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INSTITUCIÓN EDUCATIVA TÉCNICA SAGRADO CORAZÓN Aprobada según Resolución No. 8758000490 – NIT 800251680 – DANE 108758000490

SOLEDAD – ATLÁNTICO.

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PA_00_SGC_13012016 00 GUIAS Última revisión: 13/01/2016

GUÍA N° 4 ÁREA: MATEMATICAS GRADO: 601 602 603

Docente: NANCY DE ALBA PERIODO: CUARTO IH (en horas): 4

EJE TEMÁTICO NUMEROS ENTEROS

DESEMPEÑO Reconoce comprensivamente las características y las relaciones de los

números enteros.

Efectúa, con exactitud, operaciones básicas con números enteros.

Aplica las operaciones básicas con números enteros para resolver problemas en diferentes contextos.

NÚCLEO TEMÁTICO: Concepto de números enteros Números enteros en recta numérica Números opuestos Números enteros en plano cartesiano Orden de los números enteros Operaciones con números enteros Adición de números enteros Sustracción de números enteros Simplificación de signo y paréntesis Multiplicación de números enteros División exacta de números enteros Polinomios aritméticos y aplicaciones Ecuaciones con enteros Propiedad uniforme Aplicaciones de las ecuaciones Solución de problemas

HABILIDAD(ES) DE PENSAMIENTO Codificar Y Descodificar

INDICADOR(ES) DE DESEMPEÑO(S) Explica cómo se compone el conjunto de los números enteros.

Representa situaciones reales mediantes números enteros.

Representa números enteros en la recta numérica identificando su orden. Establece relaciones con números enteros

Ordena números enteros de mayor a menor y viceversa

Clasifica los números enteros

Suma y resta números enteros Multiplica y divide números enteros Reconoce el orden de en las operaciones y lo aplica en la solución de polinomios con

números enteros Identifica las operaciones que se deben realizar para resolver un problema Resuelve y propones problemas que involucran distintas operaciones aditivas, y

multiplicativas de números enteros

SITUACIÓN(ES) PROBLEMA(S): Aplica como estrategia la solución de una ecuación con números enteros para dar solución a una situación.



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FASE AFECTIVA O MOTIVACIONAL Actividades: lectura para la exploración de idea Diagnóstico: Historia de las matemáticas Glosario: concepto de números enteros, que son números negativos, números positivos

FASE COGNITIVA O DE ELABORACIÓN NUCLEO TEMATICO 1: NUMEROS ENTEROS El conjunto de los números enteros negativos se simboliza Z- y se determina por extensión, así:

Z- = {…, -4, -3, -2, -1}

El conjunto de los números enteros positivos se simboliza Z+ y se determina por extensión, así: Z+ = {1, 2, 3, 4,…}

El conjunto de los números enteros se simboliza Z y es la unión del conjunto de los números naturales y el conjunto de los números enteros negativos. Al determinar por extensión el conjunto Z se tiene que:

Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…}

EJEMPLO: 1. Escribir un numero entero que represente la situación

a. Daniela ahorro durante un mes $60.000. El ahorro se puede representar con números enteros positivos. Así, el ahorro se Daniela se representa con el numero 60.000

b. En Bogotá se registró una temperatura de 8 grados centígrados bajo cero. Las temperaturas bajo cero se pueden representar con números enteros negativos. Así, la temperatura que se registró en Bogotá se representa con el numero -8



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ACTIVIDADES

LOS NUMEROS ENTEROS EN LA RECTA NUMERICA En la recta numérica los números enteros positivos se ubican a la derecha de cero y los números enteros negativos se ubican a la izquierda de cero.

Enteros negativos (Z-) Enteros positivos (Z+) EJEMPLO:

1. Juan trabaja en las minas que se encuentran en una montaña. ¿Qué numero entero representa cada mina? Para responder la pregunta se identifica el sitio de cada mina, así: La mina 1 se representa por el número -2, La mina 2 se representa por el número -3 y la mina 3 por el número -4.



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LOS NUMEROS OPUESTOS Dos números enteros son opuestos si están en la misma distancia del cero en la recta numérica y tienen signo diferentes, así: Por ejemplo, -4 y 4 son números opuestos, ya que ambos números están a cuatro unidades del cero y tienen signos diferentes, así:

4 unidades + 4 unidades

ACTIVIDADES



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LOS NUMEROS ENTEROS EN EL PLANO CARTESIANO El plano cartesiano es un sistema que se utiliza para localizar puntos. Está formado por dos rectas perpendiculares llamadas ejes, cuyo punto de intersección recibe el nombre de origen y los ejes se nombran como eje X y eje Y. En el plano cartesiano, un punto se presenta con un par de números llamados pareja ordenada que se simboliza (a, b), donde a es la primera componente o abscisa y b es la segunda componente u ordenada. ACTIVIDADES



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VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO ENTERO El valor absoluto de un número entero es la distancia desde el número hasta el cero en la recta numérica. El valor absoluto a de simboliza |a| y se lee valor absoluto de a. El valor absoluto de cero es cero. Es decir, |0| = 0 EJEMPLO

1. Hallar el valor de la expresión |-(-15)| |-(-15)| = |15| Se halla el opuesto de -15 = 15 Se determina el valor absoluto de 15 Por tanto, |-(-15)| = 15

ORDEN EN LOS NUMEROS ENTEROS Dados dos números enteros a y b, entre ellos se puede presentar una y solo una de las siguientes relaciones

a < b, si en la recta numérica a se encuentra a la izquierda

a > b, si en la recta numérica a se encuentra a la derecha

a = b, si en la recta numérica a y b se encuentran ubicados en el mismo punto

EJEMPLO El coliseo romano se construyó en el año 70 d. C, gran parte de la Muralla china se terminó de construir en el año 200 a. C, la pirámide de Guiza se construyó en el año 584 a. C. ¿Cuál es la edificación más antigua? Primero, se representa cada fecha mediante un numero entero, así: 70 representa el año en que se construyó el coliseo romano, -200 el año en que se terminó de construir la muralla china y -584 el año en que se construyó la pirámide de Guiza. Luego, se ordenan los números: -584 < -200 < 70 Finalmente, la edificación más antigua es la pirámide de Guiza.

a b

b a

b

a



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ACTIVIDADES



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OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS Para sumar números enteros se deben tener en cuenta los siguientes casos: CASO1. SUMA DE DOS NUMEROS ENTEROS CON EL MISMO SIGNO. En este caso, se realiza la suma de los valores absolutos de los números y al resultado se le coloca el signo de los sumandos. CASO2. SUMA DE DOS NUMEROS ENTEROS CON DISTINTO SIGNO. En este caso se restan los valores absolutos de los números y al resultado se le coloca el signo del sumando que tiene mayor valor absoluto. EJEMPLO

1. Una foca desciende 55 m en las profundidades del mar y luego, asciende 39 m, ¿Cuál es la posición final de la foca respecto del nivel del mar? Primero, se plantea la suma (-55) + 39, donde -55 son los metros de descenso y los 39 metros de ascenso. Segundo, se hallan los valores absolutos de los sumandos |-55| = 55 y |39| = 39. Luego, se restan los valores absolutos de los sumandos. |-55| - |39| = 55 – 39 = 16 Finalmente, se escribe la suma con el signo del sumando cuyo valor absoluto es mayor. (-55) + 39 = -16 Por tanto, la posición final de la foca es 16 m bajo el nivel del mar.

SUSTRACCION DE NUMEROS ENTEROS En la Sustraccion a – b = c, a se llama minuendo, b se llama sustraendo y c se llama diferencia. Para hallar la diferencia entre dos números enteros, se suma el minuendo con el opuesto del sustraendo. Es decir, si a, b E Z, entonces, a – b = a + (-b). EJEMPLO

1. Efectuar las siguientes sustracciones entre números enteros. a. (-12) - (-59)

(-12) - (-59) = (-12) + 59 = 47

b. (-45) – 63 (-45) – 63 = (-45) + (-63) = -108

SIMPLIFICACION DE SIGNO Y PARENTESIS En algunas expresiones se combinan adicciones y sustracciones de números enteros, con signos de agrupación. Por ejemplo, -8 + {-[15 – (-11 + 7) - 9] + 6} Para resolver estas expresiones, se deben eliminar los signos de agrupación teniendo en cuenta las siguientes reglas: Cuando un signo de agrupación esta procedido por el digno +, se suprime dejando las cantidades que están en su interior con el mismo signo, así:

15 + (-9) = 15 – 9 Cuando un signo de agrupación va precedido por el signo -, se suprime cambiando de signo las cantidades que se encuentran en su interior, es decir:



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-40 – (-29) = -40 + 29 Una vez que se suprimen los signos de agrupación, se halla el resultado de la expresión. EJEMPLO

1. Hallar el valor de la siguiente expresión suprimiendo los signos de agrupación. -35 – {-45 – [-(5 - 28) – (-17)]} Para determinar el valor de la expresión se realizan los siguientes pasos: -35 – {-45 – [-(5 - 28) – (-17)]} = -35 – {-45 – [-5 - 28 – (-17)]} Se suprimen los paréntesis = -35 – {-45 – [23 - (-17)]} Se suma -5 con 28 = -35 – {-45 – [23 + 17]} Se suprimen los paréntesis = -35 – {-45 – [40]} Se suma 23 con 17 = -35 – {-45 – 40} Se suprimen los corchetes = -35 – {-85} Se resta -45 con 40 = -35 + 85 Se suprimen las llaves = 50 Se suma Finalmente, -35 – {-45 – [-(5 - 28) – (-17)]} = 50



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MULTIPLICACION DE NUMEROS ENTEROS La multiplicación de dos números enteros a y b llamados factores, es un numero entero c llamado producto. Para multiplicar dos números enteros se deben tener en cuenta los siguientes casos: Caso1. Si los números enteros tiene el mismo signo, se multiplican sus valores absolutos y el producto es positivo Caso2. Si los números enteros tienen distintos signo, se multiplican sus valores absolutos y el producto es negativo Los casos anteriores se generalizan en la siguiente ley de signos.

Ley de signos

El producto de dos factores que tienen el mismo signo es positivo.

(+) (+) = + (-) (-) = +

El producto de dos factores que tienen signo diferente es negativo.

(+) (-) = - (-) (+) = -

Para multiplicar tres o más números enteros se multiplican los valores absolutos de los números enteros. Luego, considerando el número de factores, se procede así:

Si el número de factores negativos es par, el producto es positivo.

Si el número de factores negativos es impar, el producto es negativo.

EJEMPLO 1. Un agente de bolsa observa que las acciones de la compañía en que pensaba invertir hace

cuatro semanas tuvieron una pérdida de $15.000 por acción semanalmente. ¿Cuánto dinero dejo de perder el agente por concepto de las acciones de la compañía? Se presentan los datos con números enteros. Por cada semana la acción pierde $15.000: -15.000 Hace cuatro semanas: -4 Luego, se tiene que: (-15.000) X (-4) = 60.000. Por tanto, el agente dejo de perder $60.000 por acción de la compañía.

DIVISION EXACTA DE NUMEROS ENTEROS La división es la operación que permite encontrar uno de los factores desconocidos de la multiplicación, cuando se conoce el producto y el otro factor. La división entre a y b se presenta como a / b, donde a es el dividendo y b es el divisor. Para hallar el cociente de dos números enteros se deben tener en cuenta los siguientes casos: Caso1. Si el dividendo y el divisor tienen el mismo signo, entonces, el cociente es positivo. Caso2. Si el dividendo y el divisor tienen distinto signo, entonces, el cociente es negativo. EJEMPLO

1. Efectuar la división entre cada par de enteros. a. (-18) / (-6)

Se dividen los valores absolutos de los números (-18) / (-6) Luego, se escribe el producto positivo porque el dividendo y el divisor tienen el mismo signo. (-18) / (-6) = 3



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POLINMIOS ARITMETICOS Y APLICACIONES Un polinomio aritmético es una expresión en la que aparecen indicadas varias operaciones. Para resolver un polinomio es necesario tener en cuenta que:

Si el polinomio no tiene signos de agrupación, primero, se efectúan las multiplicaciones y las divisiones, y luego, las sumas y las restas.

Si el polinomio tiene signos de agrupación, primero, se efectúan las operaciones que están dentro de estos. Luego, se resuelven las multiplicaciones y las divisiones y, por último, las sumas y restas.

EJEMPLO

1. Resolver los polinomios aritméticos a. (-13 + 54 / (-9)) X 5

= (-13 + (-6)) X 5 Se divide 54 entre -9 = (-19) X 5 Se suma = -95 Se multiplica Por tanto, (-13 + 54 / (-9)) X 5 = -95



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ECUACIONES CON ENTEROS Todas las ecuaciones tienen dos partes a las que se les denomina miembros de la ecuación. Por ejemplo, en la ecuación 5x + 8 = -12, la expresión 5x + 8 es el primer miembro de la ecuación y -12 es el segundo miembro de la ecuación. Resolver una ecuación significa encontrar el valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad. Por ejemplo, la solución de la ecuación x + 2 = 5 es x = -7, puesto que -7 + 2 = -5. EJEMPLO

1. Resolver la ecuación 5x – 2 = -17 Para resolver la ecuación se realizan los siguientes pasos:

5x – 2 +2 = -17 + 2 Se aplica la propiedad uniforme 5x = -15 Se realiza la suma

5𝑥

5 =

−15

5 Se aplica la propiedad uniforme

X = -3 Se efectúa la división Por tanto, la solución de la ecuación es x = -3. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES La siguiente grafica muestra los movimientos del valor de una acción de una compañía de seguros en una bolsa de valores. Si el doble del valor de una acción en enero disminuido el valor de febrero equivale al valor de la acción en marzo, ¿Cuál es el valor de una acción de una compañía de seguros en enero?

Mes Valor en pesos

Enero

Febrero 845

Marzo 2.227

Primero, se plantea una ecuación con los datos de la tabla y la información del problema, así: Se expresa el valor de la compañía en el mes de enero: x El doble del valor de una acción en enero disminuido al valor de febrero: 2x – 845 Luego, se plantea y se resuelve la ecuación. Como el doble del valor de una acción en enero disminuido en el valor de febrero equivale al valor de la acción en marzo, se tiene que: 2x – 845 = 2.227 Se plantea la ecuación 2x – 845 + 845 = 2.227 + 845 Se suma 845 en ambos miembros de la ecuación 2x = 3.072 Se realizan las sumas 2𝑥

2 =

3.072

2 Se divide entre 2 ambos miembros de la ecuación

X = 1.536 Se efectúan las divisiones Así, el valor de las acciones en enero corresponde a $1.536. Por tanto, el valor de la acción de la compañía de seguros en enero es $1.536. Las consecuencias con muy importantes para resolver situaciones en economía, finanzas, ciencias naturales y situaciones cotidianas.



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EJEMPLOS

1. Plantear una ecuación que represente la siguiente situación. Luego, resolverla. Un comerciante debe pagar a un proveedor un televisor cuyo costo es de $450.000. El comerciante paga parte del valor del producto en 5 cuotas del mismo valor y queda debiendo $100.000. ¿Cuál es el valor de cada cuota pagada? Primero, se plantea la ecuación. Se representa con la letra y el valor de cada cuota. El costo del televisor menos las 5 cuotas pagadas se expresa como: 450.000 – 5y Luego, la ecuación es 450.000 – 5y = 100.000. Después, se soluciona 450.000 – 5y = 100.000 para y. Se resta 450.000 en ambos miembros de la ecuación. 450.000 – 5y – 450.000 = 100.000 – 450.000 Se realizan las restas y se divide entre -5. −5𝑦

−5 =

−350.000

−5, entonces, y = 70.000

Finalmente, el valor de cada cuota es $70.000.



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FASE SOCIAL O DE SALIDA Actividades: (Mesa redonda, socio-drama, trabajo escrito, dibujos, mapa conceptual, carteleras, exposiciones, etc., donde el estudiante demuestre el manejo de habilidades y de lo estudiado) Compromiso: (Después de la auto-evaluación el estudiante se fija un compromiso para mejorar su desempeño o para profundizar la temática) Evaluación: (Cuestionario evaluativo tipo ICFES, lista de chequeo, rúbrica, etc., lo que debe dar respuesta a la situación problema planteada al inicio de la clase)

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