Universidad de Talca Curso: Ecuaciones Diferenciales.Instituto de Matematica y Fısica Carrera: Ingenierıa.Campus Curico. 20 de Agosto de 2015

GUIA No 1

1. (a) Muestre que φ = 2x3 es una solucion explıcita de x dydx = 3y en el intervalo(−∞,∞).

(b) Muestre que φ = ex − x es una solucion explıcita dedydx + y2 = e2x + (1− 2x)ex + x2 − 1 en el intervalo (−∞,∞).

(c) Muestre que φ = x2 − x−1 es una solucnion explıcita de

x2 d2ydx2

= 2y en el intervalo (0,∞).

2. (a) Muestre que y2 +x− 3 = 0 es una solucion implıcita de dydx = − 1

2y en el intervalo(−∞, 3).

(b) Muestre que xy3−xy3senx = 1 es una solucion implıcita de dydx = (xcosx+senx−1)y

3(x−xsenx)en el intervalo (0, π2 ).

3. Determine si la funcion y = senx + x2 es una solucion de la ecuacion diferenciald2ydx2

+ y = x2 + 2

4. Muestre que φ(x) = Ce3x + 1 es una solucion de dydx − 3y = −3 para cualquier eleccion

de la constante C. Ası, Ce3x + 1 es una familia a un parametro de soluciones de laecuacion diferencial. Grafique varias de las curvas solucion usando los mismos ejes decoordenadas.

5. Verifique que x2 + cy2 = 1, donde c es una constante arbitraria distinta de cero, esuna familia a un parametro de soluciones implıcitas de dy

dx = xyx2−1 y grafique varias

curvas solucion usando los mismos ejes coordenados.

6. Verifique que φ(x) = 21−cex , donde c es una cosntante arbitraria, es una familia a un

parametro de soluciones de dydx = y(y−2)

2 .Grafique las curvas solucion correspondientes a c = 0,±1,±2 usando los mismos ejescoordenados.

7. Determine los valores de m para que la funcion φ(x) = emx es una solucion de laecuacidada:

(a) d2ydx2

+ 6 dydx + 5y = 0.

(b) d3ydx3

+ 3 d2ydx2

+ 2 dydx = 0.

8. Determine los valores de m para los que la funcion φ(x) = xm es una solucion de laecuacion dada:

(a) 3x2 d2ydx2

+ 11x dydx − 3y = 0.

(b) x2 d2ydx2− x dydx − 5y = 0.

9. Determine si el teorema (Existencia y unicidad de la solucion) implica que el problemacon valor inicial dy

dx = 3x− 3√y − 1 ;y(2) = 1 tiene solucion unica

10. Utilice el Metodo de Euler con tamano del paso h = 0.2 para aproximar la soluciondel problema con valor inicial:y′ = 1

x(y2 + y) ; y(1) = 1, en los puntos x = 1.2, 1.4, 1.6, 1.8.

11. Utilice el Metodo de aproximacion de Euler para aproximar la solucion del problemacon valor inicial:dxdt = 1 + tsen(tx) ; x(0) = 0en t = 1, usando 1,2,4 y 8 pasos.

12. Utilice el metodo de Euler para aproximar la solucion del problema con valor inicial:y = 1− sen(y) ; y(0) = 0 , en x = π, usando 1,2,4 y 8 pasos

13. Utilice el metodo de Euler con 20 pasos para aproximar la solucion del problema convalor inicial: dx

dt = 1 + x2 ; x(0) = 0, en t = 1. Compare la aproximacion con lasolucion real x = tant (Verifique!) evaluada en t = 1.

14. Para el problema con valor inicial:y = y′ ; y(0) = 1, muestre que la aproximacion de Euler yn, mediante el tamano delpaso 1/n, esta dada por la formula:yn = (1+ 1

n)n , n=1,2,... Recuerde de sus cursos de Calculo que: limn→∞(1+ 1n)n = e,

por lo que el metodo de Euler converge (teoricamente) al valor correcto.

15. Determinar si la ecuacion diferencial dada es separable:

(a)dy

dx= 2y3 + y + 4.

(b)dy

dx=yex+y

x2 + 2.

(c)dy

dx= tln(s2t) + 8t2.

16. Resuelva las siguientes ecuaciones:

(a)dx

dt= 3xt2.

(b)dx

dt+ x2 = x.

(c)dy

dx= 3x2(1 + y2).