grundbegriffe der schulgeometrie ss 2008 teil 3 (m. hartmann) lehrstuhl für didaktik der mathematik
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Grundbegriffe der Schulgeometrie
SS 2008 Teil 3
(M. Hartmann)
Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik
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Analogisieren im Bereich der Inhaltslehre
Analogisieren in der Inhaltslehre
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Beispiel 1: Vom Flächeninhalts- zum Volumenbegriff
G 1G 2
G 3
G 4
Begriffliche Grundidee:Auslegen
Begriffliche Grundidee:Auslegen
Abzählverfahrenliefert Formel fürSonderfall
Abzählverfahrenliefert Formel fürSonderfall
Rückführungauf Sonderfalldurch Umbau
Rückführungauf Sonderfalldurch Umbau
Triangulation Triangulation
An
alo
gisie
ren
An
alo
gisie
ren
An
alo
gisie
ren
An
alo
gisie
ren
Analogisieren in der Inhaltslehre: 1. Beispiel vom Flächen- zum Volumenbegriff
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Beispiel 2: Die vielfältigen Analogisierungs-möglichkeiten der Tortenstückmethode
½ U
r
Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode
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Anwendung auf Kreissektorinhalt
½ b
AKreis•Rechteck ? r
Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode
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Anwendung auf Kreisring
½ U2 + ½ U1
U1 U2
= Um
Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode
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Anwendung auf Röhre
Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode
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Anwendung auf Röhre
UMittel
UMittel
h
d
hVRöhre = U Mittel ∙ d∙h
d
Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode
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Anwendung auf Torus
Querschnittsfläche A
Mittlerer Umfang U
Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode
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Anwendung auf Torus
Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode
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Anwendung auf Torus
Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode
Querschnittsfläche A
UMittel
UMittel
A
VTorus = A ∙ U Mittel
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Tortenstückmethode etwas anders
Umfang
Inhalt=
½ • r
Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode
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Tortenstückmethode etwas anders
Umfang
Inhalt=
½ • r
Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode
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Anwendung auf Kugel
Beziehung zwischen Oberfläche und Kugel
Beziehung zwischen Oberfläche und Kugel
Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode
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Kreisumfang
UKreis
AnalogisierenAnalogisieren
B A
< 4r²2r² < AKreis
< 4d2d <
< 3•AKreis1•AKreis <
= 4 • AKreis
Kreisfläche
Kugeloberfläche
AnalogisierenAnalogisieren
Kugelvolumen
= 3,14 • r² OHalbkugel
< 3•VKegel1•VKegel <
= 4 • VKegel
VHalbkugel
= 3,14 • d
Analogisieren
Grobabschätzungen führen auf Formeln vom Typ:
Inhalt = x • Vergleichsinhalt
Analogisieren in der Inhaltslehre: 3. Beispiel Kreisfläche durch Vergleich
Beispiel 3: Formelbildung für Kreis und Kugel
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AnalogisierenAnalogisieren
AnalogisierenAnalogisieren
Analogisieren
Kugelvolumen = 4 • VKegel
= 4 • AKreisKugeloberfläche
Kreisfläche = 3,14 • r²
Kreisumfang = 3,14 • d
Analogisieren in der Inhaltslehre: 3. Beispiel Kreisfläche durch Vergleich
Gute ikonische Repräsentation für den Unterricht
Gute ikonische Repräsentation für den Unterricht
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Bedeutung für den Unterricht
• Die Schüler können an Standardinhalten unmittelbar die Schlagkraft einer heuristischen Methode erfahren
• Die hohe Vielfalt der Entdeckungsmöglichkeiten machen das kreative Moment der Mathematik erfahrbar
• Präzises verbales Beschreiben wird geübt• Nachhaltigkeit des Lernens wird verbessert
– Alte Inhalte werden wiederholt, – neue Inhalte besser vernetzt
Analogisieren
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• Prinzipiell können jederzeit beliebige (neue) mathematische Begriffe gebildet werden
• Entscheidend für das „Überleben“ eines Begriffs ist aber dessen mathematische Beziehungshaltigkeit!1. Bsp.: Ein Viereck mit drei gleichlangen Seiten heißt „Dreiseitgleich
“.– Solange man keine anderen Eigenschaften des Begriffs findet, die in
Beziehung zueinander stehen, ist das Dreiseitgleich mathematisch langweilig und damit zum Aussterben verurteilt...
2. Bsp.: Ein Viereck, dessen Gegenseiten summengleich sind, heißt „Gegenseitensummerich“.
– Beim „Gegenseitensummerich“ findet man eine zusätzliche interessante Eigenschaft: Dieses Viereck besitzt stets einen Inkreis
– Der „Gegenseitensummerich“ wird also weiterleben (Wenn er dies auch entsprechend seiner Inkreiseigenschaft normalerweise unter dem Decknamen Tangentenviereck tut)
Fachmathematischer AspektWelche Kreationen sind mathematisch wertvoll?