Facultad de Ciencias Exactas, Fısicas y Naturales

Universidad Nacional de Cordoba

Guıa de Trabajos Practicosde Analisis Matematico II

1

Indice general

Capıtulo 1. Funciones de Varias Variables 41. Topologıa 42. Dominio, graficas y curvas de nivel 63. Ejercicios Adicionales 74. Ejercicios de Aplicacion 85. Autoevaluacion 8

Capıtulo 2. Lımites y Continuidad 91. Lımites 92. Continuidad 113. Ejercicios Adicionales 124. Autoevaluacion 13

Capıtulo 3. Derivadas parciales y la diferencial 141. Derivadas Parciales 142. La diferencial 173. Funcion Compuesta - Regla de la Cadena 204. Extremos Libres y Ligados 225. Ejercicios Adicionales 236. Ejercicios de Aplicacion 247. Autoevaluacion 25

Capıtulo 4. Integrales Multiples 271. Curvas y Superficies 272. Integrales Dobles 283. Integrales Triples 304. Ejercicios Adicionales 325. Ejercicios de Aplicacion 326. Autoevaluacion 34

Capıtulo 5. Curvas - Integral de Lınea 35

Capıtulo 6. Superficies 37

Bibliografıa 37

2

Cronograma Tentativo de Actividades 2014

Primer Semestre: Comienza 10 de Marzo y finaliza 27 de Junio

Semana Tema Fecha

1 Topologıa, Lımite, Continuidad 10 de marzo

2 Derivadas parciales y direccionales. La diferencial 17 de marzo

3 Derivadas parciales y direccionales. La diferencial 24 de marzo

4 Extremos libres y ligados. Integral mltiple 31 de marzo

5 Extremos libres y ligados. Integral mltiple 7 de abril

6 Primer Parcial 14 de abril

7 Extremos libres y ligados. Integral mltiple 21 de abril

8 Integral de Lınea e Integral de Superficie 28 de abril

9 Integral de Lınea e Integral de Superficie 5 de mayo

10 Segundo Parcial 12 de mayo

11 Teorıa de Campos Vectoriales 19 de mayo

12 Teorıa de Campos Vectoriales 26 de mayo

13 Ecuaciones Diferenciales 2 de junio

14 Tercer Parcial 9 de junio

15 Ecuaciones Diferenciales 16 de junio

16 Recuperatorio 23 de junio

3

Capıtulo 1

Funciones de Varias Variables

1. Topologıa

Sean p ∈ Rn y r ∈ R, r > 0.

Llamaremos Entorno al conjunto de puntos de Rn cuya distancia a p es menor que r, o sea,

Br(p) = x ∈ Rn/d(x, p) < r

Llamaremos Entorno Reducido al conjunto de puntos de Rn cuya distancia a p es menor quer excluyendo al punto p, o sea,

Br(p)− p = x ∈ Rn/0 < d(x, p) < r

Ejercicios

1. Obtenga Br(p) y Br(p)− p en los siguientes casos. Interprete geometricamente.

a) En R, p = 2, r = 12

b) En R2, p = (0, 2), r = 12

c) En R3, p = (0, 2, 1), r = 12

Sean A ⊂ Rn y p ∈ Rn. Se dice que:

p es Punto Interior de A si existe un entorno de p contenido en A. O sea, si∃r > 0/Br(p) ⊂ A.

p es un Punto Lımite o Punto de Acumulacion de A si a todo entorno reducido dep le pertenecen puntos de A. O sea, ∀r > 0(Br(p)− p) ∩ A 6= ∅.p es Punto Frontera de A si a todo entorno de p le pertenecen puntos de A y delcomplemento de A (denotado Ac). O sea si ∀r > 0, Br(p) ∩ A 6= ∅ y Br(p) ∩ Ac 6= ∅.p es Punto Aislado de A si p ∈ A y existe un entorno reducido de p incluıdo en Ac. Osea ∃r > 0/Br(p)− p ⊂ Ac.

p es Punto Exterior de A si existe un entorno de p contenido en Ac. O sea, si∃r > 0/Br(p) ⊂ Ac.

4

Ejercicios

1. Para cada uno de los siguientes conjuntos, caracterice los puntos de R2 diciendo si sonpuntos interiores, exteriores, de acumulacion, frontera o aislados.a) A = (x, y) ∈ R2 : 3 ≤ x ≤ 5b) B = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 2 ∪ (0, 2), (−1, 3)c) C = (x, y) ∈ R2 : x+ y ≤ 2d) D = (x, y) ∈ R2 : 1 < x < 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 2

2. Para cada uno de los siguientes conjuntos, caracterice los puntos de R.

a) A = x ∈ R : |x| < 2b) B = x ∈ R : −1 < x < 3

2

c) C = x ∈ R : |x− 2| < 1 ∪ 53. Para cada uno de los siguientes conjuntos, caracterice los puntos de R3

a) A = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 < 1 ∪ (0, 2, 0)b) B = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 9

4. Dado el conjunto A = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + 4y2 + z2

9< 1, caracterice los siguientes

puntos:

a) p1 = (0, 0, 2)b) p2 = (1, 0, 0)c) p3 = (0, 0, 7

2)

Sea A ⊂ Rn, se dice que:

A es un conjunto Abierto si todo punto de A es un punto interior de A.

A es un conjunto Cerrado si todos los puntos frontera de A pertenecen a A.

Ejercicios

1. Decida si los siguientes conjuntos son abiertos, cerrados, ambas o ninguna de las doscosas.a) A = (x, y) ∈ R2 : ||(x, y)− (0, 1)|| ≤ 1b) B = (x, y) ∈ R2 : 4x2 + 9y2 = 36c) C = (x, y) ∈ R2 : (x, y) 6= (2, 1)d) D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 2e) E = (x, y) ∈ R2 : y ≤ 2x+ 1f ) F = (x, y, z) ∈ R3 : z < x+ y

5

2. Dominio, graficas y curvas de nivel

Ejercicios

1. Determine el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = 2x3 + y2 − xyb) f(x, y) = 3x−y

2y−4x

c) f(x, y) = x2 ln(y − 2x)

d) f(x, y) = sin−1(x+ y)

e) f(x, y) =√

4x2 + 9y2 − 36

f ) f(x, y) = 3√xy

g) f(x, y) = xyx2−y2

h) f(x, y) =√

3x+ 3y + ln(sin y)

Resolucion: La expresion√

3x+ 3y + ln(sin y) tiene sentido siempre que la canti-dad debajo de la raız sea no negativa y el argumento de ln sea positivo.Es decir,

3x+ 3y ≥ 0 y sin y > 0

Esto sucede cuando y ≥ −x e y ∈ (2kπ, (2k + 1)π) con k ∈ N. O sea,

Df = (x, y) ∈ R2 : y ≥ −x ∧ y ∈ (2kπ, (2k + 1)π), k ∈ N

2. Esboce la grafica de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = sinx

b) f(x, y) = y2

c) f(x, y) =√

16− x2 − 16y2

d) f(x, y) = sin(x2 + y2)

e) f(x, y) = 4− x2 − y2

f ) f(x, y) = y2 − x2

g) f(x, y) = 1x2+y2

h) f(x, y) = 6− x− 3y

Sea f : Rn → Rm una funcion, un conjunto de nivel es el conjunto de puntos x ∈ Rn tal que

su imagen por f es un punto fijo y0 ∈ Rm, es decir

x ∈ Rn : x ∈ Df ∧ f(x) = y0

Ejercicios

1. Esquematice las curvas de nivel de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = x− yb) f(x, y) = x2 + 2y2

c) f(x, y) = xy

d) f(x, y) = x2 − y2

e) f(x, y) = sin(x2 + y2)

f ) f(x, y) = x2

y

Resolucion: Calculemos las curvas de nivel para k = −2, 0, 1/2. Debemos calcularlos conjuntos de puntos (x, y) tales que y 6= 0 y f(x, y) = k. Es decir, x2/y = k, o

6

bienky = x2

Estas son parabolas con vertice en (0, 0) sin dicho vertice, excepto el caso k = 0. Enefecto,

k = −2 tenemos la parabola y = −12x2 sin el vertice.

k = 0 tenemos 0 = x2, es decir la recta x = 0.k = 1/2 tenemos la parabola y = 2x2 sin el vertice.

Una funcion f : Rn → Rm puede definir un conjunto S de diferentes maneras

Explıcitamente, si S es el grafo de f , es decir

S = (x, f(x)) ∈ Rn+m : x ∈ dom(f))Parametricamente, si S es la imagen de f , o sea

S = y ∈ Rm : y = f(x) para algun x ∈ dom(f))Implıcitamente, si S es un conjunto de nivel de f , es decir

S = x ∈ Rn : f(x) = y0 para algun y0 ∈ Rm

Ejercicios

1. Identifique el conjunto S ∈ R2 definidoa) explıcitamente por f(x) = x2

b) parametricamente por f(x) = (cos x, sinx)c) implıcitamente por f(x, y) = x+ y = 3

2. Identifique el conjunto S ∈ R3 definidoa) explıcitamente por f(x, y) = x2 + y2

b) parametricamente por f(x) = (cos x, sinx, x)c) parametricamente por f(x, y) = (x cos y, x sin y, x2)

3. Ejercicios Adicionales

1. Determine el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = 3x−y3x2+(y−1)2

b) f(x, y) = x2 ln(3y + 6x− 3)

c) f(x, y) =√

18− 3x2 − 4y2

d) f(x, y) = 3√x+ 3y2

2. Esboce la grafica de las siguientes funciones:

a) f(x, y) =√

1 + x2 + y2

b) f(x, y) = x2c) f(x, y) =

√1− x2 + y2

d) f(x, y) =√

1− 2x2

7

3. Esquematice las curvas de nivel de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = x− y2

b) f(x, y) = y − cosx

c) f(x, y) = xy

d) f(x, y) = x2 + 9y2

4. Identifique el conjunto S ∈ R2 definidoa) explıcitamente por f(x) = −2

√1− 9x2

b) parametricamente por f(x) = (3 cosx, 2 sinx)c) implıcitamente por f(x, y) = x2 + 4y2 = 9

4. Ejercicios de Aplicacion

1. Una placa delgada de metal, localizada en el plano xy, tiene una temperatura T (x, y) enel punto (x, y). Las curvas de nivel de T se llaman isotermicas debido a que en todos lospuntos sobre una isotermica, la temperatura es la misma. Dibuje algunas isotermicas sila funcion temperatura esta dada por

T (x, y) =100

1 + x2 + 2y2

2. Si V (x, y) es el potencial electrico en un punto (x, y) del plano xy, entonces las curvas denivel de V se llaman curvas equipontenciales, ya que el potencial electrico de todos lospuntos sobre dicha curva es el mismo. Dibuje algunas curvas equipotenciales si V (x, y) =

c/√r2 − x2 − y2, donde c es una constante positiva.

5. Autoevaluacion

1. Defina punto lımite, frontera, aislado e interior.2. Un punto puede ser lımite y frontera al mismo tiempo? o lımite y aislado? o frontera y

aislado?3. Defina conjunto abierto y cerrado. De un subconjunto de R2 que no sea ni abierto ni

cerrado.4. Como se puede definir un conjunto S explıcitamente? o para metricamente? o implıci-

tamente?5. Sea S ⊂ R3, determine las dimensiones de n y m tal que la funcion f : Rn → Rm defina

a S parametricamente o explıcitamente o implıcitamente.6. Siempre un conjunto S puede definirse de las tres formas?7. Sea S una esfera centrada en el origen de radio 1, puede definirse explıcitamente?8. Defina conjunto de nivel.

8

Capıtulo 2

Lımites y Continuidad

1. Lımites

Sean f : Rn → Rm una funcion, x0 un punto de acumulacion del dom(f) y L un punto de Rm.

Diremos que existelımx→x0

f(x) = L

sii dado un entorno cualquiera B(L, ε) con centro en L, existe un entorno reducidoB(x0, δ)− x0 de centro x0 tal que si x ∈ (B(x0, δ)− x0) ∩ domf entonces f(x) ∈ B(L, ε)Es decir,

lımx→x0

f(x) = L sii ∀ε > 0∃δ > 0/x ∈ (B(x0, δ)− x0) ∩ domf =⇒ f(x) ∈ B(L, ε)

Ejercicios

1. Calcule los siguientes lımites. Si no existen, explique por que.

a) lım(x,y)→(0,0)

x− yx2 + y2

b) lım(x,y)→(0,0)

8x2y2

x4 + y4

c) lım(x,y)→(0,0)

2xy

x2 + 2y2

d) lım(x,y)→(0,0)

(x+ y)2

x2 + y2

e) lım(x,y)→(−2,1)

x2 + xy + y2

x2 − y2f ) lım

(x,y)→(1,2)xy + y2

g) lım(x,y)→(0,0)

x2 + y2

y

h) lım(x,y)→(0,0)

y3

x2 + y2

Resolucion: Calculemos primero los lımites iterados

lımx→0

lımy→0

y3

x2 + y2= lım

x→0

0

x2= 0

Mientras que

lımy→0

lımx→0

y3

x2 + y2= lım

x→0

y3

y2= lım

x→0y = 0

9

La existencia de estos lımites no nos asegura que el lımite exista. Probemos ahoraaproximandonos al (0, 0) por las rectas y = mx,

lımx→0

(mx)3

x2 + (mx)2= lım

x→0

m3x3

x2(1 +m2)= lım

x→0

m3x

1 +m2= 0

Otro camino para calcular el lımite es hacer el siguiente cambio de coordenadas

x = r cos(θ)y = r sin(θ)

Si (x, y)→ (0, 0) entonces r → 0, luego

lım(x,y)→(0,0)

y3

x2 + y2= lım

r→0

r3 sin3(θ)

r2 cos2(θ) + r2 sin2(θ)= lım

r→0

r3 sin3(θ)

r2= lım

r→0r sin3(θ) = 0

Este ultimo lımite es cero ya que | sin3(θ)| ≤ 1 para cualquier valor del angulo θ.Nuestro candidato a lımite es L = 0. En efecto, ya que y2 ≤ x2 + y2, tenemos que

0 ≤ |y3|x2 + y2

=|y|y2

x2 + y2≤ |y|(x

2 + y2)

x2 + y2= |y|

Es decir

0 ≤ |y3|x2 + y2

≤ |y|

Tomando lımite en dicha desigualdad, ya que los extremos tienen lımite igual a cero,

se cumple que lım(x,y)→(0,0)

y3

x2 + y2= 0.

2. Calcule los lımites de las siguientes funciones vectoriales

a) lım(x,y)→(0,0)

(xy√x2 + y2

,y2√x2 + y2

)

b) lım(x,y)→(0,1)

(xy3

x2 + y2, 2x+ 1

)c) lım

(x,y)→(3,2)(sin(xy), tan( y

x))

10

2. Continuidad

Sean f : Rn → Rm una funcion y x0 un punto de acumulacion del dom(f), x0 ∈ domfDiremos que f es continua en x0 sii dado un entorno cualquiera B(f(x0), ε) con centro enf(x0), existe un entorno B(x0, δ) de centro x0 tal que si x ∈ B(x0, δ) ∩ domf entonces f(x) ∈B(f(x0), ε)Es decir,

f es continua en x0 sii ∀ε > 0∃δ > 0/x ∈ B(x0, δ) ∩ domf =⇒ f(x) ∈ B(f(x0), ε)

Nota: Si x0 es un punto aislado del domf , la condicion anterior se cumple trivialmente; luegof es continua en todo punto aislado del dominio.

Ejercicios

1. Indique en que puntos las siguientes funciones NO son continuas.

a) f(x, y) =2xy

x− y

b) f(x, y) =x2 + y2 + 1

x2 + y2 − 1

c) f(x, y) =x6 + x3y3 + y6

x3 + y3

d) f(x, y) = sin−1(x2 + y2)

e) f(x, y) =

2x2 − y2

2x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

f ) f(x, y) =

xy√x2 + y2

si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

g) f(x, y) =

(

x2y

x2 + y2,− 3x2y

x2 + y2

)si (x, y) 6= (0, 0)

(0, 0) si (x, y) = (0, 0)

h) f(x, y, z) = ln

(x+ y

x+ z

)Resolucion: Recordemos que la funcion logaritmo es continua en su dominio, es

decir en aquellos puntos (x, y, z) tales quex+ y

x+ z> 0. Esto sucede si x + y y x + z

tienen igual signo. O sea si x > −y y x > −z o si x < −y y x < −z.

2. Dada la funcion f(x, y) =x2 + y2 − x3y3

x2 + y2, con (x, y) 6= (0, 0). Defina f(0, 0) de manera

que f sea continua en todo punto de R2.

11

3. Estudie la continuidad de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = tan(xy)

b) f(x, y, z) =1

x2 + y2 + z2

c) f(x, y) = exy sin(x+ y)

d) f(x, y) = 3x2 + 2y − sin(xy)

e) f(x, y) =

xy2

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0) ∧ (x, y) 6= (1, 1)

1 si (x, y) = (0, 0)

1/4 si (x, y) = (1, 1)

f ) f(x, y) =

xy

x2 + y2si |x| ≥ 1

2/5 si (x, y) = (12, 0)

3. Ejercicios Adicionales

1. Calcule los siguientes lımites.

a) lım(x,y)→(1,2)

2x2 − xy4x2 − y2

b) lım(x,y)→(0,0)

x2y2

x2 + y4

c) lım(x,y,z)→(0,0,0)

xyz2

x2 + y2 + z2

d) lım(x,y)→(0,1)

x(y − 1)2√x2 + (y − 1)2

e) lım(x,y)→(0,0)

sin

(xy2√x2 + y2

)

2. Defina la funcion f(x, y) =x3 − y3

x− y(x 6= y) a lo largo de la recta x = y de manera que

la funcion resultante sea continua en todo punto.

3. Estudie la continuidad de las siguientes funciones:

a) f(x, y) =

x4y5

(x2 + y2)2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

12

b) f(x, y) =

x2 − y2

x− ysi x 6= y

x− y si x = y

c) f(x, y) = 3x2 + 2y − sin(xy)

4. Autoevaluacion

1. Cuando una funcion f : Rn → Rm es continua en un punto? Por que se exige que x0 seaun punto de acumulacion? Que ocurre si x0 es un punto aislado?

2. Defina lımite de una funcion para x→ x0.

3. Si el lımite existe, es unico?

4. Sea D ⊂ R4 un conjunto finito de puntos. Sea f : D → R2 una funcion, es f continuaen D?

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Capıtulo 3

Derivadas parciales y la diferencial

1. Derivadas Parciales

Sean f : R2 → R una funcion y (a,b) un punto interior del dom(f),

Diremos que f tiene derivada parcial con respecto a x en (a,b) si existe el siguiente lımite

∂f

∂x(a, b) = lım

h→0

f(a+ h, b)− f(a, b)

h

Similarmente, diremos que f tiene derivada parcial con respecto a y en (a,b) si existe elsiguiente lımite

∂f

∂y(a, b) = lım

h→0

f(a, b+ h)− f(a, b)

h

Si z = f(x, y), otras notaciones para las derivadas parciales son

∂f

∂x= fx = f1 =

∂z

∂x∂f

∂y= fy = f2 =

∂z

∂yLlamaremos Gradiente de f al siguiente vector

∇f(x0) = (fx(x0), fy(x0))

Ejercicios

1. Calcule las derivadas parciales de f , g y k en el punto (0, 0) usando la definicion.

f(x, y) =

2x3 − y3

x2 + 3y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

g(x, y) =

y4

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

k(x, y) =

xy

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

14

Resolucion: Debemos calcular el siguiente lımite

∂k

∂x(0, 0) = lım

h→0

k(0 + h, 0)− k(0, 0)

h

Reemplazando con los valores de la funcion, tenemos que

∂k

∂x(0, 0) = lım

h→0

(0+h)0h2+02

− 0

h= lım

h→0

0

h= lım

h→00 = 0

De una manera similar se calcula la derivada respecto de y.

2. Calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones y evaluelas en el punto indi-cado.

a) f(x, y) = 2x− 3y en (3, 2)

b) f(x, y) = sin(x− y) en (3, 3)

c) f(x, y, z) =√x2 + y2 + z2 en (0, 1, 2)

d) f(x, y) =x− yx+ y

en (1, 2)

3. Calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones.

a) f(x, y) = xy ln(x+ y)

b) f(s, t) =s√

s2 + t2

c) z = arctan(y/x)

d) f(x, y) = xy

4. Muestre que las siguientes funciones satisfacen la ecuacion diferencial dada.

a) z = xey, x∂z

∂x=∂z

∂y

b) z =x+ y

x− y, x

∂z

∂x+ y

∂z

∂y= 0

c) z =√x2 + y2, x

∂z

∂x+ y

∂z

∂y= z

d) u = e−a2k2t sin kx, ut = a2uxx.

e) u = 1/√x2 + y2 + z2, uxx + uyy + uzz

15

Sean f : Rn → Rm una funcion vectorial y x0 un punto interior de dom(f).

Si f(x) = (f1(x), . . . , fm(x)) entonces

∂f

∂xi(x0) =

(∂f1∂xi

(x0), . . . ,∂fm∂xi

(x0)

)Ejercicios

1. Encuentre las derivadas parciales de las siguientes funciones vectoriales y evaluelas enlos puntos indicados.

a) f(x, y) = (x2y, xy, yx) en (2, 3)

b) f(x, y, z) = (tan(xz), ex2y, z cot(3y)) en (2, π, π/2)

2. Encuentre las derivadas parciales de las siguientes funciones vectoriales.

a) f(x, y, u, v) = (3xu− v2, 5y4uv)

b) f(u, v) = (u cos v, u sin v)

c) f(r, u, v) = (r cosu sin v, r sinu sin v, rcosv)

Sean f : R2 → R una funcion y (a, b) un punto interior de dom(f).

Una ecuacion del plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el puntoP = (a, b, c = f(a, b)) es

z − c = fx(a, b)(x− a) + fy(a, b)(y − b)

Mientras que un vector normal al plano es N = (fx(a, b), fy(a, b),−1). Luego la ecuacionvectorial de la recta normal a la superficie en el punto P es

(x, y, z) = (a, b, c) + t(fx(a, b), fy(a, b),−1)

Ejercicios

1. Encuentre las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal al grafico de las si-guientes funciones en el punto dado.

a) f(x, y) = x2 + y2 en (−2, 1)

b) f(x, y) = cos(x/y) en (π, 3)

c) f(x, y) = x2 en (2, 1)

d) z = ln(2x+ y) en (−1, 3)

2. Encuentre las coordenadas de todos los puntos de la superficie z = x4− 4xy3− 24y2− 2en los cuales el plano tangente a la superficie es horizontal.

16

Sean f : Rn → Rm una funcion y x0 ∈ Rn un punto interior de dom(f). Si

f(x1, . . . , xn) = (f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn))

entonces llamaremos matriz Jacobiana o matriz derivada de f en x0 a la siguiente matrizde tamano m× n

f ′(x0) =

∂f1∂x1

(x0) . . .∂f1∂xn

(x0)

......

∂fm∂x1

(x0) . . .∂fm∂xn

(x0)

Ejercicios

1. Obtenga la matriz jacobiana de las siguientes funciones

a) f(x, y, z) = (x2y, ln(z2y2), y/z, cos(xy))

b) f(x, y) = 3x2 + y3 − 3

c) f(x, y) = (tan(3xy), ex2+y2)

d) f(x) = (cos x, sinx, x)

2. La diferencial

Sean f : Rn → Rm una funcion y x0 ∈ Rn un punto interior de dom(f). La funcion f se dice

diferenciable si existe una funcion lineal L : Rn → Rm tal que

lımx→x0

f(x)− f(x0)− L(x− x0)

||x− x0||= 0

L se llama diferencial de f en x0 y se denota L = dx0f .

Teoremas

Si f : Rn → Rm es una funcion diferenciable en x0 entonces dx0f es unica y su matrizes la matriz jacobiana o derivada de f , o sea,

dx0f(x) = f ′(x0).x

Sean f : D ⊂ Rn → Rm una funcion y D un subconjunto abierto de Rn. Si todas lasderivadas parciales de f existen y son continuas en D entonces f es diferenciable entodo punto de D. En tal caso se dice que f es continuamente diferenciable en D.

Si f : Rn → Rm es diferenciable en x0 entonces f es continua en x0

17

Ejercicios

1. Muestre que las siguientes funciones son continuamente diferenciables en su dominio.

a) f(x, y) = ex cos(xy)

b) f(x, y, z) =x+ y

y + z

c) f(x, y) = (2x3 − y, ln(y2))

2. Utilize la diferencial de f en un punto adecuado para aproximar los valores de la funcionen el punto dado.

a) f(x, y) = sin(πxy) + ln(y) en (0,01; 1,05)

b) f(x, y) =√

20− x2 − 7y2 en (1,95; 1,08)

c) f(x, y, z) = arctan(x+yz

) en (1,51; 1,48; 3,01)

3. Muestre que en (0, 0) la funcion

f(x, y) =

3x3

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

es continua, tiene derivadas parciales pero NO es diferenciable.

Resolucion: Dejaremos como ejercicio mostrar que f es continua en (0, 0).

Comencemos calculando las derivadas parciales

∂f

∂x(0, 0) = lım

h→0

3h3

h2+02− 0

h= 3

De la misma manera

∂f

∂y(0, 0) = lım

h→0

3,03

02+h2− 0

h= 0

Analicemos ahora si f es diferenciable. Debemos calcular el siguiente lımite

lım(x,y)→(0,0)

f(x, y)− f(0, 0)− 3x− 0y√x2 + y2

Reemplazando los valores de f tenemos que

lım(x,y)→(0,0)

3x3

x2+y2− 0− 3x− 0y√x2 + y2

= lım(x,y)→(0,0)

3x3 − 3x(x2 + y2)

(√x2 + y2)3

= lım(x,y)→(0,0)

−3xy2

(√x2 + y2)3

Finalmente este ultimo lımite no existe ya que si me aproximo al (0, 0) por diferentesrectas y = mx obtengo diferentes valores para ese lımite.

18

4. Muestre que en (0, 0) la funcion

f(x, y) =

(x2 + y2) sin

(1√

x2 + y2

)si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

es diferenciable pero sus derivadas parciales NO son continuas.

5. Muestre que en (0, 0) la funcion f(x, y) =√x2 + y2 es continua pero NO es diferenciable.

Sean f : Rn → R una funcion y x0 ∈ Rn un punto interior de dom(f). Sea v ∈ Rn un

vector de norma 1, o sea ||v|| = 1. Se define la derivada de f en x0 en la direccionde v como

∂f

∂v(x0) = lım

t→0

f(x0 + tv)− f(x0)

t

Si f es diferenciable en x0 entonces

∂f

∂v(x0) = ∇f(x0).v

Ejercicios

a) Para cada una de las siguientes funciones calcule el vector gradiente en el puntodado y la derivada direccional en la direccion del vector v.

1) f(x, y) =√x− y en (5, 1), v = (12, 5)

2) f(x, y) = xexy en (−3, 0), v = 2i + 3j

3) f(x, y, z) = x tan−1(yz) en (1, 2,−2), v = i + j− k

b) Obtenga una ecuacion de la recta tangente a la curva de nivel de f(x, y) = x2 − y2que pasa por el punto (2,−1).

c) Encuentre la ecuacion del plano tangente a la superficie de nivel de la funcionf(x, y, z) = cos(x+ 2y + 3z) en el punto (π/2, π, π).

d) Determine en que direccion se produce la maxima razon de cambio de f en el puntodado

1) f(x, y) = ln(x2 + y2), en (1, 2)

2) f(x, y) = cos(3x+ 2y), en (π/6,−π/8)

3) f(x, y, z) = x+ y/z, en (4, 3,−1)

19

e) Mostrar que la funcion f definida por

f(x, y) =

|x|y

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

tiene derivada direccional en todas direcciones en el punto (0, 0) pero no es diferen-ciable en ese punto.

3. Funcion Compuesta - Regla de la Cadena

Sean f : Rn → Rm y g : Rm → Rr dos funciones. Se define la funcion compuesta

g f : Rn → Rp a la funcion definida por

g f(x) = g(f(x))

Ejercicios

a) Calcule la funcion compuesta en los siguientes ejemplos, en el orden adecuado.

1) f(x, y) =

(x

x+ y, x, xy2

)y g(a, b, c) = (ln(a+ b), b+ c, c2)

2) f(t) = (t2 + 3, cos t) y g(x, y) = 3√x+ y3

3) h(x, y, z) = x+ 3y + ln(z + 1) y f(t) = (6t2, t+ 5, 8)

Teorema (Regla de la Cadena) Sean f : Rn → Rm y g : Rm → Rr dos funciones y sea

x0 en el dominio de f . Si f es diferenciable en x0 y g es diferenciable en f(x0) entoncesg f es diferenciable en x0 y se cumple que

(g f)′(x0) = g′(f(x0)).f ′(x0)

Ejercicios

a) Aplique la regla de la cadena a las funciones del ejercicio anterior.

20

Teorema (Regla de la Cadena para calcular derivadas parciales)

Caso 1 Sea z = f(x, y) una funcion derivable respecto de x e y. Supongamos quex = g(t) e y = h(t) son funciones derivables respecto de t. Entonces,

dz

dt=∂f

∂x

dx

dt+∂f

∂y

dy

dt

Caso 2 Sea z = f(x, y) una funcion derivable respecto de x e y. Supongamos quex = g(u, v) e y = h(u, v) son funciones derivables respecto de u y v. Entonces,

∂z

∂u=∂f

∂x

∂x

∂u+∂f

∂y

∂y

∂uy

∂z

∂v=∂f

∂x

∂x

∂v+∂f

∂y

∂y

∂v.Dejamos como ejercicio para el lector dar la regla general.

Ejercicios

a) Derive usando la regla de la cadena

1) Calcule

(∂w

∂x

)z

sabiendo que w = f(x, y, z) e y = g(x, z)

2) Calcule∂w

∂t, si w = f(x, y), x = g(r, s), y = h(r, t), r = k(s, t) y s = n(t).

3) Calcule∂z

∂u,∂z

∂vy∂z

∂wsi z = f(x, y) = f(g(u, v, w)).

4) Obtenga∂2z

∂s2,∂2z

∂s∂ty∂2z

∂t2si z = f(x, y) y x = 2s+ 3t e y = 3s− 2t.

b) Derive usando la regla de la cadena y compare con el resultado que obtiene reem-plazando las variables y derivando directamente.

1) Calcule∂u

∂tsi u =

√x2 + y2 y las variables son x = est e y = 1 + s2 cos t.

2) Hallar∂w

∂tsi w = x2 + y2 + z2 y las variables son x = et cos t, y = et sin t y

z = et.

3) Hallar∂w

∂tsi w = e2x+3y y las variables son x = ln t, y = ln(t− 11).

c) Sea u = u(η, ξ). Haciendo el cambio de variables ξ = x + ct y η = x pruebe que la

ecuacion∂u

∂t= c

∂u

∂xes equivalente a

∂u

∂η= 0.

21

d) Sea f una funcion de u y v. Si u = ln(x2 + y2) y v = ln(x2 − y2) transforme la

expresion1

x

∂f

∂x− 1

y

∂f

∂y.

4. Extremos Libres y Ligados

Sean f : Rn → R una funcion

f tiene un maximo local en x0 si existe un entorno E de x0 tal que f(x) ≤ f(x0),∀x ∈ N ∩ dom(f).

f tiene un mınimo local en x0 si existe un entorno E de x0 tal que f(x) ≥ f(x0),∀x ∈ N ∩ dom(f).

Teorema Supongamos que f es diferenciable. Si f tiene extremo local en un puntox0 del interior del dominio de f entonces ∇f(x0) = 0.

Un punto x0 del dominio de f se llama punto crıtico si ∇f(x0) = 0.

Un punto crıtico de f que no es ni maximo ni mınimo se llama punto silla.

Ejercicios

a) Encuentre y clasifique los puntos crıticos de las siguientes funciones.

1) f(x, y) = x3 + 3xy − 3x2 − 3y2 + 4

2) f(x, y) = x2 + 2y2 − 4x+ 4y

3) f(x, y) = xy − x+ y

4) f(x, y) =x

y+

8

x− y

5) f(x, y) = xye−x2−y4

6) f(x, y) = e−x sin2(y)

b) Encuentre los maximos y mınimos de las funciones dadas en los dominios indicados

1) f(x, y) = x− x2 + y2 en el rectangulo cerrado 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1.

2) f(x, y) = x2 + 2xy + 3y2 en el triangulo cerrado de vertices (−1, 1), (2, 1) y(−1,−2).

3) f(x, y) = sin x cos y en el triangulo cerrado de vrtices (0, 0), (0, 2π) y (2π, 0).

c) Use multiplicadores de Lagrange para obtener los extremos de las siguientes funcio-nes sujetas a la condicion dada.

22

1) f(x, y) = x3y5 con la condicion x+ y = 8.

2) f(x, y, z) = x+ y − z para los puntos en la esfera x2 + y2 + z2 = 1.

3) f(x, y, z) = x+ 2y − 3z sobre el elipsoide x2 + 4y2 + 9z2 ≤ 108.

d) Encuentre la distancia del origen al plano x+ 2y + 2z = 3 de tres maneras:

1) Usando argumentos geometricos.

2) Reduciendo el problema a uno de dos variables sin restricciones.

3) Usando multiplicadores de Lagrange.

5. Ejercicios Adicionales

a) Calcule las derivadas parciales y direccionales de las siguientes funciones en el puntodado o justifique si no existen. De ser posible, de la ecuacion del plano tangente endicho punto.

1) z = ln(2x+ y) en P = (−1, 3) en la direccion u = (1, 2).

2) f(x, y) = ex cos(xy) en P = (1/2, π) en la direccion u = (3/5, 4/5).

3)

f(x, y) =

x2 + 1

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

en P = (0, 0) en la direccion u = (1, 1).

4)

f(x, y) =

y2

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

1 si (x, y) = (0, 0)

en P = (0, 0) en la direccion u = (1, 1).

b) Sea f(x, y, z) = |r|−n donde r = xi + yj + zk. Muestre que ∇f =−nr|r|n+2

.

c) Encuentre y clasifique los puntos crıticos de las siguientes funciones.

1) f(x, y) = x3 + y3 − 3xy

2) f(x, y) =xy

2 + x2 + y2

3) f(x, y) = xy − 2x en el rectangulo −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

23

d) Encuentre la maxima y la mınima distancia del punto (2, 1,−2) a la esfera x2 +y2 +z2 = 1.

e) Encuentre la menor distancia del punto (3, 0) a la parabola y = x2 de dos maneras:

1) transformando el problema en otro que dependa de una sola variable.

2) usando multiplicadores de Lagrange.

6. Ejercicios de Aplicacion

Derivadas Direccionales

a) La temperatura en los puntos del plano (x, y) esta dada por T (x, y) = x2 − 2y2.

1) Dibuje algunas isotermas.

2) ¿En que direccion deberıa moverse una hormiga situada en el punto P = (2,−1)si desea refrescarse tan rapido como sea posible?

3) ¿A que tasa experimentara el descenso de temperatura la hormiga si se muevedesde el punto P en la direccion (−1,−2).

b) La ley de los gases para una masa fija m de una gas ideal a la temperatura absolutaT , a presion P y con volumen V es PV = mRT , donde R es la constante de gas.Muestre que

∂P

∂V

∂V

∂T

∂T

∂P= 1

c) La energıa cinetica de un cuerpo de masa m y velocidad v es K = 12mv2. Muestre

que

∂K

∂m

∂2K

∂v2= K

Diferenciales

d) Las aristas de una caja rectangular son medidas con un error maximo del 1 %. Usediferenciales para estimar el error maximo porcentual al calcular el volumen de lacaja y el area de una cara de la caja.

e) SiR es la resistencia total de tres resistoresR1, R2, R3 colocados en paralelo, entonces

1

R=

1

R2

+1

R2

+1

R3

24

Si las resistencias se miden como R1 = 25 ohms, R2 = 40 ohms y R3 = 50 ohms, conerrores de a lo suma 0,5 % en cada caso, estime el error maximo en el valor calculadode R.

Regla de la cadena

f ) Utilice diferenciales para calcular la cantidad de metal de una lata cilındrica cerradade 10cm de alto y 4cm de diametro, si el metal de la pared es de 0,05cm de espesormientras que el metal de la tapa y el fondo es de 0,1cm de espesor.

g) El radio de un cilindro circular recto decrece en una razon de 1,2cm/s, en tanto quesu altura aumenta a una tasa de 3cm/s. ¿A que tasa cambia el volumen del cilindro,si el radio es de 80cm y la altura de 150cm.

h) La longitud l, el ancho w y la altura h de una caja cambian con el tiempo. Enun cierto tiempo, las dimensiones son l = 1m y w = h = 2m y ademas l y w seincrementan a una tasa de 2m/s, en tanto que h disminuye a una tasa de 3m/s. Enese instante, calcule las tasas de cambio de

1) El volumen.

2) El area de la superficie.

3) La longitud de una diagonal.

i) El voltaje V en un circuito electrico simple disminuye lentamente conforme la baterıade agota. La resistencia R aumenta lentamente conforme el resistor se calienta.Utilice la Ley de Ohm, V = IR, para calcular como esta cambiando la corriente I enel momento cuando R = 400Ω, I = 0,08A, dV/dt = −0,01V/s y dR/dt = 0,03Ω/s.

Extremos

j ) Una caja de carton, sin tapa, debera tener un volumen de 32000cm3. Calcule lasdimensiones que minimicen la cantidad de carton a utilizar.

k) La base de un acuario, de volumen V , esta hecho de esquisto y sus lados de cristal.Si el esquisto cuesta cinco veces mas que el cristal (por unidad de area), determinelas dimensiones del acuario que minimicen el costo de los materiales.

7. Autoevaluacion

a) ¿Cuantas derivadas parciales de orden 4 tiene una funcion de 2 variables? ¿Y cuantasde orden n?

b) Si estas derivadas paricales son continuas, ¿cuantas de ellas son distintas?

25

c) Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

1) Existe una funcion f(x, y) cuyas derivadas parciales son fx(x, y) = x + 4y yfy(x, y) = 3x− y.

2) Si f(x, y) = ln y, entonces ∇f(x, y) = 1/y

3) Si existen fx(a, b) y fy(a, b) entonces f es diferenciable en (a, b).

4) Si f tiene un mınimo local y es diferenciable en (a, b) entonces ∇f(a, b) = 0.

d) Utilice diferenciales para aproximar el numero (1,98)3√

(3,01)2 + (3,97)2.

e) ¿Como se relacionan las derivadas direccionales y el gradiente de f(x, y)?

f ) ¿En que direccion se produce la maxima derivada direccional de f(x, y)?

g) ¿En que direccion se produce la mınima derivada direccional de f(x, y)?

h) ¿En que direccion la derivada direccional de f(x, y) es 0?.

26

Capıtulo 4

Integrales Multiples

1. Curvas y Superficies

1. Identifique y grafique las siguientes curvas en R2.

a) y = 3x+ 2

b) x+ y = 2

c) x = y2 − 2y + 1

d) 9x2 + 4y2 = 36

e) 3x2 − 6x+ 3y2 = 6

f ) y = −√

1− (x+ 2)2

g) 2x− y + 3 = 0

h) x2 − y2 − 6y = 10

i) y2 − 3x2 = 12

j ) y = −√x− 2

2. Identifique y grafique las siguientes superficies en R3.

a) x−42

= y+54

= z−1−3

b) x = y+22

= z+23

c) 4x2 + 9y2 + 36z2 = 36

d) 4z2 − x2 − y2 = 1

e) z = y2

f ) x = y2 + z2

g) 2x2 + z2 = 4

h) x2 + 4z2 − y = 0

i) z2 = 3x2 + 4y2 − 12

j ) x2 + 6x+ y2 − 4z2 + 8z = 19

k) x2 − y2 + 4y + z = 4

3. Dibuje la region acotada por las siguientes superficies.

a) z =√x2 + y2 y x2 + y2 = 1 para 1 ≤ z ≤ 2.

b) z = x2 + y2 y z = 2− x2 − y2.

27

2. Integrales Dobles

1. Calcule las siguientes integrales iteradas

a)∫ 2

0

∫ 1

0x2y3dydx

b)∫ 2

0

∫ 1

0x

y2+1dydx

c)∫ 3

0

∫ 1

0

√x+ ydxdy

d)∫ ln 2

0

∫ ln 5

0e2x−ydxdy

e)∫ π0

∫ x−x cos ydydx

2. Dibuje la region R de integracion y calcule la integral doble

a)∫ ∫

Rx sin ydA con R = (x, y)/0 ≤ y ≤ π/2, 0 ≤ x ≤ cosx

b)∫ ∫

R1xdA con R = (x, y)/0 ≤ y ≤ e, y2 ≤ x ≤ y4

c)∫ ∫

Rex+ydA con R acotada por las rectas y = 0, y = x, x = 1.

d)∫ ∫

RyexdA con R la region triangular con vertices (0, 0), (2, 4) y (6, 0).

e)∫ ∫

R4y3dA con R acotada por las curvas y = x− 6, y2 = x.

3. Calcule el volumen de los siguientes solidos usando integrales dobles

a) Bajo el paraboloide z = 3x2+y2 y encima de la region acotada por y = x y x = y2−y.

b) Acotado por el cilindro x2 + z2 = 9 y los planos x = 0, y = 0, z = 0, x+ 2y = 2 enel primer octante.

c) Acotado por los planos x = 0, y = 0, z = 0 y x+ y + z = 1.

4. Dibuje la region de integracion y cambie el orden de integracion. Resuelva cuando seaposible.

a)∫ 1

0

∫ 2−yy2

f(x, y)dxdy

b)∫ 1

0

∫ π/4arctanx

f(x, y)dxdy

c)∫ 1

0

∫ 1√y

√x3 + 1dxdy

d)∫ 3

0

∫ 9

y2y cos(x2)dxdy

28

Integrales mediante un Cambio de coordenadas.

Si T una funcion de Rn en Rn biyectiva y continua. Sea D un subconjunto del dominio de T .Si f es continua y acotada en T (D) entonces∫ ∫

T (D)

f(x, y)dA =

∫ ∫D

f T |detT ′|dA

Ejercicios

1. Sea R la region del primer cuadrante del plano xy acotada por las hiperbolas xy = 1,xy = 9 y las rectas y = x, y = 4x. Utilice la transformacion x = u

v, y = u

vcon u > 0,

v > 0, para escribir∫ ∫

Rdxdy como una integral sobre una region adecuada D del plano

uv. Calcule la integral obtenida.

2. Calcule la integral encerrada por las curvas x2 + 2y2 = 1, x2 + 2y2 = 4, y = 2x, y = 5x,x ≤ 0, y ≤ 0 usando la transformacion u = x2 + 2y2, v = y

x

Cambio a coordenadas polares

Sea T : R2 → R2 la siguiente funcion biyectiva

T (r, θ) = (r cos(θ), r sin(θ)) = (x, y)

Si f es continua en una region polar de la forma

D = (r, θ)/α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θdonde 0 ≤ β − α ≤ 2π, entonces∫ ∫

T (D)

f(x, y)dA =

∫ β

α

∫ h2(θ)

h1(θ)

f(r cos θ, r sin θ))rdrdθ

Observacion: NO olvidar el factor adicional r en el termino de la derecha.

Ejercicios

1. Cambie la integral dada a coordenadas polares y evaluela.

a)∫ ∫

RydA, donde R es la region en el primer cuadrante acotada por el cırculo x2+y2 =

9 y las rectas y = 0, y = x.

b)∫ ∫

RxydA, donde R es la region en el primer cuadrante entre los cırculos x2 +y2 = 4

y x2 + y2 = 25.

c)∫ ∫

R1√x2+y2

dA, donde R es la region que esta dentro del cardioide r = 1 + sin θ y

fuera del cırculo r = 1.

29

d)∫ ∫

RxdA, donde R es la region en el primer cuadrante que esta entre los cırculos

x2 + y2 = 4 y x2 + y2 = 2x.

e)∫ 1

0

∫ √1−x20

ex2+y2dydx

f )∫ 2

0

∫ √2x−x20

√x2 + y2dydx

3. Integrales Triples

Ejercicios

1. Calcule las siguientes integrales iteradas en el orden adecuado.

a)∫ ∫ ∫

EzdV , donde E esta acotada por los planos x = 0, y = 0, z = 0, y + z = 1 y

x+ z = 1.

b)∫ ∫ ∫

E(x + 2y)dV , donde E esta acotada por el cilindro parabolico y = x2 y los

planos z = x, y = x y z = 0.

c)∫ ∫ ∫

ExdV donde E esta acotada por el paraboloide x = 4y2 + 4z2 y el plano x = 4.

d)∫ ∫ ∫

Esin(πy3)dV donde E es la piramide con vertices los puntos (0, 0, 0), (0, 1, 0),

(1, 1, 0), (1, 1, 1) y (0, 1, 1).

Cambio a coordenadas cilındricas

Sea T : R3 → R3 la siguiente funcion biyectiva

T (r, θ, z) = (r cos(θ), r sin(θ), z) = (x, y, z)

Si f es continua en la region

D = (r, θ, z)/α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ), g1(r, θ) ≤ z ≤ g2(r, θ)donde 0 ≤ β − α ≤ 2π, entonces∫ ∫ ∫

T (D)

f(x, y, z)dV =

∫ β

α

∫ h2(θ)

h1(θ)

∫ g2(r,θ)

g1(r,θ)

f(r cos θ, r sin θ, z)rdzdrdθ

Observacion: NO olvidar el factor adicional r en el termino de la derecha.

Ejercicios

1. Calcule∫ ∫ ∫

EydV , donde E es el solido que esta entre los cilindros x2 + y2 = 1 y

x2 + y2 = 4, encima del plano xy y debajo del plano z = x+ 2.

2. Determine el volumen de la region E acotada por los paranoloides z = x2 + y2 y z =36− 3x2 − 3y2.

30

3. Evalue∫ ∫ ∫

Ex2dV , donde E es el solido que esta entre el cilindro x2 + y2 = 1 encima

del plano z = 0 y debajo del cono z2 = 4x2 + 4y2.

Cambio a coordenadas esfericas

Sea T : R3 → R3 la siguiente funcion biyectiva

T (r, θ, φ) = (r cos(θ) sin(φ), r sin(θ) sin(φ), r cos(φ)) = (x, y, z)

Si f es continua en la region D∫ ∫ ∫T (D)

f(x, y, z)dV =

∫ ∫ ∫D

f(r cos(θ) sin(φ), r sin(θ) sin(φ), r cos(φ))r sin(φ)drdθdφ

Observacion: NO olvidar el factor adicional r sin(φ) en el termino de la derecha.

Ejercicios

1. Describa todos los puntos (x, y, z) del espacio cuyas coordenadas esfericas satisfacen lassiguientes ecuaciones,

a) θ = π/2b) φ = π/2

c) r = 3d) r = 2 cos(φ)

e) r = 2 cos(θ)f ) φ = π/3

g) θ = π/6

2. Evalue∫ ∫ ∫

E(x2 + y2 + z2)dV , donde E es la bola centrada en el origen de radio 3.

3. Encuentre∫ ∫ ∫

Exe(x

2+y2+z2)2dV , donde E es el solido que esta entre las esferas x2 +y2 + z2 = 1 y x2 + y2 + z2 = 4 en el primer octante.

4. Evalue∫ ∫ ∫

E

√x2 + y2 + z2dV , donde E es el solido acotado debajo del cono φ = π/6

y encima de la esfera r = 2.

5. Determine el volumen del solido que esta encima del cono φ = π/3 y debajo de la esferar = 4 cos(φ).

6. Escriba las siguientes integrales en a) coordenadas cartesianas, b) coordenadas cilındri-cas y c) coordenadas esfericas. Elija las coordenadas mas convenientes para calcular laintegral.

a) Determine el volumen del solido que esta arriba del cono z =√x2 + y2 y debajo de

la esfera x2 + y2 + z2 = 1.

b)∫ ∫ ∫

Ex2dV , donde E esta entre las esferas r = 1 y r = 3 y encima del cono φ = π/4.

7. Elija coordenadas convenientes para calcular las siguientes integrales.

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a)∫ 1

−1

∫ √1−x2−√1−x2

∫ 2−x2−y2x2+y2

(x2 + y2)3/2dzdydx

b)∫ 1

0

∫√1−y20

∫√x2+y2

x2+y2 (xyz)dzdxdy

c)∫ 3

−3

∫ √9−x2−√9−x2

∫ 9−x2−y20

z√

(x2 + y2 + z2)dzdydx

4. Ejercicios Adicionales

1. Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos.

a)∫ 2

−1

∫ 6

0x2 sin(x− y)dxdy =

∫ 6

0

∫ 2

−1 x2 sin(x− y)dxdy

b)∫ 1

−1

∫ 1

0ex

2+y2 sin ydxdy = 0

c) La integral∫ 2π

0

∫ 2

0

∫ 2

rdzdrdθ representa el volumen encerrado por el cono z =

√x2 + y2

y el plano z = 2.

2. Describa la region cuya area esta dada por la siguiente integral∫ π

0

∫ 1+sin θ

1

rdrdθ

3. Describa el solido cuyo volumen esta dado por la siguiente integral∫ 2π

0

∫ π/6

0

∫ 3

1

r2 sinφdrdφdθ

y evalue dicha integral.

4. Calcule las siguientes integrales

a)∫ ∫

DxydA, donde D es la region acotada por y2 = x3 y x = y.

b)∫ ∫

D(xy + 2x + 3y)dA, donde D es la region del primer cuadrante acotada por

x = 1− y2, y = 0 y x = 0.

c)∫ ∫ ∫

Ey2z2dV , donde E esta acotada por el paraboloide x = 1− y2 − z2 y el plano

x = 0.

d)∫ ∫ ∫

EzdV , donde E esta acotada por lod planos y = 0, z = 0, x + y = 2 y el

cilindro y2 + z2 = 1 en el primer octante.

5. Ejercicios de Aplicacion

1. Si la funcion f(x, y) representa la densidad de masa (en unidades de masa por unidad dearea) de una lamina delgada, entonces la masa de la lamina en una regionD esta dada por

32

la integral doble sobre la region D, es decir m =∫ ∫

Df(x, y)dA. Ademas las coordenadas

del centro de masa estan dadas por

x =1

m

∫ ∫D

xf(x, y)dA

y =1

m

∫ ∫D

yf(x, y)dA

El significado fısico del centro de masa es que la lamina se comporta como si todala masa estuviera concentrada en ese punto.

Calcule la masa y las coordenadas del centro de masa de las siguientes laminas cuyadensidad es f(x, y) y que ocupan la region D,a) f(x, y) = x+ y y D es la region triangular con vertices (0, 0), (2, 1) y (0, 3).b) f(x, y) = y y D es la region acotada por la parabola y = 9− x2 y el eje x.c) f(x, y) = xy y D es la region en el primer cuadrante acotada por la parabola y = x2

y la recta y = 1.d) D es la parte del disco x2 + y2 ≤ 1 en el primer cuadrante y la densidad de masa es

proporcional al cuadrado de la distancia desde el origen, para cualquier punto.e) D es la parte del disco x2 + y2 ≤ 1 en el primer cuadrante y la densidad de masa es

proporcional al cuadrado de la distancia desde el eje x, para cualquier punto.2. Si una carga electrica se distribuye en una region D y la densidad de carga (en unidades

de carga por unidad de area) esta dada por una funcion f(x, y), entonces la carga totalQ se obtiene a atraves de la integral doble sobre la region D.

Calcule la carga electrica distribuıda en las siguientes regiones D si la densidad decarga es f(x, y) (medida en coulombs por metro cuadrado)a) D es el rectangulo 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2 y f(x, y) = x2 + 3y2.b) D es el disco unitario x2 + y2 ≤ 1 y f(x, y) = 1 + x2 + y2.

3. El momento de Inercia de una lamina con funcion densidad de masa f(x, y) y que ocupauna region D alrededor del eje x se puede calcular como

Ix =

∫ ∫D

y2f(x, y)dA

De manera similar, el momento de Inercia alrededor del eje y es

Iy =

∫ ∫D

x2f(x, y)dA

Asimismo, se calcula el momento de inercia alrededor del origen o momento polar deinercia a

I0 =

∫ ∫D

(x2 + y2)f(x, y)dA

Observe que I0 = Ix + Iy.Calcule los momentos de Inercia para las laminas del ejercicio 1.

4. Todas las aplicaciones mencionadas para integrales dobles pueden extenderse a integralestriples. En efecto si un objeto solido que ocupa una region E tiene una densidad de masa

33

f(x, y, z) entonces su masa es m =∫ ∫ ∫

Ef(x, y, z)dV y las coordenadas del centro de

masa son

x = 1m

∫ ∫ ∫Exf(x, y, z)dV y = 1

m

∫ ∫ ∫Eyf(x, y, z)dV z = 1

m

∫ ∫ ∫Ezf(x, y, z)dV

Calcule la masa y las coordenadas del centro de masa para los siguientes objetossolidos que ocupan una region E y tienen una densidad de masa f(x, y, z)a) E esta acotado por el cilindro parabolico z = 1− y2 y los planos x+ z = 1, x = 0 y

z = 0 y la densidad es constante.b) E es el tetraedro acotado por los planos x = 0, y = 0, z = 0 y x + y + z = 1, con

f(x, y, z) = y.5. Los momentos de Inercia alrededor de los ejes coordenados son

Ix =∫ ∫ ∫

E(y2 + z2)f(x, y, z)dV Iy =

∫ ∫ ∫E

(x2 + z2)f(x, y, z)dV Iz =∫ ∫ ∫

E(x2 + y2)f(x, y, z)dV

Calcule los momentos de Inercia de un ladrillo regular de dimensiones a, b y c con masaM y densidad constante.

6. Autoevaluacion

34

Capıtulo 5

Curvas - Integral de Lınea

0.1. Curvas.

Una curva en Rn es una funcion γ : A ⊂ R→ Rn continua.

Muchas veces suele llamarse curva a la imagen del conjunto A por γ, es decir a γ(A) ⊂ Rn y ala funcion γ una parametizacion de la curva.

Ejercicios

1. Identifique las curvas dadas por las siguientes parametizaciones.

a) γ(t) = (sin t, 3, cos t)

b) γ(t) = (t2, t, 2)

c) γ(t) = (sin t, sin t,√

2 cos t), ayuda: muestre que la curva esta contenida en el planox = y.

d) γ(t) = (sin t, t, cos t), ayuda: muestre que la curva esta contenida en el cilindrox2 + z2 = 1.

e) γ(t) = (t cos t, t sin t, t), ayuda: muestre que la curva esta contenida en el cono z2 =x2 + y2.

2. Muestre que la curva γ(t) = (sin t, cos t, sin2 t) es la curva interseccion de las superficiesz = x2 y x2 + y2 = 1. Use este hecho para realizar la grafica de la curva.

3. Parametrice las curvas del ejercicio 1 de la seccion 1 del capıtulo anterior.

35

Una curva γ : A ⊂ R→ Rn se dice suave si γ(t) 6= 0 para todo t ∈ A.

Dada una curva γ : A ⊂ R→ R3 suave, se define:

Vector Tangente Unitario a T (t) = γ′(t)|γ′(t)|

Vector Normal principal a N(t) = T ′(t)|T ′(t)|

Vector Binormal a B(t) = T (t)×N(t)

La Curvatura κ(t) = |T ′(t)||γ′(t)| = |γ′(t)×γ′′(t)|

|γ′(t)|3

La Torsion es una funcion τ(t) tal que B′(t) = −τ(t)N(t)|γ′(t)|Los vectores T y N determinan un plano que pasa por el punto γ(t) llamado planoosculador.

Ejercicios

1. Calcule los vectores Tangente, Normal y Binormal, la curvatura y la torsion de las curvasdel ejercicio 1.

2. Calcule la longitud de las curvas del ejercicio 1.

3. Encuentre la parametizacion por longitud de arco de las curvas del ejercicio 1.

0.2. Integrales de Lınea.

Sea γ : [a, b]→ Rn una curva suave y sea f : D ⊂ Rn → R una funcion continua cuyo dominio

contiene a la curva. Se llama Integral de lınea de f a lo largo de la curva γ a∫γ

fdγ =

∫ b

a

f(γ(t))|γ′(t)|dt

Ejercicios

1.2.3.

Sea γ : [a, b]→ Rn una curva suave y sea F : D ⊂ Rn → Rn una funcion continua cuyo dominio

contiene a la curva. Se llama Integral de lınea del campo vectorial F a lo largo de lacurva γ a ∫

γ

F · dγ =

∫ b

a

F(γ(t)) · γ′(t)dt

Ejercicios

1.2.3.

36

Capıtulo 6

Superficies

Una superficie en Rn es una funcion f : D ⊂ R2 → Rn continua.

1. Identifique las superficies dadas por las siguientes parametizaciones.

a) f(u, v) = (3 sinu cos v, 2 sinu sin v, cosu)

b) f(u, v) = (u, v,√

4− x2 − y2)c) f(u, v) = (3 sinu cos v, 3 sinu sin v, 3 cosu)

d) f(u, v) = (u2, v, u)

e) f(u, v) = (u cos v, u sin v, u)

f ) f(u, v) = (u, v,√

1 + u2 + v2)

37

Bibliografıa

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