DESDE LA TOPOLOGÍA GENERAL Y LA TEORÍA DE GRUPOS HACIALOS GRUPOS TOPOLÓGICOS

ETNA STEPHANNY LINARES PRIETO

FUNDACIÓN UNVERSITARIA KONRAD LORENZFACULTAD DE MATEMÁTICAS E INGENERÍA

PROGRAMA DE MATEMÁTICASBOGOTÁ D.C

2014

DESDE LA TOPOLOGÍA GENERAL Y LA TEORÍA DE GRUPOS HACIALOS GRUPOS TOPOLÓGICOS

ETNA STEPHANNY LINARES PRIETO

TRABAJO DE GRADO

DIRECTOR: LUIS ÁNGEL BOHÓRQUEZ ARENAS

FUNDACIÓN UNVERSITARIA KONRAD LORENZFACULTAD DE MATEMÁTICAS E INGENERÍA

PROGRAMA DE MATEMÁTICASBOGOTÁ D.C

II

ABSTRACT

Type abstract in English here.

III

ÍNDICE GENERAL

ABSTRACT II

0.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.3. JUSTIFICACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.4. OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

0.4.1. Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1. MARCO TEÓRICO 81.1. Preconceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.2. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.4. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.5. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.6. Espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.1.7. Espacios topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2. Función continua en topología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3. Topología producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4. Topología cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5. Axiomas de Separación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.6. Grupos topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6.1. Subgrupos topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2. LOS GRUPOS TOPOLÓGICOS COMO LA ESTRUCTURAALGEBRAICA BAJO LA ACCIÓN DE LA TOPOLOGÍA 40

2.0.2. Grupo y Espacio topológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.0.3. Isomorfismo y Homeomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.0.4. Homogeneidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.0.5. Entornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.0.6. Axiomas de Separación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.0.7. Subgrupos Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

IV

3. CONCLUSIONES 493.1. INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

REFERENCIAS 50

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INTRODUCCIÓN

0.1. INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo se pretende presentar el resultado del análisis e investigación dela relación entre la teoría de grupos y la topología. Este análisis involucro, además elestudio de la teoría de conjuntos y los grupos topológicos. Pues, cuando hablamos degrupos es imprescindible un conjunto y una función; que en el caso de la teoría degrupos de transformaciones, si se considera un conjunto X dotado con algunaestructura matemática, el grupo de transformaciones, es el conjunto detransformaciones que preservan la estructura de X .

Ahora bien, en la topología, cuando pensamos en un espacio topológico, nos referimosa éste, como un conjunto y una transformación continua. Así, por ejemplo X es unconjunto y cada transformación una aplicación continua que mantiene inalterablepropiedades básicas de X .

Entre tanto, el grupo topológico es una terna que involucra un conjunto, una función yuna transformación continua; siendo asi, para ser considerado como tal, debe cumplirlas propiedades tanto de ser grupo como espacio topológico, y adherido a esto, lacontinuidad tanto de la multiplicación en el grupo, como la asignación de inverso paracada elemento del grupo.

Es entonces que, la característica principal de los grupos topológicos, es la axiomáticaque se da de forma natural, pues desde un punto de vista lógico, es la simple fusión dedos conceptos matemáticos fundamentales: el de grupo y espacio topológico; que en lofundamental, se limita a repetir la axiomática de grupos abstractos. “Sin embargo,cuando las operaciones topológicas y algebraicas, relacionadas entre si, se combinanen un mismo conjunto, se llega a una concreción relativamente mayor de los objetosconsiderados”(author?) [1]. Y como ya vimos, grupos y espacio topológicos tieneestructuras similares: un conjunto y una función.

Precisamente esta definición y característica que tenemos de los grupos topológicos, eslo que nos motivo a pensar ¿qué hace posible esta interacción exitosa y natural entrelos grupos y los espacios topológicos?. Si bien, está idea nace con los grupos de

transformaciones de Lie y el quinto problema de Hilbert abre las puertas a esta idea,¿qué características de un grupo permanecen inalterables en relación con la topologíageneral, y ser los grupos topológicos llamados de esta forma?.

Es por esto que, este trabajo presenta el recorrido histórico con la mira puesta en hallary mostrar las relaciones entre la teoría de grupos y la topología general en los grupostopológicos. Además demuestra ciertas propiedades de los grupos topológicos haciendocontinua distinción entre los métodos de desarrollo de los grupos y la topología.

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0.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

El concepto general de grupos topológicos actualmente ha sido aplicado en casi todaslas ramas de la matemática, desde el análisis funcional hasta las cienciascomputacionales. Sin embargo, sus inicios se encuentran ligados a Lie y los grupos detransformaciones continuas, que en un comienzo, solo fueron desarrollados de maneraaislada de las grandes ramas de la matemática y aplicados, únicamente, a algunosproblemas de integración de ecuaciones diferenciales o en derivadas parciales. De otrolado, el posicionamiento de la topología como la principal rama de la matemática, enconjunto, con el quinto problema de Hilbert, llevan a la idea de tratar“topológicamente” algunas cuestiones que surgieron de la teoría de grupos continuosde Lies; así, topología y teoría de grupos se unen de manera natural, dando origen a losgrupos topológicos.

En este marco de ideas, ¿qué hace posible esta interacción exitosa y natural entre losgrupos y los espacios topológicos? y ¿qué características de un grupo permaneceninalterables en relación con la topología general, y ser los grupos topológicos llamadosde esta forma?. Centrados en estos cuestionamientos, el presente trabajo pretendeexhibir la unión de la teoría de grupos y la topología. Pues, en el estudio detallado deestos se hallo que la teoría de conjuntos era imprescindible y que los grupostopológicos eran el resultado de la estructura algebraica bajo al acción de la topología.

Al rededor de estas ideas, se desea ejemplificar y detallar esta unión, desarrollando demanera detallada las siguientes propiedades concernientes a los grupos topológicos G,enmarcadas en la topología cociente; siendo, la forma cociente de un grupo topológicocon un subgrupo.

Si A y B son subconjuntos de G, denotemos por A ·B al conjunto de todos los puntosa · b para a 2 A y b 2 B, y representemos por A�1 al conjunto de todos los puntos a-1 ,para a 2 A.

a) Un entorno V del elemento identidad e se dice que es simétrico si verifica que V =

V�1. Si U es un entorno de e, pruebe que existe un entorno simétrico de V de e tal queV ·V ⇢U

b) Pruebe que G es de Hausdroff. De hecho, pruebe que si x 6= y existe un entornoV dee tal que V · x y V · y son disjuntos.

c) Pruebe que G satisface el siguiente axioma de separación, que se denomina axioma

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de regularidad: dado un conjunto cerrado A y un punto x que no está en A, existenconjuntos abiertos disjuntos que contiene a A y a x, respectivamente.

d) Sea H un subgrupo de G que es cerrado en la topología de G y sea p : G ! G/H laaplicación cociente. Pruebe que G/H satisface el axioma de regularidad.

Tomado de: (author?) [2]

En otras palabras, formando relaciones de equivalencia bien definidas entre el grupotopológico y el subgrupo, lo cual, se explicará formalmente cuando sea pertinente.

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0.3. JUSTIFICACIÓN

En la historia de la matemática se evidencia la constante relación entre cada una de susgrandes áreas, pero la que se trata en este proyecto, es la relación entre la geometría(topología general), el álgebra (teoría de grupos) y la teoría de conjuntos. La geometría(figuras y formas) y el álgebra (abstracción y generalización), nacen por separado, unaprimera que la otra, pero se encuentran para dar solución a problemas “complejos” ygenerar avances importantes en la matemática.

La geometría nace de manera similar a la aritmética, es decir, en la antigüedad pornecesidades de la vida cotidiana, llegando a formas geométricas a través de lanaturaleza; los cambios que tuvo lugar en todos los campos de la matemática, se venprincipalmente en la geometría, esencialmente con el intento por los matemáticos desuprimir el quinto postulado de los elementos de Euclides, y deducirlo, como teorema,a partir del resto de los axiomas y de los conceptos básicos de la geometría. Estepostulado, enunciaba que por un punto externo a una recta, solo se podía trazar unaúnica recta paralela. Muchos y fructíferos fueron los intentos de numerososmatemáticos en este tema, pero es hasta Riemann que se establece la existencia de lasgeometrías no euclidianas.

El álgebra por sur parte, aparece como la respuesta a la necesidad de resolverproblemas prácticos en escritos principalmente egipcios y babilonios (siendo el PapiroRhind el escrito egipcio más reconocido), en donde quedaba claro que disponían demétodos para el manejo de ecuaciones de primer y segundo grado, aunque no conocíanlos números negativos por lo que no se tenían en cuenta las raíces negativas de lasecuaciones. Mientras que los Chinos e indios llegaron al reconocimiento de losnúmeros negativos, interpretadas como deudas por los indios, a través del trabajo de lasecuaciones lineales indeterminadas y el procedimiento algorítmico para resolversistemas lineales.

Es entonces, con los griegos, que se ve esa unión entre álgebra y geometría,precisamente con los Elementos de Euclides, aunque, el predominio arbitrario de lageometría paralizo todo desarrollo independiente de la notación algebraica, pues sibien, el progreso hacia el rigor va acompañado con Euclides, existe un estancamiento yretroceso con las técnicas del cálculo algebraico; Y fue necesario que aparecieraDiofanto con su idea de no complicarse con representaciones geométricas, para que eldesarrollo del cálculo algebraico fuera llevado de forma natural a cálculos algebraicos

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abstractos.

Pero veremos, a lo largo de este escrito, que la relación entre el álgebra abstractaimpulsada por los trabajos del joven Galois, la topología naciente con Leibniz, Euler,Riemann, Cantor y Möbius, pero que toma forma con Henri Poincaré en 1895, y lateoría de conjuntos presente en toda la matemática y que se despreocupa por lanaturaleza de los objetos matemáticos, hace parte tanto de la formalización de latopología general con Hausdorff, como en la idea de la topología cociente y los gruposcocientes; se da de manera natural en los grupos topológicos, sentado en la base de losgrupos de transformaciones continuas de Lie. Y, a diferencia de lo que decía elmatemático alemán Herman Weyl “En estos días el ángel de la topología y el demoniodel álgebra abstracta luchan por el alma de cada dominio de las matemáticas.”; estetrabajo pretende no solo analizar y presentar la interacción exitosa entre los ángeles ydemonios las matemáticas, sino afianzarla con la resolución de las propiedadespropuestas. Pues G no es solo un grupo (termino algebraico), sino que cumple ser unespacio topológico, en otras palabras, los grupos topológicos implican una entidadalgebraica que permite una estructura topológica muy natural.

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0.4. OBJETIVOS

Exponer las relaciones entre la teoría de grupos y la topología general por medio de losgrupos topológicos.

0.4.1. Objetivos Específicos

I. Caracterizar las propiedades y axiomáticas de los grupos que permaneceninalterables en relación con la topología general.

II. Iniciar en los temas de grupos topológicos, a partir del análisis detallado de larelación entre estos y la topología general y la teoría de grupos.

III. Establecer la solución del problema propuesto de grupos topológicos, haciendoénfasis en la distinción de los procedimientos topológicos y algebraicos.

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CAPÍTULO 1

MARCO TEÓRICO

1.1. Preconceptos

En esta sección se presentan algunas definiciones básicas de teoría de conjuntos, gruposy espacios topológicos, los cuales servirán de plataforma para comprender el desarrollode este trabajo.

1.1.1. Conjuntos

El concepto y propiedades generales de los conjuntos son estudiados por la disciplinamatemática llamada teoría de conjuntos, desarrollada rigurosamente a finales del sigloXIX y principios del XX, principalmente por el matemático alemán Georg FerdinandLudwig Philipp Cantor (1845 - 1918), tras el estudio de la convergencia de seriestrigonométricas. Aunque, hasta finales del siglo XIX, el concepto de conjunto norepresenta dificultad, el intento de combinar éste concepto con el de número ymagnitud desemboca en controversias; la paradoja de una magnitud formada porinfinitos puntos sin medida, cobraba fuerza, y se acentuaba más la necesidad de una“definición” del infinito como objeto matemático. De manera sorprendente Cantorsoluciona esto pensando en los problemas de equipotencia, llegando a decir que losnúmeros transfinitos son aquellos que hacen referencia a los diferentes tamaños deinfinito.

Así que, las ideas de Cantor aplicadas por diferentes e importantes matemáticos, juntocon la idea que desde inicios del siglo XIX había empezado a desvelar a los matemáticossobre el concepto básico y natural de la matemática se vislumbra en está disciplina,ya que está teoría irrumpe en todas las ramas de la matemática cambiándola; “por estarazón es imposible dar hoy una imagen adecuada de las matemáticas sin comenzar por la

teoría de conjuntos”(author?) [3], y para este trabajo, tiene una importancia particular,puesto que, no solo a partir de la teoría de conjuntos y la idea de función se construyenlos conceptos de grupo y espacio topológicos, sino que, permite revisar y detallar larelación existente entre estos.

Sin más preámbulos, partiendo de la noción intuitiva de conjunto; recordemos que lasletras del alfabeto mayúsculas las usamos para denotar los conjunto, mientras que lasminúsculas las usamos para denotar los elementos de un conjunto.

Cuando dos elementos de un conjunto son distintos, tenemos a 6= b; del mismo modo,tenemos que A 6= B son dos conjuntos distintos. En caso de tener la igualdad, se entiendeque a = b y A = B, son diferentes símbolos para el mismo objeto y para el mismoconjunto.

Si un objeto o elemento a pertenece al conjunto A, lo denotamos como a 2 A. Si por elcontrario, a no pertenece al conjunto A, tenemos a /2 A. Así mismo, diremos que A es unsubconjunto de B, si cada elemento de A pertenece a B, luego A ⇢ B (A contenido en B).Si A⇢ B pero A 6= B, A es un subconjunto propio, con ello diferenciamos Aj B y A⇢ B.Se puede expresar A�B como los elementos que pertenecen a A, pero no pertenecen aB, conocido como la diferencia de dos conjuntos o el complemento B de A.

Denotamos con el símbolo /0 al conjunto vacío y además /0 ⇢ A para todo conjunto A.

Si A es un conjunto cualquiera, existe otro conjunto cuyos elementos son precisamentetodos los subconjuntos o partes de A, denotado con el símbolo P(A), llamado “partesde A” o “conjunto potencia de A”. Siendo así, podemos hablar de nuevos conjuntosformados a partir de otros ya dados, y como el conjunto formado tiene como elementosconjuntos, nos referimos a este como una colección de conjuntos, familia de conjuntoso clase de conjuntos, representada con A , B, C , ...

1.1.2. Producto cartesiano

Otra forma de construir conjuntos es teniendo en cuenta la pareja ordenada, definidacomo una colección de conjuntos. Siendo un poco rigurosos, decimos que el conjunto{{a} , {a, b}} designado por (a, b) es la pareja ordenada, con primera componente ocoordenada a y segunda componente o coordenada b. Si a = b, entonces (a, b) es unacolección conteniendo solo un conjunto {a}, ya que {a, a}= {a}.

Esto se puede generalizar al caso de dos conjuntos A y B cualesquiera, a los cuales seles atribuye un único conjunto, definido como el producto cartesiano A⇥B, constituidopor todas las parejas ordenadas que puedan formase tomando la primera coordenada en

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A y la segunda coordenada en B. Esto es:

A⇥B = {(a, b) : a 2 A _ b 2 B}

1.1.3. Funciones

El concepto de función como objeto matemático independiente, aparece hasta losinicios del cálculo en el siglo XVII. Más ocurre que, es importante entender que ésteconcepto se desarrolla con el paso del tiempo; su significado y la forma en que sedefine cambia, ganando precisión a través de los años. No es extraño, pues, que enMesopotamia y antiguo Egipto conocieran y manejaran funciones específicas, pero noel concepto abstracto y moderno de función; caso un poco diferente ocurre en la Greciaclásica, en donde manejan funciones particulares con un sentido moderno de relaciónentre los elementos de dos conjuntos y no sólo de fórmula, aunque, sin llegar a serabstracto.

Se atribuye a Nicole Oresme (1323- 1382) la primera aproximación al concepto defunción, pero es Galileo Galilei (1564-1642) quien entendió el concepto de función aúncon mayor claridad. Por otro lado, Renè Descartes (1596- 1650) introdujo la geometríaanalítica, uniendo ecuaciones y gráficas. Entonces, el concepto llega a manos de IsaacNewton (1643 - 1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), siendo los primeros,en 1673, que usan la palabra "función" para referirse a la relación de dependencia dedos variables o cantidades; Leonhard Paul Euler (1707 - 1783), le da su formulación quehoy conocemos y = f (x). Así, el concepto de función es sin duda, el más importante yutilizado en Matemáticas y en las demás ramas de la ciencia; ya que, se usa para indicaruna relación o correspondencia, ayudándonos a describir las situaciones a las que nosenfrentemos. Veremos entonces, que es justo este concepto, el que permite hablar degrupos topológicos como al intersección de dos áreas de la matemática; en este punto,revisaremos los conceptos básicos que más adelante serán usado y generalizados.

Sin más, una función o aplicación f : X ! Y es un subconjunto de X ⇥Y , en la cualtenemos una correspondencia que asocia a cada elemento x de X un único elemento f (x)

de Y . Se distingue a X como el dominio, Y el codominio y el subconjunto de Y cuyoselementos son imagen de X , conocido como rango. La función identidad o idéntica deun conjunto X cualquiera, es la función l : X ! X , representada por lX , tal que para todoelemento x de X , se tiene que IX(x) = x.

Existen maneras de formar nuevas funciones a partir de unas antiguas, una de estas esla restricción de la función, en la cual se tiene que una función f : X ! Y con A ⇢ X ,se denota por f | A y, se define como {(a, f (a)) | a 2 A}; es decir, restringir el domino

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de una función y cambiar su rango. Otra manera de lograr construir funciones es lacompuesta, en donde dadas las funciones f : X !Y y g : Y ! Z, se tiene g� f : X ! Z,definida (g� f )(x) = g( f (x)), cuya regla es{(x, z) | para algun y 2 Y, f (x) = y _ g(y) = z}.

Decimos que una funciones f : X ! Y es inyectiva o uno a uno si f (x) = f (x’)entonces x = x’. Es sobreyectiva o sobre si el rango es igual al codominio, y biyectivasi es inyectiva y sobre a la vez. Se dice que si f : X ! Y es biyectiva, existe unafunción f : Y ! X llamada inversa de f , representada y definidacomo f�1(y) = {x 2 X | f (x) = Y}, lo que es que f�1(y) = x $ f (x) = y. Entonces, siprofundizamos un poco, podemos ver que si f es sobreyectiva, se garantiza laexistencia de x = f�1 (y) para cada y 2 Y y el hecho de f ser inyectiva, garantiza que x

se único.Ejemplo 1.1. Este ejemplo es un ejercicio tomado del libro de Topología de Munkres(2002). En el cual se pide demostrar que no es cierto que en todo caso f�1( f (A)) = A yf ( f�1(B)) = B. Así que el ejercicio se platea de la siguiente manera:

“Sea f : X ! Y . Sean A ⇢ X y B ⇢ Y . Demuestre que A ⇢ f�1( f (A)) y que se da laigualdad si f es inyectiva.”(author?) [2]

Tenemos que A ⇢ X y f : X ! Y . Si pensamos en g = f�1( f (A)), g : A ! Y , podemosver que es una composición de funciones y lo reescribimos de este modo:g = f�1( f (A)) = f�1 � f . Tomando en cuenta la definición de compuesta tenemos queg : A ! A. Luego A ⇢ g y A ⇢ f�1( f (A)). Sin embargo, ¿Qué esta garantizando laexistencia de f�1? Veamos que f�1( f (A)) = f�1(Y ), por definición. Ahora, podemosdecir que f�1(Y ) = {a 2 A; f (a) 2 Y} si esto es así, tenemos que efectivamentef�1 : Y ! A.

Para terminar, tenemos que si f�1( f (A)) = A entonces f es inyectiva. Recordemos quef : A ! Y y f�1 : Y ! A, luego se tiene que a ! f (a) y f (a) ! f�1(a); puesto quef�1(a) = a, f (a) ! f�1(a) = f (a) ! a. Por lo tanto, se tiene que a = a’ entoncesf (a) = f (a’) y así f es inyectiva.

“Sea f : X ! Y . Sean A ⇢ X y B ⇢ Y . Demuestre que f ( f�1(B)) ⇢ B y que se da laigualdad si f es sobreyectiva.”(author?) [2]

Sabemos que B ⇢ Y y f : X ! Y . Entonces demostremos que f ( f�1(B)) ⇢ B.Podemos decir que si f�1 : B ! X , f�1(B) = {x 2 X ; f (x) = B}, por definición; por loque f (x) ! x y sí x = x0 entonces f (x) = f (x’), con esto x ! f (x), por lotanto f : X ! B y f ( f�1(B)) ⇢ B. Ahora si f ( f�1(B)) = B, debemos ver quef�1 : B ! X y f : X ! B, por esto si [b 2 B] ! [b = f (x) paraal menosun x 2 X ],

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concluimos x = f�1(b)$ b = f (x), tenemos que f es sobreyectiva pues B = Y .

1.1.4. Relaciones

La revisión de las relaciones cobraran importancia cuando veamos que la topología esentendida como el estudio de las clases de equivalencia; adherido a esto, veremos entreotros, que es posible hablar de grupos y espacios topológicos cocientes y que hay unaintima relación en estos últimos. De este modo, le prestaremos mayor importancia ala relaciones de equivalencia, no solo como objeto matemático útil para clasificar, sinoque, debido a su abstracto planteamiento teórico nos permite definir nuevos conceptosa partir de los existentes.

Por lo pronto, se tiende a decir que la relación es un concepto “mas general” que elde función, entendida como el subconjunto formado a partir del producto cartesiano.Formalmente, si X es un conjunto, la relación R en X es un subconjunto X⇥X . Se denotacomo (x,y) 2 R por xRy o x ⇠ y, que leemos como “x esta en la relación R con y”. Cabedestacar, que una regla de asignación R es la función f : X ! X , que anteriormentellamamos como función identidad o idéntica, pues esta es un subconjunto de X ⇥X .Decimos que la relación R es:

Reflexiva: Una relación R definida en un conjunto se llama reflexiva, si todoelemento de X esta relacionado consigo mismo.

Simétrica: Una relación R definida en un conjunto se llama simétrica, si cadaelemento de X esta relacionado con un segundo, también el segundo lo esta conel primero.

Antisimétrica: Una relación R definida en un conjunto se llama antisimétrica, sí ysolo si, cuando un elemento de X no esta relacionado con otro, no se puede tenerla relación de este elemento con un segundo, ni el segundo lo esta con el primero.

Transitiva: Una relación R definida en un conjunto se llama transitiva, si cada vezque un elemento de X está relacionado con otro segundo y éste a la vez con untercero, entonces también el primero esta relacionado con el tercero.

La relación R es de equivalencia o de orden.

Relación de equivalencia: Sea ⇠ o R una relación en X que cumple:

• Reflexiva: x ⇠ x para todo x 2 X

• Simétrica: Si x ⇠ y ! y ⇠ x para todo x,y 2 X

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• Transitiva: Si x ⇠ y & y ⇠ z ! x ⇠ z para todo x,y,z 2 X

La clase de equivalencia de x es el conjunto [x] = {y 2 X ; x ⇠ y}, el cual es unsubconjunto de X . Todo elemento de X tiene asociada una clase de equivalencia,así que la unión de todas las clases de equivalencia de X es X y la intersecciónes vacía a menos que las clases de equivalencia sean iguales. Puesto que, todoslos elementos de una clase de equivalencia tienen las mismas propiedades conrespecto a la relación de equivalencia que las define, cualquier elemento de lasclases puede ser elegido como representante para relacionar u operar.

Teniendo en cuenta las propiedades de unión e intersección, ya mencionadas, declases de equivalencia, hablaremos de las particiones de un conjunto X y deconjunto cociente.

Formalmente, una partición de X es una colección de subconjuntos disjuntos,cuya unión es X . Por lo tanto, es lo mismo estudiar las particiones que la relaciónde equivalencia, pues las particiones se derivan de una única relación deequivalencia.

En cuanto al conjunto cociente, nos referimos a este como el conjunto X/R, (X porR) que contiene los elementos de las clases de equivalencia, es decir, la colecciónde conjuntos de todas las clases de equivalencia, no vacíos, disjuntos y cuya uniónes el conjunto X , definido así:

X/R = {[x] ;x 2 X}

Donde

[x] = {y : xRy}

Si suponemos que el conjunto X tiene asociada una operación ⇤ (la cual esbinaria), tal que X ⇤X ! X , y una relación de equivalencia R, podemos encontrarque la función cociente o proyección canónica del conjunto X sobre el conjuntoX/R (la correspondencia de cada elemento x de X con la clase de equivalencia enla que está), es:

⇤ : X ! X/R

x ! [x]

Ésta función es sobreyectiva pero no inyectiva; en donde x 2 [x] y además,xRy, x 2 [y] y [x] = [y] son equivalentes.

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Entonces podemos definir una operación en el conjunto X/R, la cual indica unaoperación entre clases de equivalencia. Esto es:

[⇤] = (X/R)⇤ (X/R)! X/R

Ejemplo 1.2. Este ejemplo es tomado del libro de Introducción a la Teoría deConjuntos de Jose M. Muñoz Q. (2002), de la sección ejercicios correspondientea las relaciones de equivalencia; el cual nos servirá para revisar las clases deequivalencia y proyección canónica.

“Sea f : A!B cualquier función entre conjuntos no vacíos; pruebe que la relaciónR definida por xRy $ f (x) = f (y) es de equivalencia en A”

Veamos que 8a 2 A tenemos que f (a) = f (a) $ aRa comprobamos que esreflexiva. Si a,b 2 A, aRb $ f (a) = f (b) ! f (b) = f (a) $ bRa, entonces larelación es simétrica. Para terminar, sean a,b,c 2 A, aRb y bRc$ f (a) = f (b) yf (b) = f (c), es fácil ver que f (a) = f (c) $ aRc, con lo que obtenemos que estransitiva y concluimos que es una relación de equivalencia.

“Si f : R !R está dada por f (x) = x2 � x+ 2, halle, con respecto a la relaciónde equivalencia R definida por xRy $ f (x) = f (y), las clases de equivalencia delos reales 0, 2 y a”

Es fácil ver que está función es no corta con el eje x, y su eje de simetría tienevértice de coordenadas (1/5, 7/4). Además, 0 y 2 tienen la misma imagen, luegoestán relacionados, al igual que 2 y �1.

Entonces, la relación R = {...,(�3,4),(�2,3),(�1,2),(0,1), ...}es deequivalencia; las clases de equivalencia determinada por ella son:

[0] = {0,1}

[2] = {2,�1}

Y en general

[a] = {x 2 R|xRa}

“Si S es una relación de equivalencia en A y ⇤ : A!A/S es la proyección canónicaasociada, pruebe que S coincide con la relación R definida por xRy$ f (x)= f (y),cuando f = ⇤”

Por definición sabemos ⇤ : A ! A/S envía x ! [x] y [x] = {y : xRy}. Por otro

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lado tenemos xRy $ f (x) = f (y) y teniendo en cuenta que xRy y [x] = [y] sonequivalentes, [x] = [y]$ f (x) = f (y). Efectivamente, S coincide con la relaciónR.

Para terminar daremos una definición que mas adelante ampliaremos y será degran uso.Definición 1.3. Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A y sea M ⇢ A.Diremos que M es saturado para R si y sólo si M es unión de clases de equivalenciasegún R. El conjunto B es una parte saturada o la saturación de A para R si B =

{8a,x2A|a2M^xRa! x2M}, es decir, B es el conjunto saturado mas pequeñoque contiene a M ⇢ A.

Relación de orden: Sea ⇠ o R una relación en X que cumple:

• Reflexiva: x x para todo x 2 X , o no reflexiva si x<y ! x 6= y para todox,y 2 X

• Antisimétrica: Si x y & y x ! x = y para todo x,y 2 X , o si x 6= y ! x <

y_ y < x

• Transitiva: Si x y & y z ! x z para todo x,y,z 2 X

1.1.5. Grupos

El termino grupo nace tras el intento desesperado por parte de los matemáticos deresolver el problema del álgebra, centrado en la resolución de ecuaciones algebraicas,el cual consistía en encontrar raíces a ecuaciones, utilizando las operacionesalgebraicas básicas y la extracción de raíces.

Así que, para estudiar los grupos es necesario escribir del joven revolucionario y pococomprendido francés Évariste Galois, reconocido solo tras su trágica y prematuramuerte.

Su madre Adélaide- Marie Demante (procedía de una familia de distinguidos juristas),una mujer que “no rechazó el cristianismo ni lo aceptó sin discusión. . . una mujer decarácter fuerte, con una mentalidad generosa y cierta vena de originalidad bromista. . .quien odiaba la tiranía”; y su padre Nicolás Gabriel Galois un “hombre cultivado,intelectual, saturado de filosofía, apasionado enemigo de la realeza y ardiente defensorde la libertad”, quien se suicida el 2 de julio de 1829, en una habitación cercana a laescuela donde estudiaba Évariste.

Évariste nace el 25 de octubre de 1820, fue formado por su madre hasta los 12 años,

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luego ingresa al Liceo de Louis le Grand en París y a sus 15 años, tras tomar el cursoregular de matemáticas, se despierta su interés en ésta. Inicia leyendo “Los manuales deuso del curso” y sigue con las obras maestras de su época, La espléndida Geometría deLegendre, para continuar con La Resolución de Ecuaciones Algebraicas, La Teoría deFunciones Analíticas y Lecciones Sobre Cálculo de Funciones por Louis Lagrange.

A los 16 años, tenia sus pensamientos centrados en el problema, que desde laantigüedad atormentaba a matemáticos, la resolución de las ecuaciones algebraicas. Espara este problema, para el cual, es él el primero en emplear el concepto de “grupo”, ydesarrolla la teoría de grupos; es por este que Évariste es conocido, por su propósito dedeterminar las propiedades, condiciones en que las ecuaciones son resolubles pormedio de radicales, proponiendo que una ecuación algebraica irreductible, se puederesolver por radicales siempre y cuando su grupo simétrico asociado lo sea, comoconsecuencia, toda ecuación polinómica mayor a grado 4 no es resoluble por radicales.Sin embargo, este importante hallazgo no fue valorado en vida, pues los matemáticosde esa época (Cauchy, Poisson) no comprendieron lo que Évariste había logrado.

Muere, tras un duelo, el 31 de mayo de 1832, dejando 3 cartas, en una de estas seencontraba esta brillante respuesta, dejada a su amigo Auguste Chevalier, quien tuvo laimportante tarea de llevarla a la Academia de Ciencias de Paris. Son necesarios 14 años(1846) tras su muerte para que sean publicadas algunas de sus memorias por JosephLiouville, pero es hasta 1870 (38 años) que son publicadas por primera vez la obracompleta de la teoría y métodos de Galois, que hoy llamamos el grupo de permutacionesde n elementos. Publicadas por Camille Jordan, ya que junto con Klein y Lie habíancomprendido e incorporado las aproximaciones de Galois en sus propios trabajos.

Hoy en día contamos con la definición axiomática de grupo propuesta por H. Weber,como sigue:Definición 1.4. Sea un conjunto no vacío G y una función de · : G⇥G ! G, la cualasigna para dos elementos a,b de G unívocamente un tercer elemento de G, esto es, queenvía (a,b)! f (a,b) = a ·b. Decimos que la pareja (G, ·) es un grupo si satisface:

Propiedad Asociativa: está es de gran importancia, pues permite definir · demanera general a un número arbitrario, pero finito de elementos del grupo.

a · (b · c) = (a ·b) · c, 8a,b,c 2 G

Existencia del Elemento Neutro: Entre los elementos de G existe un únicoelemento e llamado elemento neutro.

9e 2 G |a · e = e ·a = a,8a 2 G

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Existencia del Elemento Opuesto para todo Elemento del Conjunto: Para todoelemento a de G, existe un único elemento b.

Dado a en G, 9b 2 G |a ·b = b ·a = e

Nota: Se acostumbra a denotar el elemento opuesto o inverso de a comoa�1 . Si (a�1)�1 entonces (a�1)�1 = a

Definición 1.5. Si adicionalmente a los axiomas anteriores, un grupo (G, ·) satisface

Propiedad Conmutativa:

Dados a, b 2 G, a ·b = b ·a

Se le suele llamar como Grupo Abeliano o Conmutativo.

En general, los subconjunto del grupo G no interesan, pues no contienen una estructuraalgebraica. Motivados por esto, se presenta a siguiente definición.Definición 1.6. Un subconjunto de los elementos de un grupo (G, ·), puede ser un grupocon la operación definida en G, esto es · : H ⇥ H ! H. Si H es el conjunto de loselementos que cumple:

I. Asigna para dos elementos a,b de H unívocamente un tercer elemento de H, estoes, que envía (a,b)! f (a,b) = a ·b

II. Dado a en G, 9b 2 G |a ·b = b ·a = e

Decimos que H es subgrupo de G y lo notamos como H < G

Desde un punto de vista formal, todo grupo se puede considerar, igualmente, unsubgrupo de sí mismo. Con esto, es preciso dar una definición análoga a la anterior,que será de mayor uso.Definición 1.7. Sea H < G, H 6= Ø y (G, ·) un grupo. Entonces H es subgrupo de G, siy sólo si para todo a,b 2 H implican que ab�1 2 H.(author?) [4]

Recordando un poco lo escrito ya en relaciones, pues, escribiremos sobre clases en ungrupo. En un grupo también se habla de clases, termino que surge a partir de la idea decongruencia (teoría de números, en la cual n2N y a,b2 Z, entonces a⌘ b(n)$ n|a�b

y se dice que a es congruente con b modulo n). Lo que se hace, es dotar al grupo (G, ·)de una relación de equivalencia ⌘, donde para todo a,b 2 G , a ⌘ b(H) si y solo siab�1 2 H, para H < G. Así, si a 2 G, se define la clase de equivalencia de a, según larelación ⌘ o según el subgrupo H, al conjunto:

[a] = {x 2 G|x ⌘ a(H)}

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La clase lateral por derecha de a según el subgrupo H de (G, ·), es el conjunto

Ha = {ha|h 2 H} (1.1)

Por lo tanto 8a2G, [a] =Ha. De manera análoga se define la clase lateral por izquierda.

aH = {ah|h 2 H} (1.2)

Al igual que hicimos en la subsección anterior, las clases de grupos cumplen que siaH\bH 6=↵! aH = bH. Y podemos formar particiones de G como R= {aH : a 2 G}

A continuación, definiremos un grupo cociente o grupo factor, para ello es necesarioescribir acerca de subgrupo normal.Definición 1.8. Se dice que es un subgrupo normal H de G si para todo g 2 G y todoh2H se tiene ghg�1 2H, asi que H es un subgrupo normal de G si y solo si gHg�1 =H.

Por lo que vemos, esta definición es equivalente a decir que el subgrupo H de G es unsubgrupo normal de G si y solo si toda clase lateral de izquierda de H en G es una claselateral de derecha en H de G. Por ende, se llama grupo cociente o grupo factor de G porH, si G es grupo y H subgrupo normal de G, al conjunto G/H conformado por todas lasclases laterales por izquierda de H con la operación (aH)(bH) = abH.

Para terminar con ésta subsección, veremos que los conceptos que se presentan acontinuación tienen un papel importante en los grupos, ya que son funciones quepreservan las operaciones definidas. Veremos más adelante que otras ventajas tienen.

Un homomorfismo se define como:Definición 1.9. Sean (G, ·) y (H, ·) dos grupos, y formemos la función f : G ! H quesatisface f (x ·y) = f (x) · f (y), 8x,y 2 (G, ·). Es importante ver que f (x ·y) se calcula en(G, ·) y que f (x) · f (y) se calcula en (H, ·).

Un isomorfismo se define como:Definición 1.10. Sean (G, ·) y (H, ·) dos grupos y la función f : G ! H que cumple serun homomorfismo biyectivo. Entonces (G, ·) y (H, ·) son grupos isomorfos yf : G ! H es un isomorfismo; lo denotamos como G ⇠= H o f : G ⇠= H. En otraspalabras, para un isomorfismo, aunque la naturaleza de los elementos de los dos grupossea completamente diferente, ambos tienen la misma estructura.

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1.1.6. Espacios métricos

El estudio por parte de József Kürschák (1864 - 1933) de los números reales ycomplejos, y la asociación que existe entre estos a través del valor absoluto, entendidocomo

px2 + y2 en cumplimiento con: ||0|| = 0, ||x|| > 0 si x 6= 0,

||zw|| = ||z|| ||w|| y ||z + w|| 5 ||z||+ ||w||; fue la base del trabajo de Maurice RenéFréchet (1878 - 1973), presentado en su tesis doctoral en 1906. Fréchet pensaba que sila distancia entre dos puntos se entendía como ||x� y||, los requerimientos anterioresdel valor absoluto se replicarían en las propiedades del concepto de distancia. Másadelante, Stefan Banach (1892 - 1945) generaliza este concepto a elementosarbitrarios, provocando su resplandor en 1920; como resultado, se convierte en elobjeto principal del análisis general y en una de las fuentes de la topología.

Así llegamos a que la métrica es el estudio de la distancia entre dos puntos basada enla teoría de Pitágoras; de aquí, que los espacio métricos sean el estudio abstracto de laspropiedades de la distancia, los cuales cumplen con ciertas propiedades.Definición 1.11. Empecemos por definir la distancia o métrica d sobre un conjunto X

como la aplicación d : X ⇥X ! R dada por cada par de puntos x,y 2 X asociado a unnumero real d(x,y), cumpliendo:

El único punto a distancia cero de un punto, es el mismo punto: d(x,y)> 0 ! x 6=y

Separación: d(x,y) = 0 $ x = y

Simetría: d(x,y) = d(y,x) 8x,y 2 X (la distancia es un función simétrica)

Desigualdad Triangular: d(x,y) d(x,z)+ d(z,y) 8x,y,z 2 X (la longitud de unlado de un triángulo es menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados)

Escribimos que un espacio métrico con conjunto X y una métrica determinada d, es lapareja (X ,d).

Al igual que en grupos pensábamos realizar comparaciones y determinar las estructurassemejantes, en los espacios métrico hacemos lo mismo, pensado en está ocasión enmantener las distancias entre los puntos.Definición 1.12. Si f es una función del espacio métrico (X ,d) al espacio métrico (Y,k)

y se satisface que k( f (x), f (y)) = d(x,y), entonces f se llama una isometría. (author?)[5]

Podemos pensar en una idea intuitiva que nos permita definir de manera rigurosa lacercanía y proximidad a través de conjuntos abiertos o cerrados; esto nos servirá para

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empalmar este tema con el de espacio topológico.Definición 1.13. Una bola abierta de radio r > 0 centrada en x2X en un espacio métrico(X ,d) es el conjunto B(x,r) := {y 2 X |d(x,y)< r}. Un subconjunto U ✓ X se diceabierto en el espacio métrico (X ,d) si 8x 2U9r > 0 tal que B(x,r)✓U . (author?) [5]

De aquí, podemos pensar que la propiedad de ser abierto dependen también de lamétrica. Y si definimos una métrica tal, que solo nos permita hacer distinción entreobjetos (métrica euclidiana), veremos que en ésta todos los conjuntos son abiertos,reteniendo únicamente las propiedades esenciales de estos en un concepto masabstracto.Definición 1.14. Sea (X ,d) un espacio métrico. Entonces

Si {Va}a2I es una familia arbitraria de subconjuntos abiertos de X entoncesS

a2I Va es un conjunto abierto

La intersección de número finito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto

El mismo espacio X y el conjunto vacío son abiertos en X

Tomado de: (author?) [5]

Si pensamos en los conjunto cerrados en un espacio métrico, podemos definir estaspropiedades.Definición 1.15. Un conjunto A ✓ X se dice cerrado en un espacio métrico (X ,d), si sucomplemento es abierto en X .(author?) [5]

De manera análoga a la definición 1.14 se plantea para la familia de todos los conjuntoscerrados de un espacio métrico.Definición 1.16. La familia de todos los conjuntos cerrados en un espacio métrico (X ,d)

tiene las propiedades siguientes:

I. Si los conjuntos Aa ,a 2 I son cerrados en X , entonces \a2IAa es un conjuntocerrado.

II. Si A1, ...,Ak son conjuntos cerrados entonces [ki=1Ai es cerrado

III. X y /0 son cerrados.

Tomado de: (author?) [5]

Como ya se ha dicho, la métrica es un conjunto al cual se le asocia la función dedistancia. Pensando en esto introduciremos una clase de función interesante entre estosespacios: la función continua. Recordamos que en los cursos de cálculo se ve demanera rigurosa la continuidad de una función en un punto (Revisar definición 1.28); si

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generalizamos está idea obtenemos:Definición 1.17. Sean (X ,d) y (Y,m) dos espacios métricos y sea f : X ! Y unaaplicación. Decimos que f es continua en x 2 X si 8p > 09r > 0,f(B(x,r)) ✓ B(f(x), p). En forma mas explícita, esta condición significa que8p > 09r > 0, d(x,y)< r ! m(f(x),f(y))< p. Cuando X = Rn, y Y = Rk y en ambosespacios la distancia es euclidiana obtenemos el concepto de la continuidad conocidode los cursos de cálculo. La aplicación f se dice continua si es continua en todos lospuntos del dominio. (author?) [6]

Puesto que este concepto es importante para este trabajo, daremos otra posición,obteniendo un criterio útil de continuidad y hacer posible su generalización en losespacios topológicos. Está definición nos brinda un criterio de continuidad a partir dela definición 1.13Definición 1.18. Una aplicación f : M1 ! M2 entre dos espacios métricos es continuasi y sólo si para todo conjunto abierto U de M2 el conjunto f�1(U) es abierto enM1(author?) [7]

1.1.7. Espacios topológicos

Los estudios de las transformaciones de algunas figuras, es decir, las propiedades de lasfiguras geométricas realizados por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) fueron labase de la solución del problema de los 7 puentes de Königsberg planteada porLeonhard Paul Euler (1707 - 1783); dicho problema al parecer ya era conocido desdeRené Descartes (1596 - 1650), el cual se enunciaba de la siguiente manera:

“Hay una isla A en Königsberg (Regiomons), Prusia, llamada der Kneiphof, y el ríoque la rodea está dividido en dos brazos; los brazos de este río están cruzados por sietepuentes; a, b, c, d, e, f y g. Se propuso, acerca de estos puentes, la siguiente cuestión:quién podía trazar un recorrido tal que pasara por cada puente una sola vez y no más”Euler.

Leibniz fue el primero en hablar de la geometría de la posición, la cual, sólo debíaocuparse de la posición y las propiedades provenientes de ésta, despreciando porcompleto las cantidades y los cálculos. Es así, que Euler atraído por esta idea ytomando la naturaleza del problema de los 7 puentes, percibió que para resolver elproblema no importaba la longitud de los puentes y las islas, sino la posición que ellostenían, transformando así el problema a un grafo, en donde solo bastaba demostrar laecuación V � B+A=2 (se supone ya era conocida por Descartes y Leibniz), querelaciona el número de vértices, aristas y caras.

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Tras la publicación de esta solución, inician apariciones de diversos trabajosmatemáticos como los de Nikolái Ivánovich Lobachevski (1792 - 1856), exponiendo lapropiedad de adyacencia (segmento de límite común), que debe cumplir un cuerpopara ser considerado geométrico, y la disecciones del espacio, como la división en dosdominios que hace cada superficie al espacio, uno interior y uno exterior. Sin embargo,aparece August Ferdinand Möbius (1790 - 1868) quien realiza aportaciones,principalmente la superficie de una sola cara, conocida como la Banda de Möbius; quea su vez había sido descubierta y de forma independiente por Johann Benedict Listing(1808 - 1882). Es entonces, que para 1847 aparece por primera vez la palabra“topología” en el libro “Introducción al Estudio de la Topología” de Listing, haciendoreferencia, a la geometría de posición, como hasta ahora había sido conocida.

El 10 de Junio de 1854, emerge el brillante y tímido Georg Friedrich BernhardRiemann (1826 – 1866), discípulo de Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), exponiendoen la Universidad de Gotinga “Sobre los fundamentos subyacentes tras la geometría”.Esta exposición, resultaba ser “su lección inaugural, la exposición formal queconstituía el examen final del largo proceso, heredado de los tiempos medievales, porel cual un candidato quedaba habilitado para dar clases en la universidad”. Es justo allí,donde formula un programa de estudio expresando su idea sobre la abstracción de lamedida, para estudiar únicamente las relaciones de posición y de inclusión, queestaban presente en el estudio de las magnitudes en la integración de funciones.

Lo primero que hizo Riemann fue definir “un espacio como conjunto de puntos, y unavariedad como un tipo particular de espacio consistente en regiones donde los puntospueden nombrarse mediante colecciones de números”(author?) [8], y así, másadelante define una variedad n-dimensional, como “un conjunto tal que el conjunto depuntos en la vecindad en un punto dado es equivalente a una región en unn-espacio”(author?) [8]. Todo esto encaminado a definir algunos invariantes(conocidos como los números de Betti, llamados así en honor a Enrico Betti (1823 –1892), los cuales, “debían desempeñar un papel muy importante en el desarrolloposterior de la topología”(author?) [9],) en una superficie y luego de una multiplicidad(“se utiliza principalmente para presentar el espacio como un ejemplo de un conceptomas general”(author?) [10], en otras palabras, “una especie particular de conjuntos demagnitudes”(author?) [10]) de dimensión cualquiera, aplicada, como ya se puedeintuir, a las integrales.

Es aquí, donde la historia se divide; por un lado, aparecen los términos punto deacumulación, conjunto cerrado, abierto y perfecto desarrollada por Georg FerdinandLudwig Philipp Cantor (1845 - 1918), primero en la recta real y luego en el espacion-dimensional, pensándose en la aplicación a conjuntos, curvas y funciones. Así, que

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sobre la base de la teoría general de conjuntos, se estudia las clases de figuracióngeométricas que se consideran pertenecientes a los espacios euclídeos que son cerrados(Topología conjuntista o general). Por otro lado, toda ésta historia se desemboca en1895, fecha en la que se publica Analysis Situs de Jules Henri Poincaré (1854 – 1912)dónde está por primera vez un desarrollo sistemático de la topología como un “aspectocualitativo intrínseco de las configuraciones especiales que permanecen invariantesbajo transformaciones biunívocas y bicontinuas”(author?) [11] (Topologíaalgebraica).

El desarrollo de la topología, se dio enmarcada en los desarrollos de los métodos deRiemann seguidos por Cantor y Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881 – 1966), yPoincaré y Felix Christian Klein (1849 - 1925). Sin embargo, aparecen nombres tanimportantes por sus diversos aportes, como los de David Hilbert (1862-1942), PávelSamuílovich Uryson (1898 - 1924), Maurice René Fréchet, (1878 - 1973); pero quizá,el más importante es Felix Hausdorff (1868 - 1942) considerado por Boyer como elsumo sacerdote de la topología general; pues basado en la teoría de conjuntos, deja delado la naturaleza de los elementos para únicamente tener en cuenta sus relaciones. Asíque, en principio la topología es una generalización de los espacios métricos, en la quese consideran las relaciones de proximidad entre conjuntos; hallando evidentesequivalencias entre las definiciones 1.14 y 1.16 y la que a continuación se encuentra,con lo que, digamos de una vez, que cualquier espacio métrico será, además, unespacio topológico.

Este concepto de espacio topológico, es un resultado sencillo y universal, debido a queFréchet y Hausdorff habían precisado el concepto de continuidad en todas la situacionesimaginables, teniendo presente que una aplicación es continua si transforma puntos queestán cerca en puntos que están cerca, es decir, si respeta la relación de cercanía. Estoaparece de manera clara, si recordamos que la topología no permite separar lo que estaunido, ni pegar lo que estaba separado.Definición 1.19. Sea X un conjunto no vacío. Una colección l de subconjuntos de X sedice que es una topología sobre X si:

I. X y Ø pertenecen a l

II. La unión de cualquier numero (finito o infinito) de conjuntos l pertenece a l

III. La intersección de dos conjuntos cualquiera de l pertenece a l

El par (X ,l ) se llama espacio topológico. Tomado de (author?) [12]. Los elementosde X son llamados puntos de l ; los elementos de l son llamados conjuntos abiertos, ysus complementos son llamados conjuntos cerrados. De manera mas precisa, y teniendo

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en cuenta que de ahora en adelante, nos referiremos al espacio topológico como X , unconjunto cerrado se define como sigue.Definición 1.20. Un subconjunto A de un espacio topológico se dice que es cerrado siy sólo si X �A es abierto. (author?) [2]

Así, que el concepto de conjunto cerrado puede usarse para definir un espaciotopológico, tal como sigue.Teorema 1.21. Si X es un espacio topológico, entonces:

I. X y Ø son conjuntos cerrados

II. La unión de cualquier numero (finito o infinito) de conjuntos cerrados es unconjunto cerrado

III. La intersección de dos conjuntos cualquiera cerrados es un conjunto cerrado.

Tomado de: (author?) [12]

Demostración. Este resultado se deduce fácilmente, basta con tener en cuanta ladefinición 1.20. Para 1 si X es abierto, su complemento Ø es cerrado; ahora, si Ø esabierto, su complemento X es cerrado. Para demostrar 2 sean Aa la familia deconjuntos cerrados, verifiquemos que su complemento es abierto. Entonces, por Ley deMorgan tenemos que X �[k

a=1Aa =\a2I(X � Aa), con lo que \a2I(X � Aa) es laintersección finita de conjuntos abiertos, en consecuencia es un conjunto abierto; yefectivamente [k

a=1Aa es cerrado. Por último, para 3 procederemos de manera similara la anterior; sea {Va}a2I una colección de conjunto cerrados al cual aplicamos Ley deMorgan: X �\a2IVa = [a=1(X �Va). Puesto que el conjunto X �Va es abierto,[a=1(X �Va) es una unión arbitraria de conjuntos abiertos, decimos, que es unconjunto abierto. Por lo que \Va es un conjunto cerrado.

Como vimos en los espacios métricos la distancia da lugar al concepto de bola abierta,que a su vez permite hablar de los conjuntos abiertos. En topología, generalizamos estasideas a otros conjuntos en los que no necesariamente se tiene la noción de distancia enel mismo sentido.Definición 1.22. Si X es un conjunto, una base para una topología sobre X es unacolección b de subconjuntos de X (llamados elementos básicos) tales que:

Para x 2 X , hay al menos un elemento básico B que contiene a x.

Si x pertenece a la intersección de dos elementos básicos B1 y B2, entonces existeun elemento básico B3 que contiene a x tal que B3 ⇢ B1 \B2.

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Si b satisface estas condiciones, se define la topología l generada por b . Tomado de:(author?) [2]

Ahondemos más, la topología l generada por b se describe como una unión arbitrariade elementos de b . Sin embargo, podemos introducir la idea de realizar interseccionesen una colección de conjuntos, llevándonos a la siguientes definición.Definición 1.23. Una subbase S para una topología sobre X es una colección desubconjuntos de X cuya unión es igual a X . La topología generada por la subbase S sedefine como la colección l de todas las uniones de intersecciones finitas de elementosde S. (author?) [2]

Empero, y de una forma un poco mas sencilla, Hausdorff “entiende por espaciotopológicos un conjunto E de elementos x, y ciertos subconjuntos Sx, de E llamadosentornos de x”(author?) [11], a los cuales se les asocia un conjunto de axiomas quemas adelanate revisaremos. Por lo pronto definiremos un entorno.Definición 1.24. Sean X un espacio topológico y x 2 X . Un subconjunto V de X es unavecindad de x si existe un conjunto A tal que x 2 A y A ⇢V . Clara

Ahora podemos ver que el sistema de entornos satisface los siguientes cuatro Axiomasde Hausdorff:

I. “A cada punto x le corresponde al menos un entorno U(x), y cada entorno U(x)

contiene al punto x.

II. Si U(x) y V (x) son dos entornos del mismo punto x, entonces hay otro entorno dex, W (x), conteniendo ambos.

III. Si el punto y pertenece al entono U(x) de x, entonces hay un entorno U(y) de y,contenido en U(x).

IV. Para cualquier par de puntos distintos de x e y existen sendos entornos de U(x) yU(y) que no contienen ningún punto en común”(author?) [11]

De aquí, entendemos por espacio de Hausdorrf como la topología inducida por las bolasabiertas de la métrica, con lo que todo espacio métrico es espacio de Hausdorff; ya que,dos puntos distintos de un espacio métrico se pueden separar con vecindades abiertasdisjuntas.Definición 1.25. Un espacio topológico X se dice que es un espacio de Hausdorff sidado cualquier par de puntos distintos a,b en X existen entornos U y V de a,b

respectivamente, que son disjuntos.

Es en 1914 en Grundzüge der Mengenlehre, en donde Hausdorff expone todas estasideas, las que sirven de punto de partida de trabajos posteriores; y es especialmente,

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la definición de los cuatro axiomas, los que permiten dar el concepto de continuidad,tema que retomaremos y ampliaremos más adelante, pues en lo que sigue definiremosun subespacio de un espacio topológico.Definición 1.26. Sea A un subconjunto de un espacio topológico X . Diremos que latopología inducida en A, a partir de la topología de X , es la colección A\U , para todoconjunto abierto U de X . Así que, A es un subespacio de X .

Ahora bien, es de esperar que exista una definición análoga a la anterior para conjuntoscerrados, sin embargo, se necesita ser cuidadosos al usar el termino de conjunto cerradosen los subespacios. Esto se explica formalmente el la siguiente definición.Definición 1.27. Sea Y un subespacio de X . Entonces un conjunto A es cerrado en Y si,y sólo si, es igual a la intersección de un conjunto cerrado de X con Y .(author?) [2]

1.2. Función continua en topología

Al principio del cálculo, la mayor parte de las funciones eran continuas y no eranecesaria la definición exacta de continuidad. Pero a partir de problemas físicos en elsiglo XVIII esto cambio, pues se presentaron algunas funciones discontinuas, enparticular los trabajos de J.B.J. Fourier en la teoría de calor. Entonces, para 1821gracias a Agustin-Louis Cauchy y desde la definición de continuidad en términos de laspropiedades de los números Reales, se plantea la definición Matemática satisfactoria,la cual hoy usamos, expresada mas fácil por medio del concepto de límite.

Si entendemos la continuidad como “un proceso continuo que se lleva a cabo en formagradual, sin ninguna interrupción o cambio abrupto”, encontramos ejemplos enfenómenos físicos como el movimiento de una partícula, la materia de un objeto, eltiempo. En otras palabras, el desplazamiento de un vehículo que varía en formacontinua en función del tiempo, el cambio de velocidad de una partícula en eltranscurso del tiempo, el crecimiento de una persona. Formalizando, este conceptotenemos que “a un instante t se le asigna un lugar f (t) del recorrido dado. Lacontinuidad de movimiento se traduce entonces en que al variar t es un transcursocontinuo del tiempo, los valores f (t) recorren un camino continuo”.Definición 1.28. Entonces, veamos que la continuidad de una función real f de variablereal en un punto a se define a partir del cumplimiento de las siguientes condiciones:

f (a) existe

lımx!a f (x) existe

lımx!a f (x) = f (a)

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Si tomamos en cuenta que la definición de limite es:

Para todo e existe un d tal que | x�a |< d implica que | f (x)� f (a) |< e

Podemos ver:

I. | f (x)� f (a) |< e ! �e < f (x)� f (a)< e ! f (a)� e < f (x)< f (a)+ e !( f (a)� e, f (a)+ e)

II. | x�a |< d ! �d < x�a < d ! a�d < x < a+d ! (a�d , a+d)

Ésta resulta ser la continuidad para un punto como la solemos ver en cálculo; todavía, sise piensa en una función f de un subconjunto de R2 en R se tiene, de manera intuitiva,que es continua: “si la representación en el espacio tridimensional usual, su gráfica esuna superficie que consta de un solo pedazo, no posee interrupciones ni saltos. Aquítambién puntos cercanos a q tienen imágenes cercanas a f (q).”

Por otro lado, recordemos que la topología nace principalmente con fines geométricosy analíticos, pero que desde Cantor hasta Hausdorff surgió lo que hoy conocemoscomo topología general; la cual, tiene poco que ver con los puntos de la geometríaordinaria, puesto que se pensaba mas en aquellos resultados conjuntistas que sonindependientes de la naturaleza de los elementos del conjunto; así, quereflexionábamos en la aplicación como una correspondencia entre clases. De aquí, quepodamos especular en una definición de continuidad en la que ampliemos ygeneralicemos la anterior (continuidad en un punto) a la topología en un punto, comosigue:Definición 1.29. Decimos que una función f definida para todo punto x del espacio X

y que toma valores f (x) en el espacio Y , es continua en el punto x0 si la condición

lımn!•

xn = x0

Implica

lımn!•

f (xn) = f (x0)

Para sucesión de puntos x1, x2, .., xn, ..., con xn 2 X .

Ahora, hablar de continuidad de una forma totalmente general, necesita tener en cuentala idea de cercanía y entorno, en el sentido que conserve sus características esenciales.Esto implica, que la función continua es aquella función que es continua en todo punto,concepto que se expresa de manera adecuada como sigue:

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Definición 1.30. Sean X e Y espacios topológicos. Una función f : X !Y se dice que escontinua si para cada subconjunto abierto V de Y , el conjunto f�1(V ) es un subconjuntoabierto de X .

Esto quiere decir que es continua si y solo si, la imagen inversa de cada conjunto abiertoes abierta, en esto, podemos decir, por un lado retomando lo que ya había mencionadoal respecto en espacios métrico, es claro que la definición 1.18 es equivalente a ésta; ypor otro, que f es continua relativa a las topologías especificas sobre X e Y , puesto quela continuidad del espacio no solo depende de la propia función. Por lo tanto, tendremosen cuenta dos casos importantes en los cuales diremos que una aplicación es continua,una cuando tenemos conjuntos cerrados y la otra la aplicaciones compuestas.Definición 1.31. Una aplicación f : X ! Y entre dos espacios topológicos es continuasi y sólo si, para todo subconjunto cerrado C de Y f�1 (C) es cerrado.(author?) [7]

La siguiente definición será de gran utilidad.Definición 1.32. Sean X , Y y Z espacios topológicos. Si f : X ! Y y g : Y ! Z sonaplicaciones continuas, la composición h = g f : X ! Z es también continua. (author?)[7]

Todavía, retomando los inicios geométricos de la topología, exponemos el hecho que“toda transformación de una figura que no destruye la adyacencia de las distintas partesde la figura se llama continua; si ocurre que no sólo se conservan las adyacencias sinoque no se crean otras nuevas, la transformación se llama topológica”(author?) [3];dicho de otra forma, decimos que una transformación topológica no permite separar loque esta unido, ni pegar lo que estaba separado. Naturalmente, la transformacióntopológica es biunívoca y bicontinua.Definición 1.33. Sean (X ,l ) e (Y,l1) espacios topológicos. Entonces éstos se dicenque son homeomorfos si existe una función f : X ! Y con las propiedades siguientes:

I. f es inyectiva

II. f es sobreyectiva

III. Para cada U 2 T1, f�1 (U) 2 l

IV. Para cada V 2 T , f (V ) 2 l1

Ademas, la función f se llama homeomorfismo entre (X ,l ) e (Y,l1).(author?) [12]De otra forma, un homeomorfismo significa que se pueden convertir objetos de unoen otro mediante una transformación topológica, esto es, que pertenecen a un mismotipo topológico; permitiéndonos determinar si dos espacios topológicos se consideranequivalentes.

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Una propiedad fundamental de los espacio topológicos que se deriva de loshomeomorfismos, es la siguiente definición, ya que en promulga que el espacio luce lomismo cuando es visto desde cualquier punto. Está será de gran utilidad en el trabajoposterior.Definición 1.34. Un espacio topológico X se llama homogéneo si para cada par depuntos x,y 2 X existe un homeomorfismo f : X ! X con f (x) = y.(author?) [13]

1.3. Topología producto

Esta sección esta motivada por ser una construcción que no resulta de unageneralización de los espacios métricos, por lo contrario, es un método de construirespacios topológicos a partir de otros ya dados; en este caso, la topología productosurge de asignar una topología al producto cartesiano (ver 1.1.2). Veremos másadelante que esta definición se aplica a los grupos topológicos.Definición 1.35. Sean X e Y espacios topológicos. La topología producto sobre X ⇥Y esla topología que tiene como base la colección b de todos los conjuntos de la forma U ⇥V , done U es un subconjuntos abierto de X y V un subconjunto abierto de Y . (author?)[2]

Existe otra manera de definir la topología producto a partir de las subbases.Definición 1.36. La colección

S =�

p�11 (U)|U es abierto en X

[�

p�12 (V )|V es abierto en Y

en donde p1 : X ⇥Y ! X definida por p1(x,y) = x y p2 : X ⇥Y ! Y definida porp2(x,y) = y son las proyecciones canónicas; es una subbase para la topología productosobre X ⇥Y . (author?) [2]

Antes de continuar, hay algo más que añadir, introducimos una noción mas general dela compuesta, conocida como la propiedad universal del producto.Definición 1.37. Sean A, X e Y espacios topológicos. Para cualquier par de aplicacionesf : A ! X , g : A ! Y , la aplicación h : A ! X ⇥Y definida por h(a) = ( f (a),g(a)) escontinua si y sólo si f y g son continuas.(author?) [14]

1.4. Topología cociente

La topología ha surgido como una materia que unifica la casi totalidad de la matemática.Es por esto, que vale la pena retomar la idea que ya teníamos de conjunto cociente dada

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en las relaciones de equivalencia, y vislumbrarlo en el siguiente ejemplo.Ejemplo 1.38. Sea un subconjunto B de A al cual asignamos la relaciónaRb $ a,b 2 B. Comprobemos que está relación es de equivalencia; así queaRa $ a 2 B, es reflexiva. Si aRb $ a,b 2 B $ bRa, es simétrica. Y si aRb ybRc $ a,b,c 2 B $ aRc, es transitiva. Efectivamente es una relación de equivalencia.Ahora, si pensamos que B = {a,b,c},R = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)}, sus clases deequivalencia son: [a] = {a,b,c} [b] = {a,b,c} [c] = {a,b,c} Luego es fácil ver quebRa es equivalente a [a] = [b], y así, obtenemos el conjunto cociente A/B; puesto queestamos identificando unos puntos del conjunto con otros equivalentes a él, y como[a] = [b] = [c] tenemos una única clase, lo que nos da la idea de poder reducir unsubconjunto de A a un solo punto, es decir, que en algún sentido son iguales y comodos puntos iguales son un solo punto, el resultado de identificar puntos con unarelación de equivalencia es pegar unos puntos con sus equivalentes en uno solo.

Es justa está idea de identificar, relacionar y pegar puntos en uno solo, la base de latopología cociente, teniendo siempre presente la idea de continuidad, pues si bien un“homeomorfismo es una relación de equivalencia, es la topología el estudio de lasclases de equivalencia”7; y como, “después de Riemman, había quedo claro que elmismo objeto matemático no sólo podía tener distintas estructuras, sino que podíahaber diferentes nociones de equivalencia entre objetos y estructuras.”8, es coherentepensar, que aunque topológicamente dos superficies sean equivalentes gracias a la ideade homeomorfismo, geométricamente sean totalmente diferentes. Por ende,topológicamente hablando, el rectángulo es equivalente al toro. También, encontramosejemplos de objetos cocientes como el cono, el cilindro o la pirámide construidospegando partes de una pieza plana bajo ciertas reglas.

Entonces, recordemos que la relación de equivalencia es una clasificación de objetosque de alguna manera son semejantes, luego, “para los espacios topológicos se puededar la noción de espacio topológico cociente para cualquier relación de equivalencia”,teniendo que la imagen continua de un espacio topológico, en general, no es un espaciocociente y que es preciso una idea que permita la caracterización de espacios cocientes,como lo es la aplicación de identificación, la cual es, la correspondencia de todos lospuntos de la clase de equivalencia en un mismo punto (Ejemplo 17).Definición 1.39. Sean X e Y espacio topológicos y sea p : X ! Y una aplicaciónsobreyectiva. La aplicación p se dice que es una aplicación cociente o aplicación deidentificación siempre que un conjunto U de Y es abierto (o cerrado) en Y si y sólo si,p�1(U) es abierto (o cerrado) en X . 2

Más aún, existe una definición de aplicación cociente equivalente a la anterior, el

30

conjunto saturado; ya que la aplicación cociente es semejante a la idea de continuidady a la de asociar conjuntos abiertos saturados con conjuntos abiertos, o conjuntoscerrado saturados con conjuntos cerrados.Definición 1.40. Sean X e Y conjuntos y sea p : X !Y una aplicación sobreyectiva. Unsubconjunto C de X es saturado si p�1(p(C)) =C, y C es su propia saturación.

De ahí decimos, que un espacio topológico Y es un espacio cociente de un espacio X sisólo si X es la imagen de Y por una aplicación cociente.Definición 1.41. Sea X un espacio topológico, R una relación de equivalencia en X

y p : X ! X/R la proyección canónica. El nuevo espacio formado (X/R, l/R) es elespacio cociente.

Por lo tanto, veamos que a topología cociente l/R definida en X/R, también se hacebajo la noción de aplicación cociente como sigue.Definición 1.42. Sea f : X ! X/R, una aplicación sobreyectiva entre un espaciotopológico y un conjunto. Se denomina topología cociente l/R si

l/R = {V ⇢ X/R| f�1(V ) es abierto en X}

En efecto, existe exactamente una topología l/R sobre X/R a la cual f es la proyeccióncanónica y l/R es la topología cociente inducida por f . Para este caso, la aplicacióncociente está dada por g : (X ,l )! (X/R,l/R).

1.5. Axiomas de Separación

Los conceptos que se encuentran a continuación surgen de un estudio profundode la propia topología. Ya fue mencionado un axioma de separación, el axioma deHausforff (Véase 1.25). Sin embargo, a continuación definimos algunas otrascondiciones de separación, aunque solo nos ocupemos en este trabajo en el deHausdorff y el de regularidad.Hecho 1.43. Se dice que un espacio X es un TK espacio, donde k = {1,2,3,4}, si

satisface la condición TK siguiente:

T1 Para todo par de puntos distintos existe un conjunto abierto abierto que

contiene a uno de ellos pero no al otro. [Esto implica que el complemento de cada

punto es un conjunto abierto, o que cada punto es un conjunto ]

T2 Todo par de puntos distintos pueden ser separados por conjuntos abierto [o

todo par de puntos distintos tienen vecindades disjuntas] Un espacio topológico es de

Hausdorff si satisface el axioma T2

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T3 Un conjunto cerrado f y un punto x /2 f pueden ser separados por conjuntos

abiertos. Si un espacio topológico cumple T3 es un espacio regular.

T4 Dos conjuntos cerrados disjuntos pueden ser separados por conjuntos

abiertos. Un espacio topológico es normal si satisface T1 y T4

Tomado de: (year?)

1.6. Grupos topológicos

El desarrollo de la teoría de grupos a partir de la solución de ecuaciones algebraicaspor medio de radicales, indujo a la utilización de está teoría en la solución deecuaciones diferenciales; lo cual amplio el concepto de grupo, llevándolo a losllamados grupos continuos y grupos de transformaciones continuas de Lie. Pues,mientras las ecuaciones algebraicas constan de transformaciones finitas, lasdiferenciales, aunque son construidas de manera similar, son infinitas. Sin embargo, esposible obtener todas las transformaciones a partir de sistemas finitos de parámetros.De aquí, que los grupos de Lie, son aquellos cuyos elementos están definidos mediantela dependencia continua de finitos parámetros y la multiplicación puede ser expresadamediante funciones diferenciables.

Dicho lo anterior, surge la necesidad de escribir sobre el noruego Marius Sophus Lie(1842 - 1899) puesto que, los grupos de Lie, fueron nombrados de este modo en honora él. Estudió en la escuela de Moss hasta los 15 años e ingresó en la Nissen’s PrivateLatin School de Christiania, obteniendo su diploma de licenciado en Ciencias en 1865.Tras su grado, Lie entra en depresión, aparentemente, por su “falta de vocación”, la cualdura un año. De modo que para el otoño de 1866 vuelve a Christiania, y para 1868entra en contacto con obras sobre la geometría proyectiva de Poncelet y Plücker, locual lo conduce a publicar en 1869 su primer trabajo, siendo éste, su pase de salida aGöttingen y Berlin. Es Berlin el lugar donde conoce a Klein, con el que mantuvo unabuena amistad, al punto de trabajar juntos e intercambiar ideas.

En 1870 viaja a Paris en compañía de Klein, en donde conocen las obras de Galois ypublican sus tres volúmenes, pues, mientras Lie se dedico al estudio de los grupos detransformaciones continuas y sus invariantes, Klein se dedico a los discontinuos. Mástarde, Lie es arrestado tras estallar la guerra franco-alemana, y con un tiempo en lacárcel, “descubre la célebre transformación que lleva su nombre y que establece unarelación entre las rectas y las esferas del espacio, por una parte, y entre las líneasasintóticas y las líneas de curvatura de la superficie, por otra”(author?) [16]. Un año

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después, Christiania le otorga una beca de investigación para el doctorado en ciencias,doctorándose en julio de 1872 con un trabajo sobre una clase de transformacionesgeométricas.

Finalmente, en la década comprendida entre 1874 y 1884 desarrolla su teoría encolaboración con el matemático alemán Friedrich Engel (1861 - 1941), publicando unasíntesis de tres volúmenes y creando una escuela de matemáticos dedicados a la teoríay aplicaciones de grupos de transformaciones continuas, a la cual pertenecía elmatemático francés Élie Joseph Cartan (1869 - 1951). En general, Sophus Lie fue unmatemático quien “creó en gran parte la teoría de la simetría continua y la aplicó alestudio de las estructuras geométricas y las ecuaciones diferenciales. La herramientaprincipal de Lie y uno de sus logros más grandes fue el descubrimiento que los gruposcontinuos de transformación podían ser entendidos mejor linealizándolos y estudiandolos correspondientes campos vectoriales generadores”.(author?) [17]Así que, ladefinición que tenemos actualmente de los grupos de Lie son “aquellos grupos queadmiten un sistema de coordenadas locales respecto del cual las operaciones de gruposresultan analíticas”Piergiorgio. Formalmente:Definición 1.44. Decimos que un grupo G es un grupo de Lie, si G es una variedadanalítica 1.1.7 y las aplicaciones analíticas

G⇥G ! G, (x, y)! x · y

G ! G, x ! x�1

son variedades analíticas 1.1.7.(author?) [18]

Por otra parte, gracias a Klein y su nombrado Programa de Erlanger, tenemos que lasdiferentes geometrías se obtenían al ampliar o reducir el grupo, pues cada geometríapuede considerarse como una teoría de invariantes de un grupo específico detransformaciones. Además, cada grupo ofrece la estructura analítica de una geometríagracias a la teoría de invariantes algebraicos y diferenciales. Así, por ejemplo, si“consideremos una transformación uno a uno del conjunto de los puntos de un espaciogeométrico arbitrario que no altere las relaciones básicas entre las figuras que seestudian en esa geometría. La colección de estas transformaciones forma un grupo demovimientos”(author?) [3], entonces, “conocido el grupo, se puede considerar lacorrespondiente geometría como el estudio de aquellas propiedades de la colección depuntos que son conservadas por las transformaciones del grupo”(author?) [3]; cabedecir, que los grupos de movimiento son grupos de Lie.

En cualquier caso, es David Hilbert quien en el Congreso internacional de París de

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1900 presenta su reconocido listado de 23 problemas, contiendo en si un punto de vistatopológico en la teoría de grupos de Lie. En este, a diferencia de Hermann VonHelmholtz (1821 - 1894) y sus sucesores, ponía en duda la necesidad de asumir ladiferenciabilidad de las transformaciones, pues ellos consideraban que era unacondición si uno iba a resolver el problema con la teoría de Lie. Es justo, el quintoproblema el que impulsa la investigación entorno a los grupos topológicos, a causa depreguntar “si todo grupo localmente euclídeo (es decir, que admite un sistema decoordenadas locales) era un grupo de Lie”19; dicho de otro modo, analizar si en ladefinición 1.44 era posible sustituir la variedad analítica 1.1.7 por variedad topológica(espacio localmente euclídeo de Hausdorff) y la aplicación analítica por aplicacióncontinua. De manera que, Brouwer durante 1909 y 1910, sigue con los trabajos deHilbert, aunque él no siguió el ejemplo de Hilbert sobre cómo definir una variedad ydio lugar a su propia definición; sin embargo, no tuvo avances en ese momento, debidoal poco desarrollo de la topología.

De cualquier modo, a pesar que fue Hilbert, quien al tratar con los grupos especiales demovimientos del plano, tuvo necesidad de caracterizarlos como variedades también;fue Brouwer el que emprendió el estudio topológico de grupo continuo detransformaciones con la mirada puesta en el quinto problema, siendo el pionero en estadirección, pues tenía una visión topológica diferente a la de Poincaré y, a diferencia delos grupos continuos de Lie, las suposiciones de diferenciabilidad no estuvieroninvolucrados en la definición de Brouwer. Enmarcando la topología en la teoría deconjuntos y puntos, impulsando nuevos límites topológicos con sus teorías de mapeo,grupos y dimensiones. Por entonces, la teoría de conjuntos había entrado en crisis, porlo que, la teoría de conjuntos de puntos fue mucho más aplicada en análisis y algomucho menos en geometría, sin tener un carácter de teoría unificada; Brouwercontribuyo entre 1911 y 1912 al desarrollo topológico, lo que sirvió como base aldesarrollo posterior de la misma.

De hecho, la topología se posiciona como la mejor disciplina de las matemáticas, puesBrouwer se esforzó anticipada y rápidamente, produciendo un enorme trabajo en latopología de los grupos continuos de transformaciones. Así que, los grupos, teoría quese desarrollo de manera aislada de las grandes corrientes matemáticas, aplicándoseúnicamente a algunos problemas de integración de ecuaciones diferenciales o enderivadas parciales, entra en contacto con la topología. Entonces, la topología incidióincluso en el trato con algunas cuestiones que surgieron de la teoría de gruposcontinuos de Lie, siendo Hermann Weyl (1885 - 1955) el desarrollador de las ideas deHilbert.

Así pues, no es de extrañar que los trabajos de Weyl fueran fuertemente influenciados,

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por una parte por Riemann y Brouwer, a causa que el trabajo de Brouwer conteníaideas innovadoras de carácter algebraico, que lo habían convencido, que habíadesarrollado la teoría de las superficies de Riemann de una forma que satisfizocompletamente todos los requisitos modernos de rigor; y por otro, de Klein y Hilbert,aceptando la idea de Klein, sobre desarrollar la teoría de superficies de Riemann dentrode la teoría de las superficies, en lugar de términos de envolventes del plano complejosobre sí mismo, para hacer una función analítica única de valor; y con el trabajo deHilbert por su aproximación al concepto de una superficie.

Al contrario de que lo podíamos suponer, de forma directa, fueron pocas lascontribuciones hechas por Weyl en el estudio topológico de grupos continuos detransformaciones. Ciertamente, de manera indirecta, fueron sus trabajos los que masinfluyeron en la investigación es esta área durante los siguientes tres décadas depublicados sus trabajos. Pues, si bien, Weyl había logrado ligar los grupos continuos detransformaciones con la topología a partir de definir una vecindad a la cual aprovisionóde propiedades hasta poder hablar de variedades en superficies, es decir, doto lavecindad de tal forma que termino hablando de discos abiertos en el plano. Fue OttoSchreier (1901 - 1929) quien en 1925 trabajo rigurosa y abstractamente con los gruposy fue el, quien los apodo grupos continuos. Después de todo, Schreier había visto queLie y sus discípulos habían pasado por alto, el hecho que los grupos que sonlocalmente isomorfos guardan una relación.

Sin embargo, Cartan, el más grande discípulo de Lie, en 1925 defendió evitar el uso delrazonamiento topológico en el trato con los grupos de Lie, debido a la gran delicadezade sus argumentos, arguyendo, que la topología era muy simple y se aplicaba sindistinguir casos. Pero, tras leer los trabajos de Weyl y comprender lo que en ellosproponía, empezó a considerar que era posible tratar los grupos de Lie con topologíageneral, y así, discurrir que los grupos continuos eran localmente euclidianos en 1930,asegurando a través de sus publicaciones un interés continuo en la topología de gruposde Lie; pues, sólo eran elaboraciones de los aspectos topológicos de la obra de Weyl.Este trabajo vislumbró de las conexiones entre geometrías de Riemann y grupos deLie, a la que ahora se aplica un enfoque topológico general.

Así, empieza a surgir el termino de grupo topológico, siendo en un principio “necesariopara poner en orden muchos de los conceptos fundamentales de la teoría de los gruposde Lie”(author?) [3]. A pesar, que para 1927 el matemático polaco Franciszek Leja(1885 - 1979) publica Sur la notion du groupe abstrait topologique. Efectivamente,David van Dantzig (1900 - 1959) en su tesis de 1931 titulada Studiën over topologische

Algebra, introdujo la topología cociente sobre G/H, donde G es un grupo topológico yH es un subgrupo de G. Y tras algunas contribuciones de otros matemáticos, emerge el

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trabajo de John von Neumann (1903 - 1957) titulado Zum Haarschen Mass in

Topologishen Gruppen de 1934 y el mas importante y reconocido Lev SemenovichPontryagin (1908 - 1988) con The theory of topological commutative groups, delmismo año. De entonces acá, se vio también la gran importancia de los grupostopológicos para diversas ramas de las matemáticas. Esto no quiere decir, que el quintoproblema de Hilbert estaba resulto, faltan muchos trabajos y matemáticos para que estoocurra. Total, la respuesta fue positiva y demostrada por Andrew Mattei Gleason (1921- 2008), Deane Montgomery (1909 - 1992) y Leo Zippin (1905 - 1995) en 19512.

Entonces, en 1978 nos queda claro, gracias a Pontryagin que, aunque “el concepto degrupo continuo apareció inicialmente en las matemáticas en relación con grupos detransformaciones continuas”(author?) [1], el termino de grupos topológicos surge dever “que para tratar la mayor parte de los problemas que se planteaban no habíanecesidad de considerar el grupo como grupo de transformaciones, sino que bastabaestudiar el grupo por sí solo teniendo presentes, sin embargo, las relaciones del paso allímite definidas en él”(author?) [1]. Bajo esta perspectiva, el concepto de límite es unanoción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un puntoconcreto y que sirve para extender aplicaciones uniformemente continuas. En estesentido, podemos decir que la topología “se trata de una transformación arbitraria detodos los puntos de una figura, y que bajo esta transformación las coordenadascartesianas de los punto imagen se expresan mediante una función continua de lascoordenadas de los puntos originales, al tiempo que las coordenadas antiguas sepueden expresar como funciones continuas de las nuevas.”(author?) [3]

Por otra parte, en “los grupos estudiamos la operación algebraica de multiplicación ensu aspecto más puro”(author?) [1], esto es, que estudia las operaciones aspirando ainvestigar sus propiedades con elementos de una naturaleza mucho más general. Detrásde todo, si entendemos que “toda operación algebraica, es decir, toda transformaciónidéntica de una expresión algebraica en otra, es una combinación de un numeroreducido de transformaciones idénticas fundamentales”(author?) [20]; podemospensar, que estas transformaciones fundamentales son: la propiedad asociativa,existencia del elemento neutro, existencia del elemento opuesto para todo elemento delconjunto y propiedad conmutativa. (Ver definición 1.4 y 1.5)

Dentro de este contexto, las transformaciones arbitrarias de puntos que se expresanmediante una función continua, son permitidas en todo conjunto. Si cavilamos queestas transformaciones son las operaciones algebraicas, estaríamos aprovechando lapresencia de la operación de grupo, relacionando la operación con la topología.Decimos, entonces que “un grupo se llama topológico si además de la operación degrupo se define un concepto de proximidad entre sus elementos y si la proximidad de

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elementos del grupo implica la de sus productos y la de sus inversos”(author?) [3];aun más si pensamos que la topología brinda el trato más amplio y general de lasfunciones y de la continuidad. Con esto digamos de una vez, que un grupo topológicoG es un grupo que es también un espacio topológico; cuyo conjunto satisface ser unconjunto con número finito de puntos, por lo que es un conjunto cerrado. De maneraprecisa:Definición 1.45. Un conjunto G con un operación binaria y una familia l de de unsubconjunto de G se llama grupo topológico si:

I. (G,·) es un grupo;

II. (G, l ) es un espacio topológico;

III. las funciones g1 : (G,l )⇥ (G,l ) ! (G,l ) y g2 : (G, l ) ! (G,l ) dadas porg1(x,y) = x · y y g2(x) = x�1 son continuas, donde x�1 es el inverso de x.

Tomado de: (author?) [21]

De otro modo, una precisión opcional de grupo topológico es como sigue:Lema 1.46. Sean (G, ·) un grupo y l una topología en G. Entonces (G, ·,l ) es un grupo

topológico si y soló si la función

g3 : (G,l )⇥ (G,l )! (G,l ) (1.3)

donde g3(x,y) = x · y�1 es continua.

Tomado de: (author?) [21]

Demostración. Sea G un grupo topológicos, luego sabemos que las funciones g1 : G⇥G ! G enviando x ⇥ y ! x · y y g2 : G ! G que envía x ! x�1 son continuas porla definición 1.45. Sea g3 la compuesta de g1 y g2, tal que g3 = g1(g2), así g3 : G⇥G ! G entendida como g3(x,y) = g1(x,g2(y)) = g1(x,y�1) = x ·y�1 es continua, por ladefinición 1.32.

Sea g3 : G⇥G ! G donde g3(x,y) = x · y�1 es continua, demostremos que G es ungrupo topológico; para eso, demostremos que las funciones g1 : G⇥G ! G enviandox⇥ y ! x · y y g2 : G ! G que envía x ! x�1, de la definición 1.45, son continuas.Sea g3(e,y) = e · y�1, por 3 de la definición 1.4, obtenemos que g3(e,y) = y�1 y comog2(x) = x�1, g2(x) = g3(e,y). En consecuencia g2 es continua. Con esto, probemos queg1 es continua. Sea g1 la compuesta de g2 y g3 tal que g1 : g3(g2) definida g1(x,y) =

g3(x,g2(y)) detallando, g3(x,g2(y)) = g3(x,y�1) = x(y�1)�1 y por 5 de la definición1.4, g3(x,g2(y)) = xy así que g1(x,y) = x · y. Nuevamente por la definición 1.32, g1 es

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continua.

En este punto, vale la pena ser un poco más rigurosos. Iniciemos advirtiendo que 1.3obtiene la estructura de grupo. Seguidamente, veamos que G ⇥ G es un espaciotopológico mediante el uso de la topología producto (véase 1.3), y cuando se pide quela función sea continua es con respecto a esta topología. Con esto, cualquier grupotopológico es un conjunto con la estructura de grupo y la topología producto; entretanto, decimos que dado el grupo G, la topología producto sobre G es compatible conla estructura de un grupo. Esta idea se puede destacar con la siguiente definición.Definición 1.47. Para cada x 2 G, las proyecciones canónicas y ! yx y y ! xy sonhomeomorfismos. (author?) [15]

Ahondemos más, denotemos que la translación por derecha e izquierda obtenidas en1.47, son las clases por derecha e izquierda de los grupos en grupos topológicos, lascuales tienen propiedades interesantes que las hacen útiles en el estudio de estosespacios. Como consecuencia, obtenemos el siguiente resultado.Teorema 1.48. La inversa g2 : G ! G, definida por g2(x) = x�1, es un homeomorfismo

(author?) [21]

Demostración. Sea g2(x) = x�1 continua, por la definición 1.45. De acuerdo con ladefinición 1.33, procedamos a demostrar que que g2 es inyectiva y sobreyectiva. Laigualdad g2(x) = g2(y) implica x�1 = y�1, de donde x = y por la parte 5 de 1.4. Six 2 G, entonces g2(x�1) = x, por lo que g2 es biyectiva. Veamos por último que g�1

2 escontinua. Puntualicemos que si g2 : G!G definida por g2(x) = x�1, entonces g�1

2 : G!G esta definida por g2(x�1) = x; por lo tanto, g2 es ella misma y es un homeomorfismo.

Si, al considerar los grupos topológicos, queremos subrayar las propiedades deisomorfismo del grupo y homeomorfismo de la topología, sobre un grupo topológico,lo definimos como el isomorfismo del grupo G sobre el grupo G’ tal que seabicontinuo; lo llamamos isomorfismo topológico y preserva tanto la estructuratopológica como la algebraica. A continuación definimos y ampliamos esto.Definición 1.49. Decimos que una función biyectiva f : G ! G0 entre dos grupostopológicos G y G’ es un isomorfismo si f y f�1 son homomorfismos (véase 1.9)continuos. Si G = G’, el isomorfismo f se llama automorfismo topológico. Dos grupostopológicos son topológicamente isomorfos si existe un isomorfismo topológico de unoal otro. Utilizaremos el símbolo G ⇠= H para indicar que los grupos G y H sontopológicamente isomorfos.(author?) [21]

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De manera que si para la métrica, la propiedad invariante es la isometría, para los gruposel ser isomorfos y para la topología el homeomorfismo, para los grupos topológicos, lapropiedad invariante es el isomorfismo topológico.

Más adelante veremos detalladamente como por medio de la aplicación cociente, seusa una acción de grupo para obtener nuevos espacios topológicos. Por el momento,expondremos lo referente a subgrupos topológicos.

1.6.1. Subgrupos topológicos

De manera similar a la que se procede con los subgrupos y subespacios topológicospara la construcción de nuevos grupos y espacios topológicos con los ya conocidos, seconstruyen subgrupos topológicos, por lo que la siguiente definición aparece de maneranatural.Definición 1.50. Sea G un grupo topológico; un subconjuto H de G se llama subgrupotopológico de G si

I. H es un subgrupo de G (Véase 1.7)

II. H es un subespacio con la topología inducida de G (Véase 1.26)

Tomado de: (author?) [21]

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CAPÍTULO 2

LOS GRUPOS TOPOLÓGICOS COMO LAESTRUCTURA ALGEBRAICA BAJO LA

ACCIÓN DE LA TOPOLOGÍA

A lo largo de este trabajo se han realizado algunas comparaciones y caracterizacionescon respecto a la relación de los grupos con la topología en los grupos topológicos. Sinembargo, es esta sección del trabajo seremos precisos con esta relación. Iniciaremosexponiendo de manera detallada la estructura algebraica bajo la acción de la topología,esto implicara retomar algunos resultados del marco teórico. Por otro lado, se expondránotras propiedades de los grupos topológicos que no abordamos en el marco teórico, puesse consideraron pertinentes para ampliar la relación deseada.

2.0.2. Grupo y Espacio topológico

Digamos de una vez, que un grupo es un conjunto y una función que para cada doselementos del conjunto asigna unívocamente un tercer elemento del conjunto, que debecumplir unas condiciones. Por otro lado, un espacio topológico es una estructura de unconjunto compuesto de ciertos subconjuntos y que satisfacen reglas sobre la unión eintersección.

Sentado esto, si pensamos que los grupos de transformaciones son un resultado deconsiderar el conjunto de transformaciones como grupo y la topología como la rama dela matemática dedicada al estudio de aquellas propiedades que permanecen inalteradaspor transformaciones continuas, es decir, que estudia las propiedades de los espaciostopológicos y las funciones continuas; podemos hallar en sus estructuras un conjunto yuna función, con la única distinción, que la topología añade el requisito de lacontinuidad, asegurando de este modo, no romper ni separar lo que estaba unido.

En este sentido, si pensamos en la función de grupo bajo la acción de la topología, loque se debe verificar en la mayoría de casos es que la función establecida sea continua.Pero si detallamos un poco, las condiciones que debe cumplir esta función para serconsiderada como grupo, se ven ampliadas bajo el concepto de la topología. Pues, porun lado, la propiedad clausurativa (requiere que para la función de grupo el tercerelemento pertenezca al conjunto) se mantiene fácilmente en la definición de espaciotopológico, ya que, tanto el conjunto como vacío pertenecen a la topología y la unión eintersección igualmente permanecen a la topología, entonces, no hay modo alguno quela clausura se pierda en esta generalización. En cuanto al elemento neutro y laexistencia del inverso, son comparables en primera instancia con el vacío y laaplicación inversa en la topología; pero además, el elemento neutro presenta unaespecie de comodín en la operación, pues bajo la idea de espacio homogéneo, solobasta tomar este elemento y comprobar en él las propiedades y si se cumplen en launidad, se cumplen para cualquier elemento.

Con esto comprendido, pasemos a revisar otras propiedades mucho más interesantes,como lo son el homomorfismo e isomorfismo, y revisemos como se comportan lossubgrupos en relación con los subespacios topológicos.

2.0.3. Isomorfismo y Homeomorfismo

De manera informal, la topología se ocupa de aquellas propiedades de las figuras quepermanecen invariantes, es decir, cuando dichas figuras son deformadas, de modo queno aparezcan nuevos puntos, o se hagan coincidir puntos diferentes. Esta transformaciónindica que hay una correspondencia biunívoca entre los puntos de la figura original y losde la transformada, y que la deformación hace corresponder puntos próximos a puntospróximos. Esta última propiedad se llama continuidad, y si lo que se requiere es que latransformación y su inversa sean ambas continuas, hablamos de homeomorfismos.

Desde otro punto de vista, en el estudio de los grupos el concepto de homomorfismodesde un objeto matemático a otro con la misma estructura algebraica, es una funciónque preserva las operaciones definidas en dichos objetos; en cuanto a la noción deisomorfismo entre grupos, vimos que es una correspondencia biyectiva que respeta laestructura algebraica involucrada. Entonces, resulta que el concepto análogo al deisomorfismo en topología es el homeomorfismo, pues es una correspondencia biyectivaque conserva la estructura topológica implicada.

Es de está idea que nace el concepto de isomorfismo topológico, en donde a la idea deconservación de la estructura se le añade la de continuidad. (Véase definición 1.49)

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2.0.4. Homogeneidad

Aunque, la estructura algebraica de grupo interacciona con la estructura topológica, yalgunas propiedades topológicas son automáticas, otras se ven forzadas; por ejemplo,que todo grupo topológico es un espacio topológico homogéneo. Sin embargo, si desdeel punto de vista topológico, cada grupo topológico es homogéneo, es porque sutopología viene determinada por la familia de entornos de la identidad. Y puesto que elespacio topológico homogéneo dice que un espacio luce lo mismo cuando es vistodesde cualquier punto, implica particularmente, que en un grupo topológico laspropiedades algebraica locales de cualquiera de sus puntos determina las de los otros,por lo tanto las propiedades locales del elemento neutro determinan las de los demás.

En este marco de ideas, para demostrar la proposición 2.1 debemos hallar unaaplicación topológica de este espacio sobre si mismo, que transforma un punto en otro.Esta demostración es bastante sencilla al encontrarnos en los grupos topológicos,puesto que, solo basta determinar dicha aplicación y su continuidad. Una vez esto hallasido determino hacemos uso de las propiedades de los grupos: la del inverso y elelemento neutro.Proposición 2.1. Todo grupo topológico es homogéneo.Esto es que para cada par de

puntos x e y de G existe un homeomorfismo de G sobre sí mismo que lleve x a y.

Demostración. Consideremos un grupo topológico G si a 2 G es un elemento fijoarbitrario, entonces la función

ga : G �! G (2.1)

definida por ga (x) = x ·a , x 2 G es un homeomorfismo

Supongamos que ga (a) = ga (b) entonces a ·a = b ·a así que a = b y ga es inyectiva.Sea y = x ·a 2 G, luego existe un elemento x tal que ga (x) = x ·a,y = ga (x); y así ga esbiyectiva. Solo resta demostrar la continuidad. Sea U ·a un conjunto al cual pertenecex ·a , como ga es biyectiva, existe un x tal que x �! x ·a , y con ello g�1

a (U)�!U ·a .De otro lado, tenemos que V es un conjunto al cual pertenece x; por ga tenemos quex �! x ·a , así que existe V ·a tal que x ·a �! V ·a . En otras palabras V �! V ·a ,esto es V �! f (V ); concluimos que ga es un homeomorfismo.

Ahora si pensamos que a = p�1 · q en ga (p) = p · p�1 · q, ga (p) = e · q y ga (p) = q,efectivamente es homogéneo.

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2.0.5. Entornos

Los entornos en los grupos topológicos tienen una caracterización peculiar que losdistingue de los espacio topológicos en general. En estos, se ve una estrecha relacióncon las operaciones algebraicas y la topología de un grupo topológico. Además quegracias a estos, no es necesaria le definición de bases del espacio, pues. basta conindicar un sistema de entornos de la unidad.

En la proposición 2.2 veremos en esencia la teoría de grupo, con las propiedades de lavecindad.Proposición 2.2. Entornos Simétricos. Un entorno V del elemento identidad e se dice

que es simetrico si verifica que V = V�1. Si U es un entorno de e, existe un entorno

simétrico V de e tal que V ·V ⇢U.

Demostración. Si A y B son subconjuntos de G, denotemos por A ·B al conjunto detodos los puntos a ·b para a 2 A y b 2 B, y representemos por A�1 conjunto de todos lospuntos a�1, para a 2 A

Ahora bien, procedemos a la construcción del entorno U de e. Sea V entorno de e;si e = a · a�1y teniendo en cuenta que a 2 A y a�1 2 A�1, decimos que e 2 A ·A�1,A ·A�1 ⇢W ·W�1 así que V =W ·W�1

Por otro lado, podemos plantear que (a ·a�1)�1 = a�1 ·a así tenemos e�1 = a�1 ·a. Portanto, e�1 2 A�1 ·A con lo que A�1 ·A ⇢W�1 ·W y V�1 =W�1 ·W

En este punto vale la pena detallar que V�1 = W�1 ·W y V = W ·W�1donde A ⇢ W yA�1 ⇢W�1, así que decimos fácilmente que V =V�1.

Si pensamos que a · a�1 = e y a�1 · a = e�1 donde a 2 A, a�1 2 A�1 y e 2 A · A�1

podemos hacer e = e · e�1de tal forma que V ·V�1 ⇢U como V =V�1 obtenemos queV ·V ⇢U

Corolario 2.3. Existe un entorno W de la identidad e que solamente contiene e

Demostración. Si W es entorno de e existe un conjunto A ·A�1 ⇢W tal que e 2 A ·A�1.pensemos en un conjunto A�1 ·A el cual es diferente a A ·A�1. Por definición tenemosque:

A ·A�1 =�

a ·a�1 | a 2 A ^ a�1 2 A�1

A�1 ·A =�

a�1 ·a | a�1 2 A�1 ^ a 2 A

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Vimos que e = a ·a�1 y e�1 = a�1 ·a, puesto el elemento identidad es único, A ·A�1 = e

y e�1 = A�1 ·A, y e = e�1así que A ·A�1 = A�1 ·A.

Decimos que en general todo conjunto de W es igual, por lo tanto e es el único puntodel entorno W .

2.0.6. Axiomas de Separación

La proposición 2.4 permite dar un trato netamente algebraico a los grupos topológicos.Proposición 2.4. Hausdorff. El espacio topológico de un grupo topológico G es de

Hausdorff. De hecho, si x 6= y existe un entorno V de e tal que V ·x y V ·y son disjuntos.

Demostración. Probemos que G es de Hausdorff. Así que tenemos dos puntos x e y deG tal que x 6= y. Puesto que todo grupo topológico es homogéneo, decimos que: “Si parala unidad e existe un entorno que solamente contiene e, para cualquier otro elemento delgrupo topológico G también existe un entorno formado por un elemento”(author?) [1]

Supongamos que x = a · b�1 por ende x 2 A ·B�1. Si W es entorno de x, A ·B�1 ⇢ W .Puesto que:

A ·B�1 =�

a ·b�1 | a 2 A ^ b�1 2 B�1

A ·B�1= x

Entonces sea U un entorno de y tal que no contiene a x, por consiguiente U * W y asíW \U = Ø.

Teniendo en cuenta que x 6= y, probemos que V es un entorno de e tal que V ·x\V ·y=Ø.

Ya vimos que ga (x) = x ·a es un homeomorfismo. Ahora comprobemos que

fa : G �! G (2.2)

definida por fa (x) = a · x es también un homeomorfismo. Supongamos que fa (a) =

fa (b) entonces a ·a = a ·b así que a = b y fa es inyectiva. Sea y = a · x 2 G entoncesexiste un elemento x tal que fa (x)=a ·x, y= fa (x). Así que fa es biyectiva. Falta ver lacontinuidad. Sea a ·U un conjunto al cual pertenece a ·x, y como fa es biyectiva, existex tal que x �! a · x entonces f�1 (U) �! U ·a . De otra forma sea V un conjunto alcual pertenece x; por fa tenemos que x �! a ·x, así que existe a ·V tal que a ·x 2 a ·V ,es decir V �! a ·V que es V �! f (V ) por lo que fa es un homeomorfismo.

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Las funciones g : X �!X definida por g(x) = x�1 y fa : X �! X dada por fa (x) =a ·xson homeomorfismos. Sea la función compuesta h = fa (g):

h(x) = fa (g(x)) = fa�x�1�= a · x�1

Decimos que h(x) = a · x�1 es un homeomorfismo.

Sabemos que W es entorno de x, entonces por la función h tenemos que W �!W ·x�1.Sea V un entorno de e, así que V =W ·x�1. Podemos hacer V ·x=W ·x�1 ·x, es V ·x=W .En otras palabras todo entorno de x2 G es de la forma V · x. Como x 6= y y teniendo encuenta que U entorno de y y W entorno de x son disjuntos, es fácil ver que V ·x\V ·y =0.

Proposición 2.5. Regularidad. Dado un conjunto cerrado A y un punto x que no esta

en A, existe conjuntos abiertos disjuntos que contienen a A y a x respectivamente.

Demostración. Lo primero que demostraremos, es que si V es entorno de e, A ⇢ V .Sean A un entorno de e, tal que A ·A�1 ⇢ V y a un punto de A. Entonces si P es unentorno de a, por la función h(a) = a ·a�1 podemos decir que P ! P ·a�1, por lo tanto,P ·a�1 = A; de aquí:

P ·a�1 = A (2.3)

P = A ·a (2.4)

De 2.4 en 2.3

A ·a ·a�1 = A (2.5)

(A ·a) ·�a�1 ·A�1�= AA�1 (2.6)

Entonces de 2.3 y 2.4:

A\A ·a = P ·a�1 \P = P

Decimos que todo entorno del punto a se interseca con A.

Por otro lado, debemos detallar que P=V ·x= x ·V . De hecho, si hacemos de g(x)= x�1

y ga (x) = x ·a una función compuesta l = ga (g):

l (x) = ga (g(x)) = ga�x�1�= x�1 ·a

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Observemos que l (x) = x�1 ·a es un homeomorfismo.

Comprendemos que W es entorno de x, entonces por la función l tenemos que W �!x�1 ·W . Sea V un entorno de e, así que V = x�1 ·W . Podemos hacer x ·V = x · x�1W ,x ·V =W . En otras palabras todo entorno de x2 G es de la forma x ·V =V · x.

Fácilmente podemos ver que si h(a�1) = a ·�a�1��1

= a · a y P�1 entorno de a�1,P�1 =A�1 ·a�1; de aquí, y tomando 2.6 junto con A ·A�1 ⇢V , decimos que V es entornode aa�1 y como a 2 A, A ⇢V .

Obtenemos que A ⇢V ·A, pues todo entorno del punto a se interseca con A y A ⇢V .

Finalmente veamos que V · x\V ·A = Ø. Si x /2 A, existe un entorno de x de la formaV · x tal que no contiene a A, por lo que V · x\V ·A = Ø.

2.0.7. Subgrupos Topológicos

La siguiente proposición introduce la idea de un subgrupoH de un grupo topológico G,en el que la topología inducida sobre H por G, es compatible con la estructura de grupode H.Proposición 2.6. Sea H un subespacio de G. Si H es también un subgrupo de G,

entonces tanto H como H son grupos topológicos. (author?) [2]

Demostración. Veamos que H es un subgrupo G. Por la definición 1.7 supongamosque a,b 2 H y demostremos que ab�1 2 H. Y puesto que H es un subespacio de G,demostremos que esta operación de grupo de H es continua en el espacio topológico H.Entonces, sea W entorno de ab�1; por la definición 1.26, podemos pensar en W comoun elemento de la colección de H \W 0, donde W 0 2 G. Si W 0 2 G, y G es un grupotopológico, existen a,b 2 G tal que sus entornos U 0 y V 0 son enviados a U 0V 0�1 ⇢ W 0.Ahora bien, si retomamos la definición 1.26, nuevamente consideremos a U y V comoelementos de la colección de H \U 0 y H \V 0, por lo tanto, U y V son entornos dea,b 2 H. Finiquitando, UV�1 ⇢W y por 1.46, H es grupo topológico.

Por otro lado, supongamos que H es un subgrupo de G. G. Por la definición 1.7supongamos que a,b 2 H y demostremos que ab�1 2 H. Entonces, sea W un conjuntocerrado que contiene a ab�1; por la definición 1.27, podemos pensar en H como unelemento de la colección de H \W , donde W 2 G. Si W 2 G, y G es un grupotopológico, existen a,b 2 G tal que son contenidos en los conjuntos cerrados U 0 y V 0

enviados a U 0V 0�1 ⇢W . Ahora bien, si retomamos la definición 1.27, H \U 0 y H \V 0,por lo tanto, H es un conjunto cerrado, y U 0, V 0 son conjuntos cerrados que contienen a

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a,b 2 H. Finiquitando, U 0V 0�1 ⇢ H y por 1.46, H es grupo topológico.

Equivalentemente, los espacios homogéneos pueden presentarse como espacioscocientes provistos con la topología cocienteProposición 2.7. Sea H un subgrupo de G. Si a 2 G, la aplicación 2.2 induce a un

homeomorfismo de G/H que lleva a xH sobre (x ·a)H, entonces G/H es homogéneo.

Demostración. Primero veamos que xH es de la forma 1.2 y que G/H es la colección declases por izquierda y además, está dotada de la topología cociente. Con esto en mente,si a 2 G fijo, la aplicación 2.2, sería

fa : G/H �! G/H (2.7)

definida por fa(xH) = (x · a)H. Entonces por 1.33, veamos que 2.7 es inyectiva ysobreyectiva. Supongamos que fa(xH) = fa(yH) luego (x · a)H = (y · a)H por lotanto xH = yH y fa es inyectiva. Sea yH = (x ·a)H; existe un elemento xH de G/H talque fa(xH) = (x · a)H y así yH = fa(xH) y fa es biyectiva.Verifiquemos lacontinuidad de fa . Sea Ua al que pertenece (x ·a)H, y como fa es biyectiva, existe unxH tal que su imagen es (x ·a)H , por lo que f�1

a (U) ! Ua . De otro lado, tenemosque V es un conjunto al cual pertenece xH; por fa sabemos que xH ! (x ·a)H, así queexiste V a . Es decir, V ! V a , esto es que V ! f (V ). Esto conduce a, fa es unhomeomorfismo.

Con todo esto, si A = xH y B = yH, sea a = x�1y, en la aplicación fa(A) = (x ·a)H,fa(A)= (x ·x�1y)H y fa(A)= (e ·y)H, fa(A)= yH. Consecuentemente, fa(A)= fa(B)

y G/H es homogéneo.

Proposición 2.8. Si H es un conjunto cerrado en la topología de G, entonces los

conjuntos unipuntuales son cerrados enG/H.

Definición 2.9. Sea H un conjunto cerrado en la topología de G, entoncesaH = {ah|h 2 H} es un conjunto cerrado 8a 2 G. En virtud de la proposición 2.7, seaU entorno de aH, donde U 0 es entorno de a

Proposición 2.10. Si H es cerrado en la topología de G y es un subgrupo normal de G,

entonces G/H es un grupo topológico

Demostración. Es suficiente probar que la operación de grupo en G/H es continua.Sean A = xH y B = yH tal que A,B 2 G/H y W un entorno de AB-1 = (xH)(yH)�1 =

xHy�1H�1 = xy�1HH�1 = xy�1H. Entonces, si W un entorno xy�1H, W 0 es un entornode xy�1, luego W 0 es un abierto en G. Y puesto que G es un grupo topológico, sabemos

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que (a,b) ! ab�1 es continua, y existen U y V entornos de a y b tal que UV�1 esentorno de ab�1 y UV�1 ⇢ W 0. Sea U 0 entorno de A y V 0 entorno de B, puesto queA = xH y B = yH, tenemos que U 0V 0�1 ⇢W . De modo que la operación del grupo G/H

es continua y G/H es un grupo topológico.

Proposición 2.11. Sea H un subconjunto de G que es cerrado en la topología de G y sea

r : G ! G/H la aplicación cociente; entonces G/H satisface el axioma de regularidad.

Demostración. Demostremos que G/H es un espacio de Hausdorff. Sean A = xH yB = yH A,B 2 G/H, tal que A 6= B, y x,y 2 G.

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CAPÍTULO 3

CONCLUSIONES

3.1. INTRODUCTION

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REFERENCIAS

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