guia de irracionales y reales

8/19/2019 Guia de Irracionales y Reales

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Objetivo: • Caracterizar el conjunto de los números irracionales.• Aproximar números irracionales.

• Reconocer números irracionales notables como e,,

ϕ π .• Ubicar geométricamente números irracionales en la recta numérica.• Comparar números irracionales.• Definir el conjunto de los números reales.• Ubicar números reales en la recta numérica.• Determinar intervalos para aproximar números irracionales que involucren

races.• !stimar adiciones "#o sustracciones de números irracionales.

Instrucciones: Resuelve cada ecuaci$n en forma ordenada " comprobar lasoluci$n.

Tiempo: % &oras.

SAINT GEORGE’S COLLEGE!DUCAC'() *A+!*,+'CA)-!)- /RAD-0R-1!2-R!23 C4AUD'- -R+'56 0A*!4A 7!)R89U!56 4-R!+- +A0'A

UNIDAD: EL MUNDO DE LOS NMEROS

GU!A DE A"RENDI#A$E N% &:NMEROS IRRACIONALES ' REALES

)ombre3 ::::::::::::::::::::::::::::::::: Curso3 :::::: 1ec&a3 ::::::::::

M. L. T. C. 1


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!n el siglo a.c.6 los griegos pitag$ricos descubrieron con gran sorpresa que6 adem;s de los)úmeros )aturales " de los )úmeros 1raccionarios6 exista otro tipo de número3 el )úmero'rracional.

7asta entonces pensaban que todo el universo se rega por los )úmeros)aturales " las 1racciones6 pero se dieron cuenta que &a" pares de

segmentos6 como la diagonal " el lado de un pent;gono regular o como ladiagonal " el lado de un cuadrado6 cu"o cuociente de longitudes no es unafracci$n.

4es pareci$ que el caos asomaba a su mundo " llamaron a tal relaci$na&ogos o irracional.

ACTI(IDAD DE E)"LORACI*N:

Usando calculadora6 completa la siguiente tabla. Analiza los resultados " clasifcalos

según su desarrollo decimal


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los números decimales infinitos no peri$dicos no se pueden escribir de la formaa

b

surgi$ la necesidad de crear los N,meros Irr-cion-.es/

2egún esto6 responde " justifica3

IUn número racional puede ser un número irracionalJ :::::::::::::::::::::::::

IUn número irracional puede ser un número racionalJ ::::::::::::::::::::::::: E$EM"LOS DE NMEROS IRRACIONALES:

01 Calcula la medida de la diagonal en los siguientes cuadrados3

414213562,12 = representa la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado >.

828427124,28 = representa la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado %.

24264068,418 = representa la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado .

Con esto6 Ipodemos decir que toda raz cuadrada de un número que no es cuadrado

perfecto es un número irracionalJ I0or quéJ :::::::::::::::::::::::::::::::::

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

21 8971415926535,3=π : Número que representa la longitud de unacircunferencia de diámetro 1, y el área de una circunferencia de radio 1.

M. L. T. C.

Los n,meros irr-cion-.es son -3ue..os n,meros 3ue no se pue4en escribir

como 5r-cci6n 7 3ue tienen in5init-s ci5r-s 4ecim-.es 3ue no present-n

per8o4o/ E. conjunto 4e .os n,meros irr-cion-.es se represent- por I/

1cm

1cm

2 m

2 m3 dm

3

3 dm


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91 5825712815906,2173 = 3 Representa la longitud de la arista de un cubo de

volumen 17.

4) 4986180339887,12

15=

−=φ : Número que según los

griegos era la proporción perfecta desde un punto de vista

esttico! por e"emplo, el rectángulo más #ermoso para ellos era

aquel cuyos lados estaban en dic#a proporción. $or tal motivo, a

este número se le conoce como la razón áurea o número de

oro.

4a sucesi$n de ibon-cci que vimos en otras guas6 >6 >6 %6 6 6 F6 >6 %>6 B6K

presenta diversas regularidades numéricas6 " quiz;s la m;s sorprendente sea la

siguiente propiedad3 Dividamos dos términos consecutivos de la sucesi$n6 siempre el

ma"or entre el menor " veamos lo que obtenemos3

Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente, nos acercamos al

número de oro.

5) 7182818284,2=e 3 Cu"o nombre se debe a su descubridor 4eon&ard !uler


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A"RO)IMACI*N DE UN NMERO IRRACIONAL

!xisten diversas formas de aproximar números irracionales que son de la forma 0, >aa .

eamos como ejemplo 2 3

01 "or -pro;im-ci6n:

221

421

/421

6 es menor que una décima.

Continuamos6 0164,242,1

9881,141,1

2

2

=

=

*e lo que podemos deducir que:

M. L. T. C. 5


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42,1241,1 unidad sobre la recta numérica6 cu"a diagonal medir; 2 6 por el

teorema de 0it;goras. 4uego6 con el comp;s de abertura igual a la diagonal marcamos

sobre la recta numérica6 este punto es 2 .

!ste procedimiento6 lo podemos utilizar para ubicar cualquier número irracional en larecta numérica. -bserva los ejemplos de la figura3

Munto a tu profesor


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E$ERCICIOS:

I.Resuelve los ejercicios del libro gua de la p;gina %%6 % " %B.

II.Desarrolla cada ejercicio en forma ordenada6 destacando el resultado

01 Determina si los siguientes números pertenecen a 9 BBBB K

6>B>B>B>B K

H6%

O 5

4

π 2

H6>>>%>>BK

H6>>>%>>KK.

6H>HH>HHH>KK

253−

21 ICu;l de los siguientes números irracionales entre H " >J Mustifica.

π− )2

2)

2

10)32) d cba

I9ué procedimiento utilizasteJ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

91 ICu;l o cu;les de los siguientes números irracionales est; comprendido entre

" BJ

a= % 3 b=3

π

c= 15 + d= 2

e= 10 f= 6 g= 6GGGGKK

I9ué procedimiento utilizasteJ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

M. L. T. C. 7


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&1 Determinar por acortamiento6 en tu cuaderno6 el valor de los siguientes

números reales P 2 ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

IC$mo puedes sumar o restar números irracionalesJ

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

B1 2i el opuesto de 23 − se resta con el opuesto de 32 +

I9ué se obtiene por resultadoJ

1 Utiliza una estrategia para ordenar en forma creciente los siguientes números

irracionales3

2

,32,2

2,32,6;23

π +−

I9ué estrategia &as usadoJ ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

I7a" otras opciones para compararJ Compara con tus compaQeros " comparte

tus estrategias3

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

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01 0lantea " resuelve en 'R

a= Determina la medida de cada altura de un tri;ngulo equil;tero de lado % cm

b= 2i la diagonal de un cuadrado mide 25 cm6 determina su permetro6 su ;rea

" la longitud de una circunferencia circunscrita a el.

c= 2i el ;rea de un crculo es >G π cm% 6 determina la longitud de lacircunferencia asociada.

d= !l permetro de un cuadrado es BF dm6 determina el ;rea de un crculo inscritoen él.

e= Determina el permetro " el ;rea de un tri;ngulo equil;tero de lado >H cm.

f= !l volumen de un cubo es % cm6 calcular la medida de su arista.

g= 2i el volumen de un cubo es >% dm6 calcular la superficie total.

ACTI(IDAD DE IN(ESITGACI*N:

'nvestiga " redacta una breve &istoria del número π 6 e " φ . Adem;s6 identifica

distintos procedimientos para calcular cada uno de los números anteriores.

1inalmente6 comparte con el curso tu investigaci$n.

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LOS NMEROS REALES:

2e llaman números reales todos aquellos números que pueden expresarse en forma

decimal finito o infinito6 es decir6 el conjunto de los números reales ℜ 6 est; formado

por la uni$n del conjunto de los números racionales e irracionales.

2imb$licamente6 I Q∪=ℜ

Cada número real corresponde exactamente a un punto sobre la recta numérica6

llamada rect- re-.+ los números reales que se representan a la derec&a del origen se

llaman n,meros re-.es positivos " los números reales que se representan a la

izquierda del origen se llaman n,meros re-.es ne


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E$ERCICIO:

01 Determina a cu;l o cuales de los conjuntos numéricos pertenecen los siguientes

números3

)úmero ') 5 9 '' 'R?

%π

2

1

25

23

H6>%K.

H

31+

>%

4−

21 Completa con el smbolo ⊄⊂ o 6 según corresponda3

a= I :::: ℜ d= ) :::: ℜ g= 5 :::: ℜ

b= ) :::: I e= Q :::: I &= Q :::: Z

c= ) :::: Q f= 5 :::: I

Respon4e:

>= Constru"e el mapa conceptual de la p;gina B del libro gua.

% 'nvestiga si existen otros conjuntos numéricos que los vistos3

= IRealizaste todos los ejercicios de la gua " del cuadernillo " las corregisteJ

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