grafy sąsiedztwa w zbiorach o wielkich rozmiarach
DESCRIPTION
Grafy sąsiedztwa w zbiorach o wielkich rozmiarach. Mirosław Kowaluk Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Grafy sąsiedztwa w zbiorach o wielkich rozmiarach
Mirosław KowalukWydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Uniwersytet Warszawski
Niech P = {p1, ... , pn} będzie zbiorem punktów na płaszczyźnie. Dla każ-dego z punktów należących do S określamy obszar Voronoi zawierający punkty płaszczyzny, dla których dany punkt jest najbliższy spośród punktów z S, tzn.: VD(pi) = {x: ij d(pi,x) d(pj,x)}.
Podział płaszczyzny na obszary Voronoi nazywamy diagramem Voronoi.
Triangulacją Delaunay dla zbioru punktów P (DT(P)) nazywamy graf dualny do diagramu Voronoi, którego wierzchołkami są punkty z P, a krawędzie łączą wierzchołki należące do sąsiednich obszarów Voronoi.
Minimalnym drzewem rozpinającym dla zbioru punktów P (MST(P)) nazywamy drzewo o wierzchołkach w punktach z P, którego suma długości krawędzi jest minimalna.
= 0,8 = 0,95
Dla danego zbioru P zawierającego n punktów w Rm -skeletonami nazywamy rodzinę grafów o wierzchołkach z P, parametryzowaną przez wartość , takich, że dwa punkty x,y P są połączone krawędzią, gdy żaden inny punkt z P nie należy do obszaru R(x,y,), gdzie:
2. Dla 0 < < 1, R(x,y,) jest częścią wspólną dwóch kul o promieniu d(x,y)/2, których brzegi zawierają oba punkty x i y.
1. Dla = 0, R(x,y,) jest odcinkiem xy .
yx
= 1
3. Dla 1 < , R(x,y, ) jest częścią wspólną dwóch kul o promieniu
d(x,y)/2 i środkach odpowiednio w punktach (1-/2)x+(/2)y oraz
(/2)x+(1-/2)y.
4. Dla = , R(x,y,) jest nieskończonym pasem prostopadłym do prostej przechodzącej przez x i y, którego brzeg zawiera x i y.
=
yx
= 2
Zastosowania.
Modelowanie powierzchni.
(http://www.iah.bbsrc.ac.uk/phd/gisruk95.html)
Analiza zdjęć medycznych.
(http://noodle.med.yale.edu/~robinson/)
x y
z
Własności -skeletonów.-skeleton dla zbioru punktów P i = 1 nazywamy grafem Gabriela (GG(P)) (Gabriel,Sokal 69), a dla = 2 nazywamy grafem relatywnego sąsiedztwa (RNG(P)) (Toussaint 80).
Twierdzenie (Kirkpatrick,Radke 85).
GG(P) MST(P) RNG(P) DT(P)
x y
z
w
Konstrukcja –skeletonów.
Twierdzenie (Supowit 83).
RNG(P) w R2 można znależć w czasie O(n log n).
Twierdzenie (Matula,Sokal 84).
GG(P) w R2 można znaleźć w czasie O(n log n).
Twierdzenie (Jaromczyk,Kowaluk 87)
–skeletony (dla 1 2) w R2 można wyznaczyć z DT(P) w czasie O(n).
Twierdzenie (Chazelle,Edelsbrunner,Guibas,Hershberger,Seidel,Sharir 90).
GG(P) w R3 może mieć (n2) krawędzi.
Fakt.
RNG(P) w Rm dla m > 3 może mieć (n2) krawędzi.
Niech L(u,v) oznacza długość najkrótszej ścieżki w grafie łączącej wierz-chołki u i v spójnego grafu G w R2, a D(u,v) oznacza odległość między u i v. Współczynnik rozpięcia S grafu G definiujemy jako
S = max (u,v) G L(u,v)/D(u,v) .
Twierdzenie (Keil,Gutwin 92).
Współczynnik rozpięcia DT(P), gdzie |P| = n, wynosi O(1).
Twierdzenie (Bose,Devroye,Evans,Kirkpatrick 02).
Współczynnik rozpięcia RNG(P), gdzie |P| = n, wynosi (n).
Współczynnik rozpięcia GG(P), gdzie |P| = n, wynosi O(n1/2).
L(u,v)
D(u,v)vu
Grafy definiowane przez różne obszary.
grafy planarne
grafy bez trójkątów
grafy bez czworokątów
grafy acykliczne
Uogólnienie dla dowolnych grafów.
Niech G = (V, U, E) będzie grafem, w którym V oznacza zbiór wierzchołków, U V jest wyróżnionym zbiorem wierzchołków, E oznacza zbiór krawędzi.
Krawędzie grafu G mają dodatnie wagi.
Niech MG(p,q) oznacza zbiór środków najkrótszych ścieżek łączących wierzchołki p i q.
Możemy zdefiniować różne nowe rodzaje grafów.
Załóżmy, że najkrótsze ścieżki w G są jednoznacznie określone
(zbiory MG są jednoelementowe).
GGf(G) = (U, F) jest grafem takim, że (ui, uj) F wtedy i tylko wtedy, gdy w U nie istnieje punkt (różny od ui i uj), który leży bliżej punktu p = MG(ui, uj) niż ui, uj.
Załóżmy, że żadne dwie najkrótsze ścieżki w G nie są równe.
GGc(G) = (U, F) jest grafem takim, że (ui, uj) F wtedy i tylko wtedy, gdy domknięte koło DG(v, r), gdzie v V i r = minv V {r: DG(v, r) zawiera ui i uj}, nie zawiera żadnego innego wierzchołka należącego do U.
Otrzymujemy następującą zależność:
MST RNG GGc GGf DTc DTf
Inicjatywa EuroCORES – European Collaborative Research
Program EuroGIGA – Graphs in Geometry and Algorithms
Projekt – Spatial Decompositions and Graphs (VORONOI)
Ośrodki uczestniczące w projekcie:
- Berlin,
- Bonn,
- Bruksela,
- Graz,
- Linz,
- Lugano,
- Sevilla,
- Warszawa.
Otwarte problemy.
1. Rozmiar RNG(P) w R3.
2. Wartość , dla której dana krawędź przestaje należeć do -skele-tonu.
3. Wartość , dla której -skeleton przestaje mieć rozmiar liniowy.
4. Oszacowanie współczynnika rozpięcia dla 1 2.
5. Sposoby dekompozycji dużych grafów.
6. Kompresja dużych grafów.
7. Obliczenia rozproszone.
Dziękuję za uwagę.