GRÁFICAS Y FUNCIONES.

SISTEMAS DE COORDENADAS: en Física se ´pueden establecer correspondencias entre los puntos de

una recta, de un plano y del espacio con respecto a los Números Reales. Entre los Sistemas de Coordenadas

tenemos:

a) SISTEMA COORDENADO LINEAL: es un eje horizontal X ' OX , sobre el eje OX se ubican valores

positivos y sobre el OX ' se ubican valores negativos. Se lo denomina también Recta Numérica.

b) SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR: denominado también Plano Cartesiano (en honor a

Descartes, filósofo y matemático francés, que fue el originador de este sistema en su célebre ensayo “La

Géométrie”, 1637) está formado por dos rectas que se cortan en forma Perpendicular dando origen a

cuatro cuadrantes ( I , II , III , IV ) contados en sentido anti horario y cuyo punto de intersección se

denomina Origen.

La recta horizontal se llama Eje de las Abscisas o de las Equis (x ¿, la recta vertical se llama Eje de las

Ordenadas o de las Ye ( y ).

c) SISTEMA COORDENADO ESPACIAL: denominado también Sistema Tridimensional, esta formado

por tres rectas perpendiculares que se cortan entre sí dando origen a Octantes. Para ubicar un punto en el

espacio se requiere de una Terna Ordenada de números ( x , y , z )

XOX '

I V ¿III ¿

II ¿ I ¿

Y

X

O

FUNCIÓN: sean A y B dos conjuntos no vacíos, se llama función de A en B, y se denota f : A⟶ B o

f (x), si a cada elemento del conjunto A le corresponde uno y solamente un elemento del conjunto B.

Por lo general, en una función a la “x” se denomina Variable Independiente y a la variable “y” se

denomina DEPENDIENTE.

Si al trazar rectas verticales sobre una gráfica, éstas cortan en un solo punto, entonces es Función.

Si existe una correspondencia Unívoca (de uno a uno) o de varios a uno, entonces es Función.

La gráfica de una función se la puede representar también en el Plano Cartesiano, para ello se procede a

elaborar una tabla de valores.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN: para graficar cualquier función se debe tomar en cuenta los siguiente:

1. Con los datos obtenidos en el laboratorio se traza un Sistema de Coordenadas, de preferencia utilizar

papel milimetrado.

2. En lo posible el gráfico debe ocupar en el papel un espacio similar para ambos ejes (en forma de

cuadrado).

3. Se ubican los puntos de coordenadas lineales, rectangulares o espaciales, según sea el caso, de tal forma

que la curva de la función obtenida pase por la mayoría de los puntos representados.

4. Aplicando los conocimientos matemáticos determinamos la expresión que relaciona las magnitudes de la

experiencia.

CLASES DE FUNCIONES: algunas de las funciones más importantes que se analizan para representar

gráficamente un fenómeno físico son las siguientes:

X '

YZ'

X

Y '

Z

a) DIRECTAMENTE PROPORCIONAL: es de la forma y=kx, donde k es un valor constante diferente

de cero y se la denomina Constante de Proporcionalidad. Su característica principal es que es una recta

que pasa por el Origen.

La constante de proporcionalidad “k” se obtiene aplicando la fórmula de la función tangente, es decir:

tgθ= Yf −YoXf −Xo

b) CUADRÁTICA: es de la forma y=kx2 . Su característica principal es que es una Parábola.

Para LINEALIZAR una parábola se traza la gráfica y−x2, cuya recta pasa por el origen y a partir de esta

nueva gráfica se obtiene la constante de proporcionalidad “k”

k=tgθ=∆ y∆ x

θ es el ángulode incl inación de

larecta

Y

X

θ

Y

X

c) INVERSAMENTE PROPORCIONAL: es de la forma y= kx

. Su característica principal es que es

una Curva denominada Hipérbola y que no pasa por el Origen.

Para LINEALIZAR una HIPÉRBOLA se obtiene la gráfica y−1x

y se determina el valor de la constante

“k” como en los casos anteriores.

EJEMPLOS:

1. La siguiente tabla contiene valores que corresponden al volumen del oxígeno consumido por una

persona y el tiempo transcurrido:

Volumnen (V) litros 0,69 1,38 2,07 2,76 4,14

Tiempo (t) minutos 5 10 15 20 30

a) Dibujar una gráfica: volumen – tiempo, ¿qué se obtiene?

b) ¿Qué relación se obtiene entre las magnitudes?

c) Calcule la constante de proporcionalidad.

d) Escriba la ecuación que relaciona al volumen con el tiempo.

a)

X

Y

0 5 10 15 20 25 30 350

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

t(min)

V (li

tros

) −𝑉𝑓𝑉𝑜−𝑡𝑓 𝑡𝑜

b) La relación que existe es que el volumen es

directamente proporcional con el tiempo.

c) tgϑ=k=∆ V∆ t

=Vf −Votf −¿

k=(4,14−1,38 ) l(30−10 ) min

k=0,138l

min

d) y=k . x

V=k .t

V=0,138 t

2. En base al siguiente cuadro:

Energía Cinética (Ec ¿

Joules

0 100 400 90

0

1600 2 500

Velocidad (ms ) 0 10 20 30 40 50

a) Dibuje una gráfica Ec−V

b) ¿Qué se obtiene y qué conclusiones se puede plantear?

c) Escriba la ecuación que relaciona Ec conV .

d) Eleve al cuadrado cada valor de la velocidad y dibuje la gráfica Ec−V 2

e) ¿Qué obtuvo y qué conclusión puede establecer?

f) Calcule la constante de proporcionalidad.

a)

0 10 20 30 40 50 600

500

1000

1500

2000

2500

3000

V (m/s)

Ec (J

oule

)

b) Se obtiene una Parábola, por tanto la energía

cinética es directamente proporcional al cuadrado

de la velocidad

c) y=k . x2

Ec=k .V 2

Energía Cinética (Ec ¿ Joules

V 2=(m2

s2 )0 0100 100400 400900 9001600 16002500 2500

d)

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

500

1000

1500

2000

2500

3000

Ec (J

oule

)

V 2=m2

s2

e) Se obtuvo una recta que pasa por el origen, esto

quiere decir que la Energía Cinética es

directamente proporcional con la velocidad al

cuadrado

f) tgϑ=k=∆ Ec

∆ V 2 =Ec f −Ec o

Vf 2−Vo2

k=(2 500−400 ) J

(2500−400 ) m2

s2

k=0,138J

m2

s2

REFUERZO

1. Con los datos del cuadro adjunto, dibuje una gráfica para establecer la relación entre el caudal

sanguíneo (Q) y el consumo del oxígeno (c)

Caudal sanguíneo (Q) 8 11,2 14,4 17,6 20,8 24,0

lmin

Consumo de oxígeno (c)

lmin

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4

a) Obtenga la gráfica Q−c

b) ¿qué obtiene y qué relación existe entre éstas magnitudes?

c) Calcule la constante de proporcionalidad y la ordenada al origen

d) Escriba la ecuación que liga al caudal sanguíneo con el consumo de oxígeno

2. Valores medidos para el volumen sistólico y la frecuencia cardiaca arrojaron los siguientes

resultados:

Volumen Sistólico (V)

cm39,1 7,3 5,7 5,2 4,5 4,2

Frecuencia Cardiaca

(f)

Hz

1,2 1,5 1,9 2,1 2,4 2,6

a) Dibuje la grafica volumen – frecuencia

b) ¿Qué curva se obtiene y qué conclusión se establece?

c) Escriba la ecuación que establece la relación entre las magnitudes

d) Linealice la curva invirtiendo los valores de la frecuencia cardiaca ( 1f )

e) Calcule la constante de proporcionalidad.

3. El siguiente cuadro contiene los datos de posición y tiempo del movimiento de una partícula:

X (m) 3 8 13 18 23 28

t (s ) 0 1 2 3 4 5

a) Dibuje la grafica posición – tiempo ( x−t )b) ¿Qué curva se obtiene y qué conclusión puede plantear?

c) Escriba la ecuación que establece la relación entre las magnitudes

d) Halle la constante de proporcionalidad

4. El siguiente cuadro contiene los datos de posición y tiempo del movimiento de una partícula:

X (m) 0 2 8 18 32

t (s ) 0 1 2 3 4

a) Dibuje la grafica posición – tiempo ( x−t )b) ¿Qué curva se obtiene y qué conclusión puede plantear?

c) Escriba la ecuación que relaciona la posición con el tiempo

d) Linealice la curva elevando al cuadrado cada valor de tiempo

e) Determine la constante de proporcionalidad.

5. El cuadro adjunto presenta los valores de la aceleración de un cuerpo sometido a una fuerza

constante y cuya masa fue modificada:

aceleración a

m

s2

1

68 4 2 1

masa (m )

kg2 4 8

1

632

a) Dibuje la grafica aceleración – masa (a−m )b) ¿Qué tipo de curva obtiene y qué conclusión establece?

c) Escriba la ecuación que relaciona las magnitudes

d) Linealice la curva invirtiendo los valores de la masa ( 1m )

e) Determine la constante de proporcionalidad.