grupo 100411 89 trabajo fase 2 final
DESCRIPTION
colaborativo 2 calculoTRANSCRIPT
DESARROLLO TRABAJO COLABORATIVO 2
GEIDER ENRIQUE BARIOS
GRUPO 100411_89
ENTREGADO A: WILSON IGNACIO CEPEDA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
UNAD
TURBO-ANTIOQUIA
7 DE OCTUBRE 2014
∫0
∞
e−x dx
∫0
∞
e−x dx=limt→∞
∫0
t
e−x dx
limt →∞
(−e− x)0t
limt →∞
−e−∞−(−e−0 )=1
RESPUESTA
1u2
EJERCICIO 2
∫−8
113√xdx
∫−8
11
x13
dx
∫−8
1
1 x−13 dx
∫−8
1
x−13 dx= lim
t→0−¿∫−8
t
x−13 dx+ lim
R→0+ ¿∫R
1
x−13 dx ¿
¿ ¿
¿
lim
t→ 0−¿[3 x232 ]−8
t
+ lim
R→0+¿[3 x232 ]R
1
¿
¿¿
¿
¿ 3023
2−3 (−8 )
23
2+3 (1 )
23
2−30
23
2
¿−6+ 32
Respuesta:
4.5u2
GRAFICA
Ejercicio 3
∫ x3
√1−x2
Cambio de variable
u=x2
dudx
=2 x
du=2 xdx
dx= du2 x
Remplazamos y simplificamos
12∫
u
√1−udu
Cambio de variable
s=1−u
dsdu
=−1
ds=−1du
Remplazamos y simplificamos
¿−12∫
1−s√s
ds
Transformamos la integral así
−12 ∫( 1√s−√s)ds
−12∫s
−12 ds+∫ √sds
¿ s3
23−√s+c
Sustituimos la variable original de s=1−u
13
(1−u )23−√1−u+c
Por último paso sustituimos la variable original de u=x2
13
(1−x2 )23−√1−x2+c
RESPUESTA
¿−13
√1−x2 (x2+2 )+c
Ejercicio 4
∫0
1 √x√ x+1
dx
Cambio de variable
u=x
dudx
=1
du=dx
Remplazamos y simplificamos
∫0
11
√ 1u +1du
Simplificamos el radical
∫0
11
√ u+1udu
Cambio de variable
s=u+1u
ds=( 1u−u+1u2 )du
Remplazamos y simplificamos
−∫ 1
(1−s)2√sds
Cambio de variable
p=√s
dp= 12√ s
ds
Remplazamos y simplificamos
¿−2∫ 1
(1−p2)2dp
Aplicamos fracciones parciales
−2∫( 14 (p+1 )
+1
2 (p+1 )2+
14 ( p−1 )
+1
4 (p−1 )2 )dp
−12 ∫ 1
p+1dp−1
2∫1
( p+1 )2dp+1
2∫1p−1
dp−12∫
1
( p−1 )2dp
Cambio de variable
w=p+1
dw=dp
Remplazamos y simplificamos
−12 ∫ 1
wdw−1
2∫1
( p+1 )2dp+ 1
2∫1p−1
dp−12∫
1
( p−1 )2dp
¿−ln|w|1
−12∫ 1
( p+1 )2dp+ 1
2∫ 1p−1
dp−12∫ 1
( p−1 )2dp
Cambio de variable
v=p+1
dv=dp
¿−ln|w|1
−12∫ 1v2dv+1
2∫ 1p−1
dp−12∫ 1
( p−1 )2dp
¿ 12v
−ln|w|1
+ 12∫ 1p−1
dp−12∫ 1
(p−1 )2dp
Cambio de variable
z=p−1
dz=dp
¿ 12v
−ln|w|1
+ 12∫ 1zdz−1
2∫ 1
(p−1 )2dp
¿ 12v
−ln|w|1
+ln|z|2
−12∫ 1
(p−1 )2dp
Cambio de variable
l=p−1
dl=dp
¿ 12v
−ln|w|1
+ln|z|2
−12∫ 1l2dl
¿ 12v
−ln|w|1
+ln|z|2
− l2l
+c
Remplazamos todas las variables a su estado original
Respuesta
¿ √ xx+1
(√ x ( x+1 )−√x+1sinh−1 (√x )¿)
√ x+c
Límite superior menos límite inferior
¿ √ xx+1
(√ x ( x+1 )−√x+1 s∈h−1 (√x )¿)
√x
1
0
¿ √ 11+1
(√1 (1+1 )−√1+1sin h−1 (√1 )¿)
√1−√ 0
0+1(√0 (0+1 )−√0+1sinh−1 (√0 )¿)
√0
¿√2−sinh−1
Respuesta
0,53284u2
Ejercicio 5
∫0
π2
sin x25+cos2 x
dx
Cambio de variable
u=cos x
du=−sin x dx
Simplificamos y remplazamos
∫0
π2
125+u2
du
Factor común 25 denominador
∫0
π2
1
25( u252
+1)du
−125
∫0
π2
1u25
2
+1du
Cambio de variable
s=u5
ds=15du
Remplazamos y simplificamos
−15 ∫ 1
s2+1ds
Nota
∫ 1
s2+1ds=tan−1 s+c
−15tan−1 s+c
−15tan−1( u5 )+c
−15tan−1( cos x5 )+c
Limites superior menos límite inferior
−15tan−1( cos x5 )
−15tan−1( cos( π2 )
5 )−(−15 tan−1( cos (0 )5 ))=¿
¿ 15cot−1 (5 )=0,039
Respuesta
¿0,039u2
π2
0
Ejercicio 06
∫ e4x
√4−(e4 x )2dx
∫ e4 x
√4−e8xdx
Cambio de variable
u=ex
du=ex dx
Remplazamos y simplificamos
∫ u3
√4−u8du
Cambio de variable
s=u4
ds=4u3du
Remplazamos y simplificamos
¿ 14∫
1
2√1− s4 2ds
La constante sale de la integral
¿ 18∫
1
√1− s4 2ds
Cambio de variable
p= s2
dp=12ds
Remplazamos y simplificamos
14∫
1
1−p2dp
Nota
sin−1 ( p )=∫ 1
1−p2dp
¿ 14sin−1 ( p )+c
Cambio de variable a su estado original p=s2
¿ 14sin−1( s2 )+c
Cambio de variable a su estado original s=u4
¿ 14sin−1( u42 )+c
Cambio de variable a su estado original u=ex
Respuesta
¿ 14sin−1( e4 x2 )+c
Ejercicio 7
∫ dx
√ x (1+√x )
Cambio de variable
u=√x+1
du= 12√ x
dx
Remplazamos y simplificamos
¿2∫ 1u du
2∫ u−1du
2 ln|u|+c
Remplazamos la variable a su estado original u=√x+1
Respuesta
2 ln|√ x+1|+c
Ejercicio 08
∫ 1
√ x2−1dx
La anterior integral es igual a
cosh−1 x
Luego que
∫cosh−1 x dx
Respuesta
¿ ln|√x2−1+x|+C
Ejercicio 09
∫ exsin( x)dx
Integral por partes
∫ f dg=f g−∫ gdf
Donde
f=sin x
df=cos x dx
dg=ex dx
g=ex
Remplazamos estos valor por la formula anterior así
∫ f dg=f g−∫ gdf
∫ exsin x dx=ex sin x−∫ ex cos xdx
Ahora la integral que vemos ahí también toca por partes ∫ excos x dx
Así
∫ f dg=f g−∫ gdf
Donde
f=cos x
df=−six x
dg=ex dx
g=ex
Remplazamos estos valor por la formula anterior así
∫ f dg=f g−∫ gdf
∫ exsin x dx=ex sin x−ex cos x−¿∫ ex sin x dx ¿
Entonces la integral ∫ exsin x dx a ambos lados es
2∫ exsin x dx=e xsin x−ex cos x
Dividir ambos lados por 2
∫ exsin x dx=12 (ex sin x−ex cos x )+C
Respuesta
¿ 12ex (sin x−cos x )+C
Ejercicio 10
∫ 5x−42 x2+x−1
dx
Rescribir la integral así:
5 x−42x2+x−1
=5 (4 x+1 )
4 (2 x2+ x−1 )− 21
4 (2 x2+ x−1 )
∫ 5 (4 x+1 )4 (2x2+x−1 )
− 21
4 (2x2+x−1 )dx
Integramos por factores y sacamos la constante
54∫
(4 x+1 )(2x2+x−1 )
dx−∫ 21
4 (2 x2+x−1 )dx
Para la integral (4 x+1 )
(2x2+x−1 ) realizamos cambio de variable así
u=2x2+x−1
du=(4 x+1 )dx
54∫
1udu−21
4 ∫ 1
(2 x2+x−1 )dx
5 ln|u|4
−214∫ 1
(2x2+x−1 )dx
Para la integral 1
(2x2+x−1 ) completamos el cuadrado
5 ln|u|4
−214∫ 1
(√2x+ 12√2 )
2
−98
dx
Para la integral (√2 x+ 12√2 )
2
−98
cambio de variable
s=√2 x+ 1
2√2
ds=√2dx
5 ln|u|4
−214∫ 1
s2−98
ds
El factor −98
para el denominador así
5 ln|u|4
− 214 √2∫
8
9(1−8 s29 )ds
5 ln|u|4
−7√23
∫ 8
1−8 s2
9
ds
La integral 1−8 s2
9 cambio de variable así
p=2√2 s3
dp=2√23ds
5 ln|u|4
−72∫ 11−p2
dp
La integral 1
1−p2es también tanh−1 (p ) por lo tanto la nueva integral es
72tanh−1 (p )+ 5 ln|u|
4+C
Remplazamos el valor de p
72tanh−1( 2√2 s3 )+ 5 ln|u|4
+C
Remplazamos el valor de s
72tanh−1( 4 x3 + 1
3 )+5 ln|u|4+C
Remplazamos el valor de u
72tanh−1( 4 x3 + 1
3 )+5 ln|2x2+x+1|4
+C
Respuesta final es
3 ln|x+1|−12ln|1−2 x|+C