guia 9 integrales

�

UU NN II VV EE RR SS II DD AA DD DD EE CC HH II LL EE

FACULTAD DE MEDICINA UNIDAD DE MATEMÁTICA Y COMPUTACIÓN

GGUUÍÍAA NNºº99

IINNTTEEGGRRAALLEESS YY SSUUSS

AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS

PROFESORES: MAURICIO MATURANA M. INGRID GALAZ P.

GIOVANNA TICCHIONE T.

SANTIAGO-CHILE

2004

� MATEMÁTICA 2004

U. DE CHILE

EEJJEERRCCIICCIIOOSS DDEE IINNTTEEGGRRAALLEESS

IInntteeggrraacciióónn iinnmmeeddiiaattaa

1. ∫ (3x2 – 4x

3 – 1) dx 6. dx

x

1 x

3

2

∫

+

2. dx x

1 x2

3

∫

+ 7. dx x4 3

∫

3. ( )∫ + dx x x 8. ∫ (2x3 + 3x

2 + x – 1) dx

4. dx 4

xx -

x

3∫

9. ∫ x2

(x3 + x

-2) dx

5. ∫

++ dx 2

xx

4

x

12

10. ∫

+ dx 1 -

x

1 x

IInntteeggrraacciióónn ppoorr ssuussttiittuucciióónn

11. ∫ + dx 3) 2x( 27. dx x

xln∫

12. ∫ 3 -2x

dx 28. ∫ 1 -x

dx

13. ∫+ 6 3x

dxx 2

29. ∫ x- 1

dx

14. ∫ 3

2

x- 2

dx 3x 30. ∫ 2x - 5

dx

15. ∫ +

+dx

2 x

3 x 31. ∫

+ 3 2x

dxx

2

16. ∫+

dx 1 -2x

3 2x 32. ∫

+1 x

dx x

3

2

17. ∫ 3 -7x

dx 33. ∫

++

+dx

3 2x x

1 x 2

18. ∫ dx 1 - x

x2

34. ∫ 2x(x2 + 1)

4 dx

19. ∫+

dx 1 -x

1 x 3

35. ∫ e5x dx

20. ∫+

dx 2 -x

1 x 2

36. ∫ xsen

dxcosx 2

21. ∫ xcos

dxx sen3

2

37. ∫+1 2senx

dxcosx

22. ∫ +

+dx

1

1ln

x

x 38. ∫

+2cos2x) (1

dxsen2x

23. ∫ esenx cosx dx 39. ∫ + 3 2senx

dxcosx

24. ∫ +++ dx 2) (x e 3 4x x2

40. ∫ (e6x + a

3x ) dx , (a>0)

25. ∫+

x

x

4e 3

dx e 41. ∫

x

dx e 2 x

26. ∫ dx xcos

tan x2

42. ∫+

2x

2x

e 2

dx e


U. DE CHILE

IInntteeggrraacciióónn ppoorr ppaarrtteess

43. ∫ x ex dx 53. ∫ xlnx

dx

44. ∫ x senx dx 54. ∫ x cosx dx

45. ∫ ln x dx 55. ∫ x2 senx dx

46. ∫ x ln x dx 56. ∫ x2 cosx dx

47. ∫ x2 e

x dx 57. ∫ x3

cosx dx

48. ∫ (x2 + 7x – 5) cos 2x dx 58. ∫ cos

3x dx

49. ∫ senx cosx dx 59. ∫ cos4x dx

50. ∫ sen3x dx 60. ∫ x sen

2x dx

51. ∫ senx dx 61. ∫ x sen3x dx

52. ∫ cos2x dx 62. ∫ x2

sen3x dx

63. Demuestre que: ∫ sen2x dx = -senxcosx + ∫ cos

2x dx

64. Sabiendo que: cos2x = 1 – sen

2x ; sen2x = 2senx cosx

y empleando el resultado obtenido en el ejercicio anterior, demuestre que:

∫ sen2x dx = C

4

2xsen -

2

x+

IInntteeggrraacciióónn ddee ffuunncciioonneess rraacciioonnaalleess ((ffrraacccciioonneess ppaarrcciiaalleess))

65. ∫ dx 2) -1)(x -(x

1 -2x 79. ∫ 2) -(x 1) -(x

dx2

66. ∫ dx 3) -1)(x -(x

3 -5x 80. ∫

+

++dx

x) 1)(1 -(x

3 2x x2

2

67. ∫ 2 x- 1

dx 81. ∫ 22 x)- (1 x

dx

68. ∫+

+dx

5 -4x x

7 3x 2

82. ∫+

+dx

2) -(x 1) (x

2 x3

2

68. ∫+

dx 3 2x - x

5 -6x 2

83. dx x) x(1

2 3x 3∫

+

+

69. ∫+

dx 2x - x x

1 -2x - 2x23

2

84. ∫++

22

2

4) (x 2) (x

dx x

70. ∫+

+dx

2x - x x

5 -5x 3x23

2

85. ∫+

++dx

2) -(x 1) (x

1 12x 5x2

2

71. ∫ +++ 5) 3)(x 1)(x (x

dxx 86. ∫

+1) 1)(x -(x

dxx 2

72. ∫+ 2) 1)(x - (x

dx x2

4

87. ∫+ 4x x

dx 43

73. dx 4x 4x - x

8 -x 23∫

+ 88. ∫

+ 4 - 3x x

dxx 24

74. ∫ 2 x)- x(1

dx 89. ∫

+dx

x x

3 - x23

4

75. ∫+

+dx

2) (x

4x x32

35

90. ∫++

dx 4) 2)(x (x

6 - x22

3

76. ∫ 1 - x

dx x3

5

91. ∫++

dx 1) 4)(x (x

7 -3x 2


U. DE CHILE

77. ∫+

+dx

2) (x

1 - x x22

3

92. ∫+

dx 1 - x

1 x 3

78. ∫+

dx x x

dx3

93. ∫+

+dx

1) x(x

1 x2

4

IInntteeggrraall ddeeffiinniiddaa

94. ∫+

1

0

31) (2x

dx 99. ∫

1

0

2

2dx x- 1sen

x- 1

x

95. ∫π

0

dx2x sen 100. ∫-1

2-

2 dx 3) - (x

96. ∫π

0

2 dxx sen 101. ∫2

1

dx 1 -x x

97. ∫2

1

2x- dx 2 ·x 102. ∫2

2-

2 dy ) y - (4

98. ∫

π

6

0

sen x- dx 4 ·cosx 103. ∫0

1-

3 dx x)- (x

CCáállccuulloo ddee áárreeaass

104. Encuentre el área entre las curvas: y = 2 x 1

1

+ ∧ y =

2

x 2

105. Encuentre el área de la región limitada por las curvas:

x2y = a

3 , las rectas x = 2a e y = 2a , y el eje de las ordenadas


x2 = 2y + 1 ∧ y – x – 1 = 0

107. Demuestre que el área comprendida entre las parábolas:

y2 = 2ax ∧ x

2 = 2by (con: a, b > 0) es

3

43b

108. Demuestre que el área de la elipse: 2

2

2

2

b

y

a

x+ = 1 es πab


y = senx , y = cosx , el eje y , y la recta: x = π

110. Encuentre el érea de la superficie limitada por la curva: x2y = x

2 – 1

y las rectas: y = 1 , x = 1 , x = 4


U. DE CHILE

CCaallccuullee eell áárreeaa ddee llaass ssiigguuiieenntteess rreeggiioonneess aacchhuurraaddaass::

111. y 114. y

f(x) = x2 - 1

2

x

3 x

-2

-5

g(x) = 1 – x2

112. y 115. y

- π

2

x 3π x

2

y = 2sen(x - ππππ) y = -x2 – x y = -x2 + x 2

113. y 116. y

y = + x

2

x

1 4

x

-3 -1 1 5

y = - x


U. DE CHILE

SSOOLLUUCCIIOONNEESS DDEE IINNTTEEGGRRAALLEESS

IInntteeggrraalleess iinnmmeeddiiaattaass

cxx

cx

cxx

x

c

cx

cxx

cx

cx

cx

x

cx

+−+−

++−

+−++−

+−

++−

+++

+−−

++−

+−−

+−−−

23

x2 .10

6

x .9

22

x .8

7

x4 .7

2

3

3

x .6

25

8

x

1- -5.

10x6 .4

3

2

2

x .3

1

2 .2

x x.1

3

6

2

3

4

4 7

3 23

5

5

32

2

43

IInntteeggrraalleess ppoorr ssuussttiittuucciióónn:

cln(x)4

1 -17.

c)1ln(2x4 x-16.

c)2ln(x x-15.

c2)-ln(x- -14.

c6)ln(3x6

1 -13.

c3)ln(2x2

1 .12

33

2x2 .11

3

2

3

+

+−+

+++

+

++

++−

++− cx


U. DE CHILE

( )

c

cx

cx

ce

c

c

cx

cxtgxx

c

ce

xxxxx

cxx

cx

cx

c

xx

xxx

x

x

++−

+−

+−

++−

+−

+−

++−

++−+−

+−

+−

++++−

+++−

++−

++

+

+

+

+

+++

++++

+−−

+

12sen(x) .38

)(2sen

1 .37

)(2cos

1 .36

43ln4

1 .35

e2

1 .34

e .33

)1ln(2

1 .32

)()sec(ln2

1

2

sen(x)

(x)2cos

)(sen .31

sen(x)

1- .30

5

1 .29

225

1 .28

32ln2

1 .27

13

2 .26

322

1 -25.

c2x)-ln(52

1- -24.

c1)-ln(x- -23.

c1)-ln(x -.22

2

ln(x) -21.

c2)-ln(x522

-20.

c1)-ln(x22

1

3

1 -19.

c1xln2

1 .18

2

2

)4(x

sen(x)

2

2

3

5

246810

2

3

2

2

2

23

2

2


U. DE CHILE

c

c

c

ca

a

cx

c

x

x

+−−

++−

+−

++−

++−

++

−

)eeln( .44

)e2ln(2

1 .43

4e .42

ln3e

6

1 .41

3)(sen2ln2

1 .40

cos(2x))2(1

1 .39

x-x

2x

x

3

6

IInntteeggrraacciióónn ppoorr ppaarrttee:

( )

c

xxxx

xx

x

xx

xx

x

xxx

xxx

xxx

c

c

xxxxxx

cex

cx

cx

c

x

+−+

⋅−

++⋅+⋅

++⋅

++⋅

+−⋅⋅

++⋅⋅

+⋅

+−−+−

++−

+++−−

++−

+

++++−−

++−−

+

−−

+−

+−

+−

4

x

4

(x)sen

2

sen(x)cos(x)

2

x x-68.

c8

3)(sen)(cos

8

3)(sen(x)cos

4

1 -67.

c)(sen3

2)(sen(x)cos

3

1 -66.

c2

x)(sencos(x)

2

1 -65.

c15

cos(x)8)(sencos(x)

15

4-cos(x))(sen

5

1- -63.

c8

3x)(sencos(x)

8

3-cos(x))(sen

4

1 -62.

ccos(x)3

2-cos(x))(sen

3

1- -61.

cxsen(x)6cos(x)6)(cos3)(sen x.55

ccos(x)2)(sen2)(sen x-54.

csen(x)2)cos(2)(cosx .53

)x(xsencos(x) .52

xlnln -51.

csen(2x)2

7)2cos(

4

7)2(xcos

2

1)2(sen

4

11)2(sen

2

1 .50

)22(x .49

4

1

2

ln x.48

x xln-47.

cxcos(x)-sen(x) .46

1)e-(x .45

22

3

2

24

3

2

23

2

2

2

2

2

x


U. DE CHILE

cx

c

+++⋅

++

−

⋅−

+−+

−

⋅−

3

sen(x)4

27

cos(x)40

27

cos(x)(x)2sen

9

(x)2xsen

3

2cos(x)

3

(x)sencos(x)- x.70

3

2sen(x)

9

(x)sen

3

2cos(x)

3

(x)sencos(x)- x.69

232

32

IInntteeggrraacciióónn ddee ffuunncciioonneess rraacciioonnaalleess:

cxxx

cxxx

cxxx

cxxxx

cxxx

cxx

x

cxx

cxx

cxx

cxx

c

c

c

c

c

c

c

++−+

++

−

++−+

−+

−+−

++−+

++

−−

+−++−+

−+

−

+−−−−

−−

++−+

+−−

+−−−

+−

+−−−

−−

+−+−

+−

++++−++−

++−+++

+++−−

+++−−

+++−

+++

+−

+−−

+−−

1ln21

2

)1(2

1x2ln -88.

2ln22

1

4

44x2ln .87

1ln21

2

)1(2

1x2ln .86

2ln9

21ln

9

2

)1(3

1

)1(2

1 .85

1ln21

1

1x2ln .84

1ln2

1

1

11ln

2

3 .83

1ln1

12-xln .82

1ln1

3xln .81

2ln22

3x2ln- .80

2ln3

161xln

2

11-xln

6

1

2

12x- .79

5xln8

53xln

4

3x1ln

8

1- -78.

1-xln2xln2

1xln

2

5 .77

1-xln22xln2

1xln

2

1 .76

3-xln4

131xln

4

11 .75

1-xln3

55xln

3

4 -74.

carcotg(x) .73

1-xln3-x6ln .72

1-xln2-x3ln .71

2

2

2

2


U. DE CHILE

cxxx

cxx

cxx

cxxx

cx

cxx

cxx

cx

cxxx

x

cxx

cx

cxxx

++−+−

+++−−

+++

++−

+++

+

−+−

++−−

+++

−

+−

+−+−

++++

−

++−+++−

+−++−

++−−

+++−−−

1lnln2

1 .100

1ln3

11-xln

3

2 .99

)4ln(2

xarctg

2

11ln-2.98

)4ln(2

xarctg

2

32

2

1arctg2

2

32ln

2

1- .97

1ln2

1xln .96

)2ln(2

12

2

1arctg2

8

1

)28(x

2x-4 .95

1ln3

1

3

1 .94

2ln2

1

)2(x

1 .93

1ln2ln33

2

1x- .92

1ln10

14ln

10

1- .91

4ln2

1xln .90

)(arctg2

11ln

4

11ln

2

1 .89

22

2

2

22

2

2

2

33

2

22

2

22

2

2

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