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I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO
GESTIÓN ACADÉMICA PLAN DE ASIGNATURA
GUÍA DIDÁCTICA
¡HACIA LA EXCELENCIA… COMPROMISO DE TODOS…!
CÓDIGO: PA-01-01
VERSIÓN: 1.0
FECHA: 13-10-2011
PÁGINA: 1 de 7
Nombres y Apellidos del Estudiante: Grado:9º
Periodo: 3º
Docente: Esp. Blanca Rozo Duración: 10 HORAS GUIA 2
Área: Matemáticas
Asignatura: Matemáticas
ESTÁNDAR: Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas
y no matemáticas y para resolver problemas.
Analizo en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a
familias de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Formula y soluciona problemas utilizando procedimientos de funciones
exponenciales y logarítmicas. EJE(S) TEMÁTICO(S): FUNCIÓN EXPONENCIAL .
*Definición *Análisis gráfica de las funciones exponenciales *Ecuaciones exponenciales
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
*Concepto de logaritmo *Definición de función logarítmica *Análisis gráfico de la función logarítmica
*Propiedades de los logaritmos *Ecuaciones logarítmicas *Sistemas de ecuaciones logarítmicas
René Descartes (1596-1650) Filósofo y matemático francés.
ORIENTACIONES
1) Observaciones sobre el desarrollo de la guía 2)Lectura texto guía
(seguir correctamente las instrucciones dadas , 3)Explicación por parte del docente
atención y concentración durante las explicaciones, 4)Desarrollo del taller asignado en grupo o individual.
leer comprensivamente, orden y pulcritud 5)Socialización del trabajo desarrollado.
en el desarrollo de la guía ). 6) Se valorarán todos los momentos de la guía.
EXPLORACIÓN
Determine la alternativa que continúa en la secuencia de figuras mostradas .
CONCEPTUALIZACIÓN
FUNCIÓN EXPONENCIAL La función exponencial se define con una base constante cuyo
exponente es el valor variable, es decir:
f(x) = ax
Con a > 0 y a ≠ 1, x ∊ R
Se llama función exponencial de base a, siendo a un número
real positivo y distinto de 1, a la función
f:R R
x →f(x) = ax
Esta función se escribe también como f(x) = exp a x y se
lee «exponencial en base a de x».
Antes de dar un ejemplo de función exponencial,
conviene recordar algunas propiedades de las potencias:
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1. a° = 1 2. a-n
= 1/an
FUNCIONES EXPONENCIALES
Son de la forma y=ax, con a>0.
• Su dominio es IR.
• Es continua.
• Si a>1 es creciente y decreciente si 0<a<1.
• Corta al eje OY en (0,1) y pasa por (1,a)
• El eje OX es asíntota horizontal.
Ejemplos de funciones exponenciales
1. La función y = 2x es una función exponencial de base 2.
Algunos de los valores que toma esta función, f:R → R
f(-3) = 2-³ = 1/2³ = 1/8 , f(-1/2) = 2
-1/2 = 1/2
1/2 = 1/√2
f(1) = 2¹ = 2 ,
,;
2. La función y = 1/2x es una función exponencial de base 1/2.
Alguno de los valores que toma esta función, f: R → R , son:
f(-4) = 2-4
= 1/24 = 1/16
f(0) = (1/2)° = 1
f(2) = (1/2) ² = ¼
PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
y = a x
1.- para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a° = 1
2.- para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a¹ = a
3.- la función es positiva para cualquier valor de
x: f(x ) > 0.Esto es debido a que la base de la potencia, a, es
positiva, y cualquier potencia de base positiva da como
resultado un número positivo.
4.- Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es
creciente.
5.- Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es
decreciente.
GRÁFICA FUNCIÓN EXPONENCIAL a) Si a > 0, la función es creciente en R
En este caso, para x = 0, y = a° = 1
para x = 1, y = a¹ = a
Para cualquier x, la función es creciente y siempre
positiva
Como caso particular se representa la función y = 2x.
b) Si la función 0 < a < 1, es decreciente en R
Para x = 0, y = a° = 1 Para x = 1, y = a¹ = a Para cualquier x la función es decreciente y siempre
positiva.
Como caso particular se representa la función y = (1/2)x.
RELACIONANDO LAS DOS FUNCIONES
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Crecimiento exponencial La función exponencial se presenta en multitud de fenómenos de
crecimiento animal, vegetal, económico, etc. En todos ellos la
variable es el tiempo.
En el crecimiento exponencial, cada valor de y se
obtiene multiplicando el valor anterior por una cantidad constante a.
Donde k es el valor inicial (para t=0), t es el tiempo transcurrido y a
es el factor por el que se multiplica en cada unidad de tiempo.
Si 0<a<1 se trata de un decrecimiento exponencial. Ejemplo.
En un laboratorio tienen un cultivo bacteriano, si su peso se
multiplica por 2 cada día, ¿cuál es su crecimiento si el peso
inicial es 3 gr?
Aplicaciones
La función exponencial sirve para describir cualquier
proceso que evolucione de modo que el aumento (o
disminución) en un pequeño intervalo de tiempo sea
proporcional a lo que había al comienzo del mismo.
A continuación se ven tres aplicaciones:
• Crecimiento de poblaciones.
• Interés del dinero acumulado.
• Desintegración radioactiva.
Ejemplo.
Un pueblo tiene 600 habitantes y su población crece
anualmente un 3%.
• ¿Cuántos habitantes habrá alcabo de 8 años?
P = 600 ⋅1.038 ≈ 760
�
ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
EXPONENCIALES.
Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como
exponente son ecuaciones exponenciales.
No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver
cualquier ecuación exponencial. Sólo la práctica ayuda a
decidir, en cada caso, qué camino tomar.
Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos
resultados y propiedades:
1) ax = a
y x = y 2)
3) ax.a
y = a
x + y 4)
5) 6)
7) 8)
9)
Ejercicio: solución de ecuaciones exponenciales
1) Resolver = 1/8
SOLUCIÓN:
Expresando 1/8 como potencia de 2: = 1/23
= 2-
- x ² = -3
Basta ahora con resolver esta ecuación de segundo grado.
1 - x ² = -
2)Resolver
4x+1
+ 2x+3
= 320
SOLUCIÓN:
En algunas ecuaciones es necesario hacer un cambio de
variable para su resolución.
Teniendo en cuenta las propiedades de las potencias, la
ecuación puede escribirse:
4.4x + 2³·2
x = 320 4.4
x + 8·2
x = 320
Expresando 4x como potencia de dos,
4.2 ².x + 8.2
x = 320
Se hace el cambio de variable 2x = y, (por tanto 2 ².
x = y
²) y se obtiene: 4 y ² + 8 y = 320
Basta ahora con resolver esta ecuación:
y ² + 2 y - 80 = 0
Se deshace ahora el cambio y = 2x
y1 = -10 = 2x. No es posible encontrar un x que verifique
esta condición (2x es siempre positivo)
y2 = 8 = 2x 3
La solución es, por tanto, x = 3 Resolver
Resolución:
Peso inicial: 3 gr
Crecimiento: por 2
x f(x)
0 3·1=3
1 3·2=6
2 3·4=12
3 3·8=24
4 3·16=32
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FUNCIÓN LOGARÍTMICA
La función inversa de la exponencial
La función logarítmica en base “a” es la función inversa de la exponencial en base “a”.
con
En la figura adjunta se puede ver la inversa de la función
exponencial.
Nota:
El logaritmo cuya base es e (número irracional = 2.7183…..)
lo llamamos logaritmo neperiano o logaritmo
natural y se escribe como Ejemplos:
1)
5 10
-10
-5
5
x
y
2)
5 10
-10
-5
5
x
y
Al observar estas gráficas podemos concluir que:
El dominio de la función logarítmica es: ……………..
El recorrido de la función logarítmica es:……………..
Gráfica función logarítmica a) Si a la función es creciente para x > 0.
b) Si 0 < a < 1la función es decreciente para x > 0.
Funciones logarítmicas
Son las que asocian a cada número x su logaritmo en
una cierta base, a, y= logax.
• Su dominio son los reales positivos y el recorrido es IR
• Es continua
• Si a>1 es creciente y decreciente si 0<a<1.
• Corta al eje OX en (1,0) y pasa por (a,1)
• El eje OY es asíntota vertical.
Observa que si la base de la función logarítmica es un
número mayor que 1 la gráfica es CRECIENTE y si
0<a<1 es un número menor que 1 la gráfica será es
DECRECIENTE.
LOGARITMOS
DEFINICIÓN:
El logaritmo se define como: n= con
, b > 0 y a ≠ 1
Se lee de la forma n es el logaritmo de b en base a.
Ejemplos:
(Si la base no aparece es 10)
PROPIEDADES:
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en particular
si tenemos (ya que la base de ln es e)
6)Logaritmo de la raíz . Loga =
a b
Logaritmos decimales Son aquellos logaritmos que tienen base 10, el cual al ser
escrito suele omitirse, es decir:
Log10x = log X
log 10 = log 101=1
log 100 = log 102=2
log 1000 = log 103
= 3
log 10000 = log 104
= 4 ,
…etc
Cuando queremos calcular logaritmos en cualquier otra base
tenemos que recurrir a la fórmula del cambio de
base
ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita
aparece en una expresión afectada por un logaritmo.
Así en la ecuación 2 log x = 1 + log (x - 0,9), en la que la
incógnita x aparece tras el signo de logaritmo, es logarítmica.
Para resolver este tipo de ecuaciones se utiliza la siguiente
propiedad:
1) Para resolverlas se deben igualas los logaritmos, es
decir, que tengan ambas bases iguales.
Loga b = loga c b= c
Un sistema de ecuaciones logarítmicas es un sistema formado
por ecuaciones logarítmicas.
Por ejemplo, log x + log y³ = 5
log x/y = 1
b) Si la función es decreciente para .
a) Si la función es creciente para .
Ecuaciones con logaritmos
Resuelve la ecuación: 4·logx=2·logx+log4+2
4·logx - 2·logx =log4+log100
2·logx = log400 logx2=log400
x2=400 ⇒ x=±20
Resuelve la ecuación 2 log x = 1 + log (x - 0,9).
Resolución:
log x² = log 10 + log (x - 0´ 9)
log x² = log [10 (x - 0´ 9)] x ² = 10 (x - 0´ 9)
x² = 10. x - 9 x² - 10 x + 9 = 0
x = (10 ± √100 - 4.9)/2 = (10 ± √64)/2 = (10 ± 8)/2 = 5 ±
4
Hay dos soluciones: x = 9 y x = 1
Ecuaciones exponenciales que se resuelven utilizando
logaritmos
Resolver la ecuación 2x = 57.
Solución:
Tomando logaritmos en ambos miembros, log 2x = log 57
x.log 2 = log 57 x = log 57/log 2 x = 1,7558/0,3010
= 5,8332
Resolución de sistemas de ecuaciones logarítmicas
1) Resolver el sistema: log x + log y³ = 5
log x/y = 1
Solución:
log xy³ = log 105 xy³ = 10
5
log x/y = log 10 x/y = 10 x = 10.y
10 y4 = 10
5 y
4 = 10
4 y = 10 (El resultado y = -10 no
tiene sentido.)
Como x = 10 y x = 10·10 = 100
APLICACIÓN DE LOS LOGARITMOS A LAS
ECUACIONES EXPONENCIALES Una ecuación exponencial puede ser resuelta cuando sus
bases son iguales, cuando no son iguales, se pueden usar
logaritmos para resolver estas ecuaciones.
Ej.: 2 = 3x
Como las bases no son iguales se aplica logaritmo a
ambos lados de la igualdad; log 2 = log 3x
Por propiedad de logaritmo de una potencia: log 2 = x.
log 3
Despejando x resulta:
Ejemplo
Representa y estudia las funciones
a) f(x)=2·log3x
Por otra parte:
log 0,1 = log 10-1 = -1
log 0,01 = log 10-2 = -2
log 0,001 = log 10-3 = -3,
…etc
Dominio=(0,+∞)
Recorrido= IR
Asíntota: x=0
Corte OX: (1,0)
Creciente
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ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN
1.-Determina el valor de x:
a)3log2 x
b)0log5 x
c)2log 3,0 x
d) 2
1log2 x
e)327log x
f)2
4
1log x
g) 2
1
3
1log x
h)x32log2
i)x
81
1log3
j) 2
3log4 x
k) 5
24log x
2)Desarrolla aplicando las propiedades de los logaritmos:
a) log (2ab) b) 4
3log
a
c) 3
2log
2a
d)45log ba
e) ab
2log f) ablog
g)y
x
2log
h) ba2log i) c
ba33log
j) Calcula: log5
3)Calcula el número:
a) cuyo logaritmo en base 6 es 3.
b) cuyo logaritmo en base 4 es -3.
c) cuyo logaritmo en base 10 es 2.
d) cuyo logaritmo en base 1/2 es -3.
e) cuyo logaritmo en base 1/5 es 2.
4)Representa y estudia las funciones
a) f(x)=4·2x
b) f(x)=2·3-x
+1
a) f(x)= =log3 x +1
5)Resuelve las ecuaciones exponenciales:
a) 32-9x+9
=16 b) 272x+3
=93
c) 4-3x+8
=8 d) 98x-7
=1
e) 25-5x-5
=1
6)Aplicando las propiedades de los
logaritmos resuelve las ecuaciones:
a) log(32+x2) – 2·log(4-x) = 0
b) 2·logx – log(x-16) = 2
c) logx2 – log
= -2
d) 2)16log(log2 xx
e) 10
log3log2x
x
7) Solucionar el sistema:
log x + log y = 2
x - y = 20
8)Construye una tabla de valores de una función
exponencial en cada caso y escribela expresión algebraica.
a) f(-2)=2/9, y constante de crecimiento 3
b) f(0)=3, y constante de decrecimiento ¼
9)Calcula en cuánto se convierte un capital de $ 900000
colocado al 4,5% anual durante 3 años.
10)El tamaño de cierto cultivo de bacterias se multiplica por
cada 30 minutos. Si suponemos que el cultivo tiene
inicialmente 5 millones de bacterias,¿dentro de cuántas
horas tendrá 320millones de bacterias?.
11)En qué se convierte al cabo de 15 años
un capital de $ 230000 al 5,5% anual?
12)¿Para qué valores de x la función indicada es
decreciente?:
a) f(x)=
b) f(x)= - -
13)Calcula x en cada caso aplicando la definición de
logaritmo:
f) log1/81=x c) log381=x g) log1/525=x
d) log3(1/9)=x h) log1/2(1/16)=x
14)Representa y estudia las funciones
a) f(x)= =log3x +1
15. ¿Cuál es el área de los rectángulos de la figura?
Área = base x altura
16. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación
5x +
5x +1
+ 5x +2
= 155?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 1/3
E) -3
17. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?
A) El logaritmo de 1 en cualquier base, siempre es 0.
B) x. loga ax = x
2
C) La base de un logaritmo no puede ser negativa
D) El logaritmo de una suma es el producto de los
logaritmos
E) El logaritmo de un cociente es la diferencia de los
logaritmos
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SOCIALIZACIÓN
1) Puesta en común del trabajo desarrollado. 2) Retroalimentación de posibles dudas.
3) Evaluación escrita del tema visto. 4)Se evalúa la participación activa de todos los estudiantes.
5) Revisión de corrrecciones. 6) Revisión del trabajo desarrollado
COMPROMISO
1)Resuelve las siguientes ecuaciones:
1) 112 x
2) 215 1 x
3) 6.12334 xe
4) 1255 2 x
5) 64222 11 xxx
2)Resolver la ecuación
3.log x - log 32 = log x/2
3)Reduce a un solo logaritmo
a) log a + log b
b) log x – log y
c) yx log2
1log
2
1
d)
4)Resolver la ecuación 3.log x - log 32 = log x/2
5)Resolver la ecuación = 1/40
6)Resolver 4³.x = 8
x + 6.
7)Desarrolla aplicando las propiedades de los logaritmos:
a)log (2ab) = log 2 + log a + log b
b)43
4
3logaloglog
alog
c)blogalogbalog 4545
8)
Resolver el sistema: 2
x + 2
y = 24
2x.2
y = 128
ELABORÓ REVISÓ APROBÓ
NOMBRES
CARGO Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico
DD MM AAAA DD MM AAAA DD MM AAAA