guia de ejercicios para funciones

Gua de repaso para funciones Profesor Eduardo Flores

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GUIA DE EJERCICIOS ECUACIN DE LA RECTA Y PENDIENTE 1) Encontrar la pendiente de la recta determinada por cada uno de los siguientes pares de nmeros:

a) (2, 1) y (5, 4) b) (2, -3) y (-4, 1) c) (12, 46) y (82, 256) 2) Qu relacin (paralela, perpendicular o de interseccin) tiene la recta 3x + 4y - 2 = 0 con cada una de las rectas siguientes?

(Nota: Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1)

a) 8x - 6y + 5 = 0 b) 9x + 12y + 7 = 0 c) 3x + y - 4 = 0

d) 12x - 9y + 2 = 0 e) 2x+ y - 6 = 0

3) Si una recta L tiene la ecuacin general: 2x + 0.6y-10.8 = 0, encontrar la parte faltante en cada uno de los casos siguientes:

a) (3, y) c) L tiene pendiente? b) (x, 15) d) L intercepta a y en ?

4) Cules de los puntos siguientes quedan en la recta cuya ecuacin es 3x + 4y - 10 = 0?

a) (1, 2) b) (-2, 4) c) (10, -5)

d) (-25, 21) e) (0, 0) f) (22/9, 2/3)

5) Obtenga la funcin general (o estndar) de la recta a partir de cada una de las siguientes funciones:

a) y = 3x + 9 d) y = 1/2 - 2x b) x = 3y e) p = 2/3 q - 1/4 c) y = 4 - 5x f) z = 0.1 + 1.2t d) y = 1/2 - 2x

d) y = 3x + 9 e) x = 3y e) p = 2/3 q - 1/4 f) y = 4 - 5x f) z = 0.1 + 1.2t

6) Obtenga la ecuacin general de la recta, sabiendo que:

a) pendiente = 2/5 interseccin con y en (0, 3/2) b) pendiente = -2.5 interseccin con y en (0, -1.5)

7) Escribir las siguientes ecuaciones en la forma pendiente-interseccin e indicar la pendiente y la interseccin con el eje de las

ordenadas.

a) 2x + y = 1 c) 3y - 2 = x b) 2y = x+ 2 d) 3s = 4 - 2t

8) Encontrar la ecuacin de la recta que:

a) Pasa por (5, 15) y tiene una pendiente de -3. b) Pasa por el punto (6, 4) y es paralela al eje de las x c) Pasa por el punto (-1, 2) y es paralela a la recta que une los puntos (20, 50) y (100, 400)

9) Para cada uno de los pares de puntos siguientes,

a) Hallar la pendiente de la recta que pasa por ambos b) Hallar la ecuacin de la recta usando la pendiente c) Hallar la ecuacin de la recta sin usar la pendiente d) Graficar la recta

i) (0, 0) y (6, 3) ii) 10/3, 0 ) y (0, 5/2) iii) (-7, 4) y (8, 4)

iv) (3, -2) y (3, 5) v) (-1, -2) y (4, 1) vi) (-2, -3) y (-5, -6)


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10) Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (3, -2) y es perpendicular a la que pasa por los puntos (-1, -2) y (3, 7) 11) Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (4, 3) y es paralela a la que pasa por los puntos (0, -3) y (6,1) 12) Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (5, 15) y es paralela a y = x + 25 Qu relacin (paralela, perpendicular o de

interseccin) tiene aquella recta con la que pasa por los puntos (6, 0) y (-2, 8)?

13) Hallar la ecuacin de la recta cuya interseccin con el eje y es (0, -3) y que es perpendicular a la que pasa por los puntos (-2, -1) y (2, 5)

14) Hallar la ecuacin de la recta paralela a la que pasa por los puntos (5, 6) y (7) y tambin pasa por la interseccin dos rectas L1 y L2 tales que:

L1: tiene pendiente 2 y pasa por el punto (-4, -6) L2: tiene pendiente 3 y pasa por el punto (2, 2) APLICACIN DE LA FUNCIN LINEAL 1) Determine cuntas unidades se deben producir y vender para lograr el punto de equilibrio si una empresa tiene los costos fijos

de $2000 y costo variable de $25 por cada unidad y adems vende cada artculo a $150. 2) Una industria puede producir 7 toneladas de mineral a un costo de US$1500.- y puede producir 15 toneladas a un costo de

US$1800.- suponiendo un modelo lineal: a) Determine la ecuacin de costos b) Calcule el costo de producir 20 toneladas c) Grafique la situacin

3) Un fabricante de zapatos est en su punto de equilibrio si sus ventas son de US$1800.- Si los costos fijos son de US$450.- y

cada par de zapatos se vende a US$30.- Determine la cantidad de zapatos vendidos y el costo variable de cada par de zapatos 4) Si la Utilidad (u) es cero cuando la Cantidad (q) es 10 y la utilidad es -500 cuando q es cero, encuentre una funcin lineal que

relacione estas dos variables. ( U(q) = 50q - 500 ) 5) Un artculo que cuesta $9000 se vende en $12000 y otro que cuesta $99000 se vende en $142,000. Si estos dos ejemplos

representan la poltica general de precios: a) Encontrar una funcin que represente esta situacin. y = 13x 9000

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b) Encontrar el costo de un artculo que se vende en $80000 ( 56076,92 ) c) Encontrar el precio de venta de un artculo que cuesta $35000 ( 49555,55 ) d) Representar grficamente la funcin.

6) El flete areo de una libra de mercanca cuesta $55 transportndola 800 millas y $100 transportndola 2000 millas. Suponiendo

que estos datos representan la poltica usual de costos, encontrar: a) Una funcin lineal que determine el costo del transporte areo. ( y=0,0375x +25 ) b) El costo de transportar una libra por 1500 millas. ( y = 81,25 )

7) El costo de almacenaje de un artculo I est definido por la funcin C = 0.4x + $1360, en donde x es el costo unitario de I.

a) Encontrar el costo de almacenaje para un artculo que cuesta $6000 ( C(x) = $ 3760 ) b) Encontrar el valor de un artculo para el cual su costo de almacenaje es de $1800. ( x = $ 1100 )

8) A una compaa le cuesta US$75 producir 10 unidades de cierto artculo, y US$120 producir 25 unidades del mismo artculo. a) Cul es el costo variable y costo fijo por artculo ( CV = 3, CF = 45 ) b) Cul es el costo de producir 20 artculos ( US$105 ) 9) Los costos fijos por producir cierto artculo son de US$5000 al mes y los costos variables son de US$3,5 por unidad. Si el

productor vende cada uno a US$6. Encuentre el punto de equilibrio (x = 2000 Unid. US$ 12000 )


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10) Determine cuntas unidades se deben producir y vender para lograr el punto de equilibrio si una empresa tiene los costos fijos de $2000 y costo variable de $25 por cada unidad y adems vende cada artculo a $150

11) Los costos fijos por producir cierto artculo son de US$5000 al mes y los costos variables son de US$3,5 por unidad. Si el

productor vende cada uno a US$6. a) Encuentre el punto de equilibrio (x = 2000 Unid. US$12000) b) Determine el nmero de unidades que deben producirse y venderse al mes para obtener una utilidad de US$1000 ( x = 2400 Unid. ) c) Obtenga la prdida, cuando slo se producen y venden 1500 unidades (-US$ 1250)

I. RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.

1) Dada la funcin 5)( 2 = xxf el valor de )2()2( + ff es :

2) Dada la funcin 3)( =xf el valor de )11()7( + ff es :

3) Dada la funcin 15)(

2

+=

xxxf , el valor de )3(f es:

4) Halla el dominio de la siguiente funcin: 25=xxy ,

5) Dada la funcin:

>++


4

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

y

O

12) El grfico siguiente corresponde a la recta de ecuacin:

a) y = -3(x + 4)

b) y = x 2

c) y = 2x 4

d) y = -2x -4

e) y = -x 4

13) Dada la funcin 23)( 2 += xxxf , la expresin equivalente a )3( +af es :

14) Dada la funcin cuadrtica 4415)( 2 += xxxf , los puntos de interseccin con el eje de las X son:

15) Determine vrtice de la parbola 214)( 2 += xxxf :

16) Dadas las funciones lineales 412 += xy ,

223 xy = , determine el punto de interseccin.

17) Cul de las siguientes funciones es la que representa a la grafica de la figura:

a) 25102 += xxy

b) 25102 += xxy

c) 252 += xy

d) 252 = xy

e) 122 += xxy

18) El valor de x en la ecuacin 93 5 =+x

19) El valor de x en xx 84 2 =+ es:

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

O


5

20) El valor de x en la expresin xx aa 2252 )(= es:

21) Al resolver la ecuacin 753 =x se obtiene que x es igual a:

22) En la ecuacin xx 735 = x es igual a:

23) Determine x en 53 52 =x :

24) Dada la funcin: f(x) = 3ax , si f(2) = 811 , , entonces el valor de a es:

25) Dada las funciones xx xgxf 3)(;2)( == ,el valor de )1()2( gf +

II. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS.

1) El costo variable de producir un artculo es de 27,5 dlares y el costo total de producir 50 unidades es 4875 dlares. Determine el costo de producir 20 unidades.

2) El costo de producir 20 unidades es de US$2.725 y el costo de producir 40 unidades es de US$2.910. Determine el costo de producir 32 unidades.

3) Si la funcin 2200025001,0)( 2 += xxxU representa las utilidades de una empresa donde U: dlares y x: unidades vendidas, la utilidad mxima de la empresa es de:

4) Se sabe que la masa de cierto material radioactivo disminuye en funcin del tiempo (t) segn la funcin ttm 5260)( = estando m en gramos y t en horas. Despus de cunto tiempo la masa del material es de 30 gramos?

5) Al depositar un capital C en una entidad que paga una tasa de inters del i por ciento, al final de n aos se tendr: ( )ni1CM += .Si se invierten $ 35.500 a un inters compuesto del 15% anual;Despus de cuntos aos tendremos un capital total de $ 189.934?

6) Se estima que cierta mquina se deprecia de tal forma que su valor despus de t aos viene dado por: tetV 03.028000)( = (dlares) Despus de cuantos aos la mquina tendr un valor de 17.853,6 dlares?

7) Un medicamento se elimina del cuerpo a travs de la orina. La dosis inicial es de 10 mg y la cantidad A (t) que queda en el cuerpo t horas despus est dada por ttA 8.010)( = . Para que el frmaco haga efecto debe haber en el cuerpo por lo menos 2 mg. Determine cundo quedan slo 2 mg.

8) Una poblacin P(t) de peces de un estanque a los t meses est dada por la expresin:

3t2 1024)t(P = . A los cuntos meses habr 64.000 peces?

9) Si deposito en una institucin bancaria $ 20.000, con un inters compuesto del 10% anual, qu cantidad tendr en 48 meses, suponiendo que ya tena ahorrados $ 10.000?

10) El costo de produccin de un artculo est dado por la funcin 210402)( 2 = xxxC .Si cada artculo se vende a $24.- Determine el nmero de unidades que se deben producir y vender para que no haya ganancias ni prdidas

III. Grafique la funcin f (x) = 2x1


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Resuelva los siguientes ejercicios. 3x 1 si x > 5 1) Sean las funciones f ( x ) =

x2 +1 si x = 5 g ( x ) = 4x2 5x +1

3 x si x < 5 2 Calcule: a) f ( 3 ) b) f ( -1 ) c) f ( 1 / 2 )

d) g ( -1 ) e) g ( 2 )

Respuestas

a) 0 b) 2 c) 5/4 d) 10 e) 7

2) Determine la funcin inversa de:

a) f x( ) = 4 3x2

b) g x( ) = 4x 12

c)h x( ) = 3x 1x +1

d) i x( ) = 1 4x5 2x

Respuestas

f 1 x( ) = 2x + 43

g1 x( ) = 2x + 14

h1 x( ) = x 1x 3

i1 x( ) = 1 5x4 2x

3x 1 si x -1 3) Sean las funciones f ( x ) = 4x 5 , g ( x ) = 2 3x , h ( x ) = x2 + 1 si x > -1 Calcule. a) ( f o g) ( -3) b) ( h o g ) (-1) c) ( f o g o h ) ( -2 ) d) ( g o h o f ) (-2 ) e) ( f -1 o g ) (1) f) ( h o g-1 ) (-1) g) ( g-1 o h o f-1) (1) Respuestas a) 11 y 39 b) 5 y 26 c) -7, 23 y 87 d) 13, -40 y 122

e) -1 y 1 f) 1 y 2 g) 3/2, 13/4 y 5/12

4) Completar las siguientes tablas si f y g definidas en R son: 1xx2)x(f 2 += 36)( = xxg

X 0 1 -1 2

f(x)

X 1 -1 g(x) 3 -3


7

5) Complete la tabla si 62)( += xxf

x -1 -2 f(x) 5 8 9

6) Si

+=

1312122

)(xsixxsi

xsixxg completar

x -3 -2 -3/2 1 2

g(x)

7) Sean s y t funciones reales definidas como

3)( 2 = xxs ;

+

=05

12)(

ysioysiy

yt

Completar

x 0 -1 2 3 -4 s(x)

x 0 1 2 3 4 )( st

8) Sea RRf : tal que 2)1( xxf = . Determinar;

a) f(1)= b) f(-1)= c) f(o)= d) f(y)=

9) Sea QQg : tal que x

xxg 13)( 2 += . Calcular:

a) g(1)= b) g(-1)= c) g(2)= d) g(-2)= e) =

31g f) =

21g

10) Sea RRf : tal que

121)(+

=x

xf ,completar la tabla:

x 2 1/3 4 1/2

f(x) 1/15 2/5

y -3 -2 1 6 13 t(y)


8

11) Sea f(x)=2x+6 ,

+

=

1212213

)(xsi

xsixxsix

xg completar las tablas:

x -1 -2

F(x) 5 8 9

x -3 -2 -3/2 1 2 G(x)

12) Sea la funcin RRg : definida por

+

=2223

)(2

xsixxsixx

xg Hallar:

a) g(5)= b) g(8)= c) g(-2)=

Gua Funcin Exponencial y Logartmica

1. Debido a una depresin, cierta regin econmica tiene una poblacin que decrece. En el ao 2000, su poblacin fue de 500.000

habitantes y de ah en adelante su poblacin se rigi por la frmula: P=500.000e0,02t en donde t es el tiempo en aos. Calcule la poblacin para el ao 2.008 Respuesta: 426.072 habitantes

2. Si cierta marca de automvil se compra por C pesos, su valor comercial v(t) al final de t aos, est dado por v(t)=0,78C0,85t1

. Si el costo original es de $6.500.000, calcule el valor del automvil despus de tres aos. Respuesta: $3.663.075

3. Si el valor de los bienes races se incrementan a razn del 10% por ao, entonces despus de t aos, el valor de una casa

comprada en P pesos, est dada por: v(t) = P 1,1t . Si una casa fue comprada en $40.000.000 en el ao 2001. Cul ser su precio en el ao 2008? Respuesta: $77.948.684

4. El volumen de ventas de una marca de cereales disminuye despus de una campaa publicitaria de acuerdo a la Frmula V(t) =

750(1,3)-t

donde t es el tiempo en meses. La siguiente campaa est planeada para cuando el volumen de ventas haya cado a dos tercios de su valor inicial. Cunto tiempo debe pasar entre dos campaas sucesivas? Respuesta: 1,55 meses

5. El valor de una mquina adquirida hace 8 aos por 10.000 dlares viene dado por la expresin:

V t( ) = 10.000 e0,3 t , donde t mide los aos despus de su adquisicin. En cunto tiempo la mquina tendr un valor de 2.231,30 dlares ? Respuesta: 5 aos

6. Una poblacin crece de acuerdo con la frmula: P= 5 x106 e0,06t donde t es el tiempo en aos. Cunto tiempo tardar la poblacin en aumentar 50%? Respuesta: 6,76 aos

7. Se adquiere una mquina batidora industrial por $450.000 y se deprecia continuamente desde la fecha de adquisicin. Su valor

despus de t aos est dado por la frmula: V = 450.000e0,2t En cunto tiempo la mquina tendr un valor de $200.000? Respuesta: 4,1 aos


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8. Segn cierta informacin cientfica confiable, a partir del ao 2000, la concentracin de CO2 ambiental, en cierta ciudad de Chile

ha ido variando segn la funcin: C = 175 1,02t; donde: C = concentracin de CO2, en ppm (partes por milln) y t = aos a partir

del 2000 A partir de este modelo determine la concentracin del CO2 el ao 2000 Respuesta: 175 ppm

9. La concentracin de pesticida en manzanas a partir de la ltima fecha de aplicacin est dada por la funcin: C = 1,5 0,86T

, donde la concentracin C est medida en mg del producto por cada 1 kilogramo de fruta, y el tiempo T, en das. Determine en qu tanto por ciento disminuye la concentracin del pesticida entre el primer y tercer da de la ltima aplicacin. Respuesta: Disminuye un 26%

10. Una persona invierte cierta cantidad de dinero en negocios que le producen utilidades. Estas utilidades vienen dadas

aproximadamente por la expresin U = 2,51,1t , donde U es la utilidad en millones de pesos y t es el tiempo en meses. Cunto tiempo demorara en obtener 25 millones de pesos en utilidades?

Respuesta: 24,2 meses.

11.Una compaa que fabrica software contrat a un tcnico para evaluarlos. El nmero de software posibles de evaluar por da viene dada por:

N t( ) = 2004 + 21e0,1t

, donde N es el nmero de software evaluado por da, despus de t das de trabajo. Cuntos das requiere un

tcnico para evaluar 40 software diarios? Respuesta: Aproximadamente 30das

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