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Guadalupe Carrasco LiceaPilar Martínez Téllez

Leticia Contreras Sandoval

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Página legal

El libro Matemáticas 2 fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:

Dirección General de ContenidosAntonio Moreno Paniagua

Gerencia de SecundariaIván Vásquez Rodríguez

Gerencia de Arte y DiseñoHumberto Ayala Santiago

Coordinación de SecundariaÓscar Díaz Chávez

Coordinación de Matemáticas Ma. del Pilar Vergara Ríos

Coordinación de DiseñoCarlos A. Vela Turcott

Coordinación IconográficaNadira Nizametdinova Malekovna

Coordinación de RealizaciónGabriela Armillas Bojorges

EdiciónLeticia Martínez Ruiz, Ana Victoria Moreno Ayapantecatly Enrique Martínez Sánchez

Asistencia EditorialAdriana Escobedo Bustamante

Corrección de EstiloPablo Mijares Muñoz

Colaboración en evaluaciones tipo PISADiana Paloma Díaz

Edición de RealizaciónHaydée Jaramillo Barona

Edición DigitalMiguel Ángel Flores Medina

Diseño de portada e interioresBeatriz E. Alatriste del Castillo

DiagramaciónHéctor Ovando Jarquín

IconografíaMiguel Bucio Trejo

IlustraciónJorge Álvarez YáñezRenata Galindo PrietoRicardo Ríos Delgado

FotografíaShutterstock.com, Durga Archivo Digital, Glowimages

Digitalización de imágenesGerardo Hernández Ortiz

La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 2 son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

© 2015 por Guadalupe Carrasco Licea, María del Pilar Martínez Téllez, Leticia Contreras Sandoval

D.R © 2015 por EDITORIAL SANTILLANA, S.A de C. V.Avenida Río Mixcoac 274, colonia Acacias. C. P. 03240, delegación Benito Juárez, México, D. F.

ISBN:Primera Edición:

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.Reg. Núm. 802

Impreso en México / Printed In Mexico

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3

Ya no es una novedad el extenso uso de las matemáticas en prácticamente todas las áreas del quehacer humano, desde las actividades cotidianas hasta la produc-ción y la prestación de servicios, lo mismo en el desarrollo de nuevas tecnologías, que en las artes y en la investigación científica y humanista. Es fundamental que la curiosidad natural de los estudiantes sea aprovechada para ayudarles a incursionar en el terreno de la creación matemática. Por ello, la finalidad de la educación matemática es formativa.

Así, los propósitos del estudio de las matemáticas en la educación básica son, por un lado, que los alumnos desarrollen su capacidad de razonamiento, que aprendan a ordenar ideas, a detectar analogías y diferencias, a diseñar estrategias para resolver problemas y que desarrollen su capacidad de formular conjeturas, explicaciones y argumentaciones. Por otro lado, que adquieran destreza en el manejo eficiente de ciertos procedimientos técnicos y en el uso de la tecnología.

En el terreno de la formación personal, se pretende que el estudio de esta disci-plina ayude a los estudiantes a desarrollar la autoconfianza y favorezca en ellos las actitudes que permiten el trabajo en equipo, la colaboración y el contraste de ideas, respetando los diversos puntos de vista y reconociendo y aceptando la diversidad entre las personas.

Para lograr lo anterior, se requiere crear un ambiente de trabajo en el que los escolares tengan oportunidad de pensar, de equivocarse y volverlo a intentar, de encontrar distintas formas de resolver un problema y de discutir colectivamente; y el maestro tenga la posibilidad de escuchar todas las ideas de sus alumnos, plan-tearles cuestionamientos que los ayuden a encontrar sus errores y proponerles problemas y ejercicios muy diversos.

En este libro se proponen actividades de estudio basadas en situaciones pro-blemáticas seleccionadas para contribuir a lo anterior. Las secuencias didácticas incluyen problemas que invitan a los estudiantes a poner en juego sus conoci-mientos previos y a reestructurarlos en el proceso de solución, para modificarlos o ampliarlos, o para aplicarlos en una situación nueva. Incluye también ejercicios para practicar los procedimientos técnicos que ellos mismos han construido y que contribuyen a facilitar la solución de problemas en diversos contextos.

A lo largo de las lecciones, se les invita a comparar y contrastar los procedimientos desarrollados y los resultados obtenidos con los de sus compañeros, buscando que aprendan a comunicar su forma de razonar, a tomar en cuenta los cuestio-namientos de sus compañeros, que comprendan que un mismo problema puede ser abordado desde distintos enfoques y que adquieran confianza para expresar y justificar su trabajo matemático.

No se debe perder de vista que lo esencial es usar el material que aquí presen-tamos para generar un ambiente de discusión, cuestionamiento y construcción de ideas matemáticas.

Pre

sen

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ón

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Con las actividades contenidas en este texto, queremos mostrarte que las matemáticas pueden ser divertidas y útiles. Asimismo, pretendemos involu-crarte en un proceso de construcción del conocimiento, darte elementos y seguridad para abordar problemas tanto matemáticos como no matemáticos.

Buscamos que mediante el estudio y el uso de las matemáticas aprendas a razonar, a analizar situaciones, a formular hipótesis, a establecer conjeturas y a someter estas al análisis para así obtener nuevas conclusiones.

Por ello, te invitamos a recorrer las páginas de este libro con la actitud de aceptar retos y resolver todo tipo de problemas. Te invitamos a que uses todo lo que sabes y todo lo que te imagines que puede ser de utilidad en el proceso de encontrar soluciones. Tienes completa libertad para construir tu propio procedimiento usando dibujos de todo tipo, operaciones, figuras o lo que quieras. Incluso puedes actuar con tus compañeros la situación des-crita o representarla usando los objetos que tengas a la mano. Lo importante es que estés decidido a poner manos a la obra cada vez que las páginas de este libro te propongan un problema.

También es muy importante que trabajes en equipo, que les expliques a tus compañeros cómo obtuviste la solución de cierto problema, que escuches lo que pensaron y que compares tu procedimiento con el planteado por ellos. En resumen, que aprendas a explicar tus razonamientos y a escribir tus ideas de una forma ordenada.

En este libro también encontrarás ejercicios en los que se trata de que ad-quieras habilidad para realizar de manera eficiente procedimientos técnicos que ya has razonado y comprendido, pues esto suele ser tan importante como el razonamiento previo en el proceso de construcción del conocimien-to matemático. Encontrarás también algunas sugerencias acerca de cómo usar herramientas tecnológicas para mejorar la comprensión de los concep-tos matemáticos que verás en este curso, que buscan invitarte a realizar tu propia exploración de los recursos que te ofrecen las nuevas tecnologías.

En fin, nos sentimos parte de un equipo integrado por tus compañeros y tú, tus maestros y las autoras de este texto, uno de cuyos objetivos más tras-cendentes es que seas capaz de desarrollar un proceso de continuo apren-dizaje que te será de gran ayuda, tanto en tus estudios posteriores como en tu vida profesional.

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Paul Halmos, reconocido matemático del siglo XX, escribió: “La mejor forma de aprender es hacer”.

En completo acuerdo con esta idea, decidimos elaborar este libro en el que proponemos a los estudiantes de secundaria actividades que los pueden conducir a darse cuenta de que las matemáticas son mucho más que fór-mulas y operaciones, más que símbolos y signos.

No hemos querido dar recetas. Aspiramos a que los educandos se enfrenten a situaciones que los hagan pensar, buscar caminos, plantear conjeturas y soluciones, distinguir razonamientos erróneos de procedimientos correctos y convencerse por sí mismos de los resultados.

Tratamos de evitar caer en la tentación de presentar la matemática a los alumnos como un conjunto de conceptos y procedimientos acabados y sis-tematizados, ocultando que hacer ciencia requiere una complicada combi-nación de procesos de creación y de sistematización.

Cada uno de los resultados matemáticos ha requerido un largo camino que incluye, entre otras cosas, formular preguntas, proponer conjeturas, estudiar resultados conocidos relacionados, juntar cabos sueltos, refinar o desechar hipótesis y volver varias veces sobre el camino recorrido, para finalmente visualizar un resultado. El compromiso y lo largo del camino quedan completamente recompensados con la satisfacción que proporciona uno solo de esos momentos en los que se logra arribar a un resultado, sea de carácter teórico o práctico.

El otro tipo de proceso, el de sistematizar lo encontrado, es tan importante como la etapa de creación y es lo que permite explicar lo razonado y con-vencer del resultado para insertarlo en el estudio de la matemática.

Si al enseñar matemáticas dejamos de lado la enorme riqueza de todo este ca-mino, además de dar una visión desvirtuada de la ciencia, excluimos a los es-tudiantes del placer de construir y de la satisfacción de apreciar la obra propia.

El papel de los maestros en el desarrollo del enfoque que hemos intenta-do describir es fundamental. Su labor incluye, entre otras cosas, preparar actividades que resulten interesantes para los alumnos, motivar y guiar la discusión de los estudiantes, destacar los aspectos más significativos de los debates colectivos, sistematizar las propuestas de los escolares y muchas tareas más.

Con el material que aquí presentamos, queremos contribuir al enriqueci-miento de la importantísima tarea de los profesores de secundaria.

Las autoras

Al p

rofe

sor

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Bloque 2 76

Bloque 3 122

Bloque 1 16

Contenido

Lección 1Multiplicación y división con números enteros 18Lección 2Productos, cocientes y potencias de potencias 25Lección 3Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal 32Lección 4 Construcción de triángulos 42Lección 5Áreas 48Lección 6 Porcentajes 52Lección 7El interés compuesto y otros procedimientos recursivos 56Lección 8Más probable, menos probable 62Lección 9Comparación de datos usando medias y medianas 66Matemáticas 70Evaluación tipo PiSA 74

Presentación 3Al alumno 4Al profesor 5Estructura de tu libro 8Dosificación 12

Lección 10Adición y sustracción de monomios 78Lección 11Adición y sustracción de polinomios 82Lección 12 Expresiones algebraicas equivalentes 87Lección 13Volumen de cubos, prismas y pirámides 92Lección 14 Cálculo de volúmenes 98Lección 15 Proporcionalidad inversa 104Lección 16 Probabilidad frecuencial y probabilidad teórica 108Matemáticas 116Evaluación tipo PiSA 120

Lección 17Jerarquía de las operaciones y uso de paréntesis 124

Contenido

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7

Bloque 4 174

Bloque 5 218

Glosario 268Fuentes de información 271

Lección 25Sucesiones 176Lección 26 Ecuaciones de la forma ax + b = cx + d 182

Lección 31 Gráficas de funciones lineales 220Lección 32 Pendiente y ordenada al origen de una recta 224Lección 33Sistemas de ecuaciones 230Lección 34 Solución gráfica de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas 238Lección 35 Figuras simétricas 244Lección 36 Arcos, sectores circulares y coronas 252Lección 37Gráficas de distribuciones de probabilidad 258Matemáticas 262Evaluación tipo PiSA 266

Lección 27 Ángulos inscritos y ángulos centrales 188Lección 28 Gráfica de la función de proporcionalidad directa 196Lección 29 Funciones lineales 202Lección 30 Medias ponderadas 208Matemáticas 212Evaluación tipo PiSA 216

Lección 18Multiplicación de polinomios 128Lección 19 Suma de los ángulos interiores de un polígono 136Lección 20 Polígonos que cubren el plano 140Lección 21 Volumen y capacidad 146Lección 22 La ecuación y = kx 152Lección 23 Histogramas y gráficas poligonales 156Lección 24 Propiedades de la media y la mediana 164Matemáticas 168Evaluación tipo PiSA 172

Contenido

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8

Estructura de tu libro

12 13

Dosificación

DosificaciónDosificación

Aprendizajes esperados Eje Tema Lección

Bloque 1

�� Resuelve problemas que implican el uso de las leyes de los expo-nentes y de la notación científica.

�� Resuelve problemas que impli-quen calcular el área y el períme-tro del círculo.

�� Resuelve problemas que implican el cálculo de porcentajes o de cualquier término de la relación: Porcentaje = cantidad base × tasa. Inclusive problemas que requieren de procedimientos recursivos.

�� Compara cualitativamente la pro-babilidad de eventos simples.

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Problemas multiplicativos

1. Multiplicación y división con números enteros

2. Productos, cocientes y potencias de potencias

Forma, espacio y medida

Figuras y cuerpos

3. Ángulos entre paralelas corta-das por una transversal

4. Construcción de triángulos

Medida 5. Áreas

Manejo de la información

Proporcionalidad y funciones

6. Porcentajes

7. El interés compuesto y otros procedimientos recursivos

Nociones de probabilidad 8. Más probable, menos probable

Análisis y representación de datos

9. Comparación de datos usando medias y medianas

Bloque 2

�� Resuelve problemas aditivos con monomios y polinomios.

�� Resuelve problemas en los que sea necesario calcular cualquiera de las variables de las fórmu-las para obtener el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Establece relaciones de variación entre dichos términos.


Problemas aditivos

10. Adición y sustracción de monomios

11. Adición y sustracción de polinomios

Problemas multiplicativos12. Expresiones algebraicas

equivalentes

Forma, espacio y medida Medida

13. Volumen de cubos, prismas y pirámides

14. Cálculo de volúmenes


Proporcionalidad y funciones 15. Proporcionalidad inversa

Nociones de probabilidad16. Probabilidad frecuencial

y probabilidad teórica

Bloque 3

�� Resuelve problemas que impli-can efectuar multiplicaciones o divisiones con expresiones algebraicas.

�� Justifica la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o polígono y utiliza esta propiedad en la resolución de problemas.



17. Jerarquía de las operaciones y uso de paréntesis

18. Multiplicación de polinomios

Contenidos Páginas Semana

�� Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros. 18–24 1

�� Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

25–31 2

�� Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

32–41 3 y 4

�� Construcción de triángulos con base en ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.

42–47 5

�� Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides.

48–51 6

�� Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a una cantidad; determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa.

52–55 7

�� Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto, crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos.

56–61 8

�� Comparación de dos o más eventos a partir de sus resultados posibles, usando relaciones como: “es más probable que…”, “es menos probable que…”.

62–65 9

�� Análisis de casos en los que la media aritmética o mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos.

66–69 10

�� Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de monomios. 78–81 11

�� Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de polinomios. 82–86 12

�� Identificación y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

87–91 13

�� Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. 92–97 14

�� Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides.

98–103 15

�� Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos. 104–107 16

�� Realización de experimentos aleatorios y registro de resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial. Relación de esta con la probabilidad teórica.

108-115 17

�� Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis, si fuera necesario, en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios.

124-127 18

�� Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.

128–135 19 y 20

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174 175

Torre de Pisa. Ciudad de Pisa, provincia de Toscana, Italia.

Blo

que

4

Aprendizajes esperados

Introducción

Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que:

�� Representes sucesiones de números enteros a partir de una regla dada y viceversa.

�� Resuelvas problemas que impliquen el uso de ecua-ciones de la forma: ax + b = cx + d, donde los coeficientes son números enteros, fraccionarios o de-cimales, positivos y negativos.

�� Identifiques, interpretes y expreses relaciones de pro-porcionalidad directa o inversa, algebraicamente o mediante tablas y gráficas.

�� Resuelvas problemas que implican calcular, interpretar y explicitar las propiedades de la media y la mediana.

Durante mucho tiempo se pensó que los objetos más pesados caían a la tierra más rápidamente que los más ligeros. Fue el científico italiano Galileo Galilei (1564-1642) quien desmintió esta teoría probando que, si se elimina la resistencia del aire, todos los objetos caen a la misma velocidad.

Según la leyenda, Galileo Galilei desarrolló su con-jetura lanzando objetos desde lo alto de la torre de Pisa. En este bloque estudiarás la función que describe la caída libre de un cuerpo.

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Parejas

Equipo

Para practicar

Equipo

140 141

5 cm

5 cm5 cm

5 cm 5 cm

5 cm

Bloque 3

En esta lección estudiarás el contenido:

�� Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano

Polígonos que cubren el plano

Polígonos que cubren el plano �� Recorten las copias y, usando un solo tipo de polígono, unan las piezas como un rompecabezas, es decir, sin que se encimen y sin que dejen huecos.

�� Copien en una hoja de papel los rompecabezas que pudieron formar con los distintos polígonos.

Cuando se puede armar un rompecabezas con copias de un polígono, sin dejar huecos ni encimar las piezas, decimos que el polígono cubre el plano.

�� ¿Con cuáles polígonos no se pudo cubrir el plano? Discutan por qué piensan que sucede eso.

En las hojas de papel, señalen uno de los vértices de uno de los polígonos de su recubrimiento. �� ¿Cuál es la medida del ángulo interior del polígono correspondiente a ese vértice? �� ¿Cuántas copias del polígono se juntaron en ese vértice? �� ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de las copias del polígono alrededor

de ese vértice? Respondan estas preguntas para todos los recubrimientos del plano que hicieron. Escriban sus respuestas en sus cuadernos.�� ¿Con cuáles polígonos regulares se puede cubrir el plano?

Discutan la respuesta de su equipo con el resto del grupo y lleguen a un acuerdo sobre las características que debe tener un polígono regular para cubrir el plano. Comparen su acuerdo con la afirmación del siguiente texto.

Si los ángulos interiores de un polígono regular son divisores de 360°, entonces el polígono regular cubre el plano.

Lección 20

Analiza con un compañero los mosaicos de las siguientes ilustraciones. Cada dise-ño se construyó a partir de un cuadrado.�� Identifiquen uno de los cuadrados que se repitió y dibújenlo en su cuaderno.

Comparen su respuesta con las de sus demás compañeros.

�� Diseñen un mosaico similar al de la ilustración y adornen el salón con todos los diseños que elaboraron en el grupo.

Sobre cartón o papel resistente hagan al menos diez copias de los polígonos regu-lares de la siguiente ilustración, con las medidas que se indican.

Argumenta por qué no se puede cubrir el plano con un pentágono regular ni con un octágono regular.

Anlicen las figuras y resuelvan las actividades.

�� ¿Qué polígono se utilizó para realizar el siguiente recubrimiento del plano? ¿Es regular?

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Figuras y cuerpos

Coevaluación

Coevaluación

Autovaluación

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Los contenidos de Matemáticas 2 están organizados en cinco bloques. Esta distribución res-ponde a las cinco evaluaciones bimestrales de tu año escolar, por lo que la información de cada bloque está dosificada.

Estas son las páginas modelo que encontrarás en tu libro:

Dosificación 1 Para que tu profesor orga-

nice cuarenta semanas de clase, divididas en los cinco bimestres del año escolar.

Entradas de bloque2 Incluyen una imagen

grande y atractiva sobre un tema relacionado con el contenido del bloque.

3 La sección “Aprendizajes es-perados” expone, en forma resumida, los nuevos cono-cimientos y habilidades que desarrollarás de acuerdo con los tres ejes temáticos (ideas centrales para orga-nizar el pensamiento ma-temático), que son Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida y Manejo de la información.

4 Un texto introductorio del bloque.

Lecciones5 Cada lección se compone

de tres partes: Inicio , Desarrollo y Cierre . El paso de una a otra se señala mediante un ele-mento gráfico en el mar-gen de la página.


1

5

2

3

4

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9

Para practicar

Equipo

Individual

Equipo

132 133

x

x

x

x – y

x – y

y

y

y

y8 8

8 + a8

8 –

a

8

a

a

a

m

n

x

x

x

x n n + m+a

a

a 3

2

+ 3

a –

c

a – b b + ca

c

ac

b

a

+

2

x +

m

Bloque 3

En la figura, el rectángulo morado tiene lados 8 – a y 8 + a. Observa el movimiento que se sugiere con la flecha punteada y escribe el área de ese rectángulo como una diferencia de cuadrados.

Repitan lo anterior con la figura siguiente.

�� ¿A qué es igual (x – y)2?

Discutan con sus compañeros cómo calcular el cuadrado de la diferencia de dos términos, sin necesidad de desarrollar el producto término a término. Redacten un procedimiento para realizar dicho cálculo y comparen su redacción con el siguiente texto.

El cuadrado de un binomio es igual a la suma de los cuadrados de cada término, más (o menos) el doble producto del primer término por el segundo.

(s + h)2 = s 2 + 2sh + h 2 (s – h)2 = s 2 – 2sh + h 2

Un trinomio que es el resultado de elevar un binomio al cuadrado, se llama tri-nomio cuadrado perfecto. Por ejemplo:

9x 2 + 42x + 49 y 49y 2 – 56y + 16son trinomios cuadrados perfectos porque cada uno es el cuadrado de un binomio:

9x 2 + 42x + 49 = (3x)2 + 2(3x × 7) + 72 = (3x + 7)2

y 49y 2 – 56y + 16 = (7y)2 – 2(7y × 4) + 42 = (7y – 4)2

Realiza los siguientes ejercicios para adquirir destreza en el manejo de los con-ceptos y los procedimientos que has aprendido.

1. Desarrolla:a) (a + 5)2 c) (2x + 3)2 e) (2 + 4d)2 g) (

34 b + 7)2 i) (w + 2

3 x)2

b) (x – 2)2 d) (y – 7)2 f) (u – 3v)2 h) (35 z – 5)2 j) (4a – 1

4 x)2

2. Escribe cada trinomio cuadrado perfecto como el cuadrado de un binomio.

a) x 2 + 2x + 1 e) a 2 + 8a + 16 i) 9b 2 + 12b + 4b) y 2 + 4y + 4 f) 4x 2 + 12x + 9 j) a 2 + 10x + 25c) a 2 – 4a + 4 g) w 2 – 8w + 16 k) x 2 – 4x + 4 d) z 2 – 6z + 9 h) 9x 2 – 12x + 4 l) a 2 – 12ab + 36b 2

Copien en su cuaderno las siguientes igualdades, con los espacios como se indican. Discutan la manera de determinar los términos faltantes y completen.

a) (x + )2 = + 2xa + e) (y + )2 = + 12y +

b) ( + )2 = z 2 + + 4 f) ( + )2 = 4b2 + + 1

c) ( – )2 = a 2 – 12a + g) ( – )2 = x 2 – + 9

d) ( – )2 = 9 – 30b + h) ( – )2 = y 2 – + 49

�� Haz la multiplicación de los binomios (8 + a)(8 – a) y reduce términos seme-jantes. ¿Hay alguna relación con lo observado en la figura?

�� Escribe en tu cuaderno una regla para multiplicar rápidamente dos binomios del tipo b + n y b – n.

Compara la regla que escribiste con las de tus compañeros y discutan cualquier diferencia que se presente.

Analicen las figuras. Escriban en su cuaderno la expresión que se pide en cada caso.

�� El área del rectángulo de lados a + 3 y a + 2.�� La suma de las áreas de los cuatro cuadriláteros que forman el rectángulo an-

terior. Reduzcan la expresión. ¿Qué relación hay entre el área del punto anterior y esta?

�� El área del rectángulo de lados x + n y x + m.�� La suma de las áreas de los cuatro cuadriláteros que componen el rectángulo

anterior. Reduzcan la expresión.�� El área del rectángulo de lados n + m y x. Usen esta expresión para escribir de

otra manera el área del rectángulo anterior.

Establezcan la identidad que corresponde a las siguientes figuras.

Multiplicación de polinomios

Coevaluación

Coevaluación

Autovaluación

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Para practicar

Equipo

160Bloque 3

La trabajadora social de una clínica médica recolectó datos acerca del número de hijos que tienen las pacientes de 14 años en adelante. Dividió al grupo de mujeres según su edad en dos grupos: de 14 a 35 años y de 36 a 65 años.


1. Construye la tabla de frecuencias que corresponde al siguiente histograma. Las clases pueden ser 236-240, 241-245, etcétera.

2. Construye el histograma que corresponde a la siguiente tabla de frecuencias.

Tiempo de 100 nadadores en la prueba 100 metros libres (segundos)

Intervalo de tiempo Frecuencia absoluta Marca de clase

50-52 11 51

52.1-54 43 53

54.1-56 24 55

56.1-58 22 57

Suma 100

Autovaluación

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Individual

149

1 dm3

MAT2SECINTLA-B3-L21-02

1 litro

MAT2SECINTLA-B3-L21-03

Petróleo

1 barril = 159 litros

Un gramo (g) es el peso de un mililitro de agua destilada; es decir, es el peso de un centímetro cúbico de agua.

Un kilogramo (kg) es el peso de un litro de agua destilada; es decir, el peso de mil mililitros de agua.

En la vida cotidiana se usan muchas otras unidades de medida. En las siguientes actividades trabajarás con algunas de ellas.

Analiza la gráfica y responde las preguntas posteriores.

�� ¿Cuántos barriles de petróleo se produjeron en el año 2000 en aguas profun-das? ¿Y en 2006?

�� ¿Cuántos litros de petróleo se produjeron en 2004?

Volumen y capacidad

Para practicar


1. Determina las equivalencias en la unidad indicada.a) 1 g = kg c) 1 kg = gb) 582 g = kg d) 0.3491 kg = g

2. Para medir pesos muy grandes se usa la ton (ton), que equivale a 1 000 kg.a) ¿Cuántos kilogramos equivalen a 8 ton? ¿Y a 0.0589 ton? b) ¿Cuántas toneladas equivalen a 879 kg? ¿Y a 39 659 kg?

3. Otra medida que se suele usar para medir pesos grandes es el quintal. Un quin-tal equivale a 100 kg. En el primer semestre de 2012, Honduras exportó 3.3 mi-llones de quintales de café. ¿A cuántas toneladas de café equivale esto?

Glosario

agua destilada. Es agua pura compuesta solo por dos moléculas de hidrógeno y una de oxígeno, sin ningún otro compuesto añadido.

Información tomada de la página de Pémex, sección “Eventos y presentaciones”: www2012.pemex.com/index.cfm?action=news&sectionid=8&catid=11300&contentid=17758#2 (consulta: 22 de septiembre de 2014).

Autovaluación

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Lección 3

32


�� Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rec-tas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones en-tre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos

Individual

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Figuras y cuerpos

Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal

En el siglo III antes de nuestra era, Eratóstenes (matemático, astrónomo y geógrafo griego) calculó por primera vez las dimensiones de la Tierra. Partió de lo siguiente:

�� Los rayos del sol caen sobre la Tierra como líneas paralelas entre sí.�� La Tierra es redonda.�� La distancia entre las ciudades de Siena y Alejandría es de 5 000 estadios egip-

cios (800 km).�� A las doce del día, los rayos del sol caen en Siena sin producir sombra, mientras

que en Alejandría sí producen sombra.�� La sombra de una columna es perpendicular a dicha columna.�� La sombra representada en la ilustración por el segmento PQ es prácticamente recta.

Eratóstenes logró medir el ángulo PRQ y descubrió que debía ser igual al ángulo SCP en el centro de la Tierra. �� Considera que PRQ = SCP = x. Si este ángulo corresponde a una distancia

de 800 km en la superficie de Tierra, ¿cómo se puede determinar la longitud de la circunferencia que representa la Tierra a partir del esquema anterior?

�� Escribe una expresión algebraica que corresponda a la longitud de esa circunferencia.

Contrasta tus respuestas con las de tus compañeros y discutan sus conclusiones.

Bloque 1

Coevaluación

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Para practicar

37

�� Busquen otra posición de la regla en la que el ángulo A mida menos que el án-gulo E y tracen el segmento correspondiente con color azul.

�� ¿Hay alguna posición en la que A = E? ¿Cómo describirían esa posición? �� Midan con un transportador el ángulo A y localicen la posición de la regla

en la que esta medida es igual a la del ángulo E. Tracen con negro la recta correspondiente.

�� Busquen ahora una posición de la regla en la que los ángulos B y H midan lo mis-mo. ¿Esa posición coincide con la que encontraron al igualar los ángulos A y E?

�� Observen las medidas de los ángulos F y D en las tres rectas que han trazado: la roja, la azul y la negra. ¿En alguna de ellas ocurre que F = D?

�� ¿Son iguales los ángulos E y C en la recta azul? ¿Son iguales en la recta roja? ¿Y en la recta negra?

Contrasten sus respuestas con la siguiente información.

Si en una figura formada por dos rectas cortadas por una transversal ocurre que los ángulos correspondientes son iguales, entonces las rectas son paralelas.

Si los ángulos alternos internos son iguales o si los ángulos alternos externos miden lo mismo, entonces también ocurre que las rectas deben ser paralelas.

Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal


1. Determina la medida de los ángulos marcados con letras. Las rectas rojas son paralelas.

2. Observa los ángulos que se forman en las siguientes figuras y, sin medir otros ángulos, determina en cuál de ellas las rectas azules son paralelas.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Coevaluación

Autovaluación

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6 Al inicio de cada lección, se plantean situaciones problemáticas que resol-verás aplicando los cono-cimientos que ya tienes sobre el contenido.

7 Durante el desarrollo aprenderás matemáticas por medio de ideas cla-ras y concisas, que irás adquiriendo al resolver problemas y realizar ac-tividades. Cuando se considera pertinente, se incluyen en color azul los conceptos e ideas clave.

Actividades8 Estos elementos gráficos

te ayudarán a realizar tu trabajo matemático de mejor manera.

Para practicar 9 Esta sección contiene

ejercicios para evaluar y desarrollar tus habilida-des en la aplicación de los procedimientos estudiados. Puedes encontrar varias de estas secciones en cada lección.


9

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O

Bloque 4 Ángulos inscritos y ángulos centrales

Ángulos y polígonos

Los polígonos de colores rojo y azul de la siguiente ilustración se conocen como polígonos es-trellados. En este caso se trata de heptágonos regulares estrellados.

Para construir un polígono regular estrellado puedes partir de un polígono regular convexo e ir uniendo vértices no consecutivos hasta regresar al vértice de inicio habiendo pasado por todos los vértices.

En el ejemplo del polígono rojo de la ilustración, partimos del vértice A y fuimos saltando un vértice en cada paso. En el caso del polígono azul, partimos del vértice A y se va saltando dos vértices en cada paso.

�� ¿Se podrá construir un polígono regular estrellado a partir de un cuadrado? ¿Y de un hexá-gono? ¿Por qué?

�Escribe en tu cuaderno tus respuestas y compáralas con las de tus demás compañeros.

El nombre que se les asigna a estos polígonos regulares estrellados depende tanto del número total de vértices como del paso (número de vértices que vamos avanzando en la construcción).

Por ejemplo, el heptágono rojo de la ilustración se llama 7/2 porque partimos con un total de 7 vértices y el paso es de tamaño 2. El heptágono estrellado azul se llama 7/3.

Si el paso es divisor del número de vértices, no es posible construir un polígono estrellado, por-que regresaremos al vértice de inicio sin haber pasado por todos los vértices. Por ejemplo, no es posible construir un polígono estrellado 8/2, como se muestra en la siguiente ilustración:

Pero sí es posible construir un octágono regular estrellado de paso 3, el polígono 8/3:

�� ¿Cuál es el nombre del siguiente polígono regular estrellado?�� ¿Cuánto mide el ángulo α?

�� ¿Cuánto mide la suma de los ángulos interiores del pentágono regular estrellado? �� ¿Qué relación hay entre esta medida y la de la suma de los ángulos interiores del pentágono

regular convexo?�Discute tus respuestas con tus compañeros y lleguen a un acuerdo sobre esta relación.

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Torito

Encuentra dos expresiones algebraicas que representen el volumen del siguien-te cubo.

Entra al siguiente sitio y da clic en el interactivo “Baldosas Algebraicas”,nlvm.usu.edu/es/nav/category_g_4_t_2.htmlAhí encontrarás un inte-ractivo en el que podrás representar con modelos geométricoas expresiones algebraicas. (consulta: 12 de noviem-bre de 2014)

En la red

Autoevaluación y Coevaluación

Marca con una la casilla que describe mejor tu desempeño. Intercambia tu libro con un com-pañero para que te evalúe mar-cando una .

Contenido

Identifico expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

Niv

el d

e lo

gro

A Aún no lo hago; necesito ayuda.

B Lo hago con dificultad.

CLo hago bien.

90 91Bloque 2 Expresiones algebraicas equivalentes

�� ¿Cuántas expresiones diferentes encontraron en el grupo? ¿Son equivalentes todas? Expliquen su respuesta.

Expliquen qué relación tiene la siguiente afirmación con la actividad que acaban de realizar.Si a, b, c y d son cantidades cualesquiera, entonces:(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = (a + b)c + (a + b)d = ac + ad + bc + bd

�Discutan su respuesta con el resto del grupo.

Para terminar...

Trabaja en casa las actividades de este apartado. En la siguiente clase, discute con tu profesor los procedimientos que usaste y los resultados que obtuviste.

1. Analiza la figura y resuelve lo que se pide.

a) ¿Cuánto mide la altura de los rectángulos azules?b) ¿Cuál es el área del rectángulo formado por los dos rectángulos azules? Escribe

en tu cuaderno dos expresiones algebraicas que representen esta área.c) Con base en la figura, comprueba que (a + b)(c 2 d) = ac 2 ad + bc 2 bd.

2. Analiza las siguientes figuras y realiza lo que se pide.

a) ¿Cuánto mide la base del rectángulo ABCD? ¿Cuánto mide su altura? b) Escribe en tu cuaderno una expresión algebraica que represente su área.

c) Escribe en tu cuaderno una expresión algebraica que represente el área de

la figura formada por los rectángulos amarillo y anaranjado de la siguiente ilustración.

d) ¿Qué relación hay entre el área de esta figura y la del rectángulo ABCD?

Explica tu respuesta.e) Expresa el área de la figura formada por los rectángulos amarillo y anaran-

jado como la resta de las áreas de dos cuadrados.

Para practicar


1. ¿Cuáles deben ser los valores de a y b para que la expresión algebraica x2 + 7x + 12, represente el área del siguiente rectángulo?

2. Escribe dos expresiones equivalentes a x2 + 7x + 12.

Autovaluación

Heteroevaluación

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213212MatemáTICasBloque 4

MatemáTICas

En la lección 27 de este bloque vimos cuál es la relación entre los ángulos inscritos y los ángulos centrales que subtienden el mismo arco. Aquí verás algunas actividades relacionadas con este tema.

Abre una hoja de GeoGebra y con la función “Vista gráfica” elimina los ejes y cierra el recuadro de la izquierda. �� Con la función “Circunferencia dados su centro y su radio” (sexto icono de izquierda a dere-

cha), traza una circunferencia del radio que quieras, primero deberás presionar el botón prin-cipal del ratón para marcar la ubicación del centro. Aparecerá una ventana como la siguiente para que elijas la longitud del radio:

�� Con la herramienta “Nuevo punto” (segundo icono) señala cuatro puntos sobre la circunferencia. Llama O al centro de la circunferencia, renómbralo presionando el botón secundario del ratón o bien tecleando la letra que elegiste. Aparecerá una pantalla como la siguiente. Después renombra los puntos sobre la circunferencia como A, B, C y D.

�� Con la herramienta “Segmento entre dos puntos” (tercer icono) traza los segmentos AB, AC, CD y DB.

�� Con la herramienta “Intersección de dos objetos” (segundo icono) señala el punto de inter-sección de los segmentos AC y BD, llámalo P.

Presiona el puntero (primer icono) y mueve los puntos sobre la circunferencia.

�� ¿Qué puedes decir de los triángulos nAPB y nCPD? ¿Cómo son los ángulos /PBA y /DCP? ¿Por qué? ¿Cómo son los ángulos /BAP y /PDC? ¿Por qué? ¿Cómo son los ángulos /APB y /CPD? ¿Por qué? Escribe tus respuestas en tu cuaderno.

Abre una nueva hoja de GeoGebra. Elige la herramienta “Polígono regular” (quinto icono), señala dos puntos para definir el lado del polígono. En seguida aparecerá una ventana como la siguien-te. Teclea el número 7 y da clic en “OK”.

Ángulos inscritos y ángulos centrales

Polígonos estrellados

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Punto de encuentro 10 En algunas lecciones se

encuentra este apartado con problemas o activida-des cuya solución requiere dos o más contenidos del bloque.

Como cierre de las lecciones encontrarás tres apartados:

Para terminar11 Aquí encontrarás activi-

dades, con las que puedes poner a prueba tus cono-cimientos, habilidades y competencias matemáticas.

Torito12 El apartado “Torito” repre-

senta un reto y requiere ingenio para resolverlo.

Rúbrica13 La rúbrica te ayudará a

evaluar, junto con un com-pañero, tu desempeño. La información que obtengas de este ejercicio es impor-tante para que reconozcas los aspectos en que nece-sitas trabajar.

Para terminar el bloque encon-trarás dos secciones:

MatemáTICas14 En esta sección pretende-

mos mostrar cómo la tec-nología puede facilitar, de manera notable, algunas tareas matemáticas, que las computadoras no piensan por nosotros, y que para aprovechar al máximo esa herramienta, debemos te-ner los conceptos claros.


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Tapanco

Evaluación tipo PISABloque 2

Evaluación tipo PISA

Pilares

Los pilares son soportes esbeltos y altos. Pueden tener forma de cilindro, o de prisma cuadrangular, pentagonal o hexagonal. En todos los casos, la altura es mucho mayor que las dimensiones de la base.

1. En una construcción se usarán dos pilares de concreto de base hexagonal de 5 metros de altura y dos de 4 metros de altura. Si cada pilar se coloca sobre una base cúbica de concreto cuyas aristas miden x metros, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la altura total de los cuatro pilares con base cúbica?

A) 18 + 4x B) 18 + 2x C) 4 + 18x D) 9 + 2x

2. ¿Cuál es el volumen de los dos pilares de 5 metros de altura si su base es un hexágono regular de 40 cm de lado y 29.73 cm de apotema? Escribe tus operaciones.

3. ¿Cuál es el volumen de los dos pilares de 4 metros si su base es igual a la de las columnas de 5 metros? Escribe tus operaciones.

4. Si las aristas de las bases cúbicas miden 65 cm, ¿cuál es el volumen total de concreto que se necesita para la construcción de los cuatro pilares con sus bases? Escribe tus operaciones.

5. Si un metro cúbico de concreto pesa 2 400 kg, ¿cuánto pesan los cuatro pilares con sus bases? Escribe tus operaciones.

Tapancos

Un tapanco es un piso que se construye debajo del tejado y encima del techo de los cuartos de una casa. A veces se utilizan para almacenar artículos que ya no se usan. También es usual que se incorporen como recámaras o estudios en algunos diseños arquitectónicos de viviendas.

1. El tapanco que se muestra en la figura tiene un volumen de 38.4 metros cúbicos. Si su altura es 3.2 metros y su piso es un rectángulo en el que el largo mide 2 metros más que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones del piso?

2. Si el piso del tapanco anterior se construye con tiras de madera de 2 metros de largo y x metros de ancho, y se usan z de esas tiras, ¿cuál de las siguientes expresiones representa el área del piso?

A) 2x + z B) 2z + x C) 2xz D) xz

3. Marca la casilla correspondiente en cada caso.

Lee las situaciones y contesta lo que se pide.

Verdadero Falso

Si la altura del tapanco se duplica, también se duplica su volumen.

Si se duplican ambos lados del piso rectangular, también se duplica el área de ese piso.Si se aumenta un metro a la altura del tapanco, el volumen aumenta en un metro cúbico.Si a cada lado del piso se le aumenta un metro, el volumen aumenta en un metro cúbico.

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92Bloque 2

Lección 13

Individual

Individual


�� Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos

Volumen de cubos, prismas y pirámides

De acuerdo con las investigaciones del egiptólogo británico sir William Matthew Flinders Petrie, la pirámide de Keops, con base cuadrada, está construida con 2 300 000 piedras con forma de prisma rectangular que, en promedio, pesan 2.5 toneladas cada una y miden 127 cm por 127 cm por 71 cm.

a) Escribe en tu cuaderno el procedimiento que seguirías para calcular el volu-men aproximado de la pirámide de Keops.

Discute tu procedimiento con tus compañeros.

El cubo rojo de la ilustración representa una unidad de volumen.

�� ¿Cuántos de estos cubos caben en el cubo azul?, ¿cuál es el volumen del cubo azul?, ¿cuántas unidades lineales mide cada lado del cubo azul?

�� ¿Observas alguna relación entre la longitud del lado del cubo azul y su volu-men? Si es así, escribe esta relación en tu cuaderno.

Glosario

pirámide. Cuerpo geométrico que tiene por base un polígono y cuyas caras laterales son triángulos.prisma. Cuerpo geométrico limitado por dos polígonos, paralelos e iguales que se llaman bases, y por tantos para-lelogramos como lados tiene la base.cubo. Cuerpo geomé-trico limitado por seis caras cuadradas iguales.

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Medida

Pirámide de Keops, es la más grande de las tres

pirámides de Giza, en Egipto, fue construida entre los años 3000 y

2500 antes de nuestra era.

Coevaluación

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268Glosario

Glosario

abscisa de un punto. Es la primera coordenada de un punto en el plano cartesiano y su valor es la distancia ho-rizontal desde el eje vertical hasta el punto.

ángulo. Abertura o giro indicado por dos segmentos de recta que tienen un punto común, llamado vértice.

ángulos adyacentes a un lado de un polígono. Ángulos que forma un lado del polígono con los dos lados adyacentes a él.

ángulo central de una circunferencia. Tiene su vérti-ce en el centro de la circunferencia.

ángulos consecutivos. Dos ángulos que tienen el mis-mo vértice y un lado común.

ángulo inscrito en una circunferencia. Tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas de esta.

ángulos opuestos por el vértice. Ángulos que tienen el mismo vértice y los lados de uno son la prolongación de los lados del otro.

apotema. Es la menor distancia del centro del polígono a cualquiera de sus lados.

arco de circunferencia. Porción de una circunferencia definida por un ángulo central.

área lateral. En un prisma, es la suma de las áreas de las caras rectangulares y, en una pirámide, es la suma de las áreas de las caras triangulares.

área total. El área total de un prisma o una pirámide se ob-tiene sumando sus áreas laterales con el área de las bases.

cantidades proporcionales o directamente pro-porcionales. Se trata de dos cantidades que varían de la misma forma, es decir, cuando una se duplica, la otra también, cuando una se divide entre 3, sucede lo mismo con la otra, etcétera.

capacidad. Volumen máximo que cabe dentro de un reci-piente o contenedor.

circunferencia circunscrita. Circunferencia que con-tiene todos los vértices de un polígono.

coordenadas de un punto. Desde cada punto del plano cartesiano se puede trazar una recta vertical y otra horizontal que intersecan a los ejes coordenados en dos números. Esos números son las coordenadas del punto y se escriben en parejas ordenadas (x, y), donde x es la coordenada del eje horizontal, llamada abscisa, y y es la coordenada del eje vertical, llamada ordenada.

corona circular. Una región comprendida entre dos cír-culos con el mismo centro se conoce como corona.

cuadrilátero. Polígono de cuatro lados.

cubo. Cuerpo geométrico limitado por seis caras cuadra-das iguales.

cuerda. Segmento de recta cuyos extremos son dos pun-tos de la circunferencia.

desigualdad del triángulo. Si las longitudes de los lados de un triángulo son a, b y c, entonces: a + b > c, a + c > b y b + c > a.

diagonal. Segmento de recta entre un par de vértices no adyacentes de un polígono.

eje de simetría. Decimos que la recta L es eje de sime-tría de una figura si al reflejarla respecto a L, la figura queda igual.

espacio muestral. Colección de los resultados que se pueden obtener al realizar un experimento aleatorio.

evento o suceso. Subconjunto del espacio muestral formado por los resultados que tienen una característica común.

experimento aleatorio. Experimento en el que no es posible determinar qué resultado se obtendrá antes de realizarlo, y esto ocurre cada vez que se va realizar en las mismas condiciones.

experimento determinista. Experimento que cada vez que se repite en las mismas condiciones produce los mis-mos resultados.

expresiones algebraicas equivalentes. Dos o más expresiones algebraicas son equivalentes si represen-tan la misma cantidad, es decir, si tienen el mismo valor numérico.

figuras simétricas respecto a una recta. Dos figuras son simétricas respecto de una recta L si cada par de pun-tos correspondientes de las figuras es simétrico respecto a L.A la acción de construir los simétricos de un punto o una figura dados, respecto a una recta L, se le llama reflejar el punto o la figura respecto a L.

frecuencia absoluta. Número de veces que aparece un valor en una colección de datos.

frecuencia relativa. En una colección de datos, es el cociente de la frecuencia absoluta de un valor entre el número de datos.

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271

Fuentes de información

Fuentes de información

Para el maestro

• Alarcón,J.yotros(1994). Libro para el maestro. Matemáticas Educación Secundaria,México:SEP.

• BalbuenaCorro,Hugo(coordinador)(1999).Fichero de actividades didácticas,México:DirecciónGeneraldeMaterialesyMétodosEducativos.SubsecretaríadeEducaciónBásicayNormal,SEP.

• Batanero,C.yotros(2011).Aprendizaje y enseñanza de las Matemáticas escolares. Casos y perspectivas.México:SecretaríadeEducaciónPública.

• Marván,L.M.(2001). Hacer Matemáticas,México:Santillana.

• Perelman,Y.(2008). Matemáticas recreativas,BuenosAires:Aguilar,Altea,Taurus,Alfaguara.

• Perelman,Y.(2007).Álgebra recreativa,BuenosAires:RBAColeccionables.

• Polya,G.(1989). Cómo plantear y resolver problemas,México:Trillas.

• Sadovsky,Patricia(2008).Enseñar matemática hoy. Miradas, sentidos y desafíos.México:SEP/LibrosdelZorzal.

• Sessa,Carmen(2008).Iniciación al estudio didáctico del álgebra. Orígenes y perspectivas.México:SEP/LibrosdelZorzal.

• Ursini,S.yotros.(2005). Enseñanza del álgebra ele-mental. Una propuesta alternativa, México:Trillas.

Páginas electrónicasSecretaríadeEducaciónPública.Enseñanza de la Ciencia con Tecnologíawww.efit-emat.dgme.sep.gob.mxLapáginacontienelibrosyrecursosqueexplicancómousartecnologíasdelainformaciónylacomunicaciónenlaenseñanzadelasmatemáticas.(consulta:10deoctubrede2014).

GobiernodeEspaña.MinisteriodeEducaciónrecursostic.educacion.es/descartes/web/indice_ud.phpLapáginaofrecematerialesdidácticosyrecursosinterac-tivosparaelaprendizajedelasmatemáticasendiversasáreasyporniveleducativo.(consulta:10deoctubrede2014).

SecretaríadeEducaciónPública.Guía Interactiva para Secundariabasica.sep.gob.mx/dgdgie/cva/gis/Elsitiocontieneunaseriedereactivos,porgrado,materia,bloqueyejetemático,conpreguntasyproblemasinte-ractivos,yendocumentosdescargables.(consulta:10deoctubrede2014).

JuntadeAndalucía.DepartamentodeMatemáticaswww.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/matematicas.htmEnlapáginaseofreceunaseriedejuegosmatemáticosparasecundariaylasrespuestasatodoslosejerciciosdeloslibrosqueusanenesaregióndeEspaña.(consulta:10deoctubrede2014).

InstitutoLatinoamericanodelaComunicaciónEducativaredescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/imagina.htmContieneproblemasmatemáticosplanteadosenformadejuegosyretosquepuedenserusadosenelsalóndeclaseparaquelosalumnoslosdesarrollenenequiposodemaneraindividual.(consulta:10deoctubrede2014).

PáginadelaSEP,Méxicoenlaquepodráconsultardistin-tosmaterialeseducativos:basica.sep.gob.mx/herra_earte.html(consulta:10deoctu-brede2014).

PáginadelaSEP,Méxicoenlaquepodráconsultardis-tintosrecursosyorientacionesparaabordarlosdistintoscontenidos:www.curriculobasica.sep.gob.mx/index.php/prog-secunda-ria(consulta:10deoctubrede2014).

geogebra.es/cvg/index.htmlContieneunaguíaclaradeGeogebra,explicacómounprofesorpuedecrearmaterialeseducativos,estáticosoanimados,quecontribuyanareforzarsulabordocente.(con-sulta:10deoctubrede2014).

Para el alumno

• Capó,Miquel(2006).El país de las mates. 100 proble-mas de ingenio 4.Madrid:Rompecabezas.

• Cerasoli,Anna(2006).La sorpresa de los números.Madrid:EdicionesMaeva(colecciónBibliotecadeaula,serieAstrolabio).

• Elwes,Richard(2011).Cómo contar hasta el infinito y otros 34 usos prácticos de las matemáticas.Barcelona:Ariel(colecciónBibliotecadeAula,serieEspejodeUrania).

• Enzensberger,H.M.(1998). El diablo de los números,México:Siruela.

• González,Pedro(2009).Pitágoras. El filósofo del nú-mero.México:AGTEditor(colecciónBibliotecadeAula,serieAstrolabio).

• Manfrino,R.yJ.Gómez(2007).Geometría.México:UNAM.(colecciónBibliotecadeAula,serieEspejodeUrania).

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Entra al sitio www.disfrutalasmate maticas.com/geome tria/lineas-paralelas.htmlencontrarás información relacionada con rectas paralelas y las rectas pa-ralelas cortadas por una transversal.(consulta: 4 de noviembre de 2014)

En la red

40Bloque 1

Para terminar...


1. Analiza nuevamente la información y la figura de la actividad inicial de esta lección y resuelve lo siguiente.

a) Argumenta por qué son iguales los ángulos con vértices en R y en C.b) Considera que PQR = 82.8°. Sabiendo que el ángulo con vértice en P mide

90°, ¿cuánto mide el ángulo con vértice en R? ¿Y el ángulo con vértice en C?c) Si al ángulo con vértice en C le corresponde una distancia de 800 km, ¿qué

distancia corresponde a una vuelta completa?d) En la expresión algebraica, sustituye x por la medida del ángulo con vértice

en C. ¿Obtienes el mismo resultado que en el inciso anterior?

2. Marco va a construir un estante triangular de tres repisas, de acuerdo con el siguiente esquema. Marco quiere que las tres repisas sean paralelas. Argumenta tus respuestas.

a) ¿Cuánto deben medir los ángulos c y e? b) ¿Cuál debe ser la medida de los ángulos g y d?

3. En la siguiente figura, las parejas de rectas L1 y L2, L3 y L4 y L5 y L6 son paralelas.

a) Argumenta por qué son iguales los ángulos marcados con el mismo color.b) Si a = 55° y b = 62°, ¿cuánto miden los ángulos anaranjados?

Heteroevaluación

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16

16

Evaluación tipo PISA15 En esta sección encontra-

rás ejercicios que te per-mitirán evaluar los conoci-mientos adquiridos. Estas evaluaciones están ela-boradas con el modelo del Programa Internacio- nal de Evaluación de Estu- diantes (en inglés se abre-via PISA). En ellas pondrás en práctica los conocimien-tos y habilidades que has adquirido.

Glosario

16 Cuando un término del contenido aparece en color anaranjado, su significado se incluye en una cápsula al margen de la página y, adicionalmente, al final del libro, se presentan defini-ciones de conceptos ma-temáticos que verás a lo largo de las lecciones, para facilitar su consulta.

En la red

17 En cada lección encontra-rás la sección “En la red”, con recomendaciones electrónicas para que, me-diante actividades interac-tivas, practiques y profun-dices en el conocimiento del contenido trabajado.

Fuentes de información18 En este apartado encon-

trarás recomendaciones de libros y de páginas elec-trónicas en las que puedes consultar los temas del curso que más te hayan interesado, o bien, que re-presenten alguna dificultad que desees resolver.


15

18

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12

Dosificación

Dosificación


Bloque 1

�� Resuelve problemas que implican el uso de las leyes de los expo-nentes y de la notación científica.

�� Resuelve problemas que impli-quen calcular el área y el períme-tro del círculo.

�� Resuelve problemas que implican el cálculo de porcentajes o de cualquier término de la relación: Porcentaje = cantidad base × tasa. Inclusive problemas que requieren de procedimientos recursivos.

�� Compara cualitativamente la pro-babilidad de eventos simples.



1. Multiplicación y división con números enteros

2. Productos, cocientes y potencias de potencias


Figuras y cuerpos

3. Ángulos entre paralelas corta-das por una transversal

4. Construcción de triángulos

Medida 5. Áreas



6. Porcentajes

7. El interés compuesto y otros procedimientos recursivos

Nociones de probabilidad 8. Más probable, menos probable


9. Comparación de datos usando medias y medianas

Bloque 2

�� Resuelve problemas aditivos con monomios y polinomios.

�� Resuelve problemas en los que sea necesario calcular cualquiera de las variables de las fórmu-las para obtener el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Establece relaciones de variación entre dichos términos.


Problemas aditivos

10. Adición y sustracción de monomios

11. Adición y sustracción de polinomios

Problemas multiplicativos12. Expresiones algebraicas

equivalentes

Forma, espacio y medida Medida

13. Volumen de cubos, prismas y pirámides

14. Cálculo de volúmenes


Proporcionalidad y funciones 15. Proporcionalidad inversa

Nociones de probabilidad16. Probabilidad frecuencial

y probabilidad teórica

Bloque 3

�� Resuelve problemas que impli-can efectuar multiplicaciones o divisiones con expresiones algebraicas.

�� Justifica la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o polígono y utiliza esta propiedad en la resolución de problemas.



17. Jerarquía de las operaciones y uso de paréntesis

18. Multiplicación de polinomios

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13Dosificación


�� Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros. 18–24 1

�� Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

25–31 2

�� Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

32–41 3 y 4

�� Construcción de triángulos con base en ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.

42–47 5

�� Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides.

48–51 6

�� Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a una cantidad; determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa.

52–55 7

�� Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto, crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos.

56–61 8

�� Comparación de dos o más eventos a partir de sus resultados posibles, usando relaciones como: “es más probable que…”, “es menos probable que…”.

62–65 9

�� Análisis de casos en los que la media aritmética o mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos.

66–69 10

�� Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de monomios. 78–81 11

�� Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de polinomios. 82–86 12

�� Identificación y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

87–91 13

�� Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. 92–97 14

�� Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides.

98–103 15

�� Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos. 104–107 16

�� Realización de experimentos aleatorios y registro de resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial. Relación de esta con la probabilidad teórica.

108-115 17

�� Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis, si fuera necesario, en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios.

124-127 18

�� Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.

128–135 19 y 20

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14Dosificación


�� Resuelve problemas que implican usar la relación entre unidades cúbicas y unidades de capacidad.

�� Lee y comunica información mediante histogramas y gráficas poligonales.


Figuras y cuerpos

19. Suma de los ángulos interiores de un polígono

20. Polígonos que cubren el plano

Medida 21. Volumen y capacidad


Proporcionalidad y funciones 22. La ecuación y = kx


23. Histogramas y gráficas poligonales

24. Propiedades de la media y la mediana

Bloque 4�� Representa sucesiones de números

enteros a partir de una regla dada y viceversa.

�� Resuelve problemas que impli-quen el uso de ecuaciones de la forma: ax + b = cx + d, donde los coeficientes son números enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos.

�� Identifica, interpreta y expresa relaciones de proporcionalidad directa o inversa, algebraicamente o mediante tablas y gráficas.

�� Resuelve problemas que implican calcular, interpretar y explicitar las propiedades de la media y la mediana.

Sentido numérico y pensa-miento algebraico

Patrones y ecuaciones

25. Sucesiones

26. Ecuaciones de la forma ax + b = cx + d

Forma, espacio y medida Medida27. Ángulos inscritos y ángulos

centrales



28. Gráfica de la función de proporcionalidad directa

29. Funciones lineales


30. Medias ponderadas

Bloque 5

�� Resuelve problemas que impli-can el uso de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

�� Construye figuras simétricas respecto de un eje e identifica las propiedades de la figura original que se conservan.

�� Resuelve problemas que implican determinar la medida de diversos elementos del círculo, como: án-gulos inscritos y centrales, arcos de una circunferencia, sectores y coronas circulares.

�� Explica la relación que existe en-tre la probabilidad frecuencial y la probabilidad teórica.

Manejo de la información Proporcionalidad y funciones

31. Gráficas de funciones lineales

32. Pendiente y ordenada al origen de una recta

Sentido numérico y pensa-miento algebraico

Patrones y ecuaciones

33. Sistemas de ecuaciones

34. Solución gráfica de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas


Figuras y cuerpos 35. Figuras simétricas

Medida36. Arcos, sectores circulares

y coronas

Manejo de la información Nociones de probabilidad37. Gráficas de distribuciones

de probabilidad

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15Dosificación


�� Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. 136–139 21

�� Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano. 140–145 22

�� Relación entre el decímetro cúbico y el litro. Deducción de otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos y otros materiales. Equivalencia entre unidades del Sistema Internacional de Medidas y algunas unidades socialmente conocidas, como barril, quilates, quintales, etcétera.

146–151 23

�� Representación algebraica y análisis de una relación de proporcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.

152–155 24

�� Búsqueda, organización y presentación de información en histogramas o en gráficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia), según el caso y análisis de la información que proporcionan.

156–163 25

�� Análisis de propiedades de la media y mediana. 164–169 26

�� Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros.

176–181 27 y 28

�� Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d, y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos.

182–187 29

�� Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo, y análisis de sus relaciones. 188–195 30

�� Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.

196–201 31

�� Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b.

202–207 32

�� Resolución de situaciones de medias ponderadas. 208–211 33

�� * Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos. 220–223 34

�� * Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y = mx + b, en la gráfica correspondiente. 224–229 35

�� Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución).

230–237 36

�� Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros. Reconocimiento del punto de intersección de sus gráficas como la solución del sistema.

238–243 37

�� Construcción de figuras simétricas respecto de un eje, análisis y explicitación de las propiedades que se conservan en figuras como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.

244–251 38

�� Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.

252–257 39

�� Comparación de las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y teórica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio.

258–261 40

* Estos contenidos se cambiaron de orden para que los estudiantes estén familiarizados con las gráficas de las funciones lineales y puedan enfocar su atención en la representación gráfica de los sistemas de ecuaciones de 2 3 2 y su solución.

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16

Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que:

�� Resuelvas problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notación científica.

�� Resuelvas problemas que implican calcular el área y el perímetro del círculo.

�� Resuelvas problemas que implican el cálculo de porcentajes o de cualquier término de la relación: Porcentaje = cantidad base × tasa. Inclusive proble-mas que requieren de procedimientos recursivos.

�� Compares cualitativamente la probabilidad de eventos simples.

Museo del Louvre. París, Francia.

Blo

que

1

Aprendizajes esperados

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17

Introducción

El Museo del Louvre es uno de los centros de arte más visitados del mundo.

Después de la Revolución francesa, se concen-traron en este lugar las colecciones privadas que la monarquía había acumulado. En 1793 el museo abrió sus puertas para que el pueblo francés pudiera dis-frutar de estas obras.

En 1989 las instalaciones del museo fueron moder-nizadas. El elemento más notable fue la construcción de

una pirámide de cristal que da acceso al museo.La pirámide, ubicada en el patio principal del museo,

tiene una altura de 20.6 m y cada uno de sus lados mide 35 m; está construida con paneles de vidrio laminado transparente divididos en 603 rombos y 70 triángulos.¿Podrías saber la cantidad de vidrio que se necesitó para construirla? En este bloque aprenderás, entre otras co-sas, a calcular la superficie de diversos cuerpos geomé-tricos, en particular de pirámides como esta.

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Individual

Parejas

18Bloque 1

Lección 1

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraicoTema: Problemas multiplicativos

Multiplicación y división con números enteros


�� Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros

Ana lleva un registro de sus ingresos y sus gastos semanales. Ella gasta 5 pesos diarios en transporte de lunes a viernes y escribió lo siguiente:

Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Total

Cantidad –5 –5 –5 –5 –5

a) Escribe el número que Ana debe anotar en la casilla Total. Representa esta cantidad como una multiplicación.

b) Ana registró las mismas cantidades en las siguientes cuatro semanas. ¿Qué producto corresponde a la cantidad total de las cuatro semanas? ¿Cuál es esa cantidad?

Compara y comenta tus respuestas y procedimientos con un compañero.

Para extender la multiplicación a números negativos, usaremos un método gráfico.

�� Localicen en el plano cartesiano, sobre la recta roja, los puntos que correspon-den a las abscisas 2, 3, 21, 22 y 23.Glosario

plano cartesiano. Es un sistema de referen-cia conformado por dos rectas perpendiculares, una horizontal y la otra vertical. Cada punto del plano se identifica por una pareja de números llamados coordenadas.

abscisa de un punto. Es la primera coordenada de un punto en el plano cartesiano y su valor es la distancia horizontal desde el eje vertical hasta el punto.

Coevaluación

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Parejas

19

Coevaluación

Multiplicación y división con números enteros

�� ¿Cuál dirían que es el producto de 5 por −1? ¿Y el producto de 5 por −2? �� ¿Cuál será el producto de 5 por −8?

Discutan sus respuestas con el resto del grupo. Lleguen a un acuerdo al respecto.

Analicen la recta y hagan lo que se pide en la siguiente página.

Punto Abscisa Ordenada Producto de la abscisa por 5

(1, 5) 1 5 1 × 5 = 5

(2, 10) 2

(3, 15) 3

4

5

–1

–2

–3

–4

–5

�� En la gráfica anterior, ¿qué relación observan entre las abscisas y las ordenadas de los puntos sobre la recta?

�� ¿Qué signo tienen las ordenadas correspondientes a puntos con abscisas positivas?�� ¿Qué signo tienen las ordenadas correspondientes a puntos con abscisas negativas?

Completen la tabla con la información de los puntos que se localizan en la recta de la gráfica anterior.

Glosario

ordenada de un punto. Es la segunda coordenada de un punto en el plano cartesiano y su valor es la distancia vertical desde el eje ho-rizontal hasta el punto.

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Individual

20Bloque 1

�� Completen la tabla con la información de la gráfica anterior.

Abscisa Ordenada Producto de la abscisa por 22

1 22 1 × (22) = 222

3

4

21

22

23

24

�� ¿Qué signo tienen las ordenadas de los puntos en la recta que tiene abscisas positivas?�� ¿Qué signo tienen las ordenadas de los puntos con abscisas negativas?�� ¿Cuál dirían que es el producto de 22 por −1? ¿Y el de 22 por 23? �� ¿Cuál será el producto de 22 por 26?

Discutan sus respuestas con el resto del grupo.

En una hoja cuadriculada construye los cuatro cuadrantes de un plano cartesiano y traza con rojo la recta que represente la tabla de multiplicar por 3.

�� Escribe en tu cuaderno dos puntos que estén sobre la recta que trazaste, uno de abscisa positiva y otro de abscisa negativa.

�� En el mismo plano cartesiano, traza con azul la recta que corresponda a la tabla de multiplicar por 22.

�� Escribe en tu cuaderno dos puntos que estén sobre la recta azul, uno de abscisa positiva y otro de abscisa negativa.

Escribe en tu cuaderno el resultado de las siguientes multiplicaciones. Observa los puntos correspondientes en las rectas que trazaste.

a) 2 × (24) c) (22) × 4 e) (22) × (24) g) 2 × 4b) 3 × (25) d) (23) × 5 f) (23) × (23) h) 3 × 3

Compara y comenta tus resultados con un compañero.

Analicen los resultados de las multiplicaciones de esta lección y luego contesten:

�� ¿Cuál es el signo del producto de dos números enteros cuando ambos tienen el mismo signo?

�� ¿Cuál es el signo del producto cuando los dos factores tienen signo distinto?

Describan una regla general para multiplicar dos números enteros con el mismo sig-no y una para dos números con signo diferente. Lleguen a un acuerdo en grupo.

Comparen la siguiente información con el acuerdo obtenido en grupo.

Glosario

números enteros. Es el conjunto formado por el cero, los números naturales y los números naturales precedidos del signo 2. Un número en-tero puede ser positivo, negativo o cero.

Equipo

Coevaluación

Coevaluación

Coevaluación

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Parejas

Para practicar

A B

21Multiplicación y división con números enteros

El producto de dos números enteros con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos) es un entero positivo. El producto de dos números enteros con signos diferentes (uno positivo y otro negativo) es un entero negativo.A estos resultados se les conoce como leyes de los signos y se pueden resumir así:

Positivo por positivo: (+)(+) = + Positivo por negativo: (+)(2) = 2Negativo por negativo: (2)(2) = + Negativo por positivo: (2)(+) = 2

Para multiplicar dos números con signo, se multiplican los números sin considerar el signo y al producto se le coloca el signo que corresponda, de acuerdo con la regla anterior. Por ejemplo:

12(215) = 2180 (212)15 = 2180(212)(215) = 180 12 × 15 = 180

Respondan en su cuaderno.

�� Si a = 12, ¿cuál es el resultado de (21)a? ¿Y el resultado de (21)(2a)?

�� Si b = 27, ¿cuál es el resultado de (21)b? ¿Y el resultado de (21)(2b)?

Comparen y validen sus resultados con la siguiente información:

Para todo número entero a, se tiene que: 21(a) = 2a y (21)(2a) = 2(2a) = a.


1. Multiplica los números de la primera columna por los de la primera fila y completa la tabla.

× 216 28 24 0 4 8 16

212 192

26 0 248

220 0 0 0 02 0 32612 296 0

2. Completa el cuadro A, escribe los números 22, 2, 3, 4 y 5 de manera que al sumar los números de cada columna, cada fila o cada diagonal, el resultado sea siempre 3.a) En el cuadro B, escribe el resultado de multiplicar los números del cua-

dro A por 26.

–3

1 –1

0

b) ¿Cuánto suman los números de cada fila, columna y diagonal del cuadro B?c) ¿Qué relación hay entre este resultado y las sumas del cuadro A?

Coevaluación

Autovaluación

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Para practicarAutovaluación

22Bloque 1

Resuelvan las multiplicaciones en su cuaderno.

a) 3(–8) b) (–5)7 c) (–2)( –8) d) (–6)( –7)

�� ¿Cuál es el número x que dividido entre 3 da como cociente –8?�� ¿Cuál es el número x que dividido entre –5 da como cociente 7?�� ¿Cuál es el número x que dividido entre –8 da como cociente –2?�� ¿Cuál es el número x que dividido entre –6 da como cociente –7?�� Escriban en su cuaderno una ecuación de la forma x ÷ a = b para cada una de

las cuatro preguntas anteriores, resuélvanlas y comprueben el resultado.�� ¿Cuáles fueron los signos del dividendo y del divisor cuando el cociente fue 7?

¿Y cuando el cociente fue –2?�� ¿Cuáles son los signos del dividendo y del divisor cuando el cociente fue –8? ¿Y

cuando el cociente fue –7?

Describan una regla general para dividir dos números con el mismo signo, y dos nú-meros con signo diferente. Después compárenla con la siguiente información.

El cociente de dos enteros con el mismo signo (ambos positivos o ambos ne-gativos) es un entero positivo. El cociente de dos enteros con signos diferentes (uno positivo y otro negativo) es un entero negativo.

A esto también se le llama ley de los signos y se resume de la siguiente manera:

Positivo ÷ positivo: (+) ÷ (+) = +Positivo ÷ negativo: (+) ÷ (–) = –Negativo ÷ negativo: (–) ÷ (–) = +Negativo ÷ positivo: (–) ÷ (+) = –

Por lo anterior, para dividir dos números enteros, se realiza la división de los nú-meros sin considerar el signo, y al cociente se le coloca el signo que corresponda según esta regla. Por ejemplo:

72 ÷ (–6) = –12 (–72) ÷ (–6) = 12

Realiza el siguiente ejercicio para adquirir destreza en el manejo de los concep-tos y los procedimientos que has aprendido.

Divide los números de la primera columna entre cada uno de los números de la primera fila y completa la tabla.

÷ −5 −3 −2 −1 1 2 3

–90 –30

–60 60

–30

30 –10

60

90

Equipo

Coevaluación

SINMAT2LA_P02.indd 22 16/01/15 13:33

Individual

23Multiplicación y división con números enteros

Suma los números de cada columna, cada fila y cada diagonal del cuadro A. �� ¿Cuál es el resultado?

36 –54 72

54 18 –18

–36 90 0

A B C

�� Divide entre 3 el número de cada casilla del cuadro A y escribe el resultado en la casilla correspondiente del cuadro B. ¿Cuál es la suma de cada columna, cada renglón y cada diagonal en el cuadro B? ¿Qué relación tiene esa cantidad con la del cuadro A?

�� Divide entre –6 el número de cada casilla del cuadro B, y escribe el resultado en la casilla correspondiente del cuadro C. ¿Cuál es la suma de cada columna, cada renglón y cada diagonal en el cuadro C? ¿Qué relación tiene esa cantidad con la del cuadro A?

Inventa un cuadro donde la suma de cada columna, renglón y diagonal sea siempre 26 y escríbelo en tu cuaderno.

Verifica tus resultados comparándolos con los de un compañero.

Para terminar…


1. Alicia participa en una caja de ahorro que le otorga un crédito de hasta $3 000.

Cada mes, el administrador de la caja le hace llegar un estado de cuenta en el que suma cada ingreso o depósito de dinero y resta cada retiro o gasto. El sal-do es la cantidad de dinero que tiene disponible. Cuando el saldo es un número negativo, se dice que la cuenta está en números rojos y el administrador cobra recargos si no se paga en la fecha límite.

Alicia realiza retiros para pagar la mensualidad del deportivo al que asiste. Paga 600 pesos el día 25 de cada mes. El 20 de enero, su saldo era de 600 pesos y desde entonces no realizó ningún depósito, pero continuó retirando para el pago del deportivo.

Fecha Concepto Depósito Retiro Saldo

20 enero 600

25 enero Pago deportivo 600 0

25 febrero Pago deportivo 600 –600

… … … …

En este sitio podrás acce-der a ejercicios relativos a esta lección. arquimedes.matem.unam.mx/Vinculos/Secundaria/2_segundo/2_Matematicas/Haz clic en el título “1.2 Multiplicación y división de números con signo”, para acceder a los ejer-cicios relativos a esta lección.(consulta: 4 de noviembre de 2014)

En la red

Coevaluación

Heteroevaluación

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Torito

24

Espectro visible por el hombre (Luz)

400 × 10 -9 450 × 10 -9 700 × 10 -9 750 × 10 -9

InfrarojoUltravioleta

650 × 10 -9600 × 10 -9550 × 10 -9500 × 10 -9

x

y

(1,5)

x

y

(1,-5)

(0,0)

A

D C

B

HG

FE

Bloque 1

a) ¿Cuál era el saldo de Alicia el 25 de julio? ¿Por cuánto había rebasado su crédito disponible?

b) ¿Cuánto debe pagar si el administrador de la caja le cobra un recargo de 10% sobre el monto del saldo acumulado hasta esa fecha?

c) Si además de pagar el adeudo y el recargo, Alicia quiere depositar los retiros que hará hasta el 25 de diciembre, ¿cuánto debe depositar a la caja de ahorro?

2. En un cubo como el que se muestra, a cada vértice se le asigna un número que puede ser 1 o –1, y a cada cara se le asigna el producto de sus cuatro vértices.a) Si los vértices A, B, C y D tienen el número 1 y los vértices E, F, G y H tienen

el número –1, ¿cuánto suman los números correspondientes a las caras del cubo?

b) Si los vértices A, B, C, D, E y H tienen el número 1 y en los demás el –1, ¿cuánto suman los números de las caras?

c) Escribe en tu cuaderno tres formas distintas de asignar los números de los vértices de manera que la suma de los números de las caras sea 0.

3. En un concurso estudiantil, cada alumno puede ganar dos puntos si responde correctamente una pregunta, o perder 2 puntos si su respuesta es incorrecta.�� Hay cuatro concursantes y en cada una de las 2 etapas los estudiantes res-

ponden 10 preguntas. �� En la primera etapa, Verónica obtuvo 12 puntos, Andrés –8 puntos, Gustavo,

el doble que Andrés, y Norma, ninguno. ¿Cuántas respuestas correctas y cuántas incorrectas tuvo cada uno de ellos?

�� En la segunda etapa, Verónica obtuvo el resultado de su primera puntuación entre –3, Andrés, el resultado de su primera puntuación por –0.5, Gustavo obtuvo su primera puntuación entre –2 y Norma tuvo 6 respuestas correctas.

a) ¿Cuáles fueron las puntuaciones de cada uno en esta etapa? b) ¿Cuántas respuestas correctas y cuántas incorrectas tuvo cada uno en esta

etapa? ¿Quién ganó el concurso?

4. En el planeta Mercurio (el más cercano al Sol), la temperatura varía de –173 °C a 427 °C. Para convertir grados Celsius a grados Fahrenheit, se usa la fórmula:

°F = °C × 95

+ 32

¿Cuál es el rango de variación de la temperatura en Mercurio, en grados Fahrenheit?

Encuentra los números enteros que cumplan las condiciones indicadas en cada caso.

�� Dos números que sumen 3 y su producto sea –10.�� Dos números que sumen –5 y su producto sea –6.�� Tres números que sumen 1 y su producto sea –40.�� Tres números que sumen 8 y su producto sea –44.

Autoevaluación y Coevaluación

Marca con una la casilla que describe mejor tu desempeño. Intercambia tu libro con un com-pañero para que te evalúe mar-cando una .

Contenido

Resuelvo multiplicaciones y divi-siones con números enteros.

Niv

el d

e lo

gro

A Aún no lo hago; necesito ayuda.

B Lo hago con dificultad.

CLo hago bien.

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Lección 2

Individual

Individual

Parejas

25Productos, cocientes y potencias de potencias

Productos, cocientes y potencias de potencias


�� Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraicoTema: Problemas multiplicativos

Tal vez hayas escuchado los vocablos bytes, kilobytes y megabytes al hacer refe-rencia, por ejemplo, al tamaño de un archivo en la computadora o a la capacidad de almacenamiento de un dispositivo.

La unidad más pequeña para almacenar información en una computadora, es el bit. Un bit almacena solo dos datos representados por un 0 o por un 1 en una po-sición. Para representar más información se usan grupos de 8 bits. Cada uno de estos grupos se llama byte (que se pronuncia báit por ser una palabra en inglés). Por ejemplo, 10101111 representa un byte.

Un kilobyte está formado por 210 bytes y un megabyte está formado por 210 kilobytes.

a) ¿Cuántos bytes tienen dos kilobytes? ¿Cuántos factores iguales a 2 tiene esa cantidad? Escribe esa cantidad en tu cuaderno como una potencia de 2.

b) ¿Cuántos bytes tiene un megabyte? ¿Cuántos factores iguales a 2 tiene esa cantidad? ¿Puedes escribir esa cantidad como una potencia de 2?

Compara las potencias que escribiste con las de tus compañeros y discutan cómo llegaron a esas respuestas.

Escribe en tu cuaderno la descomposición en factores de 54 y de 55. Luego escribe todos los factores que forman el producto 54 × 55. �� ¿A qué potencia de 5 es igual este producto?�� Determina de manera análoga la potencia que resulta al realizar las multiplica-

ciones 102 × 109 y 33 × 33.�� Analiza los resultados anteriores y escribe una regla para multiplicar dos poten-

cias de la misma base.

Compara con tus compañeros la regla que escribiste y discutan en grupo las dife-rencias que se presenten, hasta llegar a un acuerdo.

Un gigabyte está formado por 210 megabytes y un terabyte equivale a 210 gigabytes.�� Discutan cómo determinar cuántos terabytes se forman con 213 gigabytes. ¿Qué

operación deben realizar? Escriban la respuesta en su cuaderno como potencia de 2.

Glosario

potencia. Es una multiplicación repetida de un mismo número. La potencia an re-presenta el producto an = a × a × … × a

n factores

.

Al número a se le llama base y al número n exponente.

Coevaluación

Coevaluación

SINMAT2LA_P02.indd 25 16/01/15 13:33

26Bloque 1

�� En su cuaderno, escriban las potencias que resultan de las divisiones 46

44 y 128

122 ,

descomponiendo en factores cada una de las potencias que aparecen en estas operaciones. ¿Cuánto vale 4 ÷ 4?

�� Formulen una regla para dividir potencias de la misma base y escríbanla en su cuaderno.

Comparen todas las reglas escritas en el grupo y discutan las diferencias que se presenten.

�� Analicen la siguiente información y compárenla con las reglas que han obteni-do en las actividades anteriores.

El producto de dos potencias de la misma base es la base elevada a la suma de los exponentes, es decir:

an × am = an + m

El cociente de dos potencias de la misma base (distinta de cero) es una potencia que tiene esa base y el exponente que se obtiene al restar el exponente del divi-dendo menos el del divisor. Es decir:

an

am = an – m

�� ¿Esta información es consistente con las reglas obtenidas en su grupo?

Antes de continuar, conviene hacer notar la diferencia entre las expresiones –22

y (–2)2. En el primer caso, primero se calcula 22 = 4 y luego se multiplica por –1 para obtener:

–22 = – 4.

En la segunda expresión, el exponente se aplica a la base –2 para obtener:

(–2)2 = (–2) × (–2) = 4

Recuerden que la potencia a1 se escribe simplemente como a, es decir, el exponente 1 puede no escribirse.

�� ¿Por qué una potencia par de un número negativo es siempre positiva?�� ¿Qué signo tiene cualquier potencia impar de un número negativo? Expliquen

por qué.�� Comparen el resultado de la potencia (–5)2 con el resultado de 52, ¿qué

observan?�� ¿Qué se puede decir sobre los resultados de las potencias (–a)2 y a2?�� Comparen el resultado de la potencia (–5)3 con el resultado de 53. ¿Qué

observan?�� ¿Qué se puede decir sobre los resultados de las potencias (–a)3 y a3?

Escriban sus argumentos en su cuaderno y luego contrástenlos con los de los otros equipos. Lleguen a un acuerdo en el grupo sobre estos argumentos.

Equipo

Coevaluación

Coevaluación

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Parejas

Parejas


Para practicar


Escribe en tu cuaderno las potencias que resultan de las siguientes operaciones:

a) 95 × 93 g) –117

115

b) (–7)5 × (–7)2 h) –157

15

c) (–3)12

(–3)5 i) n8

n3

d) 28

26 j) 1

4

2

∙ 14

7

∙ 14

e) 2 × 26 k) –102 × 1011

f) x3 ∙ x 4 l) a4

a

Discutan y respondan en su cuaderno lo siguiente.

�� ¿Cuál es el resultado de dividir un número distinto de cero entre él mismo?�� ¿El resultado anterior depende de cuál sea el número distinto de cero que se

divide?�� Apliquen la regla de la división de potencias para encontrar la potencia que re-

sulta al hacer la operación 76

76.

�� ¿Qué número se debe asignar a la potencia anterior?�� ¿Qué número se debe asignar a la potencia n0 para cualquier número n distinto

de cero?

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y discutan las diferencias que se presenten.

En sus cuadernos hagan lo que se pide a continuación:

�� Desarrollen las potencias de los dos elementos de la división 53

57 y simplifiquen

los factores obtenidos hasta que en el numerador quede un 1.

�� Completen esta fracción para que sea el resultado de la división anterior: 15

�� Determinen la potencia que se obtiene aplicando la regla de la división de po-

tencias a 53

57 =

5

�� En las actividades anteriores han encontrado dos formas de escribir el resulta-

do de la división de potencias 53

57. Igualando estas dos expresiones, escriban los

exponentes que faltan en la siguiente expresión:

53

57 =

15

= 5

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Autovaluación

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Para practicar

Individual

Realiza el siguiente ejercicio para adquirir destreza en el manejo de los concep-tos y los procedimientos que has aprendido.

Ordena en tu cuaderno las siguientes cantidades de menor a mayor y escríbe-las usando el símbolo <:

–30, (–3)–2, –32, (–3)0, (–3)2, 3–2, 3–3, (–3)3 y 33.

28Bloque 1

En tu cuaderno, realiza lo que se pide a continuación.

�� Escribe el desarrollo en factores de (9 × 4)3 sin realizar las multiplicaciones. Representa el resultado mediante una potencia de 9 multiplicada por una po-tencia de 4.

�� Escribe el desarrollo en factores de 87

4

y presenta el resultado como la división

de una potencia de 8 entre una potencia de 7.�� Ahora escribe el desarrollo de (ab)5 y presenta el resultado como un producto

de potencias.

�� Escribe el desarrollo de ab

6

y presenta el resultado como un cociente de potencias.

Formula una regla para determinar el resultado de la potencia de un producto y la potencia de un cociente.

Compara tu regla con las de tus compañeros y discutan las diferencias. Lleguen a un acuerdo en el grupo sobre estas reglas.

�� Escriban el desarrollo en factores de las potencias de la división n3

n5 y simplifi-

quen lo más que puedan.�� Escriban la potencia que se obtiene al aplicar la regla para la división

de potencias.�� Igualen los dos resultados anteriores.

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y lleguen a un acuerdo acerca de cómo debe entenderse una potencia con exponente negativo.

Analicen la siguiente información y compárenla con las conclusiones a las que lle-garon en las actividades anteriores.

Si a ≠ 0, para que la regla a n

a m = an – m se cumpla cuando n = m y cuando n < m,

se establecen las siguientes igualdades:a n

a n = a 0 = 1

1a n

= a 0

a n = a –n

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Autovaluación

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Individual

Para practicar


Escribe los siguientes productos y cocientes de potencias como una sola potencia. Ejecuta las operaciones y luego encuentra el resultado numérico de la potencia.Por ejemplo: 56 × 26 = (5 × 2)6 = 106 = 1 000 000

a) (–3)4

(–1)4 c) 85

45

b) (–2)3 × (–1)3 d) (–5)5 × (2)5

En tu cuaderno, realiza lo que se indica a continuación.

�� Escribe el desarrollo en factores de (92)3 y representa el resultado como una potencia de 9.

�� Escribe el desarrollo en factores de (114)2 y representa el resultado como una potencia de 11.

�� Ahora escribe el desarrollo de (a2)5 y escribe el resultado como una potencia de base a.

�� Formula una regla para determinar el resultado de una potencia que tiene como base otra potencia.

Compara tu regla con las de tus compañeros y discutan las diferencias.

Comparen las conclusiones a las que han llegado en las actividades anteriores con la siguiente información. Discutan las diferencias que observen.

La potencia formada por un producto elevado a un exponente es igual al pro-ducto de las potencias formadas por cada uno de los números elevados al mismo exponente. Esto se puede representar así:

(ab)n = anbn

La potencia formada por un cociente elevado a un exponente es igual al co-ciente de las potencias formadas por cada uno de los números elevados al mismo exponente. Se puede representar lo anterior de esta forma:

ab

n

= an

bn

Al elevar una potencia a n a un exponente m, se obtiene una potencia de base a y exponente n × m = nm, es decir:

(an)m = anm


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Autovaluación

En este sitio encontrarás información sobre las po-tencias y podrás resolver ejercicios de aplicación sobre el tema.www.profesorenlinea.cl/matematica/PotenciasEjercic1.htm(consulta: 4 de noviembre de 2014)

En la red

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Individual

Para practicar

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Autovaluación

30Bloque 1

La notación científica es de gran utilidad para manejar cantidades muy grandes o muy pequeñas. Al usar notación científica se requieren exponentes positivos o ne-gativos en la potencia de 10.Completa la siguiente tabla.

Número Notación científica34 500

1.5 × 1021

0.008714.96 × 105

2.04 × 1028

Compara tus respuestas con un compañero y discutan cualquier diferencia que se presente, hasta llegar a un acuerdo.

Dos cantidades muy grandes son la masa de la Tierra, que es de aproximadamente 5.98 × 1024 kg, y la masa de la Luna, que es de aproximadamente 7.34 × 1022 kg. Para comparar el tamaño de nuestro planeta con el de su satélite, se puede calcular el siguiente cociente.

5.98 × 1024

7.34 × 1022 = 5.98

7.34 × 1024

1022 =

�� Completen la igualdad anterior.�� ¿Aproximadamente cuántas veces cabe la masa de la Luna en la masa de la

Tierra?

Las partículas de un átomo son entes muy pequeños. La masa de un electrón es aproximadamente de 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kg.�� Escriban esta cantidad en notación científica.

Se sabe que la masa de un neutrón es, aproximadamente, 1 838 veces la de un electrón.�� Determinen la masa de un neutrón y escriban el resultado en notación científica.

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y analicen cómo multiplicar y dividir cantidades escritas en notación científica. Registren sus conclusiones.


Escribe en tu cuaderno las potencias que resultan en las siguientes operaciones:

a) (53 × 58)3

525 c) (a4 ∙ a9)

a2

a5

b) 65

6

2

× (64)3 d) x 7

x 94

x 6

x 22

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