graficas con diferente tipos de papel(milimetrico log-log, semilog)
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como interpretar y hacer gráficas en 3 tipos de papelTRANSCRIPT
ANÁLISIS DE GRAFICAS
Gabriel Díaz, Fabián Tapia, Oscar Yepez.
Laboratorio de Datos y Señales; Departamento de Física,
Universidad del Cauca, Popayán.
17 de noviembre de 2009
Presentado a: Mag. Carlos Felipe Ordoñez.
RESUMEN:
En el laboratorio de datos se
realizaron graficas en papel
milimetrado, semilogaritmico y log-
log, para aprender a realizar análisis
de grafica, como encontrar la
ecuación de la recta a partir de la
grafica. Los resultados nos indican
que en algunos casos el necesario un
tratamiento adicional de estos datos
graficados para poder obtener una
recta perfecta.
INTRODUCCIÓN:
Una grafica es la representación de
datos, mediante líneas, superficies o
símbolos, para ver la relación que
estos datos guardan entre sí.
También pueden ser un conjunto de
puntos, que se plasman en
coordenadas cartesianas, y sirven
para analizar el comportamiento de
un proceso, o un conjunto de
elementos o signos que permiten la
interpretación de un fenómeno.
La mayoría de las veces en el
desarrollo del trabajo experimental,
se encuentra que las cantidades
físicas involucradas en el estudio no
son independientes sino que están
relacionadas entre sí. Esto significa
que al variar una de las cantidades, la
otra también cambia.
Para visualizar la dependencia
funcional de una cantidad física
respecto a otra se suelen graficar. De
esos gráficos podemos hallar
información cuantitativa importante
que podría ser usada para verificar
una teoría o para proponer otra. Otras
veces estas relaciones se utilizan
simplemente para visualizar un
comportamiento.
Para obtener la relación entre dos
variables experimentales se utilizan
diversos tipos de pape (milimetrado,
semilogaritmico y log-log). La idea
fundamental es de lograr en cada
caso una línea recta.
Gráficas lineales
Si la gráfica de los puntos
experimentales en papel milimetrado
sugieren a simple vista que están
relacionados por una función lineal (y
= mx + b), con y en las ordenadas y x
en las abscisas, podemos predecir
una línea recta de pendiente m, y
punto de corte con las ordenadas b.
La pendiente de la mejor recta,
obtenida por el método visual, se
calcula mediante dos puntos de esa
recta: (y1,x1) e (y2,x2), mediante la
ecuación:
m = (y2- y1) / (x2- x1 ),
Mientras que b es el valor de la
ordenada cuando la abscisa vale
cero.
Muchas veces ocurre que al graficar
los puntos experimentales en papel
milimetrado se nota que no están
relacionados por una línea recta. Si
sospechamos que la relación es
exponencial, es conveniente graficar
el logaritmo en base 10 de y en
función de x. Al tomar el logaritmo en
base 10 a ambos lados de la relación
exponencial
y = b eax obtenemos:
Log y = log (b eax ) = log b + (log e)
ax.
Siendo Y = log y, se puede escribir
que:
Y = B + Ax
Con B = log b y A = (log e) a.
Entonces, al graficar Y en función de
x en papel milimetrado, nos dará una
línea recta de pendiente A, la cual
podemos calcular mediante:
A = (Y2- Y1)/ (x2- x1 )
A= (Log y2 - Log y1) / (x2- x1 )
Para no calcular logaritmos se usa el
papel semilogarítmico. El fabricante
coloca en la ordenada el logaritmo en
base 10 de los números que muestra.
Para graficar en las ordenadas
simplemente debemos poner el valor
directamente y el papel lo traduce a
logaritmo en base 10.
OBJETIVO GENERAL:
Desarrollar y elaborar graficas
lineales en papel milimetrado,
semilogaritmico y log-log con
el fin de analizar y encontrar
su respectiva ecuación lineal,
pendiente e intercepto.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Observar e interpretar los
gráficos obtenidos en el papel
milimetrado, semilogaritmico,
log-log.
Determinar las ecuaciones
lineales de las diferentes
graficas obtenidas.
Desarrollar y discutir las
diferencias de los gráficos
obtenidos en los distintos
papeles, milimetrados,
semilogaritmico y log-log.
Desarrollar los ejercicios
propuestos para poder analizar
los beneficios en dichos
papeles.
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
El estudio se realizo usando varios
papeles, para graficar medidas, los
cuales eran:
Papel milimetrado.
Papel semilogaritmico.
Papel Log-Log.
Los diferentes papeles utilizados se
los aprecia en la figura1.
Papel milimetrado
Papel semiilogaritmico
Papel Log-Log
Figura1: Papeles para ubicar los
datos.
El papel milimetrado se lo uso para
graficar las tres tablas de datos
propuestas, con el fin de observar la
tendencia de la recta y así poder
hacer el cambio de variable, si es
necesario. En total se realizaron 5
graficas, 3 en papel milimetrado, 1 en
papel semilogaritmico y 1 en papel
Log-Log.
RESULTADOS Y DISCUSION
Procedimiento 1: Grafica de los
datos de velocidad y tiempo.
Los datos medidos se presentan en la
tabla1, en los que la velocidad V es
tomada en metros por segundo, y el
tiempo T es tomada en segundos.
V(m/s) T(s)
2.3 m/s 1.0 s
3.2 m/s 1.9 s
3.9 m/s 2.6 s
4.6 m/s 3.4 s
5.3 m/s 4.1 s
5.9 m/s 4.9 s
Tabla1: Datos de V y T.
Una vez analizados los datos se
determino que la velocidad V, se
ubicara en el eje de ordenadas
(vertical) y por consiguiente va ha ser
dependiente del tiempo T; y el tiempo
T, se lo ubicar en el eje de abscisas
(horizontal) y va hacer el valor
independiente.
Se prosiguió a elaborar la respectiva
grafica en el papel milimetrado, esta
se la presenta en la grafica1 (ver
anexos). Una vez hecho esto se
realizó los respectivos cálculos para
encontrar la ecuación lineal,
pendiente e intercepto.
Ecuación de la grafica:
Se tiene que la ecuación de una recta
es V=mT + b, donde m es la
pendiente y b es el intercepto con el
eje de ordenadas (V), cuando el eje
de abscisas (T) es igual a cero (0).
Realizando los distintos cálculos,
tomando puntos de nuestra grafica,
se obtuvo que para V en función de
T, la ecuación es:
V = 0.9T +1.4
Valor de la pendiente y su
significado físico:
El valor de la pendiente se obtiene de
tomar dos puntos de la recta y se
resuelve la siguiente fórmula:
m=∆V∆T
Remplazando puntos tomados de la
grafica obtenemos que el valor de la
pendiente:
m=0.9
El significado físico de la pendiente
de la grafica, es que esta sería la
aceleración a, esto se deduce de que
como la pendiente m, es una división
entre V y T; las dimensiones de V son
m/s y las da T es s, así pues al
dividirlas se obtendrá m/s2, y por
defecto esa es la dimensión de la
aceleración a.
Valor del intercepto y su
significado físico:
El intercepto se lo puede obtener
directamente de la grafica o por
cálculos, en este caso la ecuación
para hallar el intercepto es: V-mT= b.
Reemplazando los respectivos datos
se obtiene el valor del intercepto:
b= 1.4
El significado físico del intercepto de
la grafica, nos dice que este es la
velocidad inicial con que se empieza,
y posteriormente en el incremento del
tiempo T la velocidad no disminuirá
de 1.4, ya que la grafica en lineal.
Otras conclusiones de la grafica:
1. Se observa en la grafica, da
como resultado una recta
perfecta al trazarla en papel
milimetrado.
2. No es necesario hacer cambio
de variables y graficar en otro
tipo de papel, ya que en la
grafica se puede analizar
perfectamente por no ser una
curva.
3. No todos los puntos ubicados
en el papel milimetrado pasan
por el trazo de la recta, pero a
su vez la distancia entre estos
y el trazo es mínima. en la
grafica se observa que no
pasan por el trazo de la recta 3
puntos.
Discusión procedimiento 1
El hecho de graficar en papel
milimetrado, quiere decir que el trazo
de la recta nos dará mucho mejor que
al trazarla en un papel normal, ya que
en el papel milimetrado se tienen
puntos que son muy precisos,
haciendo que el error humano sea
mínimo.
Los valores experimentales
presentados en la tabla1, son los
puntos con los cuales podre analizar
mi grafica, estos datos tienen una
incertidumbre de ±0.1, tanto para V y
para T, en donde V es dependiente, y
esta dado en m/s; y T es
independiente, y esta dado en s.
El visual de la grafica1 (ver anexos)
permite deducir si es necesario
cambiar variables y graficar en otro
tipo de papel, también se observa
que nos da como resultado una recta
perfecta, lo que significa que se
puede analizarla sin cambiar
variables, ni graficar en otro papel
diferente. La grafica nos da como
resultado un movimiento uniforme.
Con respecto a la ecuación se tiene
V= 0,9T+1.4, en donde se interpreta
que el grado de inclinación es 0,9(m),
que también se interpreta como la
aceleración a, se puede decir que la
recta no estará muy inclinada hacia el
eje de las ordenadas. El intercepto
es de 1.4, lo que significa que se
empezó en esta posición cuando el
experimentador empezó a contar el
T, esto nos dice que las velocidades
siguiente serán mayores que 1.4, lo
que hace que la recta sea
proporcional tanto para V y para T.
Procedimiento 2: Grafica de los
datos de X y Y.
Los datos medidos se presentan en la
tabla 2. Donde se presentan las
variables X y Y.
Los datos no presentan unidades de
medida. Por defecto el eje de las
ordenadas es llamado Y, por lo que
se ubico aquí nuestra Y, que va ser
dependiente, y a nuestra X, en el eje
de las abscisas y va ser
independiente.
Tabla 2: Datos de Y y X.
Primero se procedió a realizar la
respectiva grafica en el papel
milimetrado, la cual se aprecia en la
grafica2 (ver anexos). Al ver que la
grafica nos da como resultado una
curva y para poder analizarla más
fácilmente, se procedió a elaborar la
grafica en papel semilogaritmico, esta
grafica se la presenta en la grafica2.1
(ver anexos), con el fin de hacer el
cambio a la variable Y, ya que sus
datos están muy alejados unos con
otros; el cambio se lo realizo al
presentar la variable Y en logaritmos,
y la variable X normalmente.
Y X
150 3.1
240 6.5
502 18.2
1090 26.5
2050 42.5
3700 47.5
6201 53.3
6850 56.1
9980 58.5
Una vez hecho las graficas se
procedió hacer los respectivos
cálculos para encontrar la ecuación
de la recta, la pendiente y el
intercepto.
Ecuación de la grafica en papel
semilogaritmico:
Para poder encontrar la ecuación de
la grafica en este papel se utilizo la
ecuación: log(Y)= mX + log(b), donde
m es la pendiente y log(b) es el
intercepto. Tomando puntos de
nuestra grafica en el papel
semilogaritmico, se tuvo que para Y
en función de X, la ecuación es:
Log(Y)= 0.03X + 2.08
Valor de la pendiente:
El valor de la pendiente se obtiene
utilizando la siguiente fórmula:
m=∆ log (Y )∆ X
Reemplazando puntos tomados de la
grafica tenemos que:
m= 0.03
Valor del intercepto:
El intercepto se lo puede obtener
directamente de la grafica o por
cálculos, en este caso la ecuación
para hallar el intercepto es:
log(Y)-mx=log( b).
Reemplazando los respectivos datos
se obtiene el valor del intercepto:
Log(b)=2.08
Calculo de m en 5 puntos de la
grafica en papel milimetrado:
Para calcular dichas pendientes utilizamos la siguiente ecuación
m= ∆Y∆ X
, ya que para el papel
milimetrado se utiliza dicha fórmula.
Los resultados se presentan en la tabla de a continuación:
Puntos Pendiente
(3.1,150) (6.5,240) 26.5
(3.1,150) (58.5,9980) 117.4
(42.5,2050) (47.5,3700) 330
(18.2,502) (56.1,6850) 167.5
(26.5,1090) (53.3,6201) 190.7
Discusión procedimiento 2
Al observar la grafica en el papel
milimetrado, nos da como resultado
una curva, esto hace que sea difícil
analizarlo, por lo que se recurre a
cambiar la variable Y, ya que los
datos de esta variable están muy
separados. Así pues se paso a
elaborar la grafica en papel
semilogaritmico, donde nos resulto
una recta. El hecho de pasar de
graficar en papel milimetrado a
semilogaritmico nos dice que se
necesita trabajar con potencias de 10
en el eje de las ordenadas, para así
poder obtener cálculos y análisis más
precisos.
Los valores experimentales
presentados en la tabla2, son los
puntos con los cuales podre analizar
mi grafica, los datos de X tienen una
incertidumbre de ±0.1, y los daos de
Y tienen una incertidumbre de ±1,
donde Y es dependiente y X es
independiente.
El visual de la grafica2.1 (ver
anexos) permite deducir que ahora la
grafica paso de ser curva a ser recta
lo que significa que no es necesario
graficar en otro tipo de papel. En la
recta se observa que varios puntos
no pasan por esta, pero es muy
mínima la distancia entre los datos y
el trazo de la recta, esto se debe a
que los datos varían mucho y no es
constante el cambio de magnitud de
un dato a otro, esto se puede apreciar
en la grafica en el papel milimetrado,
la grafica no es una curva perfecta,
sino que tiene varias partes que
desvían la curva para que pueda ser
curva perfecta; por defecto algunos
puntos en el papel semilogaritmico no
pasaran por la recta, pero esto se
puede apreciar como recta.
Con respecto a la ecuación:
log(Y)=0.03X+2.08, se puede decir
que la medida de inclinación con
respecto a la horizontal es de 0.03
(pendiente). El intercepto es de 2.08,
pero esto equivale a tener log(b),
entonces se procede a pasar log(b) a
b por medio de log naturales, el
cálculo seria:
Log(b)=2.08
b= 102.08
b=120.2
lo que significa que en el papel
semilogaritmico se empezó desde
120.2, que se ratifica al observar en
la grafica2.1; entonces este es la
posición donde comienza, cuando el
experimentador empezó a contar x=0,
y por consiguiente los siguientes
puntos serán mayores que 120.2.
El hecho de calcular varias
pendientes de la grafica2 en el papel
milimetrado nos dice que en una
curva se obtendrá diferentes
pendientes, porque la recta tangente
es diferente en cada punto; por
consiguiente para tener un pendiente
relativamente fija, se necesita
encontrarla con los puntos en la
grafica del papel semilogaritmico.
Procedimiento 3 Grafica de los
datos de X y Y.
Los datos medidos se presentan en la
tabla 3. Donde se presentan las
variables X y Y.
Los datos no presentan unidades de
medida. Por defecto el eje de las
ordenadas es llamado Y, por lo que
se ubico aquí nuestra Y, que va ser
dependiente, y a nuestra X, en el eje
de las abscisas y va ser
independiente.
X Y
1.1 500
1.5 400
2.1 290
4.2 166
5.5 125
7.0 108
10.1 70
10.5 57
25.5 34
36.1 29.2
54.2 18
80.1 14
Tabla 3: datos de X y Y.
Se procedió a realizar la respectiva
grafica en el papel milimetrado, la
cual se aprecia en la grafica3 (ver
anexos). Al ver que la grafica nos da
como resultado una curva y para
poder analizarla más fácilmente, se
procedió a elaborar la grafica en
papel Log-Log esta grafica se la
presenta en la grafica3.1 (ver
anexos), con el fin de hacer el cambio
a la variable Y y X, ya que los datos
de Y van descendiendo y los datos de
x van ascendiendo, el cambio se lo
realizo en ambas variables a
potencias de 10.
Una vez hecho las graficas se
procedió hacer los respectivos
cálculos para encontrar la ecuación
de la recta, la pendiente y el
intercepto.
Ecuación de la grafica en papel
Log-Log:
Para poder encontrar la ecuación de
la grafica en este papel se utilizo la
ecuación: L(Y)= mLog(X) + Log(b),
donde m es la pendiente y log(b) es
el intercepto. Tomando puntos de
nuestra grafica en el papel Log-Log,
se tuvo que para Y en función de X,
la ecuación es:
Log(Y)=-0.8Log(X)+ 2.7
Valor de la pendiente:
El valor de la pendiente se obtiene
utilizando la siguiente fórmula:
m=∆ log (Y )∆ log (X )
Reemplazando puntos tomados de la
grafica tenemos que:
m= -0.8
Valor del intercepto:
El intercepto se lo puede obtener
directamente de la grafica o por
cálculos, en este caso la ecuación
para hallar el intercepto es:
log(Y)-mlog(x)=log( b).
Reemplazando los respectivos datos
se obtiene el valor del intercepto:
Log(b)=2.74
Calculo de m en 5 puntos de la
grafica en papel milimetrado:
Para calcular dichas pendientes utilizamos la siguiente ecuación
m= ∆Y∆ X
, ya que para el papel
milimetrado se utiliza dicha fórmula.
Los resultados se presentan en la tabla de a continuación:
Puntos Pendiente
(1.1,500) (1.5,400) -250
(1.1,500) (80.1,14) -6.5
(4.2,166) (10.5, 57) -17.3
(54.2,18) (80.1,14) -0.2
(5.5,125) (7.0,108) -11.3
Discusión procedimiento 3
Al igual que con la grafica2 se
observa que esta grafica en papel
milimetrado tiende a ser curva, por lo
que se recurre a graficarla en papel
Log-Log, porque las 2 variables son
inversamente proporcionales y
además sus magnitudes no son tan
constantes para que se pueda
graficar una recta. Al graficarla en el
papel Log-Log , el cual trabaja con
potencia de 10 en los 2 ejes; se tiene
una grafica de una recta.
Los valores experimentales
presentados en la tabla3, son los
puntos con los cuales podremos
analizar la grafica, los datos de X
tienen una incertidumbre de ±0.1, y
los daos de Y tienen una
incertidumbre en promedio de ±1,
donde Y es dependiente y X es
independiente.
El visual de la grafica3.1 (ver
anexos) permite deducir que al
graficar en papel milimetrado y
semilogaritmico, la grafica continuo
siendo curva por lo que se necesito
graficarla en papel Log-Log, en donde
se observo que la grafica resulto una
recta. Algunos puntos no pasan por el
trazo de la recta, pero como ya se
dijo antes es mínima la distancia
entre estos. En total no pasan por el
trazo de la recta 6 puntos.
Con respecto a la ecuación:
log(Y)=-0.8log(X)+2.7, se puede decir
que la medida de inclinación con
respecto a la horizontal es de -0.8
(pendiente). El intercepto es de 2.7,
pero esto equivale a tener log(b),
entonces se procede a pasar log(b) a
b por medio de log naturales, el
cálculo seria:
Log(b)=2.7
b= 102.7
b=501.18
Lo que significa que en el papel Log-
Log se empezó desde 501.18, que se
ratifica al observar en la grafica3.1,
aunque se aprecia en la grafica que
el intercepto pasa por 538, pero como
las medidas no son del todo exactas,
se puede tomar el valor de 501.18
como valido. Entonces 501.18 es la
posición donde comienza, cuando el
experimentador empezó a contar x=0,
y por consiguiente los siguientes
puntos serán mayores que 501.18.
Al calcular varias pendientes de la
grafica3 en el papel milimetrado se
obtendrá diferentes pendientes, ya
que es una curva, porque la recta
tangente es diferente en cada punto;
por consiguiente para tener un
pendiente relativamente fija, se
necesita encontrarla con los puntos
en la grafica del papel Log-Log, en
donde se observa y analiza con más
precisión la grafica obtenida.
CONCLUSIONES
Se logro elaborar graficas, con
datos propuestos, en diferentes
tipos de papel: papel milimetrado,
papel semilogaritmico y Log-Log.
se dedujo que cuando una grafica
da como resultado una curva, es
necesario cambiar las variables
del o de los ejes según la
tendencia de los datos, con el fin
de que se convierta de curva a
recta y así poder analizarla mejor;
para el cambio de variables se
necesita pasarla a potencias de
10.
Se concluyo que para graficar en
papel milimetrado,
semilogaritmico, Log-Log, no es
necesario hacer ningún ajuste a
los datos, sino ubicar los puntos
en estos papeles normalmente.
Se pudo calcular la ecuación
lineal, pendiente e intercepto, para
cada una de las graficas.
Se puede concluir que para una
ecuación lineal, la pendiente es la
inclinación de la recta con la
horizontal, el intercepto es la
posición en que se empieza,
cuando el eje de las abscisas es
cero (0).
Otra conclusión es que al ubicar
los puntos de la grafica y trazar la
recta, no todos los puntos van a
ser pasados por el trazo de esta,
pero al ser mínima la distancia
entre estos, se puede considerar
que es una recta.
BIBLIOGRAFIA
Física universitaria; 11°edicion
2008.
Microsoft Encarta 2008
http://ws.wikipedia.org/wiki