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Guía MatemáticaANGULOS

tutora: Jacky Moreno

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1. Geometrıa

La geometrıa es una de las ramas de las matematicas mas antiguas que se encarga de estudiar laspropiedades del espacio, principalmente las figuras geometricas junto con sus relaciones, propiedades yconsecuencias que se pueden deducir de ellas.

La palabra geometrıa significa “medida de la tierra” y tiene sus orıge-nes en las antiguas civilizaciones egipcias, babilonicas, hindues o chinas,las cuales se encargaban de resolver problemas como la medicion de lastierras o como la construccion de angulos rectos para las esquinas delas construcciones. Estas primeras aproximaciones geometricas trabajadaspor estas culturas fueron aprovechadas por los griegos quienes ordenarony sistematizaron los conocimientos geometricos. En esta cultura destacade sobremanera el matematico Euclides quien configuro la geometrıa enforma axiomatica en su libro “Los Elementos”.

A continuacion estudiaremos la Geometrıa Euclidiana Plana, es decir, estudiaremos las figurascontenidas en un plano, a traves de las definiciones, axiomas y proposiciones del “Libro I de los elementosde Euclides”. Este libro se basa en un sistema deductivo, en el cual se parte de ciertas definiciones quecorresponden a enunciados claros y precisos de lo que significan ciertos terminos y tambien de algunasaxiomaticas o postulados definidos con anterioridad, para ası, a partir de lo definido, deducir y demostrarotras proposiciones y teoremas.

2. Conceptos basicos

2.1. Punto

De acuerdo a la definicion de Euclides:

Punto es aquello que no tiene partes.

Vale decir, un punto es un objeto geometrico que no tiene dimension y que por ende no posee alto,ancho o largo. Los puntos son utilizados para identificar una posicion en el plano o espacio en el cual seesta trabajando. La representacion de estos objetos se hace a traves de letras mayusculas como se muestraa continuacion:

2.2. Recta

De acuerdo a la definicion de Euclides:

Lınea es longitud sin espesor ni anchura.Lınea recta es aquella lınea que tiene todos sus pun-tos en la misma direccion.

Vale decir, una recta es un objeto geometrico que tiene una dimension ya que solo posee largo yesta compuesta por infinitos puntos. La representacion de estos objetos se hace generalmente a traves deuna L con un subındice o con letras minusculas, como se muestra a continuacion:

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En el caso de que limitemos la recta en uno de sus dos sentidos, damos paso al objeto geometricoconocido como rayo, el cual se representa y simboliza a continuacion:

En el caso de que limitemos la recta en ambos sentidos, damos paso al objeto geometrico llamadosegmento, el cual se representa y simboliza a continuacion:

2.3. Plano

De acuerdo a la definicion de Euclides:

Superficie es aquello que tiene solamente ancho ylargo, no tiene espesor.Superficie plana es aquella que contiene una rectaen cualquier posicion.

Vale decir, un plano es un objeto geometrico que tiene dos dimensiones ya que posee ancho y largo yesta compuesta por infinitas rectas. La representacion de estos objetos se hace a traves de letras griegasmayusculas como se muestra a continuacion:

Desafıo 1

¿A que corresponde la interseccion de dos planos, la interseccion de dos rectas y la

interseccion de un plano y una recta?

Respuesta

3

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3. Principales Axiomas

Los axiomas son proposiciones que aceptamos como verdaderas, por lo cual no las cuestionamos paranuestras demostraciones o analisis. Los principales axiomas o postulados de la geometrıa euclidiana son:

Existen infinitos puntos

Por un punto dado pasan infinitas rectas.

Por dos puntos diferentes pasa una unica recta.

Por tres puntos diferentes que no estan ubicados en lınea recta pasa un unico plano.

4. Angulos

Un angulo es el conjunto de puntos formados por dos rayos que emanan de un mismo origen. Seidentifican por medio de las letras griegas minusculas, α, β, γ, etc. y se representan como se muestran acontinuacion:

Como podemos ver la union de los rayos−→OA y

−−→OB en el vertice O forma dos angulos: α denominado

angulo interior y β denomindo angulo exterior.

En general, cuando hablemos de angulos estamos ha-ciendo referencia al angulo interior, a menos que seindique lo contrario.

4.1. Medida de un angulo

Existen varios sistemas de medicion para los angulos, en nuestro caso nos enfocaremos en el sistemasexagesimal que tiene como unidad fundamental el grado sexagesimal cuyo sımbolo es °.

Un grado sexagesimal equivale a la abertura correspondiente a la 360ava parte de un cırculo, es decir,si un cırculo lo divido en 360 aberturas iguales, cada abertura correspondera a 1°. Dentro de este sistemaencontramos otras divisiones aun mas pequenas para la medida de los angulos, estas son los minutos quese simbolizan con ′ y los segundos que se simbolizan con ′′. Las equivalencias entre estas medidas son:

1° = 60′

1 minuto = 60′′

Para poder llevar a cabo la medicion debemos utilizar un transportador, en donde valor positivo deun angulo esta dado por el sentido en contra de las manecillas del reloj y el valor negativo de un anguloesta dado por el sentido de las manecillas del reloj.

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4.1.1. Operaciones con las medidas de los angulos

Para sumar o restar medidas de angulos basados en el sistema sexagesimal se deben operar las mimasunidades, es decir, grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos. Luego de esto, sedeben transformar las unidades mayores si es que se pueden.

. Ejemplo

Si α = 12° 40′ 35′′ y β = 50° 21′ 48′′, ¿cuanto vale α+ β?

Solucion: Resolvamos el ejercicio sumando las mismas unidades:

α = 12° 40′ 35′′

β = 50° 21′ 48′′

α+ β = 62° 61′ 83′′

Al observar los resultados obtenidos podemos hacer algunas transformaciones:

Al reducir los segundos tenemos:

83′′ = 60′′ + 23′′ = 1′ + 23′′

Por lo tanto debemos sumarle un minuto a nuestro resultado, 61′ + 1′ = 62′ y debemos dejar lossegundos como 23”

Al reducir los minutos tenemos:62′ = 60′ + 2′ = 1° + 2′

Por lo tanto debemos sumarle un grado a nuestro resultado, 62° + 1° = 63° y debemos dejar losminutos como 2′

Finalmente la suma de α y β es igual a 63° 1′ 23′′

Desafıo 2

Si α = 32° 16′ 25′′ y α+ β = 70°, ¿cuanto mide β en el sistema sexagesimal?

Respuesta

- Ejercicios 1

Desarrollar los siguientes ejercicios.

1. Si α = 90° 53′ 7′′ y β = 32° 79′ 40′′, entonces ¿cuanto mide α+ β?

2. Si α = 48° 93′ 25′′ y β = 11° 88′ 49′′, entonces ¿cuanto mide α− β?

3. Si α = 38° 33′ 69′′, β = 123° 48′ 9′′ y γ = 94° 51′ 72′′, entonces ¿cuanto mide α+ β − γ?

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4.2. Clasificacion de los angulos segun su medida

4.2.1. Angulo Nulo

Corresponde aquellos angulos que miden 0°.

]AOB = 0°

4.2.2. Angulo Completo

Corresponde aquellos angulos que miden 360°, es decir, el cırculo completo.

]AOB = 360° = α

4.2.3. Angulo Extendido

Corresponde aquellos angulos que miden la mitad de un angulo completo, es decir, 180°.

]AOB = 180° = α

4.2.4. Angulo Recto

Corresponde aquellos angulos que miden la mitad de un angulo extendido, es decir, 90°.

]AOB = 90° = α

Cuando dos rayos forman un angulo recto se dicen que son perpendiculares entre sı, esto se simboliza

como−→AO⊥

−−→OB

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4.2.5. Angulo Agudo

Corresponden a los angulos que miden entre 0° y 90°.

0° < ]AOB < 90°

4.2.6. Angulo Obtuso

Corresponden a los angulos que miden entre 90° y 180°.

90° < ]AOB < 180°

4.3. Angulos en un mismo plano

4.3.1. Angulos Adyacentes

Dos angulos son adyacentes si tienen un vertice y un lado en comun, de tal forma que sus interioresno se intersectan.

4.3.2. Angulos Complementarios

Dos angulos son complementarios si la suma de sus medidas es igual a un angulo recto, es decir, suman90°.

α+ β = 90

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En el caso de dos angulos complementarios, decimos que α es el complemento de β, es decir:

90− α = Complemento de α

4.3.3. Angulos Suplementarios

Dos angulos son suplementarios si la suma de sus medidas corresponde a un angulo extendido, esdecir, suman 180°.

α+ β = 180

En el caso de dos angulos suplementarios, decimos que α es el suplemento de β, es decir:

180− α = Suplemento de α

4.3.4. Angulos Opuestos por el Vertice

Dos angulos son opuestos por el vertice si los lados de uno corresponden a las prolongaciones de loslados del otro.

Siempre que tenga dos angulos opuestos por el vertice sus medidas van a ser iguales:

α = β

. Ejemplo

En la figura los punto A, O y B estan en la misma recta. Si el ]COD es recto, calcular:

1. El complemento de x.

2. El suplemento del triple de x.

3. El suplemento del complemento de 2x.

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Solucion: Los datos que tenemos del ejercicios son: ]COD = 90, ]AOC = 20−2x, ]DOB = 5x−50y ]AOB = 180, por lo tanto a partir de esta informacion calculamos el valor de x:

]AOB = ]AOC + ]COD + ]DOB

180° = 20°− 2x+ 90° + 5x− 50°3x = 180°− 20°− 90° + 50°3x = 120°x = 40

Luego resolvemos cada ejercicio por separado:

1. Para determinar el complemento de 40° debemos calcular el valor que le falta para completar los90°, es decir:

90°− 40° = 50°

2. El triple de 40° corresponde a 40° ·3 = 120°. Para calcular su suplemento debemos encontrar el valorque falta para completar los 180°, es decir:

180°− 120° = 60°

3. Primero determinemos el complemento de 80°:

90°− 80° = 10°

Y luego determinamos el suplemento de 10°:

180°− 10° = 170°

Finalmente el suplemento del complemento de 80° es 170°.

- Ejercicios 2

1. ¿Cuanto mide el suplemento de 68° mas el complemento de 55°? ¿Que tipo de angulo es?

2. ¿Cuanto mide el complemento del suplemento de 127°? ¿Que tipo de angulo es?

3. Si el suplemento de un angulo α es igual a la mitad del triple del complemento de dicho angulo.¿Cuanto mide α? ¿Que tipo de angulo es?

4. El suplemento del angulo 4α es 60°. ¿Que valores puede tomar β si al sumarse con α forman unangulo agudo? ¿Que tipo de angulo es?

5. El cuadruple del complemento de α− 40° es igual a la mitad del suplemento de 80°− 6α. ¿Cuantomide α? ¿Que tipo de angulo es?

6. En la figura las rectas L1 y L2 se intersectan en un punto.

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a) ¿Cuanto mide el doble de α mas el complemento de 10°? ¿Que tipo de angulo es?

b) ¿Cuanto mide el suplemento de α− 50°? ¿Que tipo de angulo es?

c) ¿Cuanto mide el el complemento de la septima parte de α? ¿Que tipo de angulo es?

7. En la figura la interseccion de las rectas L1 y L2 forman un angulo recto. Si α es el triple de β:

a) ¿Cuanto mide el complemento de β?

b) ¿Cuanto mide el suplemento del complemento de α?

4.4. Angulos formados por una transversal que corta a dos rectas paralelas dadas

Dos rectas se dicen que son paralelas cuando estan en un mismo plano y no se cortan entre sı. Ası,si L1 y L2 son dos rectas paralelas se simbolizan como L1 ‖ L2.

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En base a la definicion de Euclides podemos decir que:

Son rectas paralelas las que, estando en un mis-mo plano y siendo prolongadas indefinidamente enambos sentidos, no se cortan ni en uno ni en el otrosentido.

Cuando tenemos dos rectas paralelas, L1 y L2, que son cortadas por una transversal L3, no necesa-riamente perpendicular, entonces aparecen 8 angulos que se relacionan entre sı de la siguiente manera:

Son angulos correspondientes los pares de angulos 1-5, 2-6, 4-8 y 3-7.

Son angulos alternos internos los pares de angulos 4-6 y 3-5. Se denominan angulos interiores alos 4 angulos que quedan entre las paralelas, a los demas angulos se les denomina exteriores.

Son angulos alternos externos los pares de angulos 1-7 y 2-8.

Son angulos opuestos por el vertice los pares de angulos 1-3, 2-4, 5-7 y 6-8 de acuerdo a lapropiedad anteriormente vista.

La propiedad que cumplen todas estas relaciones es que los angulos relacionados son congruentes,es decir, tienen la misma medida.

. Ejemplo

Sean las rectas L1 y L2 paralelas, determinar el valor de x.

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Solucion: Como las rectas L1 y L2 son paralelas, entonces los angulos ]ABC y ]BCD son alternosinternos congruentes, por lo tanto:

]BCD = ]ABC

7x+ 14° = 3x+ 58°7x− 3x = 58°− 14°

4x = 44°x = 11°

- Ejercicios 2

Determinar el valor de x en las siguientes figuras.

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Desafıos resueltos

3 Desafıo I: La interseccion de dos planos corresponde a una lınea recta y la interseccion de dos rectaso de una recta y un plano corresponde a un punto.

Volver

3 Desafıo II: Para determinar el valor de β debemos restar los 70° con α, de esta manera tenemos losiguiente:

70° = 70° 0′ 0′′

α = 32° 16′ 25′′

70°− α = 37° 43′ 35′′

Por lo tanto β = 37° 43′ 35′′ Volver

Bibliografıa

[1 ] Manual de preparacion PSU Matematica, Quinta Edicion,Oscar Tapıa Rojas, Miguel Ormazabal Dıaz-Munoz, David Lopez, Jorge Olivares Sepulveda.

[2 ] Desarrollo del pensamiento matematico, Geometrıa, No 12, Abril 2006,Martın Andonegui Zabala.

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