gry kooperacyjne wprowadzenie do tematykimiekisz/malawski.pdf · definicja (rdzeń gry) rdzeńgry...
TRANSCRIPT
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
GRY KOOPERACYJNE– WPROWADZENIE DO TEMATYKI
Marcin Malawski
Akademia Leona Koźmińskiegoi
Instytut Podstaw Informatyki PANWarszawa
6 Forum Matematyków Polskich, Warszawa, wrzesień 2015
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
1 Pojęcia
2 Rozwiązania
3 Gry ”operacyjne”
4 Wariacje nt. wartości
5 Gry ze strukturami
6 Gry proste
7 I więcej
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gra kooperacyjna
Definicja (Gra kooperacyjna (z wypłatami ubocznymi))
to para (N, v) , gdzie
N = {1, 2, . . . , n} – zbiór graczy,
N = 2N – zbiór wszystkich koalicji, tj. podzbiorów zbioru graczy,
v – funkcja charakterystyczna gry, v : N → Rspełniająca v(∅) = 0.
Gn – przestrzeń wszystkich n-osobowych gier kooperacyjnych.
Interpretacja
Dla dowolnej koalicji S :v(S) – wypłata jaką może łącznie zapewnić sobie koalicja Sprzez wspólne działanie, ale bez potrzeby współudziału graczy spoza S .
(I następnie może dowolnie rozdysponować ją między siebie – wypłatyuboczne).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gra kooperacyjna
Definicja (Gra kooperacyjna (z wypłatami ubocznymi))
to para (N, v) , gdzie
N = {1, 2, . . . , n} – zbiór graczy,
N = 2N – zbiór wszystkich koalicji, tj. podzbiorów zbioru graczy,
v – funkcja charakterystyczna gry, v : N → Rspełniająca v(∅) = 0.
Gn – przestrzeń wszystkich n-osobowych gier kooperacyjnych.
Interpretacja
Dla dowolnej koalicji S :v(S) – wypłata jaką może łącznie zapewnić sobie koalicja Sprzez wspólne działanie, ale bez potrzeby współudziału graczy spoza S .
(I następnie może dowolnie rozdysponować ją między siebie – wypłatyuboczne).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gra kooperacyjna
Definicja (Gra kooperacyjna (z wypłatami ubocznymi))
to para (N, v) , gdzie
N = {1, 2, . . . , n} – zbiór graczy,
N = 2N – zbiór wszystkich koalicji, tj. podzbiorów zbioru graczy,
v – funkcja charakterystyczna gry, v : N → Rspełniająca v(∅) = 0.
Gn – przestrzeń wszystkich n-osobowych gier kooperacyjnych.
Interpretacja
Dla dowolnej koalicji S :v(S) – wypłata jaką może łącznie zapewnić sobie koalicja Sprzez wspólne działanie, ale bez potrzeby współudziału graczy spoza S .
(I następnie może dowolnie rozdysponować ją między siebie – wypłatyuboczne).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gra kooperacyjna
Definicja (Gra kooperacyjna (z wypłatami ubocznymi))
to para (N, v) , gdzie
N = {1, 2, . . . , n} – zbiór graczy,
N = 2N – zbiór wszystkich koalicji, tj. podzbiorów zbioru graczy,
v – funkcja charakterystyczna gry, v : N → Rspełniająca v(∅) = 0.
Gn – przestrzeń wszystkich n-osobowych gier kooperacyjnych.
Interpretacja
Dla dowolnej koalicji S :v(S) – wypłata jaką może łącznie zapewnić sobie koalicja Sprzez wspólne działanie, ale bez potrzeby współudziału graczy spoza S .
(I następnie może dowolnie rozdysponować ją między siebie – wypłatyuboczne).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gra kooperacyjna
Definicja (Gra kooperacyjna (z wypłatami ubocznymi))
to para (N, v) , gdzie
N = {1, 2, . . . , n} – zbiór graczy,
N = 2N – zbiór wszystkich koalicji, tj. podzbiorów zbioru graczy,
v – funkcja charakterystyczna gry, v : N → Rspełniająca v(∅) = 0.
Gn – przestrzeń wszystkich n-osobowych gier kooperacyjnych.
Interpretacja
Dla dowolnej koalicji S :v(S) – wypłata jaką może łącznie zapewnić sobie koalicja Sprzez wspólne działanie, ale bez potrzeby współudziału graczy spoza S .(I następnie może dowolnie rozdysponować ją między siebie – wypłatyuboczne).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry kooperacyjne a niekooperacyjne
Uwaga (Powstawanie z gier niekooperacyjnych)
Zgodnie z interpretacją powyżej, każda gra niekooperacyjna w postacinormalnej G = (N,S1, . . . ,Sn, u1, . . . , un) wyznacza grę kooperacyjną(N, v) poprzez równania:
v(T ) = maxσT∈S∗T
minσ−T∈S∗−T
∑j∈T
uj(σT , σ−T )
dla dowolnej koalicji T ⊆ N, gdzie S∗T , S∗−T są zbiorami mieszanychstrategii łącznych odpowiednio koalicji T i N \ T .
Uwaga
I odwrotnie:każda superaddytywna gra kooperacyjna powstaje w ten sposób z pewnejniekooperacyjnej gry w postaci normalnej.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry kooperacyjne a niekooperacyjne
Uwaga (Powstawanie z gier niekooperacyjnych)
Zgodnie z interpretacją powyżej, każda gra niekooperacyjna w postacinormalnej G = (N,S1, . . . ,Sn, u1, . . . , un) wyznacza grę kooperacyjną(N, v) poprzez równania:
v(T ) = maxσT∈S∗T
minσ−T∈S∗−T
∑j∈T
uj(σT , σ−T )
dla dowolnej koalicji T ⊆ N, gdzie S∗T , S∗−T są zbiorami mieszanychstrategii łącznych odpowiednio koalicji T i N \ T .
Przykład (Konformiści (gra 3-osobowa))
Trzej gracze równocześnie podnoszą ręce i jeśli jeden podniesie inną niżpozostali dwaj, płaci każdemu z nich po złotówce. Wówczas:v(i) = −1 , v(ij) = 0 ∀i , j ; v(123) = 0.
Uwaga
I odwrotnie:każda superaddytywna gra kooperacyjna powstaje w ten sposób z pewnejniekooperacyjnej gry w postaci normalnej.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry kooperacyjne a niekooperacyjne
Uwaga (Powstawanie z gier niekooperacyjnych)
Zgodnie z interpretacją powyżej, każda gra niekooperacyjna w postacinormalnej G = (N,S1, . . . ,Sn, u1, . . . , un) wyznacza grę kooperacyjną(N, v) poprzez równania:
v(T ) = maxσT∈S∗T
minσ−T∈S∗−T
∑j∈T
uj(σT , σ−T )
dla dowolnej koalicji T ⊆ N, gdzie S∗T , S∗−T są zbiorami mieszanychstrategii łącznych odpowiednio koalicji T i N \ T .
Uwaga
I odwrotnie:każda superaddytywna gra kooperacyjna powstaje w ten sposób z pewnejniekooperacyjnej gry w postaci normalnej.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gra kooperacyjna – prosty przykład
Przykład
Trzej drobni plantatorzy (A, B i C) zebrali truskawki – A i B po 300 łubianek, aC 250 – i teraz muszą je sprzedać. Na terenie plantatora A jest jedyny w okolicydobry punkt przy ruchliwej drodze, gdzie można sprzedać dowolną ilośćtruskawek po 3 zł za łubiankę. B może na własną rękę sprzedawać truskawkijedynie przy bocznej drodze, gdzie da się uzyskać cenć 2 zł za łubiankę.Plantator C na miejscu też może tylko ustawić się przy bocznej drodze, ale jakojedyny z trzech ma samochód dostawczy, którym może zawieźć do miasta nawettysiąc łubianek i tam sprzedać po 4 zł za łubiankę.Koszty kursu do miasta wraz z opłatą placową na targu wynoszą 200 zł.
Powstająca gra kooperacyjna: N = {A,B,C} ,
v({A}) = 3·300 = 900 , v({B}) = 600 , v({C}) = 4·250−200 = 800 ,
v({A,B}) = 3 · (300 + 300) = 1800 ,
v({A,C}) = 4 · (300 + 250)− 200 = 2000 , v({B,C}) = 2000 ,
v({A,B,C}) = 4 · (300 + 300 + 250)− 200 = 3200.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gra kooperacyjna – prosty przykład
Przykład
Trzej drobni plantatorzy (A, B i C) zebrali truskawki – A i B po 300 łubianek, aC 250 – i teraz muszą je sprzedać. Na terenie plantatora A jest jedyny w okolicydobry punkt przy ruchliwej drodze, gdzie można sprzedać dowolną ilośćtruskawek po 3 zł za łubiankę. B może na własną rękę sprzedawać truskawkijedynie przy bocznej drodze, gdzie da się uzyskać cenć 2 zł za łubiankę.Plantator C na miejscu też może tylko ustawić się przy bocznej drodze, ale jakojedyny z trzech ma samochód dostawczy, którym może zawieźć do miasta nawettysiąc łubianek i tam sprzedać po 4 zł za łubiankę.Koszty kursu do miasta wraz z opłatą placową na targu wynoszą 200 zł.Powstająca gra kooperacyjna: N = {A,B,C} ,
v({A}) = 3·300 = 900 , v({B}) = 600 , v({C}) = 4·250−200 = 800 ,
v({A,B}) = 3 · (300 + 300) = 1800 ,
v({A,C}) = 4 · (300 + 250)− 200 = 2000 , v({B,C}) = 2000 ,
v({A,B,C}) = 4 · (300 + 300 + 250)− 200 = 3200.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry kooperacyjne – podstawowe własności
Definicja
Gra kooperacyjna (N, v) jest
superaddytywna gdy
U ∩ T = ∅ ⇒ v(U ∪ T ) v(U) + v(T )
(”łączenie się koalicji jest opłacalne”);
monotoniczna gdy U ⊃ T ⇒ v(U) v(T )(”większe koalicje mogą więcej”);
wypukła jeśli dla każdych koalicji T ,U ⊂ N
v(T ∪ U) + v(T ∩ U) v(T ) + v(U)
Równoważnie: gra jest wypukła, gdy ma następującą własnośćrosnących wkładów: ∀T ,U, i
(T ⊂ U, i ∈ T ∩ U) ⇒ v(T )− v(T \ i) ¬ v(U)− v(U \ i)
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry kooperacyjne – podstawowe własności
Definicja
Gra kooperacyjna (N, v) jest
superaddytywna gdy
U ∩ T = ∅ ⇒ v(U ∪ T ) v(U) + v(T )
(”łączenie się koalicji jest opłacalne”);
monotoniczna gdy U ⊃ T ⇒ v(U) v(T )(”większe koalicje mogą więcej”);
wypukła jeśli dla każdych koalicji T ,U ⊂ N
v(T ∪ U) + v(T ∩ U) v(T ) + v(U)
Równoważnie: gra jest wypukła, gdy ma następującą własnośćrosnących wkładów: ∀T ,U, i
(T ⊂ U, i ∈ T ∩ U) ⇒ v(T )− v(T \ i) ¬ v(U)− v(U \ i)
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry kooperacyjne – podstawowe własności
Definicja
Gra kooperacyjna (N, v) jest
superaddytywna gdy
U ∩ T = ∅ ⇒ v(U ∪ T ) v(U) + v(T )
(”łączenie się koalicji jest opłacalne”);
monotoniczna gdy U ⊃ T ⇒ v(U) v(T )(”większe koalicje mogą więcej”);
wypukła jeśli dla każdych koalicji T ,U ⊂ N
v(T ∪ U) + v(T ∩ U) v(T ) + v(U)
Równoważnie: gra jest wypukła, gdy ma następującą własnośćrosnących wkładów: ∀T ,U, i
(T ⊂ U, i ∈ T ∩ U) ⇒ v(T )− v(T \ i) ¬ v(U)− v(U \ i)
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry kooperacyjne: podziały, rozwiązania i wartości
Definicja (Podział w grze kooperacyjnej)
Podział w grze (N, v) to dowolny wektor (x1, x2, . . . xn) taki żen∑
i=1
xi = v(N).
Definicja (Rozwiązanie)
Rozwiązanie dla gier kooperacyjnych to dowolna multifunkcja Ψprzypisująca każdej grze kooperacyjnej (N, v) pewien podzbiór Ψ(v)zbioru podziałów w tej grze.
Definicja (Wartość)
Wartość to dowolne rozwiązanie jednoelementowe –funkcja ψ przypisująca każdej grze kooperacyjnej (N, v) podział w tejgrze, ψ(v) = (ψ1(v), ψ2(v), . . . ψn(v));ψj(v) – wartość gracza j w grze v .
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry kooperacyjne: podziały, rozwiązania i wartości
Definicja (Podział w grze kooperacyjnej)
Podział w grze (N, v) to dowolny wektor (x1, x2, . . . xn) taki żen∑
i=1
xi = v(N).
Definicja (Rozwiązanie)
Rozwiązanie dla gier kooperacyjnych to dowolna multifunkcja Ψprzypisująca każdej grze kooperacyjnej (N, v) pewien podzbiór Ψ(v)zbioru podziałów w tej grze.
Definicja (Wartość)
Wartość to dowolne rozwiązanie jednoelementowe –funkcja ψ przypisująca każdej grze kooperacyjnej (N, v) podział w tejgrze, ψ(v) = (ψ1(v), ψ2(v), . . . ψn(v));ψj(v) – wartość gracza j w grze v .
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry kooperacyjne: podziały, rozwiązania i wartości
Definicja (Podział w grze kooperacyjnej)
Podział w grze (N, v) to dowolny wektor (x1, x2, . . . xn) taki żen∑
i=1
xi = v(N).
Definicja (Rozwiązanie)
Rozwiązanie dla gier kooperacyjnych to dowolna multifunkcja Ψprzypisująca każdej grze kooperacyjnej (N, v) pewien podzbiór Ψ(v)zbioru podziałów w tej grze.
Definicja (Wartość)
Wartość to dowolne rozwiązanie jednoelementowe –funkcja ψ przypisująca każdej grze kooperacyjnej (N, v) podział w tejgrze, ψ(v) = (ψ1(v), ψ2(v), . . . ψn(v));ψj(v) – wartość gracza j w grze v .
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Najważniejsze rozwiązania: rdzeń
Definicja (Racjonalność podziału)
Podział x w grze (N, v) jest
indywidualnie racjonalny jeżeli dla każdego gracza j xj v(j),
koalicyjnie racjonalny jeżeli dla każdej koalicji TxT (=
∑j∈T xj) v(T ).
Definicja (Rdzeń gry)
Rdzeń gry kooperacyjnej (N, v) , oznaczany przez C(v),to zbiór wszystkich podziałów koalicyjnie racjonalnych w tej grze.
Uwaga
Rdzeń dowolnej gry n-osobowej
jest wypukłym podzbiorem Rn
(zbiorem rozwiązań układu nierówności liniowych),
może być pusty.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Najważniejsze rozwiązania: rdzeń
Definicja (Racjonalność podziału)
Podział x w grze (N, v) jest
indywidualnie racjonalny jeżeli dla każdego gracza j xj v(j),
koalicyjnie racjonalny jeżeli dla każdej koalicji TxT (=
∑j∈T xj) v(T ).
Definicja (Rdzeń gry)
Rdzeń gry kooperacyjnej (N, v) , oznaczany przez C(v),to zbiór wszystkich podziałów (indywidualnie i) koalicyjnie racjonalnychw tej grze.
Uwaga
Rdzeń dowolnej gry n-osobowej
jest wypukłym podzbiorem Rn
(zbiorem rozwiązań układu nierówności liniowych),
może być pusty.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Najważniejsze rozwiązania: rdzeń
Definicja (Racjonalność podziału)
Podział x w grze (N, v) jest
indywidualnie racjonalny jeżeli dla każdego gracza j xj v(j),
koalicyjnie racjonalny jeżeli dla każdej koalicji TxT (=
∑j∈T xj) v(T ).
Definicja (Rdzeń gry)
Rdzeń gry kooperacyjnej (N, v) , oznaczany przez C(v),to zbiór wszystkich podziałów (indywidualnie i) koalicyjnie racjonalnychw tej grze.
Uwaga
Rdzeń dowolnej gry n-osobowej
jest wypukłym podzbiorem Rn
(zbiorem rozwiązań układu nierówności liniowych),
może być pusty.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Najważniejsze rozwiązania: rdzeń
Definicja (Racjonalność podziału)
Podział x w grze (N, v) jest
indywidualnie racjonalny jeżeli dla każdego gracza j xj v(j),
koalicyjnie racjonalny jeżeli dla każdej koalicji TxT (=
∑j∈T xj) v(T ).
Definicja (Rdzeń gry)
Rdzeń gry kooperacyjnej (N, v) , oznaczany przez C(v),to zbiór wszystkich podziałów koalicyjnie racjonalnych w tej grze.
Uwaga
Rdzeń dowolnej gry n-osobowej
jest wypukłym podzbiorem Rn
(zbiorem rozwiązań układu nierówności liniowych),
może być pusty.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Najważniejsze rozwiązania: wartość Shapleya
Oznaczenie
Dla dowolnej gry (N, v), dowolnej permutacji π zbioru graczy N idowolnego gracza j ∈ N oznaczamy:
Hπ,j = π−1({1, 2, . . . , π(j)})
mj ,π(v) = v(Hπ,j)− v(Hπ,j \ j) – krańcowy wkład gracza j dokoalicji jego poprzedników (przy permutacji π).
Definicja (Wartość Shapleya)
Wartość Shapleya , oznaczana przez φ , to funkcja przypisująca każdejgrze kooperacyjnej (N, v) następujący podział w tej grze:
φj(v) =1n!
∑π∈ΠN
mj ,π(v)
gdzie ΠN jest zbiorem wszystkich permutacji zbioru graczy.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Najważniejsze rozwiązania: wartość Shapleya
Oznaczenie
Dla dowolnej gry (N, v), dowolnej permutacji π zbioru graczy N idowolnego gracza j ∈ N oznaczamy:
Hπ,j = π−1({1, 2, . . . , π(j)})mj ,π(v) = v(Hπ,j)− v(Hπ,j \ j) – krańcowy wkład gracza j dokoalicji jego poprzedników (przy permutacji π).
Definicja (Wartość Shapleya)
Wartość Shapleya , oznaczana przez φ , to funkcja przypisująca każdejgrze kooperacyjnej (N, v) następujący podział w tej grze:
φj(v) =1n!
∑π∈ΠN
mj ,π(v)
gdzie ΠN jest zbiorem wszystkich permutacji zbioru graczy.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Najważniejsze rozwiązania: wartość Shapleya
Oznaczenie
Dla dowolnej gry (N, v), dowolnej permutacji π zbioru graczy N idowolnego gracza j ∈ N oznaczamy:
Hπ,j = π−1({1, 2, . . . , π(j)})mj ,π(v) = v(Hπ,j)− v(Hπ,j \ j) – krańcowy wkład gracza j dokoalicji jego poprzedników (przy permutacji π).
Definicja (Wartość Shapleya)
Wartość Shapleya , oznaczana przez φ , to funkcja przypisująca każdejgrze kooperacyjnej (N, v) następujący podział w tej grze:
φj(v) =1n!
∑π∈ΠN
mj ,π(v)
gdzie ΠN jest zbiorem wszystkich permutacji zbioru graczy.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Najważniejsze rozwiązania: nukleolus i prenukleolus
Definicja
Dla każdej koalicji T ⊆ N i każdego podziału x w grze (N, v):Niezadowolenie koalicji T z podziału x : e(x ,T ) = v(T )−
∑i∈T
xi ;
Nukleolus gry v – taki podział indywidualnie racjonalny ν(v) w tej grzektóry minimalizuje leksykograficznie wektor niezadowoleń wszystkichkoalicji o współrzędnych ustawionych w kolejności malejącej.
Uwaga
Jeśli w grze nie podziałów indywidualnie racjonalnychto minimalizuje się po wszystkich podziałach, a otrzymany podziałnazywa prenukleolusem gry.
Uwaga
(Pre)nukleolus gry jest zbiorem dokładnie jednoelementowym
Jeżeli C(v) 6= ∅ , to ν(v) ∈ C(v).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Najważniejsze rozwiązania: nukleolus i prenukleolus
Definicja
Dla każdej koalicji T ⊆ N i każdego podziału x w grze (N, v):Niezadowolenie koalicji T z podziału x : e(x ,T ) = v(T )−
∑i∈T
xi ;
Nukleolus gry v – taki podział indywidualnie racjonalny ν(v) w tej grzektóry minimalizuje leksykograficznie wektor niezadowoleń wszystkichkoalicji o współrzędnych ustawionych w kolejności malejącej.
Uwaga
Jeśli w grze nie podziałów indywidualnie racjonalnychto minimalizuje się po wszystkich podziałach, a otrzymany podziałnazywa prenukleolusem gry.
Uwaga
(Pre)nukleolus gry jest zbiorem dokładnie jednoelementowym
Jeżeli C(v) 6= ∅ , to ν(v) ∈ C(v).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Najważniejsze rozwiązania: nukleolus i prenukleolus
Definicja
Dla każdej koalicji T ⊆ N i każdego podziału x w grze (N, v):Niezadowolenie koalicji T z podziału x : e(x ,T ) = v(T )−
∑i∈T
xi ;
Nukleolus gry v – taki podział indywidualnie racjonalny ν(v) w tej grzektóry minimalizuje leksykograficznie wektor niezadowoleń wszystkichkoalicji o współrzędnych ustawionych w kolejności malejącej.
Uwaga
Jeśli w grze nie podziałów indywidualnie racjonalnych– co zdarza się gdy v(N) <
∑i∈N v(i) –
to minimalizuje się po wszystkich podziałach, a otrzymany podziałnazywa prenukleolusem gry.
Uwaga
(Pre)nukleolus gry jest zbiorem dokładnie jednoelementowym
Jeżeli C(v) 6= ∅ , to ν(v) ∈ C(v).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Najważniejsze rozwiązania: nukleolus i prenukleolus
Definicja
Dla każdej koalicji T ⊆ N i każdego podziału x w grze (N, v):Niezadowolenie koalicji T z podziału x : e(x ,T ) = v(T )−
∑i∈T
xi ;
Nukleolus gry v – taki podział indywidualnie racjonalny ν(v) w tej grzektóry minimalizuje leksykograficznie wektor niezadowoleń wszystkichkoalicji o współrzędnych ustawionych w kolejności malejącej.
Uwaga
Jeśli w grze nie podziałów indywidualnie racjonalnych– co zdarza się gdy v(N) <
∑i∈N v(i) –
to minimalizuje się po wszystkich podziałach, a otrzymany podziałnazywa prenukleolusem gry.
Uwaga
(Pre)nukleolus gry jest zbiorem dokładnie jednoelementowym(a zatem ν jako funkcja gry jest wartością).
Jeżeli C(v) 6= ∅ , to ν(v) ∈ C(v).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Najważniejsze rozwiązania: nukleolus i prenukleolus
Definicja
Dla każdej koalicji T ⊆ N i każdego podziału x w grze (N, v):Niezadowolenie koalicji T z podziału x : e(x ,T ) = v(T )−
∑i∈T
xi ;
Nukleolus gry v – taki podział indywidualnie racjonalny ν(v) w tej grzektóry minimalizuje leksykograficznie wektor niezadowoleń wszystkichkoalicji o współrzędnych ustawionych w kolejności malejącej.
Uwaga
Jeśli w grze nie podziałów indywidualnie racjonalnychto minimalizuje się po wszystkich podziałach, a otrzymany podziałnazywa prenukleolusem gry.
Uwaga
(Pre)nukleolus gry jest zbiorem dokładnie jednoelementowym
Jeżeli C(v) 6= ∅ , to ν(v) ∈ C(v).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Przykład: rozwiązania gry trzech plantatorów
N = {1, 2, 3} ,
v(1) = 900 , v(2) = 600 , v(3) = 800 ,
v(12) = 1800 , v(13) = v(23) = 2000 , v(123) = 3200
C(v) = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = 3200 ,
900 ¬ x1 ¬ 1200 , 600 ¬ x2 ¬ 1200 , 800 ¬ x3 ¬ 1400} ;
φ(v) = (1100, 950, 1150) ,
ν(v) = (1050, 975, 1175) .
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Przykład: rozwiązania gry trzech plantatorów
N = {1, 2, 3} ,
v(1) = 900 , v(2) = 600 , v(3) = 800 ,
v(12) = 1800 , v(13) = v(23) = 2000 , v(123) = 3200
C(v) = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = 3200 ,
900 ¬ x1 ¬ 1200 , 600 ¬ x2 ¬ 1200 , 800 ¬ x3 ¬ 1400} ;
φ(v) = (1100, 950, 1150) ,
ν(v) = (1050, 975, 1175) .
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry ”operacyjne”: gry przypisania
Definicja (Gra przypisania)
N = NS ∪̇NK ; A – nieujemna macierz nS × nK ,aij – korzyść ze współpracy pary (i , j) (i ∈ NS , j ∈ NK )
v(T ) =
{0 T ∩ NS = ∅ lub T ∩ NK = ∅
max(ai1j1 + . . .+ aik jk ) T ∩ NS 6= ∅ ani T ∩ NK 6= ∅
i1, . . . ik ∈ T ∩ NS , j1, . . . jk ∈ T ∩ NK , k = min(#(T ∩ NS),#(T ∩ NK )
Twierdzenie (Rdzeń gier przypisania)
Jeżeli v jest grą przypisania o macierzy A , to
C(v) = {x 0 : ∀i∈NK∀j∈NS
xi + xj aij } 6= ∅ .
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry ”operacyjne”: gry przypisania
Definicja (Gra przypisania)
N = NS ∪̇NK ; A – nieujemna macierz nS × nK ,aij – korzyść ze współpracy pary (i , j) (i ∈ NS , j ∈ NK )
v(T ) =
{0 T ∩ NS = ∅ lub T ∩ NK = ∅
max(ai1j1 + . . .+ aik jk ) T ∩ NS 6= ∅ ani T ∩ NK 6= ∅
i1, . . . ik ∈ T ∩ NS , j1, . . . jk ∈ T ∩ NK , k = min(#(T ∩ NS),#(T ∩ NK )
Np. NS – posiadacze pojedynczych obiektów,
NK – potencjalni kupujący (każdy może kupić ¬ 1 obiekt),
aij - zyski z transakcji w tej parze (i , j).
Twierdzenie (Rdzeń gier przypisania)
Jeżeli v jest grą przypisania o macierzy A , to
C(v) = {x 0 : ∀i∈NK∀j∈NS
xi + xj aij } 6= ∅ .
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry ”operacyjne”: gry przypisania
Definicja (Gra przypisania)
N = NS ∪̇NK ; A – nieujemna macierz nS × nK ,aij – korzyść ze współpracy pary (i , j) (i ∈ NS , j ∈ NK )
v(T ) =
{0 T ∩ NS = ∅ lub T ∩ NK = ∅
max(ai1j1 + . . .+ aik jk ) T ∩ NS 6= ∅ ani T ∩ NK 6= ∅
i1, . . . ik ∈ T ∩ NS , j1, . . . jk ∈ T ∩ NK , k = min(#(T ∩ NS),#(T ∩ NK )
Twierdzenie (Rdzeń gier przypisania)
Jeżeli v jest grą przypisania o macierzy A , to
C(v) = {x 0 : ∀i∈NK∀j∈NS
xi + xj aij } 6= ∅ .
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry operacyjne cd: gry utrzymania sieci
Odśnieżanie
(V ,E ) – graf niezorientowany – sieć dróg;v0 ∈ V – wyróżniony wierzchołek ; V \ v0 – graczeC : E → R+ – funkcja kosztu;
C (e) = wkład pracy konieczny do odśnieżenia drogi e .
Gra (kosztów) odśnieżania:
c(S) = minp∈P(S)
∑e∈p
C (e)
gdzie P(S) to zbiór wszystkich sieci p ⊆ E zawierających ścieżkę odkażdego gracza v ∈ S do v0.Gra oszczędności:
s(S) =∑i∈S
c(i)− c(S).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry operacyjne cd: gry utrzymania sieci
Odśnieżanie
(V ,E ) – graf niezorientowany – sieć dróg;v0 ∈ V – wyróżniony wierzchołek ; V \ v0 – graczeC : E → R+ – funkcja kosztu;
C (e) = wkład pracy konieczny do odśnieżenia drogi e .Gra (kosztów) odśnieżania:
c(S) = minp∈P(S)
∑e∈p
C (e)
gdzie P(S) to zbiór wszystkich sieci p ⊆ E zawierających ścieżkę odkażdego gracza v ∈ S do v0.
Gra oszczędności:s(S) =
∑i∈S
c(i)− c(S).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry operacyjne cd: gry utrzymania sieci
Odśnieżanie
(V ,E ) – graf niezorientowany – sieć dróg;v0 ∈ V – wyróżniony wierzchołek ; V \ v0 – graczeC : E → R+ – funkcja kosztu;
C (e) = wkład pracy konieczny do odśnieżenia drogi e .Gra (kosztów) odśnieżania:
c(S) = minp∈P(S)
∑e∈p
C (e)
gdzie P(S) to zbiór wszystkich sieci p ⊆ E zawierających ścieżkę odkażdego gracza v ∈ S do v0.Gra oszczędności:
s(S) =∑i∈S
c(i)− c(S).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry utrzymania sieci cd.
Gra odśnieżania – rozwiązania
Gdy (V ,E ) jest drzewem o korzeniu w v0 , następująca alokacja pracy:
1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością.2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v0.3 Wszyscy zaczynają pracę jednocześnie, od4 Każdy pracuje do chwili, gdy cała droga od v0 do jego domu będzie
odśnieżona
wyznacza gry oszczędności s związanej z grą odśnieżania.
Uwaga (Szczególny prosty przypadek)
Szeregowy podział kosztów – sytuacja w której graf jest ścieżką.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry utrzymania sieci cd.
Gra odśnieżania – rozwiązania
Gdy (V ,E ) jest drzewem o korzeniu w v0 , następująca alokacja pracy:1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością.
2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v0.3 Wszyscy zaczynają pracę jednocześnie, od4 Każdy pracuje do chwili, gdy cała droga od v0 do jego domu będzie
odśnieżona
wyznacza gry oszczędności s związanej z grą odśnieżania.
Uwaga (Szczególny prosty przypadek)
Szeregowy podział kosztów – sytuacja w której graf jest ścieżką.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry utrzymania sieci cd.
Gra odśnieżania – rozwiązania
Gdy (V ,E ) jest drzewem o korzeniu w v0 , następująca alokacja pracy:1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością.2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v0.
3 Wszyscy zaczynają pracę jednocześnie, od4 Każdy pracuje do chwili, gdy cała droga od v0 do jego domu będzie
odśnieżona
wyznacza gry oszczędności s związanej z grą odśnieżania.
Uwaga (Szczególny prosty przypadek)
Szeregowy podział kosztów – sytuacja w której graf jest ścieżką.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry utrzymania sieci cd.
Gra odśnieżania – rozwiązania
Gdy (V ,E ) jest drzewem o korzeniu w v0 , następująca alokacja pracy:1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością.2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v0.3 Wszyscy zaczynają pracę jednocześnie, od wierzchołka v0.
4 Każdy pracuje do chwili, gdy cała droga od v0 do jego domu będzieodśnieżona
wyznacza gry oszczędności s związanej z grą odśnieżania.
Uwaga (Szczególny prosty przypadek)
Szeregowy podział kosztów – sytuacja w której graf jest ścieżką.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry utrzymania sieci cd.
Gra odśnieżania – rozwiązania
Gdy (V ,E ) jest drzewem o korzeniu w v0 , następująca alokacja pracy:1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością.2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v0.3 Wszyscy zaczynają pracę jednocześnie, od wierzchołka v0.4 Każdy pracuje do chwili, gdy cała droga od v0 do jego domu będzie
odśnieżona
wyznacza gry oszczędności s związanej z grą odśnieżania.
Uwaga (Szczególny prosty przypadek)
Szeregowy podział kosztów – sytuacja w której graf jest ścieżką.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry utrzymania sieci cd.
Gra odśnieżania – rozwiązania
Gdy (V ,E ) jest drzewem o korzeniu w v0 , następująca alokacja pracy:1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością.2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v0.3 Wszyscy zaczynają pracę jednocześnie, od wierzchołka v0.4 Każdy pracuje do chwili, gdy cała droga od v0 do jego domu będzie
odśnieżona
wyznacza wartość Shapleya gry oszczędności s związanej z grąodśnieżania.
Uwaga (Szczególny prosty przypadek)
Szeregowy podział kosztów – sytuacja w której graf jest ścieżką.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry utrzymania sieci cd.
Gra odśnieżania – rozwiązania
Gdy (V ,E ) jest drzewem o korzeniu w v0 , następująca alokacja pracy:1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością.2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v0.3 Wszyscy zaczynają pracę jednocześnie, od swoich domów.4 Każdy pracuje do chwili, gdy cała droga od v0 do jego domu będzie
odśnieżona
wyznacza nukleolus gry oszczędności s związanej z grą odśnieżania.
Uwaga (Szczególny prosty przypadek)
Szeregowy podział kosztów – sytuacja w której graf jest ścieżką.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry utrzymania sieci cd.
Gra odśnieżania – rozwiązania
Gdy (V ,E ) jest drzewem o korzeniu w v0 , następująca alokacja pracy:1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością.2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v0.3 Wszyscy zaczynają pracę jednocześnie, od wierzchołka v0.4 Każdy pracuje do chwili, gdy cała droga od v0 do jego domu będzie
odśnieżona
wyznacza wartość Shapleya gry oszczędności s związanej z grąodśnieżania.
Uwaga (Szczególny prosty przypadek)
Szeregowy podział kosztów – sytuacja w której graf jest ścieżką.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry operacyjne cd: gry wyboru trasy
Gra CP (”chińskiego listonosza”)
Graczami są ”ulice” - krawędzie niezorientowanego grafu (V ,E )v0 ∈ V – wyróżniony wierzchołek (poczta)
h : E → R+ – funkcja kosztu;h(e) = koszt przejścia przez listonosza całej ulicy e.
Gra CP (kosztów):
c(S) = min(v0,e1,...ek ,v0)∈D(S)
k∑j=1
h(ej)−∑i∈S
h(i)
gdzie D(S) = zbiór wszystkich ścieżek zawierających wszystkie łuki z S .
Twierdzenie (Granot i Hamers)
Gra oszczędności CP ma niepusty rdzeń ⇔ graf (V ,E ) jest słaboeulerowski(tzn. każda jego dwuspójna składowa jest eulerowska).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry operacyjne cd: gry wyboru trasy
Gra CP (”chińskiego listonosza”)
Graczami są ”ulice” - krawędzie niezorientowanego grafu (V ,E )v0 ∈ V – wyróżniony wierzchołek (poczta)h : E → R+ – funkcja kosztu;
h(e) = koszt przejścia przez listonosza całej ulicy e.Listonosz musi dostarczyć pocztę na wszystkie ulice i powrócić do urzędu.
Gra CP (kosztów):
c(S) = min(v0,e1,...ek ,v0)∈D(S)
k∑j=1
h(ej)−∑i∈S
h(i)
gdzie D(S) = zbiór wszystkich ścieżek zawierających wszystkie łuki z S .
Twierdzenie (Granot i Hamers)
Gra oszczędności CP ma niepusty rdzeń ⇔ graf (V ,E ) jest słaboeulerowski(tzn. każda jego dwuspójna składowa jest eulerowska).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry operacyjne cd: gry wyboru trasy
Gra CP (”chińskiego listonosza”)
Graczami są ”ulice” - krawędzie niezorientowanego grafu (V ,E )v0 ∈ V – wyróżniony wierzchołek (poczta)h : E → R+ – funkcja kosztu;
h(e) = koszt przejścia przez listonosza całej ulicy e.Listonosz musi dostarczyć pocztę na wszystkie ulice i powrócić do urzędu.Gra CP (kosztów):
c(S) = min(v0,e1,...ek ,v0)∈D(S)
k∑j=1
h(ej)−∑i∈S
h(i)
gdzie D(S) = zbiór wszystkich ścieżek zawierających wszystkie łuki z S .
Twierdzenie (Granot i Hamers)
Gra oszczędności CP ma niepusty rdzeń ⇔ graf (V ,E ) jest słaboeulerowski(tzn. każda jego dwuspójna składowa jest eulerowska).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry operacyjne cd: gry wyboru trasy
Gra CP (”chińskiego listonosza”)
Graczami są ”ulice” - krawędzie niezorientowanego grafu (V ,E )v0 ∈ V – wyróżniony wierzchołek (poczta)h : E → R+ – funkcja kosztu;
h(e) = koszt przejścia przez listonosza całej ulicy e.Gra CP (kosztów):
c(S) = min(v0,e1,...ek ,v0)∈D(S)
k∑j=1
h(ej)−∑i∈S
h(i)
gdzie D(S) = zbiór wszystkich ścieżek zawierających wszystkie łuki z S .
Twierdzenie (Granot i Hamers)
Gra oszczędności CP ma niepusty rdzeń ⇔ graf (V ,E ) jest słaboeulerowski(tzn. każda jego dwuspójna składowa jest eulerowska).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Niektóre inne gry operacyjne
Gry tworzenia sieci: gracze = wierzchołki grafu,problem: znalezienie najtańszego sposobu połączenia każdego z nichz wyróżnionym wierzchołkiem v0 (= najtańszego drzewarozpinającego)i podział łącznych kosztów
Gry ustalania kolejki: gracze = klienci,problem: znalezienie takiej kolejności ich obsługiwania, którazminimalizuje ich łączne koszty czekania, i podział tych kosztów
....
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Niektóre inne gry operacyjne
Gry tworzenia sieci: gracze = wierzchołki grafu,problem: znalezienie najtańszego sposobu połączenia każdego z nichz wyróżnionym wierzchołkiem v0 (= najtańszego drzewarozpinającego)i podział łącznych kosztów
Gry ustalania kolejki: gracze = klienci,problem: znalezienie takiej kolejności ich obsługiwania, którazminimalizuje ich łączne koszty czekania, i podział tych kosztów
....
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Niektóre inne gry operacyjne
Gry tworzenia sieci: gracze = wierzchołki grafu,problem: znalezienie najtańszego sposobu połączenia każdego z nichz wyróżnionym wierzchołkiem v0 (= najtańszego drzewarozpinającego)i podział łącznych kosztów
Gry ustalania kolejki: gracze = klienci,problem: znalezienie takiej kolejności ich obsługiwania, którazminimalizuje ich łączne koszty czekania, i podział tych kosztów
....
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Niektóre inne gry operacyjne
Gry tworzenia sieci: gracze = wierzchołki grafu,problem: znalezienie najtańszego sposobu połączenia każdego z nichz wyróżnionym wierzchołkiem v0 (= najtańszego drzewarozpinającego)i podział łącznych kosztów
Gry ustalania kolejki: gracze = klienci,problem: znalezienie takiej kolejności ich obsługiwania, którazminimalizuje ich łączne koszty czekania, i podział tych kosztów
....
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Wartość Shapleya – dlaczego?
Definicja
Gracz i jest graczem zerowym w grze v , jeżeli dla każdej koalicji Tzachodzi v(T ∪ i) = v(T ). (Tzn.: i nic nie wnosi do żadnej koalicji).
Gracze j , k są wymienni w grze v , jeżeli dla każdej koalicji T takiej, żej 6∈ T i k 6∈ T zachodzi v(T ∪ j) = v(T ∪ k).(Tzn. : j i k odgrywają taką samą rolę w każdej koalicji).
Twierdzenie (Shapley 1953)
Jedyną wartością ψ spełniającą
1 równoprawność: jeżeli gracze i , j są wymienni w grze v , toψi (v) = ψj(v),
2 warunek gracza zerowego: jeżeli i jest graczem zerowym w v , toψi (v) = 0,
3 addytywność: dla gry z = v + w ψ(z) = ψ(v) + ψ(w)
jest wartość Shapleya.
Twierdzenie (Young 1985)
Jedyną wartością ψ spełniającą równoprawność, warunek graczazerowego oraz monotoniczność:[ dla dowolnego gracza j oraz każdej pary gier n-osobowych v ,wspełniającej ∀T⊆N,T3j v(T )− v(T \ j) w(T )− w(T \ j)(czyli j wnosi do każdej koalicji w grze v nie mniej niż w grze w)zachodzi ψj(v) ψj(w) ] jest wartość Shapleya.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Wartość Shapleya – dlaczego?
Definicja
Gracz i jest graczem zerowym w grze v , jeżeli dla każdej koalicji Tzachodzi v(T ∪ i) = v(T ). (Tzn.: i nic nie wnosi do żadnej koalicji).Gracze j , k są wymienni w grze v , jeżeli dla każdej koalicji T takiej, żej 6∈ T i k 6∈ T zachodzi v(T ∪ j) = v(T ∪ k).(Tzn. : j i k odgrywają taką samą rolę w każdej koalicji).
Twierdzenie (Shapley 1953)
Jedyną wartością ψ spełniającą
1 równoprawność: jeżeli gracze i , j są wymienni w grze v , toψi (v) = ψj(v),
2 warunek gracza zerowego: jeżeli i jest graczem zerowym w v , toψi (v) = 0,
3 addytywność: dla gry z = v + w ψ(z) = ψ(v) + ψ(w)
jest wartość Shapleya.
Twierdzenie (Young 1985)
Jedyną wartością ψ spełniającą równoprawność, warunek graczazerowego oraz monotoniczność:[ dla dowolnego gracza j oraz każdej pary gier n-osobowych v ,wspełniającej ∀T⊆N,T3j v(T )− v(T \ j) w(T )− w(T \ j)(czyli j wnosi do każdej koalicji w grze v nie mniej niż w grze w)zachodzi ψj(v) ψj(w) ] jest wartość Shapleya.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Wartość Shapleya – dlaczego?
Definicja
Gracz i jest graczem zerowym w grze v , jeżeli dla każdej koalicji Tzachodzi v(T ∪ i) = v(T ). (Tzn.: i nic nie wnosi do żadnej koalicji).Gracze j , k są wymienni w grze v , jeżeli dla każdej koalicji T takiej, żej 6∈ T i k 6∈ T zachodzi v(T ∪ j) = v(T ∪ k).(Tzn. : j i k odgrywają taką samą rolę w każdej koalicji).
Twierdzenie (Shapley 1953)
Jedyną wartością ψ spełniającą
1 równoprawność: jeżeli gracze i , j są wymienni w grze v , toψi (v) = ψj(v),
2 warunek gracza zerowego: jeżeli i jest graczem zerowym w v , toψi (v) = 0,
3 addytywność: dla gry z = v + w ψ(z) = ψ(v) + ψ(w)
jest wartość Shapleya.
Twierdzenie (Young 1985)
Jedyną wartością ψ spełniającą równoprawność, warunek graczazerowego oraz monotoniczność:[ dla dowolnego gracza j oraz każdej pary gier n-osobowych v ,wspełniającej ∀T⊆N,T3j v(T )− v(T \ j) w(T )− w(T \ j)(czyli j wnosi do każdej koalicji w grze v nie mniej niż w grze w)zachodzi ψj(v) ψj(w) ] jest wartość Shapleya.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Wartość Shapleya – dlaczego?
Definicja
Gracz i jest graczem zerowym w grze v , jeżeli dla każdej koalicji Tzachodzi v(T ∪ i) = v(T ). (Tzn.: i nic nie wnosi do żadnej koalicji).Gracze j , k są wymienni w grze v , jeżeli dla każdej koalicji T takiej, żej 6∈ T i k 6∈ T zachodzi v(T ∪ j) = v(T ∪ k).(Tzn. : j i k odgrywają taką samą rolę w każdej koalicji).
Twierdzenie (Shapley 1953)
Jedyną wartością ψ spełniającą1 równoprawność: jeżeli gracze i , j są wymienni w grze v , toψi (v) = ψj(v),
2 warunek gracza zerowego: jeżeli i jest graczem zerowym w v , toψi (v) = 0,
3 addytywność: dla gry z = v + w ψ(z) = ψ(v) + ψ(w)
jest wartość Shapleya.
Twierdzenie (Young 1985)
Jedyną wartością ψ spełniającą równoprawność, warunek graczazerowego oraz monotoniczność:[ dla dowolnego gracza j oraz każdej pary gier n-osobowych v ,wspełniającej ∀T⊆N,T3j v(T )− v(T \ j) w(T )− w(T \ j)(czyli j wnosi do każdej koalicji w grze v nie mniej niż w grze w)zachodzi ψj(v) ψj(w) ] jest wartość Shapleya.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Wartość Shapleya – dlaczego?
Definicja
Gracz i jest graczem zerowym w grze v , jeżeli dla każdej koalicji Tzachodzi v(T ∪ i) = v(T ). (Tzn.: i nic nie wnosi do żadnej koalicji).Gracze j , k są wymienni w grze v , jeżeli dla każdej koalicji T takiej, żej 6∈ T i k 6∈ T zachodzi v(T ∪ j) = v(T ∪ k).(Tzn. : j i k odgrywają taką samą rolę w każdej koalicji).
Twierdzenie (Shapley 1953)
Jedyną wartością ψ spełniającą1 równoprawność: jeżeli gracze i , j są wymienni w grze v , toψi (v) = ψj(v),
2 warunek gracza zerowego: jeżeli i jest graczem zerowym w v , toψi (v) = 0,
3 addytywność: dla gry z = v + w ψ(z) = ψ(v) + ψ(w)
jest wartość Shapleya.
Twierdzenie (Young 1985)
Jedyną wartością ψ spełniającą równoprawność, warunek graczazerowego oraz monotoniczność:[ dla dowolnego gracza j oraz każdej pary gier n-osobowych v ,wspełniającej ∀T⊆N,T3j v(T )− v(T \ j) w(T )− w(T \ j)(czyli j wnosi do każdej koalicji w grze v nie mniej niż w grze w)zachodzi ψj(v) ψj(w) ] jest wartość Shapleya.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Wartość Shapleya – dlaczego?
Definicja
Gracz i jest graczem zerowym w grze v , jeżeli dla każdej koalicji Tzachodzi v(T ∪ i) = v(T ). (Tzn.: i nic nie wnosi do żadnej koalicji).Gracze j , k są wymienni w grze v , jeżeli dla każdej koalicji T takiej, żej 6∈ T i k 6∈ T zachodzi v(T ∪ j) = v(T ∪ k).(Tzn. : j i k odgrywają taką samą rolę w każdej koalicji).
Twierdzenie (Shapley 1953)
Jedyną wartością ψ spełniającą1 równoprawność: jeżeli gracze i , j są wymienni w grze v , toψi (v) = ψj(v),
2 warunek gracza zerowego: jeżeli i jest graczem zerowym w v , toψi (v) = 0,
3 addytywność: dla gry z = v + w ψ(z) = ψ(v) + ψ(w)
jest wartość Shapleya.
Twierdzenie (Young 1985)
Jedyną wartością ψ spełniającą równoprawność, warunek graczazerowego oraz monotoniczność:[ dla dowolnego gracza j oraz każdej pary gier n-osobowych v ,wspełniającej ∀T⊆N,T3j v(T )− v(T \ j) w(T )− w(T \ j)(czyli j wnosi do każdej koalicji w grze v nie mniej niż w grze w)zachodzi ψj(v) ψj(w) ] jest wartość Shapleya.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Wartość Shapleya – dlaczego?
Twierdzenie (Shapley 1953)
Jedyną wartością ψ spełniającą1 równoprawność: jeżeli gracze i , j są wymienni w grze v , toψi (v) = ψj(v),
2 warunek gracza zerowego: jeżeli i jest graczem zerowym w v , toψi (v) = 0,
3 addytywność: dla gry z = v + w ψ(z) = ψ(v) + ψ(w)
jest wartość Shapleya.
Twierdzenie (Young 1985)
Jedyną wartością ψ spełniającą równoprawność, warunek graczazerowego oraz monotoniczność:[ dla dowolnego gracza j oraz każdej pary gier n-osobowych v ,wspełniającej ∀T⊆N,T3j v(T )− v(T \ j) w(T )− w(T \ j)(czyli j wnosi do każdej koalicji w grze v nie mniej niż w grze w)zachodzi ψj(v) ψj(w) ] jest wartość Shapleya.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Wariacja: Egalitarne wartości Shapleya
Definicja (Wartość egalitarna)
e – powstaje przez równy podział v(N) pomiędzy graczy:
∀k ek(v) =v(N)
n.
Definicja (”Egalitarne wartości Shapleya” )
εj(v) =εv(N)
n+ (1− ε)φj(v)
(ε ∈ [0 , 1] dowolny ale ustalony)
Twierdzenie
Jedyną addytywną wartością ψ spełniającą równoprawność iwarunek gracza zerującego ((∀T3j v(T ) = 0) ⇒ ψj(v) = 0) jestwartość egalitarna e. (van den Brink 2007)
Jedyne addytywne wartości spełniające– lokalną monotoniczność: jeśli v(S ∪ i) v(S ∪ j) dla każdejkoalicji S nie zawierającej i ani j , to ψi (v) ψj(v)– ”własność gracza zerowego w produktywnym otoczeniu”: jeśli jjest graczem zerowym w v i v(N) 0 , to ψj(v) 0to egalitarne wartości Shapleya. (Casajus i Huettner 2013)
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Wariacja: Egalitarne wartości Shapleya
Definicja (Wartość egalitarna)
e – powstaje przez równy podział v(N) pomiędzy graczy:
∀k ek(v) =v(N)
n.
Definicja (”Egalitarne wartości Shapleya” (Joosten 1996; van den Brink i in.2013))
εj(v) =εv(N)
n+ (1− ε)φj(v)
(ε ∈ [0 , 1] dowolny ale ustalony)
Twierdzenie
Jedyną addytywną wartością ψ spełniającą równoprawność iwarunek gracza zerującego ((∀T3j v(T ) = 0) ⇒ ψj(v) = 0) jestwartość egalitarna e. (van den Brink 2007)
Jedyne addytywne wartości spełniające– lokalną monotoniczność: jeśli v(S ∪ i) v(S ∪ j) dla każdejkoalicji S nie zawierającej i ani j , to ψi (v) ψj(v)– ”własność gracza zerowego w produktywnym otoczeniu”: jeśli jjest graczem zerowym w v i v(N) 0 , to ψj(v) 0to egalitarne wartości Shapleya. (Casajus i Huettner 2013)
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Wariacja: Egalitarne wartości Shapleya
Definicja (Wartość egalitarna)
e – powstaje przez równy podział v(N) pomiędzy graczy:
∀k ek(v) =v(N)
n.
Definicja (”Egalitarne wartości Shapleya” (Joosten 1996; van den Brink i in.2013))
εj(v) =εv(N)
n+ (1− ε)φj(v)
(ε ∈ [0 , 1] dowolny ale ustalony)
Twierdzenie
Jedyną addytywną wartością ψ spełniającą równoprawność iwarunek gracza zerującego ((∀T3j v(T ) = 0) ⇒ ψj(v) = 0) jestwartość egalitarna e. (van den Brink 2007)
Jedyne addytywne wartości spełniające– lokalną monotoniczność: jeśli v(S ∪ i) v(S ∪ j) dla każdejkoalicji S nie zawierającej i ani j , to ψi (v) ψj(v)– ”własność gracza zerowego w produktywnym otoczeniu”: jeśli jjest graczem zerowym w v i v(N) 0 , to ψj(v) 0to egalitarne wartości Shapleya. (Casajus i Huettner 2013)
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Wariacja: Egalitarne wartości Shapleya
Definicja (”Egalitarne wartości Shapleya” )
εj(v) =εv(N)
n+ (1− ε)φj(v)
(ε ∈ [0 , 1] dowolny ale ustalony)
Twierdzenie
Jedyną addytywną wartością ψ spełniającą równoprawność iwarunek gracza zerującego ((∀T3j v(T ) = 0) ⇒ ψj(v) = 0) jestwartość egalitarna e. (van den Brink 2007)
Jedyne addytywne wartości spełniające– lokalną monotoniczność: jeśli v(S ∪ i) v(S ∪ j) dla każdejkoalicji S nie zawierającej i ani j , to ψi (v) ψj(v)– ”własność gracza zerowego w produktywnym otoczeniu”: jeśli jjest graczem zerowym w v i v(N) 0 , to ψj(v) 0to egalitarne wartości Shapleya. (Casajus i Huettner 2013)
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Wariacja: Wartość solidarnościowa
Definicja (Wartość solidarnościowa (Nowak i Radzik 1994) )
σj(v) =1n!
∑π∈ΠN
∑k∈Hπ,j
v(Hπ,j)− v(Hπ,j \ k)
π(j)
– przy danej permutacji gracz zamiast własnego wkładu do koalicjipoprzedników otrzymuje średnią z krańcowych wkładów wszystkichczłonków koalicji poprzedników do tej koalicji.Równoprawność – tak, własność gracza zerowego – nie.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Szersza klasa: wartości ”proceduralne”
Scenariusz: Dzielenie się wkładami krańcowymi1 Gracze zbierają się w losowej kolejności π; wszystkie kolejności
(permutacje zbioru N) są jednakowo prawdopodobne.2 Każdy nowo przybywający gracz k wnosi swój krańcowy wkład
mk,π(v) w koalicję swoich poprzedników – graczy już obecnych.
3 Te krańcowe wkłady są dzielone pomiędzy graczy w Hπ,k wedługpewnej ustalonej procedury.
4 W ten sposób dla każdej permutacji π cała wypłata v(N) zostajerozdzielona pomiędzy wszystkich graczy.
5 Wartość proceduralna gracza to średnia (po wszystkich porządkachtworzenia wielkiej koalicji) przypadającej na niego części v(N).
Definicja (Procedura)
Procedura s na Gn to rodzina nieujemnych współczynników
((sk,j)kj=1)
nk=1 takich że (∀k)
k∑j=1
sk,j = 1.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Szersza klasa: wartości ”proceduralne”
Scenariusz: Dzielenie się wkładami krańcowymi1 Gracze zbierają się w losowej kolejności π; wszystkie kolejności
(permutacje zbioru N) są jednakowo prawdopodobne.2 Każdy nowo przybywający gracz k wnosi swój krańcowy wkład
mk,π(v) w koalicję swoich poprzedników – graczy już obecnych.3 Te krańcowe wkłady są dzielone pomiędzy graczy w Hπ,k według
pewnej ustalonej procedury.
4 W ten sposób dla każdej permutacji π cała wypłata v(N) zostajerozdzielona pomiędzy wszystkich graczy.
5 Wartość proceduralna gracza to średnia (po wszystkich porządkachtworzenia wielkiej koalicji) przypadającej na niego części v(N).
Definicja (Procedura)
Procedura s na Gn to rodzina nieujemnych współczynników
((sk,j)kj=1)
nk=1 takich że (∀k)
k∑j=1
sk,j = 1.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Szersza klasa: wartości ”proceduralne”
Scenariusz: Dzielenie się wkładami krańcowymi1 Gracze zbierają się w losowej kolejności π; wszystkie kolejności
(permutacje zbioru N) są jednakowo prawdopodobne.2 Każdy nowo przybywający gracz k wnosi swój krańcowy wkład
mk,π(v) w koalicję swoich poprzedników – graczy już obecnych.3 Te krańcowe wkłady są dzielone pomiędzy graczy w Hπ,k według
pewnej ustalonej procedury.4 W ten sposób dla każdej permutacji π cała wypłata v(N) zostaje
rozdzielona pomiędzy wszystkich graczy.
5 Wartość proceduralna gracza to średnia (po wszystkich porządkachtworzenia wielkiej koalicji) przypadającej na niego części v(N).
Definicja (Procedura)
Procedura s na Gn to rodzina nieujemnych współczynników
((sk,j)kj=1)
nk=1 takich że (∀k)
k∑j=1
sk,j = 1.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Szersza klasa: wartości ”proceduralne”
Scenariusz: Dzielenie się wkładami krańcowymi1 Gracze zbierają się w losowej kolejności π; wszystkie kolejności
(permutacje zbioru N) są jednakowo prawdopodobne.2 Każdy nowo przybywający gracz k wnosi swój krańcowy wkład
mk,π(v) w koalicję swoich poprzedników – graczy już obecnych.3 Te krańcowe wkłady są dzielone pomiędzy graczy w Hπ,k według
pewnej ustalonej procedury.4 W ten sposób dla każdej permutacji π cała wypłata v(N) zostaje
rozdzielona pomiędzy wszystkich graczy.5 Wartość proceduralna gracza to średnia (po wszystkich porządkach
tworzenia wielkiej koalicji) przypadającej na niego części v(N).
Definicja (Procedura)
Procedura s na Gn to rodzina nieujemnych współczynników
((sk,j)kj=1)
nk=1 takich że (∀k)
k∑j=1
sk,j = 1.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Szersza klasa: wartości ”proceduralne”
Scenariusz: Dzielenie się wkładami krańcowymi1 Gracze zbierają się w losowej kolejności π; wszystkie kolejności
(permutacje zbioru N) są jednakowo prawdopodobne.2 Każdy nowo przybywający gracz k wnosi swój krańcowy wkład
mk,π(v) w koalicję swoich poprzedników – graczy już obecnych.3 Te krańcowe wkłady są dzielone pomiędzy graczy w Hπ,k według
pewnej ustalonej procedury.4 W ten sposób dla każdej permutacji π cała wypłata v(N) zostaje
rozdzielona pomiędzy wszystkich graczy.5 Wartość proceduralna gracza to średnia (po wszystkich porządkach
tworzenia wielkiej koalicji) przypadającej na niego części v(N).
Definicja (Procedura)
Procedura s na Gn to rodzina nieujemnych współczynników
((sk,j)kj=1)
nk=1 takich że (∀k)
k∑j=1
sk,j = 1.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Procedury i wartości proceduralne cd
Definicja (Procedura)
Procedura s na Gn to rodzina nieujemnych współczynników
((sk,j)kj=1)
nk=1 takich że (∀k)
k∑j=1
sk,j = 1.
sk,j to udział gracza będącego na miejscu j w kolejności przybywania (tj.gracza π−1(j)) we wkładzie krańcowym gracza π−1(k).
Definicja (Wartość proceduralna (MM 2012))
Wartość proceduralna ψs wyznaczona przez procedurę s na Gn jestokreślona wzorem
ψsj (v) = Eπ
∑k∈Nπ,j
sπ(k),π(j) mk,π(v) =∑π∈Π
∑k∈Nπ,j
sπ(k),π(j)mk,π(v)
n!.
(Nπ,j to zbiór następników gracza j w uporządkowaniu π , wraz z j).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Procedury i wartości proceduralne cd
Definicja (Procedura)
Procedura s na Gn to rodzina nieujemnych współczynników
((sk,j)kj=1)
nk=1 takich że (∀k)
k∑j=1
sk,j = 1.
sk,j to udział gracza będącego na miejscu j w kolejności przybywania (tj.gracza π−1(j)) we wkładzie krańcowym gracza π−1(k).
Definicja (Wartość proceduralna (MM 2012))
Wartość proceduralna ψs wyznaczona przez procedurę s na Gn jestokreślona wzorem
ψsj (v) = Eπ
∑k∈Nπ,j
sπ(k),π(j) mk,π(v) =∑π∈Π
∑k∈Nπ,j
sπ(k),π(j)mk,π(v)
n!.
(Nπ,j to zbiór następników gracza j w uporządkowaniu π , wraz z j).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Procedury i wartości proceduralne cd
Definicja (Procedura)
Procedura s na Gn to rodzina nieujemnych współczynników
((sk,j)kj=1)
nk=1 takich że (∀k)
k∑j=1
sk,j = 1.
sk,j to udział gracza będącego na miejscu j w kolejności przybywania (tj.gracza π−1(j)) we wkładzie krańcowym gracza π−1(k).
Definicja (Wartość proceduralna (MM 2012))
Wartość proceduralna ψs wyznaczona przez procedurę s na Gn jestokreślona wzorem
ψsj (v) = Eπ
∑k∈Nπ,j
sπ(k),π(j) mk,π(v) =∑π∈Π
∑k∈Nπ,j
sπ(k),π(j)mk,π(v)
n!.
(Nπ,j to zbiór następników gracza j w uporządkowaniu π , wraz z j).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Wartości proceduralne: równoważne reprezentacje
Twierdzenie (Równoważne reprezentacje)
Jeśli s = ((sk,j)kj=1)
nk=1 oraz t = ((tk,j)
kj=1)
nk=1 są dwiema procedurami
takimi, że dla każdego k sk,k = tk,k , to ψs = ψt .
Wniosek
1 Układ współczynników s = (s1, s2, . . . , sn) reprezentuje dowolnąprocedurę ((sk,j)
kj=1)
nk=1 na Gn , dla której sj ,j = sj dla
j = 1, 2, . . . , n
2 ψsi (v) =
∑π∈Π
sπ(i)mi ,π(v)
n!+∑
π:π(i)=1
∑j 6=i
(1− sπ(j))mj ,π(v)
n!.
Twierdzenie (odwrotne)
Jeżeli s = (s1, s2, . . . , sn) i t = (t1, t2, . . . , tn) są dwiema różnymiprocedurami na Gn, to ψs 6= ψt .
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Wartości proceduralne: równoważne reprezentacje
Twierdzenie (Równoważne reprezentacje)
Jeśli s = ((sk,j)kj=1)
nk=1 oraz t = ((tk,j)
kj=1)
nk=1 są dwiema procedurami
takimi, że dla każdego k sk,k = tk,k , to ψs = ψt .
Wniosek1 Układ współczynników s = (s1, s2, . . . , sn) reprezentuje dowolną
procedurę ((sk,j)kj=1)
nk=1 na Gn , dla której sj ,j = sj dla
j = 1, 2, . . . , n
2 ψsi (v) =
∑π∈Π
sπ(i)mi ,π(v)
n!+∑
π:π(i)=1
∑j 6=i
(1− sπ(j))mj ,π(v)
n!.
Twierdzenie (odwrotne)
Jeżeli s = (s1, s2, . . . , sn) i t = (t1, t2, . . . , tn) są dwiema różnymiprocedurami na Gn, to ψs 6= ψt .
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Wartości proceduralne: równoważne reprezentacje
Twierdzenie (Równoważne reprezentacje)
Jeśli s = ((sk,j)kj=1)
nk=1 oraz t = ((tk,j)
kj=1)
nk=1 są dwiema procedurami
takimi, że dla każdego k sk,k = tk,k , to ψs = ψt .
Wniosek1 Układ współczynników s = (s1, s2, . . . , sn) reprezentuje dowolną
procedurę ((sk,j)kj=1)
nk=1 na Gn , dla której sj ,j = sj dla
j = 1, 2, . . . , n
2 ψsi (v) =
∑π∈Π
sπ(i)mi ,π(v)
n!+∑
π:π(i)=1
∑j 6=i
(1− sπ(j))mj ,π(v)
n!.
Twierdzenie (odwrotne)
Jeżeli s = (s1, s2, . . . , sn) i t = (t1, t2, . . . , tn) są dwiema różnymiprocedurami na Gn, to ψs 6= ψt .
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Wartości proceduralne: równoważne reprezentacje
Twierdzenie (Równoważne reprezentacje)
Jeśli s = ((sk,j)kj=1)
nk=1 oraz t = ((tk,j)
kj=1)
nk=1 są dwiema procedurami
takimi, że dla każdego k sk,k = tk,k , to ψs = ψt .
Wniosek1 Układ współczynników s = (s1, s2, . . . , sn) reprezentuje dowolną
procedurę ((sk,j)kj=1)
nk=1 na Gn , dla której sj ,j = sj dla
j = 1, 2, . . . , n
2 ψsi (v) =
∑π∈Π
sπ(i)mi ,π(v)
n!+∑
π:π(i)=1
∑j 6=i
(1− sπ(j))mj ,π(v)
n!.
Twierdzenie (odwrotne)
Jeżeli s = (s1, s2, . . . , sn) i t = (t1, t2, . . . , tn) są dwiema różnymiprocedurami na Gn, to ψs 6= ψt .
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Wartości ”proceduralne” – dlaczego?
Twierdzenie (MM 2012)
Wartość na Gn jest:
liniowa i równoprawna,
słabo monotoniczna (jeśli v monotoniczna, to ψ(v) 0)koalicyjnie monotoniczna: tzn. dla każdej koalicji T i każdej parygier v ,w ∈ Gn takiej że (v(T ) > w(T ) oraz v(S) = w(S) ∀S 6=T )zachodzi ψi (v) ψi (w) dla każdego i ∈ T
wtedy i tylko wtedy, gdy jest proceduralna.
Twierdzenie (MM 2012)
Wartość na Gn jest:• liniowa, • słabo monotoniczna • i lokalnie monotoniczna
wtedy i tylko wtedy, gdy jest proceduralna.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Wartości ”proceduralne” – dlaczego?
Twierdzenie (MM 2012)
Wartość na Gn jest:
liniowa i równoprawna,
słabo monotoniczna (jeśli v monotoniczna, to ψ(v) 0)koalicyjnie monotoniczna: tzn. dla każdej koalicji T i każdej parygier v ,w ∈ Gn takiej że (v(T ) > w(T ) oraz v(S) = w(S) ∀S 6=T )zachodzi ψi (v) ψi (w) dla każdego i ∈ T
wtedy i tylko wtedy, gdy jest proceduralna.
Twierdzenie (MM 2012)
Wartość na Gn jest:• liniowa, • słabo monotoniczna • i lokalnie monotoniczna
wtedy i tylko wtedy, gdy jest proceduralna.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Wartości ”proceduralne” – dlaczego?
Twierdzenie (MM 2012)
Wartość na Gn jest:
liniowa i równoprawna,
słabo monotoniczna (jeśli v monotoniczna, to ψ(v) 0)koalicyjnie monotoniczna: tzn. dla każdej koalicji T i każdej parygier v ,w ∈ Gn takiej że (v(T ) > w(T ) oraz v(S) = w(S) ∀S 6=T )zachodzi ψi (v) ψi (w) dla każdego i ∈ T
wtedy i tylko wtedy, gdy jest proceduralna.
Twierdzenie (MM 2012)
Wartość na Gn jest:• liniowa, • słabo monotoniczna • i lokalnie monotoniczna
wtedy i tylko wtedy, gdy jest proceduralna.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Wartości ”proceduralne” – dlaczego?
Twierdzenie (MM 2012)
Wartość na Gn jest:
liniowa i równoprawna,
słabo monotoniczna (jeśli v monotoniczna, to ψ(v) 0)koalicyjnie monotoniczna: tzn. dla każdej koalicji T i każdej parygier v ,w ∈ Gn takiej że (v(T ) > w(T ) oraz v(S) = w(S) ∀S 6=T )zachodzi ψi (v) ψi (w) dla każdego i ∈ T
wtedy i tylko wtedy, gdy jest proceduralna.
Twierdzenie (MM 2012)
Wartość na Gn jest:• liniowa, • słabo monotoniczna • i lokalnie monotoniczna
wtedy i tylko wtedy, gdy jest proceduralna.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry ze strukturami: komunikacja
Definicja (Gra ze strukturą komunikacji)
(N, v ,E ) ,gdzie (N, v) – gra kooperacyjna, (N,E ) – graf niezorientowany(E – zbiór połączeń pomiędzy parami graczy).
Twierdzenie (Myerson 1981)
Jedyną wartością ψ na grach ze strukturami komunikacji mającąnastępującą własność jednakowych korzyści: ∀(N, v ,E )∀i , j ∈ N
ψi (v ,E ∪ (ij))− ψi (v ,E ) = ψj(v ,E ∪ (ij))− ψj(v ,E )
jest wartość Myersona zdefiniowana następująco: m(v ,E ) = φ(v |E )gdzie v |E (S) =
∑T∈CE(S)
v(T ) ,
CE (S) – zbiór spójnych (w E ) składowych koalicji S .
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry ze strukturami: komunikacja
Definicja (Gra ze strukturą komunikacji)
(N, v ,E ) ,gdzie (N, v) – gra kooperacyjna, (N,E ) – graf niezorientowany(E – zbiór połączeń pomiędzy parami graczy).
Twierdzenie (Myerson 1981)
Jedyną wartością ψ na grach ze strukturami komunikacji mającąnastępującą własność jednakowych korzyści: ∀(N, v ,E )∀i , j ∈ N
ψi (v ,E ∪ (ij))− ψi (v ,E ) = ψj(v ,E ∪ (ij))− ψj(v ,E )
jest wartość Myersona zdefiniowana następująco: m(v ,E ) = φ(v |E )gdzie v |E (S) =
∑T∈CE(S)
v(T ) ,
CE (S) – zbiór spójnych (w E ) składowych koalicji S .
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry ze strukturami: komunikacja
Definicja (Gra ze strukturą komunikacji)
(N, v ,E ) ,gdzie (N, v) – gra kooperacyjna, (N,E ) – graf niezorientowany(E – zbiór połączeń pomiędzy parami graczy).
Twierdzenie (Myerson 1981)
Jedyną wartością ψ na grach ze strukturami komunikacji mającąnastępującą własność jednakowych korzyści: ∀(N, v ,E )∀i , j ∈ N
ψi (v ,E ∪ (ij))− ψi (v ,E ) = ψj(v ,E ∪ (ij))− ψj(v ,E )
jest wartość Myersona zdefiniowana następująco: m(v ,E ) = φ(v |E )gdzie v |E (S) =
∑T∈CE(S)
v(T ) ,
CE (S) – zbiór spójnych (w E ) składowych koalicji S .
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry ze strukturami – inne
Gry z hierarchią graczy: (N, v , L)(N, v) – gra kooperacyjna,(N, L) – hierarchia – drzewo zorientowane;gracz j jest przełożonym gracza k jeżeli poprzedza go w hierarchii(niekoniecznie bezpośrednio),koalicja S może zrealizować wypłatę v(S) tylko wtedy gdy zawierawszystkich przełożonych każdego gracza z S(albo: co najmniej jednego z przełożonych każdego gracza z S)
Gry z prekoalicjami: ((N1, . . . ,Nm), v(N, v) – gra,(N1, . . . ,Nm) – struktura prekoalicji – rozbicie zbioru graczy;dopuszczalne permutacje przy wyliczaniu wartości – tylko te przyktórych obrazami prekoalicji są przedziały (bez przerw)
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry ze strukturami – inne
Gry z hierarchią graczy: (N, v , L)(N, v) – gra kooperacyjna,(N, L) – hierarchia – drzewo zorientowane;gracz j jest przełożonym gracza k jeżeli poprzedza go w hierarchii(niekoniecznie bezpośrednio),koalicja S może zrealizować wypłatę v(S) tylko wtedy gdy zawierawszystkich przełożonych każdego gracza z S(albo: co najmniej jednego z przełożonych każdego gracza z S)
Gry z prekoalicjami: ((N1, . . . ,Nm), v(N, v) – gra,(N1, . . . ,Nm) – struktura prekoalicji – rozbicie zbioru graczy;dopuszczalne permutacje przy wyliczaniu wartości – tylko te przyktórych obrazami prekoalicji są przedziały (bez przerw)
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Szczególna klasa: gry proste
Definicja (Gra prosta)
to gra (N, v) spełniająca
∀T v(T ) ∈ {0, 1} , U ⊃ T ⇒ v(U) v(T ) , v(N) = 1 .
W takich grach koalicja S jest wygrywająca jeżeli v(S) = 1 , aprzegrywająca jeżeli v(S) = 0 .
Uwaga (Rdzeń gry prostej)
Jeżeli (N, v) jest n-osobową grą prostą, a V (v) ⊆ N zbiorem graczy zprawem weta w tej grze, to
C(v) = {(x1, x2, . . . xn) : x1, . . . xn 0,n∑
i=1
xi = 1 oraz
∀j 6∈V (v) xj = 0} jeżeli V (v) 6= ∅ ,
C(v) = ∅ jeżeli V (v) = ∅ .
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Szczególna klasa: gry proste
Definicja (Gra prosta)
to gra (N, v) spełniająca
∀T v(T ) ∈ {0, 1} , U ⊃ T ⇒ v(U) v(T ) , v(N) = 1 .
W takich grach koalicja S jest wygrywająca jeżeli v(S) = 1 , aprzegrywająca jeżeli v(S) = 0 .
Uwaga (Rdzeń gry prostej)
Jeżeli (N, v) jest n-osobową grą prostą, a V (v) ⊆ N zbiorem graczy zprawem weta w tej grze, to
C(v) = {(x1, x2, . . . xn) : x1, . . . xn 0,n∑
i=1
xi = 1 oraz
∀j 6∈V (v) xj = 0} jeżeli V (v) 6= ∅ ,
C(v) = ∅ jeżeli V (v) = ∅ .
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry proste: ważona większość i indeksy siły
Definicja (Gra ważonej większości)
w = [λ1 , λ2 , . . . , λn ;µ] ; w(S) =
{1 gdy
∑i∈S λi µ ,
0 gdy∑
i∈S λi < µ .
(λ1 , λ2 , . . . , λn – wagi graczy, µ – próg większości).
Uwaga (Gry proste w naukach politycznych)
Gdy gracze są uczestnikami gremium mającego wspólnie podjąć decyzję,
gra prosta opisuje reguły jej podejmowania – które koalicje mogą zgodniezadecydować bez względu na zdanie innych graczy,a wartość tej gry, np. wartość Shapleya, jest indeksem siły – miarą siłygraczy w zgromadzeniu decyzyjnym.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry proste: ważona większość i indeksy siły
Definicja (Gra ważonej większości)
w = [λ1 , λ2 , . . . , λn ;µ] ; w(S) =
{1 gdy
∑i∈S λi µ ,
0 gdy∑
i∈S λi < µ .
(λ1 , λ2 , . . . , λn – wagi graczy, µ – próg większości).
Uwaga
Istnieją gry proste ( 5−osobowe) nie będące grami ważonejwiększości.
Ale każda gra prosta jest przecięciem (iloczynem) takich gier.
Ilu co najmniej ?
Uwaga (Gry proste w naukach politycznych)
Gdy gracze są uczestnikami gremium mającego wspólnie podjąć decyzję,
gra prosta opisuje reguły jej podejmowania – które koalicje mogą zgodniezadecydować bez względu na zdanie innych graczy,a wartość tej gry, np. wartość Shapleya, jest indeksem siły – miarą siłygraczy w zgromadzeniu decyzyjnym.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry proste: ważona większość i indeksy siły
Definicja (Gra ważonej większości)
w = [λ1 , λ2 , . . . , λn ;µ] ; w(S) =
{1 gdy
∑i∈S λi µ ,
0 gdy∑
i∈S λi < µ .
(λ1 , λ2 , . . . , λn – wagi graczy, µ – próg większości).
Uwaga
Istnieją gry proste ( 5−osobowe) nie będące grami ważonejwiększości.
Ale każda gra prosta jest przecięciem (iloczynem) takich gier.
Ilu co najmniej ?
Uwaga (Gry proste w naukach politycznych)
Gdy gracze są uczestnikami gremium mającego wspólnie podjąć decyzję,
gra prosta opisuje reguły jej podejmowania – które koalicje mogą zgodniezadecydować bez względu na zdanie innych graczy,a wartość tej gry, np. wartość Shapleya, jest indeksem siły – miarą siłygraczy w zgromadzeniu decyzyjnym.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry proste: ważona większość i indeksy siły
Definicja (Gra ważonej większości)
w = [λ1 , λ2 , . . . , λn ;µ] ; w(S) =
{1 gdy
∑i∈S λi µ ,
0 gdy∑
i∈S λi < µ .
(λ1 , λ2 , . . . , λn – wagi graczy, µ – próg większości).
Uwaga
Istnieją gry proste ( 5−osobowe) nie będące grami ważonejwiększości.
Ale każda gra prosta jest przecięciem (iloczynem) takich gier.
Ilu co najmniej ?
Uwaga (Gry proste w naukach politycznych)
Gdy gracze są uczestnikami gremium mającego wspólnie podjąć decyzję,
gra prosta opisuje reguły jej podejmowania – które koalicje mogą zgodniezadecydować bez względu na zdanie innych graczy,a wartość tej gry, np. wartość Shapleya, jest indeksem siły – miarą siłygraczy w zgromadzeniu decyzyjnym.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry proste: ważona większość i indeksy siły
Definicja (Gra ważonej większości)
w = [λ1 , λ2 , . . . , λn ;µ] ; w(S) =
{1 gdy
∑i∈S λi µ ,
0 gdy∑
i∈S λi < µ .
(λ1 , λ2 , . . . , λn – wagi graczy, µ – próg większości).
Uwaga (Gry proste w naukach politycznych)
Gdy gracze są uczestnikami gremium mającego wspólnie podjąć decyzję,
gra prosta opisuje reguły jej podejmowania – które koalicje mogą zgodniezadecydować bez względu na zdanie innych graczy,a wartość tej gry, np. wartość Shapleya, jest indeksem siły – miarą siłygraczy w zgromadzeniu decyzyjnym.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry proste: ważona większość i indeksy siły
Definicja (Gra ważonej większości)
w = [λ1 , λ2 , . . . , λn ;µ] ; w(S) =
{1 gdy
∑i∈S λi µ ,
0 gdy∑
i∈S λi < µ .
(λ1 , λ2 , . . . , λn – wagi graczy, µ – próg większości).
Uwaga (Gry proste w naukach politycznych)
Gdy gracze są uczestnikami gremium mającego wspólnie podjąć decyzję,gra prosta opisuje reguły jej podejmowania – które koalicje mogą zgodniezadecydować bez względu na zdanie innych graczy,
a wartość tej gry, np. wartość Shapleya, jest indeksem siły – miarą siłygraczy w zgromadzeniu decyzyjnym.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Gry proste: ważona większość i indeksy siły
Definicja (Gra ważonej większości)
w = [λ1 , λ2 , . . . , λn ;µ] ; w(S) =
{1 gdy
∑i∈S λi µ ,
0 gdy∑
i∈S λi < µ .
(λ1 , λ2 , . . . , λn – wagi graczy, µ – próg większości).
Uwaga (Gry proste w naukach politycznych)
Gdy gracze są uczestnikami gremium mającego wspólnie podjąć decyzję,gra prosta opisuje reguły jej podejmowania – które koalicje mogą zgodniezadecydować bez względu na zdanie innych graczy,a wartość tej gry, np. wartość Shapleya, jest indeksem siły – miarą siłygraczy w zgromadzeniu decyzyjnym.
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Spójność wartości – podział masy upadłościowej
Przykład (Bankructwo i problem podziału masy upadłościowej)
N – zbiór wierzycieli, di – wierzytelność gracza i ,E – masa upadłościowa, E < D :=
∑i∈N di .
To wyznacza dwie gry: v(T ) = (E −∑
j 6∈T dj)+
– to co zostałoby koalicji T po spłaceniu reszty graczy,w(T ) = min(E ,
∑j∈T dj)
– to ile T może wyrwać dla siebie w systemie ”kto pierwszy ten lepszy”.Metody podziału masu upadłościowej:
1 proporcjonalna : xi =diD· E
2 ”constrained equal award” (CEA) : xi = min(di , c)gdzie c - jedyna taka liczba że
∑j∈N
min(dj , c) = E
3 ”talmudyczna” – nukleolus gry v
4 wartość Shapleya: φ(v) = φ(w).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Spójność wartości – podział masy upadłościowej
Przykład (Bankructwo i problem podziału masy upadłościowej)
N – zbiór wierzycieli, di – wierzytelność gracza i ,E – masa upadłościowa, E < D :=
∑i∈N di .
To wyznacza dwie gry: v(T ) = (E −∑
j 6∈T dj)+
– to co zostałoby koalicji T po spłaceniu reszty graczy,w(T ) = min(E ,
∑j∈T dj)
– to ile T może wyrwać dla siebie w systemie ”kto pierwszy ten lepszy”.
Metody podziału masu upadłościowej:
1 proporcjonalna : xi =diD· E
2 ”constrained equal award” (CEA) : xi = min(di , c)gdzie c - jedyna taka liczba że
∑j∈N
min(dj , c) = E
3 ”talmudyczna” – nukleolus gry v
4 wartość Shapleya: φ(v) = φ(w).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Spójność wartości – podział masy upadłościowej
Przykład (Bankructwo i problem podziału masy upadłościowej)
N – zbiór wierzycieli, di – wierzytelność gracza i ,E – masa upadłościowa, E < D :=
∑i∈N di .
To wyznacza dwie gry: v(T ) = (E −∑
j 6∈T dj)+
– to co zostałoby koalicji T po spłaceniu reszty graczy,w(T ) = min(E ,
∑j∈T dj)
– to ile T może wyrwać dla siebie w systemie ”kto pierwszy ten lepszy”.Metody podziału masu upadłościowej:
1 proporcjonalna : xi =diD· E
2 ”constrained equal award” (CEA) : xi = min(di , c)gdzie c - jedyna taka liczba że
∑j∈N
min(dj , c) = E
3 ”talmudyczna” – nukleolus gry v
4 wartość Shapleya: φ(v) = φ(w).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Spójność wartości – podział masy upadłościowej
Przykład (Bankructwo i problem podziału masy upadłościowej)
N – zbiór wierzycieli, di – wierzytelność gracza i ,E – masa upadłościowa, E < D :=
∑i∈N di .
To wyznacza dwie gry: v(T ) = (E −∑
j 6∈T dj)+
– to co zostałoby koalicji T po spłaceniu reszty graczy,w(T ) = min(E ,
∑j∈T dj)
– to ile T może wyrwać dla siebie w systemie ”kto pierwszy ten lepszy”.Metody podziału masu upadłościowej:
1 proporcjonalna : xi =diD· E
2 ”constrained equal award” (CEA) : xi = min(di , c)gdzie c - jedyna taka liczba że
∑j∈N
min(dj , c) = E
3 ”talmudyczna” – nukleolus gry v
4 wartość Shapleya: φ(v) = φ(w).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Spójność wartości – podział masy upadłościowej
Przykład (Bankructwo i problem podziału masy upadłościowej)
N – zbiór wierzycieli, di – wierzytelność gracza i ,E – masa upadłościowa, E < D :=
∑i∈N di .
To wyznacza dwie gry: v(T ) = (E −∑
j 6∈T dj)+
– to co zostałoby koalicji T po spłaceniu reszty graczy,w(T ) = min(E ,
∑j∈T dj)
– to ile T może wyrwać dla siebie w systemie ”kto pierwszy ten lepszy”.Metody podziału masu upadłościowej:
1 proporcjonalna : xi =diD· E
2 ”constrained equal award” (CEA) : xi = min(di , c)gdzie c - jedyna taka liczba że
∑j∈N
min(dj , c) = E
3 ”talmudyczna” – nukleolus gry v
4 wartość Shapleya: φ(v) = φ(w).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Spójność wartości cd.
Twierdzenie (Aumann i Maschler 1985)
Dla problemów bankructwa metoda talmudyczna t jest jedyną równąrozwiązaniu standardowemu dla problemów dwuosobowych oraz spójną wnastępującym sensie:
∀j ,k∈N tj(d ,E ) = tj(d−k ,E − tk(d ,E )) .
Uwaga
Rozwiązania spójne w tym sensie to te, które dają się uzyskać na drodzeracjonowania hydraulicznego (Kamiński 2000).
Definicja (Spójność wartości – ogólna)
Wartość ψ jest spójna ze wzgledu na redukcję gry R jeżeli dla dowolnejgry (N, v), koalicji S i gracza j ∈ S zachodzi równośćψj(R|S(v , ψ)) = ψj(v).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Spójność wartości cd.
Twierdzenie (Aumann i Maschler 1985)
Dla problemów bankructwa metoda talmudyczna t jest jedyną równąrozwiązaniu standardowemu dla problemów dwuosobowych oraz spójną wnastępującym sensie:
∀j ,k∈N tj(d ,E ) = tj(d−k ,E − tk(d ,E )) .
Uwaga
(Spójne są także metoda proporcjonalna oraz CEA)
Rozwiązania spójne w tym sensie to te, które dają się uzyskać na drodzeracjonowania hydraulicznego (Kamiński 2000).
Definicja (Spójność wartości – ogólna)
Wartość ψ jest spójna ze wzgledu na redukcję gry R jeżeli dla dowolnejgry (N, v), koalicji S i gracza j ∈ S zachodzi równośćψj(R|S(v , ψ)) = ψj(v).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Spójność wartości cd.
Twierdzenie (Aumann i Maschler 1985)
Dla problemów bankructwa metoda talmudyczna t jest jedyną równąrozwiązaniu standardowemu dla problemów dwuosobowych oraz spójną wnastępującym sensie:
∀j ,k∈N tj(d ,E ) = tj(d−k ,E − tk(d ,E )) .
Uwaga
(Spójne są także metoda proporcjonalna oraz CEA)Rozwiązania spójne w tym sensie to te, które dają się uzyskać na drodzeracjonowania hydraulicznego (Kamiński 2000).
Definicja (Spójność wartości – ogólna)
Wartość ψ jest spójna ze wzgledu na redukcję gry R jeżeli dla dowolnejgry (N, v), koalicji S i gracza j ∈ S zachodzi równośćψj(R|S(v , ψ)) = ψj(v).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
Spójność wartości cd.
Twierdzenie (Aumann i Maschler 1985)
Dla problemów bankructwa metoda talmudyczna t jest jedyną równąrozwiązaniu standardowemu dla problemów dwuosobowych oraz spójną wnastępującym sensie:
∀j ,k∈N tj(d ,E ) = tj(d−k ,E − tk(d ,E )) .
Uwaga
Rozwiązania spójne w tym sensie to te, które dają się uzyskać na drodzeracjonowania hydraulicznego (Kamiński 2000).
Definicja (Spójność wartości – ogólna)
Wartość ψ jest spójna ze wzgledu na redukcję gry R jeżeli dla dowolnejgry (N, v), koalicji S i gracza j ∈ S zachodzi równośćψj(R|S(v , ψ)) = ψj(v).
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
I dalej...
Inne wartości gier, własności i związki między nimi
Rozwiązania – multifunkcje alternatywne wobec rdzenia
Właściwości wartości gry ze względu na usuwanie / dodawaniegraczy
Właściwości wartości gry ze względu na łączenie graczy lub inneporozumienia między nimi
Implementacja: wartość gry jako wektor wypłat w równowadzepewnej gry niekooperacyjnej
Gry bez wypłat ubocznych
. . .
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
I dalej...
Inne wartości gier, własności i związki między nimi
Rozwiązania – multifunkcje alternatywne wobec rdzenia
Właściwości wartości gry ze względu na usuwanie / dodawaniegraczy
Właściwości wartości gry ze względu na łączenie graczy lub inneporozumienia między nimi
Implementacja: wartość gry jako wektor wypłat w równowadzepewnej gry niekooperacyjnej
Gry bez wypłat ubocznych
. . .
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
I dalej...
Inne wartości gier, własności i związki między nimi
Rozwiązania – multifunkcje alternatywne wobec rdzenia
Właściwości wartości gry ze względu na usuwanie / dodawaniegraczy
Właściwości wartości gry ze względu na łączenie graczy lub inneporozumienia między nimi
Implementacja: wartość gry jako wektor wypłat w równowadzepewnej gry niekooperacyjnej
Gry bez wypłat ubocznych
. . .
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
I dalej...
Inne wartości gier, własności i związki między nimi
Rozwiązania – multifunkcje alternatywne wobec rdzenia
Właściwości wartości gry ze względu na usuwanie / dodawaniegraczy
Właściwości wartości gry ze względu na łączenie graczy lub inneporozumienia między nimi
Implementacja: wartość gry jako wektor wypłat w równowadzepewnej gry niekooperacyjnej
Gry bez wypłat ubocznych
. . .
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
I dalej...
Inne wartości gier, własności i związki między nimi
Rozwiązania – multifunkcje alternatywne wobec rdzenia
Właściwości wartości gry ze względu na usuwanie / dodawaniegraczy
Właściwości wartości gry ze względu na łączenie graczy lub inneporozumienia między nimi
Implementacja: wartość gry jako wektor wypłat w równowadzepewnej gry niekooperacyjnej
Gry bez wypłat ubocznych
. . .
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
I dalej...
Inne wartości gier, własności i związki między nimi
Rozwiązania – multifunkcje alternatywne wobec rdzenia
Właściwości wartości gry ze względu na usuwanie / dodawaniegraczy
Właściwości wartości gry ze względu na łączenie graczy lub inneporozumienia między nimi
Implementacja: wartość gry jako wektor wypłat w równowadzepewnej gry niekooperacyjnej
Gry bez wypłat ubocznych
. . .
Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej
I dalej...
Inne wartości gier, własności i związki między nimi
Rozwiązania – multifunkcje alternatywne wobec rdzenia
Właściwości wartości gry ze względu na usuwanie / dodawaniegraczy
Właściwości wartości gry ze względu na łączenie graczy lub inneporozumienia między nimi
Implementacja: wartość gry jako wektor wypłat w równowadzepewnej gry niekooperacyjnej
Gry bez wypłat ubocznych
. . .