grupno napo epetnicamat.rs/wp-content/uploads/2018/05/grupnonapolje.pdf · duxan dragutinovi (isp)...

Grupno napoe

Duxan Dragutinovi�

[email protected]

1. maj 2018.

Duxan Dragutinovi� (ISP) Istra�ivaqka stanica Petnica 1. maj 2018. 1 / 26

mailto:[email protected]

Pregled

1 Algebarske strukture

2 Grupe

Cikliqne grupe

Diedarske grupe

Simetriqna grupa

Eliptiqke krive

Proizvod grupa

3 Prsteni

4 Poa


Algebarska struktura

Algebarska struktura za nas

Algebarskom strukturom A � pA,#,�, �, ...q smatramo skup A i na

�emu zadane neke binarne operacije #,�, �... : A2 Ñ A. Namazanimive bi�e:

Grupe

Prsteni (Komutativni prsteni sa jedinicom)

Poa


Algebarska struktura

Algebarska struktura za stvarno

Algebarska struktura A je ure�en par A � pA,Sq, gde je A neki skup, a

S neki konaqan skup operacija. Te operacije mogu biti i razliqitih

du�ina. Operacijom du�ine n na skupu A smatramo preslikava�e

w : An Ñ A.

Primer operacija:

Unarne: Istaknuti element

Binarne: �pa, bq :� a� b, a, b, a� b P A

n - arne: wpa1, ..., anq � b, a1, ..., an, b P A


Grupe

Grupa

Algebarsku strukturu pG , �q nazivamo grupom, ako zadovoava

naredne uslove:

0. (dobra definisanost) Ako x , y P G tada i x � y P G1. (asocijativnost) Za sve x , y , z P G va�i

x � py � zq � px � yq � z

2. (postoja�e neutrala) Postoji e P G takav da za sve x P G va�i

x � e � e � x � x

3. (postoja�e inverza) Za svako x P G postoji neko y P G tako da

va�i

x � y � y � x � e


Grupa

Abelova grupa

Neka pored stavki 0, 1, 2, 3 va�i i stavka:

4. (komutativnost) Za sve x , y P G va�i

x � y � y � x

Takvu grupu nazivamo Abelovom grupom.

Primeri: Z,Q,R


Primeri

Primer

1. Neka je G � t3k � 1|k P Zu i neka je na G zadata operacija

uobiqajnog mno�e�a �.

Primer

2. Neka je G � R i neka je operacija zadata sa x � y � 1� x � y .

Da li su pG , �q, pR, �q grupe?


Primeri

Primer

3. Neka je G skup svih kvadratnih matrica i neka je na G zadata

operacija mno�e�a matrica �.

Primer

4. Neka je GL2pRq skup svih realnih kvadratnih matrica oblika�a bc d

takvih da je ad � bc � 0 i na GL2pRq zadata operacija

mno�e�a matrica �.

Da li su pG , �q, pGL2pRq, �q grupe?


Raquna�e u grupi

Neka je pG , �q grupa i a, b, c P G

Iz a � b � c � a ne mo�emo zakuqiti b � c, to je sluqaj samo

Abelove grupe G

Iz a � b � a � b � a � c � b mo�emo zakuqiti b � a � c

pa � bq�1 � b�1 � a�1

Pixemo an � a � ... � a

Nije taqno pa � bqn � an � bn, sem za Abelove grupe G


Primeri, jox jednom

Primer

5. Neka je Z skup celih brojeva, a nZ � tn � k |k P Zu. Poka�imo da su

pZ,�q i pnZ,�q grupe.

Dakle, pnZ,�q je grupa i sadr�ana je u grupi pZ,�q.


Podgrupe

Podgrupa

Neka je pG , �q grupa, neka je H � G i neka je pH, �q grupa. Tada Hnazivamo podgrupom grupe G , u oznaci H ¤ G .

Za ispitiva�e da li je nexto podgrupa od znaqaja nam je najvixe

slede�a teorema.

Teorema

Neka je pG , �q grupa, H � G , H � H. Tada su slede�e stvari

ekvivalentne:

1. H ¤ G2. Za sve a, b P H a�1 � b P H3. Za sve a, b P H a � b, a�1 P H


Cikliqna grupa

Cikliqna grupa

Za grupu G ka�emo da je cikliqna ako postoji a P G tako da je

G � tam|m P Zu. Pixemo G � a ¡.

Ako G ima beskonaqno mnogo elemenata, ka�emo da je

beskonaqnog reda. To se za cikliqne grupe dexava kada ne

postoji n P Z takvo da je an � e.

Inaqe, red grupe je broj |G |.

Ako postoji najma�e n takvo da je an � e, ka�emo da je red

elementa a jednak n i pixemo rpaq � n.

Cikliqne grupe reda n izomorfne su sa Zn.


Diedarska grupa

Diedarska grupa

Diedarska grupa je grupa simetrija pravilnog n-tougla. Formalno,

Diedarska grupa jeste grupa

Dn � r , s|rn � 1, s2 � 1, sr � r�1s ¡

Geometriju prebacujemo u algebru

r ¡ je podgrupa reda n grupe Dn

s ¡, sr ¡, sr2 ¡, ... su podgrupe reda 2 grupe Dn

Slika: Primer osnih refleksija s, sr , sr2, ...


Lagran�ova teorema

Lema

Neka je H podgrupa grupe G i neka je a neki element iz G . Tada

postoji bijekcija izme�u skupova H i aH :� ta � h|h P Hu.

Lema

Neka je H podgrupa grupe G . Neka je na G zadata relacija � sa: a � bakko a�1 � b P H. Tada je � relacija ekvivalencije na G i klasa

ekvivalencije za proizvoan element a P G je Ca � aH.


Za H podgrupu od G sa rG : Hs oznaqimo broj razliqitih aH za a P G ,tj. broj klasa ekvivalencije relacije �.

Teorema (Lagran�)

Neka je G konaqna grupa i H neka �ena podgrupa. Tada va�i

rG : Hs � |H| � |G |

Specijalno, va�i:

|H| | |G |


Naizgled naivni primeri

Lagran� ka�e da i red svakog elementa deli red grupe

Ako je rpaq � n i am � e za neko m, tada n|m

pZpz t0u , �pq qini grupu, gde je �p mno�e�e po modulu p, gde je pprost broj


Prostih brojeva postoji beskonaqno mnogo

Teorema

Prostih brojeva postoji beskonaqno mnogo.


Simetriqna grupa

Simetriqna grupa

Simetriqna grupa skupa X jeste skup svih bijekcija (dakle

funkcija!) iz skupa X na samog sebe sa operacijom kompozicije

preslikava�a. Oznaqavamo je sa SympX q.Za konaqan skup X sa n elemenata koristimo oznaku Sn. Dakle,elementi grupe Sn su permutacije (� bijekcije) skupa t1, 2, ..., nu.

Poka�imo da je ovo stvarno jedna grupa

Koliki je red ove grupe?

Svaku permutaciju iz Sn mo�emo napisati kao proizvod ciklusa


Eliptiqke krive

Posmatrajmo jednaqine oblika y2 � x3 � p � x � q i skicirajmo

ih u Dekartovom koordinatnom sistemu.

Odaberimo proizvono neku taqku sa krive i oznaqimo je sa O.

�u �emo proglasiti neutralom grupe svih taqaka sa eliptiqke

krive u odnosu na operaciju � koju �emo kasnije definisati i ta

taqka O �e zaista biti neutral takve grupe.


Sabira�e taqaka (me�ukorak)


Sabira�e taqaka

Slika: Sabira�e taqaka na krivoj


Tra�e�e inverznog elementa

Slika: Tra�e�e inverznog elementa


Proizvod grupa

Direktan proizvod grupa pG , �q i pH,#q jeste grupa pG � H, �q gde jeoperacija � zadata koordinatno, tj. pa, bq � pc , dq :� pa � c , b#dq, zapa, bq, pc , dq P G � H.

Ova definicija je dobra, tj. pG � H, �q je zaista grupa

Primeri: D8 � S93, Klajnova grupa V � Z2 � Z2, Z8 � Z15 � Z15


Prsteni

Definicija (Prsten)

Algebarsku strukturu pR,�, �q nazivamo prstenom ako je:

pR,�q Abelova grupa

pRz teu , �q asocijativna (e je neutral za �)

Za sve a, b, c P R va�i pa� bq � c � a � c � b � c i

c � pa� bq � c � a� c � b

Ako pritom postoji neutralni element za � i pRz teu , �q jekomutativna, prsten pR,�, �q nazivamo komutativnim prstenom sa

jedinicom.

Primeri:

pZ,�, �qpZn,�n, �nq

pZn � Zm,�, �q


Poa

Definicija (Poe)

Algebarsku strukturu pF ,�, �q nazivamo poem ako je:

pF ,�q Abelova grupa

pF z teu , �q Abelova grupa (e je neutral za �)

Za sve a, b, c P F va�i pa� bq � c � a � c � b � c

Ekvivalentno, poe je komutativni prsten sa jedinicom u kom svaki

element ima inverzni u odnosu na operaciju �.

Nisu primeri: pZ,�, �q, pZn,�n, �nq, pZn � Zm,�, �q

Jesu primeri: pZp,�p, �pq, pQ,�, �q, ...


Hvala na pa��i!


grupno napo epetnicamat.rs/wp-content/uploads/2018/05/grupnonapolje.pdf · duxan dragutinovi (isp)...

Documents