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Grupos com um numero finito decentralizadores
Prof. Dr. Igor dos Santos Lima Grupos com um numero finito de centralizadores
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Sıntese...
Grupo, subgrupo, subgrupo normal, centro, centralizador,classe lateral, grupo quociente, ındice, Teorema deLagrange, homomorfismo e isomorfismo.
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GAP: Groups, Algorithms and Programming
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GAP:
O que e?
sistema para programar e/ou computar com estruturasalgebricas. Despertou interesse inicial de matematicospelo entendimento, planejamento e implementacao dealgoritmos da teoria dos grupos, de modo a proporcionaraos usuarios/programadores total acesso aos algoritmos eestrutura de dados utilizados, permitindo assim umestudo crıtico dos mesmos bem como eventuaismodificacoes dos metodos existentes. Junta-se a esseplano a intencao de se fazer um sistema de facilportabilidade e manutencao, tendo em vista os limitadosrecursos de um ambiente academico.
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GAP:
O que e?
sistema para programar e/ou computar com estruturasalgebricas. Despertou interesse inicial de matematicospelo entendimento, planejamento e implementacao dealgoritmos da teoria dos grupos, de modo a proporcionaraos usuarios/programadores total acesso aos algoritmos eestrutura de dados utilizados, permitindo assim umestudo crıtico dos mesmos bem como eventuaismodificacoes dos metodos existentes. Junta-se a esseplano a intencao de se fazer um sistema de facilportabilidade e manutencao, tendo em vista os limitadosrecursos de um ambiente academico.
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GAP:
O que e?
sistema para programar e/ou computar com estruturasalgebricas. Despertou interesse inicial de matematicospelo entendimento, planejamento e implementacao dealgoritmos da teoria dos grupos, de modo a proporcionaraos usuarios/programadores total acesso aos algoritmos eestrutura de dados utilizados, permitindo assim umestudo crıtico dos mesmos bem como eventuaismodificacoes dos metodos existentes. Junta-se a esseplano a intencao de se fazer um sistema de facilportabilidade e manutencao, tendo em vista os limitadosrecursos de um ambiente academico.
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GAP:
O que e?
sistema para programar e/ou computar com estruturasalgebricas. Despertou interesse inicial de matematicospelo entendimento, planejamento e implementacao dealgoritmos da teoria dos grupos, de modo a proporcionaraos usuarios/programadores total acesso aos algoritmos eestrutura de dados utilizados, permitindo assim umestudo crıtico dos mesmos bem como eventuaismodificacoes dos metodos existentes. Junta-se a esseplano a intencao de se fazer um sistema de facilportabilidade e manutencao, tendo em vista os limitadosrecursos de um ambiente academico.
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GAP:
O que e?
sistema para programar e/ou computar com estruturasalgebricas. Despertou interesse inicial de matematicospelo entendimento, planejamento e implementacao dealgoritmos da teoria dos grupos, de modo a proporcionaraos usuarios/programadores total acesso aos algoritmos eestrutura de dados utilizados, permitindo assim umestudo crıtico dos mesmos bem como eventuaismodificacoes dos metodos existentes. Junta-se a esseplano a intencao de se fazer um sistema de facilportabilidade e manutencao, tendo em vista os limitadosrecursos de um ambiente academico.
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O sistema consiste basicamente de 4 partes:
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Primeira:
um nucleo escrito em linguagem C;
um interpretador para a linguagem GAP que pertence afamılia Pascal mas que alem de permitir tipos adicionaispara objetos de teoria dos grupos, nao requer declaracaode tipo (o GAP interpreta o objeto dentro de seudomınio);
um conjunto de ferramentas para programacao emambiente interativo, para rodar programas escritos emGAP.
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Primeira:
um nucleo escrito em linguagem C;
um interpretador para a linguagem GAP que pertence afamılia Pascal mas que alem de permitir tipos adicionaispara objetos de teoria dos grupos, nao requer declaracaode tipo (o GAP interpreta o objeto dentro de seudomınio);
um conjunto de ferramentas para programacao emambiente interativo, para rodar programas escritos emGAP.
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Primeira:
um nucleo escrito em linguagem C;
um interpretador para a linguagem GAP que pertence afamılia Pascal mas que alem de permitir tipos adicionaispara objetos de teoria dos grupos, nao requer declaracaode tipo (o GAP interpreta o objeto dentro de seudomınio);
um conjunto de ferramentas para programacao emambiente interativo, para rodar programas escritos emGAP.
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Segunda:
uma biblioteca de funcoes em linguagem GAP;
A estrutura dessa biblioteca permite ao usuario alterar osalgoritmos implementados, ou mesmo adicionar outros,tanto para seu uso como em benefıcio do proprio GAP.
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Segunda:
uma biblioteca de funcoes em linguagem GAP;
A estrutura dessa biblioteca permite ao usuario alterar osalgoritmos implementados, ou mesmo adicionar outros,tanto para seu uso como em benefıcio do proprio GAP.
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Terceira:
uma biblioteca de dados sobre teoria dos grupos que jainclui por exemplo uma vasta lista de grupos.
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Quarta:
A documentacao, em forma de arquivo, que serve tantopara on screen Help (ajuda na tela) como para aimpressao do manual. O manual e extenso (impresso paraa versao 3.4.4. tem cerca de 1500 paginas) e rico emdetalhes: sugere-se as seguintes partes para um primeirocontato:
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o capıtulo About GAP e uma verdadeira introducao aosistema, que no princıpio nao pressupoe do usuarioconhecimentos da teoria dos grupos nem tampoucohabilidade no uso de um computador;
O capıtulo The Programming Language, que descreve oconjunto de ferramentas para se programar no GAP;
O capıtulo Environment (ambiente), que descreve oambiente interativo do usuario com o sistema;
O Index, que alem de sua funcao obvia, exibe a grafia dasvarios funcoes, permitindo assim uma busca mais eficienteda sintaxe com o uso do on screen Help.
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Listas (o que sao no GAP, como criar, exemplos: Fatorial,Factors, Collected, Length, Elements, Position, Add,produto escalar, matriz etc)
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Funcoes (For, While, If.. then, Factors, ): Exemplos.
Grupos ja implementados: Symmetric, DihedralGroup,CyclicGroup etc
Propriedades de grupos: Size, Index, Elements, IsAbelian,IsFinite, IsCyclic, IsSimple, Subgroup, Center, Centralizer,DerivedSubgroup etc
Homomorphism (IsomorphismFpGroups): Exemplo:NaturalHomomorphism, Image, Kernel
Outras funcoes envolvendo grupos: AllSmallGroups
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Funcoes (For, While, If.. then, Factors, ): Exemplos.
Grupos ja implementados: Symmetric, DihedralGroup,CyclicGroup etc
Propriedades de grupos: Size, Index, Elements, IsAbelian,IsFinite, IsCyclic, IsSimple, Subgroup, Center, Centralizer,DerivedSubgroup etc
Homomorphism (IsomorphismFpGroups): Exemplo:NaturalHomomorphism, Image, Kernel
Outras funcoes envolvendo grupos: AllSmallGroups
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Funcoes (For, While, If.. then, Factors, ): Exemplos.
Grupos ja implementados: Symmetric, DihedralGroup,CyclicGroup etc
Propriedades de grupos: Size, Index, Elements, IsAbelian,IsFinite, IsCyclic, IsSimple, Subgroup, Center, Centralizer,DerivedSubgroup etc
Homomorphism (IsomorphismFpGroups): Exemplo:NaturalHomomorphism, Image, Kernel
Outras funcoes envolvendo grupos: AllSmallGroups
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Funcoes (For, While, If.. then, Factors, ): Exemplos.
Grupos ja implementados: Symmetric, DihedralGroup,CyclicGroup etc
Propriedades de grupos: Size, Index, Elements, IsAbelian,IsFinite, IsCyclic, IsSimple, Subgroup, Center, Centralizer,DerivedSubgroup etc
Homomorphism (IsomorphismFpGroups): Exemplo:NaturalHomomorphism, Image, Kernel
Outras funcoes envolvendo grupos: AllSmallGroups
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Funcoes (For, While, If.. then, Factors, ): Exemplos.
Grupos ja implementados: Symmetric, DihedralGroup,CyclicGroup etc
Propriedades de grupos: Size, Index, Elements, IsAbelian,IsFinite, IsCyclic, IsSimple, Subgroup, Center, Centralizer,DerivedSubgroup etc
Homomorphism (IsomorphismFpGroups): Exemplo:NaturalHomomorphism, Image, Kernel
Outras funcoes envolvendo grupos: AllSmallGroups
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Resultados existentes
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1 Dado um grupo G , o que se pode dizer sobre |Cent(G )|?2 Se e conhecido o valor de |Cent(G )|, o que se pode dizer
a respeito do grupo G?
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Denote por Cn a classe de todos os grupos G com exatamenten centralizadores (de elementos), i.e., n = |{CG (x) | x ∈ G}|.Entao G e dito um Cn-grupo se G pertence a classe Cn.Denote por D2n o grupo diedral com 2n elementos, cujapresentacao e dada por 〈a, b | an = 1 = b2 e ab = a−1〉.Naturalmente C1-grupos sao, exatamente, os grupos abelianos.Para cada n ≥ 4, tem-se que Cn e nao vazio.
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Muitos autores tentaram classificar os Cn-grupos, para cadan ∈ N:
(Belcastro e Sherman) Nao existe Cn-grupos, quandon = 2 e 3.
G e um C4-grupo se, e somente, seG/Z (G ) ∼= Z2 × Z2;
G e um C5-grupo se, e somente, seG/Z (G ) ∼= Z3 × Z3 ou S3 (o grupo simetrico deordem 6).
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(Ashrafi) Se G e um C6-grupo, entaoG/Z (G ) ∼= D8,A4,Z2 × Z2 × Z2 ouZ2 × Z2 × Z2 × Z2.
(Abdollahi, Amiri e Hassanabadi)
G e um C7-grupo se, e somente, seG/Z (G ) ∼= Z5 × Z5, D10 ou〈x , y | x5 = y 4 = 1 e xy = x3〉;Se G e um C8-grupo, entaoG/Z (G ) ∼= Z2 × Z2 × Z2, A4 (o grupo alternadode ordem 12) ou D12.
(Chen e Qu) Se G e um C9-grupo, entaoG/Z (G ) ∼= Z7 × Z7,D14, 〈a, b | a7 = b3 =1 e ab = a2〉 ou 〈a, b | a7 = b6 e ab = a3〉.
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Proposta para o GAP: Implementar como funcao aclassificacao ja existente (e as que foram provadas) sobregrupos e centralizadores, por exemplo: Ao digitar no GAP
C(4);
o GAP retornara
C2 × C2;
o que corresponderia a dizer que na classe dos C(4)-grupos ounico quociente possıvel pelo centro e C2 × C2.
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Conjecturas Bastos-Lima
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Conjectura 1.
Seja G um C11-grupo. Entao G/Z (G ) e isomorfo a D18,Z3 × Z3 × Z3, Z3 × Z3 × Z3 × Z3,P ,A1,P36 ou P72, onde
I P = 〈a, b, c | a2, b−1 ∗ a−1 ∗ b ∗ a ∗ b−1, c−1 ∗a−1 ∗ c ∗ a ∗ c−1, b3, c−1 ∗ b−1 ∗ c ∗ b, c3〉;
II A1 = 〈a, b, c | a3, b−1 ∗ a−1 ∗ b ∗ a ∗ c−1, c−1 ∗a−1 ∗ c ∗ a, b3, c−1 ∗ b−1 ∗ c ∗ b, c3〉;
III P36 = 〈a, b, c , d | a2∗b−1, b−1∗a−1∗b∗a, c−1∗a−1∗c∗a∗d−2, d−1∗a−1∗d∗a∗d−1∗c−2, b2, c−1∗b−1∗c∗b∗c−1, d−1∗b−1∗d∗b∗d−1, c3, d−1∗c−1∗d∗c , d3〉e
IV P72 = 〈a, b, c , d , e | a2∗b−1, b−1∗a−1∗b∗a, c−1∗a−1∗c∗a, d−1∗a−1∗d∗a∗e−1∗d−2, e−1∗a−1∗e∗a∗e−1∗d−1, b2∗c−1, c−1∗b−1∗c∗b, d−1∗b−1∗d ∗b∗e−2, e−1∗b−1∗e∗b∗e−1∗d−2, c2, d−1∗c−1∗d ∗c∗d−1, e−1 ∗c−1 ∗e ∗c ∗e−1, d3, e−1 ∗d−1 ∗e ∗d , e3〉.
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Conjectura 2.
Seja G um C13-grupo. Entao G/Z (G ) e isomorfo a H , D22,Z11 × Z11,G55 ou G110, onde
V G55 = 〈a, b | a5, b−1 ∗ a−1 ∗ b ∗ a ∗ b−3, b11〉 e
VI G110 = 〈a, b, c | a2, b−1 ∗ a−1 ∗ b ∗ a, c−1 ∗ a−1 ∗c ∗ a ∗ c−9, b5, c−1 ∗ b−1 ∗ c ∗ b ∗ c−3, c11〉.
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Conjectura 3.
Seja G um C10-grupo. Entao G/Z (G ) e isomorfo aZ2 × Z2 × Z2 × Z2,D16,Y ,G16 ou G56, onde
VII Y = 〈a, b, c , d | a2 ∗ c−1, b−1 ∗ a−1 ∗ b ∗ a, c−1 ∗a−1 ∗ c ∗ a, d−1 ∗ a−1 ∗ d ∗ a, b2 ∗ d−1, c−1 ∗ b−1 ∗c ∗ b, d−1 ∗ b−1 ∗ d ∗ b, c2, d−1 ∗ c−1 ∗ d ∗ c , d2〉;
VIII G16 = 〈a, b, c , d | a2, b−1 ∗ a−1 ∗ b ∗ a ∗ d−1, c−1 ∗a−1 ∗ c ∗ a, d−1 ∗ a−1 ∗ d ∗ a, b2 ∗ d−1, c−1 ∗ b−1 ∗c ∗ b, d−1 ∗ b−1 ∗ d ∗ b, c2, d−1 ∗ c−1 ∗ d ∗ c , d2〉 e
IX G56 = 〈a, b, c , d | a7, b−1∗a−1∗b∗a∗c−1∗b−1, c−1∗a−1∗c ∗a∗d−1∗c−1, d−1∗a−1∗d ∗a∗b−1, b2, c−1∗b−1∗c ∗b, d−1∗b−1∗d ∗b, c2, d−1∗c−1∗d ∗c , d2〉.
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Conjectura 4.
Seja G um C12-grupo. Entao G/Z (G ) e isomorfo a G16, D20,Z2 × Z2 × Z2 × Z2 ou R , onde
X R = 〈a, b, c , d | a2 ∗ d−1, b−1 ∗ a−1 ∗ b ∗ a ∗c−1, c−1∗a−1∗c ∗a, d−1∗a−1∗d ∗a, b2, c−1∗b−1∗c ∗ b, d−1 ∗ b−1 ∗ d ∗ b, c2, d−1 ∗ c−1 ∗ d ∗ c , d2〉.
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Obrigado pela atencao!
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