grundlagen der nachrichtentechnik ii. analoge ub ertragung · grundlagen der nachrichtentechnik:...
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Grundlagen der Nachrichtentechnik: Inhalt
Grundlagen der Nachrichtentechnik
I. Kontinuierliche Signale u. Systeme
1. Fouriertransformation
2. Tiefpass-Darstellung v. Bandpass-Signalen
3. Eigenschaften v. Ubertragungskanalen
II. Analoge Ubertragung
1. Analoge Modulationsverfahren
2. Empfangerstrukturen
3. Einfluss von Rauschen
III. Diskretisierung v. Quellensignalen
1. Abtasttheorem
2. Pulsamplitudenmodulation
3. Pulsdauer- und Pulsphasenmodulation
4. Pulscodemodulation
5. Prinzip des Zeitmultiplex
IV. Digitale Ubertragung
1. Struktur e. Datenubertragungssystems
2. Erste u. Zweite Nyquist-Bedingung
3. Rauschangepasstes Empfangsfilter
4. Bitfehlerwahrscheinlichkeit
5. Digitale Modulationsverfahren
komplett auf Folien teilweise mit Folienunterstutzung
Inhalt Kapitel 2 Seite 1
2. Aquivalente Tiefpass-Darstellung von
Bandpass-Signalen
2.1 BP-TP-Transformation
2.2 Hilberttransformation
2.3 Analytische Signale
1UniversitätBremen
Arbeitsbereich Nachrichtentechnik Prof. Dr.-Ing. K.D.Kammeyer
2. Äquivalente Tiefpass2. Äquivalente Tiefpass--Darstellung von BandpassDarstellung von Bandpass--SignalenSignalen
0 ω
XTP(jω)Tiefpass
−2ω0
XBP(jω)
ω0−ω0 ω 0−2ω0 ω
XBP(j(ω + ω0)) ∆= XTP(jω)
xTP(t) = xBP(t) · e−jω t
Leistung: ExBP(t)2 = 2· 2 2ExTP(t)2 = √22·
√2 e−jω t
hTP(t)xBP(t) xTP(t) = xTP(t) + j xTP(t)
xTP(t) = xTP(t) ∗ hTP(t)
2. Äquivalente Tiefpass-Darstellung
konj.komplex
2UniversitätBremen
Arbeitsbereich Nachrichtentechnik Prof. Dr.-Ing. K.D.Kammeyer
Alternative Struktur (Quadraturfilter)Alternative Struktur (Quadraturfilter)
Konstruktion des Filters
XBP(jω)
ω0−ω0 ω 0 ω
XTP(jω)
ω
X+BP(jω) 2 = 1√
2X+(j(ω + ω0))
2
----------------------------------
=1
+
H+(jω)
H+(jω)
H+(jω) = Hg(jω) +Hu(jω)reelleImpulsantwort
xBP(t)1√2 e−jω t
hBP(t)
hBP(t) xTP(t)j
ω0−ω0
Hu(jω) = j [
−jHu(jω)]ωω0
−ω0
−ω0
1
ωω0−ω0
ωω0 Quadratur-Netzwerk
2. Äquivalente Tiefpass-Darstellung
3UniversitätBremen
Arbeitsbereich Nachrichtentechnik Prof. Dr.-Ing. K.D.Kammeyer
Impulsantwort eines einseitigen BandpassesImpulsantwort eines einseitigen Bandpasses
2
ωω0ωω0
H+BP(jω)HTP(jω)
h+(t) = 2 hTP(t)︸ ︷︷ ︸reell
·ejω t = 2hTP(t) · cos(ω0t) + j [2hTP(t) · sin(ω0t)]
hBP (t) ∆= 2hTP(t) · sin(ω0t)
hBP(t) ∆= 2hTP(t) · cos(ω0t) Bandpass-Impulsantwort
hilberttransformierender Bandpass(90°-Phasendrehung)
2. Äquivalente Tiefpass-Darstellung
4UniversitätBremen
Arbeitsbereich Nachrichtentechnik Prof. Dr.-Ing. K.D.Kammeyer
TiefpassTiefpass--BandpassBandpass--UmsetzungUmsetzung
0 ω
XTP(jω)
ωω0
X+BP(jω)
ω0−ω0 ω
√2XBP(jω)
Rex+BP(t)
2. Äquivalente Tiefpass-Darstellung
Rex(t) = 12 [x(t) + x∗(t)]
12
hTP(t)xTP(t)e+jω t
xBP(t)Re·x+BP(t)
√2
FRex(t) = [X(jω) +X∗(−jω)]∆= RaX(jω)
2.2 Hilberttransformation Seite 2
2.2 Hilberttransformation
reelles Zeitsignal:
x(t) •− X(jω) mit ReX(jω) = ReX(−jω), ImX(jω) = −ImX(−jω)Phasendrehung um 90 (genauer: -90 fur ω > 0, 90 fur ω < 0, da Phase ungerade)
Hilberttransformation:
x(t) = Hx(t) •− X(jω) = sgn(ω) · e−jπ/2 · X(jω) =
−jX(jω) fur ω > 0
0 fur ω = 0
jX(jω) fur ω < 0
Interpretation als lineares System (Hilberttransformator) mit der Ubertragungsfunktion
HH(jω) = −jsgn(ω) Bandbegrenzung: HHB(jω)
H jH( )w
w
j
-j
H jHB( )w
wg
-wg
j
-j
w
2.2 Hilberttransformation Seite 3
Impulsantwort des bandbegrenzten Hilberttransformators:
hHB(t) = − 1
2π
ωg∫
−ωg
j sgn(ω) ejωt dω = − 1
2π
ωg∫
−ωg
j sgn(ω) [cos(ωt)︸ ︷︷ ︸
ungerade→0
+j sin(ωt)]dω
= +2
2π
ωg∫
0
sin(ωt) dω =
[− cos(ωt)
πt
]ωg
ω=0
=1 − cos(ωgt)
πt= 2 fg ·
1 − cos(ωgt)
ωgt
Impulsantwort des idealen Hilberttransformators:
hH(t) =1
πt
[1 − lim
ωg→∞cos(ωg t)
︸ ︷︷ ︸→0
]→ hH(t) =
1/πt fur t 6= 0
0 fur t = 0
Hilberttransformation im Zeitbereich:
Hx(t) = x(t)∗hH(t) =1
π
∞∫
−∞
x(τ )
t − τdτ
Cauchy-
Hauptwert:limε→0
[ t−ε∫
−∞
x(τ )
t − τdτ +
∞∫
t+ε
x(τ )
t − τdτ
]
2.2 Hilberttransformation Seite 4
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Impulsantwort eines bandbegrenzenden Hilberttransformators
Grenzwert bei t → 0:
limt→0
1 − cos(ωgt)
πt= lim
t→0
∂(1 − cos(ωgt))/∂t
∂πt/∂t=
1
πlimt→0
(ωg sin(ωgt)) = 0
2.2 Hilberttransformation Seite 5
Beispiel: Hilberttransformation eines Rechteckimpulses
r(t) =
1 fur −T
2≤ t ≤ T
2
0 sonst.→ Hr(t) =
1
π
∞∫
−∞
r(τ )
t − τdτ =
1
π
T/2∫
−T/2
1
t − τdτ
T/2∫
−T/2
1
t − τdτ = −ln|t − τ |T/2
−T/2 = ln
∣∣∣∣
t + T/2
t − T/2
∣∣∣∣
fur |t| >T
2
T/2∫
−T/2
1
t − τdτ = lim
ε→0
t−ε∫
−T/2
1
t − τdτ +
T/2∫
t+ε
1
t − τdτ
= lim
ε→0ln
[t + T/2
ε·∣∣∣∣
ε
t − T/2
∣∣∣∣
]
= ln
∣∣∣∣
t + T/2
t − T/2
∣∣∣∣
fur |t| ≤ T
2
Hr(t) = 1π·ln
∣∣∣t+T/2t−T/2
∣∣∣
−1 −0.5 0 0.5 1
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.2 Hilberttransformation Seite 6
Einige Satze der Hilberttransformation
• Linearitat: Ha1 x1(t) + a2 x2(t) = a1 Hx1(t) + a2 Hx2(t)
• Zeitinvarianz: x(t) = Hx(t) → x(t − ϑ) = Hx(t − ϑ)
• Umkehrung: x(t) = −Hx(t) = −HHx(t)
• Orthogonalitat:∞∫
−∞x(t) · Hx(t) dt = 0
• Filterung y(t) = x(t) ∗ h(t), y(t) = Hx(t) ∗ h(t) → y(t) = Hy(t)
→ Hx(t) ∗ h(t) = Hx(t) ∗ h(t) = x(t) ∗ Hh(t)
• gerade Zeitfunktion: x(t) = x(−t) → Hx(t) = −Hx(−t)
• ungerade Zeitfunktion: x(t) = −x(−t) → Hx(t) = Hx(−t)
2.2 Hilberttransformation Seite 7
Korrespondenzen der Hilberttransfomation
x(t) Hx(t) Voraussetzungen
cos(ω0t) sin(ω0t) ω0 > 0
sin(ω0t) − cos(ω0t) ω0 > 0
δ0(t) 1/(πt) –
sin(ωgt)
ωgt
1 − cos(ωgt)
ωgt–
1 fur |t| < T2
0 sonst1π · ln
∣∣∣t+T/2t−T/2
∣∣∣ –
s(t) · cos(ω0t) s(t) · sin(ω0t) S(jω) = 0 fur |ω| ≥ ω0
Weitere Korrespondenzen siehe Anhang 1 in
K.D. Kammeyer, Nachrichtenubertragung, Teubner 1996
2.2 Hilberttransformation Seite 8
Hilberttransformierte der Rechteck- und Dreieckschwingung
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
a) Rechteckschwingung
t/T →−1 −0.5 0 0.5 1
−4
−2
0
2
4Hilberttransformierte
t/T →
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
b) Dreieckschwingung
t/T →−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
Hilberttransformierte
t/T →
2.3 Analytische Signale Seite 9
2.3 Analytische Signale
Zusammenfassung Quadraturnetzwerk-Ausgangssignale zu einem komplexen Signal:
z(t) = x1(t) + jHx1(t) = x1(t) + jx1(t)
Spektrum eines komplexen Signals mit der Eigenschaft Im· = HRe·Mit Fx1(t) = X1(jω) und Fx1(t) = −j sgn(ω) · X1(jω) folgt
Fz(t) = X1(jω) + j [−j sgn(ω)X1(jω)] = X1(jω) [1 + sgn(ω)]︸ ︷︷ ︸
=
2 fur ω > 0
0 fur ω < 0
allgemein: analytisches Signal zum reellen Signal x(t):
Fx(t) + jx(t) =: Fx+(t) =
2X(jω) fur ω > 0
0 fur ω < 0
Spektrum bei negativen Frequenzen wird ausgeloscht.
2.3 Analytische Signale Seite 10
Auch die komplex zusammengefasste Impulsantwort eines Quadraturnetzwerks ist ein
analytisches Signal:
h+(t) = h1(t) + j h1(t) = h0(t) · cos(ω0t) + j h0(t) · sin(ω0t) = h0(t) · ejω0t
→ H+(jω) = H0(j(ω − ω0)) = 0 fur ω < 0, (falls ωg < ω0)
Graphische Veranschaulichung des Spektrums eines analytischen Signals:
X j1( )w
X j j1( )w + X j1( )w
-w0
-w0
-w0
-w0
w0
w0
w0
w0
konjugiert
jX j1( )w^
X j j1( )/w
^
^
c)
a) b)
d)
w
w
w
w
2.4 Aquivalente Tiefpassdarstellung Seite 11
2.4 Aquivalente Tiefpassdarstellung reeller Bandpass-Signale
reelles Bandpass-Sig.: XBP (jω) = X∗BP (−jω)
analytisches Signal: x+BP (t) = xBP (t) + j xBP (t) −• X+
BP (jω) =
2XBP (jω), ω > 0
0, ω < 0
Verschiebung des Spektrums um ω0 nach links, d.h. zur Frequenz ω = 0
Definition der komplexen Einhullenden:
XTP (jω) = 1/√
2 ·X+BP (j(ω + ω0)) → Zeitbereich: xTP (t) = 1/
√2 · x+
BP (t) · e−jω0t
Bildung der komplexen Einhullenden im Spektralbereich: Graphische VeranschaulichungPSfrag replacements
XBP (jω) X+
BP(jω)
XTP (jω)
1
√
2
2
a) b)
c)
B
ω
ω ω
ω0
ω0ω0
−ω0
−ω0−ω0
2.4 Aquivalente Tiefpassdarstellung Seite 12
Schaltungstechnische Realisierung der komplexen Einhullenden
zwei aquivalente Strukturen von Quadraturmischern:
Quadraturstruktur:PSfrag replacements
xBP (t)
hBP (t)
hBP (t)
x+
BP (t)
1√
2.e−jω0t
xTP (t) , s(t)
j
Tiefpass-Struktur:PSfrag replacements
xBP (t)
√
2
hTP (t)
hTP (t)
x(t)
e−jω0t
xTP (t) , s(t)
Herleitung der Tiefpass-Struktur:
Es sei h+(t) = hBP (t) + j hBP (t) = hTP (t) · ejω0t
xTP (t) = [xBP (t) ∗ h+(t)] · e−jω0t =[
∞∫
−∞
hTP (τ ) ejω0τxBP (t − τ ) dτ]· e−jω0t
xTP (t) =
∞∫
−∞
hTP (τ ) e−jω0(t−τ)xBP (t − τ )︸ ︷︷ ︸
=:x(t−τ)
dτ → xTP (t) = hTP (t) ∗ x(t)
2.4 Aquivalente Tiefpassdarstellung Seite 13
Bedingung fur reelle”komplexe Einhullende“:
Fur reelle Zeitsignale gilt die konjugiert gerade Symmetrie des Spektrums,
also XTP (jω)!= X∗
TP (−jω), d.h. XBP (j(ω0 + ω))!= X∗
BP (j(ω0 − ω))
• Ist das Spektrum eines Bandpass-Signals bezuglich der Mittenfrequenz ω0 konjugiert
gerade, d.h. weist es einen geraden Betrag und eine ungerade Phase bezuglich ω0 auf,
so ist das zugehorige Tiefpass-Signal im Zeitbereich reell, d.h. es liegt der Spezialfall
einer reellen”komplexen Einhullenden“ vor.
Spektrum eines symmetrischen Bandpass-Signals:
| ( )|X jBP w arg X j ( )BP w
-np
np
-w0
w0
-w0
w0 ww
2.5 Komplexwertige Systeme Seite 14
2.5 Komplexwertige Systeme
Anwendung der Betrachtungen zur komplexen Einhullenden auf die Impulsantwort eines
Bandpassfilters:
hTP (t) :=1
2h+
BP (t) · e−jω0t =1
2[hBP (t) + j hBP (t)] e−jω0t i.a.komplex
→ hTP (t) = h′(t) + j h′′(t) h′(t) = RehTP (t), h′′(t) = ImhTP (t)
• Im Gegensatz zur Signal-Definition wird bei Systemen der Faktor 12 eingefuhrt, um
im Tiefpass- wie im Bandpass-Bereich die gleiche spektrale Bewertung zu erreichen.
(Andernfalls wurde bei der Kaskadierung von Systemen der Verstarkungsfaktor akku-
mulieren!)
aquivalente Basisband- Darstellung
eines Bandpass-Systems: x tBP( ) h tBP( ) y tBP( ) x tTP( ) y tTP( )h tTP( )
Bandpaßsystem komplexes Basisbandsystem
2.5 Komplexwertige Systeme Seite 15
Komplexe Faltung
komplexes Eingangssignal: xTP = x′(t) + jx′′(t)
komplexe Impulsantwort: hTP (t) = h′(t) + jh′′(t)
jeweils zwei reelle Signale
yTP (t) = xTP (t) ∗ hTP (t) = [x′(t) + jx′′(t)] ∗ [h′(t) + jh′′(t)]
= x′(t) ∗ h′(t) − x′′(t) ∗ h′′(t) + j[x′(t) ∗ h′′(t) + x′′(t) ∗ h′(t)]
Schaltungsstruktur: Vier paarweise gleiche reelle Faltungen
x (t) h (t)
h (t)
' +
+h (t)'
"
h (t)"
'
x (t)"
y (t)'
y (t)"
+
++
2.5 Komplexwertige Systeme Seite 16
Ubertragungsfunktion eines komplexwertigen Filters: (analog: F· diskret: Z·)• hTP (t) = h′(t) + jh′′(t) −• H(jω) = Fh′(t) + jFh′′(t), H(−jω) 6≡ H∗(jω)
• hTP (k) = h′(k) + jh′′(k) −• H(z) = Zh′(k)︸ ︷︷ ︸
reellw. Syst.
+j Zh′′(k)︸ ︷︷ ︸
reellw. Syst.
komplexwertig
Zh′(k) = ZReh(k) = Z12
[h(k) + h∗(k)
] = 1
2
[analyt.Fkt. von z︷ ︸︸ ︷
H(z) + H∗(z∗)]
Zh′′(k) = ZImh(k) = Z 12j
[h(k) − h∗(k)
] = 1
2j
[H(z) − H∗(z∗)︸ ︷︷ ︸
analyt.Fkt. von z
]
Beispiel: H(z) =z
z − a→ H∗(z∗) =
[ z∗
z∗ − a
]∗=
z
z − a∗
ZReh(k) = RaH(z) =1
2
[H(z)+H∗(z∗)
]
ZImh(k) = IaH(z) =1
2j
[H(z)−H∗(z∗)
]
2.5 Komplexwertige Systeme Seite 17
Entsprechende Beziehung fur die Fourier-Ubertragungsfunktion: (analog/diskret)
FReh(t/k) = RaH(jω/ejΩ) =1
2
[H(jω/ejΩ) + H∗(−jω/e−jΩ)
]
FImh(t/k) = IaH(jω/ejΩ) =1
2j
[H(jω/ejΩ) − H∗(−jω/e−jΩ)
]
Anwendungen komplexwertiger Systeme in der Nachrichtentechnik:
• Systemtheorie der Bandpass-Signale und -Systeme
• Mathematische Beschreibung (Simulation) von Bandpasskanalen in der aquivalenten
Tiefpass- (Basisband-) Ebene
• Realisierung digitaler Modulationsverfahren in der komplexen Signalraumebene
• Gunstige schaltungstechnische Realisierung von Sendern u. Empfangern im Tiefpassbe-
reich (moderne digitale Strukturen)
• Korrektur nichtidealer Bandpasskanale durch komplexwertige Basisbandentzerrer usw.