Upload File

grupper - chalmersfy.chalmers.se/~tfkhj/6grupper.pdf · 2019. 12. 12. · en grupp (g, ∙) är en...

  • Home
  • Documents
  • Grupper - Chalmersfy.chalmers.se/~tfkhj/6Grupper.pdf · 2019. 12. 12. · En grupp (G, ∙) är en mängd G med en binär operator ∙ : G × G → G som uppfyller följande vilkor:
37
Grupper

Upload: others

Post on 20-Oct-2020

4 views

Category:

Documents


0 download

Report

TRANSCRIPT

  • Grupper

  • Definition grupp

    En grupp (G, ∙) är en mängd G med en binär operator ∙ : G × G → G somuppfyller följande vilkor:

  • Definition grupp

    En grupp (G, ∙) är en mängd G med en binär operator ∙ : G × G → G somuppfyller följande vilkor:

    En grupp (G, •) är abelsk eller kommutativ, om den dessutom uppfyller följande villkor:

  • Vad gäller för alla/abelska grupper (G, ∙) med identitet e och invers g-1 till g?

  • Vad gäller för alla/abelska grupper (G, ∙) med identitet e och invers g-1 till g?

    √

    √√

    √

  • Hitta alla delgrupper av (Z6, mod 6)

    • Z6 = {0,1,2,3,4,5}

  • Hitta alla delgrupper av (Z6, mod 6)

    • Z6 = {0,1,2,3,4,5}• {0}• {0,2,4}• {0,3}

  • Symmetrisk grupp

    • Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av allapermutationer av M.

  • Symmetrisk grupp

    • Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av allapermutationer av M.

    • De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität(= antal element) är isomorfa

    → Symmetriska gruppen på n element: Sn

  • Symmetrisk grupp

    • Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av allapermutationer av M.

    • De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität(= antal element) är isomorfa

    → Symmetriska gruppen på n element: Sn• S1: M = {1} bara en permutation s (identitetet)

  • Symmetrisk grupp

    • Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av allapermutationer av M.

    • De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität(= antal element) är isomorfa

    → Symmetriska gruppen på n element: Sn• S1: M = {1} bara en permutation s (identitetet)• S2: M = {2} två permutationer

  • Symmetrisk grupp

    • Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av allapermutationer av M.

    • De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität(= antal element) är isomorfa

    → Symmetriska gruppen på n element: Sn• S1: M = {1} bara en permutation s (identitetet)• S2: M = {2} två permutationer

    • Tabell notation: 𝑥𝑥1 ... 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑓𝑓 𝑥𝑥1 … 𝑓𝑓 𝑥𝑥1

  • Symmetrisk grupp

    • Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av allapermutationer av M.

    • De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität(= antal element) är isomorfa

    → Symmetriska gruppen på n element: Sn• S1: M = {1} bara en permutation s (identitetet)• S2: M = {2} två permutationer

    • Tabell notation: 𝑥𝑥1 ... 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑓𝑓 𝑥𝑥1 … 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 S2: 1 21 2 och

    1 22 1

  • Symmetrisk grupp

    • Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av allapermutationer av M.

    • De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität(= antal element) är isomorfa

    → Symmetriska gruppen på n element: Sn• S1: M = {1} bara en permutation s (identitetet)• S2: M = {2} två permutationer

    • Tabell notation: 𝑥𝑥1 ... 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑓𝑓 𝑥𝑥1 … 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 S2: 1 21 2 och

    1 22 1

    • Cykliska notation: skriv varje element som en product av cycler:(x s(x) s2(x) … sm-1(x)) där sm(x) = x

  • Symmetrisk grupp

    • Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av allapermutationer av M.

    • De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität(= antal element) är isomorfa

    → Symmetriska gruppen på n element: Sn• S1: M = {1} bara en permutation s (identitetet)• S2: M = {2} två permutationer

    • Tabell notation: 𝑥𝑥1 ... 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑓𝑓 𝑥𝑥1 … 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 S2: 1 21 2 och

    1 22 1

    • Cykliska notation: skriv varje element som en product av cycler:(x s(x) s2(x) … sm-1(x)) där sm(x) = x S2: (1)(2) och (1 2)cyklar av längd ett brukar utelämnas som underförstådda

  • Lista alla element i S3 i båda notationerna!

    Skriv 1 2 3 4 5 61 3 5 6 2 4 i cyklisk notation!

    Hur manga element har Sn?

    Är Sn abelsk?

    Lista alla delgrupper av S3!

  • Transposition: (ij)

    • 1≤i

  • Transposition: (ij)

    • 1≤i

  • Transposition: (ij)

    • 1≤i

  • Transposition: (ij)

    • 1≤i

  • Paritet av en permutation (tecken)

    • sign(s) =(-1) 𝑁𝑁(𝑠𝑠) N(s) = antalet inversioner i s• Eller sign(s) =(−1) 𝑚𝑚 m = antal transpositioner i sammansättningen• + “jämt” och – “udda”

  • Paritet av en permutation (tecken)

    • sign(s) =(-1) 𝑁𝑁(𝑠𝑠) N(s) = antalet inversioner i s• Eller sign(s) =(−1) 𝑚𝑚 m = antal transpositioner i sammansättningen• + “jämt” och – “udda”

    Till exempel: s = 1 2 3 4 53 4 5 2 1 = (1 3 5)(2 4) = (15)(13)(24)N(s): (1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5) → 7sign(s) = (−1) 7= -1 “udda”

  • Paritet av en permutation (tecken)

    • sign(s) =(-1) 𝑁𝑁(𝑠𝑠) N(s) = antalet inversioner i s• Eller sign(s) =(−1) 𝑚𝑚 m = antal transpositioner i sammansättningen• + “jämt” och – “udda”

    Till exempel: s = 1 2 3 4 53 4 5 2 1 = (1 3 5)(2 4) = (15)(13)(24)N(s): (1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5) → 7sign(s) = (−1) 7= -1 “udda”

    • sign(s*t) = sign(s)*sign(t)• cyklar med jämt längt har udda paritet• cyklar med udda längt har jämt paritet

  • • Hitta sign(π1) och sign(π2)• Beräkna:

  • 15 puzzle

    Sam Loyd (1870): 1000 $ till den som kan lösa puzzlet med 14 ↔ 15

  • Tentaproblem: Diedergruppen D3

    Diedergruppen Dn: symmetriegruppen för en regelbunden n-hörning

  • Tentaproblem: Diedergruppen D3

    Diedergruppen Dn: symmetriegruppen för en regelbunden n-hörning

    a) Hur manga element har D3?Beskriv hur elementen i D3 verkar på en liksidig triangle!

  • Tentaproblem: Diedergruppen D3

    Diedergruppen Dn: symmetriegruppen för en regelbunden n-hörning

    b) Ordningen av ett element g i en grupp är det minsta heltalet n sådant att gn = e (e är enhetselementet). Vilka ordningar harelementen i D3?

  • Tentaproblem: Diedergruppen D3

    Diedergruppen Dn: symmetriegruppen för en regelbunden n-hörning

    c) Cayleys teorem: “Varje ändlig grupp av ordning n är isomorph med en delgrupp till permutationsgruppen Sn”

    Identifiera den delgrupp till D3 som är isomof med en delgrupptill S3

  • GrupperDefinition gruppDefinition gruppVad gäller för alla/abelska grupper (G, ∙) med identitet e och invers g-1 till g? Vad gäller för alla/abelska grupper (G, ∙) med identitet e och invers g-1 till g? Vad gäller för alla/abelska grupper (G, ∙) med identitet e och invers g-1 till g? Vad gäller för alla/abelska grupper (G, ∙) med identitet e och invers g-1 till g? Hitta alla delgrupper av (Z6, mod 6)Hitta alla delgrupper av (Z6, mod 6)Symmetrisk gruppSymmetrisk gruppSymmetrisk gruppSymmetrisk gruppSymmetrisk gruppSymmetrisk gruppSymmetrisk gruppSymmetrisk gruppLista alla element i S3 i båda notationerna!Slide Number 19Transposition: (ij)Transposition: (ij)Transposition: (ij)Transposition: (ij)Paritet av en permutation (tecken)Paritet av en permutation (tecken)Paritet av en permutation (tecken)Slide Number 27Slide Number 2815 puzzleTentaproblem: Diedergruppen D3Tentaproblem: Diedergruppen D3Slide Number 32Tentaproblem: Diedergruppen D3Slide Number 34Tentaproblem: Diedergruppen D3Slide Number 36black2.pdfSlide Number 1Slide Number 2

    Blank Pageblack2.pdfSlide Number 1Slide Number 2

    black2.pdfSlide Number 1Slide Number 2


MANGIARE…NEL MONDO! l r d d f g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g

sidan. - Chalmersfy.chalmers.se/~ostlund/ffp/premechanics/L4/FFP_L4.four.pdf · 2007-09-21 · 1 Galileo (1564-1642) 1 2 En tydlig bild av relativ r relse var utvecklad: * Detta kallas

[sba-bbp] - tynaarlo.nl · V V V V WA WA WA WA WA WA WA WA WA WA G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G A A M-BG M M M M M M M M M WG

AYACUCHO - dgiem.gob.pe · #0 #0 #0 g#0 g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g (((((c.s. anco c.s. churcampa c.s. paucarbamba c.s. san pedro de coris

BMS 8 - Eastleigh · g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g

#0 G G G G - dgiem.gob.pedgiem.gob.pe/wp-content/uploads/2013/10/ProvSan... · g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g ((((c.s. taraco c. son ur c.s. cabanillas c.s. revolucion

BP BUITENGEBIED 2012 - Montfoort · g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g r r r r r r

Summary lecture IX - Göteborgs universitetphysics.gu.se/~tfkhj/lecture_X_differential_transmission-2.pdf · 3. Differential transmission spectra. Differential transmission spectra

UA1 UA1 UX1 UA2 · 2017-10-13 · g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g

DISTRIBUIÇÃO DO NÚMERO DE LEITOS LIGADOS AO SUS - 2009 · g g g g g g g g g g g g g g gg g g g g g g g g g g g g gg g g g g g g gg g g g g g g gg g g ggg g g g g g gg g g g g g

% F÷0bG í 4(2 Æ - JETRO · f·f·f·f·f·b h í 4(fø ² \fþ2 Æfþ#'"g h h í 4(fþ2 Æfþ#'"gf·f·g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g

ANGOLA - Huila Province · 2018. 11. 16. · ¾¾o o o o o ¾¾o o o o o o o ¾¾o ¾ ¾!(G!(G!(G!( G!(G!(G !(G!(G!(G !(G!(!(G!(G!(G!(G !(G !(G!(G !( G !(G!(!(G!(! !(G!(G!(G!(G!(

Matfys Topo 19fy.chalmers.se/~tfkhj/Matfys Topo 19.pdf · 2019-12-20 · Andra sätt att använda ekvivalensrelationer för att konstruera topologiska mångfalder: cylinder, orienterbar

Pr o ps ed W h nu ai l C g · 2020. 3. 16. · g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g

Chalmersfy.chalmers.se/~tfkhj/KelvinOnDido.pdf · 2011. 11. 15. · Called Byrsa, from the hide of a bull. [Smith's Dictionary . of Greek and Roman Biography and Mythology, article

 · g;>;;.;;g;;;); g;g;;;;;g;;b;;;.>;;;;g;;b;;:b;; >ggg);:>;:>;.;p; g;;;.)g;;; >;;; >;g;;;;:;;;;;.>g >gg;;; j;;;;;g;;; g;;.;;g;g>;;;;.g;g>;;;; >;;. g);; g;>;;;bFile Size: 1MBPage

NGG - Seattle · 2019-08-29 · g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!

200000 300000 400000 500000 600000 700000 200000 300000 ... · g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g 200000 200000 300000 300000

Diffusion & Oxidation Doping - Chalmersfy.chalmers.se/~yurgens/FKA196/lectures/Diffusion...Diffusion 1st Fick’s law Fick's First Law is used in steady state diffusion, i.e., when

En forsta kurs i matematisk fysik¨ - Chalmersfy.chalmers.se/~tfemc/Vektorfalt/book.pdfKraft och spanning.....115 13.2. Jamviktsekvationer ... Detta kompendium ar tankt att anvandas

米をめぐる関係資料 - maff.go.jp...a \FïG Fþ - 5 8 Fþ N&ãF·G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G 19 E ( ' Ø º j)%G 7Â0[ Ñ ± -

G G G Río Mantaro G - dgiem.gob.pedgiem.gob.pe/wp-content/uploads/2013/10/ProvTayacajaRefPropESC.pdf · #0 #0 #0"/ g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g

ysikaktuellt - Chalmersfy.chalmers.se/~f3aamp/fysikaktuellt/2004_4/2004_4.pdf · 2004-12-08 · gymnasieskolor och fysikinstitutioner 4 gånger per år. Ansvarig utgivare är Björn

Mätteknik Del C - Chalmersfy.chalmers.se/~f7xiz/TIF080/intro.pdfUppgift 2: Bestäm ”g” med 3 siffrors någranhet Varför plågar man teknologer med detta! Dagis barn känner att:

G 1 7 A V S A V E S V E S W H A H T G T SW KE NYO T G SW ... · g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!. g!

g* 2( q - Cabinet Office › zei-cho › content › 20140424_26dis34...2014/04/24  · G 2 Ç d 1"&ïFþ &ï"áFþ \7 3QG G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G

教 育 要 項B Ç Ï ö | 1=>ÌG G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G

C ITY OF H N€¦ · g g gg g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g í í í í í í í í í í í í í í í

~TVd Á - OGCTS · 2020. 9. 8. · % >Ì >Ì >Ì h h fÿfèg fûg g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g

Kantonales Waldreservat Schutzplan G · 2017. 8. 24. · G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G

]@[email protected]/~tfkhj/MastersThesis/Larsson.pdf · 2007. 5. 22. · fgfgf h ikjAlnm oTlKpLqsrjAltrvuwuyxKo zXpVr{j |KpLq0rvu}xKo|TzXq~lPoT j{r%jAln uXm o!jA LuXmTrvzX 8r

îsós s s - 株式会社長谷川鋳工所 | トップページ È5 "@H 27V H 2 ÀGWGzG G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G H HZ H vFç#ÝGVGwGQGeG G G G G G G G G G

G G G G G G G G G G G G G G G G G - dgiem.gob.pe · PDF fileg g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g ... p.s. palermo

ðBðCðP ðGðG ðG Malý Malahov - Plzeňský kraj€¦ · g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g

Instuderingsfrågor - Chalmersfy.chalmers.se/OLDUSERS/f9adh/MikrotekF1/FMI010... · Instuderingsfrågor Mikromekanik (Peter Enoksson, 26/3-03) 1. Give in short the most important