Cserti József

ELTE, TTK

Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék

Grafén sávszerkezetének

topológiai átalakulásai

TÁMOP konferencia, 2012. január 18-20., Visegrád

A szén két módosulata

Gyémánt Grafit

Grafit Gyémánt

Nagyon puha Nagyon kemény

Átlátszatlan Átlátszó

Elektromosan jó vezető Szigetelő

Nagyon drága Nagyon olcsó

gyémánt

grafit

A szén további módosulatai

Nanocső

(1991)

Grafén

(2004)

Fullerén, C60

(1985)

10 nm méretű grafén pikkely (30 réteg)

Andre Geim és csoportja, Manchester University

Grafén szilicium-oxid lapkán.

Elektródákat kapcsoltak hozzá.

A réteg nem tökéletesen sík

K. Novoselov et al., Science 306, 666 (2004)

K. Novoselov et al., Nature 438, 197 (2005)

Y. Zhang et al., Phys. Rev. Lett. 94, 176803 (2005)

Y. Zhang et al., Nature 438, 201 (2005)

K. Novoselov et al., Nature Physics 2, 177 (2006)

Az első mérések grafénen

Andre Geim és Kostya S. Novoselov, Manchester University

Philip Kim,

Columbia University

• „Hántolás” grafitból (cellux, Manchester group, 300 nm vastag SiO)

A grafén előállításának módjai

Méret

• Kémiai reakcióval

• Szén nanocső felvágása

• Pásztázó elektronmikroszkóp litográfia (MFA, Biró László csoportja)

A Mermin–Wagner-tétel szerint kétdimenzióban nem létezik hosszútávú rend,

kétdimenziós kristály termodinamikailag insatbil.

P. Blake and E. W. Hill, A. H. Castro Neto, K. S. Novoselov, D. Jiang, R. Yang, T. J. Booth, and

A. K. Geim, Making graphene visible, Applied Phys. Lett. 91, 063124 (2007)

Making graphene visible

Contrast

Brillouin-zóna, diszperziós reláció

D. P. DiVincenzo and E. J. Mele, Phys. Rev. B 29, 1685 (1984)

Dirac-kúpok E(k)

vezetési

sáv

vegyérték

sáv

A grafén sávszerkezetét először Wallace tanulmányozta 1947-ben.

Relativisztikus, zérus nyugalmi tömegű 2 dimenziós elektron

A K pontok körül lineáris diszperzió. Dirac

kúpok. Nincs gap a K pontoknál!!!

Kvantált Hall-effektus grafénben

Andre Geim csoportja, Manchester University

Philip Kim csoportja, Columbia University

1/RH

B

Grafénban a töltéshordozók mozgékonysága rendkívül nagy,

15000 cm^2/Vs.

Si-ra = 1350 cm^2/V s.

A grafén elektromos transzportja ballisztikus marad akár a szubmikronos

skálán (0.3 mm) is.

A sávszerkezet topológiai átalakulásai

egyrétegű grafénben

Mechanikai deformációval ????

Mechanikai deformációval, a grafén 20 % -ig reverzibilisen deformálható !!!

Fizikailag (mechanikai deformációval)

nem reális megvalósítani

a Dirac pontok összeolvadását grafénben

G. Montambaux, F. Piéchon, J.-N. Fuchs, and M.O. Goerbig,

Eur. Phys. J. B 72, 509 (2009), and references therein

összeolvadás, merging

átmenet

grafén

Bernal stacking (A2 − B1)

A trigonális torzulásért

(trigonal warping) felelős

A1-B1, A2-B2

A2-B1

A1-B2

A trigonális torzulás erőssége:

A kísérletek szerint:

A1

A2

B1

B2

A sávszerkezet topológiai átalakulásai

kétrétegű grafénben (Bilayer graphene)

A1

A2

B1

B2

A1-B2

A1-B1, A2-B2

A2-B1

Kétrétegű grafén tight binding közelítésben

E. McCann and V. I. Fal'ko, Phys. Rev. Lett. 96, 086805 (2006)

Trigonális torzulás kétrétegű grafénben

alacsony energia

A diszperziós reláció a K pont körül:

E. McCann and V. I. Fal'ko, Phys. Rev. Lett. 96, 086805 (2006)

Folding

A Hamilton-operátor redukálása 2 x 2 –es mátrixra

alacsony energián

4 x 4, trigonal warping 4 x 4, no trigonal warping 4 x 4, trigonal warping,

zoom

Közelítés 2 x 2 Hamilton-operátorral:

4 x 4Hamilton

A sávszerkezet topológiai átalakulásának

fizikai okai

kétrétegű grafénben

• Nyírás, csúsztatás

megváltoznak a hopping integrálok

• Coulomb-kölcsönhatás az elektronok között

Marcin Mucha-Kruczy´nski, Igor L. Aleiner, and Vladimir I. Fal’ko,

PRB 84, 041404(R) (2011)

Y. Lemonik, I. L. Aleiner, C. Toke and V. I. Fal’ko, PRB 82, 201408R (2010)

Pauli mátrixok

Diszperziós reláció:

Lifshitz-energia

Modell Hamilton-operátor

komplex szám,

független az impulzustól extra tag

„Foggyökerek”

„Foggyökerek”

„Foggyökerek”

„Foggyökerek”

A Dirac-pontok „dinamikája”

A w paraméterezése

A piros -szerű alakzaton belül

4 darab, kívül pedig 2 darab Dirac-pont van.

A Dirac-pontok helyének

paraméterezése

Motiváció

A minimális vezetőképesség viselkedése

a topológia átalakulás során

A. S. Mayorov, D. C. Elias, M. Mucha-Kruczynski, R. V. Gorbachev, T. Tudorovskiy,

A. Zhukov, S. V. Morozov, M. I. Katsnelson, V. I. Fal’ko, A. K. Geim, K. S. Novoselov,

‘Interaction-Driven Spectrum Reconstruction in Bilayer Graphene’,

Science 333, 860 (2011)

Kísérleti eredmény:

Trigonal warping, elmélet:

Nagytisztaságú (közel ballisztikus) lebegő minta

Minimális vezetőképesség grafénben (Minimal Conductivity in Graphene)

K. S. Novoselov, E. McCann, S. V. Morozov, V. I. Fal'ko, M. I. Katsnelson, U.

Zeitler, D. Jiang, F. Schedin, A. K. Geim, Nature Physics 2, 177 (2006)

Mérések szerint közel zérus elektron-koncentrációnál

a longitudinális vezetőképesség nagyságrendileg:

Független a hőmérséklettől és a mágneses tértől

Rendezetlenség:

• Abszorbált atomok, molekulák (H, CH)

• Vakanciák

• Topologikus hibák, pl. Stone-Wales

• Nem tökéletes sík

• Minta szélei

• SiO hordozó hatása

A minimális vezetőképesség okai

• Rövidtávú szórócentrumok (short range scattering)

• Coulumb-szórás

• elektron-fonon szórás

• elektron-elektron szórás

N. N. Peres: The transport properties of graphene: an introduction, arXiv:1007.2849

Szórási folyamatok:

Korábbi elméleti eredmények grafénre

grafén minimális vezetőképessége:

• E. Fradkin, PRB 63, 3263 (1986)

• A. W. W. Ludwig, M. P. A. Fisher, R. Shankar, and G. Grinstein, PRB 50, 7526 (1994)

• P. A. Lee, PRL 71, 1887 (1993)

• E. V. Gorbar, V. P. Gusynin, V. A. Miransky, and I. A. Shovkovy, PRB 66, 045108 (2002)

• V. P. Gusynin and S. G. Sharapov, PRL 95, 146801 (2005)

• N. M. R. Peres, F. Guinea, and A. H. Castro Neto, PRB 73, 125411 (2006)

• M. I. Katsnelson, Eur. J. Phys B 51, 157 (2006)

• J. Tworzydlo, B. Trauzettel, M. Titov, A. Rycerz, C.W.J. Beenakker, PRL 96, 246802 (2006)

K. Ziegler, Phys. Rev. Lett. 97, 266802 (2006)

K. Nomura and A. H. MacDonald,

Phys. Rev. Lett. 98, 076602 (2007)

L. A. Falkovsky and A. A. Varlamov,

cond-mat/0606800.

Short range scattering

Coulumb scattering

M. Koshino and T. Ando, Phys. Rev. B 73, 245403 (2006)

M. I. Katsnelson, Eur. Phys. J. B 52, 151-153 (2006)

strong-disorder regime

weak-disorder regime

J. Cs.: PRB 75, 033405 (2007)

I. Snyman, C.W.J. Beenakker, Phys.Rev.B 75, 045322 (2007)

Korábbi elméleti eredmények kétrétegű grafénre

Eredmények a Kubo-formula alapján

Egyrétegű grafén (eredményünk megegyezik több korábbi eredménnyel)

Trigonális warping nélkül

a vezetőképesség arányos a rétegek számával (J=1,2)

Bilayer graphene:

Nincs trigonal warping Van trigonal warping

M. Koshino and T. Ando

PRB 73, 245403 (2006) strong disorder

J. Cs.: PRB 75, 033405 (2007)

Snyman, C.W.J. Beenakker,

PRB 75, 045322 (2007), Landauer-formulával

Független a warping erősségétől

nem-analitikus függvénye -nak

3-szor nagyobb, mint a esetben

J. Cs, A Csordás, and Gy. Dávid,

Phys. Rev. Lett. 99, 066802 (2007)

A minimális vezetőképesség számolása

Kubo-formula alkalmazása a vezetőképességre ballisztikus és homogén rendszerben,

zérus hőmérsékleten, a Dirac-pontban

Gyula Dávid, Péter Rakyta, László Oroszlány, J. Cs, Effect of the band structure topology

on the minimal conductivity for bilayer graphene with symmetry breaking, Phys. Rev. B,

85, 041402(R) (2012)

a Dirac-pont (gyökök) száma

Srofejtés a Dirac-pont (zérus hely) korul:

A determináns éppen

a piros -szerű vonalon zérus

Alkalmazás

Ha w = 0, visszakapjuk a korábban kapott eredményt trigonális warping

figyelembe vételével (diagonális mátrix):

Végeredmény a vezetőképességre

(2 x 2 nemdiagonális mátrix)

I. Tartományban (4 Dirac-pont):

II. Tartományban (2 Dirac-pont) :

J. Cs, A Csordás, and Gy. Dávid, Phys. Rev. Lett. 99, 066802 (2007)

A vezetőképesség függése a w paramétertől

A vezetőképesség függése valós w=u paramétertől

Független számolás

Landauer-formalizmus

Transzmissziós

valószínűségek

vezetőképesség

Kubo-formula Landauer-formala

ekvivalens

Numerikus eredmények

elektródák orientációja

Numerikus eredmények

elektródák orientációja

Köszönet:

Dávid Gyula: ELTE, Atomfizika Tanszék

Rakyta Péter: ELTE, PhD hallgató

Oroszlány László: ELTE, KRFT

K. S. Novoselov: Manchester University

V. P. Gusynin: Bogolyubov Inst. for Theor. Phys., Kiev, Ukraine

Pályi András: ELTE, Anyagfizikai Tanszék

• OTKA 75529, 81492

• Marie Curie ITN project NanoCTM (FP7-PEOPLE-ITN-2008-234970)

• A projekt az Európai Unió, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával és a Professional

X-ray Kft (FEI hazai forgalmazója) támogatásával valósul meg, a támogatási szerződés

száma: TÁMOP-4.2.1/B-09/1/KMR-2010-0003.

Paper: Gyula Dávid, Péter Rakyta, László Oroszlány, József Cserti, Effect of

the band structure topology on the minimal conductivity for bilayer graphene

with symmetry breaking, Phys. Rev. B, 85, 041402(R) (2012)