grafos eulerianos e hamiltonianos prof. m.sc. fábio francisco da costa fontes maio - 2009
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GRAFOS EULERIANOS E GRAFOS EULERIANOS E HAMILTONIANOSHAMILTONIANOS
Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes
Maio - 2009
Introdução
Caminhos que usam todos os vértices ou todas as arestas de um grafo são geralmente chamados de percursos
Uma grande variedade de problemas práticos podem ser vistos como um percurso num grafo
Eles se dividem em duas categorias:Problemas do tipo eulerianoProblemas do tipo hamiltoniano
Introdução
Problemas do tipo euleriano: requerem que cada aresta seja percorrida pelo menos uma vez
Problemas do tipo hamiltoniano: requerem que cada vértice seja percorrido pelo menos uma vez
Exemplos clássicos de otimização: o problema do carteiro chinês e o problema do caixeiro viajante
Introdução
Os dois problemas parecem ser semelhantes, mas possuem complexidades bem diferentesA maior parte dos problemas eulerianos
são resolvidos em tempo polinomialA maioria dos problemas hamiltonianos
têm uma solução de custo elevado e são classificados como NP-difícil, é necessário a utilização de técnicas aproximativas para se obter um resultado em tempo hábil
Grafos Eulerianos
Um percurso euleriano é um percurso que contém todos as arestas do grafo
Um circuito euleriano é um percurso euleriano fechado
Um grafo euleriano é um grafo que contém um circuito euleriano
w
zu t
v
y
x
Problemas Eulerianos
As pontes de Königsberg: é possível fazer um percurso atravessando todas as pontes, sem repetir nenhuma?
Problemas Eulerianos
Euler percebeu que só seria possível atravessar o caminho inteiro passando uma única vez em cada ponte se houvessem exatamente dois pontos de onde saíssem um número ímpar de caminhos.
Grafos Eulerianos
Em 1873, Hierholzer mostrou que um grafo cujo todos os vértices têm grau par é euleriano
Entrada: Um grafo conectado G cujos vértices têm grau parSaída: Um circuito euleriano
Algoritmo: Circuito Euleriano Inicie em qualquer vértice v Construa um percurso fechado T em G Enquanto existirem arestas de G fora do percurso T Escolha qualquer vértice w em T, que seja incidente a uma aresta fora do percurso Iniciando em w, construa um percurso fechado D de arestas fora do percurso T Faça a união do percurso D em T no ponto w Retorne T
Grafos Eulerianos
Exemplo:
v
x
u
y
w
z
t1
t2
t3
t4
w1
w2
d1
d2
d3e1
e2
e3
Percursos Eulerianos
Algumas aplicações (e.g. as pontes de Königsberg) requerem percursos eulerianos abertos:Um grafo conectado G tem um percurso
euleriano aberto se e somente se ele tem exatamente dois vértices de grau ímpar
O uso do termo euleriano é idêntico para dígrafos, exceto que os percursos são direcionados
Exercícios
Determine qual dos grafos das famílias abaixo são eulerianos:O grafo completo Kn
O grafo ciclo de n vértices Cn
O grafo bipartido completo Km,n
Exercícios
Aplique o algoritmo para achar um circuito euleriano (iniciando em s):
s
d
b
f
i
m
c
h
g
a
k
je
O Problema do Carteiro Chinês
O matemático chinês Meigu Guan introduziu o problema em 1962:Achar o caminho fechado mais curto que
percorra todas as arestas de um grafo pelo menos uma vez
É o problema do carteiro que quer entregar a correspondência numa rede de ruas e retornar ao escritório central o mais rápido possível
O Problema do Carteiro Chinês
Definição: um circuito do carteiro em um grafo G é um caminho fechado que usa cada aresta de G pelo menos uma vez
Definição: em um grafo com peso nas arestas, um circuito ótimo do carteiro é um circuito do carteiro cujo peso total das arestas é mínimo
O Problema do Carteiro Chinês
Exemplo: achar o circuito ótimo do carteiro no grafo abaixo:
ca
d
b
e f
6
3
6
7
532
g h i10 5
45 6
O Problema do Carteiro Chinês
Edmonds e Johnson resolveram o problema do carteiro chinês usando um algoritmo de tempo polinomial
A idéia é duplicar arestas nos vértices de grau ímpar, fazendo com que o grafo tenha um circuito euleriano
O ponto chave do algoritmo é descobrir as arestas de caminho mais curto entre os vértices de grau ímpar
O Problema do Carteiro Chinês
Solução: duplicar arestas para os vértices de grau ímpar e obter um circuito euleriano no grafo
ca
d
b
e f
6
3
6
7
532
g h i10 5
45 6
O Problema do Carteiro Chinês
O algoritmo de Edmonds e Johnson usa as seguintes definições:Definição: um casamento em um grafo G
é um subconjunto M de arestas de G tal que nenhum par de arestas em M tem um ponto final (vértice) em comum
x
y
v z
w
a b
c d
e fg
h
M = {a,d}, {c,b}, {e,b}, ...
O Problema do Carteiro Chinês
O algoritmo de Edmonds e Johnson usa as seguintes definições:Definição: um casamento perfeito em
um grafo G é um casamento em que todo vértice de G é um ponto final de uma das arestas de M
x
y
z
w
a b
c d
M = {a,d}, {c,b}
O Problema do Carteiro Chinês
Entrada: Um grafo conectado G com peso nas arestasSaída: Um circuito ótimo do carteiro W
Algoritmo: Circuito Ótimo do Carteiro
Ache o conjunto S de vértices com grau ímpar Para cada par de vértices u e v em S Ache duv, o caminho mais curto entre u e v Forme um grafo completo K com os vértices em S Para cada aresta e do grafo completo K Atribua o peso duv para a aresta e=<u,v> Ache um casamento perfeito M em K cujo peso total das arestas é mínimo Duplique as arestas de G correspondentes ao casamento M Construa um circuito euleriano W no novo grafo G W corresponde a um circuito ótimo do carteiro em G
Outros Problemas Eulerianos
Variações do problema do carteiro chinês aparecem em diversas aplicações:Coleta de lixoLimpeza das ruas Pintura de linhas no centro das ruasPatrulhamento da políciaPesquisa de opinião e recenseamentoPlotagem de uma rede
Grafos Hamiltonianos
Definição: um caminho hamiltoniano em um grafo G é um caminho simples que contém todos os vértices de G.
Definição: um ciclo hamiltoniano é um caminho hamiltoniano fechado
Definição: um grafo hamiltoniano é um grafo que tem um ciclo hamiltoniano
w
zu t
v
y
x
Grafos Hamiltonianos
Não existe uma regra simples (como para os grafos eulerianos) para caracterizar um grafo como hamiltoniano
O problema de saber se um grafo qualquer é hamiltoniano é NP-completo
Um algoritmo de tempo polinomial para resolver o problema não é conhecido
Grafos Hamiltonianos
Não existe um algoritmo que funcione para qualquer grafo, mas:Existem condições suficientes para um
grafo ser hamiltoniano que se aplicam a uma grande classe de grafos
Existem algumas regras básicas que ajudam a identificar grafos que não são hamiltonianos
Grafos Não Hamiltonianos
As regras são baseadas na observação que um ciclo hamiltoniano deve conter exatamente duas arestas incidentes em cada vértice
A estratégia para aplicar as regras é iniciar a construção de um ciclo hamiltoniano e mostrar que em algum ponto as regras se contradizem
Grafos Não Hamiltonianos Regras para grafos não-hamiltonianos:
Se um vértice v tem grau 2, todas as arestas incidentes em v devem fazer parte de qualquer ciclo hamiltoniano
Durante a construção, nenhum ciclo pode ser formado até todos os vértices terem sido visitados
Se durante a construção, duas arestas incidentes em um vértice v são necessárias, todas as outras arestas incidentes podem ser apagadas
Grafos Não Hamiltonianos
Exemplo:
v
w
h
x
a
f
e
d
c
g
b
Regra 1
Regra 2
Regra 3
Grafos Não Hamiltonianos
Exemplo
a
d
v
b
e
w
c
f
x
Regra 1
Regra 3
Regra 1
Grafos Hamiltonianos
Teorema (Ore, 1960): Seja G um grafo simples de n vértices, onde n ≥ 3, tal que deg(x) + deg(y) ≥ n para cada par de vértices não adjacentes x e y. Então G é hamiltoniano
y
w
u
v
x
Grafos Hamiltonianos
Corolário (Dirac 1952): Seja G um grafo simples com n vértices, onde n ≥ 3, tal que deg(v) ≥ n/2 para cada vértice v. Então G é hamiltoniano
y
wv
x
z
Grafos Hamiltonianos
Exercício: identifique se o grafo abaixo é ou não hamiltoniano
w
zu t
v
y
x
Grafos Hamiltonianos
Exercício: identifique se o grafo abaixo é ou não hamiltoniano
w
z
u
t
v
y
x
s
Grafos Hamiltonianos
Exercício: identifique se o grafo abaixo é ou não hamiltoniano
w
z
u
t
v
y
x
s
O Problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro viajante consiste em minimizar o custo de um caixeiro viajante que deseja percorrer n cidades, visitando cada cidade apenas uma vez, e retornar para casa.
w
zu
t
v
10 9
5 6
7
11
6
9
107
O Problema do Caixeiro Viajante
Dantzig, Fulkerson e Johnson foram os primeiros a encontrar uma solução ótima usando 49 cidades em 1954Branch and BoundCutting planes
Crowder e Padberg conseguiram uma solução ótima para o problema usando 318 cidades em 1980Branch and Bound Facet-defining inequalities
Heurísticas e Aproximações
Definição: uma heurística é um procedimento que ajuda na tomada de uma decisão quando existem múltiplas alternativas
Heurísticas são aplicadas quando é impossível avaliar todas as possibilidades. É o que faz, por exemplo, o jogador de xadrez
Heurísticas e Aproximações Definição: um algoritmo heurístico é um
algoritmo cujos passos são guiados por uma heurística.
Um algoritmo heurístico abdica da garantia de achar a melhor solução, para que uma solução possa ser encontrada rapidamente
A heurística mais simples para o caixeiro viajante é a do vizinho mais próximo
Heurísticas e Aproximações
Segundo (BARR et al., 2001), Métodos Heurísticos, também chamados algoritmos aproximativos, procedimentos inexatos, algoritmos incorretos, ou simplesmente heurísticos são usados para identificar boas soluções aproximadas para cada problema em menos tempo que os algoritmos exatos (quando este existir).
Heurísticas Construtivas
Heurísticas ConstrutivasAs Heurísticas de métodos construtivos iniciam, sem nenhum resultado, a solução de um problema e constroem passo a passo uma solução viável. Apresentam algoritmos gulosos, os quais, devido a enxergarem apenas o que está mais próximo do objetivo desejado, são também chamados de algoritmos míopes.
Heurísticas Construtivas Quando se trata de solucionar o PCV, as
variações desta classe de algoritmo, que se apresentam com maior destaque, são:
o vizinho mais próximo; a inserção mais próxima; a inserção mais distante; a inserção mais barata; a inserção pelo maior ângulo; o método das economias.
Heurísticas para o PCV
Entrada: um grafo completo com pesos nas arestas
Saída: uma seqüência de vértices que formam um ciclo hamiltoniano
Algoritmo: Vizinho mais próximo Inicie em qualquer vértice v rótulo(v) = 0 i = 0 Enquanto existirem vértices não rotulados i = i + 1 Percorra a aresta de menor custo que une v a um vértice não rotulado w rótulo(w) = i v = w
Heurísticas para o PCV
O algoritmo do vizinho mais próximo é rápido e fácil de implementar
As vezes ele produz resultados muito bons, podendo inclusive achar o ótimo, como no exemplo abaixo se iniciarmos em s
w
zu
s
v
10 9
5 6
7
11
6
9
107
Heurísticas para o PCV
Entretanto, em geral, o algoritmo do vizinho mais próximo pode achar ciclos hamiltonianos ruins (com custo elevado)
u
vs
t
2
1
2
1
1
1000000
Heurísticas para o PCV
Aplicações do PVC
Seqüenciamento de tarefas:Suponha n tarefas que devem ser
processadas numa única máquinaO tempo necessário para processar a
tarefa j depois da tarefa i é cij
Como as tarefas devem ser seqüenciadas de forma a minimizar o tempo de processamento?
A solução é um caminho hamiltoniano de custo mínimo no grafo