guía de matemática i 2013

Área Cuantitativa ENAHP-IUT

Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García

1

Matemática I

1era versión

Enero 2008

Autores:

Lic. León Patiño Prof. José Neptalí Lugo

Ing. Luis González

Adaptación y Compilación:

Prof. José Neptalí Lugo

Agosto 2013

Consolidando el Plan de Transformación

Rumbo al Plan Estratégico 2014 - 2019

¡Chávez Vive, la Lucha Sigue! Plan de Transformación de la ENAHP-IUT 2009-2013

Un Sistema de Gestión con Visión Socialista Impulsando la Refundación del Estado

Av. Francisco de Miranda entre Av. Diego Cisneros y Calle Los Laboratorios Edif. ENAHP-IUT, Los Cortijos de Lourdes. Caracas –

Venezuela. Teléfonos: 0212 232.32.31



2

Prefacio

En estos tiempos la importancia de la Matemática hace

imperativo conocer algo de naturaleza y función de la Matemática.

Quizá sea más fácil ver por qué estudiar Matemática si se detiene a

considerar por un momento en qué consiste la Matemática.

La Matemática se ocupa primero que nada de lo que pueda

realizarse mediante el razonamiento, y viene la primera

observación ¿Por qué debo aprender a razonar?, no hace falta para

comer, vestirse, compartir con el sexo opuesto y hasta lograr un

alcanzar un alto cargo en el trabajo; el hombre supo alimentarse,

vestirse y protegerse de la intemperie muchos siglos antes que

apareciera la Matemática

Para muchos, la Matemática es una manera de someter a prueba

la capacidad intelectual, a manera de ejemplo; dos parejas tienen

que cruzar un río en un bote donde sólo caben dos personas ¿Cómo

deben hacer para que en ningún momento queden juntos la mujer

con el hombre de la otra pareja? Este acertijo es de la época de los

griegos y los romanos y según Tartaglia, quien vivió en el siglo XVI,

refiere que eran pasatiempos de sobremesa.

Ahondar históricamente sobre la importancia de saber y

aprender Matemática, convertiría esta introducción en un libro

aparte de la Guía que hemos elaborado para incentivarte en el



3

estudio y comprensión de por qué se debe estudiar y aprender

Matemática.

Esta Guía, que modestamente hemos elaborado, lo que pretende es

darte las herramientas necesarias para una introducción a la

Matemática Universitaria. No pretende sustituir a ningún libro

que puedas usar como texto en el Curso de Matemática I y

Matemática II, pero será de gran ayuda para mantenerte muy claro

en lo que debes conocer, saber y aprender para hacer más tranquilo

y placentero los cursos de Matemática que debes asistir.

Te daremos algunas sugerencias que te podrán ayudar para lograr

ser un buen estudiante de Matemática.

1. Haz tu mayor esfuerzo para seguir las explicaciones que da tu

profesor en clase.

2. Pregunta en clase sin miedo, no postergues tus dudas.

3. Presta atención a las preguntas que hacen tus compañeros de

clases, pueden ser tus dudas.

4. La asistencia a clases es muy importante, la inasistencia duplica

tu esfuerzo.

5. Realiza las tareas en el momento que te las asignan, así podrás

tener claro lo que se pide.

6. Al copiar tus clases, anotas cualquier dato que pueda ayudarte a

comprender mejor lo visto.



4

7. Si no comprendes alguna explicación, pregunta, pregunta a tu

profesor hasta que te quede claro.

8. Haz un cronograma de estudio y cúmplelo.

9. Recuerda: Matemática es 90% teoría y 10% práctica, por lo que

se te sugiere leer y comprender la teoría, para hacer más sencilla

la práctica.

10. Al analizar un ejemplo, intenta resolverlo sin ver la solución

de otro ejemplo.

11. Recuerda lo siguiente: si quieres ser un buen estudiante en

Matemática, primero tienes que tener la disposición para serlo.

Ten presente estas máximas:

MATEMÁTICA: es una ciencia que establece relación entre

símbolos y se agota en ser instrumento de otras ciencias.

(J. Romero)

Quien no sabe a dónde va, ningún viento le es favorable. (Séneca).

Aprender sin pensar es inútil, pensar sin aprender es peligroso.

(Confucio).

Las cosas pueden ser tan sencillas como se quiera, pero no más

sencillas. (Einstein)

Los Autores.



5

Dedicatoria

Dedico esta guía a todos los estudiantes, hombres y mujeres que harán de

esta nación una PATRIA GRANDE.



6

Índice

Pág.

I Inecuaciones 7

Ejercicios y Problemas resueltos 10

Ejercicios y Problemas propuestos 26

II Geometría Plana 39



III Funciones 60


Ejercicios propuestos 74


IV Límites y Continuidad 88




Ejercicios resueltos 103




7

INECUACIONES LINEALES

Resolver una inecuación significa hallar los valores que deben tomar las incógnitas para

que se cumpla la desigualdad.

Propiedades. Sean a, b y c números reales:

1) Si a < b y c cualquier número real, entonces: a + c < b + c.

2) Si a < b y c un número positivo, entonces: a * c < b * c.

3) Si a < b y c un número negativo, entonces: a * c > b * c.

3x – 2 < 1

2

1x> 4

x + y 24

-2x + 1 x – 3

3x – 2 = 1

2

1x = 4

x + y = 24

-2x + 1 = x – 3

Ecuaciones Inecuaciones

Igualdades ( = ) Desigualdades ( < , ; > ,

)

De primer grado



8

Ejemplos: Resolver: a) 3 x – 2 < 1

Despejando

3x – 2 < 1

3 x < 1 + 2

3 x < 3

x < 3 : 3

x < 1

Aplicando propiedades

3 x – 2 < 1

3 x – 2 + 2 < 1 + 2

3

1 3 x <

3

13

x < 1

Solución: S = ( - , 1 )

Representación gráfica:

b) -2 x + 1 x – 3

- 2 x + 1 x - 3

- 2 x - x - 3 - 1

- 3 x - 4

x - 4 : (- 3)

x 3

4

Solución: S = [ 3

4 , + )

Representación gráfica:

Las inecuaciones permiten resolver problemas. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Una furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vacía y el

peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones

iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa

furgoneta?



9

En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de

cada cajón y planteamos la siguiente inecuación:

Peso de la furgoneta - peso de 4 cajones no es menor que 415 kg

875 - 4 . x 415

Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos:

w Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad - 4 . x 415 - 875

w Hacemos el cálculo en el segundo miembro - 4 . x - 460

w Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por -4

1

(Cuidado: como multiplicamos por un número negativo,

debemos cambiar el sentido de la desigualdad) x 4604

1

w Hacemos el cálculo x 115

Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se

trata de un peso, x > 0.

Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo

(0 , 115]. Graficamos la solución en la recta real:



10

Ejercicios y Problemas resueltos

1

(-4,∞)



11

2



12

3

3x-7 > 5-2x-4

12-4x-9 ≥ x-6-4x

-4x-x+4x ≥ -6-12+9



13

4

5

6x+4x+4 < 4x-10-12

6x < -26

x < -26/6

x < -13/3



14

-x ≤ 16

x ≥ -16

-16x-5x-4x-6x > -4-24-4

31x < 32

x < 32/31

20.6-4(2x+1)



15

6

-5x ≤ -35

x ≥ 7



16

7



17

8

9



18

10



19

11

12



20

13



21

14

15

16

3x-1

2

x > 5/7



22

17 x2-x-6 > 0

x2-x-6 = 0

x2-x-6 = 0

x2-x-6 > 0



23

18 x-5 + 2x > 1

3 2

x-5 + 2x > 1

3 2



24

19

∩xϵ(-1,∞)

2x-4+6<3x+9+6x



25

20

21

3x+y ≤ 0

3x+y =0

x=1entonces y =-3, B(1,-3)

3.1+1 ≤ 0



26

1. Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solución en la recta real:

a) 2 x - 3 < 4 - 2 x b) 5 + 3 x 4 – x c) 4 - 2 t > t - 5

d) x + 8 3 x + 1 e) 2 .

2

1 - x > 3 x f )

3

1

4

2

aa

g) 3 x - 12 4

6 - 5 x h) 3 . ( 4 - x ) > 18 x + 5 i)

6 - 5

2

3

xxx

j) 6

1 -

3

5 4 -

4

xx k) 2 -

2

14

4

8 -

3

25

xxx l) x - 2 > 0

m) 0 2 - 7

1

2

x

xx n) 0

4

7

2

1 -. 4 3 -

3

1 - 2

xx

2. ¿Cuáles son los números cuyo triplo excede a su duplo en más de 20?

Ejercicios y Problemas propuestos



27

3. ¿Cuál es el menor número entero múltiplo de 4, que satisface la siguiente inecuación:

x + 2 < 3 x + 1?

4. ¿Cuáles son los números cuyo triplo excede a su duplo en más de 20?

5. ¿Cuál es el menor número entero múltiplo de 4, que satisface la siguiente inecuación:

x + 2 < 3 x + 1?

6. Sean A = { x/x R x + 1 < 4 } y B = (- , 2

3] [3 , + ) . Determinar

A B.

7. Determinar: { x / x R 2 x - 4 > 0 } { x / x R 3 - x 0 }

8. Resolver las siguientes inecuaciones:

a) 1572 x b) 1792 x c) 01032 xx d) 042 x e) 1062 xx f) 09

72

x

x

g) xx 43

72 h)

5

34

x i)

5

8362

xx j)

5

2

4

38

xxx

k) 027 xx

l) 0192 xx m) 01265 xx n) 08 xx o) 027 xx p) 0238 xx

q) xx

1 r) 023 234 xxx s)

0

10

42

x

xx t)

1

43

14

x

xx u)

2

3

1

2

x

x v) 2

3

x

x

w) x

x

x

x 1

3

2

x) 38x y) 819 t z) 183.0 x aa) 1.89 x bb) 2.38 y

cc) 8

5

4

3 x dd)

4

3

6

5 y ee) 2125 yy ff) 104.212.0 yy gg) xx 3

8

3

8

13

hh) xxx 25.1104

1332 ii) 529234 yy jj) 21454 mm kk) 033 yy

ll) 05 yy mm) 03

3

x

x nn) 0

1

2

x

x

9. Determinar si el número indicado es una solución de la desigualdad.

a) 1052 y 3 b) 8325 yy 8 c) 96 y -3

10. En un curso de matemática habrá cinco exámenes. Para alcanzar una calificación de B,

se necesitan al menos 400 puntos. Tus calificaciones en los primeros cuatro exámenes

han sido 91, 86, 73, y 79. ¿Qué puntuación necesitas en el último examen para alcanzar

una B?



28

11. En tu nuevo empleo te ofrecen dos planes de pagos distintos.

Plan A: Un salario mensual de $600 más una comisión de 4% sobre el total de ventas.

Plan B: Un salario mensual de $800 más una comisión de 6% sobre el total de ventas

una vez rebasados los $10000.

¿Para qué cantidad del total de ventas es mejor el plan A que el Plan B, suponiendo que

el total de ventas es siempre superior a los 10000 dólares?

12. Un automóvil se renta por $13.95 diarios más $0.10 por milla. Tu presupuesto diario

para la renta de automóviles es de $76.00. ¿Para qué millaje te puedes mantener dentro

del presupuesto?

13. Vas a invertir $25000, una parte al 14% y otra al 16%. ¿Cuál es la máxima cantidad que

puedes invertir al 14% para hacer que el pago de intereses al cabo de un año sea al

menos $3600?

14. Vas a invertir $20000, una parte al 12% y otra al 16%. ¿Cuál es la máxima cantidad que

puedes invertir al 12% a fin de que el interés al cabo de un año sea al menos $3000?

15. En tu nuevo trabajo te pueden pagar de dos formas distintas.

Plan A: Un salario mensual de $500 más una comisión de 4% sobre el total de ventas.

Plan B: Un salario mensual de $750 más una comisión de 5% sobre las ventas que

superen los $8000.

¿Para qué monto de ventas totales es mejor el plan B que el Plan A, suponiendo que el

total de ventas es siempre superior a los 8000 dólares?

16. Representar gráficamente.

a) 61 x b) 30 y c) 37 y d) 59 x

17. Resolver las siguientes inecuaciones.

a) 822 x b) 611 x c) 9521 y d) 15310 x e) 352035 x

f) 43124 aaa g) 15

2

5

2

3

2

15

2 x h) xxx 35543

i) 3146 xxxx



29

18. Resolver y representar gráficamente.

a) 3x b) 5x c) 2x d) 5.5t e) 0m f) 432 x g) 1072 y

h) 843 y i) 1695 m j) 437 t k) 243 x l) 86 x

m) 6

13

9

5 x n)

4

38

4

11 x o) xx 5 p) 512 x q) 31 xx

19. Hallar y representar en la recta los números reales que verifican:

a) x - 4 > 2 b) x + 2 3 c) 4 - x > 0 d) 0 < x + 3 < 1

e) 0 < x - 3 < 4

1 f) 12 - 4 x > 3 g) 4 x - 3 5 h) - 3 x + 6 < 2

i) 1 + 2 x 2

1 j) 3 - x - 5 0 k) - 2 x + 1 + 8 < 0

20.



30



31

21.



32

22.



33

23.



34



35



36

24.

25.



37

26.



38

Resolver los ejercicios 3-2 del 1 al 20 del libro de Arya – Lardner (3° edición)

Resolver los ejercicios 2.3 del 1 al 13 del libro de Haeussler (8° edición)



39

Distancia entre Dos Puntos del Plano

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.

La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d = está dada por:

(1)

Coordenadas del Punto Medio de un segmento

Considerando el segmento cuyos extremos son los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2),

las coordenadas e representan las coordenadas del

punto medio del segmento .

INCLINACIÓN DE UNA RECTA

Definiciones

a) El ángulo , (0° ) que forma una recta L con el eje x medido en el sentido

positivo del eje a la derecha L, se llama: ANGULO DE INCLINACIÓN de la recta L



40

b) Si L es una recta no vertical, la PENDIENTE de la recta L, denotada por m, se define

como el valor de la tangente de su ángulo de inclinación. Es decir, (1).

(fig. 1)

Siendo , (0° ) , 2

El número m se conoce también con el nombre de

COEFICIENTE ANGULAR de la recta L

Observaciones:

1) Si la recta L es vertical, su ángulo de inclinación es 90º y por lo tanto su pendiente

m = tan 90º no está definida.

(a) (b)

fig. 1

2) Si P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos distintos sobre una recta no vertical L

(fig. 3 (b)), entonces de acuerdo a la definición de pendiente se tiene:

(2)

Las expresiones (1) y (2) son equivalentes y en lo sucesivo haremos uso indistinto.



41

3) El nombre de pendiente de una recta está justificado. Cuando se dice que un camino

tiene la pendiente 5%, significa que por cada 100 unidades horizontales asciende 5

unidades, es decir, el cociente de las ordenadas por las abscisas correspondientes es

5/100.

4) La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero, según el ángulo de

inclinación de la recta, así:

Si Ө= 0o entonces m= 0 (fig. 2. (a))

Si 0o

<Ө< 90o entonces m > 0 (fig. 2. (b))

Si 90º < Ө< 180

o entonces m < 0 (fig. 2. (c))

fig. 2

5) El valor de la pendiente de una recta no depende de la elección particular de los

puntos P1 y P2 escogidos sobre ellas.

Dados 3 puntos P1, P2 y P3 del plano, se dice que son COLINEALES si y solo si, la

pendiente determinada por P1 y P2 es igual a la determinada por P2 y P3.



42

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2)

Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llámese m1 su

pendiente. Como l pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m1, se tiene que:

y – y1 = m1 (x – x1) (1) representa la ecuación de dicha recta.

Ahora, como el punto P2(x2, y2) l, entonces satisface su ecuación.

Esto es y2 – y1 = ; de donde (2)

Sustituyendo (2) en (1) se obtiene

(3)

La ecuación (3) se conoce como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuación de la recta.

Observaciones

A) La ecuación (2) proporciona el valor de la pendiente m y la ecuación (3) también

puede escribirse en la forma:



43

Lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene dado por:

B) Si (x, y) es un punto cualquiera de la recta determinada por P1(x1y1) entonces la

ecuación de la resta (3) también puede escribirse en forma de determinante, así:

= 0.

Ecuación segmentaria de la línea recta

Considere la recta L de la cual conocemos los intersecciones a y b con los ejes x e y

respectivamente (fig. 3)

fig. 3.

Como L pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b), entonces de acuerdo a la sección la ecuación

de l viene dada por:

Es decir, de donde .

Dividiendo esta última ecuación por b, se obtiene:

(1)



44

La ecuación (1) se conoce como la ecuación SEGMENTARIA, CANÓNICA O FORMA

DE LAS INTERSECCIONES de la línea recta. Los números a y b son las medidas de los

segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente, pues haciendo

en (1) y = 0, resulta x = a (Intersección con el eje x); x = 0, resulta x = b (Intersección con

el eje y)

La ecuación Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son

simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las

variables x e y.

La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1), A, B, C R; A y B no son

simultáneamente nulos, representan una línea recta.

ANGULO ENTRE DOS RECTAS. PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO

ENTRE RECTAS

Sean l1 y l2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 respectivamente. Entonces:

1) l1 es paralela a l2 (l1 || l2) m1 = m2

2) l1 es perpendicular a l2 (l1 l2) m1 . m2 = -1



45

Ejercicios y Problemas resueltos

1

2



46

3

4



47

5



48

6

(Resp. 3p = q+550)



49

7



50

1. Encontrar la longitud y la pendiente de los segmentos de recta que une cada par de

puntos:

a) (3, -2) y (9, 6) b) (4, -3) y (-1, 9) c) (8, -4) y (-7, 4) d) (5, -8) y (-7, 8).

2. Demostrar que los puntos A(6, 1), B(1, 7) y C(-4, 1) son los vértices de un triángulo

isósceles.

3. Igual que el ejercicio 2 con los puntos A(8, 9), B(-6, 1) y C(0, -5).

4. Dado el cuadrilátero cuyos vértices son P1(-7, 7), P2(2, 0), P3(10, 3) y P4(1, 10).

Encontrar la longitud de sus cuatro lados y demostrar que es un paralelogramo.

5. Demostrar que los puntos P1(0, 5), P2(6, -3) y P3(3, 6), son vértices de un triángulo

rectángulo. Hallar su área.

6. Si la pendiente de la recta que une los puntos:

a) A(X1, -1) y B(2, 5) es 3, encontrar X1.

b) A(6, -1) y B(10, Y1) es , encontrar Y1.

7. Los vértices de un triángulo son los puntos A(3, 5), B(-5, 1) y C(1, 7).

a) Localizar los puntos medios de los lados.

b) Localizar el punto de intersección de las medianas.

c) Demostrar que el segmento que une los puntos medios de cualquier par de lados es

paralelo al tercer lado y es la mitad de su longitud.

8. Tres vértices de un paralelogramo son los puntos (1, -2), (7, 3) y (-2, 2). Encontrar el

cuarto vértice.

9. Localizar los vértices de un triángulo sabiendo que los puntos medios de los lados son

los puntos (2, -1), (8, 4) y (-1, 3).

10. Sabiendo que las coordenadas de los vértices de un triángulo son A(-4, 8), B(3, -6),

hallar las coordenadas del tercer vértice sabiendo además que las coordenadas donde se

cortan las medianas es G(2, 6).




51

11. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son los puntos:

a) 0(0, 0), A(9, 2) y B(1, 4) es rectángulo.

b) A(8, -1), B(-6, 1) y C(2, -7) es rectángulo.

12. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 3) y cuya pendiente es 2.

13. Encontrar la ecuación de la recta que pasando por el punto (1/3, 2/3) tenga pendiente

infinita.

14. ¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular a la recta de ecuación: 2x – 3y + 7 = 0 en

el punto medio del segmento comprendido entre los ejes coordenados?

15. Encontrar las áreas de los triángulos cuyos vértices son:

a) (0, 0), (2, 4) y (-1, 6) b) (-2, -1), (-4, -6) y (-1, -3) c) (3, 4), (-2, 1) y (1, -5)

16. Considere el triángulo cuyos vértices son los puntos A(0, 0), B(0, 3) y C(1, 2).

a) Encuentre las ecuaciones de las medianas.

b) Encuentre las ecuaciones de las alturas.

c) Encuentre las ecuaciones de las mediatrices del triángulo.

d) Localice el baricentro, ortocentro, baricentro y el circuncentro del triángulo.

17. Se dan los puntos: A(2,7) y B(6,4). Se pide

a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A y B, en su forma reducida. ¿Cuánto

vale la ordenada en el origen?

b) Escribir la ecuación en la forma general, ¿cuánto valen A, B y C?

c) Verificar si el punto M (2,7), pertenece a la recta.

d) Si un punto de abscisa 3 pertenece a la recta, ¿Cuánto vale su ordenada?

e) Si un punto de ordenada -4 pertenece a la recta, ¿Cuánto vale su abscisa?

f) ¿En qué punto corta la recta al Eje X?

g) ¿En qué punto corta la recta al Eje Y?

h) ¿En qué punto corta la recta dada a otra recta de ecuación 4 2 0x y ?

i) ¿En qué punto corta la recta dada a otra recta de ecuación 6 8 1 0x y ? ¿Por

qué?

j) ¿Qué ecuación tiene una recta que pase por el origen y sea paralela a la recta dada?

k) ¿Qué ecuación tiene una recta que pase por el punto P(-1,3) y sea perpendicular a la

recta dada?



52

Punto Medio de un Segmento

18. Encuentra las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son

7,45,3 y . Respuesta:

1,

2

1

19. Sean los puntos A (-3,5) y B (0,- 4), halla el punto medio del segmento AB .

20. Encuentra las coordenadas del punto medio de cada uno de los siguientes segmentos

cuyos extremos se indican.

a) 9,37,4 y b) 0,30,2 y c) bayba ,, d) dcydc ,,

21. Encuentra el otro extremo de un segmento que tiene por extremo al punto 7,3 y por

punto medio 3,7 .

Distancia entre dos Puntos

22. Encuentra la distancia entre los puntos 5,37,8 y . Respuesta: 13

23. Encuentra la distancia entre los puntos que se indican.

a) 2,22,2 y b) 4,37,0 y c) 5,23, aya d) kyk ,32,5 e) bay ,0,0

f) 0,03,2 y g) bayba ,, h) cddcydcdc ,,

La Recta

24. La ecuación de la recta que pasa por los puntos

0,

3

2 y

2

5,0 es: ?

Respuesta: 4

1015

xy

25. La ecuación de la recta que pasa por el punto 2,3 y es perpendicular a la recta que

pasa por los puntos 3,1 y 7,8 es: ? Respuesta: 10

79

xy

26. La ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1,7) y B (-3,2) es: ?

Respuesta: 5x - 4y + 23 = 0

27. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-2) y es perpendicular a la recta

3x + 4y = 5.



53

28. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,5) y es perpendicular a la recta

2x + y = -3.

29. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos 6,3;6,8 .

30. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-2) y es perpendicular a la recta

que pasa por los puntos (-1,-3) y (3,7).

31. Si dos rectas no se cortan en ningún punto del plano que las contiene, entonces las

rectas son:

a) Secantes

b) Perpendiculares

c) Paralelas

d) De distinta dirección

e) Alabeadas

32. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son lineales? Si una ecuación no es lineal, di por

qué.

a) 9xy b) sr 472 c) yx 74 3 d) yyx 178 e) p

q3

f) 34 x

33. Representa gráficamente.

a) 2054 yx b) 262 yx c) xy 2 d) xy e) xy2

5 f) 4x g) 3y h) 0y

i) 093 y j) 0153 x k) 04.0004.04.0 xy l) 11

2

3

7 yx

34. Calcula la pendiente, si existe, de la recta que pasa por cada par de puntos.

a) 8,60,5 y b) 3,70,4 y c) 8,38,0 y d) 6,50,0 y e)

4

3,

2

3

4

1,

2

1y

f)

2

1,

5

1

2

1,

5

3y g) 4.2,2.38.12,2.3 y h) 4.12,3.84.12,3.16 y

35. En caso de que exista, calcula la pendiente de cada una de las siguientes rectas.

a) 7x b) 3y c) 1565 x d) 7412 x e) 65 y f) 146 y

g) xx 9412 h) xyxy 29523



54

36. Encuentra la ecuación de la recta que contiene al punto dado con la pendiente indicada.

a) 4;2,3 m b) 2;7,4 m c) 1;2,5 m d) 3;4,2 m e) 2

1;4,6 m

f) 3

4;1,3 m g) 0;7,0 m

37. Determina si los tres puntos son colineales.

4,3,2,2,1,1 CBA

38. Determina el número a de modo que la pendiente de la recta que pasa por los dos

puntos tenga el valor indicado.

12

5;,4,3,2 maa

39. Una recta pasa por los puntos 0,04,100 y . Enumera otros cuatro puntos de la recta.

40. Encuentra una ecuación de la recta que pasa por 3,2 y tiene la misma pendiente que

la recta 1043 yx .

41. Encuentra una ecuación de la recta que pasa por 4,3 y tiene pendiente 2 . Si la recta

contiene a los puntos bya ,58, , encuentra bya .

42. Escribe una ecuación de la recta que tiene abscisa al origen de -3 y ordenada al origen

de 2/5.

43. Determina si las gráficas de cada par de ecuaciones son rectas paralelas.

a)

3

4

xy

yx b)

74

34

yx

xy c)

1082

54

xy

xy

44. Encuentra una ecuación de la recta que pasa por 2,4 y es paralela a la recta que pasa

por 3,24,1 y .

45. Encuentra una ecuación de la recta que pasa por 3,1 y es perpendicular a la recta que

pasa por los puntos 7,25,3 y .

46. Utiliza pendientes para mostrar que el triángulo con vértices 4,39,6,7,2 y es un

triángulo rectángulo.

47. Encuentra k de modo que las gráficas de 707 yx y kxy 3 sean perpendiculares

entre sí.



55

48.



56

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

19.

18.



57

20.

25.

24.

23.

22.

21.

26.



58

27.

35.

34.

33.

32.

30.

31.

28.

29.



59

Resolver los ejercicios de la Sección 1.4 del N ° 55 al 60 del libro de Bittinger

(7° Edición)

Resolver los ejercicios de la Sección 4.4 del N °1 al 14 del libro de Arya- Lardner.

( 3° Edición.)

Resolver los ejercicios de la Sección 1.3 del N ° 35 al 46 del libro de Hoffman-Bradley

(7 ° Edición).



60

Intuitivamente se considera que la cantidad y es función de la cantidad x, si existe alguna

regla, ley o procedimiento que permita asignar un valor único de y, para cada valor que se

considere de x, dentro de cierto conjunto posible de valores. Muchas veces es posible

expresar dicha regla o ley por medio de una ecuación matemática como ocurre por ejemplo,

con el área y de un círculo, en función del radio x ; 2y x ; otras veces es difícil o aún

imposible hallar la fórmula matemática que relaciona las variables x e y aunque siga siendo

posible la asignación de un valor único de y para cada valor de x.

Una Variable es un símbolo que representa a un elemento no especificado de un conjunto

dado, el cual se llama Conjunto Universal, o simplemente, Universo de la variable

considerada. Cuando el Universo de la variable es un conjunto unitario, variable se llama

Constante.

Una Relación es un conjunto de pares ordenados, cuyas componentes son los elementos de

cierto Universo. Al conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados

que forman la relación se le llama Dominio y al formado por las segundas componentes se

le llama Rango.

Lo que interesa realmente es poder determinar un conjunto de pares ordenados (x, y),

independientemente de si la ley o regla que relaciona las variables x e y es de tipo

matemático, empírica o simplemente descriptiva

Definiciones.

Una función de A en B, es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x de A

un único elemento y de B.



61

Se usan indistintamente los símbolos:

o para expresar que "f" es una

función de A en B y que además, al elemento x de A, le corresponde el elemento y (imagen

de x mediante f) de B. Al conjunto A se le llama: dominio de la función y se denotará por

el símbolo D(f). Igualmente, al subconjunto de B, formado por todas las imágenes de los

elementos de A, se le llama: rango de la función y se denotará por el símbolo R(f).

Para los conceptos del cálculo que se desarrollarán posteriormente, los conjuntos A y B

mencionados anteriormente son por lo general, subconjuntos de R, de esta forma la

función:

se llamará función real de variable real.

En la expresión que expresa la correspondencia entre los elementos x de A con

los y de B, la letra x se llama: variable independiente y la letra y: variable dependiente.

En el siguiente ejemplo, se ilustran los conceptos establecidos hasta ahora.

Considere por ejemplo los conjuntos:

y , y la función definida por medio del

diagrama:

Se tiene entonces:

La imagen del elemento a mediante f es 5. Es decir, f(a) = 5



62

La imagen del elemento b mediante f es 3. Es decir, f(b) = 3

La imagen del elemento c mediante f es 7. Es decir, f(c) = 7

La imagen del elemento d mediante f es 0. Es decir, f(d) = 0

La imagen del elemento e mediante f es 5. Es decir, f(e) = 5 .

Ahora, y ( ) 0,3,5,7R f

En lo sucesivo, cuando no se mencionen los conjuntos A y B de una función, sino,

solamente la regla o correspondencia, entre sus elementos, se entenderá que tanto A como

B son subconjuntos de números reales. En este caso, se dice que el dominio es el conjunto

de números reales para los cuales tiene sentido la "regla" o "correspondencia", o más

precisamente, los valores para los cuales f(x) es un número real.

En las aplicaciones, es frecuente que una gráfica muestre con mayor claridad que una

ecuación o una tabla, la relación que existe entre las variables de una función. Las

ecuaciones y tablas que corresponden a una función, por lo general, requieren algunos

cálculos e interpretaciones, antes de poder ver con claridad todo tipo de información

contenidas en ellas.

Cuando la regla que define una función f está dada mediante una ecuación que relaciona las

variables x e y, la gráfica de f, es la gráfica de la ecuación, es decir, el conjunto de puntos

(x, y) del plano cartesiano que satisfacen la ecuación.

Definición.

Sea una función real de variable real. La gráfica de f es el

conjunto de puntos tales que la pareja ordenada (x, y) pertenece a f. Es

decir, Gráfica de f = { (x, y) / y = f(x), x D(f) }

Observación. La restricción dada en la definición de función de que no existen dos parejas

distintas que tengan la primera componente igual, se traduce en la gráfica de la función de



63

la siguiente manera: ninguna recta vertical puede cortar su gráfica en más de un punto.

(Criterio de la recta vertical)

Así por ejemplo, la gráfica de la figura 1(a) corresponde a la gráfica de una función (la

recta vertical solo corta la gráfica en el punto A); mientras que la figura 1(b) no

corresponde a la gráfica de una función. Nótese que la recta vertical, corta la gráfica en más

de un punto: A, B y C.

FUNCIONES ESPECIALES

Función Polinómica de grado n.

f :

donde a0, a1, a2,...,an son números reales.

CASOS PARTICULARES: La función definida por: y = f(x) = a0 (a0 una constante) se

llama: función constante y su gráfica corresponde a una recta paralela al eje x, a0 unidades

por encima o por debajo del eje x según el signo de a0.



64

La función definida por: y = f(x) = a0 + a1x, se llama: función lineal

La función definida por: y = f(x) = x, se llama: función identidad y su gráfica corresponde a

una recta que pasa por el origen formando un ángulo de 45º con el semieje positivo x

Función Lineal.

f : que corresponde a la línea recta de

pendiente m, e intersección b con el eje y.

Función Cuadrática.

f :

, donde a, b, c y que corresponde a una

parábola abierta hacia arriba o hacia abajo según el signo de la constante a.

En la fig. 2, aparece la gráfica de la parábola y = ax2 + bx + c, de acuerdo al signo de a.

Igualmente, como caso particular, se ha trazado la curva y = x2 (fig. 2(c))

fig. 2



65

Ramas de Parábola:

La ecuación en forma implícita y2 = x, corresponde a una parábola abierta hacia el eje x

positivo y cuyo vértice y foco son respectivamente los puntos V(0, 0) y F(1/4, 0). Su

gráfica no es una función (criterio de la recta vertical), sin embargo, genera dos funciones

llamadas: ramas de parábola cuyas definiciones y gráficas se describen a continuación:

2y x Rama Superior de la Parábola.

Rama Inferior de la Parábola.

La ecuación en forma implícita x . y = 1, corresponde a una curva llamada: hipérbola

equilátera, función homográfica y genera la función: f : -{0}

cuya gráfica aparece en la figura adjunta.



66

La función definida por: y = f(x) = ao + a1x + a2x2

+ a3x3, se llama: función cúbica. Dentro

de estas cúbicas se destaca una por el uso que se hace de ella en las aplicaciones. Se habla

de la función: y = f(x) = x3, llamada: parábola cúbica y cuya gráfica aparece en la figura.

Función Parte Entera o Escalonada.

f : Z

donde n es un número entero tal que .

La gráfica de la función se muestra en la figura. y está constituida por una serie de

segmentos unitarios faltándole a cada uno su extremo derecho.

Función Definida a Trozos.

f :A

donde (dominio de f).



67

CASOS PARTICULARES

Función Valor Absoluto.

f :

La gráfica de la función valor absoluto, está formada por las rectas perpendiculares

y = x e y = -x.

Función Racional.

f :

donde Pn(x) y Qm(x) son polinomios de grados n y m respectivamente.

Nótese que el Dominio de una función racional f viene dado por :

Df = {x / Qm(x) 0} = - {x / Qm(x) = 0}.

Es decir, el Dominio f lo constituye el conjunto de los números reales, excepto los valores

que anulan el denominador.



68

Función Exponencial de base a.

Definición: Una función exponencial es una función de la forma xy a , donde 0a y

1a .

1) f(x) = 2x

2) f(x) = (2-1

)x = 2

-x

Nota: Cuando (la base) a > 1 entonces la función exponencial es una función creciente,

como lo es f(x) = 2x. Mientras que cuando a < 1, la función exponencial es una función

decreciente, como lo es f(x) = 2-x

.

Algunas características de las funciones exponenciales crecientes:

1) El Dominio es el conjunto de los números reales.

2) El Rango es el conjunto de los números reales positivos.

3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores negativos.

4) Todas las funciones intersectan al eje y en el punto (0,1).

5) Son funciones continuas.

6) El límite de y = ax cuando x disminuye indefinidamente se aproxima a cero, esto es,

Algunas características de las funciones exponenciales decrecientes:

1) El Dominio es el conjunto de los números reales.

0

2

4

6

8

10

-5 0 50

2

4

6

8

10

-5 0 5



69

2) El Rango es el conjunto de los números reales positivos.

3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores positivos.

4) Todas las funciones intersectan al eje y en el punto (0,1).

5) Son funciones continuas.

6) El límite de y = a-x

cuando x aumenta indefinidamente se aproxima a cero, esto es,

Ya sabes calcular y = ax (función exponencial) para todo número real x.

f :

Función Logarítmica de base a.

f :

Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base a

para obtener y. Esto es, si a > 0 y a≠1, entonces logay = x si y sólo si y = ax.

Nota: La ecuación logay = x se lee "el logaritmo de y de base a es x".

Ejemplos:

1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que

52 = 25. Decimos que "el logaritmo de 25 de base 5 es 2". Simbólicamente lo expresamos

de la forma log5 25 = 2. De manera que log5 25 = 2 es equivalente a 52 =25.

2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.

Resolución de ecuaciones logarítmicas simples. Ejemplos para discusión:

1) Halla el valor de x si log3 9 = x.

2) Halla el valor de a si loga 8 = 3.

3) Halla el valor de y si log2 y = 7.



70

Propiedades de los logaritmos comunes: Para a > 1.

1) loga 1 = 0

2) loga a = 1

3) loga (u v) = loga u + loga v

5) loga (un) = n loga u

6) loga M = loga N, entonces M = N

Ejemplos para discusión:

1) Halla el valor de x si log2 x - log2 (x - 8) = 3.

2) Resuelve para x la ecuación: log8 3 + ½ log8 25 = log8 x .

Ejercicio de práctica: Resuelve log4 (x + 1) - log4 (3x - 2) = 2.

Función Exponencial Natural.

La letra a que aparece en la función exponencial se llama la base. La base puede ser

cualquier número real positivo (ver definición de función exponencial). Sin embargo, hay

casos donde se usa como base un número irracional denotado por e = 2.71828...

La función exponencial f(x) = ex se conoce como la función exponencial natural. Su

gráfica es:

0

5

10

15

20

25

-5 0 5



71

Logaritmo natural:

También podemos formar logaritmos con base e. Estos se llaman logaritmos naturales. Se

representan por el símbolo ln. De manera, que si y = ex, entonces x = loge y = x.

El logaritmo natural tiene todas las propiedades para logaritmos con base general a. En

particular:

1) ln (u v) = ln (u) + ln (v)

3) ln un = n ln u

4) ln e = 1

5) ln 1 = 0

Ejemplos para discusión:

1) Usa las propiedades de los logaritmos para escribir las siguientes expresiones como una

suma, diferencia o múltiplo de logaritmos:

2) Usa las propiedades de los logaritmos para escribir las siguientes expresiones como el

logaritmo de una sola cantidad:



72


2



73

3

4



74

Escribe cada ecuación exponencial a la forma logarítmica y viceversa:

1) 23 = 8

4) log10 0.01 = -2

5) ln 2 = 0.6931...

6) ln 0.5 = -0.6931...

Halla el valor de x:

7) log10 1000 = x

9) log3 x = -1

10) logx 27 = 3

12) log3 x + log3 (x - 2) = 1

13) x - 3 = log2 32

14) x2 - x = log5 25

Ejercicios propuestos



75

Dibuja la gráfica de:

15) f(x) = 3x

16) y = 3-x

Usa las propiedades de los logaritmos para escribir cada expresión dada como una suma,

diferencia o múltiplo de logaritmos.

17) log2 xyz

22) ln 3e2

Escribe cada expresión con un único logaritmo:

23) log3 (x - 2) - log3 (x + 2)

24) 3 ln x + 2 ln y - 4 ln z

25) 2[ln x - ln (x + 1) - ln (x - 1)]

FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES

Una función algebraica explícita es aquella cuya variable y se obtiene combinando un

número finito de veces la variable x y constantes reales por medio de operaciones

algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de

raíces. Un ejemplo de una función algebraica explícita es aquella para la cual la regla de

correspondencia viene dada por:

.



76

Se llama función trascendente, aquella cuya variable y contiene expresiones

trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Ejemplos de funciones trascendentes son las

siguientes:

OPERACIONES CON FUNCIONES.

Definición.

Sean f, g dos funciones reales de variable real. Entonces se pueden definir las siguientes

operaciones:

SUMA:

DIFERENCIA:

PRODUCTO:

COCIENTE:

NOTA:

En cada uno de los casos anteriores, el dominio de la función resultante, es la intersección

de los dominios de f y g. En el caso particular del cociente se deben excluir de la

intersección los valores de x que anulen el denominador g.

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES:

Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g, una nueva

función llamada la "compuesta de f y g".



77

Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el

codominio de la primera. Aunque solo es suficiente que solo sea una parte de él, es decir

El propósito es asignar a cada elemento de A un único elemento de C, y el camino natural

consiste en determinar la imagen de cualquier x A mediante f, y luego obtener la imagen

de f(x) B mediante g

Definición.

Sean y dos funciones. La composición de las funciones f y g,

denotada por (g o f) es la función:

g o f :

Así por ejemplo si f y g son las funciones definidas por:

y

Entonces



78

Del ejemplo anterior se deduce fácilmente que en general:

(g o f)(x) (f o g)(x).

Se debe tener también cuidado con los dominios de g o f y de f o g. El dominio de g o f es

la parte del dominio de f, para los cuales g acepta a f(x) como pre-imagen.

Esto es, D(f) =

Ahora, como g, solo acepta reales positivos de f(x), esto es, valores de x para los cuales:

; se concluye entonces que: D(g o f) = [3, + )

Nótese que (g o f) (1) = g(f(1)) = g(-1) NO ESTA DEFINIDO.

Igualmente, (g o f) (2) = g(f(2)) = g(-1/2) NO ESTA DEFINIDO.

También, el dominio f o g es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como

pre-imagen.

Es decir, D(g) = [0, + ).

Ahora, como f acepta cualquier valor real de g(x), entonces f acepta en particular, los

valores de g en el intervalo D(g) = [0, + ). De esta forma:

D(f o g) = [0, + ).

En el cálculo, a menudo se necesita escribir una función dada como la composición de dos

funciones. Esto puede hacerse de varias maneras.

Así por ejemplo, la función: puede escribirse en las formas:



79

P(x) = (g o f)(x) siendo y

P(x) = (g o f)(x) siendo y

En efecto, en el primer caso, y,

en el segundo.

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

FUNCIONES MONÓTONAS.

Sea f(x) una función definida en [a, b].

f es creciente en [a, b] si y solo si se cumple que: .

.

f es decreciente en [a, b] si y solo si se cumple que: .

.

f es monótona en [a, b] si y solo si f es creciente o decreciente en [a, b].

Las gráficas siguientes ilustran las definiciones anteriores.

Función Creciente Función Decreciente No es ni creciente ni decreciente



80

FUNCIONES INYECTIVAS.

Una función f es inyectiva (uno a uno) si se cumple que:

.

o equivalentemente, . .

En otras palabras, una función f es 1-1, si para cada x en el dominio f, existe exactamente

una y en el rango, y, ninguna y en el rango es imagen de más de una x en el dominio.

Existe también un criterio sencillo para determinar si la gráfica de una ecuación

corresponde a una función 1-1. Este criterio se conoce como:

Criterio de la recta horizontal.

Si toda recta horizontal corta a la gráfica de una función f en uno y solo un punto, entonces

f es 1-1

Así por ejemplo, en la fig. 14. (a), aparece la gráfica de la función y = f(x) = x2 + 1 la cual

de acuerdo al criterio de la recta horizontal no corresponde a una función 1-1.

Nótese que la recta y = 2, corta la gráfica en más de un punto: P1(-1, 2) y P2(1, 2) y de

acuerdo al criterio de la recta horizontal, corresponde a una función 1-1.

(a) fig. 14 (b)



81

Nótese que toda recta horizontal, corta a la gráfica en uno y solo un punto.

Si se analiza un poco más la gráfica de la función en la fig. 14 (b), se nota además que f es

una función creciente en su dominio como toda función creciente (o decreciente) siempre

tendrá valores diferentes de y, para valores distintos de x, se sigue entonces que toda

función creciente (decreciente) en su dominio es 1-1.

1. ¿Cuál es el dominio de cada una de las siguientes funciones?

a) 1)( 2 xxxf Respuesta: R

b)

3

1ln)(

xxf Respuesta: ,3

c) 27

32)(

3

x

xxf Respuesta: R- 3

d) 2

32)(

x

xxf Respuesta:

,22,

2

3

e) 1

)(2

xe

xxf Respuesta: R- 0

f) 23

73)(

24

xx

xxf Respuesta: R- 2,2,1,1

g) 12

xy h) 21 xy i) 4 xy j) xy k)

1

12

x

y l) 12

xy

m) 352 2 xxy n) 3

1

x

xy o) 7

1

2

3

xy p)

x

xxf

6

32)(

2

q) 352

2)(

2

xx

xxf r)

127

32ln)(

2

xx ee

xxf s)

187

12)(

2

xx

xxf t) f(x) =

43

12

x

x




82

u) f(x) = 76

13

x

x v) 47 xxf w) 23 xxf x) x

xf2

4 y) 3

1

xxf

z) 85

1

xxf aa)

xxxxf

3

1 bb)

12

44 3

xxx

xxf cc) 223 xxxxf

2. En la función 3 2( ) 5 8 4f x x x x , comprobar que (1) (2)f f .

3. En la función 1

( )f x xx

, hallar: 1) (0) ; 2) ( 1); 3) ( ) 1f f h f h .

4. En la función ( ) 2 ,xf x demostrar que ( 3)

(4)( 1)

f af

f a

.

5. En la función 2

( )2

xf x

x

, hallar:

1 11) ( ); 2)

( )f

x f x

6. En la función: 3( )f x x , hallar ( ) ( )f x h f x

h

7. En la función: 2( ) 2 3f x x x , hallar ( ) ( )f x h f x

h

8. Halle el dominio, rango y grafique las siguientes funciones:

9. Si f(x) = x+1 y g(x) = x+4, encontrar lo siguiente:

a) (f+g)(x) b) (f-g)(x) c) (f.g)(-2) d) (f/g)(x) e) (fºg)(3)

http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id412_m.htm

















83

10. Si f(x) = x (x-1) entonces f(-x) es igual a:

a) f(x-1)

b) -f(x)

c) f(1-x)

d) f(x)

e) f(x+1)

11. Si f(x) = 2x+2 y g(x) = 3x, entonces g(f(-8)) es igual a:

a) -17

b) -14

c) -24

d) -42

e) -18

12. Si f(x)= xx

3

2

y g(t)=t

t

3

42 , f(7) – g(3) resulta: ?

13. Dadas f, g y h definidas como 9)( 2 xxf , 72)( xxg , xxh 5)( , evaluar: f(7),

g(5x), h(3a+2), g(x2+3) y g(f(x+5)).

14. Sean f(x)= 2x+5 y g(x)=7-3x, calcular: (f+g)(3), (f-g)(2), (f.g)(-2) y (f/g)

3

1.

15. Si 62)( 2 xxf y 27)( xxg encontrar: 4fg , 3ff , 2gg , 5fg ,

3

1fg y afg .

16. Calcular f(3), f(-5) f(1/x), f(2x+5) para cada una de las siguientes funciones:

a) 35)( xxf b) 63)( 2 xxxf c) 13ln)( xxf d) 9)( 2 xxf

e) 29

32

1

)(x

xxf

f) 31

)( xexf



84

17. Determinar cuáles de los puntos siguientes están sobre la gráfica de x

xxf

1)(

a) (1,2) b) (2,7/2) c) (-1,0) d) (-2,-5/2) e) (3,10/3)

18. Graficar la función: f(x) = 3x2-5x-1

19. Graficar la función: f(x) = x

3

1

20. Hallar la intersección con los ejes de cada una de las siguientes funciones:

a) xxxf 3)( b) 62ln)( xxf c) xxxf 3)( d) 1

3)(

xxf e) 20)( 2 xx eexf

f) 12)( xxxf g) 34 4)( xxxf

21. Representar gráficamente las siguientes funciones.

a) xy 2 b) x

y

2

1 c) xy 4.0 d) xy 5.1 e) 12 xy f)

xy 3 g)

12

xy

h) xxy 22 i) xey 2 j) xey 5.0 k) xey 2 l) xey 5.0

22. Representar gráficamente las siguientes funciones.

a) xy 2log b) xy 10log c) xy 5.1log d) xy 5.3log e) 1log2 xy

f) 2log3 xy g) xy 2log

23. Utilizar una calculadora para estimar con seis lugares decimales el valor de cada uno de

los siguientes números.

a) 32 b) 1.32 c) 14.32 d) 141.32 e) 1415.32 f) 14159.32

24. Utilizar una calculadora para determinar en cada pareja cuál número es más grande.

a) 55 o b) 33 88 o

25. Representar gráficamente.

a)

262

204

04

)( 2

xparax

xparax

xpara

xf b)

23

224

22

)( 2

xparax

xparax

xparax

xf



85

c)

31

32)(

2

xpara

xparaxxf d)

310

321

23

)(2 xparax

xpara

xparax

xf

e)

01

01)(

xpara

xparaxf f)

enteronoxpara

enterounxparaxf

2

2)(

Función Lineal

26. Los costos fijos mensuales para producir un artículo son de $2000000 y los costos

variables por unidad son de $ 5000; si el precio de venta por unidad es de $9000.

Hallar:

a) Ecuaciones de costos e ingresos en función del número de unidades y representarlas

en un mismo plano.

b) Punto de equilibrio.

c) Función de utilidad.

d) ¿Cuántas unidades se deben producir y vender para obtener una utilidad mensual de

$ 1500000?

27. Dadas las ecuaciones p + q = 100 y p - q = 20.

a) Identifique cuál corresponde a oferta y cuál a demanda, explique qué significan sus

coeficientes.

b) Explique para p = 40 y p = 80 ¿qué sucede?

c) Halle el punto de equilibrio y represente en un mismo plano las dos ecuaciones.

28. Una máquina se adquiere por $ 12000000 y se deprecia en 15 años, hallar:

a) P(t)

b) El valor de la máquina y la depreciación acumulada dentro de 7 años.

29. El valor de un libro se duplica cada 5 años, si el libro fue avaluado hace 20 años en

$ 1200.

a) ¿Cuál es el valor del libro hoy? ¿Dentro de 20 años?

b) ¿Es lineal la relación entre el valor del libro y su edad? Explique

c) Expresar el valor del libro en función del tiempo.



86

30. En 1950, la demanda de gas natural en Estados Unidos era de 20 billones de joules. En

1960 la demanda era de 22 billones de joules. Sea D la demanda de gas natural t años

después de 1950.

a) Ajusta una función lineal a los puntos dados.

b) Utiliza la función para predecir la demanda de gas natural en el año 2005.

31. Un contador determinó cinco pagos diferentes de impuestos en un año específico. Éstos

eran los impuestos municipales para cinco ingresos distintos.

Ingreso (en miles de dólares) 8 15 25 40 75

Impuestos (en dólares) 24 70 180 300 560

Si una función lineal se ajusta a los datos, determínala, predice el impuesto que se debe

pagar correspondiente a un ingreso de $55000, y predice el ingreso correspondiente a

un impuesto de $240.

32. Cierto café instantáneo se vende en envases de distintos tamaños. Éstos eran los precios

para cada uno de ellos en un supermercado.

Onzas 2 6 10 16 32

Precio $0.95 $2.15 $3.29 $4.89 $8.99

Si una función lineal se puede ajustar a los datos, determínala, predice el precio de un

envase de 24 onzas y predice el tamaño de un envase que se vendería a $13.99.

33. Raggs, Ltd., una empresa de confecciones, determina que sus ingresos totales a partir de

la venta de x vestidos son dados por la función 50200)( xxR donde )(xR son los

ingresos en dólares, de la venta de x vestidos. Halle )10(R y )100(R .

34. El monto en dinero en una cuenta de ahorros al 6%, compuesto anualmente, depende de

la inversión inicial x y está dado por la función xxxA %6)( , donde )(xA es el monto

de una cuenta al final del año 1. Halle )100(A y )1000(A .



87

Función Cuadrática

35. Encuentra la función cuadrática que se ajusta a los puntos 1,05,1,5,2 y .

Respuesta: 162)( 2 xxxf

36. Encuentra la función cuadrática que se ajusta a los puntos 18,33,2,6,1 y .

37. Un negocio obtiene ganancias de $38 el primer día, de $66 el segundo día y de $86 el

tercero. El administrador dibuja los puntos 86,366,2,38,1 y .

a) Encuentra una función cuadrática que se ajuste a estos datos.

b) Utilizando la función, predice las ganancias para el cuarto día.

38. Un negocio gana $1000 el primer mes, $2000 el segundo mes y $8000 el tercero. El

administrador dibuja los puntos 8000,32000,2,1000,1 y .

a) Encuentra una función cuadrática que se ajuste a los datos.

b) Utilizando la función, predice las ganancias para el cuarto mes.

39. Escribe un argumento convincente sobre por qué no hay una función cuadrática que se

ajuste a los puntos 5,105,8,5,2 y



88

Definición de Límite de una función.

Sea f una función definida en un intervalo abierto que contenga un punto “a”, no

teniendo que estar definida en “a” y L un número real. La igualdad : f ( x ) = A se lee :

“ El límite de f ( x ) , cuando x tiende a “a”, es igual a L “, o “ f ( x ) tiende a “L” , cuando x

tiende a “a”. También se puede escribir sin el símbolo de límite:

f ( x ) L , cuando x a . Esta simbología implica la idea de que f (x) puede hacerse

tan próximo a L como queramos, con tal que x se elija suficientemente próximo a “a”.

Se llama entorno del punto “a”, a cualquier intervalo abierto que contenga al punto

“a” como su punto medio. Los intervalos:(2,6) ; (3,5) ; (3.9, 4.01 ) ; ( 3.99 , 4.01 ) ;

(3.999 , 4.001) , son todos entornos del punto x = 4 . Entonces, podemos decir que el

entorno del punto “a”, se puede representar de la siguiente manera: N (a) = (a - , a + )

En esta expresión, representa un número positivo, generalmente tan pequeño como se

quiera, llamado radio o semiamplitud del entorno. El entorno de “a” lo podemos expresar

de tres formas diferentes:

1. En forma de Intervalo : ( a - , a + ) .

2. En forma de Módulo : ax < .

3. En forma de desigualdad: a - < x < a + . Todas estas se representan de la misma

forma gráfica:

( )

a - a a +



89

Si en la definición de entorno se excluye al punto “a”, se obtiene el entorno reducido:

N’ (a) = { x / x a - < x < a + , x a } .

Comprendido lo anterior, entremos a hablar de Límite, estudiemos la siguiente función:

f (x ) = 1

12

x

x , esta función no está definida para x = 1 . Si evaluamos su comportamiento

en un entorno reducido de 1, obtendremos:

X f ( x) x f ( x )

0,5 1,5 1,5 2,5

0,9 1,9 1,1 2,1

0,99 1,99 1,01 2,01

0,999 1,999 1,001 2,001

0,9999 1,999 1,0001 2,0001

Si x tiende a 1 por la izquierda Si x tiende a 1 por la derecha,

f ( x ) tiende a 2 . f ( x ) tiende a 2 .

x 2)(1 xf x 2)(1 xf

En resumen se escribe: 1

limx

f (x) = 2.

Y expresamos este concepto así:

Se dice que la función f (x) = 1

12

x

x tiende al límite 1 ,cuando su variable x se acerca al

valor 2 , si a cada entorno reducido N ( 2 ) corresponde un entorno reducido N’ ( 1 ) , tal

que : f ( x ) N ( 2 ) x N’ ( 1 ) , y en general , la definición de Límite es :

Se dice que una función y = f ( x ) tiende al límite “L” , cuando su variable x se acerca al

valor “a” , si a cada entorno N ( L ) , corresponde un entorno reducido N’(a), tal que :

f (x) N ( L ) x N ‘ ( a ).



90

Demostrar los siguientes límites:

1. 1

limx 1

235 2

x

xx= 7.

2. 2

limx 2

654 2

x

xx= -11.

3. 5

limx

( 2x + 3 ) = 13.

Teoremas sobre límites.

1. Límite de una función lineal: Si f (x) = mx + b, entonces ax

lim f(x) = ax

lim (mx + b ) =

m.a + b .

2. Límite de una constante: El límite de una constante es la misma constante. (es un

corolario del anterior).

3. Límite de una suma algebraica de funciones: El límite de una suma algebraica de dos o

más funciones es la suma algebraica de los respectivos límites.

4. Límite de un producto: El límite de un producto de dos o más funciones es igual al

producto de los respectivos límites.

5. Límite de una potencia: El límite de una potencia es igual a la potencia del límite.

6. Límite de una raíz: El límite de una raíz es igual a la raíz del límite.

7. Límite de una constante por una función: El límite de constante por una función es igual

a la constante multiplicada por el límite de una función.




91

8. Límite de un cociente: El límite de un cociente es igual al cociente de los límites, si el

límite del denominador es distinto de cero.

9. Unicidad del límite: Si una función cualquiera f (x) tiene límite, ese límite es único.

10. Teorema del encaje: Si una función f (x) está constantemente comprendida entre otras

dos funciones que tienen el mismo límite, entonces f (x) también tiene ese límite.

Evaluar los límites siguientes, citando en cada caso el teorema respectivo.

a) 4

limx

x4 b)

3limx 4

1

x

x c)

0limx

( 2x – 1 ) d) 5

limx

e) 0

limx

( - x2 + x +2

)

f) 4

limx xx

xx

4

3

4

)1( g)

3limx

1x h) 1

limx

( x + 4 ) (5x – 1 ) i) 1

limt

t

t 12

j) 1

limx

( 3x3

+ x 2 –x + 2)

Infinitos e Infinitésimos.

Considerando la función homográfica y = x

1 , y asignémosle valores a la variable X

y evaluemos como es su comportamiento.

Escribiremos x

limx

1 = 0. Escribiremos

0limx x

1 = +

x f ( x ) x f ( x )

1 1 1 1

10 0,1 0,1 10

100 0,01 0,01 100

1000 0,001 0,001 1000

10000 0,0001 0,0001 10000

10n 10

-n 10

-n 10

n




92

0

limx x

1 = - .

Las variables que tienden a cero se llaman INFINITESIMOS.

Las variables que tienden a Infinito se llaman INFINITOS.

Las operaciones con infinitésimos e infinitos no siguen las mismas leyes de la aritmética

finita. Consideremos las siguientes variables.

X 0 (Un infinitésimo)

Y 0 (Otro infinitésimo)

Z (Un infinito)

U (Otro infinito)

C = constante

Es muy sencillo demostrar la siguiente Tabla de Operaciones:

x + y 0 La suma de dos infinitésimos tiende a cero

x – y 0 La diferencia de dos infinitésimos tiende a cero

x.y 0 El producto de dos infinitésimos tiende a cero

x / y ¿? El cociente de dos infinitésimo es indeterminado

z + u La suma de dos infinitos tiende a infinito

z - u ¿? La diferencia de dos infinitos es indeterminada

z . u (El producto de dos infinitos tiende a infinito)

z / u ¿? (El cociente de dos infinitos es indeterminado)

x + c c La suma de un infinitésimo y una constante tiende a la misma constante

x - c - c La diferencia de un infinitésimo y una constante es -constante

c - x c La diferencia de una constante y un infinitésimo es la constante

c . x 0 Constante por infinitésimo tiende a cero.

x / c 0 Infinitésimo sobre constante tiende a cero.

c / x Constante sobre infinitésimo tiende a infinito.

z + c Infinito más constante tiende a infinito.

z - c Infinito menos constante tiende a infinito.

c - z Constante menos infinito tiende a infinito.



93

c . z Constante por infinito tiende a infinito.

z / c Infinito sobre constante tiende a infinito.

c / z 0 Constante sobre infinito tiende a cero.

x + z Infinitésimo más infinito tiende a infinito.

x - z - Infinitésimo menos infinito tiende a menos infinito.

z . x ¿? Infinito por infinitésimo es indeterminado.

x / z 0 Infinitésimo sobre infinito tiende a cero .

z / x Infinito sobre infinitésimo.

Como se puede ver existen en estas operaciones cuatro casos de indeterminación, a saber

0

0 ;

; ; 0 . .

Cálculo de límites indeterminados

1.) Indeterminaciones de la forma: 0

0

La forma cero sobre cero siempre se debe a la presencia de factores comunes a los dos

términos de una fracción. Estos factores se anulan en el punto hacia donde tiende la

variable, lo que produce la indeterminación. Si se quiere resolver o eliminar esta

indeterminación lo recomendable es factorizar tanto el numerador como el denominador y

simplificar correctamente.

Resolver los siguientes límites:

a) 2

limx 53

4

2

2

x

x b)

axlim

aax

xax

32

c) 1

limx 23

1

2

x

x d)

axlim

ax

ax

33




94

e) 0

limh h

xhx 3)(3 f)

ax lim

bxabaxx

bxaxabx

2

2

g) 0

limh h

xhx 22)( h)

0limh

hh

hh

33

33

i) 0

limh h

xhx j)

1limx 1

133

x

xx

2. Indeterminación del tipo ( / ) entonces se divide por la máxima potencia, tanto si las

expresiones son racionales como si son radicales.

En el caso más simple que es el de las funciones racionales podemos obtener los siguientes

casos:

grado P(x) > grado Q(x) lim = +/-

grado P(x) = grado Q(x) lim = an/bn

grado P(x) < grado Q(x) lim = 0

Puede ser de utilidad saber que se puede transformar la indeterminación 0/0 a

/ o al revés , sin más que tener presente que :

P1

Q1

Q

P

1) 2

2

15 3 4lim

3 15 7x

x x

x x

2)

3

2

4 2 4lim

3 1x

x x

x x

3)

3 2

4 1lim

1x

x

x x

4)

2 2lim( )x

x ax x bx

Estudiar los casos: a) m > n; b) m = n; c) m < n.

3. Si al calcular el límite de la función aparece una indeterminación del tipo - para

eliminarla tendremos que distinguir dos casos :

Si f es la diferencia de dos funciones racionales se efectúa dicha operación para

conseguir estar en uno de los dos casos anteriores.

Si f es la diferencia de dos funciones con raíces cuadradas multiplicaremos y

dividiremos por el conjugado.



95

1) lim( 1 )x

x x

2) lim( ( )x

x x a x

3) 2 2lim( )

xx ax x bx

La indeterminación del tipo 0· se reduce al tipo 0/0 ó / utilizando la igualdad

P·Q =

P1

Q

Q1

P

CONTINUIDAD

Función continua

Si alguna de las tres condiciones no se cumple, la función es discontinua en x0.

Se dice que una función es continua en un intervalo cuando es continua en todos los puntos

del intervalo.

Ejercicio: estudio de la discontinuidad de una función

Resolución:



96

condiciones de continuidad no se cumple.

En este caso es la primera, ya que no existe el límite de la función cuando x tiende a 3; los

límites laterales no coinciden:

Resolución:

En este caso existe el límite de la función cuando x tiende a 3, y es 1; los dos límites

laterales coinciden:

Sin embargo, la función no está definida en x = 3; no existe f (3).

Por tanto, la función es discontinua en x = 3.

Resolución:

Existe el límite de la función cuando x tiende a 2, ya que los dos límites laterales

coinciden:



97

La función está definida para x = 2 y vale 5: f(2) = 5.

Sin embargo, el valor del límite de la función cuando x 2 no coincide con f (2):

OPERACIONES CON FUNCIONES CONTINUAS

Suma La suma de dos funciones continuas en un punto es también una función continua en ese

punto.

Demostración:

Aplicando una de las propiedades de los límites de funciones,

Resta La resta de dos funciones continuas en un punto es también una función continua en ese

punto.

Esta demostración, como las que siguen, se hacen de forma similar a la anterior, basándose

en las propiedades de los límites de funciones.



98

Producto

El producto de dos funciones continuas en un punto es también una función continua en ese

punto.

Producto de una función por un número El producto de una función continua en un punto, por un número real, es otra función

continua en ese punto.

Cociente El cociente de dos funciones continuas en un punto es otra función continua en ese punto.

(Siempre que el denominador no se anule).

Composición de funciones

CONTINUIDAD DE FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIÓN CONSTANTE

La función constante f(x) = k es continua en todos los puntos.

FUNCIÓN IDENTIDAD

La función identidad f(x) = x es continua en todos los puntos.

FUNCIÓN POTENCIAL

La función potencial f (x) = xn es continua en todos sus puntos, salvo el caso en que n<0 y

x = 0, ya que en este caso se tendría una función racional con denominador nulo.



99

Función polinómica

los puntos, por ser suma de funciones continuas en todos los puntos.

Función racional

en todos los puntos, salvo en los que el denominador se anula, por ser un cociente de dos

funciones continuas.

FUNCIÓN EXPONENCIAL

La función exponencial f(x) = ax, con a > 0, es continua en todos los puntos.

Función logarítmica

La función f(x) = loga x, siendo a > 1, es continua en todos los puntos de su campo de

existencia (0, + ).

Ejercicio: estudio de los puntos de continuidad

Resolución:



100

La función es continua en todos los puntos salvo en los que se anula el denominador, ya

que en éstos la función no estará definida; es decir, en x = 3.

La función es continua en todos los puntos salvo en x = 3, en el que es discontinua.

en los intervalos (-3, 0) y (0, 2).

Resolución:

La función es continua en todos los puntos, salvo en los que el denominador se anula. El

denominador se anula en x = -2 y en x = 5

El punto x = -2 está en el intervalo (-3, 0), luego en éste la función no es continua.

CLASIFICACION DE PUNTOS DE DISCONTINUIDAD

darse una, al

menos, de estas condiciones:

Dependiendo de qué condición se verifique, los puntos en los que una función no es

continua se clasifican en puntos de discontinuidad evitable y en puntos de discontinuidad

no evitable (o inevitable).

DISCONTINUIDAD EVITABLE

Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto x0 cuando, existiendo el

límite de la función en éste, no coincide con el valor que toma la función en el punto (caso

c):



101

La discontinuidad se puede evitar asignando a la función, en el punto x0, el valor de su

límite.

el que

hace la función sea continua en ese punto.

Discontinuidad inevitable

Una función presenta una discontinuidad inevitable en un punto x0 cuando o bien no existe

algún límite lateral (caso a) o bien los límites laterales existen pero son distintos (caso b),

en cuyo caso no existe el límite.

Ejercicio: estudio y clasificación de los puntos de discontinuidad de una función

Realizar un estudio de los puntos de discontinuidad de la función

Resolución:

La función x+2 es continua en todos los puntos.

La función f(x) es continua en todos los puntos salvo en x = 1; ya que f(1) = 1

entonces f(x) = x + 2 es continua en todos los puntos.

El verdadero valor de la función en x = 1 es 3.



102

Resolución:

f(x) es continua en todos los puntos salvo en x = 3.

La discontinuidad es inevitable.

Resolución:

La función es continua en todos los puntos salvo en los que se anule el denominador: x = 2

El límite existe y es 4, por lo tanto la discontinuidad en x0 = 2 es evitable. El verdadero

valor de la función en x0 = 2 es 4.

Asignando a f(2) el valor 4, la función

es continua en todos los puntos.



103

Ejercicios resueltos

1

2

6

5

4

3

2(5)2-3(5)+4 = 39

1

7

-11

2



104

7

8

9

10

11



105

12

13

14

15

16

17

18

19

x3-x

2-3x+2

x2-5x+6

x3-x

2-3x+2

x2-5x+6

-5

x3-2x

2-5x+6

x3-1

x3-2x

2-5x+6

x3-1

x3+x

2+x-3 (x-1)(x

3+x

2+x-3)



106

20

22

21

23

-3/16



107

25

26

27

24



108

30

29

28



109

31

32

33



110

34

35

36

37

1/72



111

38

39

40

41

0



112

1. Calcular:

a) 9

323

x

xlímx Respuesta:

61

b) 128

1216723

23

2

xxx

xxxlímx Respuesta:

5

1

c) 22

2223 2

ax

axaaxaxxlím ax

Respuesta:

2

13 a

d) 1

13

6

1

x

xlímx Respuesta: 2

e) 36254

201732

2

4

xx

xxlímx Respuesta: 1

f) ax

aaxxlím ax

22

Respuesta: a21

g)

h

hhhlímh

1312110

Respuesta: 6

h) 1

1331

x


i) 16

5324

x

xlímx Respuesta:

48

1

j) xx

xxlímx

34

22

23

0

Respuesta: 0

k) 8

323

5

2

x

xlímx Respuesta:

3

20




113

l) 22

82

2

x


m) 235

732

2

xx

xlímx Respuesta:

5

3

n) 643

5422

3

xx

xxlímx Respuesta:

o) 213

x

xlímx Respuesta: 0

p) 1

2

2

3 3

xx

xxlímx Respuesta:

21

q) 134

35

2

xx

xlímx Respuesta:

25

r) 3

28

2

3 3

xx


s) 475

5233

2

xx


t)

1

1

1

11

1

x

x

x

xx

x

límx Respuesta: 4

1

u) xxlímx 12 Respuesta: 0

v) xxlímx 1 Respuesta: 0

w) 13 2 xxxlímx Respuesta:

x) xxxxlímx Respuesta: 1

y)

xxxlímx 12 Respuesta:

21



114

z) xxxlímx 23 2 Respuesta:

aa) 18

2532

2

5

xx

xlímx Respuesta: -25/8

bb) 1

13

6

1

x

xlímx Respuesta: 2

cc) 3

28

2

3 3

xx


dd) 46

352

32

x

xxlím

x Respuesta: 7/72

ee) 22

2223 2

ax

axaaxaxxlím ax

Respuesta: (3a+1)/2

ff) 1

13

6

1

x

xlímx Respuesta: 2

gg) 752 2

2

1

xx

xxlímx Respuesta: 1/9

hh) 1572

101332

2

5

xx


ii) 4

223

4

x

xlímx Respuesta: 1/6

jj) 145

232

2

xx


kk) 53

12 2

x

xlímx Respuesta:

3

2

ll) xxlímx 12 Respuesta: 0

mm) x

xxlímx

3

2

Respuesta:



115

nn)

3

99

x

xlímx Respuesta: 6

oo) 675

2522

2

2

xx


pp)

x

xxlímx 16

4

332

8

Respuesta: 232

qq) 75 2342 xxxlímx Respuesta: 27

rr) 2320 xxlímx Respuesta: 2

ss) 3

92

3

x

xlímx Respuesta: 6

tt) 220 33 hxhxlímh Respuesta: 23x

uu)

x

xLím

x 21

94

21 vv)

36254

201732

2

4xx

xxLímx ww)

2

3

3

12

4

x

xxLímx

xx)

xxxLímx 23 2 yy)

1015

32

51

x

xLím

x zz)

276

3522

2

21

xx

xxLím

x

aaa) 675

2522

2

2

xx

xxlímx bbb)

1

542

2

1

x

xxlímx ccc)

9

39

x

xlímx

ddd) 675

2522

2

2

xx

xxlímx eee)

h

xhxlímh

22

0

fff)

18

2532

2

5

xx

xlímx

ggg) 22

82

2

x

xxlímx hhh)

xlímx

30 iii)

xlímx

40

jjj)

5

252

5

x

xlímx

kkk) x

límx

25

lll)

2

12

xlímx mmm)

21

1

1

xlímx nnn) hxlímh 5100

ooo) hxx

límh

50 ppp)

3

28

2

3 3

xx

xxlímx



116

2. Trazar la gráfica de la función f dada por:

11

14

13

)(

2 xparax

xpara

xparax

xf

Determinar: )()(),( 111xfLímyxfLímxfLím xxx

3. Considere la función definida así:

122

122)(

xparax

xparaxxH

Represente gráficamente la función y halle cada uno de los siguientes límites, si existen.

)(1 xHlímx )(3 xHlímx

4. Considere la función definida así:

11

15)(

xparax

xparaxG

Represente gráficamente la función y halle cada uno de los siguientes límites, si existen.

)(1 xGlímx )(3 xGlímx

Continuidad

5. Determine en qué puntos la función no es continua. Además indique el tipo de

discontinuidad, si es eliminable, redefina f(x) de manera que la discontinuidad

desaparezca.

a)

32

33)(

xsi

xsixxf

b)

223

29)(

2

xsix

xsixxf

6. Determinar si existe continuidad en la siguiente función:

xsix

x

xsix

xsi

xf

11

1023

02



117

7. Calcular los valores de a y b para que la función sea continua:

xsibx

xsibax

xsiax

xf

123

123

22

8. Determine si la función dada por 32)( xxf es continua en 4x .

9. Si se tiene

21

21)(

xpara

xparaxf

a) Halle cada uno de los siguientes límites:

)(0 xflímx )(2

xflímx

)(2

xflímx

)(2 xflímx

b) ¿ f es continua en 0? ¿En 2?

10. Considere

352

34)(

xparax

xparaxg

a) Halle cada uno de los siguientes límites:

)(3

xglímx

)(3

xglímx

)(3 xglímx )(2 xglímx

b) ¿ g es continua en 3? ¿En 2?

Resolver los Ejercicios de la Sección 11.1 del N ° 9 al N ° 34 y de la Sección 11.2 del N ° 9

al N ° 54 del Libro de Hauessler. (8° Edición)

Resolver los Ejercicios de la Sección 12.2 del N ° 1 al N ° 30 del Libro de Arya-Lardner

(3° Edición)

Resolver los Ejercicios de la Sección 2.2 del N ° 1 al N ° 26 y de la Sección 3.3 del N ° 1 al

N ° 16 del Libro de Bittinger (7° Edición)



118

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Bittinger, M. (2002). Cálculo para ciencias económico-administrativas. Séptima Edición.

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