gravitation ist geometrie der raumzeit - zah ... · ex2: expandierendes universum ... sein ziel,...
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Gravitation ist Geometrie der RaumZeit
Wie Einstein Newton verdrängte
Max Camenzind
Senioren Uni Würzburg
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21.6.2015 Tag der offenen Tür
Haus der Astronomie & MPIA
Bus 39 alle 15 Min. ab Bismarckplatz > 10:45 Uhr
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Einsteins Grund-Idee: Gravitation ist keine Kraft, Gravitation ist Geometrie, Geometrie ist Gravitation
Μεδεις αγεωμέτρητος εισιτω
μον τήν στήγων.
Let none ignorant of geometry
enter my door.
Legendary inscription over
the door of Plato’s Academy
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• Die Äquivalenzprinzipien des Albert Einstein.
• Schwaches Äquivalenzprinzip
• Einsteinsches Äquivalenzprinzip
• Starkes Äquivalenzprinzip
• 1911 – 1922: Die dramatische Suche nach der Lichtablenkung an der Sonne Triumph Einstein
• 1913: Gravitation wird durch die Metrik der RaumZeit beschrieben 3+1 Aufspaltung
• Die Bewegung von Testkörpern und Licht.
• Nov. 1915: Die Feldgleichungen nach vielen Irrwegen.
Inhalt
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Äquivalenz von träger
und schwerer Masse
Schwaches Äquivalenzprinzip WEP = Weak Equivalence Principle
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Isaac Newton 1687:
Principia (1687): Kraft = Masse mal a
Masse fällt aus Kraftgleichung heraus
a = g ist rein geometrische Gleichung
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Torsionswaage
Eöt-Wash Experiment
see Homepage:
Eot-Wash group
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Tests
Sch
wach
es
Äq
uiv
ale
nzp
rin
zip
Wa
rum
im
mer
gen
au
er?
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Im freien Fall keine Gravitation
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Äquivalenz von Beschleunigung
und Gravitation
g
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Äquivalenz von Beschleunigung
und Gravitationskraft
Einsteinsches Äquivalenzprinzip EEP = Einstein Equivalence Principle
1. Es gilt WEP
2. Gravitationskräfte äquivalent zu
Trägheitskräften
3. Im frei fallenden Inertialsystem gilt die
Spezielle Relativität
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Starkes Äquivalenzprinzip
Das Einsteinsche Äquivalenz-
Prinzip gilt auch für
selbst-gravitierende Körper
Planeten, NSterne, …
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3 Äquivalenzprinzipien
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1911
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Annalen der Physik 1911
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Annalen der Physik 1911
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Annalen der Physik 1911
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Annalen der Physik 1911
Gravitative Rotverschiebung
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Gravitative Rotverschiebung
an Sonnenoberfläche
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Gravitative Lichtablenkung
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Gravitative Lichtablenkung
Annalen der Physik 1911
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Totale Sonnenfinsternis
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Nur totale
Sonnen-
Finsternis
kann Klarheit
schaffen !
Hintergrund-
Sterne
vermessen
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Wer war Erwin Freundlich ? Freundlich war der Sohn einer schottischen Mutter, Ellen Elizabeth Finlayson, und des Friedrich Philipp Ernst Freundlich, dem Direktor einer Eisengießerei in Wiesbaden-Biebrich. Er promovierte 1910 in Göttingen bei Felix Klein über ein Problem der analytischen Funktionentheorie und wurde danach Assistent an der Berliner Sternwarte, wo er mit Routine-messungen betraut war. Einsteins Kollege in Prag, der Astronom Leo Wenzel Pollak, suchte 1911 Astronomen, die die Lichtablenkung beobachten sollten. Alle erfahrenen Astronomen sahen keine Chance. Freundlich, der der stupiden Routinetätigkeit entfliehen wollte, nahm die Herausforderung begeistert an. Damit begann eine lange Zusammenarbeit mit Einstein. Freundlich kontaktierte auch William Campbell am Lick Observatorium.
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William Campbell
Lick Observatorium
ist der Experte
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1914 Freundlichs Krim Expedition
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Freundlich auf der Krim -
Campbell nahe Kiew
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Freundlich wird im Aug. 1914
auf der Krim verhaftet -
Campbell kann weiter arbeiten,
hat aber schlechtes Wetter & verliert Equip
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Eddington kennt 1916 ART nicht Eddington ist wie Einstein Pazifist - Quäker
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De Sitter übersetzt 1916 Einsteins
Werk ins Englische Eddington
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Sonnenfinsternis von 1918
nur in USA sichtbar Campbell findet keine Ablenkung
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Campbell und seine Familie
bei Sonnenfinsternis 1918
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Sonnenfinsternis 29. Mai 1919
2 Exp.: Eddington & Campbell
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Sonnenfinsternis 29. Mai 1919
Eddington 2 Aufnahmen
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Eddington vermisst die Platten Eddington arbeitete sehr exakt mit Mikrometer
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Campbell spricht vor der Royal
Society – nervös Eddington ja
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Campbell stoppte die Publikation Telegramm nach Lick Observatorium
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Eddington bestätigt Einstein Lichtablenkung wie von Einstein berechnet -
Campbell jedoch misst keine Lichtablenkung!
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Eddington`s Daten waren
nicht geschummelt!
1979 wurden Eddingtons Platten mit
modernen Geräten
am Royal Observatory in Greenwich
nachgemessen:
1. Teleskop: 1,90 +- 0,11 arcsec
2. Teleskop: 1,60 +- 0,31 arcsec
Theoretischer Wert: 1,75 arcsec
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Eddington löst eine Lawine aus
Dennoch Zweifel an der Messung
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Einstein erste Superstar Physik
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Einstein
bekommt
auch in
Deutschland
Anerkennung
Physiker
bleiben
skeptisch!
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Einstein heiratet seine Cousine
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Sonnenfinsternis 21. Sept. 1922
soll endgültig Klarheit bringen
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7 Expeditionen nach Australien Kanada, Lick Obs, UK, Freundlich, Indien & 2A
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Freundlichs “erste” Expedition
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Campbell war sehr gut vorbereitet
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P3549-194 Photographic print, Wollal eclipse expedition unloading equipment, Wollal, Western Australia, 30 August – 1 September, 1922
Sonnenfinsternis 1922
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P3549-201 Photographic print, Lick Observatory eclipse expedition, the polar axis with spectrographs and Floyd telescope, photographer unknown, Wollal, Western Australia, 1922
Links: Campbells Frau
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Campbell 92 Sterne, 5 Platten
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Campbell bestätigt Einstein
in vollem Umfang: 1,75 +- 0,09``
W.W. Campbell & R.J. Trumpler 1928; Lick Observatory Bulletin Nr. 397, p 130-160
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Campbells Sonnenfinsternis Linse
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Einstein wird endlich rehabilitiert
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Einstein
&
Grossmann
1913
Vorläufige
Theorie der
Gravitation
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Einstein listete alles auf, und rief seinen Freund: „Grossmann hilf mir, sonst werde ich verrückt!“ Es begann 1912 eine intensive Zusammenarbeit der beiden, die auch Grossmann bis ans Äußerste forderte. Es war Grossmann, der erkannte, dass die fertig vorliegende Riemannsche Geometrie (Riemann-Tensor und dessen Weiterentwicklungen →Absolutes Differentialkalkül mit Ricci-Tensor) zum Ziel führen kann. Dieser sog. mathematische „Königsweg“ wurde versucht und im heute so berühmten „Zürcher Notizbuch“ von Einstein Schritt für Schritt aufgeschrieben. Man probierte den Ricci-Tensor; erweiterte ihn um einen Term, heute „Einstein-Tensor“ genannt und verfiel zuletzt in einen abgewandelten „November-Tensor“, den man am aussichtsreichsten hielt. Die beiden waren kurz vor dem Ziel, erkannten das aber nicht, und verließen diesen Weg wieder.
“Königsweg” = Riemann Geometrie
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Der Newton-Grenzfall schien unerreichbar, und auch noch andere physikalische Bedingungen plagten sie. Die beiden arbeiteten daraufhin eine von der Physik her aufgebaute „Entwurfstheorie“ aus, (die aber nicht ganz allgemein-relativistisch und aus heutiger Sicht daher unakzeptabel war) und veröffentlichten sie (1913). Damit endet das Zürcher Notizbuch. Einstein kämpfte 2 Jahre, um Bedenken gegen die Entwurfstheorie auszuräumen. Es gelang ihm tatsächlich mehrere „Stolpersteine“ zu beseitigen; aber quasi en passant, dadurch auch die Hindernisse gegen den „Königsweg“. Dies ist ausführlich und wunderbar beschrieben im Buch „Auf den Schultern von Riesen und Zwergen“ von Jürgen Renn. Einsteins älterer treuer Freund aus der Patentamtszeit Michele Besso fand einen Weg, aus den Tensorgleichungen die Peripheldrehung des Merkur auszurechnen (52 Seiten Manuskript). Das Ergebnis war ungenügend, aber es zeigte sich, dass im Verlauf der Ausrechnung -und zwar erst auf der Ebene der Bewegungsgleichungen- tatsächlich der Newtonsche Grenzfall übrig bleibt. Eine der größten Hürden existierte gar nicht, das Korrespndenz-prinzip war erfüllt! Einstein nahm auch einen sehr fruchtbaren Briefkontakt mit dem Ricci-Schüler Tullio Levi-Civita auf, dem führenden Tensor-Mathematiker seiner Zeit.
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Verallgemeinerung von Minkowski
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Metrische Theorien
der Gravitation
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Gravitation RaumZeit =
Riemann lokal Minkowski
jin
ji
ij dxdxxgds )(0,
2
• Der Riemannsche Raum ist Menge aller Weltpunkte, auf der
man messen kann. Einstein: ein Punkt (ct,x,y,z) = Ereignis, n=4.
• gij ist der Metrische Tensor = symmetrische Matrix: 10 Funktionen für den 4-dimensionalen Raum Dim = 4. • Vorschrift, den Abstand zwischen zwei Weltpunkten zu berechnen. • Aus metrischem Tensor folgen Riemann- und Ricci-Tensoren . Der metrische Tensor bestimmt auch die Geodäten (Trajektorien der frei fallenden Körper) mittels Christoffel-Symbole.
3
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Ex1: RaumZeit eines Sterns
Sonne, Erde, Neutronensterne, SL
Symmetrie lässt
nur 2 Funktionen
frei:
F(r): „Gravitations-
potenzial“
B(r): Krümmung
des 3-Raumes
B(r) < 1: Volumen
größer als
Euklidisch
(r,f)-Fläche
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Kausale Struktur der RaumZeit ds2 = 0 lokale Lichtkegel gekrümmt
In jedem
Weltpunkt
sind die
Lichtkegel lokal
wie Minkowski,
können jedoch
gestaucht und
gedreht sein.
Dies ist eine
Konsequenz
des
Einsteinschen
Äquivalenz-
Prinzips.
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Ra
um
Ze
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Ex2: Expandierendes Universum
Heutige Weltmodelle
a(t) : Expansionsfaktor Streckung des 3-Raumes
k = 1, 0, -1 : Krümmungstyp des 3-Raumes
Streckung der Minkowski RaumZeit
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Lichtkegel im Universum
Distanz in Mrd. Lichtjahren
Alt
er
in M
rd.
Jah
ren
Licht-
Kegel
Zeitachse
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Einsteins steiniger Weg zur
Feldgleichung der Gravitation
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Jetzt kommt der spannendste Teil, denn es tritt der größte Mathematiker seiner Zeit, David Hilbert, auf den Plan. Hilbert lud im Sommer 1915 Einstein für mehrere Tage zu sich nach Göttingen ein, um Einstein über seine Arbeit referieren zu lassen. Hilbert stellte viele Fragen, machte sich Notizen und Einstein erkannte, dass Hilbert der Einzige war, der ihn voll verstanden hat. Umgekehrt war Hilbert von Einsteins profunden physikalischen Einsichten fasziniert. Hilbert sah eine Chance den Königsweg zu gehen und zog sich für einige Zeit in die Ruhe Rügens zurück. Dort versuchte er es und wollte auch noch die Elektrodynamik mit einbeziehen, also zu einer "Allgemeinen Feldgleichung" -heute würde man sagen "Weltformel"- zu kommen.
Einsteins “Königsweg”
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Mathematiker Hilbert in Göttingen
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Einsteins Notizbuch
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Für Einstein überstürzen sich jetzt die Ereignisse. Hilbert signalisiert Einstein, dass der Königsweg (der axiomatische Weg, wie Hilbert sich ausdrückte) wohl gangbar sei, und nennt ihm einen Rechenfehler in seinen (Einsteins) Tensor- Ausdrücken. (Übrigens: Besso hat Einstein wiederholt auf Rechenfehler aufmerksam gemacht, die Einstein manchmal sehr verzögert annahm). Einstein selbst fand bei sich einen schwerwiegenden Überlegungsfehler (man schätzt dieses Datum auf den 15. Oktober 1915), so dass für ihn jetzt das Maß voll war. Hilbert im Nacken spürend, schwenkte Einstein auf den mathematischen Königsweg aus seinem Zürcher Notizbuch zurück. Er knöpfte sich den November-Tensor vor, und er präsentierte stolz in Berlin am 4. November 1915 eine „fast“ fertige Theorie und unterrichtete Hilbert. Dieser fand Abweichungen zu seiner eigenen Arbeit, und es ist möglich, dass er Einstein einen Hinweis gab. Einstein ruhte nicht, und arbeitete eine neue Variante mit dem Ricci-Tensor aus, die er am 11. November vorstellte. Vorteil: Diesmal war das Relativitätsprinzip erstmalig vollständig erfüllt, allerdings nur für schwache Gravitationsfelder.
Welchen Einfluss hat Hilbert?
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Hilbert wurde sofort informiert, und dieser lud Einstein für den 16. November nach Göttingen ein, zur Präsentation der nun fertigen Hilbertschen Arbeit. Einstein lehnte ab, und schob Magenbeschwerden als Grund vor; in Wirklichkeit arbeitete Einstein wie ein Besessener die Besso-Rechnung nochmals durch und triumphierte am 18. November in Berlin mit dem korrekten Wert der Merkur-Periheldrehung. (43 Bogensekunden pro Jahrhundert, genau der Wert, den die Astronomen bisher nicht erklären konnten). Sofort schrieb er Hilbert und bat im Gegenzug: „Schicken Sie mir bitte, wenn möglich, ein Korrektur-Exemplar Ihrer Untersuchung, um meiner Ungeduld entgegenzukommen.“
Welchen Einfluss hat Hilbert?
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Was hat Hilbert mit gleicher Post (oder sogar schon am 17/18.11.) zu Einstein noch geschrieben? Einstein nahm sich nun aus seinem Zürcher Notizbuch den Einstein-Tensor vor, und trug in Berlin am 25.November 1915 seine heute noch gültigen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie vor. Es war geschafft! Dabei hatte er noch Glück, dass die noch nicht vollkommene Theorie vom 11.November doch den richtigen Merkur-Wert erbrachte. Hilbert reichte seine Arbeit am 20.November zum Druck in Göttingen ein –also 5 Tage vor Einstein-, und erhielt am 6.Dezember die Druckfahnen zur Korrektur zurück. Zu diesem Zeitpunkt war die Einsteinsche Arbeit bereits veröffentlicht (2.12.), und Einstein hat Abzüge an viele Mathematiker und Physiker verschickt. Hilberts Arbeit wurde erst Anfang Februar 1916 veröffentlicht. Obwohl Hilbert die Gravitations-Feldgleichungen selbst nicht niedergeschrieben hat, hat er den richtigen Weg dorthin aufgezeigt. Für einen großen Mathematiker genügt das; die Feldgleichungen selbst sind dann nur „Kleinkram“. Sein Ziel, den Elektromagnetismus mit einzubeziehen, also die Allgemeine Feldgleichung, hat Hilbert nie erreicht. Einstein auch nicht, trotz 30-jähriger Suche bis zu seinem Tod 1955.
… Hilbert oder Einstein ?
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“Königsweg” Riemann Krümmung
V
TV E1
E2
Riemann: 6 Rotationsmatrizen
TVa = R
a
bcd V
b [E
1
c E
2
d]
ab, cd = 01, 02, 03, 12, 13, 23
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3+1 Zerlegung der Krümmung
4D
3D (3)R
i
kmn Eim = R
i
0m0 R
i
km0
3-Krümmung Gezeiten-Kräfte Scherung, Twist
t
x
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Krümmung Gezeitenkräfte
Neutronen-Stern
Vakuum
Asteroid
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Krümmung Ricci-Tensor & Skalar
Lösung 1915
Aus 20
mach 10
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Gravitation ist Krümmung
der RaumZeit (Einstein 1915)
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ikikikik TcGgRgR )/8( 4
2
1
Krümmung Kosmol. Konstante Materie
Rik Ricci Tensor mit Spur R = Rmm:
folgt aus Riemann Tensor
Albert Einstein 1915: Jede Form der Materie erzeugt Krümmung R (auch Photonen, Felder, Vakuum-Energie)
Krümmung der RaumZeit 1915
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5 Axiome definieren Einstein`s
Gravitation 1915 • Einstein1: Flache Minkowski RaumZeit wird durch
(pseudo-)Riemann Mannigfaltigkeit ersetzt, jedoch lokal in jedem Punkt Minkowski (EEP) es existiert ds²
• Einstein2: Gravitation wird durch den Levi-Civita Transport auf RaumZeit beschrieben ( keine Torsion).
• Einstein3: Testkörper (Planeten, Neutronensterne, Schwarze Löcher) bewegen sich auf Geodäten: ds² > 0; Photonen auf Nullgeodäten: ds² = 0 SEP.
• Einstein4: Materieverteilung in der RaumZeit bestimmt die Krümmung Ricc – R g/2 = k T
• Einstein5: Nicht-gravitative Kräfte (EM, QCD) verhalten sich im frei fallenden System wie in der SRT.
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Moderne Sicht der Gravitation
Ohne Gravitation ist die Welt global
Lorentz-invariant Gruppe SO(1,3).
Mit Gravitation gilt nur noch lokale Lorentz-Invarianz
„Physik ist unabhängig vom lokalen Betrachter.“
Dies erzwingt die Einführung eines
Lorentz-Zusammenhanges in Form der
Lorentz-Zusammenhangsform wµa
b dxµ
Eichprinzip verlangt die Ersetzung der partiellen
Ableitungen durch kovariante Ableitungen:
Tµr,r 0 r Tµr 0
Feldgleichungen haben allerdings nicht die
Yang-Mills Form, da ein Ricci-Skalar existiert!