grupo1 - r2 y r3
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FACULTAD DE INGENERÍA METALÚRGICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ
Ing. Raúl w. Carrión cornejointegrantes: PEREZ POMA, ALEJANDRO CURICHAHUA HUAMANTICA, JESUS COTERA MAYTA, FABIAN JUSTINO ALFARO TASAYCO, YORK CRISTIAN
MATEMÁTICA BÁSICA II
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VECTORES EN: R2 Y R3
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Cualquier magnitud matemática o física que se pueda representar solamente por un número real. Ejemplos: longitud, área, volumen, temperatura, etc.
Son aquellas entidades en las que además del número que las determina, se requiere conocer la dirección. Ejemplos: desplazamiento, fuerza, aceleración, etc. El ente matemático que representa a estas magnitudes se llama vector .
INTRODUCCION
MAGNITUD ESCALAR
MAGNITUD VECTORIAL
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Definamos el vector como un segmento de recta dirigido.Sean P y Q dos puntos del espacio. El segmento de recta dirigido PQ, es el segmento de recta que va del punto inicial P al punto final Q.
Definición 1: (Definición Geométrica de un vector)
VECTORES
V
V
P
Q
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A
B
R = A+B
Método del triángulo
OPERACIONES CON VECTORES
Adición de vectores
x
z
y
Método del paralelogramo.
BR = A+B
A
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Definición 2: (Definición algebraica de un vector)Un vector v en el plano XY es un par ordenado de números reales (a;b), donde a y b se llaman componentes del vector.
v= (a,b) se llama vector de posición, cuyo punto inicial es el origen (0,0)
VECTORES EN EL PLANO (R2)
(a,b)
y
x
v
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Dirección del vector (a,b): ángulo medido en radianes, que forma el vector con el semi-eje positivo de las x (abscisas).
22 bav
0a ,abtan
MODULO DE UN VECTOR: Se denota por ¨v¨
20
v= (a,b)con:
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Suma
Producto punto
Operación con vectores
A= (a1; a2)B= (b1; b2) A.B = (a1b1 + a2b2 )
A= (A1; A2) B= (B1; B2;) A+B = (A1+B1; A2 +B2 )
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EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL R3
El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales recibe el nombre de espacio numérico tridimensional, y se denota por R3. Cada terna ordenada (x; y; z) se denomina punto del espacio numérico tridimensional.
x y
z
plano xz
plano yzplano xy
orígen
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
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VECTOR EN R3
23
22
21 aaaa
p(a1,a2,a3)
z
x
y
a
a1
a2
a3
módulo de a :vector a = (a1,a2,a3) de R3
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COSENOS DIRECTORES
/R
Ry
Rz
R
α
R x
y/R /R
cos2a + cos2 + cos2 = 1
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Igualdad: Dos vectores u y v son iguales u=v si tienen la misma magnitud y dirección
);;();;( 321321 vvvuuu
11 vu 22 vu 33 vu
Si y solo si
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SUMA
Producto por un escalar
),,(),,( 321321 cacacaaaacuc
),,(),,(),,(),,(),,(
212121222111
222111
ccbbaacbacbavucbav cbau
c
Producto aspa
Producto punto
AXB =
A= (a1; a2; a3)B= (b1; b2; b3) A.B = (a1b1 + a2b2 + a3b3)
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)1;0;0()0;1;0(,)0;0;1( :R 3 kyjiEn
Vectores unitarios:Son aquellos cuyo modulo es igual a la unidad.
Nota: En R2 y en R3 existen vectores que nos permiten representar cualquier otro vector en términos de ellos. Se les llaman vectores unitarios canónicos y se representan por
aaaa
aaua ),,( 3211
u
ii
)1;0(j , )0;1( :R 2
iEn
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vectores unitarios canónicos i, j , k
x
z
y
i
jk
Los vectores i, j y k son unitarios y están dirigidos en la dirección de los ejes X, Y y Z respectivamente.
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PARALELISMO DE VECTORESDos vectores son paralelos entre sí, si todas sus componentes son proporcionales. Ejemplo:
Definición
),,( 321 aaau ),,( 321 bbbv Dado:
vu // kba
ba
ba
3
3
2
2
1
1
vku
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GRACIAS
QUE RICOO MANO!
!!!