1

GUIA Nº4. CALCULO I. INGENIERIA.

I.- Límite de funciones.

1) Considerar f(x) =

≤<+−

≤≤

32,2

7

2

21,

xsix

xsix . Determinar dom(f), trazar el gráfico de f y

analizar su comportamiento cuando x 2→ . ¿Qué ocurre con ?)(lim2

xfx→

.

2) Efectuar lo mismo que en 1) para:

a) f(x) =

=

≠−−

2,0

2,2

2

xsi

xsix

x b) f(x) =

=≠−

3,2

3,3

xsi

xsix

cuando x 2→ cuando x 3→

3) Utilizar la definición para demostrar el límite dado. Determinar 0>δ para el valor de

dadoε :

a) )1,0(1)23(lim1

==−→

εxx

b) )002,0(8)52(lim2

=−=+−→

εxx

c) )001,0(1)12(lim 2

2==+−

→εxx

x d) )005,0(6

3

9lim

2

3=−=

+−

−→ε

x

xx

e) )1,0(12

lim4

==→

εxx

f) )3,0(2

11lim

2==

→ε

xx

g) )02,0(4

1

2

1lim

4==

+→ε

xx h) )5,0(2lim

2==

→εx

x

4) Analizar los límites laterales en el punto indicado y determinar si existe el límite en tal

punto:

a) f(x) = 6,6 0 =− xx b) f(x) = [ ] 23,3, =−= oo xxx

c) f(x) =

>+≤+

1,1

1,32

xsix

xsix , x 10 = d) f(x) =

>−≤

2,28

2,2

xsix

xsix, x 20=

e) g(x) = [ ] [ ]xx −+ 4 , x 30 = f) h(x) = 1,1

330

23

=−

−+−x

x

xxx

g) f(x) =

>+−

−

<−

+−

2,53

4

2,2

53

2

2

2

xsix

x

xsix

x

, x 20=

5) Determinar )(lim),(lim),(lim000

xfxfxfxxx →→→ −+

para:

a) f(x) =

>+=<−

0,52

0,0

0,13

xsix

xsi

xsix

b) f(x) =

=

≠−

+−

−

0,2

1

0,

102

1011

1

xsi

xsix

x

2

6) Determinar A y B de tal manera que

)(lim)(lim31

xfyxfxx →→

existan, siendo f(x) = [ )[ )

+∞∈−∈−

−∞∈−

,3,

3,1,1

)1,(,12

3

2

xsiBx

xsiAx

xsix

y f(2) = 3.

7) Calcular:

a) )232( 23

1+−

→xxlim

x b)

1

13

1 ++

−→ x

xlimx

c) 1

11 −

−→ x

xlimx

d) 55

221 −

−→ x

xlimx

e) )1

3

1

1(

31 xxlimx −

−−→

f) 1

131 −

−→ x

xlimx

g) 49

3227 −

−−→ x

xlimx

h) 65

1522

23

3 ++−−

−→ xx

xxxlimx

i) 22

3124 −−

−+→ x

xlimx

j) x

xlimx

110

−+→

k) 53

42

2

3 +−−

→ x

xlimx

l) 3 3

2

1

3

+−

∞→ x

xlimx

m) x

xlimx

3sen0→

n) x

xlimx β

αsen

sen0→

ñ) x

xlimx

tg0→

o) 20

cos1

x

xlimx

−→

p) 30

sentg

x

xxlimx

−→

q) 22 )2(

cos1

ππ +−

−→ x

xlim

x r)

x

xxlimx

sen1sen10

−−+→

s) x

x x

klim )1( +

∞→ t) x

x xlim 4)

11( +

∞→

u) 5)1

1( +

∞→+ x

x xlim v) x

x x

xlim )

1

3(

−+

∞→ w) x

xxlim

1

0)1( +

→ x) 3)

3

1( +

∞→ +− x

x x

xlim y) x

x x

xlim )

1(

+∞→

z) [ ])2ln()12ln( +−+∞→

xxlimx

z’) [ ])ln)1(ln( xxxlimx

−+∞→

z’’) x

xlimx

)101log(0

+→

8) Calcular:

a) x

xlimx

)1ln(0

+→

b) x

eelim

xx

x

23

0

−→

c) 1

10 −

−→ bx

ax

x e

elim d)

x

xxlimx 2cos

sencos

4

−→π

e) x

xaxalimx

)sen()sen(0

−−+→

f) x

xlimx 20 sen

cos12 +−→

g) xx

eelim

xx

x 3sen5sen

35

0 −−

→

h) x

xxlim

1

0)sen1( +

→ i) xg

xxlim

2cot2

0)tg31( +

→ j) x

xxlim sec3

2

)cos1( +→π

k) x

x x

x

xlim

1)

1

1·ln(

1

−+

∞→ l) x

x x

xlim )

24

12(

++

∞→ m)

20 )3(

1·sen2

+

+

→ xx

xlimx

II.- Continuidad de funciones.

1) Determinar los puntos de continuidad y de discontinuidad de:

a) f(x) =

=

≠−−

2,0

2,2

2

xsi

xsix

x b) f(x) =

=≠−

3,2

3,3

xsi

xsix c) f(x) =

>+≤+

1,1

1,32

xsix

xsix

3

d) f(x) =

>−≤

2,28

2,2

xsix

xsix e) f(x) =

>+−

−

<−

+−

2,53

4

2,2

53

2

2

2

xsix

x

xsix

x

f) f(x) = 65

42

2

+−−xx

x

g) f(x) = 1

12

+−

x

x h) g(x) =

x

xx

3

32 − i) h(x) =

x

x

sen j) f(x) =

)1(

sen2 2

−xx

x

2) Analizar la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado. Si fuese

discontinua, indicar si es o no reparable. Cuando corresponda, señalar su extensión

continua:

a) f(x) = 0,11

0 =−+x

x

x b) f(x) = 2,

2 0 =−

xx

x c) f(x) = 1,

1

103

2

=−−

xx

x

d) g(x) = 1,1

3620

234

=−

++−x

x

xxx e) g(x) = 1,

1

330

23

=−

−−+x

x

xxx

f) h(x) = 2,53

402

2

±=+−

−x

x

x g) h(x) = 7,

49

3202

±=−

−−x

x

x

h) f(x) =

>

=

<−

0,2

sen

0,2

1

0,1

xsix

x

xsi

xsix

ex

, x 00 = i) f(x) =

>−

−+−=

<−−

1,1

187

1,7

1,1

.1

2

2

3

xsix

xx

xsi

xsix

x

, x 10 =

3) ¿Existe A y B tal que f sea continua en [ ]5,1 , si f(x) =

≤<−≤<+≤≤+−

53,15

32,

21,162

xsix

xsiBAx

xsixx

?.

4) Determinar A y B de modo que f sea continua en todo su dominio, si:

a) f(x) = [ )[ )

+∞∈−∈−

−∞∈−

,3,

3,1,1

)1,(,12

3

2

xsiBx

xsiAx

xsix

b) f(x) =

≥

<<−+

−≤−

2,cos

22,sen

2,sen2

π

ππ

π

xsix

xsiBxA

xsix

c) f(x) =

>++

≤≤−+

−<<−+

0,2

sen3sen2

02,

225,

2

tg

4

2

xsixx

xx

xsiBAx

xsix

xπ

5) Determinar a∈R tal que g sea continua en x 00 = , si g(x) =

<−

>− −

0,)21(1

0,sen

1

3tg

3

xsixa

xsix

e

xc

x

6) Determinar si son continuas en [ ]2,0 :

a) f(x) =

≤<−≤≤

21,2

10,2

xsix

xsix b) g(x) =

≤<−≤≤

21,2

10,2

xsix

xsix

4

7) Determinar si las sgtes. funciones cumplen las condiciones del Teorema del Valor

Intermedio en los intervalos que se indican. Para aquellas que cumplan las

condiciones, determinar el punto que verifica el teorema:

a) f(x) = x2 en [ ]3,1 b) f(x) = sen x, en [ ]23,2ππ c) f)x) = x [ ]0,202,232 −−− enx

III.- La derivada de una función.

1) Aplicando la definición de derivada, calcular f’(x) para el valor de x0 dado:

a) f(x) = 5x+1, x 10 = b) f(x) = x 4,4 02 =+− xx c) f(x) = 7,19 0 =+ xx

d) f(x) = 3,32

10 =

+x

x e) f(x) = lnx, x 10 = f) f(x) = e 1, 0 =xx

2) Aplicando la definición de derivada, determinar f’(x) para:

a) f(x) = x3 b) f(x) = x c) f(x) = sen 2x d) f(x) = e2x e) f(x)=ln(x )12 +

f) f(x) = 1

1

+x g) f(x) =

2

1

−x h) f(x) =

2

1

−+

x

x i) f(x) = x−2

3) Derivar:

a) f(x) = 27

5 67 −+− xxx b) g(y) = 42

4 715

yyy +++ c) f(t) = )14)(52( 2 −+ tt

d) h(x) = 12

122

2

+−++

xx

xx e) g(x) = 5x(2x2 +1) f) h(x) = sen x + ex + lnx

g) f(t) = 2tsen t – (t2 - 2cos t) h) f(x) = cos x + x·sen x i) g(x) = -x + tg x

j) f(x) = xe xexx cos+ k) f(x) = (3x xxx ln)6(cos)6 22 −+− h(x) = 2

23

x

xx +

4) Determinar el valor de f’(x), si es que existe, para las funciones definidas por:

a) f(x) =

>−≤

1,2

1,3

xsix

xsix b) f(x) =

>−≤−

1,23

1,43 2

xsix

xsix c) f(x) = 12 −x d) f(x) = 3 1−x

5) Si f(x) = ?4¿,4 0 =− xenderivablefesx

6) Dada f(x) = 1 + 2+x , determinar, si existen, f’(-2+ ) y f’(-2 − ). ¿Es derivable f en

x= -2 ?. Justificar. ¿Es f continua en x = -2 ?.

7) Sea f(x) =

−≥−−<

1,1

1,2

xsi

xsix . ¿Es f continua en x0=-1?. ¿Es f derivable en x0=-1?.

Justificar.

8) Determinar, si existen “a” y “b” ∈R de modo que f sea derivable en x0=2, siendo

f(x) =

>+≤−

2,

2,3 2

xsibax

xsix

9) Aplicando la regla de la cadena derivar las siguientes funciones:

a) f(x) = (x 32 )x− b) f(x) = (3x 832 )· xx− c) f(x) = x 223·tg x

5

d) f(x) = (1+x )sen(cos)2 x e) f(x) = 5sen 22 x f) f(x) = lnx

x

+1

2

g) f(x) = 2sen 3x + cos 2x - x xcos2 h) f(x) = x 3 22· x i) f(x) = e bxax·sen

j) f(x) = (3x 22 51)·2 x++ k) f(x) = 3e xx ·sen16 2− l) f(x) = 32xe

m) f(x) = 2

1

+x n) f(x) = 29 x− o) f(x) =

2

2

1

1

x

x

+−

p) f(x) = 2

32

3

)1( x

x

−

q) f(x) = cos 32 )( xa − r) f(x) = sen3

sen33

3 xx − s) f(x) = xx

xx

sen5

sen5

−+

t) f(x) =

<≥

0,

0,3

xsix

xsix u) f(x) =

>−−<1,12

2,2

xsix

xsix v) f(x) = x

2284· xe −

w) f(x) =

>−≤≤−++

−<+

0,5

02,54

2,3

2

2

xsix

xsixx

xsix

x) f(x) = ln(sec x+tg x) y) f(x) = x

x

9

2sen

10) Determinar la ecuación de la recta tangente y de la normal a la curva y=f(x) en

el punto dado:

a) f(x) = 3,2

10 =

−+

xx

x b) f(x) = 1,3 0 −=− xx c) f(x) = x 2,32 0

23 =+− xx

11) Determinar los puntos de f(x) = x 101284 234 +−−− xxx , tal que la recta tangente en

dichos puntos sea paralela a la recta 12x + y - 5=0 y determinar las ecuaciones de las

respectivas rectas tangentes.

12) Determinar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva dada en el punto

indicado:

a) 5x )1,1(,5 233 enyxy =+ b) 2 )1,2(,092 33 enxyyx =−+ c) x-y= )1,3(, enyx +

d) )3,2(,0234279 223 −−=+−+−+ enyxyxx e) )1,1(,0255 enxyyx =−+ .

13) Determinar las ecuaciones de las tangentes y normales a f(x) = 325 34 −− xx en

aquellos puntos donde f’’(x) = 0.

14) Sean P ),(),( 222111 yxPyyx dos puntos de la parábola y = ax2 +bx+c y P ),( 333 yx

el punto en el cual la recta tangente a la curva es paralela a la cuerda 21PP . Probar

que 2

213

xxx

+= .

15) Determinar si las funciones dadas son o no derivables en el punto dado:

a) f(x) = 0, 0 =xenx b) f(x) = 1, 0 =xenx c) f(x) = 3,3 0 =− xenx

d)f(x) =

>+−≤−2,24

2,22

2

xsixx

xsix , en x 20= .

6

16) Sea f(x) =

>−

≤−

2,4

2,42

2

xsix

xsix :

a) ¿Es f continua en x 20= y en x ?¿.?21 quéPor−=

b) Calcular las derivadas laterales en x0 y x1.

c) Obtener la función derivada f’(x) y su dominio.

d) Esbozar el gráfico de f.

17) Derivar:

a) f(x) = arc sen 12

2

−a

x b) f(x) = arc tg

21 x

x

− c) f(x) = arc cos

xba

xab

cos

cos

++

d) f(x) = ln(sec x + tg x) e) f(x) = arc sen(3x – 4x3 ) f) 2522 =+ yx

g) 3694 22 =− yx h) 486

2

532

=+−+x

yyyxx i) 1=+

x

y

y

x

j) tg y = 3x2 + tg(x + y) k) cot xy= -xy l) arc cos xy = arc sen(x + y)

m) (sen x) yx =sen n) e yxx = ñ) y =

xxx o) y = (sen x) xtg p) y = (arc tgx) x2cos

q) y = x xarcsen r) xy yx = s) y = (sen x·cos x)x .

18) Calcular:

a) f’’, si f(x) = 12 +x b) f’’, si f(x) = x

x

+−

2

2 c) f )4( , si f(x) =

x

xx

−−

1

2 23

d) f’’’, si f(x) = x

x

−1

3

e) f )(n , si f(x) = x+1

1 f) f )(n , si f(x) = ln(ax + b)

g) f )(n , si f(x) = e x2 h) f )5( , si f(x) = sen2 x i) f’, si f(x) = ln(sen 2x)

19) Demostrar que y = sen(m·arc sen x) satisface la ecuación (1-x2 )y’’- xy’ + m 2 y = 0.

20) Determinar si y = e x− ·cos x satisface la ecuación y)4( + 4y = 0.

21) Sea sen(2x + y) = x. Determinar y’. Verificar que y’’ = tg(2x + y) + tg3 (2x + y).

22) Demostrar que y = sec2 x satisface la ecuación y’’ – 2(y·sec2 x + y’·tg x) = 0.

23) Determinar si el Teorema de Rolle es aplicable a las funciones dadas. En caso

afirmativo determinar el o los puntos que satisfacen dicho teorema:

a) f(x) =

−−−+ 1,4

1,144 23 enxxx b) f(x) = [ ]7,7,

7

7−+ en

x

x

c) f(x) = [ ]4,0,)2(3 2 enx − d) f(x) = [ ]4,3,3

122

−−

−−en

x

xx

24) Determinar si las siguientes funciones satisfacen las condiciones del Teorema del

Valor Medio. En caso afirmativo, determinar el o los puntos que satisfacen tal

teorema:

a) f(x) = 2x [ ]2,2,5323 −+−− enxx b) f(x) =

>

≤−

1,1

1,3 2

xsix

xsix en [ ]2,0

7

c) f(x) = [ ]6,1,)3(

42

enx −

d) f(x) = [ ]2,1,4

2

−+

enx

x

25) Aplicando la regla de L’Hopital, calcular:

a) x

xlimx

110

−+→

b) )3sen(

33

3 −− −−

→ x

eelim

xx

x c)

)2cos(1

222

2 −−−+ −−

→ x

eelim

xx

x d)

x

xarcxlimx 30 sen

sen−→

e) x

xalim

x

x ln

ln

1

−→

f) x

aalim

xx

x

)1(0

+−→

g) x

xlimx tgln

senln0+→

h) )cos1

(0

ecxx

limx

−+→

i) 4

2

0

2cos1

x

xx

limx

−−

→ j) xxlim

xsen·lntg

0+→ k) x

xxxlim tg

0)sen( +

+→ l)

x

x

xlim−

→

2

2

)2(tgπ

π

m) xx

xxlim sen

12

0)1( +

→ n) x

xxlim

+→0 ñ)

x

xlimx 11sen

7sen0→

.

RESPUESTA A LOS EJERCICIOS

I.- Límite de Funciones.

1.- ( ) ∃→

xfx 2lím 2.-a) ( ) ∃

→xf

x 2lím b) ( ) 0lím

3=

→xf

x

3.-a) 033,0=δ b) 0004,0=δ c) 00033,0=δ d) 005,0=δ

e) 10

323+=δ f) 6,0=δ g) ( )

25

3472 +=δ h) 1=δ

4.-a) ( ) 0lím6

=→

xfx

b) ( ) ∃−→

xfx 3lím c) ( ) ∃

→xf

x 1lím d) ( ) 4lím

2=

→xf

x

e) ( ) 3lím3

=→

xfx

f) ( ) 4lím1

=→

xfx

g) ( ) ∃→

xfx 2lím

5.-b) ( ) 1lím0

−=−→

xfx

; 2

1)(lím

0=

+→xf

x

6.- A = 1 ; B = 19

7.-d)5

10 e) –1 f)

2

3 g)

56

1− i)3

22 j)

2

1 k)

314

5

− e) 1

n)βα

ñ) 1 p)2

1 q)

2

1 r) 1 u) e v)4e x) 4−e

y) 1−e z) ln2 z’)1 z”) 10loge

8.-a) 1 b) 1 c)b

a d) 1 e) 2cosa f)

24

1 g) 1 h) e

i) 3e j) 3e k) 0 l) 0 m)9

2

II.- Continuidad de Funciones.

1.-a)f es discontinua en x = 2 b)f es discontinua en x = 3 c)f es discontinua en x =1

d)es continua ℜ∈∀x e)f es discontinua en x = 2 f)f es disc. en x = 2 y x =3

8

g)f es discontinua en x =-1 h)g es discontinua en x = 0

i)h es continua { }Zkkxx ∈=−ℜ∈∀ ,π j)f es continua { }1,0−ℜ∈∀x

2.-a) disc. reparable,( )[ ) { }

=

−+∞−∈−+

=0;

2

1

0,1;11

xsi

xsix

x

xf b) disc. irreparable

c)disc. reparable,

=

≠−−

=1;

3

2

1;1

1

)(3

2

xsi

xsix

x

xf

d)disc. reparable,( )

=−≠++−

=1;8

1;362 234

xsi

xsixxxxf e) disc. irreparable

f)disc. reparable, ( )

±≠

±≠+−

−=

2;6

2;53

42

2

xsi

xsix

xxh

g)disc. reparable,( )[ ) { }

=−

−+∞∈−

−−

=7;

196

1

7,3;49

322

x

xx

x

xh h)disc. irreparable i)disc. rep.

3.- A = - 5 ; B = 3 4.-a)A = 2 ; B = 10 b)A = - 1; B = 1 c) 2;2

2 =−= BAπ

5.- 3

3

2−

= ea 6.-a)f es continua en [ ]2,0 b)f es continua en [ ]2,0

9.-a)no es aplicable b) π=0x c) 56,00 −=x

III.- La Derivada de una Función.

1.-b) 7 c) 16

9 d)

27

1− e)1 f) e

2.-e)1

22 +x

x g)

( )222

1

−−−

xx h)

( )22

3

−−

x i)

x−−

22

1

4.-a) , b) , c) y d) no es derivable en x = 1 5.-no es derivable en x = 4

6.- cont. y no derivable en x = -2 7.-disc. y no derivable en x = -1 8.- a =-12 ; b = 12

9.- t) ( )

<>

=0;1

0;3'

2

x

xsixxf w) ( )

>−<<−+−<<−

−<−

=

0;2

02;42

23;1

3;1

'

xsix

xsix

xsi

xsi

xf

10.-a)T: y – 4 = - 3 (x – 3) b)N: y – 2 = 4 (x + 1) c)T: y – 3 = 4 (x – 2)

11.-(0 , 10) ; (-1 , 19) ; (4 ,-166)

9

12.-a) ( )15

21: −−=− xyN c) ( )3

5

31: −=− xyT e)T: y – 1 = - (x – 1)

13.-T: y + 3 = 0 , N: x = 0 ;

−−=+5

1

25

2

125

376: xyT

16.-a)continua en 2±=x b) ( ) ( ) ∃− 2'2' fyf c) ( ) ( ) ( )

+∞∪−∞−∈<<−−

=,22,;2

22;2'

xsix

xsixxf

17.-b)2

2

1

1

x

x

−

+ c)

xba

ba

cos

22

+−

23.-a) 2

1=c b),c) y d) no es aplicable Rolle

24.-a) c = -1 b)no es aplicable c)no es aplicable d)45

7=c

25.-a)2

1 b)2 c)2 e) –1+lna f)

1ln

+a

a g) 1 h) 0 i)

24

1− j) 0

k) 1 l) 1 m) e n) 1 ñ) 11

7