die Anwendung des

−→∇-Operators auf ein Skalarfeld U(~r) (Poten-

zial). Er bildet die Richtungsableitung von diesem und weist so in Richtung stärkstenWachstums des Potenzials. Er ist ein Vektor der senkrecht zu den Äquipotenzial-flächen steht.

grad U(~r) =−→∇ U(~r) =

(∂U

∂x,∂U

∂y,∂U

∂z

)T

; grad U(~r) ⊥ U(~r) = const

2. Die Divergenz ist die Anwendung des−→∇-Operators auf ein Vektorfeld ~A(~r) (Vek-

torpotenzial) im Sinne eines Skalarproduktes. Sie ergibt für ~A(~r) die Quellendichte,das ist ein Skalarfeld, > 0 in echten Quellpunkten und < 0 in Senken von ~A(~r).

div ~A(~r) =−→∇ · ~A(~r) =

∂Ax

∂x+∂Ay

∂y+∂Az

∂z

3. DieRotation ist die Anwendung des−→∇-Operators auf ein Vektorfeld ~F (~r) im Sinne

eines Vektorproduktes. Sie ergibt für ~F (~r) die Wirbeldichte, das ist ein Vektorfeldmit Richtung der Drehachse des lokalen Wirbels von ~F (~r).

rot ~F (~r) =−→∇ × ~F (~r) =

∂Fz

∂y− ∂Fy

∂z∂Fx

∂z− ∂Fz

∂x∂Fy

∂x− ∂Fx

∂y

=

~ex ~ey ~ez

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

Fx Fy Fz

Merk-Formeln

grad r =~r

r! div ~r = 3 ! rot ~r = ~0 ! grad (~a·~r) =

−→∇(~a·~r) = ~a ! (~a·

−→∇) ~r = ~a

divgrad U = ∆U =∂2U

∂x2+∂2U

∂y2+∂2U

∂z2! der Laplace-Operator

rotgrad U = 0 ! divrot ~A = ~0

Gauß’scher Integral-Satz∮∂V

~A · d~S =

∫V

div ~A dV

Stokes’scher Integral-Satz∮∂S

~A · d~r =

∫S

rot ~A · d~S

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Beispiele

Potenzial Gradient Divergenz

U(~r) grad U(~r) divgrad U(~r) = ∆ U(~r)

r =√x2 + y2 + z2

~r

r=

1

r(x y z)

2

rr2 2~r 6

γmM

r−γmM

r3~r 0

f(r) f ′(r)~r

r

2f ′(r)

r+ f ′′(r)

~a · ~r ~a 0f(~a · ~r) f ′(~a · ~r) · ~a f ′′(~a · ~r)a2

−m~g · ~r −m~g 0(~a× ~r)2 2(~a× ~r)× ~a 4a2

Kraftfeld Divergenz Rotation

~F (~r) div ~F (~r) rot ~F (~r)

α ~r 3 α ~0

γmM

r3~r 0 ~0

1

2(~ω × ~r) 0 ~ω

~a 0 ~0

~a(~a · ~r) a2 ~0

(~a · ~r)~r 4(~a · ~r) ~a× ~r

Aufgaben

1. Bestimmen Sie zu folgenden Potenzialen die zugehörigen Kraftfelder!Die Größen ~a,m,~g sind Konstanten, eine Funktion f() sei differenzierbar.

U1(~r) = r = |~r| U2(~r) = r2

U3(~r) =1

rU4(~r) = f(r)

U5(~r) = ~a · ~r U6(~r) = −m ~g · ~rU7(~r) = f(~a · ~r) U8(~r) = (~a× ~r)2

2. Bestimmen Sie für folgende Kraftfelder die Quellendichte und finden Sie wo es exi-stiert ein zugehöriges Potenzial! Die Größen α, γ, ~ω und ~a sind Konstanten.~F1 = α · ~r ~F2 =

γ ~r

r3

~F3 =1

2(~ω × ~r) ~F4 = ~a

~F5 = (~a · ~r) · ~r

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Produktregeln für den−→∇-Operator

grad(U V ) =−→∇(U V ) = U

−→∇V + V

−→∇U = U grad V + V grad U

div(U ~A) =−→∇ · (U ~A) = U

−→∇ · ~A+ ~A ·

−→∇U = U div ~A+ ~A · grad U

rot(U ~A) =−→∇ × (U ~A) = U

−→∇ × ~A− ~A×

−→∇U = U rot ~A− ~A× gradU

div( ~A× ~B) =−→∇ · ( ~A× ~B) = ~B ·

−→∇ × ~A− ~A ·

−→∇ × ~B = ~B · rot ~A− ~A · rot ~B

rot( ~A× ~B) = ~A · div ~B − ~B · div ~A+ ( ~B ·−→∇) ~A− ( ~A ·

−→∇) ~B

grad( ~A · ~B) = ~A× rot ~B + ~B × rotA+ ( ~B ·−→∇) ~A+ ( ~A ·

−→∇) ~B

„Quadrate“ des Nabla-Operators (Operatoren 2. Ordnung)

divgrad U = (−→∇ ·−→∇) U = ∆ U der Laplace-Operator − ein skalarer Operator

graddiv ~A =−→∇(−→∇ · ~A) im Ergebnis ein Vektorfeld

rotgrad U = (−→∇×−→∇) U (= ~0 Wirbelfreiheit ist Bedingung für ein skalares Potenzial!)

divrot ~A =−→∇ ·(−→∇× ~A) (= 0 Quellenfreiheit ist Bedingung für ein Vektorpotenzial!)

rotrot ~A =−→∇ × (

−→∇ × ~A) = graddiv ~A−∆ ~A

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