Gudrun Malmers stipendium 2007

Varför lär sig mina elever inte funktioner?

Ett försök att använda humaniora för att få elever att förstå matematiska begrepp

Lotta Wedman

Ludvika 2010-12-26

Handledare: Marie Jacobson

Innehåll1. Inledning.................................................................................................................................1

1.1 Bakgrund.....................................................................................................................11.2 Syfte ............................................................................................................................31.3 Metod...........................................................................................................................3

2. Hur undervisar man om begrepp? ..........................................................................................42.1 Sätt fokus på begreppen...............................................................................................42.2 Begreppens utveckling...............................................................................................122.3 Matematik och språkinlärning...................................................................................182.4 Funktionsbegreppet....................................................................................................242.5 Begreppskartor ..........................................................................................................31

3 Historia ..................................................................................................................................333.1 Olika syner på hur matematiken och begreppen utvecklas.......................................333.2 Funktionsbegreppets historia ....................................................................................40

4. Avslutning.............................................................................................................................444.1 Sammanfattande diskussion.......................................................................................444.2 Utvärdering ...............................................................................................................474.3 Hur man kan gå vidare...............................................................................................48

Referenser.................................................................................................................................49Bilaga A Planering för avsnittet om funktioner i kursen Matematik A ...................................51Bilaga B Hönsburen..................................................................................................................52Bilaga C Övningar utifrån funktionsmaskinen .......................................................................54Bilaga D Begreppskarta ekvationssystem.................................................................................55Bilaga E Begreppskarta algebra ...............................................................................................56Bilaga F Funktionsbegreppets åskådningsformer.....................................................................57Bilaga G Historisk översikt enligt Oswald Spengler................................................................58

1. Inledning

1.1 BakgrundJag började bli intresserad av matematiska begrepp och begreppsinlärning när jag, efter att ha arbetat några år som lärare på gymnasiet, fick en elev som hade stora svårigheter med matematik. Lisa blandade ihop addition med multiplikation och hon kunde inte heller räkna utan miniräknare. Jag minns särskilt ett tillfälle när klassen arbetade med area och Lisa skulle räkna ut arean på en triangel. Jag kunde först inte förstå varför hon inte klarade av att använda formeln arean=basen∗höjden

2 när det plötsligt gick upp för mig att hon inte visste vad triangelns höjd var.

Jag har senare märkt att det är flera elever som inte vet vad höjden i en triangel är och därför inte klarar av att räkna ut triangelns area.

Efter lärarutbildning hade jag, när det här arbetet började, arbetat som gymnasielärare i matematik och filosofi i drygt sju år. Jag hade haft elever på de flesta program i matematik och jag hade även undervisat elever på samhällsprogrammet i filosofi. Både filosofi och matematik är ämnen där det finns många nya begrepp och där förståelsen av begrepp är viktig när man ska tillägna sig ämnet.

Ändå var det stora skillnader mellan mina matematik- och filosofilektioner. När jag fick eleverna i filosofi var det första gången de läste ämnet och jag började från början med att bygga upp elevernas kunskap i ämnet. Det innebar att alla som ville kunde klara av kursen utan någon större ansträngning, vilket inte var fallet med matematikkurserna. En lärobok i filosofi var också upplagd på ett annat sätt än i matematik. När nya begrepp infördes så fick man en idéhistorisk förklaring till dem och en beskrivning av vad de betydde. I marginalen fanns dessutom förslag på diskussionsämnen som fick eleverna att reflektera över det som togs upp.

En lektion i filosofi kunde gå till såhär: Vi började med att knyta an till det som vi gjorde förra lektionen. Sedan gick jag igenom något nytt på tavlan, med avbrott för att diskutera det nya innehållet. Efter detta fick eleverna någon typ av uppgift som knöt an till det nya innehållet, enskilt eller i grupp, och lektionen avslutades med att vi samlade ihop erfarenheterna från arbetsuppgifterna. Ofta fick eleverna i hemuppgift att läsa igenom det som vi hade gått igenom till nästa lektion.

Under en matematiklektion däremot diskuterade vi sällan det nya innehållet. Elevernas uppgifter var också mer enahanda, ofta handlade det om att de skulle räkna i boken. Jag som lärare var dessutom sämre på att samla ihop eleverna efter att de hade arbetat under en matematiklektion.

Min målsättning har blivit att kunna ha ungefär samma upplägg på mina lektioner i matematik som jag har i filosofi. Även om kunskapsinnehållet är olika så är många av svårigheterna desamma, att förstå begreppen och kunna använda dem. I filosofi ska begreppen användas för att diskutera omvärlden och lösa filosofiska problem och i matematik ska de användas för att lösa matematiska problem.

För några år sedan hade vi i Ludvika ett projekt där en kollega och jag diskuterade matematiska begrepp tillsammans med personal från förskolan. Vi som var med i projektet Inlärning och användning av matematiska begrepp – ett utbyte mellan förskola och gymnasium började med att gå på en föreläsning tillsammans, Mattepåsen1, vilket skapade många tankar och idéer kring hur matematikundervisning kunde bedrivas. Föreläsningen handlade om hur man kunde använda praktiskt material, litteratur och samhälle för att skapa en kommunikativ klassrumsmiljö, där det blev naturligt att diskutera det matematiska språket, på förskolan.

1 Föreläsningen ordnades då av Sama förlag.

1

Det var intressant att se hur de i förskolan arbetade med olika begrepp, både inom språk och matematik, med hjälp av sagor, sånger, lekar och diskussioner. På förskolan var det ingen skillnad mellan hur man arbetade med matematiska och språkliga begrepp; det verkade bli större skillnad ju högre upp i åldrarna eleverna kom. Efter projektet tillsammans med förskolelärarna har jag ofta saknat ett samarbete mellan språk- och matematikundervisning.

Jag har också tidigare arbetat med begrepp i en D-uppsats i matematik2 som bland annat handlade om gränsvärdesbegreppet och den analys som fanns på universitetet. Arbetet grundade sig på en D-uppsats i vetenskapsteori, som jag tidigare hade skrivit, om varför 0,999... = 1 i reell analys och hur det blir om man, istället för gränsvärden, använder oändligt små tal och den icke-standardanalys som Abraham Robinson har arbetat fram som en alternativ matematisk modell.3

Detta utvecklade jag i matematikarbetet och jag jämförde hur stora delar av analysen byggdes upp i de två modellerna.4

Jag analyserade också hur gränsvärdet definierades. Det fanns flera svårigheter med gränsvärdesbegreppet inom den reella analysen som gör att det blev särskilt svårt för studenterna att förstå. Många av de svårigheterna försvann i icke-standardanalys.5

2 Jag har en filosofie magisterexamen med matematik som huvudämne och med vetenskapsteori inriktad mot matematik (80 poäng) som biämne.3 Karlsson (1999)4 Wedman (2008)5 Wedman (2008)

2

Skillnaden mellan inkrement, Δy, och differentialer, dy, som används för att definiera gränsvärden i icke-standardanalys.

Erfarenheten jag fick från detta arbete var att jag blev medveten om matematikens uppbyggnad, hur de olika matematiska begreppen hängde ihop med varandra och hur viktigt det var att studenter på universitet eller högskola och elever på grundskola eller gymnasium hade korrekta mentala bilder, även om jag inte visste hur man skulle undervisa för att nå dit.

Medan gränsvärdet var svårt för studenterna tyckte mina elever på gymnasiet att funktionsbegreppet var särskilt svårt. Det blev obegripligt för dem när man pratade om linjära funktioner och blandade in skrivsättet f(x). En av de stora svårigheterna var att få eleverna att förstå vad en riktningskoefficient är och göra kopplingen mellan räta linjens ekvation och den uppritade räta linjen.

Därför ville jag arbeta med att få elever att förstå funktionsbegreppet och jag hade en idé om att om jag planerade matematiklektioner så att de mer liknade mina lektioner i filosofi så skulle begreppsinlärningen bli bättre och eleverna skulle få lättare att förstå.

1.2 Syfte Syftet med arbetet var att undersöka hur jag som lärare ska undervisa för att få eleverna att förstå matematiska begrepp. Jag ville också ändra arbetssätt för att få mina lektioner i matematik att mer likna de jag hade i filosofi och hämta inspiration av hur man arbetar i språkundervisning. Eftersom det ofta fanns ett idéhistoriskt perspektiv på begreppen i filosofi var min ambition att överföra även detta synsätt till matematiken.

Frågeställningar

I arbetet har jag studerat dessa frågeställningar:

- Vad är ett matematiskt begrepp och hur ska jag som lärare undervisa om jag vill att eleverna ska förstå de matematiska begreppen?

- Hur kan jag som matematiklärare använda mig av de undervisningsmetoder som man arbetar med i filosofi och olika språk?

- Varför förstår mina elever inte funktioner?

För att resultatet ska vara lätt att tillgodogöra sig har jag haft som ambition att beskriva hur jag har arbetat praktiskt med att planera avsnitt, hur jag har lagt upp lektioner och vilka övningar som främjar begreppsinlärning.

1.3 MetodJag arbetade med att förändra min undervisning under åren 2008 – 2010. Under vårterminen 2008 läste jag litteratur och planerade övningar som jag sedan försökte genomföra under läsåret 2008/2009 då jag arbetade med funktionsavsnittet i kursen Matematik B. Vårterminen och sommaren 2009 läste jag mer litteratur och läsåret 2009/2010 arbetade jag med funktionsavsnittet i Matematik A.

1.3.1 Dessa elever har jag arbetat medUnder läsåret 2008/2009 hade jag två grupper som läste kursen Matematik B:6

Jag hade en grupp på 23 elever som gick på samhällsprogrammet och läste kursen obligatoriskt. På samhällsprogrammet läser man, i Ludvika, Matematik A på 72 timmar och Matematik B på 72 timmar. Gruppen bestod av 17 tjejer och 6 killar och jag hade haft 22 av dessa elever i A-kursen.

6 Det var en av de första gångerna som jag undervisade i B-kursen, vilket innebar att jag inte hade samma erfarenhet om kursen som jag hade om A-kursen.

3

Resultatet på nationella provet för Matematik A var 6 IG, 11 G och 5 VG.7

Jag hade också en grupp på 19 elever som gick på handelsprogrammet och läste Matematik B som valbar kurs. På handelsprogrammet läser man Matematik A på 96 timmar och Matematik B på 72 timmar. Gruppen bestod av 16 tjejer och 3 killar och jag hade haft hela gruppen i A-kursen. Resultatet på nationella provet för matematik A var 2 IG, 15 G, 1 VG och 1 MVG.8

Under läsåret 2009/2010 hade jag en grupp som läste kursen Matematik A. Eleverna gick på estetiska programmet och läste Matematik A på 72 timmar. Det var från början 31 elever i gruppen. I slutet av kursen var det av olika anledningar ca 21 elever kvar i klassen. Resultatet på nationella provet var 3 IG, 10 G, 1 VG och 2 MVG.9

2. Hur undervisar man om begrepp?

2.1 Sätt fokus på begreppenI början av projektet hade jag en vag uppfattning om vad ett begrepp var och jag blandade begrepp med ord utan att riktigt veta skillnaden. Det var svårt för mig att hitta en tydlig förklaring av begrepp. Till slut kombinerade jag Nationalencyklopedins beskrivning av begrepp med den språkfilosofiska teorin kring mening och referens. Som komplement läste jag en artikel om skillnaden mellan begreppsbilder och begreppsdefinitioner inom matematik och fick därmed en tydligare bild av begrepp och också en bättre grund för att arbeta med elevernas begreppsuppfattning. Det är två frågeställningar som jag främst vill ha svar på i detta avsnitt:

• Vad är ett begrepp?

• Hur underlättar man för eleverna att skapa sig relevanta begreppsbilder?

2.1.1 Vad är ett begrepp?

Definitionen av ett begrepp

Enligt Nationalencyklopedin är ett begrepp det abstrakta innehållet hos en språklig term.10 Det är viktigt att skilja på begreppet och den språkliga termen och man ska inte heller förväxla begreppet med de konkreta eller abstrakta föremål som termen används för att beskriva.

Med begreppet triangel avses den innebörd vi lägger i uttrycket triangel, vilket måste skiljas både från ordet ”triangel” och från mängden av trianglar.11

Mening och referens

Dagfinn Føllesdal, Lars Walløe och Jon Elster, författare till Argumentationsteori, språk och vetenskapsfilosofi, skriver att det är svårt att förklara vad ett begrepp är. Därför använder de inte heller ordet begrepp utan diskuterar istället språkliga uttryck.1213

7 Sju av dessa läste senare matematik C8 Fem läste senare matematik C9 Resterande elever gjorde inte provet eller skrev bara ena delen. 10 Nationalencyklopedin (NE) (1990) använder term som enligt NE betyder ord eller uttryck med fastställd definition i en viss terminologi.11 Nationalencyklopedin (1990): begrepp12 Jag väljer att istället fortsätta använda begreppet term för att få en enhetlig terminologi. 13 Føllesdal m.fl. (1993): 257

4

Inom språkfilosofin skiljer man mellan meningen och referensen hos en term (ett uttryck):

Meningen, eller betydelsen, är innebörden av termen. Meningen med en rektangel är att det är en tvådimensionell figur som bara har räta hörn. Meningen av fem är att det är ett tal med vissa egenskaper.14

Referensen är det eller de ting vi talar om när vi använder ett ord. Medan meningen alltid är abstrakt, vi kan aldrig se eller ta i den, kan referensen däremot vara en eller flera saker som antingen är konkreta eller abstrakta.

Rektangel refererar till mängden av alla rektanglar, inklusive specialfallet kvadraterna:

Fem refererar till alla tillämpningar av ordet fem:

• Jag ser fem fåglar på himlen.

• Om man adderar två med tre så får man summan fem.15

Flera termer kan ha olika mening men samma referens: Fyrkant, en tvådimensionell figur med fyra raka kanter, och fyrhörning, en tvådimensionell figur med raka kanter och fyra hörn, har olika mening men refererar till samma mängd av polyedrar.

Riktningskoefficient, k-värde och linjens lutning är ett annat exempel på att termer kan ha olika mening och samma referens.

Däremot kan två termer inte ha samma mening men olika referens. Referensen är alltså en funktion av meningen; när vi vet meningen kan vi entydigt peka ut det som termen refererar till.16

Språkforskaren Charles Kay Ogden åskådliggör detta med hjälp av det som ofta kallas Ogdens triangel.17

14 Føllesdal m.fl. (1993): 25215 Føllesdal m.fl. (1993): 25216 Detta förutsätter att vi har samma uppfattning om vilken mening termerna har.17 Føllesdal m.fl. (1993): 253

5

Olika slags definitioner

Ibland behöver lärare förklara meningen hos ett ord, det kan vara ett ord som eleverna inte hört tidigare eller ett ord där innebörden har ändrats på grund av att eleverna ska lära sig något nytt. En sådan förklaring kan vara en definition, men behöver inte vara det. Ibland räcker det med en beskrivning.

Enligt Føllesdal m.fl. berättar en beskrivning vad termen refererar till, den beskriver referensen. I vissa vetenskaper, till exempel matematik, godtas dessa beskrivningar som definitioner. Man talar då om extensionella definitioner.18

För det mesta brukar man med en definition mena en precisering av termens mening. Det kallas då för en intensionell definition.19

Som lärare använder man ofta extensionella och intensionella definitioner för att få eleverna att förstå olika begrepp, man ger exempel på hur begrepp används och försöker få eleverna att förstå begreppens mening. Dessa pedagogiska definitioner ska man inte blanda ihop med begreppens formella definitioner. Med en formell definition av ett begrepp avses definitionen i sitt språkliga uttryck, vilken kan vara antingen extensionell eller intensionell. Enligt Kerstin Pettersson, universitetslektor i matematik vid högskolan Skövde, kan formella definitioner grundas på idéer som är svåra att använda vid kreativ problemlösning. Avsikten är istället att kunna använda definitionen för att konstruera ett stringent bevis i ett formellt system.20

Här kan jag ana en konflikt. För att eleverna ska kunna lösa problem behöver de relevanta pedagogiska definitioner. Om de senare ska kunna utföra formella bevis behöver de formella definitioner. Det är inte säkert att dessa definitioner stämmer överens.

2.1.2 Begreppsbilder och begreppsdefinitioner i matematik

2.1.2.1 BegreppsbilderDavid Tall och Shlomo Vinner formulerar ett antal idéer om begrepp och begreppsinlärning i matematik i Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Tall och Vinner gör skillnad mellan hur matematiska begrepp definieras formellt och de mentala bilder som hör till begreppen. De skriver att den kognitiva strukturen runt ett begrepp är mer än en symbol eller en mental bild. Den innehåller många medvetna och omedvetna processer som är knutna till begreppet. Ordet begreppsbild används för att beskriva den

18 Føllesdal m.fl. (1993): 319-32019 Føllesdal m.fl. (1993): 32120 Pettersson (2008)

6

totala kognitiva strukturen som är knuten till ett begrepp.2122

För att en elev ska förstå ett begrepp krävs det att eleven har en korrekt begreppsbild som hjälper eleven i dess problemlösning. En elev kan ha flera olika bilder på samma gång som används vid olika tillfällen. Efter ett tag kan bilderna smälta samman eller så glöms någon av bilderna helt bort. Ju fler kopplingar som finns mellan begreppsbilden och begreppsdefinitionen23 desto bättre blir eleven på att lösa problem. Om eleven inte förstår definitionen kan begreppsbilderna däremot vilseleda och vid obekanta situationer kanske definitionen inte räcker till.24

För att eleven ska bli bra på problemlösning krävs alltså att:

• Hon har en korrekt begreppsbild.

• Hon förstår begreppsdefinitionen.

• Det finns många kopplingar mellan begreppsbilden och begreppsdefinitionen

21 Tall & Vinner (1981)22 Bilden nedan är tagen från Bergsten m.fl. (1997)23 Poängen med att använda ordet begreppsdefinition är att man tydliggör att det är en definition av ett begrepp.24 Tall & Vinner (1981)

7

Bild av begreppet begreppsbild

Begreppsbilden förändras med tiden

Ta exemplet med Emil som ska lära sig subtraktion: Första gången Emil lär sig subtraktion räknar han med naturliga tal och subtraktionen används för att räkna ut skillnaden mellan två tal:

1) 12 – 4 = 8

Den första termen (12) är alltid den största och differensen (8) blir alltid ett positivt, naturligt, tal. Med tiden kommer detta att ändras. När den första termen blir mindre än den andra får man ett negativt tal:

2) 4 – 12 = -8

Skillnaden mellan dessa två uträkningar och de mentala bilderna som är förknippade med dem är större än vad man först tror. Differensen i exempel 1 kan stå för en skillnad mellan de två talen, som alltid är positiv. I exempel 2 handlar det i stället om en förändring, som kan vara positiv eller negativ. På gymnasiet är det vanligt att elever får felet 4 – 12 = 8. Dessa elever är kvar på nivå 1 i sin begreppsuppfattning.

I både 1 och 2 är differensen mindre än den första termen. När Emil senare ska subtrahera negativa tal har han med sig denna erfarenhet i begreppsbilden, vilket ytterligare kan förvirra och skapa problem när differensen blir större än den första termen:

3) 2 – (-3) = 5

I exempel 3 finns flera svårigheter som måste hanteras. Dels den utvidgade subtraktionen, termerna kan nu vara negativa tal, och dels de två olika betydelserna av minustecknet. Ännu svårare och mer abstrakt blir det om man utgår från ett negativt tal:25

4) -2 – (-3) = 1

Begreppsbilden kan alltså innehålla motsättningar. Att Emil har med sig erfarenheten att en differens alltid är mindre än den första termen samtidigt som uträkningen ibland ger ett större resultat är ett exempel på en sådan motsättning där två erfarenheter säger emot varandra. En motsättning behöver dock inte leda till förvirring. Om olika delar av begreppsbilden väcks vid olika tillfällen upptäcker eleven inte att de säger emot varandra. Det är först när två motsättande aspekter väcks samtidigt, som i subtraktionsexemplet ovan, som det blir förvirring.26

Elever som håller på med matematik använder ofta olika processer i olika sammanhang. Ta till exempel Ulrika, som räknar ut 4/12/1 + korrekt eftersom hon har tydliga bilder av 2/1 och 4/1 och har förstått vad det innebär att addera två bråk. När hon sedan ska räkna ut 4/13/1 + misslyckas hon eftersom hon försöker med en annan metod som hon inte förstår (hon har ingen tydlig bild av metoden) och inte heller använder korrekt. Ulrika ser ingen konflikt i de olika metoderna eftersom hon använder den metod som verkar passa bäst vid varje tillfälle. 27

2.1.2.2 Hur man kan arbeta med formella definitionerVi antar att en lärare på gymnasiet arbetar med att få eleverna i sin klass att förstå den formella definitionen av en funktion som är:

en relation mellan två mängder A och B där varje element i A är kopplat till exakt ett element i B.

25 Fritt efter Tall & Vinner (1981)26 Tall & Vinner (1981)27 Fritt efter Tall & Vinner (1981)

8

En del av eleverna i klassen kommer ihåg denna formella definition, andra inte. En del av dem som kommer ihåg definitionen har dessutom skapat sig en mental bild av den och på så sätt försökt att förstå den. Andra har lärt sig den mekaniskt. Hur pass väl eleverna förstår definitionen beror på hur mycket eleverna har diskuterat den och arbetat med uppgifter där de får använda sig av definitionen. Läraren hamnar nu i ett dilemma:

Hon kan planera kursen så att klassen först arbetar med den formella definitionen och begreppet i sin helhet. Därefter ägnar eleverna lång tid åt att räkna uppgifter där funktionen ges som en formel, som i början dessutom alltid är en rät linje, vilket kan resultera i att begreppsbilden utvecklas till ett mer begränsat begrepp som bara rymmer formler och räta linjer.28

Om läraren istället ägnar merparten av tiden till att först bygga upp en stark bild av funktionsbegreppet, som passar den matematik som eleverna håller på med för tillfället, och först på slutet tar upp den formella definitionen så kommer den begreppsbild som eleverna får att vara anpassad efter gymnasiematematiken och kan motsäga den formella definitionen. Begreppsbilden blir i båda fallen mycket starkare än bilden av definitionen och begreppsbilden kan, enligt Vinner och Tall, bli ett hinder för de elever som senare läser matematik på universitetet.29 Många begrepp som vi använder behöver vi inte definiera tydligt i undervisningen. Det kan vara begrepp som eleverna har med sig sedan tidigare men det kan också vara begrepp som liknar vardagliga begrepp och där man bara behöver precisera skillnaden mellan det eleverna redan kan och vad begreppet betyder i matematik. Största värdet är ett exempel på ett sådant begrepp där det räcker att visa några olika exempel på hur begreppet används så att eleverna får en extensionell definition.30 Ibland behöver vi dock precisera innebörden med ord. Eleverna bör till exempel få intensionella definitioner av de geometriska fyrhörningarna:

Om man definierar vad en rektangel är och sedan använder den definitionen för att komma fram till att en kvadrat är ett specialfall av en rektangel, så får eleverna en djupare förståelse än om eleverna förklarar en rektangel med att ”det är en sådan där avlång sak”.

Den förståelse som eleverna får genom att arbeta med denna typ av pedagogiska definitioner är i många avseenden viktig för deras förmåga att lösa problem. När eleverna har vant sig vid definitionerna och löst olika typer av problem med hjälp av dem har de lättare att ta till sig de formella definitioner som behövs när eleverna ska utföra strikta bevis.

Medan Tall och Vinner menar att kopplingar mellan begreppsbilden och den formella definitionen hjälper studenter på universitet och högskola att lösa problem menar jag att man på gymnasiet ska vänta med att lära ut de formella definitionerna och istället ge elever pedagogiska definitioner som är mer anpassade för problemlösning i gymnasiekurserna. De formella definitionerna kan läras ut i ett senare skede, om de till exempel behövs för bevisföring. Genom de pedagogiska definitionerna arbetar man med att bygga upp begreppsbilden för att eleverna senare ska kunna förstå en formell definition.

28 Tall & Vinner (1981)29 Fritt efter Tall & Vinner (1981)30 För en förklaring av extensionella och intensionella definitioner, se sidan 6

9

En begreppsdefinition kan också vara en personlig rekonstruktion av en vedertagen definition. Den är i så fall de ord som eleven använder som förklaring av sin begreppsbild och kan variera från tid till tid. Det är en bra övning att låta eleverna skriva ner egna definitioner för de begrepp som de arbetar med – det blir ett sätt att synliggöra elevernas begreppsuppfattning. Tall och Vinner skriver att den personliga begreppsdefinitionen i regel skiljer sig från den formella begreppsdefinitionen, som är accepterad av matematiker i stort.3132

2.1.2.3 DiskussionJag anser att det är viktigt att försöka ge eleverna olika pedagogiska definitioner, både intensionella definitioner genom att förklara ett begrepps mening och extensionella definitioner genom att ge exempel på hur begrepp används. Jag tycker inte att definitionerna behöver vara formellt korrekta utan det viktiga är att man anpassar innehållet efter den nivå man är på. Den stora nackdelen med att försöka lära eleverna formella definitioner, innan de är redo för det, är att man kan få de problem som visas i exemplet på sidan 8.

Eftersom det sker en begreppsförskjutning under individens skolgång måste man som lärare vara medveten om att de begrepp som eleven har med sig inte alltid är anpassade för den nivå där man själv undervisar. Genom att vara medveten om och diskutera detta med eleverna kan läraren underlätta övergången. Det är min uppgift, som gymnasielärare, att se till att de begreppsbilder som eleverna har är anpassade efter gymnasiekurserna. Lärarna i grundskolan kan inte i förväg ge eleverna en begreppsbild som är anpassad till en matematik de ska lära sig om flera år utan det är deras uppgift att ge eleverna så bra begreppsbilder som möjligt, utan direkta felaktigheter och försvårande bilder, utifrån grundskolematematiken.

På samma sätt som det inte är grundskolelärarens uppgift att ge eleverna begrepp för gymnasienivå är det inte heller gymnasielärarens uppgift att anpassa begreppsinlärningen till universitetet. Min uppgift som gymnasielärare är att ge eleverna så bra kunskaper som möjligt på den nivå där jag undervisar och överlåta ansvaret för universitetsmatematiken till de lärare som arbetar på universitetet. Det innebär att lärarna på universitetet måste vara medvetna om att de begreppsbilder som studenterna har med sig inte alltid passar deras kurser och ta hänsyn till detta.

2.1.3 Hur jag har arbetat med begreppsbilder och begreppsdefinitionerEfter att jag hade läst om intension, extension och vad ett begrepp är och dessutom fått ta del av Tall och Vinners uppdelning mellan begreppsbild och begreppsdefinition började jag arbeta på ett annat sätt. Jag var mycket mer medveten om elevernas begreppsbilder och försökte ge eleverna korrekta förklaringar och bilder att använda när de löste uppgifter.

2.1.3.1 Olika sätt att introducera begreppFör att eleverna ska förstå de matematiska begreppen har jag försökt att alltid introducera nya ord genom att först förklara ordens innebörd på olika sätt:

• Ge orden en historisk förankring

Descartes uppfann koordinatsystemet på 1600-talet. Eftersom Descartes motsvaras av Cartesius på latin pratar man även om kartesiska koordinater.

• Skilja mellan ordens betydelse i vardag och matematik

Vad betyder ordet funktion i vardagen? Vad betyder det i matematiken?33

31 Tall & Vinner skiljer inte mellan formella definitioner och andra slags vedertagna definitioner.32 Tall & Vinner (1981)33 Här kan man också dra en parallell till ordet function på engelska, är det någon skillnad på ordens mening?

10

• Förklara varför orden har de namn som de har och ge dem en språklig koppling

Det heter exponentialfunktion för att det är en funktion som har variabeln i exponenten. Procent kommer från pro centum som betyder för varje hundra, det vill säga hundradel. På engelska heter det per cent eller percent.

• Ge definitioner till olika begrepp

En rektangel är en fyrhörning med endast räta hörn

• Ge konkreta bilder

• Diskutera hur olika begrepp används med eleverna

Vilket är det minsta talet? Hur många siffror finns det?

Genom att prata om begrepp på det här sättet arbetar man med ordens intension. När man sedan ger olika exempel och låter eleverna lösa uppgifter där orden används, arbetar man med ordens extension. Båda delarna behövs för att bygga upp elevernas begreppsbilder.

2.1.3.2 En lektion om funktionerFrån tidigare gånger då jag arbetat med B-kursen visste jag att funktionsbegreppet är svårt att förstå, det är kanske det mest komplexa begreppet i gymnasiematematiken. Jag tänkte att problemet varit att jag pratat för lite om begreppet och förberedde därför en lektion som bara skulle handla om vad en funktion är. Under hösten 2008 introducerade jag funktioner i Matematik B genom en föreläsning som jag här beskriver kortfattat:

Ett sätt att definiera en funktion är att prata om funktionsmaskinen: om man stoppar in ett värde så får man ut ett annat. I funktionen finns en regel eller en formel som gör något med de värden som man stoppar in.

11

Rektangel

En funktion kan även vara en graf eller en tabell:34

Eftersom grafen är en rät linje så säger man att funktionen är linjär. Jag ritade upp några olika typer av funktioner på tavlan och pratade om hur man kan se i en graf att det är en funktion man har. Att ett x-värde inte får vara kopplat till två olika y-värden. Vilket x-värde man än stoppar in i funktions- maskinen så får man alltid ut exakt ett y-värde.

Jag hade först lektionen i en grupp med elever från handelsprogrammet där det gick ganska bra men när jag senare använde lektionen i min samhällsgrupp gick det sämre, några tongivande elever förstod/lyssnade inte och sedan hade de svårt att lösa uppgifterna i boken.35 Jag fick snabbt revidera upplägget för samhällsgruppen, jag bytte ut böcker och gjorde om planeringen för ett antal elever. Det var inte läge att experimentera för mycket med matematikinnehållet, eleverna var alltför skeptiska. Jag använde istället de metoder som jag var säker på i samhällsgruppen och använde handelsgruppen till experimenterandet.

2.1.4 DiskussionOm begreppen är enkla och lätta att förstå går det bra att introducera dem genom att arbeta med begreppens mening och referens på de sätt som jag beskriver i 2.1.3.1. Funktionsbegreppet däremot är så komplicerat och innehåller så många olika delar att man inte kan introducera hela begreppet på en gång. Eleverna kan inte ta till sig informationen vid ett tillfälle. Läraren måste ha en strategi där hon arbetar med lite i taget så att eleverna ändå efter ett tag får en sammanhängande bild. En sådan strategi måste byggas på kunskap om hur elevernas begrepp utvecklas.

2.2 Begreppens utvecklingEfter att jag hade förstått vad ett begrepp är och läst om och arbetat med elevernas begreppsbilder insåg jag att för att lyckas måste jag planera undervisningen utifrån kunskap om hur elevernas matematikkunskap och särskilt deras begreppsbilder utvecklas. Jag kunde inte förutsätta att bara för att jag har förstått begreppen så skulle eleverna anamma mina bilder när jag berättade om dem. Därför läste jag Jan Thompsons teori om hur man kan gå från det konkreta till det abstrakta och Tall och Vinners teori om begreppsutvecklingens fyra faser.Frågeställningarna som jag vill ha svar på i detta avsnitt är:

• Hur planerar man undervisningen utifrån kunskap om hur eleverna lär sig matematik?

• Hur går elevernas begreppsutveckling till?

• Hur kan man få kunskap om vilka begreppsbilder eleverna har med sig?

34 Ett misstag jag gör är att jag inte förklarar hur funktionsmaskinen hänger ihop med graf och tabell.35 Jag hade olika böcker i de båda grupperna. I samhällsgruppen användes en bok som var inriktad på att eleverna skulle läsa vidare till C-kursen medan eleverna i handelsgruppen hade olika böcker, beroende på ambitionsnivå.

12

2.2.1 Gå från det konkreta till det abstrakta.Jan Thompson har skrivit boken Matematiken i historien där han först beskriver stora delar av den matematiska historien och sedan för fram teorier om matematikinlärning, som han menar ska utgå från hur matematiken har utvecklats historiskt. Thompson utgår från intentionalitet som är det som ger mening åt upplevelsen av ett begrepp. Intentionaliteten kan variera beroende på person och tid. Bråket ¾ kan till exempel uppfattas på minst två olika sätt:

1) Upplevelsen kan riktas mot objektet 3 fjärdedelar. Då kan meningen av upplevelsen bestå i föreställningen att dela t.ex. en kaka i fyra delar och ta tre av dem, vilket kan visualiseras i en bild:

2) Upplevelsen kan också riktas mot symbolen 0,75. Då kan meningen av upplevelsen bestå i symbolföljden 0 , 7 5. Man kan också tänka sig att meningen består i 75 hundradelar.36

Intentionaliteten i 2 förutsätter att personen i fråga har en symbolisk färdighet (till exempel en förmåga att hantera tal av typen 0,75). Annars blir upplevelsen tom.37

Man kan skilja på en genetisk och en strukturell metod. En genetisk metod grundar sig bland annat på en koppling mellan matematik och det svenska språket medan en strukturell metod bygger på matematiska lagar och ett mer formellt språk. Till exempel kan man demonstrera att 3 * ¾ = 9/4 med de olika metoderna.

Genetisk metod: 4/33 ⋅ = 3 gånger 3 fjärdedelar = 9 fjärdedelar = 4/9

Strukturell metod: 4/33 ⋅ = )4/3()1/3( ⋅ = )41/()33( ⋅⋅ = 4/9

Thompson menar att matematisk didaktik till en början ska avstå från ett strukturellt grepp.38

Thompson skriver också att 3 + 4 = 7 inte är själva operationen addition utan endast den symboliska beskrivningen av additionen. Själva operationen är föreställningen om en handling, till exempel att föra ihop tre klossar och fyra klossar. I skolan intresserar man sig mycket för den symboliska beskrivningen och kontrollerar inte om symbolerna betyder något för eleverna. Därför händer det då och då att man på gymnasiet får elever som blandar ihop multiplikation och addition.39

Ett exempel på en sådan felräkning är när Lisa räknade ut att 18109 =⋅ , en uträkning som innehåller två fel. Hon blandade dels ihop multiplikation och addition och dels räknade hon fel när hon fick 9 + 10 = 18.

Om vi fortsätter att diskutera additionen så handlar det om tre nivåer:1) Handlingen addition som består i att faktiskt föra samman tre och fyra klossar.

36 Thompson (1996): 45237 Thompson (1996): 45338 Thompson (1996): 45339 Thompson (1996): 453

13

2) Operationen som vi faktiskt kan kalla addition. Den äger rum i tanken och består av föreställningen av handlingen i nivå 1.

3) Den symboliska skrivningen av additionen:40

3 + 4 = 7

Additionen som tankeoperation ligger på nivå 2 och förståelsen av begreppet addition utgår från handlingen i nivå 2 och alltså inte från den symboliska beskrivningen av handlingen, nivå 3. Ett misstag som görs i elementär matematikundervisning är att man koncentrerar intresset till nivå 3, det vill säga till den symboliska skrivningen av operationen.

När eleven förväntas ta det kognitiva språnget mellan nivå 2 och 3 måste läraren vara medveten om svårigheterna och kontrollera att eleven är med. För att underlätta övergåendet mellan nivå 2 och 3 kan man dela upp nivå 2 och skriva retoriskt:

2a) Tre klossar och fyra klossar är tillsammans sju klossar.

2b) 3 klossar + 4 klossar = 7 klossar

2c) 3k. + 4k. = 7k. (k. är en förkortning av klossar)41 Därefter följer nivå 3 som är en symbolisk nivå. Från 2c kan man också gå över till nivå 4 som är:

4) Symbolisk beskrivning med algebra 3x + 4x = 7x

Thompson skriver att svårigheterna för eleverna att förstå algebra kanske skulle minska om eleverna har arbetat med nivåerna 2a – 2c.42

2.2.2 Begreppsutvecklingens fyra faserEnligt David Tall och Shlomo Vinner sker begreppsinlärning i fyra faser:

A Vi träffar på och använder begreppen, utan att vi har definierat dem formellt.

B Vi generaliserar erfarenheten och skapar oss mentala bilder av objekten som hjälper oss i problemlösning.

C Vi använder bilderna i olika sammanhang och löser olika problem.

D Begreppet preciseras. Vi får kanske ett namn eller en symbol som gör att vi kan kommunicera med varandra. Eventuellt får begreppet också en formell definition.43

Detta kan vi använda oss av när vi planerar undervisning kring begrepp. Jag har gjort om Tall och Vinners fyra faser till fyra motsvarande faser som handlar om undervisning:

A* Vilken erfarenhet av begreppet har eleverna med sig?

B* Skapa en samlad bild av begreppet. Komplettera elevernas erfarenhet med något som är nytt för det avsnitt vi ska jobba med just nu. Prata om begreppets betydelse och ge exempel på hur man kan använda begreppet.

C* Låt eleverna använda begreppet i olika sammanhang och lösa olika typer av problem.

D* Precisera begreppet på olika sätt. Man kan ta fram frågeställningar som eleverna får diskutera, Man kan lyfta fram nya, mer abstrakta sidor, av begreppet och eventuellt ge en formell definition.

Här ser man att det är viktigt att inte definiera de matematiska begreppen formellt innan eleven har använt begreppen för att lösa problem.

40 Thompson (1996): 453-45441 Thompson (1996): 45442 Thompson (1996): 45443 Tall & Vinner (1981)

14

Man kan också tänka sig att man har en spiral: Först får eleven lära sig en del enkla aspekter av ett begrepp. Sedan får hon lösa enkla problem som tränar detta. Sedan kan hon gå vidare i sin utveckling och förstå mer komplexa aspekter av begreppet, som finns längre in i spiralen, och lösa mer komplexa problem. Efter detta kanske eleven är mogen att förstå en formell definition innan hon slutligen löser problem där den formella definitionen behövs.

2.2.3 Hur jag har arbetat med att gå från det konkreta till det abstraktaEfter att jag hade läst Thompsons teori om hur man ska gå från det konkreta till det abstrakta och dessutom tagit till mig Tall och Vinners fyra faser som begreppsinlärningen följer så började jag planera lektionerna på ett något annorlunda sätt. Jag började med att förändra genomgångarna genom att dela upp dem i grundläggande genomgångar och preciseringar.

2.2.3.1 Hur jag har arbetat med inledande genomgångarTidigare har jag inte tänkt på att gå från det konkreta till det abstrakta på det sätt som Thompson beskriver. Jag har ofta börjat på den strukturella nivån, nivå 3, utan att tänka på det. Därför är det inte konstigt att Oskar för några år sedan kommenterade en genomgång inom området bråk med: ”Det hade varit lättare att förstå om du hade förklarat med bilder”. Jag vände mig om och såg en hel tavla full av olika beräkningar som denna:

4/12/1 + = 4/1)22/()12( +⋅⋅ = 4/14/2 + = 4/3

Istället kunde jag ha börjat med ett mer konkret problem, till exempel:Först äter du en halv pizza. Efter denna tar du en fjärdedels pizza. Hur stor del av en pizza har du ätit om du lägger ihop delarna?

När vi löser problemet kan vi utgå från Thompsons tre nivåer:

1) Börja med konkreta bilder av problemet.

2) Utföra additionen i tanken och prata/skriva retoriskt

Visa hur man kan pussla ihop de två delarna och att detta är samma sak som två fjärdedelars pizza plus en fjärdedels pizza:

3) Sedan när man har diskuterat sig fram till lösningen kan man gå över till den symboliska nivån.

4/12/1 + = 4/1)22/()12( +⋅⋅ = 4/14/2 + = 4/3

Ett annat misstag som jag tidigare har gjort är att jag har blandat grundläggande kunskaper om

15

begrepp med mer komplexa aspekter av begreppen i genomgångar, innan eleverna hade arbetat med begreppen. Efter att ha läst om Tall och Vinners faser börjar jag istället ett nytt område med att gå igenom begreppens grunder, på det sätt som jag tidigare har beskrivit.44 Sedan ger jag några exempel på hur begreppen används. Efter detta får eleverna arbeta med olika typer av uppgifter. På slutet av lektionen eller i början av nästa lektion kommer sedan preciseringen.

Det omedelbara resultatet av att jag börjat arbeta på det här sättet är att det är färre elever som klagar över genomgångarna. Tidigare var det vanligt att eleverna sa: ”Du ska väl inte ha genomgång idag?” Det har de slutat med nu. Dessutom har jag själv blivit mycket mer säker på att genomgångarna är viktiga. Tillsammans gör detta att både jag och eleverna tar lektionerna mer på allvar och det är lugnare i klassrummet.

2.2.3.2 Hur jag har arbetat med precisering av begrepp Efter att eleverna har arbetat med uppgifter inom det nya området är det så dags för precisering. Jag har använt olika sätt att precisera begreppen på. Ibland har jag avslutat lektionerna genom att gå igenom vissa problem tillsammans i klassen. Ibland har jag också gått igenom någon ny aspekt hos begreppet, i slutet av lektionen eller i början av nästa lektion. Flera gånger har jag också försökt få eleverna att diskutera vissa frågeställningar.

Diskussioner i grupp och i helklass

De elever som jag har är vana vid att använda begrepp passivt, de lyssnar på mig och läser uppgifter som de ska lösa. Ändå är det när eleverna använder begreppen aktivt, när de skriver och pratar, som man som lärare har störst chans att upptäcka deras begreppsbilder. Därför är det viktigt att man planerar undervisningen på ett sätt som gör att eleverna får prata och skriva matematik. Ett sätt att göra detta är att genom diskussioner ge eleverna en chans att utveckla sin förståelse och sitt matematiska språk.

För att man ska få en bra diskussion krävs rätt slags diskussionsämne.45 Det får gärna vara något som knyter an till något vardagligt eller icke-matematiskt. Ämnen som jag har låtit klasserna diskutera i A-kursen är ”Kan man måla en area?” och ”Är det bra att använda formeln för BMI?”. I B-kursen är det svårare att hitta denna typ av frågeställningar. En fråga som vi har diskuterat är om det finns ekvationssystem som saknar lösning. Jag hade tidigare sagt att ett ekvationssystem kan ses som två räta linjer som möts och att man ska ta reda på var de möts. När vi diskuterade upptäckte vi att det är en felaktig beskrivning. Eftersom det finns ekvationssystem som saknar lösning behöver linjerna i ekvationssystemet inte mötas. Detta är ett exempel på att man genom diskussioner får en chans att rätta till om man sagt något felaktigt, utan att tänka på det, eller om eleverna på annat sätt fått en skev begreppsbild.

Om man fortsätter med att diskutera om det finns ekvationssystem med fler än en lösning kan man, genom att rita, upptäcka att bilden av ett ekvationssystem som två linjer är ett specialfall. Eleverna kan mycket väl tänka sig att korsa en linje med en böjd kurva.

Diskussionsämnet måste vara sådant att man kan komma fram till olika ställningstaganden. Elever ser ofta svaret som självklart och inget som behöver diskuteras. Om eleverna inte hittar olika aspekter själva krävs det att man som lärare ställer frågor och utmanar i diskussionen. Om man som lärare vill engagera eleverna i diskussionerna är det också bra att inte ställa frågorna rätt ut i klassrummet, då får man korthuggna svar. Det är bättre att först låta eleverna diskutera med grannar eller i smågrupper.

44 I avsnitt 2.1.3.145 Det är inte lika lätt att hitta diskussionsämnen inom matematik som inom etikområdet i filosofi

16

Grupparbeten

För att få eleverna att prata med varandra så kan man ge dem gruppuppgifter av olika slag. I grupparbetena får de diskutera med varandra och på det sättet utveckla sina begreppsbilder. Ett exempel på en enkel gruppövning som jag har använt är när jag i slutet av avsnittet om funktioner gav eleverna i uppgift att tillsammans gå igenom ett gammalt prov på räta linjen och se till att alla i gruppen skulle förstå problemen och hur man löste dem.46 Detta var en övning som gjorde att jag fick syn på elevernas bristande kunskaper och bristerna i min egen undervisning. Genom att lyssna på eleverna upptäckte jag att:

• eleverna hade stora svårigheter med att förstå lutning.

• elevernas bristande förståelse av negativa tal och tallinjen ställde till det för dem när de skulle hantera funktioner, de förstod inte koordinatsystemet.

• eleverna behövde bli bättre på att förstå funktionsbegreppet och hantera övergången mellan formel, tabell och graf

Vid ett tillfälle fick jag gå in i en grupp för att försöka förklara för Elisabet när k-värdet blir positivt och när det blir negativt:

E (Elisabet): Men det kan ju inte bli positivt när det är här borta (hon pekar på vänster sida om y-axeln).

L (Lotta): Men k-värdet handlar inte om var i koordinatsystemet man är, bara om linjen går uppåt eller nedåt.

E: Men om man kommer från det här hållet (hon drar med fingret längs med linjen från höger till vänster) då går ju linjen nedåt.

L: Det är precis som när man läser. Man går från vänster till höger (jag drar med fingret längs med linjen från vänster till höger).

E: Jag fattar ingenting. Du kan ju inte förklara.

Misstaget jag hade gjort, var att förutsätta att eleverna hade förkunskaperna. Jag hade satsat energin på att fokusera på riktningskoefficienten som ett begrepp. I det här fallet hjälpte det inte Elisabet eftersom hon inte förstod koordinatsystemet och hur man ritar grafer. Jag hade ägnat för lite tid åt funktioner i A-kursen och för lite tid till att gå från det konkreta till det abstrakta.

2.2.4 DiskussionGenom att planera lektionerna utifrån Tall och Vinners fyra faser och planera genomgångarna utifrån Thompsons fyra nivåer fick jag en undervisning som följde elevernas begreppsinlärning. På detta sätt blev både jag och eleverna mer nöjda med lektionerna och det blev lättare för eleverna att hänga med.

Genom att jag arbetade med diskussioner och grupparbeten som ett sätt att precisera elevernas kunskap och få eleverna att prata om sina begreppsbilder hittade jag flera brister, både i elevernas begreppsuppfattning och i min egen undervisning. Utifrån den kunskapen beslöt jag att jag i framtiden ska fokusera mer på följande i A-kursen:

• Arbeta mer med negativa tal och tallinjen.

• Arbeta mer med funktionsbegreppet och att gå mellan formel, tabell och graf. Min hypotes, som växt fram under projektets gång, är att de elever som har problem med k-värdet måste rita fler grafer för hand, med hjälp av tabell, för att senare kunna förstå hur k-värdet innebär att om man går ett steg till höger på x-axeln så ökar y-värdet med k.

46 Jag satte ihop grupperna så att det skulle vara en viss, men inte alltför stor, spridning i varje grupp.

17

Jag insåg under dessa övningar hur viktigt det är att få eleverna att använda begreppen aktivt. Därför ville jag fortsätta att utveckla mina arbetssätt för att låta eleverna diskutera, genom att studera hur man i språkundervisning arbetar med begreppsinlärning.

2.3 Matematik och språkinlärningEn av tankarna med projektet var att jag skulle samarbeta med språklärare för att se hur de arbetar med begreppsinlärning. Jag diskuterade med en lärare som arbetade med svenska som andraspråk och insåg att man inom svenska som andraspråk arbetar mer med medveten begreppsundervisning än i annan språkundervisning. Jag beslöt mig därför för att göra ett studiebesök i hennes klass för att försöka få svar på följande frågeställningar:

• Hur stora är likheterna mellan matematik och svenska som andraspråk?

• Hur arbetar man med begreppsinlärning inom svenska som andraspråk?

• Hur kan man inom matematikundervisning använda sig av detta arbetssätt?

2.3.1 En jämförelse mellan matematik och svenska som andraspråk En förmiddag följde jag med en grupp invandrarelever i högstadieåldern på deras svensklektion. Barnen kom från i stort sett hela världen; Somalia, Irak, Ryssland och Uzbekistan. En del hade alldeles nyss kommit in i gruppen och kunde inte så mycket svenska medan andra hade varit med längre. Förkunskaperna varierade från elev till elev, en del hade inte gått i skola tidigare och kunde inte bokstäverna.

Innan studiebesöket hade jag läst Pauline Gibbons bok Stärk språket Stärk lärandet – Språk- och kunskapsutvecklande arbetssätt för och med andraspråkselever i klassrummet. Utifrån besöket och denna bok har jag kommit fram till att det finns följande likheter mellan matematik och svenska som andraspråk:

• Eleverna som läser svenska som andraspråk använder svenskan mindre naturligt än de använder sitt modersmål eftersom de har lärt sig att använda sitt modersmål i många fler sammanhang än de använder svenska. De läser svenska som ett främmande språk.47

På samma sätt är det med de elever som jag har i matematik. Få av eleverna får de matematiska orden med sig hemifrån. De vardagliga ord som används hemma skiljer sig från de vetenskapliga ord som används inom matematiken. Hemma använder man kanske fyrkant för i stort sett samma begrepp som man inom matematiken kallar kvadrat.

• När man går igenom vad nya ord betyder använder man sig av i stort sett samma metoder i språkundervisning som i matematik. Man förklarar betydelsen, översätter ord (i svenska som andraspråk kan man översätta till elevernas hemspråk medan man i matematiken försöker översätta till ett mer vardagligt språk) och försöker sedan få eleverna att använda orden i olika sammanhang. Genomgångar följs upp av diskussioner och övningar där eleverna får fortsätta att bearbeta kunskapsinnehållet.

De elever som jag följde med arbetade på detta sätt genom att de först fick se ett teveprogram, Tillbaka till vintergatan. Sedan gick de igenom solsystemet innan de slutligen pratade om rymden.

Man skulle kunna invända att de som läser svenska som andraspråk inte lär sig några nya begrepp. De översätter endast ord från sitt eget språk till svenska. Jag märkte dock under den korta tid som jag var där att invandrareleverna hade en helt annan världsbild än infödda svenskar. Ett exempel på detta är när vi gick igenom planetsystemet med solen och alla planeterna som snurrade runt. Det visade sig senare, i diskussionen, att eleverna inte hade förstått. De visste inte vad rymden var för

47 Gibbons (2006): 22

18

något. En elev frågade i vilket land solen låg.

Det handlar alltså i hög grad om begreppsinlärning, inte bara om översättning, eftersom andraspråkseleverna ska förstå hela vår svenska världsbild medan de lär sig språket. Jag tror att det är detta som är den stora skillnaden mellan svenska som andraspråk och annan språkundervisning. På samma sätt ska elever som läser matematik tillägna sig den matematiska världsbilden.

Det finns också skillnader mellan matematik och svenska som andraspråk:

• Svenskan används i nästan alla skolämnen. De ord vi använder på matematiklektionerna är till exempel svenska ord för de matematiska begreppen. Gibbons menar att elever med svenska som andraspråk behöver träna svenskan i alla ämnen de läser. Det betyder att alla lärare som har elever med svenska som andraspråk behöver vara medveten om hur eleverna ska lära sig svenska. Andraspråkselever behöver få en undervisning där språket ständigt är i fokus.48

Matematiken har inte en lika central roll i skolan. Även om matematiken kan användas som verktyg i många sammanhang så gör den inte det, de matematiska begreppen tränas nästan bara på matematiklektionerna.49

• I matematikundervisningen har vi ändå fördelen att kunna använda det svenska vardagsspråket när vi förklarar, vi kan prata om orden. De invandrarelever som jag träffade behövde antingen få orden översatta till sitt hemspråk eller få dem förklarade med hjälp av konkret material.

Slutsatsen jag drar är att det finns så mycket likheter mellan matematik och svenska som andraspråk att det är värt att studera de metoder som man använder inom svenska som andraspråk och se om man kan använda dem inom matematikundervisningen.

2.3.2 Hur man kan undervisa så att eleverna lär sig att använda begreppGibbons menar att det är viktigt hur man planerar samtalen i klassrummet. Vanligtvis är det läraren som pratar mest på lektionerna och ställer frågor som endast kräver korta svar av eleverna. Detta leder till att eleverna inte tränas i att prata och använda språket på lektionerna.50 Gibbons menar att det talade språket är en viktig bro till det kunskapsrelaterade språket som de möter i skolan. Med det menar hon att genom att eleverna får uttrycka sina tankar högt får de en chans till att formulera sig och förtydliga sig på ett sätt som utvecklar deras språk, från att vara vardagligt till att bli mer anpassat till de kunskapsområden som tas upp i skolan. Ett sätt att få eleverna att prata mer är att planera grupparbeten så att de blir effektiva.51

2.3.2.1 Effektiva grupparbetenGrupparbeten som planeras noga har flera positiva effekter på inlärningen. Bland annat får eleverna höra språket talas av fler än läraren, eleverna känner ett större ansvar för att göra sig förstådda och det eleverna hör och lär sig ingår i ett sammanhang.52

Ett bra grupparbete kan ha följande struktur:

48 Gibbons (2006): 2349 Det bästa för matematikundervisningen vore såklart om fler lärare än matematiklärare hade kunskap om de matematiska begreppen och använde dem korrekt i sin undervisning.50 I matematik betyder detta att eleverna endast hör, läser om och skriver de matematiska begreppen. De tvingas inte till att prata om och på så sätt utveckla sin språkliga färdighet.51 Gibbons (2006): 3552 Gibbons (2006): 39

19

1) Eleverna får arbeta med experiment, eller problem, i små grupper. De olika smågrupperna får olika problem inom samma område, varje grupp har information som de andra grupperna saknar. Detta leder till att redovisningen för de andra grupperna blir viktigare. Språket i grupparbetena kommer att vara kopplat till situationen där eleverna befinner sig och det som händer framför dem. Läraren går runt och uppmanar eleverna att försöka beskriva det de ser.53

2) Läraren introducerar olika nyckelord i helklass. Detta gör hon först efter grupparbetet för att eleverna först ska få tala om det som de är med om med egna ord.54

3) Lärarstödd redovisning i helklass. En elev väljs ut från varje grupp för att berätta om grupparbetet för resten av klassen. Läraren är med och stöttar och ställer frågor på ett sätt som gör att eleven får god tid till att berätta och förtydliga. Exempel på lärarkommentarer: ”Försök berätta vad du har lärt dig.” ”Det var bra berättat tycker jag. Har du något du vill tillägga?” ”Lyssna nu ... nu ska Hanna förklara en gång till.” På slutet kan läraren hjälpa till och förtydliga det som har sagts. Det är viktigt att eleverna får god tid på sig att berätta. Det är eleverna som ska vara experter.55

Redovisningen ger eleverna möjlighet att producera längre yttranden som påminner mer om skriftspråket än det språk som används i gruppdiskussionerna. Mot slutet av redovisningarna ställer läraren frågor som ”Vad har de här problemen gemensamt?”. När eleverna svarar på denna fråga måste de formulera en slutsats. Den lärarstödda redovisningen fungerar därför som en bro mellan vardagsspråket och det vetenskapliga språket.56

4) Varje elev skriver ner det de har gjort, individuellt, i en loggbok och sedan i en eventuell rapport.

I Gibbons studie visar språket i rapporterna att eleverna har påverkats av samtalet med läraren. Det har skett en språklig utveckling där det praktiska arbetet i grupparbetena har hjälpt till att göra språket mer begripligt. Det är viktigt att eleverna först får bekanta sig med fenomenet innan de lär sig orden för det. Det gör att de har lättare för att ta till sig de nya orden.57

2.3.2.2 Hur jag har arbetat med effektiva grupparbetenVårterminen 2010 skulle jag introducera funktionsbegreppet i en klass på estetiska programmet, som läste matematik A. Jag planerade då ett grupparbete enligt en del av Gibbons teori om effektiva grupparbeten. Syftet var att de dels skulle förstå vad en funktion var och dels rita grafer till funktionerna, med rätt sak på rätt axel.

Lektion 1

Jag började, i slutet av en lektion, med att rita upp några exempel på olika beroendesamband på tavlan. Här syns grafen till sambandet:

Hur brun jag är beror på hur länge jag har varit i solen.Eleverna fick sedan i läxa att komma på ett exempel på något som var beroende av något annat.

53 Gibbons (2006): 69-7254 Gibbons (2006): 7255 Gibbons (2006): 73-7556 Gibbons (2006): 75-7657 Gibbons (2006): 76-78

20

21

Lektion 2: Introduktion av funktionsbegreppet

Eleverna delades in i grupper med 3-4 elever i varje grupp. Grupperna skulle skriva ner några exempel på saker som var beroende av något annat och sedan rita grafer till detta. Det tog ett litet tag innan grupperna kom igång men sedan blev det en febril aktivitet och mycket fniss i en del grupper.

När diskussionerna började avta, avbröt jag diskussionerna och introducerade begreppet funktion:

Jag pratade också om vad som skulle vara på vilken axel i koordinatsystemet.

Efter denna korta genomgång fick en elev i varje grupp rita och berätta om ett exempel på tavlan. Tavlan fylldes av grafer med elevernas egna exempel som var mycket mer kreativa än de som jag som lärare brukar hitta på:

Hur många kycklingar som dör är en funktion av hur mycket kyckling människor äter.Hur tjock en gravid kvinna är är en funktion av hur gammalt fostret är.Hur snäll man är är en funktion av hur många pepparkakor man ätit.Hur lycklig man är är en funktion av när på året det är.Hur hög telefonräkningen är är en funktion av hur många minuter man har pratat.

Under grupparbetena hade eleverna sagt beror av. Nu i genomgången sa de är en funktion av. Alla grupper hade också rätt sak på rätt axel. Övningen tog ca 40 minuter, vilket var mer än jag hade beräknat, men eleverna förstod vad funktioner är och hur man ritar grafer till dem. Efter lektionen sa dessutom en av eleverna, Emma, att ”Idag var det roligt”. Jag höll med henne – det kändes verkligen som en lyckad lektion.

2.3.2.3 Andra övningar som stimulerar språkinlärningenGibbons ger också exempel på uppgifter man kan använda i klassrummet för att stimulera språkinlärningen. Två av dem, som jag har anpassat till att handla om matematik, tar jag upp här:

Beskriv och rita

En elev ritar en figur på ett papper utan att kompisarna ser. Samtidigt beskriver eleven för de andra vad hon gör och hur de ska rita för att få en likadan figur.

”Rita en stor cirkel mitt på papperet.”

”Rita en liten triangel ovanpå så att den snuddar cirkeln.”

”Under cirkeln ritar du en rektangel som är lika bred som cirkeln.”

”Till vänster om triangeln ritar du...”

Man kan också tänka sig att man ger en person i en grupp en bild av en geometrisk figur eller en graf i ett koordinatsystem som denna sedan ska beskriva för de andra så noggrannt som möjligt så att de kan rita ner den på sitt papper.58

58 Fritt efter Gibbons (2006): 148-149

22

Vardagsspråk: Hur brun jag är beror av hur länge jag har varit i solen.

Matematikspråk: Hur brun jag är, är en funktion av hur länge jag har varit i solen.

Pardiktamen

Gör luckor i ett antal meningar, men gör två versioner med luckorna på olika ställen. Ändra också ordningen på meningarna i version 2. Eleverna får jobba i par och får var sin version. De läser meningarna högt för varandra, försöker hitta de meningar som ska hänga ihop, och fyller i luckorna.

Exempel med några olika fyrhörningar:

Version 1

En fyrhörning med lika långa sidor ....................................... .

..................................................... är en kvadrat.

Ett annat ord för en rätvinkling är …………………………. .

……………………………......... är en kvadrat.

Version 2

………………………………………….. rektangel.

En rektangel med lika långa sidor ………………………. .

En romb med räta vinklar ...................................... .

............................................................... kallas för en romb.59

2.3.3 DiskussionGenom att läsa Gibbons bok har jag fått inspiration till att planera övningar som låter eleverna prata och använda språket. Genom sådana övningar stärks elevernas begreppsuppfattning och jag som lärare ser elevernas begreppsbilder. Den inledande övningen om funktioner tog längre tid än jag hade räknat med men eleverna fick på denna tid en bra grundläggande uppfattning om vad en funktion är. Dessutom hade vi roligt på en matematiklektion. När man kan arbeta med matematik och både lärare och elever tycker att det är roligt - då känns det bra.

Jag blev förvånad över hur effektivt det här arbetssättet var och att det faktiskt fungerade. När jag tidigare har planerat övningar har det ibland fungerat bra och ibland mindre bra och ofta har jag behövt testa en övning flera gånger och ändra småsaker i den för att få den att fungera. Nu fungerade det med en gång. Kanske berodde det på att jag hade en bra förståelse för varför det här arbetssättet var bra och vad som var syftet med grupparbetet.

Nu hade jag, i projektet, först fått mer kunskap om hur jag skulle planera genomgångar.60 Jag visste också hur jag skulle precisera begreppsuppfattningen när eleverna har arbetat ett tag genom att bland annat få eleverna att diskutera begrepp och därmed utveckla sitt matematiska språk.

Nästa steg blev att göra bra uppgifter åt eleverna att arbeta med. Under höstterminen 2008 lät jag eleverna räkna uppgifter i matematikböcker när de skulle arbeta med funktioner. I stort sett alla uppgifter gick ut på att man skulle hitta eller beräkna olika saker och det gällde för eleverna att hitta rätt metod. Böckerna innehöll få problemlösningsuppgifter och få begreppstränande uppgifter. En av anledningarna till att jag inte lyckades så bra denna höst var att även om vi i klassen pratade om begrepp, så var inte uppgifterna som eleverna arbetade med anpassade till det som vi hade pratat om.

59 Fritt efter Gibbons (2006): 15160 I avsnitt 2.1 och 2.2

23

2.4 FunktionsbegreppetFör att kunna ta fram uppgifter som tränar funktionsbegreppet måste jag först ha en förståelse för vad det är eleverna ska lära sig om funktioner och ungefär i vilken ordning. För att få denna förståelse läste jag Nämnaren Tema – algebra för alla och jämförde det som stod där med den erfarenhet som jag fått när jag arbetade med funktioner under hösten 2008. Utifrån detta tog jag sedan fram uppgifter åt eleverna. Planeringen utgår från kursen Matematik A och genomfördes under vårterminen 2010. På slutet tar jag även upp några aspekter av funktioner som är specifika för B-kursen.Frågeställningarna i detta avsnitt är:

• Vad ska eleverna kunna om funktioner?

• Hur får man uppgifter som är anpassade efter att eleverna ska förstå funktionsbegreppet?

2.4.1 Vad är en funktion?Funktioner används ofta för att studera samband mellan olika storheter. Det kan vara hur temperaturen på en plats varierar med tiden. Den ena storheten, temperaturen, bestäms av vilket värde man ger den andra storheten, tiden. Temperaturen måste vara entydigt bestämd av tiden. Det får inte finnas två möjliga temperaturer vid samma tidpunkt – då är det ingen funktion.61

Man kan också säga att en funktion är ett samband mellan två olika mängder av data. Om man antar att man ska visa sambandet mellan temperaturen på en viss plats och tiden så kan man låta mängd A innehålla möjliga tidpunkter. Mängd B får då innehålla möjliga temperaturer.

I Nämnaren tema – Algebra för alla skriver man att en bra metod för att introducera funktioner är att låta eleverna beräkna funktionsvärden, se vad som händer om man ökar på x, pricka in och tolka grafer i ett koordinatsystem.62

2.4.1.1 ÅskådningsformerFör att förstå ett matematiskt begrepp är det bra att kunna beskriva begreppet på många olika sätt, dvs använda olika åskådningsformer.

För en fiol med en 325 mm lång A-sträng så gäller följande samband, beskrivet på tre olika sätt, mellan längd och frekvens för den vibrerande delen av strängen (från fingret ner till stallet):63

61 Bergsten m.fl. (1997): 105-10662 Bergsten m.fl. (1997): 10663 Som ni ser: När man har gått en oktav högre (från A till A) så har man halverat längden och fördubblat frekvensen.

24

Funktionsbegreppet har generellt sett fyra åskådningsformer:

• Situation

• Tabell

• Graf

• Formel

För att förstå funktioner måste eleverna kunna gå mellan de olika formerna:

1) De ska kunna gå från en situation eller en formel till en tabell. De ska även kunna gå från en tabell till en formel, vid enkla samband.

2) De ska kunna gå från en tabell till en graf och från en graf till en tabell.

3) I B-kursen krävs också att de i vissa fall kan gå mellan formel och graf, till exempel ska de kunna gå mellan y = kx + m och en rät linje.

Om eleverna behärskar de fyra åskådningsformerna och kan omvandla från en form till en annan får de en rikare begreppsbild och blir bättre på att lösa problem.64

Följande tabell, hämtad från Nämnaren Tema – algebra för alla, visar hur man kan arbeta med att översätta mellan de olika åskådningsformerna:65

I Algebra för alla menar man också att man ska arbeta laborativt och med konkret material för att ge en helhetsupplevelse åt funktioner. Tal som fås genom att eleverna mäter något blir verklighetsbaserade och grafer som görs utifrån dessa tal blir automatiskt kopplade till samma verklighet.66

64 Bergsten m.fl. (1997): 34-3565 Bergsten m.fl. (1997): 10766 Bergsten m.fl. (1997): 107

25

2.4.1.2 Planering av ett avsnitt om funktionerVåren 2010 planerade jag ett funktionsavsnitt i kursen Matematik A för en klass på estetiska programmet. I denna planering tog jag hänsyn till att eleverna skulle gå från det konkreta till det abstrakta och utgick från Tall och Vinners teorier. Målet med undervisningen var att eleverna skulle kunna använda de olika åskådningsformerna ovan och översätta mellan dem.67

1) Först lät jag eleverna arbeta med funktioner på ett omedvetet sätt genom att introducera begreppet med gruppövningen på sidan 22. Eleverna fick på detta sätt en idé om vad funktioner var genom att de fick arbeta med olika samband.

2) I andra steget lät jag eleverna arbeta med konkreta funktioner som grafer i ett koordinatsystem. Vi började med att göra en tabell utifrån en formel. Sedan prickade vi in värdena i ett koordinatsystem och ritade grafen. På detta sätt gick vi från en situation och en formel till en tabell till en graf. Eleverna skulle även använda graferna för att läsa av olika värden.

Tanken var att vi skulle börja så konkret som möjligt med ett vardagligt exempel och sedan gå vidare till ett konkret exempel inom matematiken.

Body Mass Index

Den första grafen vi ritade var en funktion över Body Mass Index, BMI, hos en person. BMI beror av hur mycket personen ifråga väger och hur lång hon eller han är och kan beskrivas med formeln

BMI = 2lm

där m är vikten i kg och l är längden i meter. Antag nu att en person är 170 cm lång. Då blir formeln

BMI = 270,1m

Vi gjorde en tabell tillsammans med vikter från 40 kg och upp till 120 kg. Eleverna ritade sedan upp detta i ett koordinatsystem. Då passade jag på att betona att BMI är en funktion av vikten m.

Efter detta gjorde vi om formeln till y = 270,1x

för att kunna skriva in den i grafritaren och rita

kurvan för att få en jämförelse. Efter att vi hade läst av en del värden i grafritaren ställde jag frågan ”Vad tycker ni om en sådan här formel - är det bra att den finns?” Eleverna fick prata ihop sig i smågrupperna som de satt i och sedan tog vi en klassrumsdiskussion. Vi såg både fördelar och nackdelar med att använda BMI.

Arean av en kvadrat

Formeln för arean av en kvadrat, y = 2x där x är sidan i cm och y är arean i cm2, är ett exempel på en matematisk formel som ändå har en konkret innebörd.

67 Planeringen i avsnittet kommer inte i den ordning som jag genomförde den. Den exakta planeringen finns i bilaga A.

26

Vi gjorde en tabell med x-värden från 0 till 5. Eleverna fick sedan, i grupper, komplettera tabellen med y-värden och rita en graf över arean. Jag gjorde samma sak på tavlan. Vi konstaterade att kurvan blev brantare och brantare ju längre till höger vi kom.

Sedan ritade vi in kurvan på grafritaren och jämförde.

I båda de här exemplen, med BMI och med kvadratens area, koncentrerade vi oss på första kvadranten. En fortsättning blir sedan att arbeta med exempel där man använder de andra kvadranterna för att slutligen gå över till att använda icke-verklighetsanknutna formler och rita grafer i hela koordinatsystemet.

Temperaturkurva

Ett sätt att utvidga grafritandet till fjärde kvadranten är att rita en temperaturkurva över en vinterdag i januari. 68

3) Tredje steget blev att jag försökte få eleverna att se kopplingen mellan formel, värdetabell och graf.69 Detta gjorde jag med dessa övningar:

Gå mellan tabell och graf och tillbaka

Eleverna fick var sitt kort med en tabell. De skulle nu rita en graf i ett koordinatsystem utifrån tabellen, på ett rutat papper. Värdena i tabellen var sådana att eleverna var tvungna att avrunda dem för att kunna göra ett rimligt stort koordinatsystem. Det var en övning som tog längre tid än jag hade räknat med men det var intressant att se processen när de fick rita graferna för hand. De var osäkra på hur man skulle rita koordinataxlarna och gradera dem. En del slarvade i början men gjorde sedan en ny, mer noggrann graf.

Jag samlade sedan in graferna och de fick en annans graf och uppgiften att göra en tabell utifrån grafen. Nu insåg de vikten av att vara noggrann när man ritar.

Denna övning som jag fick idén till från ett föredrag på Matematikbiennalen 201070 tog ca 30 minuter. Meningen var att eleverna sedan skulle få jämföra den gjorda tabellen med den ursprungliga men tiden räckte inte till, det var lunchdags, och sedan glömde jag dumt nog bort det. Den här typen av övning har jag senare använt i flera sammanhang. Jag har bland annat låtit elever i Matematik C utgå från en ekvation och skriva en problemsituation som hör ihop med ekvationen. Sedan har de bytt med varandra och skrivit ner ekvationen som hör till problemet. Det är en övning som är bra om eleverna ska lära sig att gå mellan olika åskådningsformer.

Problemlösning inom geometri med hjälp av grafer: Hönsburen71 Uppgiften går ut på att eleverna har en viss längd på ett staket som de ska bygga en hönsbur av. Genom att välja olika värden på burens bredd får de olika värden på längden och därmed även på arean. Efter att ha fyllt i en tabell prickas värdena in i ett koordinatsystem som har burens bredd på x-axeln och arean på y-axeln. Sedan ska eleverna svara på när buren blir som störst. När de har gjort det får de fundera på en formel för arean och rita in grafen på en grafritande miniräknare.

Skillnaden mellan denna uppgift och de som finns i boken är att eleverna får gå från en problemsituation till en tabell och sedan en graf och dessutom lösa ett problem. Uppgiften innehåller många olika kunskaper och eleven får använda dem i ett sammanhang. När de har löst problemet ska de hitta formeln för att kunna jämföra den ritade grafen med den mer exakta grafen i grafritaren. Flera av eleverna har inte hittat funktionens rätta maximum när de ritat för hand. Genom jämförelsen ser eleverna poängen med att använda grafritaren och nackdelarna med att rita för hand.

68 Om jag hade varit konsekvent skulle jag ha tagit ett konkret exempel på något som rör även andra och tredje kvadranten. Man kan tänka sig att använda till exempel en tidsaxel som x-axel där + står för e.Kr. och – för f.Kr. 69 Felet som jag tidigare har gjort på gymnasiet är att jag har börjat med detta steg utan att först repetera steg 1 och 2.70 Föredraget hölls av Gunilla Tovö och Kerstin Ekström71 Hela uppgiften finns i bilaga B.

27

Förutom att uppgiften tränar de olika aspekterna av funktionsbegreppet som vi hade gått igenom så är det en uppgift som alla elever kan lära sig något av.72

Funktionsmaskinen

Funktionsmaskinen är bra för att träna sambandet mellan formel och tabell. Efter att jag hade gått igenom hur funktionsmaskinen fungerar lät jag därför eleverna arbeta med tre uppgifter som finns i Nämnaren Tema – Algebra för alla. Övningen är uppdelad i delar:

1. Först ska man hitta ut-värdena om man vet in-värdena och formeln. Det är en uppgift som går ut på att man ska sätta in x-värden i en formel.

2. Sedan ska man hitta in-värdena om man vet ut-värdena och formeln. Uppgiften går ut på att sätta upp en ekvation och lösa den.

3. Sist ska man hitta formeln om man vet in-värdena och ut-värdena. Det handlar alltså om att hitta mönstret.73

Tyvärr lyckades jag inte använda Funktionsmaskinen på ett bra sätt den här gången. Det blev för mycket som var nytt och svårt på en gång och eleverna hann inte komma in i en övning innan de skulle vidare på nästa del. Första delen gick rätt bra men jag borde ha låtit eleverna arbeta med några fler sådana uppgifter och sedan repetera ekvationslösning innan jag gav dem uppgift två, som var svårare än jag trodde. Jag skulle haft fler uppgifter även på del två innan eleverna fick fortsätta med sista delen som var riktigt svår för eleverna.

Alla de övningar som jag har tagit upp varvades med att jag lät eleverna färdighetsträna vissa saker med hjälp av övningar i boken.74 Jag lät dem bland annat arbeta med:

• Koordinatsystemet

• Läsa av i grafer

• Rita olika grafer för hand

• Rita grafer med räknare

• Träna skrivsättet f(x)Utifrån att jag arbetat mer medvetet med funktioner i A-kursen var det intressant att se hur klassen skulle lyckas med B-kursen och särskilt funktionsavsnittet under höstterminen 2010. Jag brukar få dåliga resultat på funktionsavsnittet men nu i höst klarade sig många fler på provet.

2.4.2 Funktioner i B-kursenEftersom jag har haft olika kurser olika år, jag hade B-kursen 2008/2009 och A-kursen 2009/2010, så har jag inte hunnit göra en motsvarande planering för B-kursen. Jag vill ändå göra en reflektion kring funktionsavsnittet i B-kursen.

72 Övningen tog ca 40 minuter.73 Bergsten m.fl. (1997): 121-122, uppgiften finns i bilaga C.74 Jag hade vikarie ett par gånger – då passade det utmärkt med färdighetsträning.

28

Först och främst är det viktigt att eleverna har de förkunskaper som vi förutsätter att de har med sig. Negativa tal och hur koordinatsystemet är uppbyggt är två viktiga komponenter. Dessutom bör eleverna kunna gå mellan funktionsbegreppets tre åskådningsformer; formel, värdetabell och graf.

I B-kursen finns dessa två viktiga begrepp:

Funktionsbegreppet

En av de nya sakerna i B-kursen är att eleverna ska kunna gå mellan formeln y = kx + m och grafen, som i det här fallet är en rät linje. En del elever tycker att detta är svårt och obegripligt. Jag tror att dessa elever har arbetat för lite med att rita grafer för hand. Om de får utgå från formler av typen y = kx + m och sedan göra tabeller och rita grafer så kommer de efter ett tag att kunna hoppa över tabellen.

Det är viktigt att eleverna både lär sig rita grafer för hand och använda en grafritande miniräknare:

• Genom att rita grafen för hand får kroppen vara med och ”göra” grafen. När eleverna inte förstår räta linjen så beror det ofta på att de inte har kopplingen mellan de olika åskådningsformerna klart för sig. Därför är det viktigt att läraren hjälper eleverna med denna koppling. Om en elev till exempel inte har förstått k-värdet så kan man som lärare gå tillbaka till formeln och göra en värdetabell tillsammans med eleven. När man sedan ritar in punkterna i ett koordinatsystem så ser eleven kopplingen mellan k-värdet i formeln, förändringen i värdetabellen och linjens lutning. Man får en annan förståelse för att om man går ett steg till höger i x-led så ökar y-värdet med k.

• När eleverna har förstått de grundläggande delarna med k-värde och räta linjens ekvation så blir den grafritande miniräknaren ett sätt att låta eleverna upptäcka olika samband. Med miniräknaren kan man upptäcka samband som är svåra att se om man inte kan rita många grafer snabbt. Miniräknaren är också en bra metod för att kontrollera att man har löst ekvationer korrekt, det är ofta en viktig del i problemlösning.75 Båda metoderna har en uppgift att fylla.

Riktningskoefficienten

Tre viktiga ord i B-kursen är lutning, k-värde och riktningskoefficient, som har lite olika betydelse men som alla har samma referens.

När vi arbetade med lutning under höstterminen 2008 så använde vi bilder av grafer i koordinatsystem och pratade om att de lutar olika mycket när man går från vänster till höger och hur man kan hitta igen lutningen i en graf.

När jag senare tog upp k-värdet sa jag att det är ett annat ord för lutningen, som används i räta linjens ekvation, och till sist tog jag upp riktningskoefficient som ytterligare ett ord för samma sak. Eleverna tyckte då att det var onödigt med att behöva lära sig alla tre.

När projektet fortskred och jag läste mer teori började jag fundera på om det verkligen är samma sak:

• Lutningen är ett mått på hur mycket en linje förändras, det är ökningen eller minskningen i y-led när x-värdet ökar med 1, alltså något som är kopplat till grafen.

• k-värdet är en konstant som finns i formeln y = kx + m, k-värdet är alltså ursprungligen kopplat till formeln.

• Riktningskoefficienten är ett vidare begrepp som kombinerar lutningen och k-värdet. Lutningen och k-värdet är två olika delar av begreppet riktningskoefficient och hör till två olika åskådningsformer; lutningen är kopplat till grafen och k-värdet är kopplat till formeln.

75 I Bergsten m.fl. (1997): 110 står det att grafritande miniräknare är bra för att bygga upp symbolkänsla.

29

För att förstå riktningskoefficienten måste man förstå sambandet mellan lutning och k-värde och därmed sambandet mellan formel och graf.

Petter frågade en gång: ”Var kommer bokstäverna ifrån?” (underförstått att det var k och m i formeln y = kx + m det handlade om). Efter lektionen pratade jag med en kollega och har sedan kommit fram till följande hypotes:

k är en koefficient som står framför variabeln x.

m är den bokstav som kommer efter k (man har hoppat över l av någon anledning, kanske att bokstaven liknar talet 1). Men det här är olika, man använder olika bokstäver på olika ställen. I Wahlström och Widstrands matematiklexikon använder man till exempel l istället för m.76 Utomlands och i grafritaren skriver man y = ax + b.

2.4.3 Andra uppgifter att arbeta medDe uppgifter som jag tidigare har beskrivit har jag låtit eleverna arbeta med för att främja inlärningen av funktionsbegreppet. Om man vill hitta andra bra uppgifter som tränar begreppsinlärning samtidigt som de tränar problemlösning kan man använda något av följande:

• Känguruproblemen som kan hittas på NCM:s hemsida tränar ofta olika begrepp.

• Gamla nationella prov, särskilt aspektuppgifter.

• Laborationer av olika slag, en del förslag på laborationer som tränar funktionsbegreppet finns i Nämnarens Tema Algebra för alla.77

Fördelen med större uppgifter är ofta att olika delar av matematiken blandas och att eleverna får se hur de olika delarna hänger ihop med varandra. Genom detta får de en bättre helhetsbild av matematiken.

2.4.4 DiskussionOm eleverna ska få en bra begreppsbild så måste de få arbeta med olika typer av uppgifter som är anpassade efter sitt syfte. Om problemen är alltför likartade begränsas elevernas begreppsuppfattning. När man arbetar med funktionsbegreppet så måste eleverna få lösa uppgifter utifrån situation, formler, tabeller och grafer och vänja sig att översätta mellan de olika åskådningsformerna.

När man arbetar med B-kursen är det viktigt att eleverna kan översätta mellan de olika åskådningsformerna för att de ska kunna förstå sambandet mellan formel och graf och förstå hur riktningskoefficienten består av de två delarna lutning, som är kopplat till grafen, och k-värdet som är kopplat till formeln. Det är också viktigt att eleverna både kan rita grafer för hand, utifrån formel och tabell, och använda grafritare. När eleverna ritar för hand får de en annan typ av kunskap, som skapar en förståelse för sambandet mellan åskådningsformerna, mot när de ritar med grafritare.

Om man arbetar med funktioner på ett medvetet sätt i Matematik A så att eleverna har dessa förkunskaper med sig till Matematik B så blir inte räta linjen ett lika stort bekymmer för eleverna. De elever på estetiska programmet som arbetade med funktioner under vårterminen 2010 klarade av funktionsavsnittet i Matematik B under hösten 2010 bättre än de klasser som jag har haft tidigare.

Om man vill att eleverna ska få kunskap om hur olika begrepp hänger ihop med varandra och hur man kan använda dem i problemlösning kan man arbeta med laborationer, gamla nationella prov, aspektuppgifter eller känguruproblem.

76 Thompson (1991):37077 Bergsten m.fl. (1997)

30

Nu känner jag att jag har förstått mycket av funktionsbegreppet och hur jag kan arbeta för att mina elever ska förstå funktioner. Jag vill gå vidare med att försöka ge eleverna en tydlig bild av hur begreppen hänger ihop. Därför vill jag fortsätta med att studera hur man kan skapa sammanhang mellan olika begrepp genom begreppskartor.

2.5 Begreppskartor Det började med att jag blev tipsad om en artikel om begreppskartor, skriven av Andreas Ryve, i Nämnaren. Utifrån det jag läste har jag testat lite olika varianter av kartor och hur man kan använda dem i undervisningen. Frågeställningen här är:

• Kan man använda begreppskartor för att skapa en förståelse för hur olika begrepp hänger ihop med varandra?

2.5.1 Olika användningsområden för begreppskartor Andreas Ryve, universitetslektor i matematik vid Mälardalens högskola, har studerat matematikundervisning och kommit fram till att förekomsten av begreppsliga ramverk har stor betydelse för om eleverna ska kunna nå en djupare matematisk förståelse.

Begreppsförståelse handlar, enligt Ryve, dels om elevernas förmåga att passa in matematiska begrepp och metoder i en helhet och dels om deras förmåga att representera matematiska idéer på flera sätt.78 För att undervisa i matematik krävs att läraren har en djup begreppsförståelse och en idé om hur matematikens olika delar hänger ihop. Läraren behöver reflektera över innehållet i kursen för att få en mer målmedveten undervisning.79

I Nämnaren 2002:2 skriver Ryve om begreppskartor. Begreppskartor består av ett antal, hierarkiskt ordnade, begrepp som är förbundna med namngivna länkar som tillsammans bildar påståenden80. Begreppskartor kan ge en överblick över större eller mindre områden inom matematiken och hjälper till att ge förståelse för olika begrepp och visar samband mellan dem.81 Begreppskartorna liknar Mindmaps men skillnaden är att begreppskartorna är mer formella, de är hierarkiskt ordnade och begreppen länkas ihop med varandra med hjälp av länkord.

Begreppskartor kan användas i undervisningen på olika sätt för att hjälpa elever och lärare att få en helhetsbild av hur begrepp hänger ihop:

• De kan användas som uppgifter, enskilt eller som grupparbeten. Eleverna kan exempelvis först konstruera egna begreppskartor, kanske utifrån en lista med begrepp, och därefter delas in i grupper för att diskutera och enas om ett gemensamt förslag. Ett annat alternativ kan vara att ge eleverna en färdig karta där vissa begrepp eller länkord tagits bort.

• De kan användas i genomgångar, som introduktion av ett avsnitt eller som repetition.

• Läraren kan också konstruera dem som hjälp i planeringen av ett avsnitt eller en lektion.82

Begreppskartor kan vara ett sätt att synliggöra elevernas kunskaper och missuppfattningar som läraren sedan får en chans att rätta till. Ryve menar att det ofta är nyttigt att konstruera flera kartor för samma område eftersom de senare brukar bli bättre än de första. Det finns även möjligheter för elever att bygga vidare på en karta vid ett senare tillfälle.83

Ryve har studerat grupparbeten där eleverna ska konstruera begreppskartor, i kursen Linjär algebra på universitetet. Tanken med grupparbetena är att studenterna tillsammans ska reflektera över sin 78 D.v.s. använda olika åskådningsformer79 Ryve (2006)80 Se bilaga D 81 Andersson (2002)82 Andersson (2002)83 Andersson (2002)

31

begreppsförståelse och Ryves hypotes är att arbetssättet ska skapa en bättre förståelse hos studenterna. Slutsatsen han drar är att grupparbetena är både effektiva och matematiskt produktiva. Uppgiften att konstruera begreppskartor uppmuntrar verkligen studenterna att fokusera på begreppen och hur de hänger ihop. Studenterna får också många möjligheter att kommunicera matematik. I Ryves studie var alla studenter aktiva i diskussionerna.84

2.5.2 Hur jag har arbetat med begreppskartorEn måndag i september gjorde jag ett första försök med begreppskartor. Jag hade gjort en egen karta på området algebra, med tomma hål, och ville att eleverna skulle fylla i den med begrepp från en lista.85 Metoden liknade ett korsord där rätt ord skulle passas in på rätt ställe.

Eleverna var ovana vid att arbeta på det viset och flera behövde stöd för att komma igång. Det tog längre tid för dem än vad jag hade trott och efter ett tag gick vi igenom kartan tillsammans på tavlan. Jag hade gjort flera misstag; det var för många begrepp på listan, eleverna behärskade inte riktigt begreppen, även om de kanske lärde sig en del under övningen, och strukturen i tankekartan var min och inte elevernas. Tillsammans gjorde detta att övningen blev för svår för eleverna.

Tanken jag hade var att om jag visar eleverna en tankekarta som jag gjort skulle de förstå idén och sedan kunna utveckla egna tankekartor senare. Arbetssättet kom dock in för sent i momentet, den var på ett för stort område med för många begrepp. Istället tror jag att man ska börja tillsammans och sedan ha mindre övningar kontinuerligt.

Tankekartan fyllde dock en viktig funktion, den gav mig som lärare struktur över begreppen på ett sätt som jag inte tidigare hade arbetat. Jag drog därför slutsatsen att det är bra att arbeta utifrån en karta när man planerar ett ämnesområde. Först ska man ge strukturen under undervisningens gång och sedan bryta av med mindre begreppskartor för eleverna för att skapa sammanhang. Man kan också lära eleverna att göra begreppskartor redan i A-kursen, genom att låta dem arbeta med begrepp som de är säkra på.

Jag gjorde ett nytt försök med begreppet ekvationssystem. Jag gjorde först en större tankekarta över området.86 Sedan bröt jag ner denna skiss till lektioner med lagom mycket innehåll. När jag var färdig med momentet försökte jag samla ihop det genom att ge eleverna en mindre karta för att skapa en bild över hur allt hängde ihop.

Efter detta började jag göra begreppskartor för mig själv. På så sätt blev det tydligare vad jag ville att eleverna skulle lära sig under ett moment, vilket ledde till en mycket tydligare struktur på planeringen och ett större fokus i undervisningen. Jag har också vid flera tillfällen använt begreppskartor i genomgångar. Till exempel gjorde jag en begreppskarta som precisering av funktionsbegreppet för att visa de olika åskådningsformerna87 och en annan för att visa de olika fyrhörningarna. Det är ett bra arbetssätt inom området geometri.

Jag har även börjat arbeta med begreppskartor i min filosofiundervisning. Ett exempel på detta är när vi inom etiken gått igenom ett antal teorier med olika begrepp. Jag hade då gjort en lista på de nya begreppen och visade på tavlan hur man kunde börja en begreppskarta. Sedan fick eleverna fortsätta och göra kartor för sig själva och sedan visa varandra i smågrupper.

2.5.3 DiskussionOm man vill få en helhet i sin undervisning och skapa sammanhang mellan olika begrepp kan man använda begreppskartor. Begreppskartor är bra både för lärare som får en bättre struktur på sin undervisning och för elever som får en bättre begreppsförståelse.

84 Ryve (2004)85 Se bilaga E86 Se bilaga D87 Se bilaga F

32

Man kan använda begreppskartor i genomgångar och som uppgifter, enskilt eller i grupp. När Andreas Ryve studerade grupparbeten där grupperna skulle konstruera begreppskartor fann han att de var effektiva och att eleverna fokuserade på och kommunicerade kring de matematiska begreppen.

För att undervisa i matematik krävs, enligt Andreas Ryve, att läraren har en djup begreppsförståelse och en idé om hur matematikens olika delar hänger ihop. Jan Thompson menar att man får en djupare förståelse för begreppen genom att studera dess historia. Därför lämnar vi nu de mer grundläggande pedagogiska teorierna om begrepp och fortsätter med att studera några olika idéer om matematikens historia och särskilt den som rör funktionsbegreppet.

3 Historia För att verkligen förstå funktionsbegreppet vill jag göra en fördjupande studie om hur funktionerna har utvecklats historiskt. Jag ska först studera olika allmänna matematikhistoriska teorier och jämföra dessa med pedagogiska idéer. På det sättet tror jag att jag kommer att få en bättre grund för att arbeta med begreppsinlärning. Sedan går jag in på funktionernas historia för att, på ett liknande sätt, skapa en bättre förståelse för funktionsbegreppet. Frågeställningarna är:

• Vad finns det för olika idéer om matematikens idéhistoria?

• Vad har dessa idéer för pedagogisk betydelse när man ska undervisa om begrepp?

• Hur har funktionsbegreppet utvecklats?

3.1 Olika syner på hur matematiken och begreppen utvecklas[Matematiken] har inte, som lekmannen tror – även filosofen, om han är lekman på området – en oföränderlig substans, utan den genomgår som alla konstarter omärkliga förändringar från epok till epok.88

Under 1900-talet har vetenskapsfilosofer som Ludvig Wittgenstein (1889 - 1951), Karl Popper (1902 - 1994), Imre Lakatos (1922 - 1974) och Thomas Kuhn (1922 - 1996) format bilden av vetenskap som något som är stadd i ständig förändring och som påverkas av hur samhället ser ut.89

Imre Lakatos tillämpar sina idéer även på matematiken, när han beskriver hur de matematiska begreppen förändras över tiden, i takt med att matematikerna utvecklar och förändrar dem. Lakatos vänder sig emot formalismen, det vill säga den riktning inom den matematiska filosofin som identifierar matematiken med dess formella axiomatiska uppbyggnad. Formalismen avskiljer matematikens historia från matematikens filosofi och enligt den formalistiska skolan finns det ingen egentlig matematikhistoria. Kreativiteten tas inte upp som matematik och de kritiska perioderna undviks. Lakatos menar att formalismen har varit skadlig för matematiken.90

Kajsa Bråting & Anders Öberg utvecklar Tall & Vinners teorier om begreppsbildning när de skriver om hur begrepp förskjuts under elevernas skolgång. På samma sätt som Lakatos menar att man ska tydliggöra begreppsförskjutningen i historien så menar Bråting & Öberg att man måste tydliggöra begreppsförskjutningen för studenterna. Det finns en klar parallell mellan Lakatos matematikfilosofiska teori och Bråting & Öbergs pedagogiska synpunkter.

Oswald Spengler menar att den historiska förskjutningen inte sker kontinuerligt utan istället i språng. Dessa språng kan jämföras med hur Jan Thompson ser på olika stadier i begreppsutvecklingen. Enligt Thompson finns det en koppling mellan matematikens historiska utveckling och hur individens matematiska kunskap växer fram.

88 Spengler (1996): 8889 Matematiken brukar ofta inte räknas som en vanlig vetenskap och matematiska sanningar ses ofta som något som inte förändras. 90 Lakatos (1990): 13-15

33

I avsnitten nedan kommer vi att fördjupa oss i Thompsons, Lakatos, Bråting & Öbergs och Spenglers teorier.

3.1.1 Rekapitulationstesen Rekapitulationstesen säger att individen under sitt liv upprepar det mänskliga släktets kognitiva utveckling. Jean Piaget ansåg till exempel att man genom att intervjua barn kunde få veta hur våra förfäder tänkte. Jan Thompson, som har skrivit boken Matematiken i historien, menar att rekapitulationstesen kan tillämpas på matematikundervisning och ge oss anvisningar om hur vi bör lägga upp undervisningen. Genom att studera ett begrepps historia kan man se vilka aspekter av begreppet som är svåra att förstå. De begrepp som har haft en komplicerad historia är ofta de som är förknippade med svårigheter ur ett pedagogiskt perspektiv.91 92

3.1.2 Imre Lakatos historiesynI Bevis och motbevis skriver Lakatos om hur begreppet polyeder utvecklats under matematikhistorien.

Leonhard Euler (1707 - 1783) var den som var först med att påpeka att utöver antalet sidor, S, så bestämmer antalet hörn, H, och antalet kanter, K, en polyeders karaktär. Eulers hypotes är att för alla regelbundna polyedrar gäller:

H – K + S = 2

Euler undersökte mycket noggrant olika polyedrar, till exempel prismor och pyramider, för vilka resultatet gällde.93

Senare har flera matematiker försökt bevisa Eulers hypotes. De olika bevisförslagen stötte dock på kritik och flera olika begrepp och lemman, som använts i bevisen, har diskuterats. Man har kommit på flera motexempel, det vill säga polyedrar som inte uppfyller H – K + S = 2. Ett sådant exempel är en kub som har ett kubformat hål inuti och där H - K + S = 4:94

Ett annat exempel är två tetraedrar som har en gemensam kant och där H - K + S = 3:95

Frågan är om dessa båda kroppar är polyedrar eller inte. Om de inte är polyedrar så måste man hitta en definition av begreppet polyeder som utesluter kropparna. Om det sedan dyker upp nya motexempel som uppfyller den nya definitionen men ändå inte uppfyller Eulers hypotes så är frågan om man ska acceptera dessa eller om man ska fortsätta definiera om begreppet så att alla motexempel utesluts. Det senare kallar Lakatos metoden att utesluta monster. 96

91 Thompson (1996): 45092 Rekapitulationstesen bygger på biogenetiska regeln som säger att individens utveckling från embryo till vuxen följer den utveckling som arten har genomgått historiskt. 93 Lakatos (1990): 19, 166-16794 Lakatos (1990): 25 Från denna sida är även bilden på den ihåliga kuben hämtad.95 Lakatos (1990): 27 Bilden är hämtad därifrån.96 Lakatos (1990): 26

34

Om man accepterar dessa nya motexempel som polyedrar så får man ta ställning till vad man ska göra med hypotesen. Ska man förkasta den eller revidera den? Lakatos ställer frågan om det är så att ingen hypotes är giltig överallt utan endast inom vissa områden. Vilka är i så fall de tillräckliga och nödvändiga villkoren för att en polyeder ska vara eulersk och uppfylla H – K + S = 2?97

Under diskussionen av Eulers hypotes började man definiera begreppet polyedrar på olika sätt och beroende på definition så fick man olika resultat. Begreppsbilden utvecklades och efter ett tag producerades en förbättrad hypotes och ett mer utvecklat bevis. Lakatos menar att även om de olika bevisen inte alltid bevisade hypotesen, som avsikten var, så hjälpte de till att förbättra hypotesen. Då hypotesen först lades fram var begreppet polyedrar förbundet med kroppar som var eulerska (och därmed uppfyllde hypotesen). Sedan kom de matematiker som Lakatos kallar vederläggarna och utvidgade begreppet och fann motexempel. Det naiva begreppet hade aldrig fastlagts genom en definition och därför var monsteruteslutarna tvungna att gång på gång definiera om begreppet när motexempel dök upp. Lakatos anser att kunskapen växer när man accepterar motexempel och därmed tillåter fantasifulla och intressanta tolkningar av begreppen.98

Om vi inte tillåter dessa tolkningar, utan istället håller oss till vårt ursprungliga språk och våra ursprungliga begrepp, så är dessa kroppar inte motexempel eftersom de inte tillåts att vara polyedrar. Motexempel blir de endast genom begreppsuttänjning. Därför är alla vederläggningar heuristiska, de utvecklar matematiken och ökar kunskapsinnehållet. Uttänjandet har dock sina gränser och motexempel måste betraktas med misstänksamhet. De kanske inte är motexempel utan i stället exempel för en annan teori. I så fall måste vi ge upp försöket att öka kunskapsinnehållet, vi måste stoppa begreppsuttänjning där den upphör att vara ett verktyg för tillväxt och blir ett verktyg för förstörelse av kunskap.99 Lakatos tar upp andra historiska exempel på metoden med bevis och vederläggningar som visar hur det egentligen gick till vid några matematiska upptäckter. Han argumenterar för att den euklidiska matematiken och det sätt som matematiken ofta beskrivs sätter käppar i hjulet för kreativiteten och senare döljer den verkliga historien genom att återberätta den enligt euklidiskt mönster. Så länge som ett motexempel är en skönhetsfläck för ett teorem och för matematikern som förespråkar teoremet och så länge som matematiska bevis måste vara ofelbara så kommer matematisk kritik att vara hämmad. Lakatos menar att den mest spännande matematiken är när man utforskar begreppens gränser, när man utvidgar dem. I dessa lägen är matematikerna oerfarna och tar miste. Han menar också att det inte finns någon matematik som inte gått igenom en sådan här period. Han avslutar diskussionen med att skriva

Det är därför som Euklides har varit den onde anden speciellt för matematikens historia och för matematikundervisningen, både på de inledande och kreativa nivåerna.100

Annars skriver Lakatos inte mycket om pedagogik. Andra tillfället är där han bemöter argumentet att införandet av heuristisk stil skulle kräva att läroböckerna skrevs om och skulle göra dem så långa att man aldrig skulle kunna läsa dem till slutet. Uppsatser skulle också bli mycket längre. Svaret som Lakatos har på detta är: ”låt oss försöka”.101

3.1.3 Bråting och Öbergs syn på begreppsbildning Kajsa Bråting och Anders Öberg, universitetslektorer vid matematiska institutionen vid Uppsala universitet, skriver om begreppsförskjutning i Definitioner och åskådlighet av matematiska begrepp. De tror att det finns en tendens till att förskjuta de matematiska begreppens betydelser, utan att ändra på orden, för att lösa matematiska problem. Begreppsförskjutningen påpekas inte utan det är bara genom den formella definitionen som man kan upptäcka förskjutningen i efterhand. När man håller fast vid de ursprungliga orden får studenterna ingen hjälp av de begreppsbilder de har

97 Lakatos (1990): 3598 Lakatos (1990): 47, 10099 Lakatos (1990): 103-105100 Lakatos (1990): 148101 Lakatos (1990): 152

35

när de ska lära sig definitionerna. Begreppsbilden hänger ihop med ett annat begrepp än det som definitionen hör till. Detta är en viktig orsak till att studenterna får problem med att förstå definitionerna.102

Bråting & Öberg menar att matematiska begrepp i många fall kan vara svåra att åskådliggöra, exempelvis när det gäller begrepp som innehåller oändligheten. Åskådliggörandet görs ofta med hjälp av exempel där man knyter begrepp till vardagliga situationer och med hjälp av konkreta bilder. De menar att det är svårare att göra sig en bild när oändligheten är inblandad. Som exempel på detta tar de Torricellis trumpet som är en oändligt utsträckt kropp som har en ändlig volym.103 104

Torricellis trumpet ledde till en debatt om ifall oändligt utsträckta kroppar kunde existera och uppfattningen om att de matematiska begreppen vilar på en konkret materiell grund var tvungen att revideras. Det blev klart för flera matematiker att man behöver utvidga begreppen. Idag undervisar man om oändligt utsträckta rotationsvolymer på universitetet men man talar inte om att volymbegreppet har generaliserats och förskjutits.105

Bråting & Öberg är alltså överens med Lakatos om att det sker en begreppsförskjutning över tiden när matematiken utvecklas. Enligt Bråting & Öberg sker det också en begreppsförskjutning i elevens enskilda utveckling. Ett exempel på det sista är hur volymsbegreppet utvecklas under elevernas skolgång. Ett annat, som Tall & Vinner tog upp, är hur begreppet subtraktion förskjuts från att först handla om naturliga tal och skillnader till att senare hantera all möjliga tal och bli en differens som kan vara negativ. Om man får tro rekapitulationstesen så sker samma begreppsförskjutningar i matematikens historia som i elevens individuella kunskapsutveckling.

3.1.4 Oswald Spenglers teori om matematik i olika högkulturerDen tyske filosofen Oswald Spengler (1880 - 1936) är mest känd för sin teori om att alla kulturer, även den västerländska, har en början och ett slut. Men han har också, redan 1918, beskrivit matematiken ur ett relativistiskt perspektiv. Detta gör Spengler intressant ur ett matematikhistoriskt perspektiv.

Spengler menar att matematikens historia inte är kontinuerlig. Högkulturer har kommit och gått och i varje kultur utvecklas matematiken på nytt, även om det sker med influenser från andra kulturer. Matematiken kan inte existera oberoende av människan utan i varje mänsklig kultur uppstår ett slags tänkande som påverkar den matematik som hör ihop med den kulturen. Det finns alltså ett indiskt, ett arabiskt, ett antikt och ett västerländskt typ av matematiskt tänkande och i varje matematik finns en unik typ av tal. Därmed kan man inte säga att det endast finns en matematik utan det finns flera arter av matematik. Taluppfattningen är grunden i varje matematik som påverkar resten.106

När pythagoréerna ca 540 f.Kr. myntade uttrycket ”Alla tings väsen är talet” så skapades en ny matematik med tal som var gripbara för de mänskliga sinnena. Antikens matematik utgick från det antika konstverket, skulpturen av den nakna människan, där ytor, mått och delarnas proportioner var viktiga. Volym stod för kroppslighet och matematik var läran om konkreta kroppar. Euklides kallar till

102 Bråting & Öberg (2004)103 Bråting & Öberg (2004)104 Bilden är hämtad på http://curvebank.calstatela.edu/volrev/torricelli.gif 2010-12-14105 Bråting & Öberg (2004)106 Spengler (1996): 85

36

exempel faktorerna i en produkt för sidor. För honom var en produkt den area eller volym som man räknade ut med multiplikationen. Eftersom talen var avgränsade enheter fanns bara naturliga tal och förhållanden mellan dessa tal. Man kunde därmed inte föreställa sig irrationella tal. Ojämförbara sträckor, till exempel sidan och en diagonal i en kvadrat, förhöll sig inte till varandra som tal, enligt Euklides.107108

Med detta kan man se att det finns en skillnad mellan det antika talbegreppet och begreppet storlek; det finns sträckor, och därmed ytor och volymer, som inte kan mätas. När man studerar förhållandet mellan en sida och en diagonal i en kvadrat så snuddar man vid det irrationella och en annan talsort. På denna tid fanns en rädsla för det irrationella eftersom det var ett brott mot det gudomliga och när den diskreta talföljden av positiva heltal förändras och blir kontinuerlig tar man bort grunden för antikens talbegrepp. Därför kan antikens matematiker inte heller föreställa sig rationella tal, negativa tal eller talet noll.109

Hos Diofantos (ca 250 e.Kr.) är tal inte längre mått och storlek hos konkreta ting. Diofantos använder obenämnda, abstrakta, tal som talet 3 och obestämda tal, a. Spengler menar att inget av

dessa tal är någon storhet, mått eller sträcka.110

Diofantos levde i den arabiska kulturens tredje sekel. Till den arabiska kulturen hör allt som skapats sedan den kristna tideräkningens början i det område som sedan skulle bli islamiskt. Som uttryck för den nya mentaliteten kan man ta de nya kulterna i öster, kristendomen och nyplatonismen. Den arabiska matematiken har en mystisk, magisk ton.111 112

Spengler skriver inte mycket om den arabiska/magiska matematiken. Därför har jag även läst artikeln Islamic Mathematics av Jacques Sesiano. Sesiano tar som ett exempel på den arabiska matematiken upp magiska kvadrater som, även om de är kända i vår tid, faktiskt användes för magi inom den arabiska kulturen. Varje bokstav i det arabiska alfabetet var kopplat till ett tal (ental, tiotal, hundratal och tusental) och det var därför möjligt att översätta ett namn eller en mening till en följd av tal och att sedan konstruera en magisk kvadrat med dessa tal i första raden. Talen i den magiska kvadraten kunde sedan översättas till bokstäver och uttolkas av den magiske matematikern.113

Den arabiska matematiken utvecklades sedan från Diofantos fram till höjdpunkten på 800-talet, vilket kännetecknas av matematiker som al-Khwarizmi och Abu Kamil. Khwarizmis beskrivning av det indiska systemet och hur man använder det i aritmetiska operationer kom ca 820 e.Kr. Khwarizmi nämner inte Euklides över huvud taget, hans illustrationer bygger på en intuitiv, visuell geometri när han bland annat löser andragradsekvationer. Den andra mest viktiga matematikern under detta århundrade, egyptiern Abu Kamil (ca 890 e.Kr.), refererar dock till Euklides i sin bok som är skriven för matematiker som har studerat grekisk matematik. Abu Kamil är också den förste som systematiskt accepterar irrationella tal som lösningar till andragradsekvationer.114 115

107 Spengler 1996: 90-91, 93108 Bilden på den antika statyn är hämtad på http://www.royalcourt.se/kungligaslotten/kungligaslottet/gustaviiisantikmuseum/skulpturerna/calliope.4.1a6f639212652d9b15a80004921.html 2010-12-14109 Spengler (1996): 92-93110 Spengler (1996): 98111 Spengler (1996): 98-100112 Bilden är hämtad på http://home.swipnet.se/~w-48176/trianglar/historia.html 2010-12-14113 Sesiano (2000): 160-162114 Sesiano (2000): 144-148115 Det är intressant att boken Mathemathics Across Cultures, där den tidigare nämnda artikeln om islamisk matematik ingår, behandlar matematik i en lång rad olika kulturer från alla världsdelar men inte den antika matematiken. Detta trots att den medeltida västerländska kulturen fick tillgång till antika matematiska texter från araberna och inte från grekerna.

37

René Descartes startade den västerländska matematiken under 1600-talet med ännu en ny idé om talen. Idén innebar att matematiken frigjordes från den konkreta geometrin och från den mätbara sträckan och istället utgick från den mer abstrakta punkten. Medan det antika talbegreppet utgick från sinnesintrycken är det västerländska talbegreppet istället ett rent resultat av

mänskligt tänkande. Denna förändring leder till diskussionen om hur talen skulle kunna användas i verkligheten, ett problem som, enligt Spengler, inte fått något bra svar. Den innebär också att det blir ett visst ologiskt drag i matematiken som exempelvis kan leda till icke-euklidiska geometrier.116

En av de saker som är specifika i den västerländska matematiken är idén om oändligheten, som finns i vår världsuppfattning både när det gäller den oändliga världsrymden och att sträckor kan delas in ett oändligt antal gånger. När man frigör matematiken från det konkreta och ändliga bäddar man för rationella och irrationella tal.117

Något annat specifikt i vår matematik är funktionsbegreppet. Ta till exempel potensbegreppet: Tanken med potenser var från början att det var ett taltecken för en viss grupp av multiplikationer. 56

kan skrivas om som 555555 ⋅⋅⋅⋅⋅ . Potenserna utvidgades i och med införandet av exponentialfunktionen och numera räknar man med potenser med negativa exponenter och bråk i exponenten. 5-3 och 51/4 har inte samma konkreta tolkning som 56. I och med detta har man avlägsnat sig från den ursprungliga idén hos potensbegreppet.118

Spengler menar att upptäckterna i den västerländska matematiken är en seger över vår vanliga konkreta talkänsla. Ju mer matematikerna kommer på desto mer avlägsnar vi oss från antikens talbegrepp. Han skriver också att ju mer matematik man studerar desto mer befrias matematiken från konkreta bilder.119

Vårt matematiska teckenspråk ger oss en falsk bild av att vara kvar i antiken. Spengler menar att vi borde ha skapat ett nytt formelspråk för att undvika missuppfattningar. Som ett exempel på detta tar han ekvationsbegreppet:

Ekvationen 3x + 4x = 5x fastställer en likhet mellan bestämda storheter. Ekvationen xn + yn = zn

däremot visar en relation mellan olika variabler. Den första ekvationen kan lösas men inte den andra och därmed anser inte Spengler att den andra ekvationen egentligen ska kallas ekvation.120

Geometri är enligt Antiken mätandets konst och aritmetik är räknandets konst. Västerländsk matematik har inte längre något gemensamt med dessa ”två arter av begränsningens konst”, vi har befriat geometrin från åskådning och räknandet från storhet. Ändå har man inte infört några nya namn utan använder de gamla namnen på något nytt. Eventuellt är det därför som vi västeuropéer tenderar att använda vårt eget talbegrepp när vi diskuterar den matematik som man arbetade med i Aten. Detta leder till förvirring och vi får svårare att begripa hur antikens matematiker tänkte. När vi använder antika namn på våra egna begrepp får vi dessutom svårare att förstå de begrepp som vi använder idag. Vi lever kvar i tron att de tal vi använder är de som kan härledas till Antiken. När 116 Spengler (1996): 94, 101117 Spengler (1996): 95-97118 Fritt efter Spengler (1996): 102-103119 Spengler (1996): 102-103, 115120 Spengler (1996): 103-104

38

man i en klass presenterar potenser som en upprepad multiplikation så får eleverna svårt att förstå en potens med en negativ exponent.121 122

3.1.5 Diskussion Enligt rekapitulationstesen är det viktigt att vara medveten om den historiska utvecklingen av olika begrepp. Eleverna kommer nämligen att få problem med samma frågor som det har tagit tid för matematikerna att utveckla. Därför är det viktigt att man är medveten om den historiska utvecklingen och att det finns en helhetssyn när man planerar undervisningen från förskola till universitet för att få en medveten begreppsutveckling hos eleverna.Innehållet i ett matematiskt begrepp är inte detsamma genom historien. Imre Lakatos visar hur matematiken förändras genom att hypoteser och deras bevis diskuteras. Genom begreppsutvidgning kan matematiker hitta motexempel som förändrar både hypoteserna och bevisen. Därför kan det vara vanskligt att göra jämförelser och ta exempel från historien rakt av. Om vi däremot visar eleverna hur begreppen har förändrats kan vi kanske öka förståelsen på ett sätt som väcker intresse både för begreppet och för matematiken som en kreativ process. Lakatos anser att den matematikundervisning som vi har idag döljer matematikens ursprung. Matematiken tas ur sitt sammanhang och eleverna får lära sig metoder, som de inte alls förstår hur de uppkommit, utantill. Detta gör matematiken opedagogisk och tråkig. Att undervisa genom matematikhistoria kräver dock att vi som lärare har kunskap om matematikhistorien. Dessutom behöver man förändra läroböckerna så att de tar upp andra saker än idag. Begreppen förändras också genom elevernas skolgång. Tall & Vinner tar upp hur begreppsinnehållet i subtraktionen förändras.123 Bråting & Öberg diskuterar utvidgningen av volymsbegreppet, som sker utan att man tydliggör förändringen för eleverna/studenterna. När man pratar om volym i samband med oändligt utsträckta kroppar och inte talar om att begreppsinnehållet har förändrats så får eleverna ingen hjälp av de begreppsbilder de har. Istället blir många förvirrade. Bråting & Öberg menar att detta är en viktig orsak till att studenterna får problem med att förstå matematik.

Enligt Oswald Spengler förändras inte matematiken kontinuerligt. Den byggs upp på nytt i olika kulturer och grundas på olika talbegrepp och matematiska världsbilder. Under antiken var matematiken kopplat till konkreta kroppar som var mätbara och tal var naturliga tal. I den arabiska matematiken blev tal något magisk och mystiskt, något mer abstrakt som kunde användas för algebra. När talen inte längre var knutna till konkreta ting kunde de utvecklas till att bli negativa heltal, rationella tal och irrationella tal. I den västerländska kulturen handlar matematiken istället om oändlighet och funktioner och tal är punkter på tallinjen eller i koordinatsystem.

Thomas Kuhn (1922 - 1996) var en mer känd förespråkare för en relativistisk syn på vetenskap. Kuhn menar att vetenskap inte utvecklas kontinuerligt utan ibland avbryts av revolutioner då ett paradigm ersätts av ett annat.124 Enligt Kuhn kan man bara säga att något är sant inom ett visst paradigm och vetenskap som bedrivs i två olika paradigm går inte att jämföra objektivt. Kuhn försöker dock inte beskriva matematik som en vetenskap som bedrivs inom olika paradigm. Spengler menar, till skillnad från Kuhn, att all kultur och vetenskap uppstår inom olika högkulturer och bygger på olika världsuppfattningar. Därmed kan man inte förstå vetenskap som uppkommit i en annan kultur än den man själv lever i. Detta gäller även matematiken.125

121 Fritt efter Spengler (1996): 109, 114122 För en historisk överblick över det antika och det västerländska talbegreppet: se bilaga G.123 På sidan 8.124 Med paradigm menas det mönster som styr det vetenskapliga tänkandet; det anger vilka teorier, metoder och observationer som ska användas i god vetenskap.125 Nationalencyklopedin (1990): Kuhn, paradigm

39

Spenglers teori skulle kunna vara förklaringen till de svårigheter som Jan Thompson pekar på, att eleverna har svårt att gå mellan olika nivåer. Man kan ställa sig två frågor:

• Kommer Thompsons olika nivåer ursprungligen från olika matematiska kulturer och hänger de ihop med olika talbegrepp?

• Rör vi oss omedvetet mellan olika talbegrepp när vi undervisar?

När barn börjar lära sig matematik är tal konkreta och naturliga och liknar de tal som man använde under antiken.126 När barnen sedan börjar med bråk och negativa tal lämnar de detta konkreta talbegrepp och närmar sig den arabiska matematiken vars höjdpunkt är algebran. När de arbetar med decimaltal och tallinjen för att sedan gå över till koordinatsystem och funktioner så använder de istället det västerländska talbegreppet.

Lärare är inte utbildade för att kunna ta hand om dessa språng och elever förväntas bara kunna hantera dem. I början klarar eleverna att bygga upp vettiga begreppsbilder men när de förväntas hoppa av sig själva mellan olika talbegrepp, utan hjälp att bygga upp nya bilder, tappar de förankringen. Jag tror att det är då som eleverna lär sig att matematik är metoder man ska lära sig utantill och det är också då som de börjar tycka att matematik är tråkig. De har inte längre en matematisk världsbild som är begriplig.

För att hantera detta krävs att läraren har kunskap om de olika talbegreppen och är medveten om begreppsförskjutningen. Då kan hon underlätta för eleverna och lotsa dem över de nödvändiga sprången mellan de olika matematiska världsbilderna.

3.2 Funktionsbegreppets historia Jan Thompson menar, i Wahlströms och Widstrands matematiklexikon, att funktionsbegreppet är intuitivt förankrat i antikens uppfattning om orsak och verkan, det som kallas kausalitetsprincipen. Han skriver också att de babyloniska astronomerna utnyttjade funktionsbegreppets idé när de kartlade himlakropparnas rörelser. Thompson får här ses som en representant för det traditionella renässansperspektivet, att grunden för vår matematiska kultur är en pånyttfödelse av den antika matematiken.127

Om Oswald Spengler har rätt så är det dock en väsenskillnad mellan den antika matematiken och den västerländska och funktionsbegreppet är då något specifikt för vår västerländska kultur. Man skulle inte kunnat komma på funktioner under antiken eftersom man vid denna tid hade en annan världsbild.128

För att kunna förstå funktionsbegreppet är det viktigt att ta ställning i frågan om ursprunget finns i antikens eller i 1600-talets matematik. Därför kommer jag kort att beskriva de delar av antikens matematik som är mest lik vår idé om funktioner, de som handlar om kurvor och kausalitetsprincipen, för att sedan gå vidare med hur funktionerna har utvecklats från 1600-talet och framåt.

3.2.1 Den antika matematiken

Kurvor

126 Förhoppningsvis får de först arbeta med nivå 1 och 2 innan de börjar med symboler.127 Thompson (1991): 131128 Spengler (1996): 102

40

När de antika grekerna studerade kurvor så var det sådana som hade en geometrisk koppling, till exempel kägelsnitten; cirklar, ellipser, hyperblar och parabler, vars geometriska bakgrund består i att de framställs när man skär en kon eller en dubbelkon.129 130

Apollonius (ca 262-190 f.Kr.) skrev i sitt verk Konica om hur man hittar tangenter till kägelsnitten, varje kägelsnitt krävde sin egen tangentkonstruktion. Arkimedes (ca 287-212 f.Kr.) bestämde tangenter till en annan typ av kurva, spiralen.131 132

Kausalitetsprincipen

Om man slår upp kausalitet i Nationalencyklopedin så står det att man kan skilja mellan två slags kausalitet, en som var aktuell under antiken och en som kom på 1600-talet:

Under antiken kunde kausalitet exemplifieras med det förhållande som råder mellan en viljestyrd handling och dess konsekvenser, orsak och verkan. Denna typ av kausalitet ligger till grund för Aristoteles teori om de fyra typerna av orsaker:

• Den verkande orsaken är den agent som frambringar ett ting, till exempel en skulptör som skapar en staty.

• Ändamålsorsaken är avsikten med händelsen, till exempel att en staty skapas för att ställas upp i ett tempel.

• Den materiella orsaken är tingets substans, till exempel att statyn är gjord av brons.

• Den formella orsaken är den struktur som skiljer materialet från andra ting av samma material, till exempel den mänskliga form som statyn har.133

3.2.2 Den västerländska matematiken växer fram

Kausalitetsprincipen under 1600-talet

Den andra typen av kausalitet definierades av bland annat René Descartes (1596-1650), Isaac Newton (1643-1727) och David Hume (1711-1776) i samband med den moderna vetenskapens uppkomst:

• Descartes uppfattade den materiella världen som mekanisk. Universum, liksom naturen, kunde liknas vid en maskin som kunde förklaras.

• Newton ville förstå orsakssammanhang genom att upptäcka de lagar som dessa följde. Därmed frikopplades orsakssambandet från en viljestyrd handling.

• Hume kritiserade idén om ett nödvändigt samband mellan orsak och verkan. Han menade att det enda vi kan observera är att en orsak A följs av en effekt B, aldrig att det föreligger

129 Lund (1995): 6130 Bilden är hämtad på http://matmin.kevius.com/kagelsnitt.php 2010-12-14131 Lund (1995): 6132 Bilden finns på http://www.math.nmsu.edu/~breakingaway/Lessons/spiral1/spiral1_fig3.jpg 2010-12-14133 Nationalencyklopedin (1990): kausalitet

41

någon kraft hos A som framkallar B.134

Enligt Spengler är varje talbegrepp förknippat med en typ av kausalitet, talet är en symbol för den kausala nödvändigheten. Med det menar han att matematiken är ett verktyg för att strukturera världen, beskriva dess lagbundenhet och kausalitet. Talbegreppet är det som är grunden i matematiken och därför är talbegreppet starkt beroende av världsbilden och kausaliteten i den kultur där den har uppkommit.135

Om han har rätt finns det en kausalitet, på samma sätt som det finns ett talbegrepp, i varje kultur. Funktionsbegreppet har därför inget att göra med den teori om orsak och verkan som fanns under antiken. Däremot bygger begreppet på den kausalitetsprincip som växte fram under 1600-talet.136

Förutsättningar för funktionsbegreppet

En förutsättning för att funktionsbegreppet skulle kunna utvecklas var att det vid den här tiden hade kommit nya matematiska verktyg:

Det uppstod ett nytt symbolspråk som gjorde att bland annat Francois Viète (1540-1603) kunde använda bokstäver för obekanta och konstanta storheter i ekvationer. Detta medförde att man kunde undersöka ekvationer av typen ax2 + bx = c generellt.137

Descartes utformade den analytiska geometrin, vilket gjorde att det blev möjligt att studera kurvor i koordinatsystem. I den analytiska geometrin studerar man främst ekvationer mellan koordinaterna x och y, som till exempel ”x2 + y2 = 1”. För varje fixt x-värde ger ekvationen ett eller flera y-värden. Låter man x variera kontinuerligt ändras också y och de punkter, vars koordinater uppfyller ekvationen beskriver en kurva i planet.138

3.2.3 Funktionsbegreppets utveckling under 1700-taletTermen funktion introducerades 1694 av Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). Han knöt funktionen till en kurva som bestäms av de två variablerna x och y. Som ett exempel kan vi betrakta parabeln given av ekvationen y2 – x = 0. Leibniz tänkte sig att kurvan bestod av en oändlig mängd oändligt små linjestycken. Dessa linjestycken motsvarar en följd av tätt liggande punkter.139

Alla är dock inte överens om att Leibniz verkligen arbetade med funktioner. Han studerade ju egenskaper hos kurvor som var geometriska objekt och inte grafer till funktioner på det sätt som vi menar idag. Johan Häggström, forskarstuderande i ämnesdidaktik,

lärarutbildare vid Göteborgs universitet och redaktör för Nämnaren, skriver i artikeln Begreppet funktion i historisk belysning att man kanske kan säga att Leibniz använde funktioner på ett

134 Lund (1995): 13, Nationalencyklopedin (1990): kausalitet135 Spengler (1996): 86136 Spengler (1996): 82-83, 101137 Lund (1995): 6-7138 Lund (1995): 7, Nationalencyklopedin (1990): analytisk geometri139 Thompson (1991): 131, Lund (1995): 36

42

informellt och intuitivt sätt.140 141

Här kan vi se två ytterligheter: Thompson menade att man redan under antiken arbetade med funktioner, i alla fall funktionernas idé. Andra menar att inte ens Leibniz arbetade med funktioner eftersom begreppet inte var färdigutvecklat vid denna tid.142

Behovet av att utvidga och precisera funktionsbegreppet blev tydligt i ett gräl mellan Leonhard Euler (1707-83), Jean d'Alembert (1717-83) och Daniel Bernoulli (1700-82). Konflikten handlade om ett problem med vibrerande strängar som löstes på olika sätt. Bernoulli ansåg att en funktion skulle kunna skrivas med endast en formel medan d'Alemberts lösning innehöll flera formler.143

1718 definierade Bernoulli en funktion som en varierande storhet, eller en storhet som är sammansatt av den varierande storheten och konstanter. Man kan ana begreppet variabel i denna definition.144

1748 skriver Euler att en funktion av en varierande storhet är ett analytiskt uttryck, som på något sätt är sammansatt av variabeln i fråga och tal eller konstanta storheter. Detta är den första av Eulers definitioner och innebörden är att en funktion ska kunna skrivas med hjälp av en formel. Euler inför också skrivsättet f(x) och definierar analysen som läran om funktioner.145

Senare generaliserar Euler sitt funktionsbegrepp. 1755 har han bytt sin ursprungliga definition mot en annan:

En kvantitet ska kallas en funktion om och endast om den beror av en annan kvantitet på ett sådant sätt att om den senare förändras så förändras också den första.

I denna definition finns inte längre kravet att en funktion ska kunna uttryckas med endast en formel.146

Fram till 1800-talet användes funktionerna till att beskriva verkliga samband eftersom de ledande fysikerna och matematikerna var samma personer. Det var först under 1800-talet som man började studera funktionerna i sig. Man fortsatte utveckla funktionsbegreppet mot ett mer generaliserat och abstrakt begrepp. Det fanns en strävan att göra innebörden av funktionsbegreppet oberoende av icke-matematiska begrepp.147

Jan Thompson menar att det moderna funktionsbegreppet skapades 1837 av Lejeune Dirichlet (1805-9):148

If a variable y is so related to a variable x that whatever a numerical value is assigned to x there is a rule according to which a unique value of y is determined, then y is said to be a function of the independent variable x.149

Detta innebär att det för varje x-värde finns ett unikt y-värde. I och med detta övergår funktioner från att handla om beroendesamband till att bli ett godtyckligt samband mellan reella tal.150

140 Bergsten m.fl. (1997): 106141 Häggström (2005): 87142 Enligt formalismen så förändras inte matematiken och tror man på detta så måste den begreppsuppfattning som fanns innan begreppet utvecklades vara felaktig. Som jag har skrivit tidigare så vänder sig både Spengler och Lakatos emot denna inställning.143 Häggström (2005): 87144 Thompson (1991): 131145 Thompson (1991): 131, Häggström (2005): 87146 Häggström (2005): 87-88147 Häggström (2005): 88148 Thompson (1991): 132149 Häggström (2005): 89 150 Häggström (2005): 89

43

3.2.4 DiskussionJag har svårt att se några likheter mellan den matematik som man höll på med under antiken och funktionsbegreppet, som det ser ut i dagens matematik. Eventuellt kan man tolka om antikens matematik i våra termer men egentligen handlar det om ett annat sätt att se på världen, som vi inte riktigt kan förstå. Funktionsbegreppets utveckling i den västerländska matematiken beror på ett nytt synsätt inom vetenskapen, den moderna synen på kausalitet är inte samma sak som när man under antiken pratar om orsak och verkan. Man använder samma ord, kausalitet, för olika begrepp.

Funktionerna vilar på ett nytt talbegrepp som är kontinuerligt och kopplat till tallinjen. Tallinjen är sedan en förutsättning för koordinatsystemet. En annan förutsättning för att kunna arbeta med funktioner är att man är väl hemmastadd med symbolräkning, det vill säga algebra. Den vetenskapliga matematiken som vi använder idag har uppstått i den västerländska kulturen. Det är viktigt att ta hänsyn till detta när vi använder rekapitulationstesen. Det är viktigare att studera matematikhistoria från 1600-talet och framåt än att studera antikens matematik om syftet är att vi vill förstå elevernas individuella begreppsutveckling.

Det är ett rejält språng som eleverna ska ta när de börjar arbeta med funktioner: från det vardagliga räknandet med aritmetik och geometri till det mer vetenskapliga räknandet med funktioner.151 Ett språng som förutsätter att eleverna har ett väl utvecklat talbegrepp, som utgår från tallinjen och koordinatsystemet, och att de dessutom behärskar algebra. Vi måste också tänka på att efter det att Leibniz introducerade termen funktion tar det mer än 100 år innan begreppet har fått en innebörd som liknar den betydelse som begreppet har idag. Därför måste det få ta tid för eleverna att förstå funktioner.

Historiskt sätt har funktionsbegreppet länge varit kopplat till den fysikaliska verkligheten. Först på 1800-talet började man studera funktioner rent matematiskt. Därför bör man introducera funktioner med hjälp av exempel, kopplade till en verklighet. Man kan börja med konkreta samband och göra tabeller och rita grafer utifrån dem. Först när eleverna behärskar dessa exempel kan man gå vidare till att studera funktioner mer abstrakt.

4. Avslutning

4.1 Sammanfattande diskussion

Vad är ett begrepp?

Genom att lyfta fram viktiga begrepp i matematikundervisning kan man förbättra elevernas förståelse. Detta kan man göra genom att arbeta med olika termers mening och referens. Vad betyder de matematiska orden som vi använder och vilka objekt refererar de till?

Det finns inte bara en typ av definition utan flera olika beroende på vad syftet med definitionen är. En del definitioner siktar in sig på att förklara ordens mening och en del beskriver referensen. Man kan också skilja på formella definitioner, som används vid bevisföring, pedagogiska definitioner, som kan användas i undervisning, och personliga definitioner som elever själva använder för att förklara sin begreppsuppfattning.

David Tall och Shlomo Vinner skiljer mellan hur matematiska begrepp definieras formellt och de mentala bilder som hör till begreppen. De använder ordet begreppsbild för alla de processer som är knutna till ett begrepp. För att elever ska förstå ett begrepp bör de dels ha korrekta begreppsbilder och dels många kopplingar mellan begreppsbild och definition. Då blir eleverna bra problemlösare.

151 Spengler (1996) (s. 102) skriver att under antiken var aritmetik och geometri fullständiga vetenskaper. I vår kultur är aritmetik och geometri verktyg för vardagligt räknande. Funktioner däremot är en viktig del av den vetenskapliga matematiken.

44

Något som kan ställa till det för eleverna är att begrepp utvecklas under deras skolgång och den mentala bild som passar på grundskolan kanske inte passar på gymnasiet. Tall & Vinner tar exemplet subtraktion. I början ses kanske subtraktionen som en skillnad som alltid är positiv medan denna bild inte passar när differensen även kan bli negativ.

Jan Thompson menar att det är viktigt att gå från det konkreta till det abstrakta. I början ska man försöka använda konkreta bilder och handlingar samt ett mer vardagligt språk. När eleverna fått ett större grepp om begreppen kan man gå mot mer symboler och strukturella metoder. Han skriver om fyra olika tankenivåer; handling, föreställning, symbolisk skrivning och symbolisk skrivning med algebra. Eleverna måste ta kognitiva språng när de går mellan dessa nivåer och det är lärarens uppgift att underlätta sprången.

Enligt Tall & Vinner sker begreppsinlärningen i fyra olika faser:

A Vi träffar på och använder begreppen, utan att vi har definierat dem formellt.B Vi generaliserar erfarenheten och skapar oss mentala bilder av objekten som hjälper oss i problemlösning.

C Vi använder bilderna i olika sammanhang och löser olika problem.

D Begreppet preciseras. Vi får kanske ett namn eller en symbol som gör att vi kan kommunicera med varandra. Eventuellt får begreppet också en formell definition

Om vi kombinerar Tall & Vinners och Thompsons idéer så kan vi tänka oss att i fas A ska eleverna först träffa på begreppen utifrån konkreta bilder och handlingar. I fas B, när eleverna är trygga med de konkreta bilderna, kan man generalisera dem och gå mot en mer strukturell metod. Efter fas C då eleverna har använt sina begreppsbilder så kan man ytterligare öka abstraktionsnivån och precisera begreppet på olika sätt.

Vad jag har lärt mig av undervisning i humanistiska ämnen

Tanken med projektet var att jag skulle hämta inspiration från undervisning i filosofi och språk och även få ett idéhistoriskt perspektiv på matematiken.

Det jag har lärt mig av filosofiundervisning är att jag ska fokusera på begreppen i min undervisning, lyfta fram dem på olika sätt och prata om dem. Om man vill ha bra diskussioner med eleverna så måste dessa planeras och det är viktigt att man har rätt diskussionsämnen.

Om vi vill att eleverna ska använda begreppen aktivt, både muntligt och skriftligt, har matematikundervisningen mycket att lära av hur man arbetar i svenska som andraspråk. Pauline Gibbons pekar på hur man kan få eleverna att gå från ett vardagligt språk till ett mer vetenskapligt152

språk genom att använda effektiva grupparbeten där:

1) Eleverna i grupp får arbeta med praktiska övningar.

2) Läraren introducerar viktiga nyckelord.

3) Grupperna får redovisa muntligt.

4) Eleverna gör skriftliga redovisningar.

När jag testade att låta eleverna arbeta utifrån punkterna 1 – 3 så fick jag ett positivt resultat i klassrummet. I fortsättningen vill jag använda detta arbetssätt mer och då även låta eleverna skriva redogörelser efteråt.

Genom att lyfta fram var begreppen kommer ifrån så får eleverna en känsla för begreppen. Hur användes de historiskt och varför? Vad har hänt sedan dess? Imre Lakatos tar upp exempel som visar hur det egentligen gick till vid några matematiska upptäckter och att begrepp förändras genom historien. Han menar att det sätt som matematiken ofta beskrivs hindrar kreativiteten och döljer den

152 Läs matematiskt

45

historiska bakgrunden. Vi borde visa eleverna hur matematiken har utvecklats. Därför är det viktigt att vi lärare har kunskap om matematikens och matematikbegreppens historia.

Detta arbete hade inte fungerat om jag inte samtidigt som jag försökte arbeta med humanistiska arbetssätt i matematiken även läst mer matematikdidaktik. Jag behövde koppla ihop olika arbetssätt med en grundläggande förståelse för hur matematikinlärning går till och hur olika metoder kan användas tillsammans för att skapa en röd tråd som följer elevernas inlärning.

Varför mina elever inte lärde sig funktioner

I titeln på den här rapporten frågar jag mig varför mina elever inte lärde sig funktioner. Framförallt hade många elever svårt för räta linjen och k-värdet. Under det här arbetet tycker jag mig ha funnit svar på denna fråga.

När jag tidigare undervisat i kursen Matematik A har jag inte vetat vilka kunskaper eleverna behövde ha med sig i B-kursen. När vi dessutom tog funktionsavsnittet sist i A-kursen och, på grund av tidsbrist, hastade igenom momentet blev följden att eleverna inte fick tillräckliga förkunskaper. Jag upptäckte, när jag började arbeta mer begreppsfokuserat i B-kursen, att eleverna hade för dåliga kunskaper om tallinjen. Detta medförde att de fick svårt att förstå koordinatsystemet och de blandade ihop de områden där axlarna var negativa med ett negativt k-värde. Många elever har dåliga kunskaper med sig från grundskolan om negativa tal. Därför måste vi ägna mer tid åt negativa tal i A-kursen.

Innan projektet visste jag inte heller vad eleverna behövde veta om funktioner. Jag hade en vag aning om att de skulle kunna rita grafer men förstod inte de olika åskådningsformerna; situation, formel, tabell och graf. En stor del av de arbetsuppgifter som eleverna arbetar med under lektionerna bör ha som syfte att de ska kunna gå mellan olika åskådningsformer. Om eleverna lär sig detta i A-kursen och om de också får med sig tillräckliga kunskaper om negativa tal och koordinatsystemet så kommer de lättare klara B-kursen.

Funktionsbegreppet bygger på ett talbegrepp som växte fram på 1600-talet. Medan det antika talbegreppet utgick från sinnesintrycken är det västerländska talbegreppet istället ett rent resultat av mänskligt tänkande. En av de saker som är specifika i den västerländska matematiken är idén om oändligheten och när man frigör matematiken från det konkreta och ändliga bäddar man för rationella och irrationella tal.

Jag tror att vi, i matematikundervisning, hoppar mellan olika talbegrepp. I vissa situationer bygger vi vårt resonemang på ett konkret talbegrepp som liknar det man använde under antiken. När vi arbetar med att lösa ekvationer kanske vi snuddar vid det arabiska, mystiska, talbegreppet och när vi håller på med funktioner använder vi en västerländsk taluppfattning, som bygger på tallinjen. Om man som elev tycker att det är svårt med matematik så gör inte de olika talbegreppen det lättare att förstå.

Fram till 1800-talet användes funktionerna till att beskriva verkliga samband. Det var först under 1800-talet som man började studera funktionerna i sig och man utvecklade funktionsbegreppet mot ett mer generaliserat och abstrakt begrepp där det fanns en strävan att göra innebörden av funktionsbegreppet oberoende av icke-matematiska begrepp. Om rekapitulationstesen är korrekt bör man därför introducera funktioner med hjälp av exempel som är kopplade till en verklighet. Man kan börja med konkreta samband och göra tabeller och rita grafer utifrån dem. Först när eleverna behärskar dessa exempel kan man gå vidare till att studera funktioner mer abstrakt.

Jag har i det här arbetet fått en större förståelse för hur inlärning går till och hur man kan planera undervisning för att eleverna ska förstå begrepp. Jag har fått många idéer till bra övningar som främjar begreppsinlärning och hur jag ska få dessa att hänga ihop till en röd tråd. Jag har också fått en större förståelse för funktionsbegreppet och varför mina elever tidigare haft problem med funktioner.

46

4.2 Utvärdering När jag skrev ansökan höstterminen 2007 trodde jag att projektet skulle handla om att dels fokusera på matematikbegrepp i min undervisning och dels få inspiration från lärare som arbetar med språk-, historia- och filosofiundervisning. Jag visste att man arbetade på ett annat sätt med filosofi än med matematik, eftersom jag själv är filosofilärare, och att man där försöker sätta in olika begrepp i sitt sammanhang. Jag trodde att man arbetade på liknande sätt i språkundervisning, bara mer medvetet, och att man i historia var bra på att visa hur kunskap hade utvecklats.

Jag stötte ganska snart på två problem med denna ansats. För det första hade jag i början svårt att hitta lärare som var intresserad av begreppsinlärning. Jag frågade mina kollegor, som inte arbetade medvetet med begrepp, och jag skickade ut en förfrågan till rektorerna i kommunen och dessutom till den lokala SMAL153-avdelningen men fick ingen respons. Det andra och största problemet var att de arbetssätt som jag prövade inte fungerade eftersom jag visste för lite om matematikinlärning. I och med detta tappade jag målet ur sikte och jag fördjupade mig i olika teorier om matematikdidaktik. När jag gjorde detta kände jag ett stort missmod eftersom jag inte arbetade med det som jag hade skrivit i min projektansökan. Att jag fick lägga så mycket tid på matematikdidaktik gjorde också att arbetet blev mycket större än vad jag hade tänkt från början.

De teorier jag läste gjorde dock att jag fick ett annat djup i arbetet. Jag satt först där med ett antal lösryckta idéer som inte riktigt fungerade och hängde ihop. När jag läst ett tag och började förstå de olika teorierna upptäckte jag att matematikdidaktiken gjorde att de andra idéerna blev till en helhet och jag fick ett mer medvetet tankesätt att arbeta utifrån.

Att arbetet blev större än vad jag hade tänkt från början ledde till att tidsplanen inte fungerade som jag hade tänkt. Planen var från början att jag skulle läsa och planera under vårterminen 2008 och sedan testa mina idéer under läsåret 2008/2009. Nu när idéerna inte fungerade så fortsatte jag att läsa under våren och sommaren 2009 och det som jag då kom fram till testade jag under läsåret 2009/2010. Hela projektet försköts därmed framåt i tiden.

Ursprungligen hade jag tänkt att jag skulle testa mina teorier i A-kursens geometriavsnitt och det var det jag planerade utifrån. När sedan hösten 2008 kom fick jag för första gången sedan jag började arbeta som lärare ingen A-kurs i min tjänstefördelning. Därför fick jag ändra i projektet och valde att istället koncentrera mig på B-kursen och funktionsavsnittet. Denna ändring fick flera följder. Om jag hade kunnat göra arbetet i geometri så hade antagligen den ursprungliga planen hållit eftersom de begrepp som finns där är mindre komplexa än funktionsbegreppet och eftersom jag har haft A-kursen många fler gånger än jag har haft B-kursen; jag har genom erfarenhet lärt mig vad som fungerar och inte. Då hade det här blivit ett helt annat projekt och jag hade antagligen fokuserat mer på att ta fram olika diskussionsämnen och historiska exempel att använda i klassrummet och mindre på grundläggande matematikdidaktik. Jag är ändå glad att jag fick arbeta med funktionsbegreppet, som jag tidigare har haft stora problem med. Jag känner att den kunskap jag har fått genom projektet är värdefull och jag har blivit en säkrare lärare genom detta.

Man kan fråga sig om jag, när jag upptäckte att projektet drog iväg, borde ha begränsat mig mer än vad jag gjorde. Eventuellt kunde jag ha struntat i den idéhistoriska delen. Jag kände dock att idéhistorian, som jag redan hade läst, gjorde att jag som lärare fick en annan förståelse för funktionsbegreppet och denna förståelse ville jag ha med i arbetet. Jag kom inte så långt att jag arbetade med matematikhistoria med eleverna, något som jag vill göra i fortsättningen, men genom att jag själv fick kunskap om den så tror jag att det blir lättare att få in historien i framtiden.

En brist i arbetet är att jag inte har utvärderat hur elevernas resultat har förändrats när jag ändrat arbetssätt. Jag kunde till exempel ha jämfört hur eleverna i de olika grupperna klarade av funktionsavsnittet i B-kursen; hur det gick för mina elever innan jag startade projektet och hur det gick för grupperna som jag hade läsåret 2008/2009 respektive den grupp som läste Matematik A

153 Sveriges matematiklärarförening

47

2009/2010 och sedan Matematik B höstterminen 2010. Tyvärr hade jag inte så många elever 2009/2010 så resultatet skulle inte ha blivit signifikant. Jag ser visserligen en skillnad i resultat på de prov som jag har använt på B-kursens funktionsavsnitt, för ett par år sedan och nu, och jag tror att en stor del av denna skillnad beror på att jag har utvecklats som matematiklärare men det är svårt att säga hur stor del som beror på projektet. Grupperna är olika sammansatta och proven är också olika.

Jag hade från början en tanke om att jag skulle jämföra elevernas attityder till matematikundervisning innan och efter de hade varit med i projektet. Det fanns dock flera svårigheter med detta. Förutom att det var svårt att ta fram en bra enkät så hade de elever som jag startade med 2008/2009 redan haft mig som lärare under ett år och jag hade redan börjat arbeta begreppsfokuserat även om det inte fanns en medveten metod tidigare. Därför skulle en sådan undersökning inte bli rättvisande. Jag hade kunnat göra denna undersökning i gruppen som startade A-kursen hösten 2009. Då hade jag kunnat se skillnad på elevernas inställning före och efter.

Jag skulle också kunna gjort en begreppsdiagnos i början av A-kursen och en i slutet av kursen och ser hur elevernas kunskap har förändrats under denna tid.

4.3 Hur man kan gå vidareNu börjar det här projektet gå mot sitt slut men jag ser flera möjligheter till att fortsätta med liknande arbeten i framtiden:

Jag skulle vilja studera funktionernas historia från 1600-talet och framåt, mer ingående. I det här arbetet har jag fått en kort allmänbildning men ingen djupare förståelse för hur funktionerna har utvecklats. Genom att studera funktionernas historia så tror jag att man kan ta fram exempel som går att använda för att bygga upp begreppsuppfattningen hos eleverna. Jag skulle gärna lyfta fram de matematiker som har arbetat med att utveckla funktionsbegreppet och de hinder som dessa stötte på.

Jag skulle också vilja fortsätta att ta fram övningar och laborationer som har som syfte att bygga upp elevernas begreppsuppfattning. Först och främst vill jag ta fram en planering för B-kursens funktionsavsnitt som liknar den som jag har för funktioner i A-kursen. Sedan vill jag fortsätta med att studera andra begrepp. Just nu känns negativa tal som ett prioriterat ämnesområde. Det vore också intressant att se hur olika talbegrepp används i matematikundervisningen, från förskolan och upp till gymnasiet, och hur lärare och elever hanterar dessa övergångar.

Jag vill även samarbeta mer med andra ämnen för att hitta en didaktisk samsyn. Till exempel skulle det vara intressant att göra ett projekt där man samarbetar med svenskundervisning för att utveckla elevernas språk. Något som jag till exempel skulle vilja veta mer om är hur man kan utvärdera elevernas muntliga prestationer.

48

ReferenserPublicerade källor

Andersson, A. (2002). Begreppskartor – ett verktyg för bättre förståelse. Nämnaren. 2002:2 s. 44-47. (Göteborg: NCM)

http://ncm.gu.se/media/stravor/8/a/4447_02_2.pdf 2010-12-26

Bergsten, C., Häggström, J., Lindberg, L. (1997). Nämnaren Tema -Algebra för alla. Göteborg: NCM

Føllesdal, D., Walloe, L., Elster, J. (1993). Argumentationsteori, språk och vetenskapsfilosofi. Stockholm: Thales.

Gibbons, P. (2006). Stärk språket Stärk lärandet – Språk- och kunskapsutvecklande arbetssätt för och med andraspråkselever i klassrummet. Uppsala: Hallgren och Fallgren studieförlag AB.

Häggström, J. (1995). Begreppet funktion i historisk belysning. Normat. Vol. 53:2 s. 82-92. (Göteborg: NCM)

http://ncm.gu.se/media/mattebron/nationellmote/dialog071112/haggstrom.pdf 2010-12-26

Lakatos, I. (1990). Bevis och motbevis. Stockholm: Thales.

Lund, J. (1995). Från tangent till derivata - en historisk överblick. Stockholm: Bokförlaget KUB.

Nationalencyklopedin, (1990). Höganäs: Bokförlaget Bra Böcker.

Pettersson, K. (2008). Algoritmiska, intuitiva och formella aspekter av matematiken i dynamiskt samspel – En studie av hur studenter nyttjar sina begreppsuppfattningar inom matematisk analys. Doktorsavhandlingar vid Chalmers tekniska högskola.

http://www.math.chalmers.se/Math/Research/Preprints/Doctoral/2008/1.pdf 2010-12-26

Ryve, A. (2004). Can collaborative concept mapping create mathematically productive discourses?, Educational Studies in Mathematics. Vol. 56 s. 157-177.

Ryve, A. (2006). Approaching mathematical discourse: Two Analytical Frameworks and their Relation to Problem Solving Interactions. Mälardalen University Press Dissertations. Vol 30

http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:mdh:diva-137 2009-04-24

Sesiano, J. (2000) Islamic Mathematics, s. 137-165 i Mathematics Across Cultures. Utg H. Selin. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Spengler, O. (1996). Västerlandets undergång – Gestalt och verklighet. Stockholm: Atlantis.

Tall, D., Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics. Vol. 12 s. 151-169.

http://wrap.warwick.ac.uk/507/1/WRAP_Tall_dot1981a-concept-image.pdf 2010-10-26

Thompson, J. (1991). Wahlström och Widstrands Matematiklexikon, Stockholm: Wahlström och Widstrand.

Thompson, J. (1996). Matematiken i historien. Lund: Studentlitteratur.

49

Skriftliga opublicerade källor

Bråting, K., Öberg, A. (2004) Definitioner och åskådlighet av matematiska begrepp. http://www.math.uu.se/~kajsa/filseminarium.pdf 2009-04-24

Karlsson, L. (1999) 0, 999... = 1, En av vår tids matematiska paradoxer. D-uppsats i vetenskapsteori. Institutionen för filosofi och lingvistik, Umeå universitet.

Wedman, L. (2008). Gränsvärden eller infinitesimaler? En jämförelse mellan reell analys och ickestandardanalys ur ett didaktiskt perspektiv. Examensarbete i matematik på D-nivå. Institutionen för matamatik och matematisk statistik, Umeå universitet.

Muntlig källa

Tovö, G., Ekström,K. Förstår dina elever trigonometri?, föreläsning på Matematikbiennalen 2010-01-28

50

Bilaga A Planering för avsnittet om funktioner i kursen Matematik A Lektion 1154: Vi går igenom grafritaren. I slutet av lektionen får eleverna några exempel på saker som är beroende av något annat och läraren ritar grafer på tavlan. Sedan får eleverna i läxa att komma på något eget exempel på ett beroendesamband.

Lektion 2: Introduktion av funktionsbegreppet155 (ca 40 min)

Arbeta med att gå från formel, till en tabell och sedan rita en graf: BMI och arean på en kvadrat156 (ca 40 min)

Lektion 3:BegreppskartaSom en repetition av lektion 2 och en precisering av funktionsbegreppet gjorde jag en begreppskarta på tavlan där jag visade funktionsbegreppets tre åskådningsformer; formel, tabell och graf. Jag berättade också att det är viktigt att de kan gå mellan de olika åskådningsformerna, både för hand och med hjälp av grafritaren.157 (ca 10 min)

Gå mellan tabell och graf och tillbaka158 (ca 30 min)

Problemlösning inom geometri med hjälp av grafer Hönsburen159 (ca 40 min)

Lektion 4:Temperaturkurva160

Koordinatsystemet: Jag gick först igenom koordinatsystemet.

Eleverna räknade sedan uppgifter i boken för att färdighetsträna koordinatsystemet.

Lektion 5:Jag gick igenom hur man kan se att en kurva är en graf till en funktion med hjälp av vertikaltestet.

Eleverna räknade uppgifter i boken som handlade om att läsa av i grafer.

Funktionsmaskinen161

Lektion 6-8: Resten av momentet ägnade vi åt att träna skrivsättet f(x) och att rita grafer till olika funktioner för hand, med hjälp av tabell. Vi arbetade med räta linjer och exponentialfunktioner.

154 En lektion är 90 minuter.155 Se sidan 22156 Se sidan 26157 Se bilaga F158 Se sidan 27159 Se sidan 27 eller bilaga B160 Se sidan 27161 Se sidan 28 eller bilaga C

51

Bilaga B Hönsburen

52

53

Bilaga C Övningar utifrån funktionsmaskinen162

I Nämnaren Tema – Algebra för alla föreslås tre olika varianter på uppgifter som alla utgår från funktionsmaskinen.

1. I den första varianten får eleverna veta funktionen och vilka värden som stoppas in i maskinen. Eleverna ska då beräkna de motsvarande UT-värdena.

2. I den andra varianten får eleverna veta funktionen och vilka värden som kommer ut ur maskinen. Uppgiften är att tala om vilka värden som stoppats in.

3. I den tredje varianten får eleverna veta vilka värden som stoppas in i maskinen och vad det genererar för UT-värden. Utifrån detta ska de hitta funktionen.

162 Bergsten m.fl. (1997): 121-122 Där är även bilderna hämtade.

54

Bilaga D Begreppskarta ekvationssystem163

163 Kartan användes för planering av avsnittet om ekvationssystem

55

Bilaga E Begreppskarta algebra164

164 Kartan användes som en övning för eleverna men var för svår. Om jag skulle göra om den så skulle jag fylla i fler begrepp från början.

56

Bilaga F Funktionsbegreppets åskådningsformer165

165 Kartan användes i början av en lektion som en sammanfattning av lektionen innan.

57

Bilaga G Historisk översikt enligt Oswald Spengler166

1. Ett nytt talbegrepp koncipierasAntiken Västerlandet

När? Omkring 540 f.Kr. Omkring 1630

Talet som storhet Talet som relation

Vilka? Pythagoréer Descartes, Fermat, Pascal, Newton, Leibniz

2. Den systematiska utvecklingens höjdpunktAntiken Västerlandet

När? 450 – 350 f.Kr. 1750 – 1800

Vilka? Platon, Archytas, Eudoxos Euler, Lagrange, Laplace

3. Inre avslutning av talvärldenAntiken Västerlandet

När? 300 – 250 f.Kr. Efter 1800

Vilka? Euklides, Apollonius, Arkimedes Gauss, Cauchy, Riemann

166 Spengler (1996): 118-119

58