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Fakultät Maschinenwesen · Institut für Strömungsmechanik · Professur für Turbomaschinen und Strahlantriebe
Grundlagen der Probabilistik
Matthias Voigt
Fakultät Maschinenwesen · Institut für Strömungsmechanik · Professur für Turbomaschinen und Strahlantriebe
Gliederung
• Einleitung
• Theoretische Grundlagen der Statistik
• Probabilistische Methoden
• Mögliche Ergebnisse von probabilistischen Untersuchungen
• Mögliche Fehlerquellen bei probabilistischen Untersuchungen
• Zusammenfassung
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 2 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Quelle: Massachusetts Institute of Technology, Prof. David L. Darmofal
Zwei Turbinenschaufeln aus der gleichen Maschine
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 3
Einleitung
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Probabilistik Definition von Modellen
zur Beschreibung von
zufälligen Ereignissen
Vorhersagen dieser
Ereignisse
Einleitung
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 4
Stochastik
Lehre der Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Kombinatorik Wie viele Möglichkeiten
gibt es, Elemente
anzuordnen oder aus
einer Menge von
Elementen zu ziehen?
Statistik Ableiten von
Gesetzmäßigkeiten
und Strukturen aus
Ereignissen
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Randbedingungen für prob. Simulationen
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Probabilistische Simulationen von Systemen
Deterministische
Modelle
Folie 5 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Beispiele für deterministische Modelle
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Träger auf zwei Stützen mit Kragarm
Ergebnisgrößen:
Durchbiegungen wm, wi
Folie 6 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
Eingangsgrößen:
• Höhe des Trägers
• Breite des Trägers
• E-Modul
• Punktlast
• Position der Punktlast
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Randbedingungen für prob. Simulationen
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Probabilistische Simulationen von Systemen
Deterministische
Modelle
Verteilungsart,
Verteilungsparameter,
Korrelationen der
Eingangsgrößen
Folie 7 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
Probabilistische
Methoden
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Gliederung
• Einleitung
• Theoretische Grundlagen der Statistik
• Probabilistische Methoden
• Mögliche Ergebnisse von probabilistischen Untersuchungen
• Mögliche Fehlerquellen bei probabilistischen Untersuchungen
• Zusammenfassung
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 8 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Zufallsvariablen
Zufallsexperiment
Zufallsvariable
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 9
diskret stetig
Wahrscheinlichkeitsfunktion Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Gaußverteilung
• auch Normalverteilung genannt
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 10
[1]
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Lognormalverteilung
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 11
[1]
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Gleichverteilung
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 12
[1]
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Dreieckverteilung
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 13
[1]
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Zusammenhänge von Verteilungen
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 14 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
[1]
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• Arithmetischer Mittelwert: Flächenschwerpunkt der Fläche unter der Dichtefunktion Stark abhängig von Ausreißern
• Median oder Zentralwert: Stichprobenwert, der genau in der
Mitte einer geordneten Stichprobe steht. Robustes Lagemaß
• Modulwert oder Modus: Ausprägung mit der größten Häufigkeit
Nur eindeutig, wenn die Häufigkeitsverteilung ein eindeutiges Maximum aufweist
Statistische Maße von Stichproben 1
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 15 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
[1]
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Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 16
Statistische Maße von Stichproben 2
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Statistische Maße von Stichproben 3
Standardabweichung:
Variationskoeffizient:
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Folie 17
[1]
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Statistische Maße von Stichproben 4
Schiefe: Grad der Asymmetrie einer Verteilung um den Median
Wölbung: Grad der Flachheit/Steilheit einer Verteilung
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Folie 18
[1]
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Statistische Maße von Stichproben 4
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 19 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Kolmogorow-Smirnow-Anpassungstest
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 20 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Der Anderson-Darling-Test ist eine Modifikation des Kolmogorow-Smirnow-Anpassungstests.
Die Abweichungen der Testverteilung von der Zielverteilung werden in den Randbereichen der Verteilungen höher und im Mittelbereich der Verteilung niedriger gewichtet.
Kritische Werte für sind abhängig von der verwendeten Verteilungsfunktion . Tabellierte Werte für für verschiedene Verteilungsfunktionen sind z.B. in [11] veröffentlicht.
Anderson-Darling-Test
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 21
[10]
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Korrelationen
Korrelationskoeffizient nach Pearson
Wertebereich: [-1,1]
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 22
[1]
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Rangkorrelationskoeffzient nach Spearman
Wertebereich: [-1,1]
Folie 23
Korrelationen
[1]
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Korrelationen
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 24 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Korrelationen
Nichtlineare Zusammenhänge?
• Ant-Hill-Plot
• Regression
• Quadratischer Korrelationskoeffizient DYNARDO [9]
• Nichtlineares Korrelationsmaß ProSi [16]
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 25 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Konfidenzintervall 1
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 26
• Statistische Maße (z.B. Mittelwert, Standardabweichung …) sind Punktschätzungen enthalten keine Aussage über die
Güte der Schätzung
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Konfidenzintervall 2
Relative Häufigkeit des Ereignisses
Linke Grenze:
Rechte Grenze:
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Folie 27
[1]
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 28
Konfidenzintervall 3
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 29 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
Konfidenzintervall 4
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Konfidenzintervall 5
Weicht der Korrelationskoeffizient statistisch signifikant von Null ab, unterscheidet sich seine Verteilung von der Normalverteilung [1].
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Folie 30
[3]
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Konfidenzintervall 6
Folie 31
(a=0.05)
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
Konfidenzintervall 7
Folie 32
(a=0.05)
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Konfidenzintervall 8
Problem: Meist werden Systeme untersucht, in denen
mehrere Zufallsvariablen Einfluss auf eine Ergebnisgröße
haben.
Die Anzahl der Zufallsvariablen hat Einfluss auf die
Irrtumswahrscheinlichkeit der Konfidenzintervalle.
Lösung:
Anpassung der tolerierbaren Irrtumswahrscheinlichkeit
mithilfe der Bonferroni-Methode oder Bonferroni-Korrektur:
Die Bonferroni-Methode ist eine grobe Näherung und
sehr konservativ.
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 33 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
Konfidenzintervall 9
Folie 34
(a=0.05)
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Gliederung
• Einleitung
• Theoretische Grundlagen der Statistik
• Probabilistische Methoden
• Mögliche Ergebnisse von probabilistischen Untersuchungen
• Mögliche Fehlerquellen bei probabilistischen Untersuchungen
• Zusammenfassung
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 35 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 36
Monte-Carlo-Simulation (MCS)
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Sampling-Methoden 1
• Simple-Random-Sampling (SRS)
• Realisierungen werden „zufällig“ ermittelt
• „Transformation“ der durch die Zufallsgeneratoren ermittelten Gleichverteilungen in andere Verteilungen erfolgt z.B. mittels Inversions-methode oder Annahme- Ablehnungsmethode
• „Cluster“-Bildungen der Realisierungen ist möglich
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 37 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Sampling-Methoden 2
• Latin-Hypercube-Sampling (LHS)
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 38
[13]
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Sampling-Methoden 3
• Descriptive-Sampling (DS)
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 39
[14]
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Sampling-Methoden 3
Vor- und Nachteile der Sampling-Methoden
SRS
• Zufallszahlen werden „unsystematisch“ erzeugt
• Liefert bei geringen Stichprobenumfang hohe statistische Unsicherheiten
LHS / DS
• Zufallszahlen werden „systematisch“ erzeugt
• Beschreibt die Zufallsvariablen mit wenigen Realisierungen gut
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 40 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Korrelationen der Eingangsgrößen
Restricted-Pairing wird in ProSi verwendet, um beliebige Korrelationsstrukturen zwischen Eingangsgrößen zu erzeugen. - Ausgangspunkt: Zielkorrelationsmatrix
• symmetrisch positiv semidefinite Matrix - Iterative Methode geeignetes Abbruchkriterium
Folie 41
[16]
3. Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
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Korrelationen der Eingangsgrößen
Ergebnisse von jeweils 500 MCS
Folie 42 3. Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
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Monte-Carlo-Simulation
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 43 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Monte-Carlo-Simulation
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 44
Überleben
Versagen
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 45
Antwortflächenverfahren (RSM)
Überleben
Versagen
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Versuchspläne 1
Vollfaktorieller Versuchsplan
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 46
[4,5,6]
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Versuchspläne 2
Central-Composite-Design
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 47
[4,5,6]
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Versuchspläne 3
Box-Behnken-Design
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 48
[4,5,6]
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Versuchspläne 4
Simplex-Design
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 49
[4,5,6]
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 50
Versuchspläne 5
*
* Bei den Variablenanzahlen 3-7 und 9-12 sind die originalen BBD [7] dargestellt die anderen beruhen auf Veröffentlichungen von Mee [8]
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Methode der kleinsten Quadrate 1
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 51
Approximationsfunktion mit Polynomen zweiter Ordnung:
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Methode der kleinsten Quadrate 2
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 52
[4,5,6]
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Bestimmtheitsmaß:
Summe der Abweichungsquadrate:
Totale Summe der Abweichungsquadrate:
Summe der Quadrate der Approximationsfehler:
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 53
[4,5,6]
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
Analyse des Approximationsergebnisses
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Analyse des Approximationsergebnisses
Das Bestimmtheitsmaß beschreibt den Anteil der Varianz von , der durch die Eingangsgrößen erklärt wird.
korrigiertes Bestimmtheitsmaß:
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 54
[4,5,6]
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Gliederung
• Einleitung
• Theoretische Grundlagen der Statistik
• Probabilistische Methoden
• Mögliche Ergebnisse von probabilistischen Untersuchungen
• Mögliche Fehlerquellen bei probabilistischen Untersuchungen
• Zusammenfassung
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 55 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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(LHS, DS) (SRS) MCS
Ausfallwahrscheinlichkeit
Folie 56
RSM
Importance Sampling, Zuverlässigkeitsverfahren
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Notwendige Anzahl der deterministischen Rechnungen:
MCS: SRS LHS, DS
RSM: - Stark abhängig von der Variablenanzahl - Größer bei unbekannter Lage der Versagensfunktion - Betrachtung jeweils nur einer Ergebnisgröße möglich
Importance Sampling:
- Größer bei unbekannter Lage der Versagensfunktion - Betrachtung jeweils nur einer Ergebnisgröße möglich
Zuverlässigkeitsverfahren:
- Betrachtung jeweils nur einer Ergebnisgröße möglich
- Numerische Probleme bei stark nichtlinearen Versagensfunktionen
Ausfallwahrscheinlichkeit
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 57 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Häufigkeit
Histogramm
Folie 58 3. Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
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Plot statistischer Größen
Monte-Carlo-Simulation
Für jede deterministische Rechnung innerhalb der MCS: Auslesen der Ergebnisgröße an allen Knoten des FE-Modells.
Statistische Auswertung aller Werte
Hinzufügen der statistischen Ergebnisse zu einer Datenbank
Folie 59
Farbkontur: Relative Häufigkeit einer speziellen Zyklenzahl
Graphische Auswertung im 3D-Viewer
3. Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
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Robustes Design?
• Ingenieurmäßige (deterministische) Maße:
Überschreiten von Grenzwerten
Auftreten von unerwünschten plötzlichen Änderungen der Ergebnisgrößen (z.B. lokales Maximum der Ergebnisgröße)
Ansprechen von Systeminstabilitäten (z.B.: Beulen)
• Statistische Maße
Lage der Mittelwerte der Ergebnisgrößen
Größe der Variationskoeffizienten der Ergebnisgrößen
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 60
[12]
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 61
Robustes Design?
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Robustes Design?
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 62
Verzweigungssystem
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Robustes Design?
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 63
Verzweigungssystem mit Ausreißern
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Robustes Design?
Notwendige Anzahl der det. Rechnungen bei einer MCS:
Überschreiten von Grenzwerten, Auftreten von
unerwünschten plötzlichen Änderungen der Ergebnisgrößen,
Ansprechen von Systeminstabilitäten:
Abhängig von der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
Lage der Mittelwerte der Ergebnisgrößen:
≈ 30…50
Größe der Variationskoeffizienten der Ergebnisgrößen:
≈ 50…100
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 64 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Sensitivitäten
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 65 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
Fakultät Maschinenwesen · Institut für Strömungsmechanik · Professur für Turbomaschinen und Strahlantriebe
Sensitivitäten
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 66 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
Fakultät Maschinenwesen · Institut für Strömungsmechanik · Professur für Turbomaschinen und Strahlantriebe
Sensitivitäten
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 67 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
Fakultät Maschinenwesen · Institut für Strömungsmechanik · Professur für Turbomaschinen und Strahlantriebe
COI
3. Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 68
[15]
Antwortfläche dritter Ordnung
Antwortfläche erster Ordnung Antwortfläche erster Ordnung
Antwortfläche dritter Ordnung
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Sensitivitäten, globale Auswertung
Farbkontur: Rangkorrelation zwischen der Kernverschiebung U4 und der Zyklenzahl
Folie 69
1
2
Fixpunkt
U1
U2
U3
U4
U5
3
3. Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
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Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 70
Verbesserung des Systems
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 71
Probabilistischen Optimierung
Strukturanalyse
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 72
Probabilistischen Optimierung
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
Fakultät Maschinenwesen · Institut für Strömungsmechanik · Professur für Turbomaschinen und Strahlantriebe
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 73
Probabilistischen Optimierung
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
Fakultät Maschinenwesen · Institut für Strömungsmechanik · Professur für Turbomaschinen und Strahlantriebe
3. Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 74
Ersatzmodelle
R2= 0.997
Antwortfläche dritter Ordnung mit gemischten Termen und Box-Cox-Transformation
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3. Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 75
Ersatzmodelle
R2= 0.997
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Gliederung
• Einleitung
• Theoretische Grundlagen der Statistik
• Probabilistische Methoden
• Mögliche Ergebnisse von probabilistischen Untersuchungen
• Mögliche Fehlerquellen bei probabilistischen Untersuchungen
• Zusammenfassung
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 76 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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nsim= 500
3. Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 77
R2 - Aussagefähigkeit
R2= 0.997
Antwortfläche dritter Ordnung mit gemischten Termen und Box-Cox-Transformation
R2= 0.923
Antwortfläche zweiter Ordnung ohne gemischten Terme
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3. Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 78
R2 - Aussagefähigkeit
R2= 0.980
Antwortfläche zweiter Ordnung mit gemischten Termen und Box-Cox-Transformation
R2= 0.943
Antwortfläche zweiter Ordnung ohne gemischten Terme
nsim= 50
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3. Dresdner Probabilistik-Workshop Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Sensitivitäten
Folie 79
Notwendige Anzahl der det. Rechnungen bei einer MCS ist abhängig von den Beträgen der zu ermittelnden Korrelationskoeffizienten
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Einfluss der Eingangsgrößenstreuung
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 80 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Einfluss der Eingangsgrößenstreuung
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 81 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Einfluss der Eingangsgrößenkorrelation
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 82 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
Fakultät Maschinenwesen · Institut für Strömungsmechanik · Professur für Turbomaschinen und Strahlantriebe
Einfluss der Eingangsgrößenkorrelation
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 83 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Gliederung
• Einleitung
• Theoretische Grundlagen der Statistik
• Probabilistische Methoden
• Mögliche Ergebnisse von probabilistischen Untersuchungen
• Mögliche Fehlerquellen bei probabilistischen Untersuchungen
• Zusammenfassung
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 84 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Folie 85
Probleme Vorteile
• ausreichende Datenbasis
für stochastische Variablen
• höherer Ingenieuraufwand
parametrische Modelle be-
züglich der stochastischen
Variablen,
Interpretation der Ergebnisse
• hoher Berechnungsaufwand
durch mehrfache Struktur-
analysen
• Versagenswahrscheinlichkeit
keine akkumulierten
konservativen Annahmen
• Robustheit des Designs
• Sensitivität bezüglich der
stochastischen Variablen
• Kostengünstigeres Design
größere Toleranzen wenn
möglich, kleinere Toleranzen
wenn nötig
bei der Anwendung der probabilistischen Methoden
Zusammenfassung
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Grundlagen der Probabilistik
Matthias Voigt
Fakultät Maschinenwesen · Institut für Strömungsmechanik · Professur für Turbomaschinen und Strahlantriebe
Literatur
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 87
[1]
[2]
[5]
[4]
[7]
[3]
[6]
[8]
[9]
[10]
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Literatur
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 88
[11]
[13]
[12]
[14]
3. Dresdner Probabilistik-Workshop
[15]
[16]
Fakultät Maschinenwesen · Institut für Strömungsmechanik · Professur für Turbomaschinen und Strahlantriebe
Deterministisches Beispiel
Grundlagen der Probabilistik Matthias Voigt
Folie 89 3. Dresdner Probabilistik-Workshop
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Deterministisches Beispiel
Folie 90
Verformungen:
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3. Dresdner Probabilistik-Workshop