grundwissenskatalog g8-lehrplanstandard - jng-rohr · bezeichnungen: (g, h) oder asb oder mit gr....
TRANSCRIPT
GRUNDWISSEN MATHEMATIK
Geometrie Grundwissenskatalog
G8-Lehrplanstandard
Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums
Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing
J O H A N N E S - N E P O M U K - G Y M N A S I U M
R O H R
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 2 von 30 JNG Rohr
Körper
Körper sind räumliche Gebilde. (3 Dimensionen)
Sie lassen sich anhand von Schrägbildern oder Netzen darstellen.
Würfel
6 gleiche quadratische Seiten
Quader
Gegenüberliegende Rechtecke sind gleich.
Prisma
Gleiche eckige Grund- und Deckfläche.
Pyramide Eckige Grundfläche und Spitze
Zylinder
Gleiche kreisförmige Grund- und
Deckfläche
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 3 von 30 JNG Rohr
A B
A B
A B
Kegel
Kreisförmige Grundfläche und Spitze
Kugel
Alle Punkte der Oberfläche sind vom Mittelpunkt
gleich weit entfernt.
Geometrische Grundbegriffe
Strecke [AB] ist die Menge aller Punkte
zwischen A und B einschließlich A und B.
Länge der Strecke AB ist die Entfernung von A nach B.
Abstand eines Punktes P von einer Geraden g ist die Länge der
senkrechten Verbindungsstrecke von P zu g: d(P;g)
Halbgerade [AB
Gerade AB
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 4 von 30 JNG Rohr
zueinander senkrecht: ⊥
Zeichnen der Lotgerade durch S zu CD:
zueinander parallel: ||
Zeichnen der Parallelen durch P zu [AB]:
Rechts: Zeichnen der Parallelen zu g durch einen weit entfernten
Punkt A (Parallelverschiebung)
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 5 von 30 JNG Rohr
M x
Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem gegenüberliegende
Seiten parallel sind; es entsteht, wenn sich zwei Parallelenpaare
kreuzen.
Parallelogramm Rechteck (Parallelogramm mit vier rechten Winkeln)
Quadrat Raute (Rechteck mit vier gleich langen Seiten) (Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten)
Kreis: Alle Punkte der Kreislinie haben vom Mittelpunkt die glei-
che Entfernung (Radius r) k(M;r)
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 6 von 30 JNG Rohr
Winkel
Dreht man die Halbgerade g (Schenkel) um den Anfangspunkt S
(Scheitel) gegen den Uhrzeigersinn (Linksdrehung) bis zur Halb-
geraden h (Schenkel), so entsteht der Winkel zwischen g und h.
h
B
S A g
Bezeichnungen: (g, h) oder ASB
oder mit gr. Buchstaben: α, β, γ, δ, ε, φ
Winkelarten:
Gradzahl Bezeichnung
0° < < 90° spitzer Winkel
= 90° rechter Winkel
90° < < 180° stumpfer Winkel
= 180° gestreckter Winkel
180° < < 360° überstumpfer Winkel
= 360° Vollwinkel
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 7 von 30 JNG Rohr
Achsensymmetrie
Zueinander symmetrische Punkte bilden eine Strecke, die von der
Symmetrieachse senkrecht halbiert wird.
C C‘
. A A‘
B B‘ Symmetrieachse
Figuren, die man durch Falten (entlang der Symmetrieachse) auf-
einander legen kann heißen achsensymmetrisch.
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 8 von 30 JNG Rohr
Rechnen mit Größen
Eine Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit.
Längen: Umrechnungszahl ist 10. (Ausnahme 1km = 1000m)
mm → cm → dm → m → km
Massen: Umrechnungszahl ist immer 1000.
mg → g → kg → t
Zeit: s → min → h Umrechnungszahl ist 60.
Größen können auch in gemischten Einheiten (2kg30g) oder in
Kommazahlen (3,15m oder auch 3:20,5h) angegeben werden.
Rechenregeln:
Es können nur Größen derselben Einheit addiert bzw. subtrahiert
werden.
12cm + 3,2m = 12cm + 320cm = 332cm = 3,32m
Der Quotient zweier gleichartiger Größen ergibt eine (An-)zahl.
15kg : 3kg = 5
Eine Größe wird mit/durch eine/r Zahl multipliziert/dividiert, in-
dem man die Maßzahl mit/durch die/der Zahl multipli-
ziert/dividiert und die Einheit beibehält.
3h20min ∙ 4 =200min ∙ 4 = 800min = 13h20min
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 9 von 30 JNG Rohr
Maßstab
1:1000 bedeutet, dass Längen auf der Karte in Wirklichkeit
1000mal größer sind oder, dass Längen in Wirklichkeit
auf einer Karte 1000mal kleiner zu sehen sind.
Flächeneinheiten
Flächen: Umrechnungszahl ist immer 100.
mm2 cm
2 dm
2 m
2 a ha km
2
123 456 m2 = 12 ha 34 a 56 m
2
1m2 2cm
2 34 mm
2 = 10002,34 cm
2
Rechteck:
Quadrat:
Oberflächeninhalte
Quader:
Würfel: (bei Kantenlänge s)
O = 2∙( l∙b + l∙h + b∙h )
)
O = 6s2
U = 2∙( l + b ) A = l ∙ b
AQ = a² UQ = 4a
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 10 von 30 JNG Rohr
Flächen- und Rauminhalt
Parallelogramm:
P a bA a h b h ;
Der Abstand zweier paralleler Seiten heißt Höhe.
Dreieck
1D a2
1b2
1c2
A a h
b h
c h ;
Dreiecke mit gleicher Grundlinie und Höhe haben denselben Flä-
cheninhalt
Trapez
1T 2
A (a c) h
m h ;
.
.
. .a
ah
bhb
c
d
c
ab
ha
hb
hc
A B
C
.
.
.
a
b
c
d m
h
.
.
.
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 11 von 30 JNG Rohr
Volumeneinheiten:
mm3 cm
3 dm
3 m
3
Umrechnungszahl 1000
bzw. Komma verschiebt sich um
3 Stellen
1 ℓ = 1 dm3
Bsp: 123 456 cm3 = 123,456 dm
3
= 123 dm3 456 cm
3
1m3 2dm
3 34 cm
3 = 1 002 034 cm
3 =1,002034 m
3
Volumen des Quaders
l = Länge, b = Breite, h = Höhe, G = l b Grundfläche
Volumen des Würfels
s = Seitenlänge
Vw = s3
VQ = l b h = G h
l b
h
s
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 12 von 30 JNG Rohr
Symmetrische Figuren
Achsensymmetrie
Abbildungsvorschrift der Achsenspiegelung:
Bei gegebener Achse a wird jedem Punkt P
der Ebene ein Bildpunkt P’ auf folgende
Weise zugeordnet:
Falls P a, liegt P’ so, dass [PP’] von
der Achse a senkrecht halbiert wird.
Falls P a ist, gilt P = P’ (Fixpunkt)
Die Spiegelachse und alle senkrecht zu ihr verlaufenden Geraden
sind Fixgeraden. Eine Figur, die bei einer Achsenspiegelung wie-
der auf sich abgebildet wird, heißt achsensymmetrisch.
Punktsymmetrie
Abbildungsvorschrift der Punktspiegelung:
Bei gegebenem Zentrum Z wird jedem
Punkt P der Ebene ein Bildpunkt P’ so
zugeordnet:
Für P ≠ Z liegt P’ so, dass P’ PZ
und PZ = P'Z (→ so auch Konstruktion)
Für P = Z ist P’ = Z (Fixpunkt).
a
A
C
A’ B=B’
C’
Z A
B
C
C’
A’ B’
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 13 von 30 JNG Rohr
Alle Geraden durch Z sind Fixgeraden. Eine Figur, die bei einer
Punktspiegelung (180°-Drehung um ein Symmetriezentrum) wie-
der auf sich abgebildet wird, heißt punktsymmetrisch.
Besondere Vierecke
Parallelogramm
Ein Viereck, bei dem je zwei Gegenseiten
parallel sind, heißt Parallelogramm.
Jede der folgenden Aussagen ist gleichwertig:
Das Parallelogramm ist punktsymmetrisch.
Im Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig.
Sonderfälle:
Die Raute ist ein Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten
(zweifach diagonalsymmetrisch).
Das Rechteck ist ein Parallelogramm mit 4 gleich großen Winkeln
(zweifach mittensymmetrisch).
Das Quadrat ist ein Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten
und 4 gleich großen Winkeln
(jeweils zweifach diagonal- und mittensymmetrisch).
Trapez
Ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel
sind, heißt Trapez.
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 14 von 30 JNG Rohr
2
2
2
2
h
g
1
1 1
1
Ein einfach mittensymmetrisches Trapez heißt auch
gleichschenkliges Trapez.
Drachenviereck
Ein Viereck heißt Drachenviereck, wenn es
eine Symmetrieachse durch zwei Gegenecken
hat (einfach diagonalsymmetrisch).
Sätze über Winkel
Geradenkreuzung:
Zwei Geraden, die sich in einem Punkt
schneiden, nennt man eine Geraden-
kreuzung. Nebeneinander liegende
Winkel heißen Nebenwinkel, sie erge-
ben zusammen stets 1800. Gegenüberliegende Winkel heißen
Scheitelwinkel. Sie sind gleich groß.
Doppelkreuzung:
Die Winkelpaare 1 und 2, 1 und 2,
1 und 2 sowie 1 und 2 heißen Stu-
fenwinkel (F-Winkel).
1 und 2, 1 und 2, 1 und 2 sowie 1
und 2 heißen Wechselwinkel (Z-
Winkel).
1 und 2, sowie 1 und 2 heißen Nachbarwinkel
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 15 von 30 JNG Rohr
Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn
die Geraden g und h parallel sind; dann ergänzen sich auch Nach-
barwinkel zu 180°
Innenwinkel bei Dreiecken und Vierecken:
Die Summe der Innenwinkel ergibt im Dreieck 180°, in jedem
Viereck 360°. Die Winkelsumme im n-Eck beträgt (n - 2) ∙ 180°
Besondere Dreiecke
Das gleichschenklige Dreieck
Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten
(Schenkel) heißt gleichschenklig. Die dritte Seite
heißt Basis.
Jede der folgenden Aussagen ist gleichwertig:
Das Dreieck ist gleichschenklig.
Das Dreieck ist achsensymmetrisch.
Das Dreieck besitzt zwei gleich große Win-
kel. Basis
Das gleichseitige Dreieck
Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten
heißt gleichseitig. Seine Innenwinkel betra-
gen jeweils 600.
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 16 von 30 JNG Rohr
A
B
C
AB
C
Das rechtwinklige Dreieck
Ein Dreieck ABC hat genau dann bei C
einen rechten Winkel, wenn C auf dem
Halbkreis über [AB] liegt. (Thaleskreis)
Die Schenkel des rechten Winkels sind die
Katheten, die Gegenseite des rechten Win-
kels ist die Hypotenuse (längste Seite).
Besondere Linien im Dreieck
Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis. Sein
Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mit-
telsenkrechten zu den Dreiecksseiten
(kann innerhalb, außerhalb des Dreiecks
oder auf einer Seite liegen).
In jedem Dreieck schneiden sich die Win-
Winkelhalbierenden in genau einem
Punkt, dem
Inkreismittelpunkt.
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 17 von 30 JNG Rohr
Im Dreieck schneiden sich die Höhen in genau einem Punkt.
Im Dreieck schneiden sich die Seitenhal-
bierenden im sogenannten Schwerpunkt.
Kongruenz
Figuren, die sich beim Aufeinanderlegen decken, heißen de-
ckungsgleich oder kongruent.
Sind zwei Figuren F und G kongruent, so schreibt man kurz:
F G.
In kongruenten Figuren sind einander entsprechende Winkel
gleich groß und einander entsprechende Seiten gleich lang.
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 18 von 30 JNG Rohr
Kongruenzsätze für Dreiecke
SSS: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen Seiten überein-
stimmen.
SWS: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem
Zwischenwinkel übereinstimmen.
WSW Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und
SWW: zwei gleichliegenden Winkeln übereinstimmen.
SsW: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem
Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen.
Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln:
In jedem Dreieck liegt der längsten Seite der größte Winkel ge-
genüber. Jede Seite ist kleiner als die Summe der anderen Drei-
ecksseiten.
Konstruktionen
Symmetriepunkt
1. Kreise um A und B (beliebig auf a) mit
Radien AP und BP
2. P‘ ist „zweiter“ Schnittpunkt der bei-
den Kreise
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 19 von 30 JNG Rohr
Pg
AB
AB
Mittelsenkrechte
G
H
a
waw
S
Mittelsenkrechte
(Symmetrieachse bzw. damit Symmetriezentrum zu A,B)
1. Kreis um A und B mit gleichem Radius
r
2. Gerade durch die Schnittpunkte ist die
Mittelsenkrechte von [AB]
Winkelhalbierende
1. Kreis um S mit beliebigem Radius r
schneidet die beiden Schenkel des Winkels
in G und H
2. Mittelsenkrechte zu [GH] ist die Winkel-
halbierende
Lot errichten (Pg)
1. Kreis um P schneidet die Gerade g in A und B.
2. Mittelsenkrechte der Strecke [AB] ist das
gesuchte Lot
Lot fällen (Pg)
1. Spiegle P an der Achse g.
2. Gerade PP’ ist das gesuchte Lot.
w
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 20 von 30 JNG Rohr
Strahlensatz
Sich schneidende Geraden werden von Parallelen geschnitten:
V-Figur
« Baum zu Stab, wie Baumschatten zu Stabschatten »
X-Figur
Je zwei Abschnitte auf g1 verhalten sich wie die entspre-
chenden Abschnitte auf g2.
Die Abschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie ihre
Abstände zum Geradenschnittpunkt Z.
g1
g2
A1
B1
A2 B2
A1
B1 A2
B2
Z
g1
g2
21:211:1 :Parallelen dieüber
22:211:1 :Schenkel dieüber
BBAAZBZA
BAZABAZA
Z
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 21 von 30 JNG Rohr
Ähnlichkeit
Ähnliche Figuren
Zwei Figuren F1 und F2 heißen ähnlich
(F1 ~ F2), wenn sie formgleich sind, d.h. die eine ein maßstabs-
und winkeltreues Abbild der anderen ist (Maßstab Ähnlichkeits-
faktor).
Ähnliche Dreiecke
Eigenschaften: Wenn zwei Dreiecke ähnlich sind, sind entspre-
chende Winkel und entsprechende Seitenverhältnisse gleich groß.
Ähnlichkeitssätze (analog zu den Kongruenzsätzen):
Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn zwei Winkel des einen
mit zwei Winkeln des andern übereinstimmen.
Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis ihrer
Seiten übereinstimmen.
Zueinander kongruente Figuren sind auch ähnlich, mit Ähnlich-
keitsfaktor gleich 1.
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 22 von 30 JNG Rohr
Das rechtwinklige Dreieck
Die Satzgruppe des Pythagoras
Hypotenusensatz (Satz des Pythagoras):
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das
Hypotenusenquadrat flächengleich der Summe
der Flächeninhalte der Kathetenquadrate.
(Die Umkehrung des Satzes gilt auch!)
Höhensatz:
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat
über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus
den beiden Hypotenusenabschnitten.
qph2
c A B
C
a b
p q
222 cba
h
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 23 von 30 JNG Rohr
qcbbzw.pca 22
Kathetensätze:
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist jedes
Kathetenquadrat flächengleich dem Rechteck aus
der Hypotenuse und dem der Kathete anliegenden
Hypotenusenabschnitt.
Merkenswerte Anwendungen:
Diagonale im Quadrat:
Höhe im gleichseitigen Dreieck:
Raumdiagonale im Quader:
Trigonometrie (0° < α < 90°)
Sinus: Gegenkathete von
sinHypotenuse
Kosinus: Ankathete von
cosHypotenuse
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 24 von 30 JNG Rohr
Tangens: Gegenkathete von
tanAnkathete von
sin(90 ) cos
cos(90 ) sin
sintan
cos
2 2sin cos 1
Schreibweise: 22sin : sin
0°
30° 45°
60° 90°
sin 0
1
2
12
2
13
2
1
cos 1
1
32
12
2
1
2 0
tan
0
1
33
1
3
nicht
definiert
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 25 von 30 JNG Rohr
Raumgeometrie
Cavalierisches Prinzip
Stehen zwei Körper gleicher Höhe und gleichen Grundflächenin-
halts auf einer Ebene E und werden sie von jeder Parallelebene in
inhaltsgleichen Flächen geschnitten, haben sie das gleiche Volu-
men.
Pyramide
Höhe h: Lot von der Spitze auf die Grundebene.
Mantelfläche: Summe aller Seitenflächen
Volumen: hG3
1V
Tetraeder: dreiseitige Pyramide mit gleich langen Kanten.
Spitze S
Seitenkante
Seitenfläche
(Dreieck)
Grundfläche G
(Vieleck hier
Sechseck)
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 26 von 30 JNG Rohr
Neigungswinkel β einer Geraden gegen-
über einer Ebene (hier Seitenkante s und
Grundflächen-ebene)
Neigungswinkel α einer Ebene gegen-
über einer Ebene (hier Seitenflächen- und
Grundflächen-ebene)
Prisma Volumen hGV
Oberfläche: GMO 2
Zylinder Volumen hrhGV 2
Mantelfläche: hrhuM Kreis 2
Oberfläche: 2222 rhrGMO
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 27 von 30 JNG Rohr
Kegel Volumen:
Die Mantelfläche ist ein Kreissektor
mit dem Radius s (Mantellinie) und
der Bogenlänge 2r Mantelfläche srM .
Oberfläche:
2rsrGMO
Netze
Pyramidennetz Prismanetz
2rs
hrhGV 231
31
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 28 von 30 JNG Rohr
Die Kreiszahl π
Kreisteile
Bogenlänge:
rub
180360
Sektorfläche: 2
360360rAA KreisSek
br
21
Bogenmaß
Das Bogenmaß x ist das zu gehörende Verhältnis
Bogenlänge
Radius, also die Zahl
180x .
Gradmaß 0° 30° 45° 60° 90° 180° 360°
Bogenmaß x 0 1
6
1
4
1
3
1
2 2
Merke:
x
180 , also 180
x
Kugel und
3
34 rV π4rO 2
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 29 von 30 JNG Rohr
Trigonometrie
Einheitskreis
Die Sinus- und Kosinuswerte der
Winkel
(180 ), (180 ), (360 )
sind betragsgleich.
Für die Vorzeichen gilt:
Sinus Kosinus
negative Winkel (im Uhrzeigersinn)
sin( ) sin , cos( ) cos , tan( ) tan
451
221sin )2
21(si n
1 und
135180 12
5,252360 und 5,1073,0cos 121
sin 150° = sin (180° - 150°) = sin 30° = 0,5
cos α = sin (90° - α)
sin
sin
-sin
-sin
tan
cos-cos 1
1
-1
-1
Grundwissen Mathematik 5G8
Seite 30 von 30 JNG Rohr
Sinus- und Kosinussatz
Im Dreieck ist das Verhältnis zweier Seiten gleich dem Verhältnis
der Sinuswerte der Gegenwinkel.
sin
sin
b
a
sin
sin
c
a
sin
sin
c
b
In jedem Dreieck gilt : cos2222 abbac
cos2222 bccba
cos2222 accab
(Der Satz des Pythagoras ist davon ein Sonderfall, 90 )