guía de estudio de matemáticas iv · 2020. 10. 15. · al estudio y preparación de tu próximo...

Universidad Nacional Autónoma de México

Colegio de Ciencias y Humanidades

Plantel sur

Guía de Estudio de

Matemáticas IV Programa de Estudios Actualizado 2016

Elaborada por:

Juan Miguel Bautista Granados

Karen Alejandra Carmona Romero

María del Rocío Flores Marín

Mario Jiménez Velasco

Fabiola Medina Cabrera

Carlos Federico Navarro Torres

Alejandro Octavio Sánchez Nieto

Héctor Javier Santos Toledo

Septiembre 2020

Universidad Nacional Autónoma de México

Escuela Nacional Colegio de Ciencias y Humanidades Plantel Sur

Guía de estudios para preparar el examen extraordinario de

MATEMÁTICAS IV

Basado en el programa actualizado de 2016

Autores: Juan Miguel Bautista Granados

Karen Alejandra Carmona Romero María del Rocío Flores Marín

Mario Jiménez Velasco Fabiola Medina Cabrera

Carlos Federico Navarro Torres Alejandro Octavio Sánchez Nieto

Héctor Javier Santos Toledo

Septiembre 2020 .

Contenido

Introducción ............................................................................................................................................................ i

Instrucciones ........................................................................................................................................................... i

Unidad 1. Funciones polinomiales .......................................................................................................................... 1

Funciones polinomiales ...................................................................................................................................... 7

Soluciones a los ejercicios propuestos ............................................................................................................. 43

Unidad 2. Funciones Racionales y Funciones con radicales .................................................................................. 52

Funciones Racionales ....................................................................................................................................... 55

Funciones con radical ....................................................................................................................................... 73

Soluciones a los ejercicios propuestos ............................................................................................................. 86

Unidad 3. Funciones exponenciales y logarítmicas .............................................................................................. 95

Funciones exponenciales ................................................................................................................................ 100

Funciones logarítmicas ................................................................................................................................... 116

Soluciones a los ejercicios y problemas. ......................................................................................................... 125

Unidad 4. Funciones Trigonométricas. ............................................................................................................... 128

Funciones trigonométricas ............................................................................................................................. 131

Solución a los ejercicios propuestos ............................................................................................................... 153

Referencias ......................................................................................................................................................... 163

i

Introducción La presente guía para preparar el examen extraordinario para Matemáticas IV Álgebra y Geometría, ha sido elaborada por el interés y esfuerzo de un grupo de profesores del Área de Matemáticas y está estructurada de acuerdo con el programa indicativo de la asignatura y con la definición que se da en el Protocolo de Equivalencias de guía de examen extraordinario.

Se realizó con la finalidad de que los estudiantes del Plantel Sur puedan preparar por su propia cuenta el examen extraordinario de la asignatura de Matemáticas IV, y que para ello cuenten con las herramientas necesarias, tomando como base el Programa de Estudios Actualizado.

En ella se indican los aprendizajes que el estudiante debe alcanzar, a través de una serie de explicaciones teóricas y ejemplos prácticos que corresponden a estos, adicionalmente en cada tema se presentan ejercicios cuyas respuestas se pueden consultar al termino de cada unidad, esto permite que el alumno autoevalúe su proceso de preparación para la prueba. Al final del documento se encuentran las referencias que pueden consultar los estudiantes para revisar y profundizar los temas que aquí se presentan.

Instrucciones ¿Cómo utilizar la guía para preparar el examen extraordinario?

Está guía te permitirá trabajar a tu propio ritmo, por lo que es necesario que le dediques el tiempo suficiente al estudio y preparación de tu próximo examen. Inicia explorando la guía y luego resuélvela, puede que necesites un cuaderno para tomar notas y resolver los ejercicios y problemas que se encuentran en ella.

La guía incluye actividades organizadas por unidades y temas, que corresponden a los aprendizajes del Programa de Estudios Actualizado de Matemáticas IV. Estas actividades contienen explicaciones teóricas y ejemplos que te permitirán entender cada tema, además de ejercicios y problemas junto con sus soluciones para que practiques y autoevalúes tu desempeño, también se presenta una lista de referencias bibliográficas al final del documento para que los consultes si deseas revisar o profundizar en los temas.

► Dedica un tiempo para preparar tu examen. ► Ten un cuaderno para tus notas, apuntes y dudas. ► Utiliza pluma, lápiz y calculadora para tomar notas y resolver los ejercicios y problemas. ► Lee con cuidado los objetivos, explicaciones y ejemplos resueltos. ► Elabora resúmenes y esquemas de lo más importante del tema y de la unidad. ► Identifica los conceptos clave y asegúrate de entenderlos. ► Elimina distracciones. ► Autoevalúa tu progreso realizando los ejercicios y comparando tus respuestas con las que incluye la

guía. ► Resuelve tus dudas y si es necesario acude al Programa de Asesorías del plantel.

Unidad 1. Funciones Polinomiales

1

Unidad 1. Funciones polinomiales

Presentación

Propósito:

Al finalizar, el alumno: Habrá avanzado en el estudio de las funciones al introducir la notación funcional y la noción de dominio y rango. Relacionando la expresión algebraica de una función polinomial con su gráfica y analizará su comportamiento. Con base en la resolución de problemas y en contexto, usará las gráficas, tablas, expresión matemática para explicar los procesos involucrados.

Aprendizajes:

Con relación a los conocimientos y destrezas, el alumno en función de la resolución de problemas:

• Explora diferentes relaciones, reconociendo las condiciones necesarias para determinar si una relación es función, la simboliza y distingue el dominio y el rango.

• Comprende el significado de la notación funcional, la utiliza para representar y evaluar funciones polinomiales. Usa la notación de intervalos para representar dominio y rango de una función.

• Aplica la división sintética, el teorema del residuo, el teorema del factor, su recíproco para determinar los ceros de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) y su gráfica.

• Construye una función polinomial a partir de las raíces de su ecuación y bosqueja su gráfica y a partir de una función polinomial calcula los ceros y realizará su gráfica.

• Reconoce a las funciones como modelos de variación de fenómenos naturales, económicos y sociales.

Temáticas:

► Relación. ► Noción generalizada de función. ► Situaciones que se modelan con una función polinomial.

► Relación entre dos variables. ► Regla de correspondencia. ► Dominio y rango.

► Notación funcional:

► 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 + ⋯+ 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0 ► Intervalos. ► División sintética, teorema del residuo, teorema del factor y su recíproco. ► Ceros de la función y raíces reales y complejas de la ecuación. ► Raíces de multiplicidad impar o par, para observar el comportamiento gráfico. ► Graficación de funciones. ► Cálculo de ceros y graficación de funciones. ► Problemas de aplicación.


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Simbología

ℝ Números reales ≤ Menor o igual que

ℕ Números naturales ≥ Mayor o igual que

{ } Conjunto [𝑎𝑎,𝑏𝑏] Intervalo cerrado

| Tal que (𝑎𝑎,𝑏𝑏) Intervalo abierto

∈ Pertenece (𝑎𝑎,𝑏𝑏] Intervalo semiabierto o semicerrado

∉ No pertenece [𝑎𝑎, 𝑏𝑏) Intervalo semiabierto o semicerrado

𝑓𝑓(𝑥𝑥) Función que depende de 𝑥𝑥 𝐷𝐷𝑓𝑓 Dominio de la función

𝑃𝑃(𝑥𝑥) Polinomio como función de 𝑥𝑥 𝑅𝑅𝑓𝑓 Rango de la función

(𝑥𝑥,𝑦𝑦) Pareja ordenada que representa un punto en el plano cartesiano ⋃ Unión de dos conjuntos

< Menor que ∴ Por lo tanto

> Mayor que


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Conceptos clave

Función. Una función es una relación que asocia un elemento del Dominio con uno solo del Rango.

La notación funcional indica el nombre de la función con la variable de la que depende, por ejemplo.

La función G que depende de t se escribe como: 𝐺𝐺(𝑥𝑥)

La función H que depende de α se escribe como: 𝐻𝐻(𝛼𝛼)

Dominio (Df). El dominio de una función es el conjunto de valores para los que está definida la función, es decir, son los valores que pueden ser sustituidos y transformados por la regla de correspondencia, en otras palabras, es el conjunto de valores que se le pueden dar a la variable independiente en la regla de correspondencia de una función. En otras palabras, en una función, es el conjunto de todos los valores que están relacionados con al menos un elemento del conjunto 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐. Se escribe 𝐷𝐷𝑓𝑓 para la función f, 𝐷𝐷𝑞𝑞 para la función 𝑞𝑞, etc.

Rango (Rf). En una función, es el conjunto de todos los elementos con los que se asociaron los elementos del conjunto dominio. Se escribe 𝑅𝑅𝑓𝑓 para la función f, 𝑅𝑅𝑞𝑞 para la función 𝑞𝑞, etc.

Conjunto. Es una colección de elementos que comparten una o más características.

Por ejemplo:

- El conjunto, 𝐴𝐴, de todos los números pares se puede expresar como:

𝐴𝐴 = {2,4,6, … ,∞}

- El conjunto, 𝐵𝐵, de número reales menores o iguales que 7 se puede expresar como:

𝐵𝐵 = {𝑥𝑥|𝑥𝑥 ≤ 7, 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 ∈ ℝ}

Polinomio. Expresión algebraica, en nuestro caso comuna sola variable, conformada sumas de términos algebraicos cuyos coeficientes son números reales (ℝ) y los exponentes de la variable independiente son números naturales (ℕ). Su expresión matemática tiene la siguiente forma:

𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑎2𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0

Donde 𝑐𝑐 ∈ ℕ; 𝑎𝑎𝑛𝑛 ∈ ℝ

El conjunto de valores {𝑎𝑎𝑛𝑛,𝑎𝑎𝑛𝑛−1, … ,𝑎𝑎3,𝑎𝑎2,𝑎𝑎1, 𝑎𝑎0} son los coeficientes de todos los términos, y donde el principal es diferente de cero, 𝑎𝑎𝑛𝑛 ≠ 0; y 𝑎𝑎0 es el término independiente.

El exponente de todos los términos debe ser un número entero, de lo contrario no sería un polinomio.


4

Intervalo. Subconjunto de números de la recta numérica (generalmente números reales ℝ). Hay tres tipos de intervalos: abierto, cerrado y semicerrado (o semiabierto). En la siguiente tabla se muestran las diferentes formas de representar un intervalo.

Tipo de intervalo Expresión en lenguaje natural Notación de

intervalo Notación algebraica

Cerrado Todos los valores de 𝑥𝑥 que son mayores o iguales que 𝑎𝑎 y menores o iguales que 𝑏𝑏 [𝑎𝑎. 𝑏𝑏] 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏

Gráfica

Abierto Todos los valores de 𝑥𝑥 que son mayores que 𝑎𝑎 y menores que 𝑏𝑏 (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) 𝑎𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏

Gráfica

Semiabierto (o semicerrado)

Todos los valores de 𝑥𝑥 que son mayores que 𝑎𝑎 y menores o iguales que 𝑏𝑏 (𝑎𝑎,𝑏𝑏] 𝑎𝑎 < 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏

Gráfica

Los puntos blancos se denominan huecos y son “puntos faltantes” en las rectas numéricas anteriores.

Grado de un polinomio. Es el valor del mayor exponente de todas las potencias de la variable.

Por ejemplo, el polinomio: 𝑃𝑃 = 2𝑥𝑥5 + 5𝑥𝑥4 − 43 − 6𝑥𝑥2 + 11𝑥𝑥 − 7,

- Coeficiente principal: +2

- Grado del polinomio: 5

- Término independiente: −7

Regla de correspondencia. Expresión matemática que determina la manera en que serán asociados los elementos del dominio con los del rango.

Ceros de la función. Puntos de intersección de una gráfica con el eje de las abscisas (𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ℎ𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑎𝑎𝑜𝑜 𝑥𝑥); esto implica que en estos puntos el valor de la ordenada es cero (𝑦𝑦 = 0).

Factorizar. Escribir una expresión matemática como un producto de factores más simples.


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Concepto de Función

Función

Una función es una relación que asocia a cada elemento del dominio con uno y sólo un elemento del rango, y se denota generalmente con la letra 𝑓𝑓.

Considera el siguiente conjunto y su gráfica correspondiente:

𝒇𝒇 = {(1,3), (2,4), (3,5), (4,4)}

Observa que no se repite ninguna de las coordenadas del dominio, razón por la cual, 𝒇𝒇 es una función.

En ella, el dominio y el rango respectivamente son:

𝑫𝑫𝒇𝒇 = {𝟏𝟏,𝟐𝟐,𝟑𝟑,𝟒𝟒} y 𝑹𝑹𝒇𝒇 = {𝟑𝟑,𝟒𝟒,𝟓𝟓}

Ejercicio 1. Dados los siguientes conjuntos de parejas ordenadas, explica por qué son o no funciones y determina su dominio y su rango.

1. 𝑅𝑅1 = {(1,2), (2,5), (3,8), (4,11), (5,14), (6,15)(−3,7), (10,−4)} a) ¿Es función?

b) 𝐷𝐷𝑅𝑅1 = __________________

c) 𝑅𝑅𝑅𝑅1 = ___________________

2. 𝑅𝑅2 = {(1,4), (−5,7), �−12

, 6� , �6, 12� , (1,5), (2,7) }

a) ¿Es función?

b) 𝐷𝐷𝑅𝑅2 = __________________

c) 𝑅𝑅𝑅𝑅2 = ___________________


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3. A partir de los elementos seleccionados en el plano cartesiano, explica por qué son o no funciones y determina

su dominio y su rango.

a) ¿Es función? ¿Por qué?

b) 𝐷𝐷𝑓𝑓 = __________________

c) 𝑅𝑅𝑓𝑓 = ___________________

4. A partir de los elementos seleccionados en el plano cartesiano, explica por qué son o no funciones y determina su

dominio y su rango.

a) ¿Es función? ¿Por qué?

b) 𝐷𝐷𝑓𝑓 = __________________

c) 𝑅𝑅𝑓𝑓 = ___________________


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Funciones polinomiales

Una forma de entender y describir el mundo es por medio de distintos tipos de funciones. Existen infinidad de variables relacionadas bajo una regla o patrón específico, como el descenso de temperatura en función del tiempo, la rapidez con la que se propaga una enfermedad, o las ventas esperadas de un pequeño negocio, dependiendo de la época del año, y las funciones polinomiales pueden explicar diversos fenómenos.

Problema. Un servicio de taxi cobra con taxímetro una cuota inicial fija, más una cantidad proporcional al tiempo de duración del viaje. Un día abordas uno de estos vehículos y dos minutos después de haber abordado, el pago es de $ 𝟗𝟗; después de tres minutos observas que ahora debes pagar $ 𝟏𝟏𝟓𝟓. ¿Cuál es el banderazo de salida de estos vehículos, si se considera una relación lineal entre el cobro y la duración del viaje?

Solución.

Identificación de variables

El cobro (dinero, en pesos) depende de la duración del viaje (tiempo, en minutos).

Lo anterior indica que:

Variable independiente tiempo t (en minutos) Variable dependiente costo del viaje C (en pesos) La relación se escribe como: 𝑪𝑪(𝒕𝒕) la función C depende de t

Modelación

Como el pago y duración del viaje son proporcionales, podemos calcular la razón de cambio entre ellos considerando los dos momentos que revisaste el taxímetro:

𝐴𝐴(2, 9) y 𝐵𝐵(5, 15)

Como la relación en el cobro 𝐶𝐶(𝑜𝑜) y duración del viaje (𝑜𝑜) es lineal, se puede calcular la razón de cambio o pendiente de la recta (en matemáticas III se obtenía con 𝑐𝑐 = 𝑦𝑦2−𝑦𝑦1

𝑥𝑥2−𝑥𝑥1 )

𝑐𝑐 =𝐶𝐶(𝑜𝑜2) − 𝐶𝐶(𝑜𝑜1)

𝑜𝑜2 − 𝑜𝑜1=

15 − 95 − 2

=63

= 2

La razón de cambio entre las variables indica que, por cada minuto, el cobro se incrementa en $2.

La ecuación de la recta en su forma ordinaria es: 𝒚𝒚 = 𝒎𝒎𝒎𝒎 + 𝒃𝒃 en la que 𝑥𝑥 = 𝑜𝑜, 𝑦𝑦 = 𝐶𝐶

Se sustituye el valor de la pendiente 𝑐𝑐 obtenido: 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 𝑏𝑏

Unidad 1. Funciones polinomiales.

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Ahora, se sustituyen las coordenadas de un punto, por ejemplo 𝐴𝐴(2, 9) para obtener el valor de la ordenada al origen 𝒃𝒃

9 = 2(2) + 𝑏𝑏

9 = 4 + 𝑏𝑏

𝑏𝑏 = 5

El mismo valor de la ordenada al origen se debe

obtener con cualquiera de los puntos conocidos,

de esta forma, con el punto 𝐵𝐵(5, 15) se obtiene

(ojo, no es necesario hacerlo, pero sirve como

comprobación):

15 = 2(5) + 𝑏𝑏

15 = 10 + 𝑏𝑏

𝑏𝑏 = 5

Ya con m (pendiente) y b (ordenada al origen), la ecuación queda como: 𝒚𝒚 = 𝟐𝟐𝒎𝒎 + 𝟓𝟓

La función costo (𝐶𝐶) que depende de la duración del viaje (𝑜𝑜) queda como: 𝑪𝑪(𝒕𝒕) = 𝟐𝟐𝒕𝒕 + 𝟓𝟓

Graficación

Es importante recordar que cuando se ubican puntos en el plano cartesiano, se hace a partir de un par ordenado (𝑥𝑥,𝑦𝑦), donde la variable independiente es 𝒎𝒎 y la dependiente es 𝒚𝒚. En este problema, el costo del viaje (𝐶𝐶) depende del tiempo que dure el recorrido (𝑜𝑜), para expresar esta dependencia se escribe 𝐶𝐶(𝑜𝑜). Y estos nombres son los que denominan a los ejes cartesianos.

Hay diferentes formas de proceder para graficar una función polinomial de grado uno, algunas de ellas las utilizaste en matemáticas III, en la unidad: La recta y su ecuación cartesiana. A continuación, se mencionan dos, utiliza cualquiera:

1. Elabora una tabla de valores con algunos valores de t y obtén los valores de C con la función modelada anteriormente.

2. Ubica la ordenada al origen en el plano cartesiano, y, según indique la pendiente muévete en el plano para ubicar otro punto, continua así y junta los puntos.

Interpreta la gráfica

¿Cómo interpretas el punto azul ubicado en la gráfica?

_______________________________

_______________________________

_______________________________

_______________________________


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En este problema, la función que modela su solución es una función lineal (función polinomial de grado 1), por lo que su gráfica es una recta.

Dominio y Rango

Aunque una función lineal tiene como dominio el conjunto de todos los números reales, esto es, 𝐷𝐷𝑓𝑓 =(∞,∞), en el contexto del problema el dominio es 𝐷𝐷𝐶𝐶 = [0,∞), pues no tiene sentido hablar de valores negativos del tiempo. En el caso del Rango de la función en el contexto, es el conjunto de todos los valores mayores a $ 5, que es el banderazo, esto es, 𝑅𝑅𝐶𝐶 = [5,∞).

En adelante, para representar funciones que dependen de 𝑥𝑥, usaremos la notación 𝑓𝑓(𝑥𝑥), de tal manera que 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦.

Por ejemplo, la función

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥4 − 5𝑥𝑥3 + 11𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 + 1

Es una función polinomial de cuarto grado, que depende de 𝑥𝑥 y su coeficiente principal es positivo.

El plano cartesiano de la derecha es el asociado a ella pues los ejes están nombrados de acuerdo con la función en cuestión 𝑓𝑓(𝑥𝑥) y a su variable independiente 𝑥𝑥.

El problema anterior nos deja que ver que analizar la forma algebraica, es equivalente a estudiar su gráfica correspondiente. Por otra parte, la facilidad para hacer la gráfica de una función lineal nos permite ver prescindir de hacer una tabla, ya que tener dos puntos de ella no es suficiente. Además, el estudio de una función mediante una tabla de valores puede dificultar la resolución de un problema debido a la poca información que se puede predecir sólo con la tabla. Sin embargo, también es una forma de representar el comportamiento de una función.

Representaciones de una función

Algebraica

C(t) = 2t + 5

Tabla de valores

Gráfica


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Funciones lineales

Son funciones polinomiales de primer grado. Su forma algebraica es: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏; y en el plano cartesiano representan rectas (no verticales (𝑎𝑎 ∈ ℝ) ni horizontales (𝑎𝑎 ≠ 0)).

Ejercicio 2.

Como en el problema anterior, obtén las tres representaciones (algebraica, tabular y gráfica) del siguiente problema.

Junto con tu familia viajarás a la ciudad de Villahermosa, Tabasco, a la cual hay una distancia de 762𝑘𝑘𝑐𝑐, tienen pensado rentar un automóvil cuyo tanque de gasolina tiene una capacidad de 40𝐿𝐿 y un rendimiento de 17𝑘𝑘𝑐𝑐/𝐿𝐿. Llenan el tanque al salir y desean conocer la cantidad disponible en el tanque de gasolina a medida que recorren el camino.

1. ¿Cuál es el modelo matemático (representación algebraica) que relaciona la cantidad disponible

de gasolina (G) en función de la distancia (d) recorrida?

2. Elabora una tabla de valores con algunas distancias recorridas y la cantidad de gasolina restante

en el tanque.

3. Elabora la gráfica correspondiente del modelo anterior.

4. Define el dominio y el rango de los valores que representan la situación.


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Funciones cuadráticas

Las funciones cuadráticas se identifican fácilmente a partir de sus representaciones:

a) La función polinomial es de grado 2

Ejemplos: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −6𝑥𝑥2 + 7; 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4(𝑥𝑥 − 1)2 + 23

b) La gráfica de la función es una parábola vertical, ya sea cóncava hacia arriba o hacia abajo.

Ejemplo:

Elementos de una función cuadrática:

a) Forma general/estándar

Forma general

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐

𝑎𝑎 ≠ 0

Forma estándar

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − ℎ)2 + 𝑘𝑘

b) Vértice (máximo/mínimo)

𝑉𝑉�ℎ,𝑓𝑓(ℎ)� de la forma general

𝑉𝑉(ℎ,𝑘𝑘) de la forma estándar

c) Concavidad

- Hacia arriba: 𝑎𝑎 > 0

- Hacia abajo: 𝑎𝑎 < 0

d) Ceros de la función

e) Intersección con el eje “y”

f) Gráfica

g) Dominio 𝐷𝐷𝑥𝑥

h) Rango 𝑅𝑅𝑥𝑥


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Ejemplo. Hallar los elementos de la siguiente función: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 3)2 − 4 (observa que la función esta en su forma estándar).

a) Forma general. Se desarrolla el binomio al cuadrado y se simplifican los términos:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 5

b) Vértice. Se obtiene a partir de la forma estándar de la función: 𝑉𝑉(3.−4)

Observa que: 𝑓𝑓(ℎ) = 𝑓𝑓(3)

𝑓𝑓(3) = (3)3 − 6(3) + 5 𝑓𝑓(3) = 9 − 18 + 5 𝑓𝑓(3) = −4 = 𝑘𝑘

Con esto se verifica la equivalencia en la expresión de las coordenadas del vértice.

c) Concavidad: Hacia arriba, ya que 𝑎𝑎 = 1 > 0

d) Ceros de la función. Como es la intersección de la gráfica con el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥, la segunda coordenada es

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0. Entonces igualamos a cero la función y resolvemos:

0 = 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 5 0 = (𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 − 1) 𝑥𝑥 = 1; y 𝑥𝑥 = 5

∴ Los ceros de la función son los puntos: (1,0), (5,0)

e) Intersección con el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦. En la intersección, 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦, la segunda coordenada es 𝑥𝑥 = 0. Entonces

sustituimos este valor en la función:

𝑓𝑓(0) = (0)2 − 6(0) + 5 𝑓𝑓(0) = −4

Por lo tanto, la gráfica interseca al eje y en el punto: (0,5)

f) Gráfica.

o Usa una escala adecuada y uniforme en cada eje.

o Escribe el nombre en ambos ejes.

o Ubica en el plano cartesiano los puntos hallados en

los incisos anteriores.

o La gráfica siempre es suave (que no tiene picos).

o Usar la concavidad para trazar la gráfica.


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g) Dominio. Recuerda que las funciones polinomiales tienen como dominio todos los números

reales:

𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑓𝑓 = ℝ 𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑓𝑓 = (−∞,∞)

h) Rango.

o Si la función es cóncava hacia arriba: 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑓𝑓 = [𝑘𝑘,∞)

o Si la función es cóncava hacia abajo: 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑓𝑓 = (−∞,𝑘𝑘]

En nuestro ejemplo, es una parábola cóncava hacia arriba. Entonces: 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑓𝑓 = [−4,∞)

Problema. Una compañía teatral quiere establecer el precio de los boletos para una obra, ya que, si es muy bajo, no recolectará lo suficiente para cubrir los gastos; y si es muy alto tendrá poco público. Se espera que el ingreso total por presentación 𝐼𝐼(𝑥𝑥) en cientos de pesos, puede alcanzarse con la función:

𝐼𝐼(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥2 + 24𝑥𝑥 − 44 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 24

Donde 𝑥𝑥 es el costo del boleto, en dólares. Usa esta información para resolver los siguientes incisos:

a) Traza la gráfica del ingreso 𝐼𝐼(𝑥𝑥) contra el costo de un boleto 𝑥𝑥

b) ¿Cuánto debe cobrar para recibir el ingreso máximo?

c) Determina el ingreso máximo

d) Expresa el dominio y rango de la función restringida a las condiciones del problema

Solución

a) Para realizar la gráfica de la función, debes ubicar el

vértice, los ceros de la función y la intersección con el eje y.

b) ¿Cuánto debe cobrar para recibir el ingreso máximo?

El costo del boleto que permite obtener la máxima ganancia representa la coordenada de las abscisas del vértice.

∴ El costo del boleto que permite obtener la máxima ganancia es de 12 𝑈𝑈𝑈𝑈𝐷𝐷.

(0, 44)


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c) Determina el ingreso máximo

La ganancia máxima está representada en la gráfica por el valor de las ordenadas del vértice. Como se obtuvo en el inciso anterior, la ganancia máxima se obtiene al vender los boletos a un costo de 12 𝑈𝑈𝑈𝑈𝐷𝐷.

∴ El ingreso máximo es de 10 000 𝑈𝑈𝑈𝑈𝐷𝐷

d) El dominio de la función está determinado por el problema con la expresión:

0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 24 Entonces, 𝐷𝐷𝐼𝐼 = [0,24]

Para determinar el dominio, debemos revisar la parte de la gráfica correspondiente al intervalo del dominio.

𝐼𝐼(0) = −(0)2 + 24(0) − 44 = −44 𝐼𝐼(24) = −(24)2 + 24(24) − 44 = −44

Observa que loa posibles valores de ingresos van de $ − 4400 y hasta $ 10 000

∴ El rango de la función es 𝑅𝑅𝐼𝐼 = [−44,100]


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Ejercicio 3. En la siguiente tabla completa la información.

1) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = Función factorizada: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑅𝑅𝑎𝑎í𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐:

Intersección con eje y: Dominio: 𝐷𝐷𝑓𝑓 =

Rango: 𝑅𝑅𝑓𝑓 =

2) 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = Función factorizada: 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑅𝑅𝑎𝑎í𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐:

𝑥𝑥1 = −1 𝑥𝑥2 =32

Intersección con eje y:

𝑦𝑦 = 3 Dominio: 𝐷𝐷𝑔𝑔 = ℝ

Rango: 𝑅𝑅𝑔𝑔 = (−∞, 25 8]⁄

3- 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 1 Función factorizada: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑅𝑅𝑎𝑎í𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐:

Intersección con eje y: Dominio: 𝐷𝐷𝑓𝑓 =

Rango: 𝑅𝑅𝑓𝑓 =


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Algoritmo de la división

En las páginas previas hemos estudiado las funciones polinomiales de grado 1 y 2. Para hacerlo, las herramientas matemáticas que utilizamos ya te son familiares, Sin embargo, para el estudio de funciones de grado superior, se requiere de nuevas herramientas que nos permitan el estudio detallados de estas funciones. Una de estas es la división sintética; que nos permitirá obtener información importante para nuestro objetivo.

Para pode entender la división sintética, primero debemos recordar el algoritmo de la división. Observa el siguiente ejemplo:

Si utilizas las partes de la división anterior, podemos reescribir el dividen de la siguiente forma:

895 = (23)(38) + 21

¡Este es el algoritmo de la división!

Ahora extrapolemos lo anterior para la división de polinomios efectuando la división:

(4𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥 + 8) ÷ (𝑥𝑥 + 3)

Utilizando la división tradicional se obtiene:

Esto nos permite expresar el dividendo como: (4𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥 + 8) = (𝑥𝑥 + 3)(4𝑥𝑥 − 2) + 14


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Ahora veamos el siguiente ejemplo:

- Utiliza el algoritmo de la división para expresar el resultado de la división:

(𝟓𝟓𝑥𝑥3 − 𝟒𝟒𝑥𝑥2 − 𝟖𝟖𝑥𝑥 + 𝟑𝟑) ÷ (𝑥𝑥 − 3)

Observa el siguiente procedimiento (División Sintética):

a) Igualamos a cero el divisor y despejamos 𝑥𝑥:

𝑥𝑥 − 3 = 0 b) Ordenamos los términos del polinomio de mayor a menor y escribimos el valor de los coeficientes

(dividendo), a la izquierda escribimos el valor de x que hace cero la ecuación del inciso anterior

(divisor):

3 5 -4 -8 3

c) Bajamos el coeficiente principal (5↓5) y lo multiplicamos por 3 y el resultado lo colocamos en la

siguiente columna (5(3) = 15) y el renglón anterior y sumamos los valores de la columna: 3(5) =

15; y hacemos la suma de la segunda columna: −4 + (15) = 11

3 5 -4 -8 3

↓ 15

5 11

Algoritmo de la división

Al resolver la división 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ÷ (𝑥𝑥 − 𝑜𝑜), el algoritmo de la división expresa que el resultado de esta operación se expresa como sigue:

𝑷𝑷(𝒎𝒎) = 𝑸𝑸(𝒎𝒎) ∙ (𝒎𝒎 − 𝒓𝒓) + 𝑹𝑹

Dónde: 𝑷𝑷(𝒎𝒎) es el polinomio por dividir (dividendo); (𝒎𝒎 − 𝒓𝒓) es el divisor; 𝑸𝑸(𝒎𝒎) el cociente; y 𝑹𝑹 el residuo.


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d) Repetimos el inciso anterior, pero ahora multiplicamos 11(3) = 33 y lo colocamos en la siguiente

columna y sumamos con el de arriba (33 + (−8) = 25):

3 5 -4 -8 3

15 33

5 11 25

e) Finalmente, multiplicamos 25(3) = 75 y lo colocamos en la última columna y sumamos con el de

arriba (75 + 3 = 78):

3 5 -4 -8 3

15 33 75

5 11 25 78 Residuo

Los números azules son los coeficientes del cociente, el rojo es el residuo.

f) Para expresar el resultado de la operación utilizando el algoritmo de la división, se escribe:

5𝑥𝑥3 − 4𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 + 3 = (𝟓𝟓𝑥𝑥2 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝑥𝑥 + 𝟐𝟐𝟓𝟓)(𝑥𝑥 − 3) + 𝟕𝟕𝟖𝟖

Al procedimiento anterior se le conoce como división sintética.

Ejercicio 4. Utiliza la división sintética y el algoritmo de la división para expresar el resultado de las siguientes divisiones:

1. (4𝑥𝑥3 + 6𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥 − 4) ÷ (𝑥𝑥 − 1)

2. (𝑥𝑥3 − 5𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 − 6) ÷ (𝑥𝑥 − 4)

3. (𝑥𝑥4 + 11𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥3 − 15) ÷ (𝑥𝑥 − 2)

4. (3𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥) ÷ (𝑥𝑥 − 3)

Nota. Cuando no aparecen términos con todas las potencias, en su lugar se coloca un 0.

5. (𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥3 − 1) se reescribe: (𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥3 + 0𝑥𝑥2 + 0𝑥𝑥 − 1) ÷ (𝑥𝑥 − 1)


19

Teorema del factor

Al realizar una división, decimos que el divisor es un factor si el residuo de esa división es cero. Veamos un ejemplo aritmético.

- Resolver la división: 72 ÷ 3

24 3 72 12 0 Residuo

Como el residuo es cero, decimos que 3 es un factor de 72; además, utilizando el algoritmo de la división, obtenemos: 72 = 24(3) + 0

Si extrapolamos esta definición a los polinomios, diremos que un binomio (𝑥𝑥 − 𝑜𝑜) es un factor del polinomio 𝑃𝑃(𝑥𝑥), si al hacer la división el residuo es cero, 𝑅𝑅 = 0.

Ejemplo.

1. El binomio (𝑥𝑥 + 4), ¿es un factor del polinomio 𝑥𝑥3 + 64?

o Hagamos la división sintética:

-4 1 0 0 64

-4 16 -64

1 -4 16 0

o Como el residuo es igual a cero, entonces el binomio (𝑥𝑥 + 4) es un factor del polinomio.

o Si usamos el algoritmo de la división, quedaría:

(𝑥𝑥3 + 64) = (𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 16)(𝑥𝑥 + 4) + 0

Teorema del factor. Si un valor 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 es una raíz de un polinomio 𝑃𝑃(𝑥𝑥), si (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) es uno de sus factores. Es decir, que al hacer la división 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ÷ ((𝑥𝑥 − 𝑎𝑎), el residuo es cero, 𝑅𝑅 = 0. Esto significa que el punto (𝑎𝑎, 0) es una intersección de la gráfica de la función con el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥.


20

Ejemplo:

2. El valor 𝑥𝑥 = −2, ¿nos permite saber si (𝑥𝑥 + 2) es un factor de

𝑃𝑃(𝑥𝑥) = −4𝑥𝑥4 + 3𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥+100? o Hagamos la división sintética:

-2 -4 3 -2 1 100

8 -22 48 -98

-4 11 -24 49 2 Residuo

o Como el residuo es diferente de cero, entonces, el binomio (𝑥𝑥 + 2) no es un factor del

polinomio.

o Lo anterior equivale de decir que, como el residuo es diferente de cero, entones 𝑥𝑥 = −2

no es una raíz del polinomio.

Ejercicio 5. Justifica utilizando la división sintética, si los siguientes binomios son o no factores de los polinomios correspondientes.

1. 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥4 + 8𝑥𝑥3 + 14𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 − 15

a) Binomio: (𝑥𝑥 − 3)

b) Binomio: (𝑥𝑥 − 1)

c) Binomio: (𝑥𝑥 + 5)

Ejercicio 6. Justifica utilizando la división sintética si con los siguientes valores de 𝑥𝑥 se puede o no formar factores del polinomio, y cuál sería el factor (si fuese el caso):

1. 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 + 4𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 4

a) 𝑥𝑥 = −1

b) 𝑥𝑥 = −4

c) 𝑥𝑥 = 4


21

Teorema del residuo

Ejemplo. Resolver la división (𝑥𝑥3 − 4𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 + 2) ÷ (𝑥𝑥 + 1) y utiliza el algoritmo de la división para expresar el resultado:

o Hacemos la división sintética:

-1 -1 -4 3 2

1 3 -6

-1 -3 6 4

o Utilizando el algoritmo de la división:

𝑥𝑥3 − 4𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 + 2 = (−𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 + 6)(𝑥𝑥 + 1) + 4

o Observa que puedo expresar a 𝑃𝑃(𝑥𝑥) de dos formas equivalentes:

𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 4𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 + 2 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = (−𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 + 6)(𝑥𝑥 + 1) + 4

o Ahora, evaluamos el polinomio en el valor 𝑥𝑥 = −1

𝑃𝑃(−1) = (−(−1)2 − 3(−1) + 6)(−1 + 1) + 4 𝑃𝑃(−1) = 4

Entonces:

𝑃𝑃(𝑎𝑎) = ((𝑎𝑎) − 𝑎𝑎)𝑞𝑞(𝑎𝑎) + 𝑅𝑅

𝑃𝑃(𝑎𝑎) = 0 + 𝑅𝑅

𝑃𝑃(𝑎𝑎) = 𝑅𝑅

Teorema del residuo Observa que, si queremos saber cuál es el residuo de una división de un polinomio 𝑃𝑃(𝑥𝑥) por un binomio de la forma (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎), sólo debemos obtener 𝑃𝑃(𝑎𝑎), entonces, tenemos

que 𝑃𝑃(𝑎𝑎) = 𝑅𝑅, donde 𝑅𝑅 es el residuo y 𝑄𝑄(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑥𝑥−𝑎𝑎

.

𝑃𝑃(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)𝑄𝑄(𝑥𝑥) + 𝑅𝑅


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Ejemplo. Calcula el residuo de hacer la división: (−6𝑥𝑥4 + 3𝑥𝑥3 − 5𝑥𝑥2 + 70𝑥𝑥 − 6) ÷ (𝑥𝑥 − 2)

o Resolvemos;

𝑃𝑃(2) = −6(2)4 + 3(2)3 − 5(2)2 + 70(2) − 6

𝑃𝑃(2) = −6(16) + 3(8) − 5(4) + 140 − 6

𝑃𝑃(2) = −96 + 24 − 20 + 140 − 6 = 42

∴ 𝑅𝑅 = 42

Revisemos el siguiente ejemplo.

Obtener el residuo de hacer la siguiente división: (𝑥𝑥3 + 216) ÷ (𝑥𝑥 + 6)

a) Igualamos a cero y despejamos 𝑥𝑥 del divisor: (𝑥𝑥 + 6) = 0 ⟹ 𝑥𝑥 = −6

b) 𝑓𝑓(−6) = (−6)3 + 216 ⟹ 𝑓𝑓(−6) = 0

c) Al utilizar el algoritmo de la división, podemos

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 + 216 = 𝑄𝑄(𝑥𝑥)(𝑥𝑥 + 6) + 0 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 + 216 = 𝑄𝑄(𝑥𝑥)(𝑥𝑥 + 6)

d) Con el inciso anterior, podemos concluir que el binomio (𝑥𝑥 + 6) es un factor del polinomio.

e) De manera equivalente, si 𝑓𝑓(−6) = 0, entonces (𝑥𝑥 + 6) es un factor del polinomio. Y por el

teorema del factor, entonces 𝑥𝑥 = −6 es una raíz del polinomio.

Como hemos revisado, existe una relación entre el teorema del residuo, división sintética, teorema del factor y el algoritmo de la división. Cada uno de estos nos proporciona casi la misma información sobre el polinomio. Son diferentes formas de estudiar el algoritmo de la división.


23

Si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es un polinomio, entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

Ejercicio 7. Utiliza el teorema del residuo para calcular el residuo que resulta de dividir los siguientes polinomios, con el binomio correspondiente:

𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥2 − 18𝑥𝑥 + 8

a) Binomio: �𝑥𝑥 − 12�

b) Binomio: (𝑥𝑥 + 3)

Ejercicio 8. Determina, utilizando el teorema del residuo, cuáles de los valores de 𝑥𝑥 son o no una raíz del polinomio correspondiente.

1. 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥3 − 11𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 8

a) 𝑥𝑥 = 23

b) 𝑥𝑥 = 1

Ejercicio 9. Utiliza el teorema del residuo para determinar cuáles de los binomios son o no un factor del polinomio correspondiente

1. 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥4 + 41𝑥𝑥3 + 28𝑥𝑥2 − 13𝑥𝑥 − 6

a) Binomio: (𝑥𝑥 + 1)

b) Binomio: (𝑥𝑥 − 6)

• Si (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) es un factor del polinomio, se cumple que:

a) 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 es una de sus raíces;

b) 𝑃𝑃(𝑎𝑎) = 0.

• Si al evaluar la función en 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎, y 𝑃𝑃(𝑎𝑎) = 0, se cumple que:

a) 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 es una raíz del polinomio;

b) (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) es un factor del polinomio.

• Si 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 es una raíz del polinomio, se cumple que:

a) (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) es un factor del polinomio;

b) 𝑃𝑃(𝑎𝑎) = 0.


24

Factorización de un polinomio

Ejemplo. Determinar todas las raíces del siguiente polinomio: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 6

- Usando división sintética, dividamos el polinomio entre (𝑥𝑥 − 3):

3 1 -2 -5 6 3 3 -6 1 1 -2 0

- Por el algoritmo de la división, el polinomio se puede expresar de la siguiente manera:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 3)(1𝑥𝑥2 + 1𝑥𝑥 − 2)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 2)

- Esto significa que (𝑥𝑥 − 3) es un factor de 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Verifica evaluando la función en 𝑥𝑥 = 3.

- Ahora, consideremos el polinomio 𝑞𝑞(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 2. Entonces:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 2)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 3)𝑞𝑞(𝑥𝑥)

- Para hallar las raíces de este polinomio, puedes usar división sintética, factorización o fórmula

general. Usando factorización queda:

𝑞𝑞(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 1)

- Reescribimos el polinomio 𝑓𝑓(𝑥𝑥) utilizando la factorización de 𝑞𝑞(𝑥𝑥):

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 3)𝑞𝑞(𝑥𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 1)

Ejercicio 10. Intenta el mismo procedimiento iniciando con diferentes valores de 𝑥𝑥. ¿Cuántas formas distintas de factorizar el polinomio encontraste?


25

Ejemplo. El polinomio 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 6, tienes exactamente tres raíces.

Los dos teoremas anteriores involucran los que se han revisado en la unidad. A continuación, se presentan ejercicios resueltos que resaltan la importante relación entre dichos teoremas.

Ejemplo 1. Usemos de nuevo el ejemplo anterior, y observa la expresión que obtuvimos al final:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 1)

Donde 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = −2 y 𝑥𝑥3 = 1, son las tres raíces del polinomio.

Ejemplo 2. Observa la factorización del siguiente polinomio:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = x4 + 𝑥𝑥3 − 21𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 + 20

Factorización: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 − 4)

Con base en la factorización y de lo que hemos visto en esta unidad, que las raíces del polinomio son las siguientes:

𝑥𝑥 = 1,𝑥𝑥 = −1, 𝑥𝑥 = −5,𝑥𝑥 = 4

Teorema. Si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑜𝑜 es un polinomio de grado 𝑐𝑐, entonces el número de raíces es exactamente 𝑐𝑐 raíces (no necesariamente distintas o reales):

{𝑜𝑜1, 𝑜𝑜2, 𝑜𝑜3, … , 𝑜𝑜𝑛𝑛}

Teorema de factorización. Una consecuencia inmediata de lo anterior es la siguiente: todo polinomio 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑜𝑜 se puede expresar como:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 𝑜𝑜1)(𝑥𝑥 − 𝑜𝑜2) … (𝑥𝑥 − 𝑜𝑜𝑛𝑛)

Donde {𝑜𝑜1, 𝑜𝑜2, 𝑜𝑜3, … , , 𝑜𝑜𝑛𝑛},es el conjunto de raíces de f(x), no necesariamente distintas.


26

Ejemplo 3. Hallar las raíces del siguiente polinomio y expresarlo como producto de factores del de la forma (𝑥𝑥 − 𝑜𝑜). Al retomar el polinomio del ejemplo anterior se facilita la relación de la factorización y los divisores del término independiente.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = x4 + 𝑥𝑥3 − 21𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 + 20

Observa que, en el ejemplo anterior, las raíces del polinomio son divisores del término independiente. Así que, al iniciar con la factorización, comenzaremos por enlistar sus divisores:

20: ± 1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20

Elegimos uno de los divisores y utilizamos la división sintética con 𝑥𝑥 = 1 si el residuo fuera distinto de creo, se debe elegir otro divisor:

1 1 1 -21 -1 20

1 2 -19 -20

1 2 -19 -20 0

Entonces, el polinomio se puede expresar como producto de los factores:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 − 19𝑥𝑥 − 20)

Sucede lo mismo para las raíces 𝑥𝑥 = −1,𝑥𝑥 = −5,𝑥𝑥 = 4, que en nuestro caso ya conocemos:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 + 1)

Ejemplo 3. Hallar el polinomio cuyas raíces son: 𝑥𝑥 = −3, 𝑥𝑥 = 0,𝑥𝑥 = 5, 𝑥𝑥 = −1

Como 𝑥𝑥 = −3 es una raíz, entonces (𝑥𝑥 + 3) es un factor del polinomio.

Sucede lo mismo para las raíces 𝑥𝑥 = 0,𝑥𝑥 = 5, 𝑥𝑥 = −1.

Entonces, el polinomio se expresa como el producto de los factores:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 + 1)

Resolviendo y desarrollando el producto de los factores se obtiene el polinomio:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥4 − 𝑥𝑥3 − 17𝑥𝑥2 − 15𝑥𝑥


27

Ejercicio 11.

Determina las raíces de los siguientes polinomios y exprésalo como producto de binomios de la forma (𝑥𝑥 − 𝑜𝑜)

a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 + 4𝑥𝑥2 − 11𝑥𝑥 − 30

Determina un polinomio que tiene por raíces los siguientes conjuntos

a) 𝑥𝑥 = 2, 𝑥𝑥 = −4,𝑥𝑥 = −3


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Análisis de una función polinomial

Los siguientes ejemplos son una muestra del análisis de una función polinomial de grado mayor a 2. Se eligieron dos, uno de grado 3 y otra de grado 4, ya que comportamiento de las funciones de grado impar es muy similar; lo mismo sucede con las de grado par.

Ejemplo 1. Realiza el análisis de la siguiente función: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 6

• Factorización. Utilizando los divisores del término independiente, y junto con la división sintética,

se obtiene:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 1)

a. Ceros de la función. Utilizando la factorización, las raíces del polinomio son:

𝑥𝑥 = 3, 𝑥𝑥 = −2, 𝑥𝑥 = 1 ⟹ Las intersecciones con el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥 son: (3,0), (−2,0), (1,0)

b. Intersección con el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦. Es el punto donde 𝑥𝑥 = 0

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 6

𝑓𝑓(0) = (0)3 − 2(0)2 − 5(0) + 6 = 6 ⟹ La intersección con el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦 es: (0,6)

El análisis de una función significa estudiar cada uno de sus elementos que la conforman y caracterizan. A continuación, enlistamos dichos elementos:

a. Ceros de la función

b. Intersección con el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦

c. Gráfica

d. Dominio

e. Rango

Observación Al realizar el análisis de una función, la gráfica es lo más importante, ya que ésta reúne toda la información obtenida de manera algebraica.


29

c. Gráfica. Utiliza un software dinámico (GeoGebra)

para verificar tu gráfica. Para hacer un bosquejo en

un plano cartesiano, debemos elegir escalas

adecuadas para cada eje y ubicar en el las raíces, y

el cruce con el eje vertical.

d. Dominio. Para las funciones polinomiales, su

dominio siempre es el conjunto de todos los

números reales: 𝐷𝐷𝑓𝑓 = (−∞,∞)

e. Rango: 𝑅𝑅𝑓𝑓 = (−∞,∞)

Ejemplo 2. Realiza el análisis de la siguiente función: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥4 − 7𝑥𝑥3 + 9𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥 − 10

• Factorización. Utilizando los divisores del término independiente, y junto con la división sintética,

se obtiene:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 5)

a. Ceros de la función. Utilizando la factorización, las raíces del polinomio son:

𝑥𝑥 = −1, 𝑥𝑥 = 2,𝑥𝑥 = 1, 𝑥𝑥 = 5 ⟹ Las intersecciones con el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥 son: (−1,0), (2,0), (1,0), (5,0)

b. Intersección con el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦. Es el punto donde 𝑥𝑥 = 0

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥4 − 7𝑥𝑥3 + 9𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥 − 10

𝑓𝑓(0) = (0)4 − 7(0)3 + 9(0)2 + 7(0) − 10 = −10 ⟹ La intersección con el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦 es: (0,−10)


30

c. Gráfica. Utiliza un software dinámico

(GeoGebra) para verificar tu gráfica.

d. Dominio. Para las funciones

polinomiales, su dominio siempre es el

conjunto de todos los números reales:

𝐷𝐷𝑓𝑓 = (−∞,∞)

e. Rango: 𝑅𝑅𝑓𝑓 = [−30.1,∞)

Ejercicio 12. Realiza el análisis de las siguientes funciones polinomiales:

a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥4 − 10𝑥𝑥2 + 9

b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = x4 − 3x3 − 10x2 + 24x

c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 + 7𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 − 28


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Comportamiento al infinito

Para estudiar el comportamiento al infinito, estudiaremos los polinomios en dos partes de acuerdo con su grado: los de grado impar y los de grado par; y dos subdivisiones: cuando 𝑎𝑎𝑛𝑛 (coeficiente principal o coeficiente del término que le da el grado el polinomio) es positivo o negativo.

La gráfica de una función polinomial está conformada por una infinidad de puntos, que son parejas ordenas �𝑥𝑥, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)� = (𝑥𝑥, 𝑦𝑦), determinadas por la regla de correspondencia. Esto tiene importancia en que la gráfica hace su recorrido (de izquierda a derecha), conforme 𝑥𝑥 recorre los valores del dominio que podría decirse que “inician” en −∞, y continúa hacia la derecha, hacia +∞. La ilustración indica el sentido del recorrido de cualquier función polinomial.

En la Tabla 1. Las funciones cuadráticas son de grado par. Entonces, su comportamiento al infinito es: • con 𝒂𝒂𝒏𝒏 > 𝟎𝟎

𝑓𝑓(𝑥𝑥) → ∞ si 𝑥𝑥 → −∞ y 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → ∞ si 𝑥𝑥 → ∞

• con 𝒂𝒂𝒏𝒏 < 𝟎𝟎

𝑓𝑓(𝑥𝑥) → −∞ si 𝑥𝑥 → −∞ y 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → −∞ si 𝑥𝑥 → ∞

Ahora, las funciones cúbicas son de grado impar. Entonces, su comportamiento al infinito es: • con 𝒂𝒂𝒏𝒏 > 𝟎𝟎

𝒇𝒇(𝒎𝒎) → −∞ si 𝒎𝒎 → −∞ y 𝒇𝒇(𝒎𝒎) → ∞ si 𝒎𝒎 → ∞

• con 𝒂𝒂𝒏𝒏 < 𝟎𝟎

𝒇𝒇(𝒎𝒎) → ∞ si 𝒎𝒎 → −∞ y 𝒇𝒇(𝒎𝒎) → −∞ si 𝒎𝒎 → ∞

Tabla1. Comportamiento al infinito

Func

ione

s par

es

𝑐𝑐: p

ar

𝑎𝑎𝑛𝑛 : +

𝑎𝑎𝑛𝑛 : −

Func

ione

s im

pare

s 𝑐𝑐

: im

par

𝑎𝑎𝑛𝑛 : +

𝑎𝑎𝑛𝑛 : −


32

Las funciones son de grado 2 y 3. Pero verás que hay una relación en el comportamiento al infinito de las funciones pares y las de grado 2; y de las impares y las de grado 3. Observa la Tabla 2 y elabora conclusiones.

La siguiente tabla es un concentrado de cómo identificar el comportamiento de una función hacia los infinitos (positivo y negativo).

Tabla 2. COMPORTAMIENTO AL INFINITO

Grado del polinomio (𝒏𝒏) Ejemplo Gráfica esperada

Impar 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥3 − 6𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 − 1

• Si el signo de 𝑎𝑎𝑛𝑛 es positivo, entonces: o 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → −∞ cuando 𝑥𝑥 → −∞; o 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → ∞ cuando 𝑥𝑥 → ∞

Impar 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥2 + 2

• Si el signo del coeficiente principal es negativo, entonces: o 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → ∞ cuando 𝑥𝑥 → −∞; o 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → −∞ cuando 𝑥𝑥 → ∞

Par 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥4 − 5𝑥𝑥3 + 7𝑥𝑥 + 1

• Si el signo de 𝑎𝑎𝑛𝑛 es positivo, entonces: o 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → ∞ cuando 𝑥𝑥 → −∞: o 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → ∞ cuando 𝑥𝑥 → ∞

Par 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −3𝑥𝑥4 + 4𝑥𝑥3 − 5𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥

• Si el signo de 𝑎𝑎𝑛𝑛 es negativo, entonces: o 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → −∞ cuando 𝑥𝑥 → −∞; o 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → −∞ cuando 𝑥𝑥 → ∞


33

Multiplicidad

Para comprender (algebraicamente), qué es la multiplicidad de una raíz, veamos el siguiente ejemplo. Considera el siguiente polinomio y su factorización:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥6 + 𝑥𝑥5 − 45𝑥𝑥4 − 41𝑥𝑥3 + 628𝑥𝑥2 + 336𝑥𝑥 − 2880

- Factorización del polinomio: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 4)3(𝑥𝑥 − 3)2(𝑥𝑥 − 5)

Entonces, las distintas raíces del polinomio son: 𝑥𝑥 = −4,𝑥𝑥 = 3, 𝑥𝑥 = 5. Y, de la relación entre el grado del polinomio y el número de raíces, por una parte, que el grado del polinomio es 6 significa que el polinomio tiene exactamente 𝑐𝑐 raíces (o ceros de la función); y por la otra, se indicó que éstas NO necesariamente son iguales.

En nuestro ejemplo, el factor (𝑥𝑥 + 4) se repite tres veces; (𝑥𝑥 − 3), dos veces; y (𝑥𝑥 − 5) sólo una vez. A las veces que las raíces se repiten se le llama multiplicidad. A continuación, la definición:

Si retomamos el ejemplo, vemos entonces que

• Como (𝑥𝑥 + 4) tiene exponente 3, la raíz 𝑥𝑥 = −4 tiene multiplicidad 3.

• Como (𝑥𝑥 − 3) tiene exponente 2, la raíz 𝑥𝑥 = 3 tiene multiplicidad 3.

• Como (𝑥𝑥 − 5) tiene exponente 1, la raíz 𝑥𝑥 = 5 tiene multiplicidad 3.

La imagen de la derecha es la gráfica correspondiente de la función, en la cual se ve que la gráfica interseca el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥 exactamente tres veces, que precisamente son las tres raíces distintas. A continuación, revisaremos cómo afecta la multiplicidad en la gráfica de una función.

Para facilitar la interpretación de la multiplicidad de una raíz en una gráfica, vamos a dividir el conjunto de los polinomios en dos partes: los de grado impar (𝑐𝑐 ≥ 3) y los de grado par.

En una función polinomial, la multiplicidad de una raíz es el número de veces que aparece su factor asociado en la descomposición factorial.

Nota. La suma de las multiplicidades es igual al grado el polinomio.


34

Funciones de grado impar

Observa las siguientes gráficas. La función polinomial de cada una es de grado impar y con la misma raíz: 𝑥𝑥 = 0, pero de multiplicidad igual al grado correspondiente

Multiplicidad 3

Multplicidad 5

Multiplicidad 7

De la observación, se establecen las siguientes conclusiones:

• El número de veces que la gráfica SÍ cruza el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥 en el valor de la raíz correspondiente a una

multiplicidad impar.

• La curvatura de la gráfica en la intersección con el eje es más prominente conforme aumenta la

multiplicidad de la raíz.

• El comportamiento al infinito (revisado con anterioridad) se puede revisar en la tabla con el mismo

título.


35

Funciones de grado par

Observa las siguientes gráficas, las tres de grado impar y con la misma raíz 𝑥𝑥 = 0, pero de multiplicidad igual al grado correspondiente.

Multiplicidad 2

Multiplicidad 4

Multiplicidad 6

De la observación, se establecen las siguientes conclusiones:

• El número de veces que la gráfica, NO cruza, toca el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥 en el valor de la raíz correspondiente a

una multiplicidad par

• La curvatura de la gráfica en la intersección con el eje es más prominente conforme aumenta la

multiplicidad de la raíz.

• El comportamiento al infinito se puede revisar en la tabla con el mismo título


36

Del polinomio a la gráfica

Estudiar una gráfica de grados mayor a 3 o 4 puede ser muy complejo. Si bien una graficadora digital puede hacerlo, el estudio de las multiplicidades y el comportamiento hacia los infinitos de una función nos puede ayudar a elaborar una gráfica similar en su forma (no exacta, pero suficiente)

Ejemplo. Hacer el esbozo de una gráfica con las siguientes características:

a) 𝑎𝑎𝑛𝑛 < 0; con las raíces:

𝑥𝑥 = 2 con multiplicidad 3

𝑥𝑥 = 1 con multiplicidad 2

𝑥𝑥 = −3 con multiplicidad 4

De la gráfica al polinomio

Ahora, partiendo de la gráfica, también es posible identificar un polinomio que la represente.

Ejemplo. Hallar un posible polinomio que represente la siguiente gráfica:

a) 𝒂𝒂𝒏𝒏 es positivo

b) La función es de grado par por su comprtamiento al infinito

c) Tiene al menos cuatro raíces reales distintas

d) Algunos polinomios posibles son:

𝒇𝒇(𝒎𝒎) = (𝒎𝒎 + 𝟔𝟔)𝟓𝟓(𝒎𝒎 + 𝟐𝟐)(𝒎𝒎 − 𝟏𝟏)𝟐𝟐(𝒎𝒎 − 𝟕𝟕)𝟒𝟒

𝒇𝒇(𝒎𝒎) = (𝒎𝒎 + 𝟓𝟓)(𝒎𝒎+ 𝟐𝟐)(𝒎𝒎 − 𝟏𝟏)𝟐𝟐(𝒎𝒎 − 𝟓𝟓)𝟐𝟐

𝒇𝒇(𝒎𝒎) = (𝒎𝒎 + 𝟑𝟑)𝟑𝟑 �𝒎𝒎 +𝟑𝟑𝟐𝟐� (𝒎𝒎 − 𝟏𝟏)𝟐𝟐(𝒎𝒎 − 𝟒𝟒)𝟔𝟔

En cualquier caso, puedes intentar con los siguientes pasos:

1. Ubicamos las raíces en el plano cartesiano.

2. Identificamos si el grado es par o impar para conocer su comportamiento hacia los infinitos.

3. Usamos las multiplicidades para trazar el esbozo de la gráfica (o proponer el polinomio)


37

Ejercicio 13. Realiza el esbozo de una gráfica utilizando las propiedades de las raíces y su multiplicidad.

1. Con residuos:

𝑓𝑓(1) = 0 con multiplicidad 3

𝑓𝑓(−5) = 0 con multiplicidad 4


Con coeficiente principal negativo

2. Con factores:

(𝑥𝑥 + 5) con multiplicidad 4

(𝑥𝑥) con multiplicidad 1




38

Ejercicio 14. Proponer una función, expresada como un producto de factores y su multiplicidad para cada una de las siguientes gráficas:

Gráfica Función polinomial

Ejer

cici

o 1

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

Ejer

cici

o 2

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =


39

Problemas de aplicación1

Ejemplos.

1. Un jardín cuadrado mide (𝑥𝑥 + 1) metros de largo. En una de las esquinas hay un cuadrado de 1 metro

de lado que se utiliza para plantar rosas y el resto del jardín se utiliza para plantar margaritas y es la

región sombreada de la figura.

Solución a) Calcula una función polinomial que modele el área sombreada dependiendo del valor de 𝑥𝑥.

I. Boceto de la situación

II. Establecemos la variable

𝑥𝑥

III. Establecemos la relación de esta variable con el

área

IV. Realizamos la multiplicación y simplificamos

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 + 1) − 1

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 1) − 1

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥

1 Tomados y adaptados de (Stewart, Redlin, & Watson, 2012)


40

b) Realiza la gráfica de la función.

Coeficiente principal 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 1 > 0

Grado 𝑐𝑐 = 2, par

Raíces Factores Multiplicidad

𝑥𝑥 = −2 𝑥𝑥 + 2 1

𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥 1

c) Halla el valor de 𝑥𝑥, sabiendo que el valor del área sombreada es de 24 𝑐𝑐2

I. La función la igualamos con 24 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 = 24

II. Resolvemos la ecuación por formula general

o factorización

𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 24 = 0 (𝑥𝑥 + 6)(𝑥𝑥 − 4) = 0

𝑥𝑥 = −6 y 𝑥𝑥 = 4, en este caso la solución es únicamente 𝑥𝑥 = 4,

ya que 𝑥𝑥 = −6, no tiene sentido.


41

1) 2) 3)

a) Construye una función polinomial que de el volumen de la caja dependiendo del corte que se realice.

I. Realizamos un

esquema

II. Formamos la

función volumen

𝑉𝑉(𝑥𝑥)

𝑉𝑉(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴𝑜𝑜𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑜𝑜𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑐𝑐𝑒𝑒 × 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑜𝑜𝑎𝑎𝑜𝑜𝑎𝑎

𝑉𝑉(𝑥𝑥) = (20 − 2𝑥𝑥)(30 − 2𝑥𝑥)(𝑥𝑥)

factorizamos −2 de los dos primeros paréntesis para tener la forma factorizada.

𝑉𝑉(𝑥𝑥) = −2(−2)(𝑥𝑥 − 10)(𝑥𝑥 − 15)𝑥𝑥

𝑉𝑉(𝑥𝑥) = 4(𝑥𝑥 − 10)(𝑥𝑥 − 15)𝑥𝑥

Para construir una caja de base rectangular sin tapa se dispone de una hoja de 20 por 30 centímetros, a la

cual se le recortan cuadrados de las esquinas y se doblan hacia arriba. Como se muestra en las figuras.

2.


42

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 4 > 0 𝑐𝑐 = 3

Raíces Factores Multiplicidad

𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥 1

𝑥𝑥 = 10 𝑥𝑥 − 10 1

𝑥𝑥 = 20 𝑥𝑥 − 20 1

3. En el siguiente polinomio 𝐻𝐻(𝑥𝑥) muestra el ingreso (en millones de euros) que se obtiene al vender

cierto producto a un valor unitario de 𝑥𝑥 euros,

𝐻𝐻(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥3 + 4𝑥𝑥2 + 21𝑥𝑥

a) Obtén el ingreso si el producto se vende a 3 euros.

𝐻𝐻(3) = −(3)3 + 4(3)2 + 21(3) = −9 + 36 + 63 = 90.

Así el ingreso será de 90 millones de euros si se vende a 3 euros por unidad el producto.

b) Obtén el ingreso si el producto se vende a 6 euros.

𝐻𝐻(3) = −(6)3 + 4(6)2 + 21(6) = −216 + 144 + 126 = 54.

Así el ingreso será de 54 millones de euros si se vende a 6 euros por unidad el producto.

c) Obtén el precio unitario con el cuál no hay ganancias.

−𝑥𝑥3 + 4𝑥𝑥2 + 21𝑥𝑥 = 0

−𝑥𝑥(𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 − 21) = 0

−𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 7)(𝑥𝑥 + 3) = 0

Así las raíces son: 𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 = 7 y 𝑥𝑥 = −3, ∴ No hay ingresos si el precio por unidad es cero o € 7

III. Realiza la gráfica de la función.


43

Soluciones a los ejercicios propuestos

Ejercicio 1 (de la págs. 4 – 5). Dados los siguientes conjuntos de parejas ordenadas, explica por qué son o no funciones y determina su dominio y su rango.

1. 𝑅𝑅1 = {(1,2), (2,5), (3,8), (4,11), (5,14), (6,15)(−3,7), (10,−4)}a) ¿Es función? Sí, ya que ningún valor del dominio va a dar a dos del rango.

b) 𝐷𝐷𝑅𝑅1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6,−3, 10}

c) 𝑅𝑅𝑅𝑅1 = {2, 5, 8, 11, 14, 15, 7,−4}

2. 𝑅𝑅2 = {(1,4), (−5,7), �−12

, 6� , �6, 12� , (1,5), (2,7) }

a) ¿Es función? No, ya que el 1 que es elemento del dominio va a dar a dos del rango.

b) 𝐷𝐷𝑅𝑅2 = �1,−5,−12

, 6, 2�

c) 𝑅𝑅𝑅𝑅2 = �4, 7, 6,12

, 5, 7�

3. A partir de los elementos seleccionados en el plano cartesiano, explica por qué son o no funciones y

determina su dominio y su rango.

a) ¿Es función? ¿Por qué? Sí, ya que ningún valor del dominio va a dar

a dos del rango.

b) 𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑓𝑓 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

c) 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑓𝑓 = {1, 3, 4, 5}

4. A partir de los elementos seleccionados en el plano

cartesiano, explica por qué son o no funciones y determina su

dominio y su rango

d) ¿Es función? ¿Por qué? No, ya que el 3 que es elemento del

dominio va a dar a dos del rango.

e) 𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑓𝑓 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

f) 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑓𝑓 = { 3, 4, 5}


44

Problema del taxi (de la pág. 7).

Interpretación de un punto en una gráfica con contexto, el punto azul se debe interpretar como:

El taxista cobra $13 por un viaje de 4 minutos de duración, las coordenadas asociadas a esta información son (4,13).

Ejercicio 2 (de la pág. 9).

1. ¿Cuál es el modelo matemático (representación algebraica) que relaciona la cantidad disponible de

gasolina (G) en función de la distancia (d) recorrida?

𝐺𝐺(𝑐𝑐) = 40 −1

17𝑐𝑐

2. Elabora una tabla de valores con algunas distancias recorridas y la cantidad de gasolina restante en el

tanque.

d G(d) 85 35

170 30 255 25 340 20

3. Elabora la gráfica correspondiente del modelo anterior.

4. Define el dominio y el rango de los valores que representan la situación.

𝐷𝐷𝑥𝑥 = [0,680]

𝑅𝑅𝑥𝑥 = [0,40]


45

Ejercicio 3 (de la pág. 14). En la siguiente tabla completa la información.

1)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 3 Función factorizada: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −(𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 3)

𝑅𝑅𝑎𝑎í𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐:𝑥𝑥1 = −1𝑥𝑥2=3


𝑦𝑦 = 3 Dominio: 𝐷𝐷𝑓𝑓 = (−∞,∞)

Rango: 𝑅𝑅𝑓𝑓 = (−∞, 4]

2)

𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 − 3 Función factorizada: 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 1)(2𝑥𝑥 − 3)

𝑅𝑅𝑎𝑎í𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐:

𝑥𝑥1 = −1 𝑥𝑥2 =32


𝑦𝑦 = 3 Dominio: 𝐷𝐷𝑔𝑔 = ℝ

Rango: 𝑅𝑅𝑔𝑔 = (−∞, 25 8]⁄

3)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 1 Función factorizada: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 1

𝑅𝑅𝑎𝑎í𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐: no hay raíces

Intersección con eje y: 𝑦𝑦 = 1

Dominio: 𝐷𝐷𝑓𝑓 = ℝ

Rango: 𝑅𝑅𝑓𝑓 = [1,∞)

Ejercicio 4 (de la pág. 17). Utiliza la división sintética y el algoritmo de la división para expresar el resultado de las siguientes divisiones:

1. (4𝑥𝑥3 + 6𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥 − 4) ÷ (𝑥𝑥 − 1) Respuesta 2 × (2𝑥𝑥 + 5) + 13𝑥𝑥−1 + 17

2. (𝑥𝑥3 − 5𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 − 6) ÷ (𝑥𝑥 − 4) Respuesta 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 − 6

𝑥𝑥−4

3. (𝑥𝑥4 + 11𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥3 − 15) ÷ (𝑥𝑥 − 2) Respuesta 𝑥𝑥3 + 8𝑥𝑥2 + 12𝑥𝑥 + 55𝑥𝑥−2

+ 35

4. (3𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥) ÷ (𝑥𝑥 − 3) Respuesta 3𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥 + 66𝑥𝑥−3 + 22

5. (𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥3 − 1) ÷ (𝑥𝑥 − 1) Respuesta 𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥−1 + 3


46

Ejercicio 5 (de la pág. 19). Justifica utilizando la división sintética, si los siguientes binomios son o no factores de los polinomios correspondientes.

2. 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥4 + 8𝑥𝑥3 + 14𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 − 15

a) Binomio: (𝑥𝑥 − 3) Respuesta: no es binomio ya que la raíz del polinomio es 𝑥𝑥 = −3 su factor sería

(𝑥𝑥 + 3)

b) Binomio: (𝑥𝑥 − 1) Respuesta: si es binomio ya que una raíz es 𝑥𝑥 = 1

c) Binomio: (𝑥𝑥 + 5) Respuesta: si es binomio ya que una raíz es 𝑥𝑥 = −5

Ejercicio 6 (de la pág. 19). Justifica utilizando la división sintética si con los siguientes valores de "𝑥𝑥", se pueden o no, formar factores del polinomio, y cuál sería el factor (si fuese el caso):

2. 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 + 4𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 4

a) 𝑥𝑥 = −1

b) 𝑥𝑥 = −4

c) 𝑥𝑥 = 4

Respuesta: No se puede formar el polinomio con esas raíces ya que las raíces del polinomio son:

𝑥𝑥1 = −4,𝑥𝑥2 = 𝑐𝑐 𝑦𝑦 𝑥𝑥3 = −𝑐𝑐

Ejercicio 7 (de la pág. 22). Utiliza el teorema del residuo para calcular el residuo que resulta de dividir los siguientes polinomios, con el binomio correspondiente:

𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥2 − 18𝑥𝑥 + 8

a) Binomio: �𝑥𝑥 − 12� Respuesta: su residuo es 0

b) Binomio: (𝑥𝑥 + 3) Respuesta: su residuo es 35


47

Ejercicio 8 (de la pág. 22). Determina, utilizando el teorema del residuo, cuáles de los valores de 𝑥𝑥 son o no una raíz del polinomio correspondiente.

2. 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥3 − 11𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 8

c) 𝑥𝑥 = 23 Respuesta: Es raíz del polinomio, ya que tiene residuo 0.

d) 𝑥𝑥 = 1 Respuesta: No es raíz del polinomio, no tiene residuo 0.

Ejercicio 9 (de la pág. 22). Utiliza el teorema del residuo para determinar cuáles de los binomios son o no un factor del polinomio correspondiente

2. 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥4 + 41𝑥𝑥3 + 28𝑥𝑥2 − 13𝑥𝑥 − 6

a) Binomio: (𝑥𝑥 + 1) Respuesta: es binomio del polinomio pues una raíz es: 𝑥𝑥 = −1

b) Binomio: (𝑥𝑥 − 6) Respuesta: no es binomio del polinomio pues una raíz es: 𝑥𝑥 = −6

Ejercicio 10 (de la pág. 23).

No importa entre quien dividas primero, los factores de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 6 son siempre los mismos.

Si dividimos 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 6 entre (𝑥𝑥 + 2) Se obtiene 𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 3 cuyos factores son (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 3) Lo que resulta en 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 3)

Si dividimos 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 6 entre (𝑥𝑥 − 1) Se obtiene 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 − 6 cuyos factores son (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 3) Lo que resulta en 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 3)

Ejercicio 11 (de la pág. 26). Determina las raíces de los siguientes polinomios y exprésalo como producto de binomios de la forma (𝑥𝑥 − 𝑜𝑜)

a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 + 4𝑥𝑥2 − 11𝑥𝑥 − 30

Respuesta: Raíces 𝑥𝑥1 = 3, 𝑥𝑥2 = −2 𝑦𝑦 𝑥𝑥3 = −5

Polinomio factorizado: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 5)

Determina un polinomio que tiene por raíces los siguientes conjuntos 𝑥𝑥 = 2, 𝑥𝑥 = −4, 𝑥𝑥 = −3

Respuesta: 𝑥𝑥3 + 5𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 − 24


48

Ejercicio 12 (de la pág. 29). Análisis de las siguientes funciones polinomiales:

a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥4 − 10𝑥𝑥2 + 9

• Factorización. Utilizando los divisores del término independiente, y junto con la división sintética, se

obtiene:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 3)

• Ceros de la función. Utilizando la factorización, las raíces del polinomio son:

𝑥𝑥 = −3,𝑥𝑥 = −1, 𝑥𝑥 = 1,𝑥𝑥 = 3 ⟹ Las intersecciones con el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥 son: (−3,0), (−1,0), (1,0), (3,0)

• Intersección con el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦. Es el punto donde 𝑥𝑥 = 0

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥4 − 10𝑥𝑥2 + 9

𝑓𝑓(0) = (0)4 − 10(0)2 + 9 = 9 ⟹ La intersección con el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦 es: (0,9)

• Gráfica. Utiliza un software dinámico (GeoGebra) para verificar tu gráfica.

• Dominio. Para las funciones polinomiales, su


números reales:

𝐷𝐷𝑓𝑓 = (−∞,∞) ⟹ 𝐷𝐷𝑓𝑓 = ℝ

• Rango: 𝑅𝑅𝑓𝑓 = [−16,∞)

b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = x4 − 3x3 − 10x2 + 24x


obtiene:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 4)


49


𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 = −3,𝑥𝑥 = 2, 𝑥𝑥 = 4

⟹ Las intersecciones con el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥 son: (0,0), (−3,0), (2,0), (4,0)


𝑓𝑓(𝑥𝑥) = x4 − 3x3 − 10x2 + 24x

𝑓𝑓(0) = (0)4 − 3(0)3 − 10(0)2 + 24(0) = 0

⟹ La intersección con el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦 es: (0,0)




números reales:

𝐷𝐷𝑓𝑓 = (−∞,∞) ⟹ 𝐷𝐷𝑓𝑓 = ℝ

• Rango: 𝑅𝑅𝑓𝑓 = [−48.13,∞)

c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 + 7𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 − 28


obtiene:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 7)(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 2)


𝑥𝑥 = −7,𝑥𝑥 = −2, 𝑥𝑥 = 2

⟹ Las intersecciones con el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥 son: (−7,0), (−2,0), (2,0)


𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 + 7𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 − 28

𝑓𝑓 (0) = (0)3 + 7(0)2 − 4(0) − 28 = 28 ⟹ La

intersección con el 𝑦𝑦 es: (0, 28)


50




números reales:

𝐷𝐷𝑓𝑓 = (−∞,∞) ⟹ 𝐷𝐷𝑓𝑓 = ℝ

• Rango: 𝑅𝑅𝑓𝑓 = (−∞,∞)

Ejercicio 13 (de la pág. 36). Realiza el esbozo de una gráfica utilizando las propiedades de las raíces y su multiplicidad.

1. Con residuos:


𝑓𝑓(−5) = 0 con multiplicidad 4



2. Con factores:


(𝑥𝑥) con multiplicidad 1



III. Realiza la gráfica de la función.


51

Ejercicio 14 (de la pág. 36). Proponer una función, expresada como un producto de factores y su multiplicidad para cada una de las siguientes gráficas:

Gráfica Función polinomial

Ejer

cici

o 1

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 1)3(𝑥𝑥 − 1)5(2𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 − 3)3

Ejer

cici

o 2

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 1)3(𝑥𝑥 + 3)

Unidad 2. Funciones racionales y funciones con radicales.

52

Unidad 2. Funciones Racionales y Funciones con radicales

Presentación

Propósito:

Al finalizar, el alumno: Modelará algunas situaciones que dan lugar a funciones racionales y con radicales, analizará una gráfica para identificar su dominio, rango, asíntotas y relacionar estas características con la situación problemática planteada.

Funciones Racionales

Aprendizajes.


• Explora situaciones que se modelan con funciones racionales.

• Identifica los elementos de una función racional: ceros, asíntotas verticales y huevos, dominio y rango

para graficarla.

• Realice gráficas de funciones que tengan asíntota horizontal diferente al eje de las x, asíntotas verticales,

ceros, huecos, dominio y rango.

• Resuelve problemas de aplicación.

Temáticas:

► Funciones de la forma: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑝𝑝(𝑥𝑥)𝑞𝑞(𝑥𝑥)

; 𝑞𝑞(𝑥𝑥) ≠ 0

► Con 𝑝𝑝(𝑥𝑥) y 𝑞𝑞(𝑥𝑥) polinomios de coeficientes reales, de grado menor o igual a dos.► Elementos de las funciones:

► Dominio.

► Rango.

► Asíntotas verticales.

► Puntos de discontinuidad

► Ceros de la función.

► Gráfica de funciones racionales con asíntotas verticales y horizontales.► Problemas de aplicación.


53

Funciones con Radicales.

Aprendizajes.


• Explora problemas sencillos que se modelen con Funciones con Radicales.

• Identifica los elementos de la función: dominio, rango, ceros y traza su gráfica.

• Resuelve problemas de aplicación.

Temáticas:

► Funciones de la forma:

► 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑎𝑎𝑥𝑥 ± 𝑏𝑏

► 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐

Con a, b, c 𝜖𝜖 ℝ

► Elemento de las funciones:

► Dominio

► Rango

► Ceros de la función.

► Gráfica de funciones con radicales.

► Problemas de aplicación.


54

Conceptos clave

Número racional. Es un número que se puede expresar de la forma 𝑎𝑎𝑏𝑏

donde a, b son números enteros y b ≠ 0.

Función Racional. Una función racional ( )f x es el cociente de dos funciones

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑝𝑝(𝑥𝑥)𝑞𝑞(𝑥𝑥)

, donde p( )x y q( )x son funciones polinomiales y q( )x es una función diferente de cero.

Función propia.

Una función racional es propia, cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador.

Función Impropia

Una función racional es impropia, cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.

Dominio: Es el conjunto de todos los números reales que puede tomar x con excepción de aquellos valores que hacen la función 𝑞𝑞(𝑥𝑥) = 0.

Rango: Se denomina rango o recorrido de una función al conjunto de valores reales que toma la variable y o ( )f x .

Raíces o ceros de una función. Son los cruces que tiene la gráfica de la función con el eje de las x . Asíntota. Es una recta a la que la curva de una función se acerca infinitamente sin tocarla ni cruzarla al ir tomando valores hacia el infinito positivo y el infinito negativo.

Asíntota vertical. Es una recta a la que se aproxima la función a medida que x se acerca cada vez más al valor de a, donde a es una raíz de la función. La ecuación de la asíntota vertical es x a= . Asíntota horizontal. Las asíntotas horizontales son rectas paralelas al eje x . La ecuación de la asíntota horizontal es y b= .

Las funciones racionales tienen asíntotas horizontales cuando el grado del polinomio del denominador es mayor al grado del polinomio del numerador y cuando el polinomio del numerador y el del denominador son del mismo grado.

Hueco: También son conocidos como discontinuidades. La función es continua en un intervalo, salvo en un punto en el que no existe la función o toma un valor que la hace discontinua.

Rama: Es el número de veces que se divide la gráfica de una función en subgráficas, el número de ramas está relacionado con el número de asíntotas verticales, si se tienen dos asíntotas verticales, la función tendrá 3 ramas.

Función Radical: Una función radical es una función cuya regla de correspondencia es una expresión radical. Una función raíz cuadrada es una función radical.


55

Funciones Racionales

Las funciones racionales se expresan como cocientes de polinomios. Algunos ejemplos son:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2−𝑥𝑥6𝑥𝑥

ℎ(𝑥𝑥) = 1𝑥𝑥2−4

𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 1𝑥𝑥

𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥3

2𝑥𝑥+3

El estudio de las funciones racionales adquiere su importancia porque existen fenómenos que se pueden representar mediante este tipo de funciones, que en muchos casos determinan características más complejas, algunos de esos fenómenos son:

• La gravitación Universal de Newton la fuerza con que se atraen dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa

𝐹𝐹 = 𝐺𝐺 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑑𝑑²

.

• Ley de Coulomb la fuerza de atracción o de repulsión de dos cargas es directamente proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de las distancias que los separa

𝐹𝐹 = 𝐾𝐾 𝑄𝑄𝑞𝑞𝑑𝑑²

.

Definición

Una función racional h(x) es una función de la forma:

𝑓𝑓( 𝑥𝑥) =𝑝𝑝( 𝑥𝑥)𝑞𝑞( 𝑥𝑥)

Donde 𝑝𝑝( 𝑥𝑥) y 𝑞𝑞( 𝑥𝑥) son funciones polinomiales y 𝑞𝑞( 𝑥𝑥) es diferente de cero.


56

Ejemplo 1

Pablo acaba de comprar una bicicleta nueva para ir de su casa al trabajo, si recorre una distancia de 10km en cualquiera de las rutas, calcula y anota la velocidad en la que ha realizado su recorrido de acuerdo con los siguientes tiempos

Recuerda que la velocidad se calcula como: 𝑣𝑣 = 𝑑𝑑𝑡𝑡

Al calcular la velocidad, se puede observar que mientras aumenta el tiempo ésta se hace cada vez más pequeña, es decir, mientras más tiempo transcurre la velocidad va bajando.

Ahora bien, si fuese al revés, es decir, si el tiempo fuese disminuyendo la velocidad iría aumentando. Esto se puede observar en la siguiente gráfica.

¿Qué pasa si el tiempo disminuye hasta cero? 𝑣𝑣 = 10 𝑘𝑘𝑀𝑀0 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑛𝑛

=? ?

Por el comportamiento de la gráfica podemos decir que: 𝑣𝑣 = 10 𝑘𝑘𝑀𝑀0 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑛𝑛

= 𝑒𝑒𝑜𝑜 𝑐𝑐ú𝑐𝑐𝑒𝑒𝑜𝑜𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑜𝑜á 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

Cuando ocurre esto se dice que la función no está determinada para ese valor.

La importancia de observar los valores que indeterminan la función radica en lo siguiente, una función racional está formada de polinomios y el dominio de los polinomios es el conjunto de los números reales. De esta forma las funciones racionales tienen su dominio en los números reales exceptuando aquellos valores que hacen que la función se indetermine.

Tiempo transcurrido

(min) Velocidad � 𝒌𝒌𝒎𝒎

𝒎𝒎𝒎𝒎𝒏𝒏�

5 minutos 105

= 2 𝑘𝑘𝑐𝑐/𝑐𝑐

10 minutos 1010

= 1 𝑘𝑘𝑐𝑐/𝑐𝑐

15 minutos 1015

=23≈ 0.66 𝑘𝑘𝑐𝑐/𝑐𝑐

20 minutos 12

= 0.5 𝑘𝑘𝑐𝑐/𝑐𝑐

guía de estudio de matemáticas iv · 2020. 10. 15. · al estudio y preparación de tu próximo...

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