gráficos de polinómios de graus superiores
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Gráficos de polinómios de graus superiores
Slide 1: objetivosOs alunos serã o capazes de :
è Relacionar as raízes reais dum polinómio com as interseções do gráfico com o eixo dos xx.
è Desenhar polinómios simples de grau 3 ou superior.
è Deduzir possíveis equações polinomiais de grau superior a partir dum gráfico.
è Relacionar gráficos da funçã o polinomial e da sua primeira derivada.
è Relacionar gráficos da funçã o polinomial e do gráfico da segunda derivada.
Warm-upPeça aos alunos para desenhar os gráficos das funções :
� y=(x-2)(x+2)
� y=Hx - 2L2
� y=Hx - 2L3
Faça-os verificar os gráficos no W|A
Wolfram|Alpha
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Slide 2: AulaChame a atençã o dos alunos para o facto de quando o polinómio está fatorizado, cada fator gera uma raiz e cadauma destas raízes é igual a um número real, que graficamente corresponde à interseçã o do gráfico do polinómiocom o eixo dos xx. Peça para os alunos preverem quais vã o ser as interseções do gráfico de
� y=x2(x-5)(x+5)
com o eixo do xx e de seguida validarem as suas respostas com o W|A.
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Slide 3: AulaExplique como o grau de um polinómio e o sinal do coeficiente de maior grau afetam o comportamento geral dorespetivo gráfico. Chame a atençã o para as simetrias de reflexã o e rotaçã o de funções pares e ímpares, respetiva-mente, com vários exemplos no W|A.
� y=x5- 16x3
� y=-x6+ 16x4
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Slide 4: AulaChame a atençã o dos alunos que à medida que x aumenta em valor absoluto, os números que figuram nosmonómios se tornam insignificantes e o comportamento do polinómio pode ser aproximado pelo termo de maior
grau ax2 . Por exemplo, veja o comportamento no W|A dos polinómios
� (x + 3L Hx - 1L3 Hx - 10L
� x5
para x grandes.
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Slide 5: AulaExplique aos alunos que o grau de cada fator num polinómio determina o comportamento do gráfico nas proximi-dades da raiz x que corresponde a esse fator. Volte ao primeiro exemplo e ilustre com o W|A o efeito de aumen-tar a potência dum dos fatores, p.ex.
� y=x3(x-5)(x+5)
� y=x4(x-5)(x+5)
� y=x5(x-5)(x+5)
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Slide 6: Conclusã o da primeira parte da aulaUse o W|A para gerar o gráfico da funçã o
� y=x(x + 10L Hx + 5L Hx - 5L2 Hx - 10L
Mostre só o gráfico e peça aos alunos para indicarem uma expressã o possível para o polinómio com base no queaprenderam durante a aula.
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Slide 7 of 11Demonstrations Project http://demonstrations.wolfram.com/
Polynomial RootsEnd Behavior of Polynomial FunctionsLocal Behavior of a Polynomial Near a RootParameters for Plotting a Cubic PolynomialParameters for Plotting a QuarticPolynomial Graph GeneratorQuadratic Equation with Factored Form
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Slide 8: Continuaçã o da aulaUse o W|A para gerar os gráficos das funções polinomiais
� y=x3
� y= 3x3+4x2+x+3
e das suas derivadas ao mesmo tempo. Perca algum tempo a estudar os intervalos em que a funçã o é crescente,decrescente, com concavidade virada para cima, ou para baixo.
Chame a atençã o para o facto de o primeiro polinómio ter só uma raíz real (repetida), enquanto o segundopolinómio tem uma raíz real (interseta uma vez o eixo dox xx) e duas raízes complexas.
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Slide 9: AulaDesafie os alunos a escreverem um polinómio de grau 3 ou superior na forma expandida. Peça-lhes para elesescreverem a funçã o primeira derivada e segunda derivada.
Desafie os alunos a desenhar os gráficos da funçã o (indique-lhes a raíz real) e da primeira derivada (sem usarcalculadora nem W|A).
Faça-os verificar os gráficos no W|A
Desafie agora os alunos a desenhar os gráficos da funçã o e da segunda derivada (sem usar calculadora nem W|A).
Faça-os verificar os três gráficos juntos no W|A
� x5+4x+1
� 5x4+4
� 20x3
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Slide 10: Conclusã oEscolha uma funçã o polinomial simples de grau quatro com raízes reais na forma fatorizada
� y=x2(x-2)(x+2)
Peça aos alunos para calcularem os máximos e mínimos analiticamente. Faça -os desenhar os gráficos da funçã o,da primeira e da segunda derivadas, atentando nas simetrias e nas concavidades dos 3 gráficos.
Use o W|A para gerar o gráfico da funçã o e das suas duas primeiras derivadas.
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Slide 11 of 11Demonstrations Project http://demonstrations.wolfram.com/
Derivatives : A Look at GraphsGraphing DerivativesA Fifth-Degree Polynomial and Its DerivativesPolynomials and DerivativesDerivative as a FunctionPolynomial and Derivative
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