gubici energije pri strujanju fluida

GUBICI ENERGIJE PRI STRUJANJU FLUIDA Potencijalna mehanička energija i(ili) energija pritiska koje fluid u nekom trenutku poseduje proizvešće njegovo kretanje ukoliko mu se to omogući. Pri tome, ako se radi o idealnom, dakle nestišljivom i neviskoznom fluidu, ukupan iznos njegove energije se neće menjati. Kod realnog fluida, međutim, uvek su pri strujanju prisutne sile trenja, kako između pojedinih slojeva fluida koji teku različitim brzinama, tako i između fluida i nepokretnih zidova sistema. Molekuli različitih brzina se sudaraju međusobno, a i s molekulima zida, razmenjujući energiju; zbog toga se deo kinetičke energije molekula fluida transformiše u energiju vibracije molekula zida – toplotu koja nepovratno odlazi u okolinu. Kod strujanja realnog fluida se suočavamo, dakle, s gubljenjem dela mehaničke energije fluida i potrebom da se taj gubitak nadoknadi posredstvom neke crpke ukoliko želimo da kretanje fluida održimo. Efekat trenja na pretvaranje dela kinetičke energije fluida u toplotu je prikazan na slici 21. Dok u slučaju idealnog fluida (slika 21, A) pomeranje klipa izaziva jednako ubrzanje čestica fluida po celom preseku cevovoda, kod realnog fluida (slika 21, B) se uspostavlja u laminarnom režimu tzv. parabolični profil brzina. U osi cevovoda, gde je uticaj trenja o nepokretni zid najmanji, registruje se i najveća brzina wo, a počev od nje, pa do zida, brzina opada po zakonu parabole, da bi uz sam zid dostigla vrednost nula.

Slika 21

Slika 22

GUBICI ENERGIJE PRI STRUJANJU FLUIDA 68

Pri povećanju protoka se ovakav parabolični profil izdužuje, brzina u osi cevovoda raste, sve dok lokalni Re-broj u osi cevovoda ne dostigne kritičnu vrednost i na tom mestu ne počne obrazovanje vrtloga (slika 22, A). Pri tome dolazi do kvalitativne izmene profila brzina. U osi će i dalje biti maksimalna vrednost, ali se brzine u zoni vrtloga – turbulentnom jezgru, neće značajno razlikovati upravo stoga što čestice dolaze u mnogo češći međusobni kontakt tokom vrtloženja i imaju priliku da izmene i ujednače svoje iznose kinetičke energije. Brzine izvan ove oblasti su manje od kritične, pa je strujanje i dalje laminarno. U tom laminarnom graničnom sloju se zadržava parabolični raspored brzina. Dalje povećanje protoka (slika 22, B) neće kvalitativno izmeniti sliku, osim što će turbulentna zona biti sve šira, a laminarni granični sloj sve tanji.

Komentar: Postojanje laminarnog graničnog sloja pri turbulentnom strujanju fluida duž čvrste površine ima izuzetan značaj ne samo u hidraulici, već još i više kod procesa prenosa toplote i mase. Stoga navodimo jednu definiciju koja ga karakteristično predstavlja: "granični laminarni sloj predstavlja onu debljinu fluida uza zid u kojoj brzina opadne za 99% svoje vrednosti u osi." To znači da se u turbulentnom jezgru brzine razlikuju za najviše 1%.

Slika 23

Komentar: Kod razmatranja uređaja za merenje protoka fluida, rečeno je da Pitot-Prandtlova cev meri lokalnu brzinu u osi cevovoda, pri čemu je naznačeno da, u zavisnosti od režima strujanja, postoji precizan odnos između nje i srednje brzine strujanja, iz koje se može izračunati protok. Sada postaje jasnije zašto je u laminarnom režimu odnos između srednje i maksimalne brzine 0,5, a u turbulentnom (gde su brzine ujednačenije) 0,81. Pri prelasku iz jednog u drugi režim, ovaj odnos se menja kontinualno, kako je prikazano na slici 23. Pomoću dijagrama sa slike 23 može se iz srednje brzine (preko Resr – gornja kriva) izračunati maksimalna brzina u osi ili iz maksimalne brzine u osi izračunati srednja brzina (preko Remax – donja kriva).


Analizirajući gubitke mehaničke energije fluida prouzrokovane trenjem, na osnovu gornjeg prikaza se zaključuje da oni neosporno zavise od režima strujanja i da moraju biti veći u turbulentnoj oblasti zbog dodatnog trenja između vrtloga. Kvantitativan pristup ovom problemu nudi eksperimentalni materijal prikupljen još u prošlom veku i iskazan kroz Hagen-Poazejev (Hagen-Poiseuille) zakon viskoznog strujanja:

l

dpV⋅⋅⋅⋅Δ

=μ

πτ 128

4

(46)

koji tvrdi da je zapreminski protok fluida (Vτ) koji struji laminarno kroz horizontalnu cev kružnog preseka proporcionalan razlici pritiska na krajevima cevi (Δp) i četvrtom stepenu prečnika (d), a obrnuto proporcionalan dinamičkom viskozitetu fluida (μ) i dužini cevi (l). Na takvu horizontalnu cev jednolikog preseka može se primeniti Bernulijeva, odnosno energijska jednačina, odakle sledi da su gubici jednaki padu energije pritiska:

γpf Δ

=−21 (47)

Kombinujući izraz (47) s Hagen-Poazejevim zakonom (46), preko nekoliko algebarskih transformacija se dolazi do izraza za gubitke energije pri laminarnom strujanju fluida:

g

wg

wdl

gw

dlf pod 222Re

64 222

21 ⋅=⋅⋅=⋅⋅=− ζλ (48)

Ovako iskazani gubici se nazivaju podužnim gubicima da bi se istakla priroda njihovog nastanka – trenje fluida o zidove cevovoda, pri čemu koeficijent λ nosi naziv jediničnog koeficijenta podužnog trenja, jer se odnosi na jedinicu dužine cevovoda, za razliku od ζpod – ukupnog koeficijenta podužnog trenja. Ukazujemo da izraz (48) jasno razgraničava pojedinačne faktore koji utiču na gubitke: režim strujanja, dimenzije cevovoda i iznos kinetičke energije fluida. Ovakav isti pristup se primenjuje i na vrtložno strujanje, pri čemu ne možemo očekivati da režim strujanja ima isti funkcionalni uticaj na gubitke jer prisustvo vrtloga kvalitativno menja situaciju. Dok je za laminarno strujanje važilo:

2320Re Re64

<=λ (49)

za turbulentno strujanje, ova funkcija ima sledeći oblik:

2320Re Re

32,025,0 >=λ (50)

Obe zavisnosti su prikazane na dijagramu (slika 24), pri čemu izraz (50) važi za tzv. glatke cevi. Ispostavlja se, naime, da unutrašnja strana cevovoda u opštem slučaju nije glatka, što je posledica kako nesavršene obrade, tako i korozije. Ispupčenja i udubljenja na površini zida cevi ne utiču na strujanje u laminarnoj oblasti, ali u turbulentnom režimu izazivaju dodatna vrtloženja, i uvećavaju gubitke. Rastojanje između dna udubljenja i vrha uzvišenja (slika 25) se naziva


apsolutna rapavost (ε) cevi i izražava u milimetrima, dok je relativna rapavost (n) definisana odnosom apsolutne rapavosti i prečnika cevi:

D

n ε= (51)

Slika 24

Slika 25

Za glatke cevi n=0, kako je i označeno na slici 24, a na slici 25 (levo) je prikazan isečak zida rapave cevi, gde se na njegovoj unutrašnjoj površini jasno zapažaju ispupčenja i udubljenja. U tablici koja sledi navedena je primerna apsolutna rapavost za cevi od nekoliko vrsta materijala.

Apsolutna rapavost cevi od različitog materijala Vrsta cevi Apsolutna rapavost, ε (mm)

Staklene cevi ≈ 0 Bešavne mesingane, bakarne i olovne cevi 0,01 – 0,05 Nove čelićne bešavne i pocinkovane cevi 0,1 – 0,2 Nove cevi od livenog gvožđa 0,3 Stare cevi od livenog gvožđa >0,86


Povećanje rapavosti ne samo da uvećava jedinični koeficijent podužnog trenja, već i slabi njegovu zavisnost od Re-broja, tako da kod veoma rapavih cevi, λ dostiže gotovo konstantnu vrednost. U takvim slučajevima je i pri relativno malim Re-brojevima ceo presek cevovoda zahvaćen vrtlozima – turbulentni režim je potpuno razvijen, a dalje povećanje protoka ne stvara nove vrtloge, već samo intenzivira rotaciju postojećih. Identična situacija se javlja na elementima armature: spojevima, ventilima, slavinama, krivinama, račvanjima, mernim instrumentima, itd. – na mestima na kojima fluid naglo menja pravac i brzinu strujanja. Na takvim mestima je profil brzina veoma izobličen – ona daju efekat kao i veoma rapave cevi – i pri malim brzinama na njima se stvara intenzivna turbulencija. To daje povoda da se definišu tzv. mesni ili lokalni gubici energije, a analogija s rapavim cevima nudi i način njihovog izražavanja:

. 2

2

constg

wf mmm =⋅= ζζ (52)

Koeficijenti mesnih otpora (ζm) eksperimentalno su određeni za većinu tipskih situacija i mogu se naći u priručnoj literaturi, ali se oni češće izražavaju preko tzv. ekvivalentne dužine cevovoda (le), tj. dužine konkretnog cevovoda koja bi proizvela iste podužne gubitke kao i predmetni mesni otpor:

g

wDl

gwf e

m 22

22

⋅⋅=⋅= λζ (53)

U narednoj tablici su navedeni neki tipični mesni otpori i ekvivalentne dužine cevovoda koje im odgovaraju, iskazane kao n prečnika cevovoda.

Koeficijenti mesnih gubitaka energije Vrsta mesnog otpora n = le/d

Koleno od 900 30 – 50 Račva 60 – 90 Ventil, normalni 100 – 120 Ulaz iz rezervoara u cev 20 Naglo proširenje d/D = 1/4 d/D = 1/2 d/D = 3/4

30 18 7

Naglo suženje D/d = 4/1 D/d = 2/1 D/d = 4/3

15 12 7

Obrtni merač protoka 200 – 300

Pri izračunavanju mesnih gubitaka treba voditi računa još o jednom detalju. Ukoliko je gubitak izazvan promenom preseka strujanja, koeficijent mesnog otpora se uvek vezuje za veću brzinu. Na primer, za slučaj sa slike 26 važi:

Slika 26

g

wf mm 2

21⋅= ζ (54)

Svi koeficijenti mesnih gubitaka koji se odnose na slične slučajeve, pa i oni iz gornje tablice, izračunati su uz uvažavanje ovog principa.


Rezimirajući sve što se tiče izračunavanja gubitaka energije pri strujanju fluida dolazi se do opšteg izraza:

g

wd

llg

wdlf e

m 22

22

21 ⋅Σ+

⋅=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Σ+⋅=− λζλ (55)

Njegovo korišćenje zahteva poznavanje geometrije cevovoda, karakteristika fluida i protoka, odakle se može izračunati Re-broj. Uz pomoć priručne literature tada je lako doći do podataka o koeficijentima trenja. Ekvivalentni prečnik cevovoda U dosadašnjem razmatranju strujanja u cevima se podrazumevalo se da su one kružnog preseka, pri čemu je za karakterističnu linearnu dimenziju biran prečnik cevi. Ovo, međutim, ne mora uvek da bude slučaj jer ventilacioni vodovi ili slivni kanali, na primer, najčešće nisu kružnog preseka. Da bi se razmatranja vezana za režim strujanja mogla primeniti i na takve situacije, dimenzije vodova čiji presek nije kružan se prevode na prečnik ekvivalentne cevi kružnog preseka – takve u kojoj će se strujanje odvijati istim intenzitetom. To znači da se u konkretnoj posmatranoj cevi i u njoj ekvivalentnoj cevi kružnog preseka registruje isti režim strujanja, isti Re-broj i isti odnos sila inercije prema silama trenja. Takve dve cevi imaju isti hidraulički radijus koji se definiše kao odnos tzv. živog preseka cevovoda S (preseka koji je stvarno ispunjen fluidom) i okvašenog obima O (obima cevovoda koji je u kontaktu sa fluidom):

Re=∝=tr

ih F

FOSr

Nije teško uočiti da je živi presek proporcionalan masi fluida, dakle inercionim silama u njemu, dok sile trenja dejstvuju faktički samo na mestu kontakta fluida i zida – po okvašenom obimu. Za cev bilo kog preseka važi:

OSrh = (56)

S druge strane, ako je cev kružnog preseka i potpuno ispunjena fluidom, imamo:

4

4

2

dd

d

r oh ==

π

π

(57)

Ukoliko su gornje dve cevi ekvivalentne, hidraulički radijusi su im jednaki:

ohh rr =

pa dolazimo do izraza za ekvivalentni prečnik cevi kružnog preseka:

OSde 4= (58)


Niže su izračunati ekvivalentni prečnici za nekoliko tipičnih situacija. Kružni prsten anulus. Ovakav oblik preseka strujanja je čest slučaj kod izmenjivača toplote tipa "cev u cev".

Slika 27

dDd

dDOdDS

e −=

−=−

= ππ )( 4

)( 22

Kružni vod, delimično ispunjen fluidom. Tipičan kanalizacioni vod.

Slika 28

)sin1801(

360 )sin

180(

8

2

ααπ

απααπ

⋅⋅

−=

⋅⋅=−

⋅=

dd

dOdS

e

Vod kvadratnog preseka, potpuno ispunjen fluidom. Tipična ventilaciona mreža.

Slika 29

adaOaS

e === 4 2

Vod kvadratnog preseka, delimično ispunjen fluidom.

Slika 30

baabd

baOabS

e 24

2

+=

+==


Vod pravougaonog preseka, potpuno ispunjen fluidom. Kanal ventilacione mreže.

Slika 31

baabd

baOabS

e +=

+==2

)(2

Kanal trougaonog preseka

2sin2

2cos

2 2

2

α

αα

⋅=

=⋅=

hd

hOtghS

e

Slika 32

Kanal, nepravilnog oblika.

Pod pretpostavkom da je presek kanala prikazan u razmeri 1:n, živi presek se izmeri planimetrom, a okvašeni obim kurvimetrom, instrumentima za merenje površine, odnosno dužine krivih linija.

Slika 33

Dobijeni ekvivalentni prečnik se pomnoži razmerom n. Ekvivalentni prečnik dobijen na opisani način preko hidrauličkog radijusa može se koristiti u svim izrazima koji se tiču režima strujanja – pri izračunavanju kriterijuma sličnosti, gubitaka, itd. Međutim, za izračunavanje srednje brzine iz odnosa protoka i poprečnog preseka cevovoda mora se koristiti stvarna površina preseka. Hidraulička karakteristika cevovoda i proračun snage crpke

Jedan od tipičnih problema koji se javlja u praksi jeste izračunavanje snage crpke koja se u cevovod ugrađuje u cilju transporta fluida kroz njega.

Slika 34

Postavljanjem energijske jednačine za situaciju sa slike 34, pri čemu presek 1 odgovara nivou tečnosti u rezervoaru 1, a presek 2 se nalazi na izlasku iz cevi u rezervoaru 2, i njenim preuređivanjem, dolazi se do izraza za potrebnu visinu dizanja crpke:

21

21

2212

12 )22

()()( −+−+−+−= fg

wg

wpphhEγγ

(59)


odakle je očigledno da se energija crpke (E) troši na: – podizanje fluida; – savlađivanje razlike pritiska u rezervoarima; – ubrzavanje fluida; – nadoknađivanje svih gubitaka energije u sistemu. Zavisnost ove potrebne količine energije od protoka u datom sistemu, naziva se hidraulička karakteristika cevovoda, ili, inženjerskim žargonom rečeno "zahtev mreže" za energijom jer uistinu predstavlja onu energiju koju mreža "zahteva" da bi se fluid kroz nju kretao određenim protokom. Menjanje protoka u cevovodu sa slike 34 se može izvesti regulisanjem otvora ventila V, čime se menja njegov mesni otpor. Uzevši u obzir da je brzina spuštanja nivoa u rezervoaru 1 mnogo manja od brzine isticanja fluida iz usta cevi u rezervoaru 2 (w1<<w2), izraz (59) postaje:

g

wdl

gwphE m 2

)(2

22

22 ⋅Σ+++

Δ+Δ= ζλγ

(60)

odnosno

)1(2

22

mdl

gwphE ζλ

γΣ++⋅+

Δ+Δ= (61)

Kada se brzina u cevovodu (w2) izrazi preko protoka:

SVw τ=2

dobija se izraz:

22

2

1

gSdl

VphEmζλ

γ τ

Σ+++

Δ+Δ= (62)

odnosno: (63) 2

τVbaE ⋅+=pri čemu je:

.constpha =Δ

+Δ=γ

za datu situaciju u pogonu

.2

12 const

gSdl

bm≈

Σ++=

ζλ za visoke Re-brojeve

Iz izraza (63) se vidi da je hidraulička karakteristika cevovoda približno kvadratna funkcija protoka, što omogućuje analizu nekoliko takvih karakteristika, prikazanih na slici 35. Ukoliko, na primer, karakteristika 1 odgovara situaciji sa slike 34, onda će povećanje visinske razlike


između rezervoara, odnosno povećanje razlike pritisaka u njima, izazvati translatorno pomeranje krive do karakteristike 2. Nagib krive se ne menja, jer se ni otpori u cevovodu nisu promenili.

Ako se sada delimično zatvori ventil V, to će uticati upravo na promenu nagiba karakteristike (karakteristika 3) jer su se otpori u mreži povećali.

Slika 35

Na slici 35 je prikazano i to da je pri navedenom menjanju parametara za ostvarenje nekog konstantnog protoka Vτi potrebna progresivno veća količina energije (E3>E2>E1). Kada se na osnovu poznate hidrauličke karakteristike cevovoda i zahtevanog protoka dođe do podatka o potrebnoj visini dizanja crpke, tada se može izračunati i snaga crpke. Budući da visina dizanja (E) predstavlja energiju koju crpka ugrađuje u fluid po jedinici njegove težine, a da kroz crpku u jedinici vremena protekne Gτ težina fluida, snaga crpke je:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ==⋅⋅= W

sJ

sN

NJGENT τ (64)

Ta snaga je teorijska jer crpka, kao i svaka druga realna mašina, ne može da transformiše električnu energiju u mehaničku bez gubitaka koji nastaju kao posledica trenja fluida, trenja u ležištima, električnog otpora elektromotora i sl, tako da je realna snaga koju crpka stvarno povlači iz električne mreže uvek nešto veća: (65) TR NN >Odnos teorijske snage koju crpka predaje fluidu i realne snage koju stvarno troši naziva se ukupni koeficijenat korisnog dejstva ove mašine:

1<=R

T

NNη (66)

Koeficijent korisnog dejstva se često izražava i u procentima. Za dati tip crpke određenog proizvođača ovaj parametar se navodi u prospektnom materijalu da bi kupac mogao da načini pravilan izbor pri nabavci. Svodeći prethodno razmatranje, zaključujemo da postupak proračuna snage crpke obuhvata: a) izračunavanje potrebne visine dizanja na osnovu tehnološkog zadatka i hidrauličke karakteristike sistema u koji se crpka ugrađuje;

b) izračunavanje teorijske snage crpke: η

TR

NN =

Dobijeni rezultat za realnu snagu crpke se uvek zaokružuje na višu vrednost, shodno asortimanu koji se nudi.

gubici energije pri strujanju fluida

Documents