guía 104: apliquemos las derivadas
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CH-FyA-0521
Guía 104: Apliquemos las derivadas
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Guía
105 Meta 35
GRADO 11
GUÍA DEL ESTUDIANTE
APLIQUEMOS LAS
DERIVADAS
3
Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas
Fe y Alegría Colombia
Fe y Alegría Colombia
Víctor Murillo
Director Nacional
Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos
Jaime Benjumea - Marcela Vega
Autores de la guía 105
Francy Paola González Castelblanco
Andrés Forero Cuervo
Coordinación pedagógica
Francy Paola González Castelblanco
Andrés Forero Cuervo
GRUPO LEMA www.grupolema.org
Revisores
Jaime Benjumea
Francy Paola González Castelblanco
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Guía
105 GRADO 11
APLIQUEMOS LAS DERIVADAS
GRADO 11 - META 35 - PENSAMIENTOS NUMÉRICO - VARIACIONAL
Guía 103
(Duración 13 h)
• Límites de secuencias numéricas
• Secuencias convergentes y
divergentes
• Límites de funciones
• Continuidad de funciones
Guía 104
(Duración 13 h)
• Derivada de una función
• Rectas secantes y tangentes a
una curva
• Cálculo de derivadas usando
límites
• Reglas básicas de derivación:
constante, función lineal,
potencias, regla de suma, regla
del producto, potencias
Guía 105
(Duración 13 h)
ACTIVIDAD 1
• La función derivada
• Segunda derivada
• Derivadas trigonométricas y
exponenciales
• Regla básica de la cadena (para f(kx))
ACTIVIDAD 2
• Máximos y mínimos
• Optimización
META DE APRENDIZAJE N. 35 Infiero el significado de una razón de cambio instantánea (derivada) como límite, en situaciones de ahorro continuo,
velocidad y aceleración de vehículos y cambios de temperatura en donde vivo, entre otras; uso tablas para aproximar
derivadas con sucesiones de razones de cambio promedio; dada la gráfica de una función, identifico su derivada en un
punto como la pendiente de la recta tangente; uso la función derivada para predecir comportamientos de la función inicial
(cuándo crece o decrece, valores extremos) en problemas de cambios de cantidades físicas; calculo algebraicamente la
derivada de polinomios y funciones trigonométricas. Así, aprendo a usar y relacionar tablas, gráficas y ecuaciones para
analizar cambios repentinos en el mundo.
PREGUNTAS ESENCIALES, GUÍA 105:
● Si consideras la función “Tu nivel de cansancio de 1 a 10” en función del tiempo, ¿qué significa o
representa la derivada de esta función? Da ejemplos haciendo una gráfica en un día dado. ● Si tengo una función y calculo su función derivada, ¿qué me dice esta última sobre la primera? ¿Qué
información NO me dice? ● ¿Por qué tendría sentido en la vida real encontrar la segunda derivada de una función? Menciona algunos
ejemplos concretos.
EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE, GUÍA 105:
● Comprendo que la derivada de una función es una nueva función, y sé cómo calcular sus valores
gráficamente
● Dada una función g, razono para encontrar posibles funciones f tales que f’ = g.
● Aplico las reglas de derivación para encontrar la función derivada usando álgebra
● Expreso funciones que originalmente dependen de 2 variables como funciones de una sola variable, usando
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como ayuda una restricción algebraica que relacione las dos variables.
● Dada una situación de optimización de una función de dos variables, encuentro una ecuación “restricción”
que relaciona ambas variables.
● Optimizo una función en una situación real, hallando su máximo o mínimo valor (así como la variable que
logra dicho valor) usando la derivada.
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ACTIVIDAD
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ACTIVIDAD 1: LA FUNCIÓN DERIVADA
Aprendamos cómo usar la función derivada de una función y extendamos lo que ya sabemos
para encontrar derivadas de funciones trigonométricas y exponenciales, entre otras.
A) Activando saberes previos
RECUERDA QUE...
Si tenemos una función F y un elemento x de
su dominio, podemos estudiar la variación de
F cerca de x, y también la tasa de cambio
cerca de F, definiendo:
F’(x) = pendiente de la tangente a F en el
punto (x, F(x)) = velocidad instantánea del
cambio de F con respecto al cambio de la
variable, en el punto x.
Así, F es una función, x es un número y F’(x)
es también un número que representa la
pendiente.
Para calcular m, necesitamos no solo a x y a
F(x), sino a los valores de F en una región
cercana a x.
PRACTICA
i) Sea f(t) = 6𝑡2.
Calcula el valor de f’(x) para cada
uno de estos valores de x:
a) x = 0
b) x = 2
c) x = 5
ii) Sea f(t) = 16𝑡 − 16𝑡.
ii) La función F se muestra acá:
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ACTIVIDAD
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Calcula el valor de f’(x) para cada
uno de estos valores:
d) x = 1
e) x = 9
Completa la tabla:
P F’(P)
0,3 2
0,4
2 No existe
3,1
5
7
10,98
B) Conceptos
Exploración: La influencia de la gravedad
Antes de comenzar discute en clase: ¿Has visto caricaturas o películas en donde personas u
objetos caen de cierta altura? ¿Es realista este movimiento? ¿Por qué?
Al soltar un objeto desde cierta altura, su función
de posición (en metros) en un tiempo t (en
segundos) es f(t) = 200 − 5t2. En realidad, el coeficiente
que acompaña a la variable es 4,9, pero por simplicidad vamos
a aproximarlo a 5.
f es una función que recibe un tiempo t en segundos, y
produce una posición en metros. Por ejemplo: la “posición inicial”, cuando t = 0, es
de f(0) = 200 − 0 = 200 metros. Es decir, el objeto
está siendo soltado desde una altura de 200 metros.
Sabemos que en cualquier punto a, f’(a) nos da la velocidad
del objeto en tiempo a. Así, f’(a) es una velocidad, medida en
“# de metros por cada segundo”.
Quisiéramos una función g que nos diera la velocidad del
objeto en cada tiempo. Entonces lo que hacemos es definir a
g como f’, la FUNCIÓN DERIVADA de f. Así, g = f’.
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f’ es una función que recibe un tiempo t en seg. y produce f’(t) = velocidad del objeto en tiempo t, en m
por seg.
Sabemos por las reglas de derivación que en cualquier tiempo a, f’(a) = 0 − 10a. Así, si
cambiamos a por t (es simplemente un cambio de letra), nos queda que f’ está dada por
f’(t) = −10a.
La función f’ nos ayuda a describir la situación física en más detalle. Primero hacemos una tabla en donde
veamos f y f’ al tiempo:
t 0 1 2 3 4 5 6
f(t) 200 195 180 155 120 75 20
f’(t) 0 −10 −20 −30 −40 −50 −60
Como vemos, la velocidad inicial es 0 (cuando la posición es máxima). Esta situación se
llama CAÍDA LIBRE, pues no hay un impulso inicial hacia abajo. Solo 3 segundos después,
el objeto ha bajado 200 − 155 = 45 m. y su velocidad en ese momento es de 30 m/seg hacia
abajo (por eso el signo menos).
Antes de continuar, ¿cómo harías para averiguar el momento en que el objeto tenía una
velocidad igual a -75? ¿Y para saber el momento exacto en que toca el suelo? La información que tenemos en las fórmulas de f y f’, así como la de la tabla, podemos representarla
gráficamente en un esquema de UNA FUNCIÓN DEBAJO DE LA OTRA. Es decir, graficamos f, y debajo
de f, en otro plano, graficamos su derivada f’. Esto nos ayuda a comprender mejor lo que está pasando.
Posición (f)
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Velocidad (f’) (recuerda que f’(t) es la pendiente de la tangente de f en (t, f(t)).
Como vemos, en t=0 f tiene tangente con m = 0, así que f’(t) = 0. Además, el objeto toca el
suelo (f(t) = 0) en aproximadamente t = 6,3 seg, y en ese momento su velocidad es de m =
f’(t) = −63 m/seg.
¿Cuál es la derivada de f’? Pensemos: si f’ es el “cambio”, entonces f’’ es el “cambio del
cambio”. Es decir, el cambio de la velocidad: la aceleración. Como f’(t) = -10t, entonces
f’’(t) = −10, una constante. Así, tenemos una situación en la que la velocidad decrece
pero cambia constantemente (menos 10 por cada segundo). Esto es porque tenemos una
fuerza constante: la gravedad.
Responde:
a) Si justo antes de soltar el objeto de los 200 metros de altura lo empujáramos para arriba o para
abajo, ¿cómo crees que cambiarían las expresiones de f(t) y de f’(t)? Especula e intenta verificarlo con
ayuda de (por ejemplo) textos de física.
b) Si supiéramos que la velocidad del objeto es de f’(t) = 30 − 10t, y la altura inicial
sigue siendo f(0) = 200, ¿cuál sería la fórmula para la posición f(t)? ¿Y para la
aceleración?
c) ¿Puedes pensar en cómo alterar la situación del movimiento del objeto para que la aceleración sea igual
a 0? Es decir, f’’(t) = 0. Explica.
d) ¿Puedes pensar en cómo alterar la situación del movimiento del objeto para que la aceleración no sea
una constante? Explica.
e) Si f’ es una función negativa (es decir, f’(t) < 0 para todo t), ¿esto significa que f es necesariamente
negativa o que f es necesariamente decreciente? Explica.
A continuación recogemos lo aprendido:
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Mini-explicación: La función derivada, f’
La función
derivada Sea f una función con derivada en cada punto de su dominio. Entonces la función derivada
de f, f’, es la función que en cada número x, tiene valor igual a f’(x) (la derivada de f en x).
Así, tenemos una asignación entre dos funciones: f |→ f’ llamada “derivada”. Para cada función
diferenciable f, podemos construir una NUEVA función llamada f’ (que ya sabemos cómo se define, por lo hecho en la guía pasada).
DERIVADA: f’(x):= 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑥
𝑚(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑥
𝑓(𝑡)−𝑓(𝑥)
𝑡−𝑥.
f’ no es más que la función “pendiente de la tangente”, la cual va cambiando (a menos que f
sea lineal).
Muchos de los resultados que ya sabemos sobre derivadas como números los podemos
ahora formular hablando de la derivada como una función (cuyos valores son simplemente
las derivadas como números). Por ejemplo:
● Si f es una función lineal, entonces f’ es una función constante
Justificación: la pendiente de la tangente no cambia.
● Si f es una función creciente, entonces f’ es mayor o igual que 0.
Justificación, si f es creciente, sus pendientes de tangentes siempre son mayores
o iguales que 0.
● Si f es una función decreciente, entonces f’ es menor o igual que 0.
● Si f’ = 0, entonces f es una constante.
Justificación: como f’ es cero, entonces TODAS las pendientes de las tangentes
de f son cero, así que NO hay cambio, así que f es constante.
● Si f’ es creciente, entonces f es CÓNCAVA HACIA ARRIBA (tipo U, como x2.)
Justificación: como f’ es creciente, las pendientes de tangentes van creciendo, lo
que solo es posible si f tiene forma cóncava hacia arriba.
(Puedes investigar más sobre el concepto de concavidad en Internet u otras
fuentes).
Nota: si f es positiva, eso no nos dice nada sobre f’: f’ puede ser también positiva, pero
podría ser negativa, o ninguna de las dos. Por ejemplo, la función f(x) = 1/x (para x>0) es
positiva, pero es decreciente así que f’ es negativa. Ahora, f es decreciente pero sus
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pendientes de tangentes van creciendo, así que f’ es negativa pero es creciente.
Algunas derivadas importantes
La siguiente tabla es de referencia y nos da las funciones derivadas de algunas funciones.
Algunas fórmulas ya las hemos deducido. Otras las vamos a deducir y otras las vamos a
tomar sin deducirlas (pero lo puedes intentar o consultar en internet):
f(x) f’(x) f(x) f’(x)
k 0 sen(x) cos(x)
ax + b a cos(x) −sen(x)
x2 2x tan(x) sec2(x)
xn
(n ≠ 0)
nxn-1 ex ex
a0 + a1x + a2x2
+ a3x3 +… + anxn
0 + a1 + 2a2x +
3a3x2 +… + n anxn-1
g(kx) k g’(kx)
La última casilla en la tabla es una regla general de derivación.
Por ejemplo, sabemos que la derivada de sen(x) es cos(x).
Entonces si g(x) = sin(5x), la derivada de g es g’(x) = 5 sin(5x).
Otro ejemplo: si f(x) = (4x)7, entonces f’(a) = 4•7(4a)6 = 28(4a)6.
Otro ejemplo: la derivada de e2x es 2e2x.
Paso 1: Ejemplo: El movimiento de un resorte
Comprendamos el movimiento de un resorte. Sabemos que el resorte sube, baja, vuelve a subir, etc. ¿Cuál
es la función de su movimiento? Dada la naturaleza periódica (repetitiva), las funciones trigonométricas
nos ayudan a estudiar su comportamiento.
La posición vertical Y de un resorte en tiempo t se puede modelar con la siguiente ecuación:
𝑌(𝑡) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡 + 𝑐)
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Y es una función de t. Los parámetros A, b y c van a darnos más detalles. En particular, A
nos dice la AMPLITUD de Y (A es su máxima altura y −A su mínima altura, si A > 0); entre
b sea mayor, el resorte tomará menos tiempo en dar un ciclo entero; c nos da la
posición inicial (en tiempo t=0) del resorte.
Por simplicidad, vamos a elegir los siguientes parámetros: A = 3, b = 1 y c = 0.
Entonces 𝑌(𝑡) = 3𝑠𝑒𝑛(𝑡). Supongamos que t ≥ 𝜋
2y analicemos lo que pasa en el intervalo [
𝜋
2,5𝜋
2],
que corresponde a un periodo de movimiento.
Preguntémonos:
¿En qué tiempo esperamos
que el resorte se mueva con
mayor rapidez? (es decir,
mayor velocidad positiva, o
menor velocidad negativa? ¿Y
velocidad 0?
▶ Mayor velocidad
positiva: en t = 2𝜋 (Y = 0),
cuando el resorte va para
arriba, lejos de ambos
extremos. En ese momento
alcanza su máxima velocidad,
ya que a medida que sube, se
va frenando.
▶ Mayor velocidad
negativa: en t = 𝜋 (Y = 0),
cuando el resorte va para
abajo, lejos de ambos
extremos. En ese momento alcanza su mínima velocidad, ya que a medida que baja, se va frenando.
▶ Velocidad 0: en t = 𝜋
2 (Y = 3), cuando el resorte alcanza su máxima altura (ya que se iba frenando y
en su altura tope su velocidad instantánea debe ser 0, de lo contrario avanzaría un poquito más), y
similarmente en t = 3𝜋
2(Y = −3), cuando el resorte alcanza su mínima altura (su velocidad es
0, pues si fuera negativa, entonces podría seguir bajando por una mínima fracción de
tiempo).
Resumiendo en una tabla:
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ACTIVIDAD
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t 𝜋
2
𝜋 3𝜋
2
2𝜋
¿Qué ocurre con
la posición, Y?
Máxima 0 Mínima 0
¿Qué ocurre con
la velocidad, Y’?
0 Mínima
(negativa)
0 Máxima
(positiva)
Vamos a verificar nuestras observaciones encontrando la
velocidad Y’, es decir, la derivada.
La tabla de la página anterior dice que Y’(t) = 3cos(t). (“La
derivada de seno es igual a coseno”). Esto lo verificaremos
más abajo, pero por ahora usémoslo.
En el intervalo [𝜋
2,5𝜋
2], tenemos que Y’(t) = 3cos(t) es máximo
en t = 2π (valor 3), mínimo en t = π (valor −3) y 0 en t = 𝜋
2y t =
3𝜋
2.
Es decir, haciendo una tabla de Y’:
t 𝜋
2
𝜋 3𝜋
2
2𝜋
¿Qué ocurre con Y’? 0 Mínima (negativa) 0 Máxima (positiva)
¡Como vemos, se verifica la anterior tabla!
Demostración de la derivada de Y, para Y(t) = 3sen(t): Usamos límites. Vamos a usar esta identidad:
sen(a+b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a).
Entonces Y’(t) = 𝑙𝑖𝑚𝑧→𝑡
𝑌(𝑧)−𝑌(𝑡)
𝑧−𝑡= 𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑡
3𝑠𝑒𝑛(𝑧)−3𝑠𝑒𝑛(𝑡)
𝑧−𝑡= 3𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑡
𝑠𝑒𝑛(𝑧)−𝑠𝑒𝑛(𝑡)
𝑧−𝑡. Si hacemos h = z−t ,
entonces h tiende a 0, z = h+t y nos queda:
Y’(t) = 3𝑙𝑖𝑚ℎ→0
𝑠𝑒𝑛(ℎ+𝑡)−𝑠𝑒𝑛(𝑡)
ℎ= 3𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑠𝑒𝑛(ℎ)𝑐𝑜𝑠(𝑡)+𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑐𝑜𝑠(ℎ)−𝑠𝑒𝑛(𝑡)
ℎ= 3𝑙𝑖𝑚
ℎ→0(
𝑠𝑒𝑛(ℎ)
ℎ𝑐𝑜𝑠(𝑡) +
𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑐𝑜𝑠(ℎ)−1
ℎ).
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ACTIVIDAD
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Es posible demostrar, con trigonometría, las siguientes leyes: i) 𝑙𝑖𝑚ℎ →0
𝑠𝑒𝑛(ℎ)
ℎ= 1 y ii) 𝑙𝑖𝑚
ℎ →0
𝑐𝑜𝑠(ℎ)−1
ℎ= 0.
Entonces: Y’(t) = = 3(1 𝑐𝑜𝑠(𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 0) = 3𝑐𝑜𝑠(𝑡).
Paso 2: Completa este ejemplo: Verificando la derivada de f(x) = cos(x). Recordemos que la derivada de f(x) = cos(x) es g(x) = −sen(x) (ver la tabla de derivadas).
Vamos a comprobar que esto tiene sentido gráficamente (esta no es una demostración).
Gráfica de f(x) = cos(x):
Primero, completa esta tabla, diciendo en qué
puntos la posición es 0, máxima o mínima, y lo
mismo con la pendiente de la tangente.
x 0 𝜋
2
𝜋 3𝜋
2
2𝜋 5𝜋
2
Posición f(x) Máxima (1) 0 ? ? Máxima (1) ?
Pendiente de
la tangente
0 ? ? Máxima ? ?
Ahora, grafica la función g(x) = −sin(x) de 0 a 5𝜋
2.
Después, completa la siguiente tabla de posiciones de g(x):
x 0 𝜋
2
𝜋 3𝜋
2
2𝜋 5𝜋
2
Posición g(x) 0 ? ? ? ? ?
Compara esta tabla con la fila de pendientes de la tangente. ¡Deberían ser exactamente iguales!
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Paso 3: Tu turno: La derivada de 𝟏
𝒙
a) Dibuja la función 𝒚 =𝟏
𝒙+ 𝟏.
Para esto, primero elige unos 10 valores de x (no olvides tener valores negativos y positivos) y haz una tabla
que describa el valor de la función, así como el valor estimado de la derivada, a partir de la pendiente.
Después, calcula la derivada de la función usando límites primero, y después usando las leyes de derivación.
Dibuja la derivada de la función en un nuevo plano cartesiano DEBAJO de la función inicial y verifica qué
tan buenas fueron tus estimaciones de los valores de la derivada.
b) Repite el proceso anterior para la función 𝒚 =𝟏
𝟏+𝒙𝟐; para esta función no hemos dicho la ley de
derivación (aunque puedes consultar en internet), pero sí puedes hacer el límite para encontrar la derivada.
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C) Resuelve y practica
1) Sea f(x) = x3 + 7x2 + 4x + 5. ¿Cuántas veces
necesitamos derivar a f para llegar a la función constante 0? Explica y haz un diagrama con flechas en donde se vea cada derivada: f → f’ → f’’, etc.
2) Sea g(x) = x321 + 2x21 + 7x. ¿Cuántas veces
necesitamos derivar a g para llegar a la función
constante 0? Explica.
3) Sea f(x) = sen(x). ¿Cuántas veces
necesitamos derivar a f para “volver” a f
misma? Explica y haz un diagrama.
4) Si sabemos que f’(x) = x3 + 4x, y además que
f(0) = 5, cuál es la función f(x)? ¡Descúbrela!
5) Sabemos que g’(x) = 2x2 − 1. Da 3 funciones
distintas posibles que puedan ser iguales a
g(x). (¡Hay infinitas!)
6) Supongamos que h es una función tal
que su derivada es h’(x) = (x + 4)(x − 1).
a) Determina en qué intervalos h’ es positiva y
en cuáles h’ es negativa.
b) Usa a para determinar en qué intervalos la
función h está creciendo, y en qué intervalos la
función h está decreciendo.
c) Intenta hallar h(x) (hay infinitas, pero todas
tienen la misma forma), graficarla con una
calculadora o en tu cuaderno, y verificar tu
respuesta en b).
7) Calcula las derivadas de estas funciones,
usando las leyes de derivación (es decir, NO
e) y = -2cos(x)
f) y = 4 sen(3x)
8) Observa la siguiente gráfica de f:
¿Cual de las siguientes gráficas podría ser igual a la
función derivada (f’)? Explica tus razones.
a) b)
c)
9) Supongamos que h es una función y su derivada h’
es: h’(x) = 𝑒5𝑥(5𝑠𝑒𝑛(3) + 3𝑐𝑜𝑠(3𝑥) ) y h(0) =
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ACTIVIDAD
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necesitas usar los límites)
a) f(x) = (5x)3.
b) f(t) = 3/(7t).
c) g(z) = (z + 4)/z.
d) h(u) = 𝑒𝑢𝑢2.
0, Demuestra que entonces la función h es
h(x) = 𝑒5𝑥 𝑠𝑒𝑛(3𝑥 ).
D) Resumen
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ACTIVIDAD
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E) Valoración
i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno
Tema ⚫⚪⚪ No entiendo
los conceptos
(TODAVÍA)
⚫⚫⚪ Voy bien pero
quiero más
práctica
⚫⚫⚫ Comprendí
muy bien
el tema
Comprendo que la
derivada de una
función es una
nueva función, y
sé cómo calcular
sus valores
gráficamente
Dada una función
g, razono para
encontrar
posibles
funciones f tales
que f’ = g.
Aplico las reglas
de derivación
para encontrar la
función derivada
usando álgebra
ii) Preguntas de comprensión
Sea f una función diferenciable.
1) Si f es positiva,...
[ ] entonces f’ debe ser positiva.
[ ] f’ no es necesariamente positiva.
2) Si f es estrictamente creciente,...
[ ] entonces f’ debe ser positiva.
[ ] f’ no es necesariamente positiva.
3) Si f’ es positiva,...
[ ] entonces f debe ser positiva.
[ ] f no es necesariamente positiva.
4) Si f’ es positiva,...
[ ] entonces f debe ser creciente.
[ ] f no es necesariamente creciente.
(Verifica las respuestas con tu profesor)
iii) Resuelvo un problema
a) Encuentra una función g tal que g(0) = 1 y g’(t) = 3 + 2t + sen(t). Verifica tu respuesta.
b) Encuentra todas las funciones g tal que g’’(t) = 1 − 5t + cos(t). Verifica tus
respuestas.
[Ayuda: vas a necesitar 2 parámetros para describir la familia de funciones]
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ACTIVIDAD
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ACTIVIDAD 2: DERIVADAS Y OPTIMIZACIÓN
Utilicemos la función derivada, derivando e igualando a cero, para encontrar máximos y mínimos
de una función en distintas situaciones de la vida.
A) Activando saberes previos
RECUERDA QUE...
● El máximo de un conjunto de números (si existe), es el número del conjunto que es mayor que
el resto de números del conjunto. El mínimo se define de forma similar.
● Optimizar significa hallar el máximo o el mínimo de cierto
conjunto.
Por ejemplo, supongamos que queremos ir del punto A al B.
Cada trayectoria tiene una longitud asociada.
De todas las trayectorias, la que optimiza (en este caso,
minimiza) la distancia es el segmento de recta.
Otro ejemplo: Supongamos que tenemos una función f dada
por esta tabla:
x 0 2 4 6 8 10
f(x) 3 5 11 11 9 7
El máximo valor de la función es 11. Hay dos valores de x que maximizan la función: x = 4 y
x = 6. Decimos que en esos valores de x la función alcanza su máximo valor.
PRACTICA
i) Completa esta tabla, escribiendo el tipo de optimización
que escogerías para cada función. Justifica brevemente.
Función Optimización (MAX o MIN)
Tiempo de preparación de
un almuerzo
Minimizar (entre menos
tiempo, mejor)
Velocidad al correr una
carrera
ii) Considera la función G dada por:
r 0 1 2 3 4 5 6
G(r) −6 −3 −7 −8 −3 −9 −4
a) ¿Cuáles son los valores óptimos de la
función?
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ACTIVIDAD
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Descuento que me dan en
una compra
Personas que van a mi
concierto
Costo de un material que
voy a comprar
b) Da los valores de la variable en donde se
alcanza cada valor óptimo.
B) Conceptos
Exploremos: Maximicemos nuestras ganancias
Antes de comenzar, discute en clase: ¿Qué herramientas utilizas para encontrar la forma de
ahorrar el máximo dinero posible, o de maximizar tus ganancias en un negocio?
Eres el organizador de una gran final de baloncesto que se va a jugar en un coliseo que alberga hasta 2
000 personas. Estás pensando cuánto cobrar por entrada para maximizar las ganancias.
Un amigo te sugiere cobrar $50 000, pero crees que si bien
ganarías mucho por persona, es posible que ese precio sea muy
alto y poca gente compre la boleta.
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Te sugieren cobrar poco, por ejemplo $10 000. Pero crees que si bien así atraerías a muchas personas, la
tarifa es muy baja y no recogerías tanto dinero.
La idea es encontrar el precio “perfecto”, ni muy barato, ni
muy costoso, que maximice tus ganancias.
Encuestas a varias personas, donde descubres lo siguiente:
● Si cobraras X = $10 000 por boleta, entonces atraerías
a A = 1800 asistentes.
● Por cada $1 000 que le subas al precio de la boleta, 40
personas menos estarán interesadas en ir.
Ejemplo: si cobras $11 000 por boleta, entonces 1760 personas
asistirían en total.
Antes de continuar: ¿Qué precio cobrarías? ¿Cuánto dinero recaudarías con ese precio?
Primero decides explorar con 5 precios distintos. Llamemos X al precio y G al dinero ganado o recaudado.
G es una función. Dado que G depende del precio y del # de asistentes, pero el # de asistentes depende
totalmente del precio, entonces podemos decir que G solo depende de x, y podemos escribir:
G = G(X).
Además sabemos:
G(10 000) = 1800 ; si x aumenta en $1000, entonces la cantidad de personas disminuye en 40. Así que por
cada aumento en $25 se pierde una persona. Esto nos dice que la función A(x) del número de asistentes
tiene una pendiente de −1
25.
Hagamos una tabla con distintos valores de X, viendo cuánto ganaríamos en cada caso:
x (pesos) A(x) = # de Asistentes G(x) (pesos) (x • A)
10 000 1800 10 000 • 1 800 = 18’000 000
20 000 1800 − 40(10) = 1400 20 000 • 1 400 = 28’000 000
40 000 1800 − 40(30) = 600 40 000 • 600 = 24’000 000
50 000 1800 − 40(40) = 200 50 000 • 200 = 10’000 000
Según la tabla, nos conviene cobrar $20 000… pero, ¿habrá mejores valores? Seguramente.
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En general, A(x) = 1800 − 40(x − 10000)/1000, como puedes comprobar. Simplificando:
A(x) = 2200 −1
25𝑥
Entonces, la función G(x) tiene la siguiente fórmula:
G(x) = 𝑥 • 𝐴(𝑥) = 𝑥( 2200 −1
25𝑥 ) = 2200𝑥 −
1
25𝑥2 .
G es una parábola invertida dado que el coeficiente de x2 es negativo. Para encontrar su máximo valor,
recordemos que en ese punto la derivada debe ser igual a cero (y además conociendo las parábolas, solo
hay un valor de x con derivada 0). Así que podemos usar cálculo para detectar ese valor sin graficar!
Derivamos a G(x) e igualamos a 0 para hallar x:
G’(x) = 2200 −2
25𝑥 . Igualamos a 0: 2200 −
2
25𝑥 = 0 . Multiplicamos por 25 y dividimos entre 2:
25
22200 − 𝑥 = 0, entonces x = 27 500. Este es el vértice de la parábola, que es su máximo.
Las ganancias serán G(x) = g(27 500) = 2200(27500) −1
25(27500)2 = 30′250 000 .
Responde:
a) ¿Cuál es el dominio y el rango de la función G(x)? Recuerda que las ganancias deberían ser no
negativas...
b) Grafica la función G(x) en tu cuaderno (puedes completar cuadrado antes de hacer la gráfica) para
verificar que el máximo ocurre en el punto x = 27 500.
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Mini-explicación: Optimizando una función usando derivadas
Optimizando
usando
derivadas
Supongamos que tenemos una situación de la vida en la que
queremos que cierta cantidad F sea lo máximo (o mínimo)
posible.
Entonces decimos que vamos a OPTIMIZAR el valor de F.
Llamamos a F la función o valor OBJETIVO (pues es lo que
nos interesa en últimas).
F puede ser una función de varias variables, pero intentamos,
utilizando las restricciones que conocemos, expresarla en
función de SOLO UNA VARIABLE x.
Así, F = F(x).
Debemos conocer muy bien el dominio de F: el conjunto de valores de X que tienen sentido
para usar como entradas, en la situación que estamos analizando.
Entonces derivamos a F con respecto a x, igualamos a 0 y hallamos el valor de x (en muchos
casos es uno solo):
F’(x) = 0. Raíces de la función F’
Después utilizamos lo que sabemos de F (la forma de su gráfica, o valores de F’ a la
izquierda o derecha de F) para concluir si dimos con un máximo, un mínimo, o ninguno.
Finalmente calculamos Y = F(x) para ver cuál es el valor óptimo (en caso de concluir que sí
era un extremo). En caso de haber dos posibles candidatos, comparamos valores.
En el ejemplo de la exploración:
● Queríamos MAXIMIZAR la función de ganancias, G.
● G depende de X (precio de cada boleta) y A (# de asistentes)
● La restricción ayuda a expresar A en términos de X: A(x) = 2200 −1
25𝑥.
● Usando la restricción, la función G(x, A) se nos vuelve G(x) en términos solo de x.
● Derivando G(x) e igualando a 0, obtuvimos x = 27 500. Sabiendo que G era una
parábola invertida, concluimos que en ese x estaba nuestro máximo absoluto.
● Hallamos las ganancias, reemplazando el x hallado en G: G(x) = 30'250 000.
Paso 1: Ejemplo: Maximizando el área
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Consideremos todos los rectángulos de perímetro 12 que podemos construir. Hay infinitos. La restricción
es que el perímetro sea 12, lo cual nos da una relación entre x y y (las dimensiones del rectángulo).
De todos estos rectángulos, ¿cuál es el que tiene el mayor área?
Solucionemos este problema. La función a optimizar es el área: queremos maximizar el área (no el
perímetro, recordemos que el perímetro es siempre 12, y esta es nuestra restricción).
A(x, y) = x • y. Esta es una función de x y de y.
La restricción que tenemos nos va a dar una relación entre las variables,
para poder expresar una en términos de la otra:
P = 12, así que 2x + 2y = 12, o simplificando: x + y = 6. Es decir,
y = 6 − x.
Ahora tomamos A de nuevo, y podemos pensar que es una función solo de x
(o solo de y):
A(x) = x • y = x • (6 − x) = 6x − x2.
Ahora sí estamos listos para derivar: A’(x) = 6 − 2x = 0, así que x = 3. Entonces y = 3
también, y la figura que descubrimos es un cuadrado: x = 3 = y, y el área es igual a 9.
Conclusión: de todos los rectángulos de perímetro 12, el de mayor área posible es el cuadrado, con lado X
= 3, y área A(X) igual a 9. La gráfica nos muestra el área del rectángulo, en función del lado x, con 0 < x <
6.
Paso 2A: Completa este ejemplo: Minimizando perímetros
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En el paso 1 mostramos cómo podíamos maximizar el área si fijábamos el perímetro (lo manteníamos
constante).
Ahora vamos a intentar minimizar el perímetro fijando el área.
Considera el conjunto de todos los rectángulos que tienen un área igual a 16 unidades cuadradas.
a) Completa esta lista con tus propios ejemplos de rectángulos, dando sus dimensiones x y y:
i) x = 8, y = 2; ii) x = 2, y = 8 ; iii) x = 10, y = 16/10; …
b) La función que queremos minimizar es el perímetro: P(x,y) = 2x + 2y.
Utiliza la restricción dada para escribir a P como función de solo una variable.
c) Optimiza P, resolviendo el problema. ¿Cuál es la figura? ¿Y cuál es el perímetro?
Paso 2B: Completa este ejemplo: Una huerta
Una huerta actualmente tiene 50 árboles y cada árbol produce 800
frutos. Por cada árbol extra que se plante, la producción por árbol baja en
10 frutos.
¿Cuántos árboles extra deberíamos plantar para maximizar la producción
total de frutos en la huerta?
a) Completa esta tabla con algunos valores de x, el número de árboles, así
como del número de frutos por árbol y el número total de frutos:
x (# de árboles) u(x) = producción de frutos por árbol Producción total de frutos
50 800 50 • 800 = 40 000
51 790 ?
60 ? ?
? ? ?
b) ¿Cuál es tu función objetivo? Es decir, la función que quieres minimizar. ¿De qué variable depende?
Dale un nombre a tu función.
c) Resuelve el problema. ¿Cuántos árboles más sembrar? ¿Cuántos frutos se producirán en total?
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Paso 3: 1-2-4: Tu turno (individual, en parejas y en grupos de 4)
Trabaja primero individualmente. En este ejemplo
queremos minimizar el costo de cierta lata.
Queremos que una lata tenga una capacidad de 20π
metros cúbicos. El material de las bases circulares
(tapa y fondo) cuesta $10000 por metro cuadrado. El
material del lado cuesta $8 000 por metro cuadrado.
Da un ejemplo de una lata, dibujándola (recuerda que su
volumen debe ser V = 𝜋𝑅2ℎ = 20 𝜋 𝑚3). Debes decir qué
valores elegiste para el radio de la base R, y para la
altura de la lata h. Además, debes calcular el costo.
Júntate con otro estudiante. Entre ambos comparen sus
latas y decidan cuál es más económica. Intenten juntos
encontrar una lata aún más económica.
Júntense con otra pareja y compartan sus dibujos y
soluciones. Después, usen derivadas para encontrar de
forma exacta las dimensiones R y h de la lata más económica posible. Recuerden que la función
objetivo es el COSTO, y deben dar una fórmula de ella en términos de solo una variable (ya sea R
o h, es su elección).
Finalmente, elaboren una cartelera o presentación digital con todos los ejemplos de latas y con la deducción
matemática de las dimensiones que minimizan el costo.
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C) Resuelve y practica
1) Considera todos los números x, y cuya
suma es igual a 100.
De esos números, ¿cuáles hacen que el
producto xy sea el máximo posible?
2) Una huerta actualmente tiene 20 árboles
y cada árbol produce 100 frutos. Por cada
árbol extra que se plante, la producción por
árbol baja en 6 frutos.
¿Cuántos árboles extra deberíamos plantar
para maximizar la producción total de frutos
en la huerta? Explica.
3) Se quiere producir una lata cilíndrica para
envasar gaseosas, cuyo área de superficie,
incluyendo su tapa y fondo circulares, sean
de 80 cm2. ¿Cuáles deben ser las medidas
(radio de base y altura) del envase si
queremos maximizar su volumen?
4) Se quiere construir una ventana de forma
como en la figura: la parte inferior es un
rectángulo, y la
parte superior es un
semi círculo.
Si se tienen 12
metros para el
perímetro (marco)
de la ventana, ¿qué
dimensiones
deberíamos escoger
para maximizar la
cantidad de luz que
entre al cuarto?
5) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de mayor
área posible que cabe dentro de un círculo de radio r?
¿Qué porcentaje del área del círculo representa el área
del rectángulo?
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D) Resumen
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E) Valoración
i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno
Tema ⚫⚪⚪ No entiendo
los conceptos
(TODAVÍA)
⚫⚫⚪ Voy bien
pero quiero
más
práctica
⚫⚫⚫ Comprendí
muy bien
el tema
Expreso funciones
que originalmente
dependen de 2
variables como
funciones de una
sola variable,
usando como ayuda
una restricción
algebraica que
relacione las dos
variables.
Dada una situación
de optimización de
una función de dos
variables,
encuentro una
ecuación
“restricción” que
relaciona ambas
variables.
Optimizo una
función en una
situación real,
hallando su
máximo o mínimo
valor (así como la
variable que logra
dicho valor)
usando la derivada.
ii) Preguntas de comprensión
1) La función 3x + 1 en el conjunto [0, 6)...
[ ] no tiene máximo.
[ ] tiene máximo.
2) La función 3x + 1 en el conjunto [0, 6)...
[ ] no tiene mínimo.
[ ] tiene mínimo.
3) La función −3x2 + 1 en el conjunto R
(todos los reales)...
[ ] no tiene mínimo.
[ ] tiene mínimo.
4) La función −3x2 + 1 en el conjunto R
(todos los reales)...
[ ] no tiene máximo.
[ ] tiene máximo.
(Verifica las respuestas con tu profesor)
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iii) Resuelvo un problema
Considera todos los números x, y cuyo producto es igual a 60.
a) Da 5 ejemplos de estas parejas de números.
b) De todas las parejas de números x, y, ¿cuál o cuáles hacen que la suma x + y sea la mínima
posible?