GUA DE TRABAJOS PRCTICOS INTRODUCCIN A LAMATEMTICA DEPARTAMENTO DE MATEMTICA Lic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo2 C Co on nt te en ni id do os s M M n ni im mo os s Lgica.TeoradeConjuntos.Sistemadenmerosreales.Nmerosnaturales. Principiodeinduccin.Nmerosenteros,racionaleseirracionales.Potenciasde exponentenatural,entero,racionalyreal.Funciones,funcionesreales, polinmicas,racionales,funcinrazn-sima.Funcionesexponencialylogartmica. Funcionestrigonomtricasytrigonomtricasinversas.Sistemacartesiano ortogonal. Rectas, circunferencia, parbola, elipse e hiprbola P Pr ro og gr ra am ma a d de e I In nt tr ro od du uc cc ci i n n a a l la a M Ma at te em m t ti ic ca a Unidad 1. Lgica Matemtica. Lgicaproposicional.Definicindeproposicinsimpleycompuesta.Valorde verdad.Conectivoslgicos:Negacin,conjuncin,disyuncinincluyentey excluyente, condicional y bicondicional, tablas de verdad. Propiedades relacionadas a los conectivos lgicos. Condicin necesaria y suficiente. Condicionales asociados. Leyeslgicas.Razonamientosdeductivosynodeductivos.Diferenciaentreellos. Razonamientos deductivos: Modus Pones, Modus Tollens, Silogismo Hipottico Puro, SilogismoDisyuntivo,SilogismoConstructivo,Leydelterceroexcluidoetc. Esquemasproposicionalesenunavariable:definicin.Razdeunesquema. OperadoresycuantificadoresOperadoruniversalyexistencial;proposicionespor especializacinyporcuantificacin.Negacindelosoperadores.Mtodosde demostracin: directo, indirecto, contra recproco, induccin matemtica Unidad 2. Teora de Conjuntos. Conjuntos:Conceptodeelemento,pertenenciayconjunto(ideaintuitivadel mismo).Conjuntosporextensinycomprensin.Conjuntosespeciales:vaco, referencial, unitario, binario, etc. Relacin entre elemento y conjunto: pertenencia y relacinentreconjuntos:Inclusin.DefinicindeinclusinSubconjuntos: Definicin,propiedades.Operacionesconconjuntos:Complementacin,Unin, interseccin, diferencia, diferencia simtrica. Propiedades derivadas de cada una de lasoperaciones.Potencialoconjuntodepartesdeunconjuntodado.Intervalos: definicinyoperacionesconintervalos.Conjuntosnumricos,revisinde operaciones con nmeros reales. Producto cartesiano. Definicin y propiedades. Unidad 3.Funciones. Revisindenmerosrealesysusoperaciones.Definicindefuncin.Distintos tiposdefunciones.Representacionesdeunafuncin.Funcionesdevariablereal. Composicin de Funciones. Clasificacin de funciones: inyectividad, sobreyectividad y biyectividad. Funciones inversibles: condicin necesaria y suficiente para que una funcinseainversible(Teoremadelainversibilidaddefuncionescon demostracin).Funcionespolinmicas,racionales,exponenciales,logartmicas, trigonomtricas .Idea de conjunto finito y de conjunto infinito. Unidad 4. Geometra Analtica Sistemasdecoordenadascartesianas.Planoyespacio.Cuadrantesyoctantes. Recta:definicin,ecuacindeunarectaensusdiferentesformas.Pendiente, ordenadaalorigen,etc.Paralelismo.Perpendicularidad.Distanciadeunpuntoa unarecta.Cnicas:circunferencia,parbola,elipse,hiprboladefinicindecada unadeellaspordistanciayatravsdelaecuacindesegundogradoados Lic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo3 variables(norotadas).Rectayplanoenelespacio,superficiescilndricasy cudricas. Coordenadas polares

B Bi ib bl li io og gr ra af f a a Bosch, Jorge E. Introduccin a la lgica. Eudeba. Buenos Aires .1977 Lipschutz,Seymour.Teoradeconjuntosytemasafines.Mc.Graw-Hill.Mexixo.1964 Leithold, Louis. Algebra.Oxford.Mexico.1992 Oubia , Lia. Introduccin a la teora de conjuntos. Eudeba.1965 Rojo, Armando. lgebra I. El Ateneo. Buenos Aires .1973 Swokowski, Earl. Cole, Jeffery. lgebra y trigonometra. Thomson. Mxico.1997 M Me et to od do ol lo og g a a El dictado de la materia se desarrolla enclases presenciales de carcter terico- prctico. E Ev va al lu ua ac ci i n n: : a ap pr ro ob ba ac ci i n n d de el l c cu ur rs sa ad do o d de e l la a m ma at te er ri ia a Para aprobar el cursado de la asignatura, el alumno deba cumplir con el porcentaje deasistencia(75%)establecidoporlaUniversidad:Ademsdebeaprobar2 exmenes parciales escritos de carcter prctico, uno a mitad aproximadamente y otro al final de la cursada. Ambos parciales tienen un examen recuperatorio al final del cuatrimestre ( en las fechas de final correspondiente) en cado de que el alumno no hubiera rendido correctamente los parciales. E Ev va al lu ua ac ci i n n F Fi in na al l: : r r g gi im me en n d de e a ap pr ro ob ba ac ci i n n d de e l la a m ma at te er ri ia a El alumno debe rendir un examen final escrito de carcter terico-prctico sobre la totalidad del programa Lic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo4 GUA DE TRABAJOS PRCTICOS MATERIA: INTRODUCCIN A LA MATEMTICA CDIGO: 7301/99SGRUPO:D DEPARTAMENTO DE MATEMTICA CARRERAS: LICENCIATURA EN SISTEMAS LIC. EN PEDAGOGA DE LA MATEMTICA T TR RA AB BA AJ JO O P PR R C CT TI IC CO O 1 1 L L G GI IC CA A 1. Simbolizar las siguientes proposiciones, indicando cual es la proposicin simple simbolizada por cada letra: a)91 es primo o es divisible por 13 b)es irracional pero no es algebraico c)Si 75 es divisible por 15 entonces es divisible por 3 y por 5 d)11 y 13 son nmeros primos, pero 15 no e) 61es irracional si6 es irracional f)Si 87 no es mltiplo de 21 entonces no es divisible por 7 g)108 es divisible por 9 solo si es divisible por 3 h)1es un nmero primo si y solo si tiene exactamente cuatro divisores i)959 es divisible por 7 o por 13,pero no por ambos j)Para que 135 sea mltiplo de 45 es necesario que sea divisible por 9 k)Es suficiente que 24 y 36 sean divisibles por 12 para que 24+36 sea divisible por 4 l)Es necesario y suficiente que2sea irracional para que 2 2 tambin lo sea Lic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo5 2. Suponiendo que p y qsimbolizan proposiciones simples verdaderas y r y s proposiciones simples falsas, determinar losvalores de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. a) r p ~ b)) ( ~ r p c)( ) ( ) r p p r d)( ) ( ) p r r p e)( ) ( ) r p r p ~ ~ f)( ) ( ) q p q p ~ ~ ~ g)( ) ( ) s p s p ~ ~ ~ h)( ) [ ] ( ) [ ] s q p s q p i)( ) ( ) [ ] r s s p ~j) ( ) ( ) r s s p ~ ~ 3.Escribirlarecprocaylacontrarrecprocadelasproposiciones condicionales del ejercicio 1 Nota: Cuando el condicional ( ) es verdadero entonces es una implicacin y su smbolo es ().Lo mismo si se trata de le bicondicional ( ) si este es verdadero entonces su smbolo es ( ) 4. Construir las tablas de verdad de las siguientes formas proporcionales: 5.Determinarsilasformasproposicionalesdelejercicio4son tautolgicas,contradictoriasocontingenciasmediantelastablasde verdad. 6.Demostrarorefutarlassiguientesproposiciones:Paraformas proposicionales cualesquiera. a)Si p es tautolgica, entonces p q y q son lgicamente equivalentes. b)Si p es contradictoria, entonces p q y q son lgicamente equivalente. c)Si q es tautolgica, entonces p q y q son lgicamente equivalentes. d)Si p y pq son tautolgicas, entonces q es tautolgica. e)pq implica lgicamente apq a)( ) q p p b)p p ~ c)( ) ( ) q p q p d)( ) ( ) q p q p e)( ) ( ) q p q p ~ ~ f) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] r p q p r q p g)( ) [ ] q p q p h)( ) [ ] q p q p ~ ~ Lic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo6 7.Demostrarquelasformasproposicionalesdadasencadacasoson lgicamente equivalentes aplicando leyes lgicas: a)( ) q p q p ~ ~ , b)( ) ( ) ( ) ( ) p q q p q p q p ~ ~ ~ , ~c)( ) ( ) r q p r q p , ~ ~d) ( ) ( ) ( ) ( ) p q q p q p q p ,e)( ) ( ) ( ) r q p r p q p ,f)( ) ( ) ( ) r p q p r q p ~ ~ ~ ~ , ~g)( ) ( ) ( ) r p q r q q p , ~ ~ 8. Simplificar las siguientes formas proposicionales: 9. Negar cada una de las siguientes frmulas proposicionales: a)r q p ) ( b) q p c) ( ) r q p d)~( q p q p ~ ~ ) e) r q ~ 10.Escribirlasformasproposicionaleslgicamenteequivalentesalas siguientes usando nicamente los conectivos~ y : 11.Escribirformasproposicionaleslgicamenteequivalentesalas siguientes usando nicamente los conectivos y ~ : 12.Escribirformasproposicionaleslgicamenteequivalentesalas siguientes a las siguientes usando nicamente y ~: a)( ) ( ) s r q p b)q p c) ( ) r q p a)( ) ( ) q p q p ~ ~b)( ) ( )((

p q q p ~ ~c)( ) ( )((

q r q p ~ ~ ~ d)( )((

||

\| q r q q p ~ ~a) ( ) ( ) s r q p ~ ~ ~ b) ( ) ( ) r q q p ~ c)( ) ( ) r q q p a)( ) r q p b) ( ) ( ) q p q p ~ ~ c)( ) r q p ~Lic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo7 13.Determinarculesdelassiguientesformasproposicionalesson tautolgicas mediante el mtodo de asignaron de valores de verdad: a)( ) p q q p ((

b)( ) p q q p ~ ~ ((

c)( ) q p q p ~ ~ ((

d)( ) ( ) p r q r q p ~ ~ ~ ~ ((

||

\| e)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r p q s s r p q p ((

~ 14.Demostrarquelassiguientesformasproposicionalessontautolgicas aplicando leyes lgicas o reglas de inferencia: a)( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) q p s r s r q p ~ ~ ~ ~ b)( ) ( ) [ ] r p q r q p ~ ~ c)( ) ( ) ( ) [ ] r p p q r q p ~ ~d)( ) ( ) [ ] ( ) s r r s t r ~ ~e)( ) ( ) ( ) ( ) [ ] s r s t t p q p r q ~f)( ) ( ) ( ) ( ) [ ] p u u t s t s r r p ~ ~ ~ ~ g)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] t s t s q s r q p r p ~ ~ 15.Demostrarqueparaformasproposicionalescualesquierap,qyrla forma proposicional ( ) [ ] ( ) [ ] r q p r q p . Es una ley lgica. 16.Demostrarquelassiguientesformasproposicionalessontautolgicas aplicando la ley lgica del ejercicio 15: a)( ) ( ) [ ] ( ) ) (~ ~ ~ q r s q s r b)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) s u t r p u t s r q q p ~c)( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) t r s q t s p r q p ~ ~ ~ d)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) u p u t s s r q p 17. Sean p, q, r proposiciones simples.a) Escribir una proposicin compuesta que sea verdadera, cuando exactamente dos de tres de las proposiciones simples sean verdaderas. b) Escribir una proposicin compuesta verdadera, cuando ninguna, o una o dos de las tres de las proposiciones simples sean verdaderas. Lic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo8 18.Indicarcualesdelassiguientesexpresionesrelativasalosnmeros reales son esquemas o funciones proposicionales y cuales proposiciones. 19. Decir si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones en caso de ser falsas dar un contraejemplo a)Para todo x R, existe un y R tal que x .y=1 b)Para todo x R ; para todo y R, (x+y)2=x2 +y2 c)Para todo x R, x2=25 si y solo si x=5 d) 2 2 2) ( : , y x y x R y R x + = + e)[ ( )]2 2( ) : , y x y x R y R x < < f)) 0 0 ( : < x x R xg)( ) ( ) 0 : 0 : < x R x x R xh)( ) 0 0 : < x x R xi)( ) ( ) 0 : 0 : < x R x x R xj)y x R y R x < : ,k)y x R x R y < : ,l)( ) ( ) z y x z y x R z y x = : , ,m)) 2 3 )( 5 2 ( 2 11 6 :2 3 + = + + x x x x x R x 20.Escribirproposicionesequivalentesalasnegacionesdelassiguientesproposiciones: a)Para todo x R, x2x b)Existe un x R tal que x2 + x x R xc){ } 9 5 2 : < + x R x d){ } 0 4 4 :2 3 + x x x R xe) )`+ 436:xxR xf){ } 7 3 2 : > x r xg){ } 4 5 :2 + x x R x h){ } 5 4 :2 > + x x R xi){ } 19 | 4 7 | 3 : < x R x j) { } 49 1 :2< < x R x Nota: Se considera a U como el universalo referencial correspondiente para todos los ejercicios 3.SeaUunconjunto.DemostrarqueparasubconjuntosA,ByC cualesquiera de U a)SiC A entonces C B y B A b)B A B A c)B A entonces B A B A Si = d)C B A entonces C B y C A Si ,e)B A C A entonces C B Si ,f)A B si solo y si B A g) = A entonces A Sia) {2} A b) {2} B c) {2} A d) {1} B e) {1} B f) A B g) {1,2} B h) {1,2} B i) B A Lic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo23 4.Sea{ } x x R x A 7 :2> = y{ } 6 9 : = x R x B .ConsiderandoaR(nmeros reales)comoconjuntoreferencial,expresarentrminosdeintervaloslos siguientes subconjuntos de R. a)Ab) Bc) B Ad)B A e)B A f)A B g)B Ah)B A i) B Aj)B A k) B A l)B A 5. Demostrar que para A, B, C subconjuntos cualesquiera incluidos en U a)A A =b)B A B A = c)( ) ( ) ( ) C A B A C B A = d)U U A = e) = A Af) = A 6.DemostrarqueparasubconjuntosAyBcualesquieradeU,las siguientes proposiciones son equivalentes. a)B A b)B B A = c) A B A = d) A B 7.ParacadanN,seaAn={xN:xn}yBn={xN:x2n} ConsiderandoaNcomoelconjuntoUniversal,hallarloselementosdelos siguientes conjuntos: a) A1b) B3 c) 5A d) B7-A7 e) 5 8B B f) B37 A74 g) 4 10B A h) A5 B6 i) 7 17B A j) U75 = nnA k)U75 = nnB l)I61 = nnA m) I61 = nnB n) U=3 nnA ) I=3 nnAo) I=2 nnB p)U61 = nnA q) U=1 nn nB A

8. Demostrar para que subconjuntos A y B cualesquiera de U a)( ) A B A A = b)( ) A B A A = c)( ) ( ) A B A B A = d)( ) ( ) = B A B Ae) A A B B = f)C B A C B A = ) ( ) ( Lic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo24 9. Demostrar que para A, B, C subconjuntos cualquiera incluidos en Ua)( ) ( ) ( ) ( ) A B B A B A B A = b) = A Ac)A A = d)U A A = e)A U A = f)( ) ( ) ( ) C A B A C B A = g) = B A si y solo siA=B h) Si, C B C A = entonces A=B 10. Demostrar que los siguientes conjuntos son vacos: a)( ) ( ) B C B A b) ( ) [ ] A C B A 11.Aplicandolasleyesdelateoradeconjuntos,demostrarquepara subconjuntos A, B y C cualesquiera de U a)( ) ( ) A B A B A = b)( ) [ ] B A A U B A = c) ( ) B A B A A = d) ( ) B A A B A = e) ( ) ( ) ( ) A C B A C B A = f) ( ) ( ) ( ) C A B A C B A = g)( ) = B B Ah)( ) ( ) ( ) C B A C B C A = i)( ) ( ) ( ) C B A C A B A = 12. Sean A, B, C U. simplificar las siguientes expresiones: a)( ) A B A b)( ) B C B A c) ( ) ( ) B A B A d)( ) C B A B A e) ( ) ( ) ( ) B A B A B A f) ( ) ( ) ( ) ( ) B A B A B A B A Lic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo25 13. Sea A={ 1,2, 3 } ,B={{1},2, 3 } , C={ {1,2}, 3}. Hallar P(A), P(B) y P(C) 14. Hallar P( ) ,P{ } ( ) y P{ { } } ( ) , 15. Demostrar o refutar que para subconjuntos A y B cualesquiera de U 16. Representar en el plano numrico los siguientes productos cartesianos de subconjuntos de R a) {2}x R b) Rx [-1,2]c)] ( 5 , x {3} d) {-1,1} x {-2,2 }e) {-1,3} x [-2, )f) (1,3) x (-1,4) 17. Demostrar o refutar que para A, B, C, D U a)A x= b)Si A x B A x C entonces BC ( A ) c)(A x B ) ( C x D)= ( A C) x ( B D ) d)( ) ( ) ( ) ( ) B U x A U AxB UxU = 18. Demostrar que para A, B, C P(U) a) A x ( B C)= (A x B)(A x C)b) A x ( B C)= ( A x B ) (A x C)c) A x ( B C)= ( A x B )- (A x C)d)( A- B) x ( A-C )(A x A) (B x C) a) P(A)P(B) P(AB)b) P(AB)= P( A)P(B) c) P(AB)= P(A)P(B)d) P(A-B)=P(A)-P(B) Lic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo26 R RE EP PA AS SO O DefinicinIntuitivadeElemento,ConjuntoyPertenencia:Elementoes cadaunodelosobjetosporloscualesestaconformadounConjunto. Intuitivamente, un Conjunto es una agrupacin, clase o coleccin de objetos, que se agrupan por tener alguna caracterstica en comn. As, cuando un elemento a formapartedeunconjuntosedicequepertenecealconjunto,obiensedice que el conjuntocontiene al elemento a. Notacin:Loselementossedenominanconletrasminsculas,losconjuntoscon letras maysculas y la pertenencia se simboliza a travs de y de que significa no pertenece. ExpresindeunConjunto:Seexpresanenformaexplicitaoextensin, nombrando a cadaunodelos elementoso bien se los puedeexpresarenforma implcitaoporcomprensindandounafrmula,reglaoproposicinque describa a dichos elementos. RelacindePertenencia:Eslarelacinqueexisteentreunelementoyun conjunto. Conjuntos Especiales: ferencialos CuaternariTernariosBinariosUnitariosVacoRe RelacindeInclusin:ElconjuntoAestaincluidoenB( B A )sitodoslos elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B. Propiedades de la Inclusin: ) ( : : : 3: 2: 1C A C B B A C B AA A AA A Igualdad de Conjuntos: Dos conjuntos son iguales si, y solamente si tienen los mismo elementoso bien) ( : : A B B A B A B A = Representacin de Conjuntos: Diagramas de Venn-Euler Subconjunto de un Conjunto Dado: Sea un conjunto Allamamos subconjuntodel conjunto A a todo conjunto A ital queA i AdondeAi puede o no ser igual al conjunto A. Lic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo27 SubconjuntoPropios y Subconjuntos Triviales: Todos aquellos subconjuntos que no sean triviales o sea ni el ni el mismo A son denominadospropios. Potencial de un Conjunto o Conjunto de Partes: conjunto formado por todos lossubconjuntos(propios o triviales ) de unconjunto dado. Se lo denotaP(A)o bienP (A). Operacin con Conjuntos: - - 1.Complementacin:A = { x / x R x A} = R R= Involucin:A = A Sus propiedades: A BB A 2.Unin: A B := { x | x Ax B} Neutro :A = A Idempotencia :A A = A Absorcin o Dominacin : A R = R Conmutatividad: A B = BA Asociatividad:(AB) C = A ( B C)A ) ( B A Sus propiedades AA= R 3. Interseccin : A B = { x | x Ax B} Neutro : AR = A Idempotencia :AA = A Absorcin o Dominacin: A = Conmutatividad: A A B B = Asociatividad:(A B ) C =A ) ( C B A A B Sus propiedades A A = Lic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo28

Nota: La Diferencia NO ES CONMUTATIVA NI ASOCIATIVA Propiedades Combinadas con las Operaciones ya Definidas Distributividaddelauninrespecto de la interseccin C B A , ,A U ( BC ) = (A U B) (A U C) Distributividad de la interseccin respecto de la disyuncin C B A : ,.: A(BUC)= (AB) U (AC) Leyes de De Morgan B A=ABAUB =A B Intervalos : Sea a a } [a, { } / ) a x R x x = +( - ,a ) ={ x / x R x < a } (- ,a] ={ x / x R x a } 4. Diferencia A -B = { x | x Ax B} A- B = ABA A = A R = A - = A Sus propiedades A BA 5. Diferencia SimtricaAB := { x | x (xAx B)v ( x ) B x A } o bien AB={ x / x) ( ) ( B A x AUB } es decir A B = (A B) U ( B A)o bien A B = (AUB) (AB) Neutro A = A A R =A A A = Conmutatividad (A = ) B (BA) Sus propiedades Asociatividad (AB) C = A ( B C)Lic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo29 Par Ordenado(a; b ) = {{a, b} , {a } } (b ; a ) = {{a, b}, {b } } Nota: (a ; b ) ( b ; a ) Igualdad de Pares Ordenados: (a ; b) = ( c ; d )a = c b = d

Producto Cartesiano A x B = { ( a ; b ) / a} B b A A x =Propiedad distributiva respecto de la unin. A x (BUC) = (A x B)U(A x C) Sus propiedades Propiedad distributiva respecto de la interseccin. A x (BC) = ((A x B) (A xC)) Nota: A x B B x A Lic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo30 E EJ JE ER RC CI IT TA AC CI I N NA AD DI IC CI IO ON NA AL L 1.Culesdelossiguientesconjuntosson:vacos,unitarios,finitos, infinitos? a) A = { x / x es da de la semana} b) B = { vocales de la palabra vals} c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .}d) D = { x / x es un habitante de la luna}e) E = { x N / x < 15} f)F = { x N y 5 < x < 5 } g) G = { x N y x > 15} h) H = { x N y x = x} i)I = { x / x es presidente del Ocano Pacfico} j)J = { x / x es nmero de cabellos total de los habitantes del Per } 2.Determinarculessonlosnmerosenterosrepresentadosporx,y,z quetransformanenproposicinverdaderaalaigualdaddeconjuntos indicada en cada uno de los siguientes casos: a) { x, 3, 1 } = { 1,2,3} b) { x+y , y } = { -2} c) { -3 , 2,4 } = { x, 4 , y }d) { x+y , x-y } = { y } e) {2x-1, 3 }= { x+2 ,3}f) { x+y , x-y , z,}= {1 } g) { 8- x2} = {x2}h) {x+y, x-z ,1}={1+z} i) {x+y, y }={x}j) {{x} , {x,y}}= {{x,1},{1,2}} 3. Si xes igual a -1 o a 1 Cuales de los siguientes alternativas representa pares de conjuntos iguales?

{ }{ } { }{ }( ))`== == = = =)`= =01 ; 1 , 0 .1 1 2 ; 1 , 1 .1 , 1 ; 1 .222xxC C IIIx B B IIAxxA I Lic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo31 4. Dados los conjuntos A= {{2,1,3}, 1 } ;B= {1,2, 3} y C= {,2, 3, 4}D= { {2,3},1,5 }hallar: 5. Analizar el valor de verdad de las siguientes proposiciones siendo A = { 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } a) {3,4} B A b) {2, 8 }B A c){3, 6,8 } ( ) B B A d) 2 ( ) B A e) {2, 3, 4}{1, 2, 4, 5} B A f)B A B A g) { 1,5,8,12 }B A h)A B = { 1, 3, 5 } 6. Sean los conjuntos dados por A={ a, b, c }B= {{b}, c } C= { b, c, d } yD= { {a, b} a ,c } determinar: a) A-Bb) A-Cc) A-Dd) D-A e) B-Af) C-Ag)(B-A)-Ch)(A-B)-(CD) i) A Bj) A C k)ADl) (D C)A 7. Probar que: a)A- (B-C )=( ) ( ) B A C A b)( ) [ ] ( ) [ ] C B A C B A c)( ) ( ) ( ) C A B A C B A = a)B A b)C A c) A B d) A C e) A D f) A-Cg) C-Dh) (AC)- Di) A B j) A- B Lic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo32 8.Hallar los complementos de los siguientes conjuntos: a)C B A c) ( ) ( ) B A B A b)( ) [ ] D C B A d)( ) ( ) ( ) C B A C B A 9.Demostrar las siguientes igualdades de conjuntos: a)( ) ( ) A B A B A = b)( ) ( ) A B A B A = c) ( ) ( ) B B A B A = d) ( ) ( ) ( ) ( ) B A B A B A B A = 10.Enunaencuestaefectuadaa200deportistassehallque80 practicabangimnasia;65tenis;75natacin;40natacinygimnasia;30 tenis y gimnasia; 35 natacin y tenis y 10 los tres deportes. Se pide determinar: a)Cuantos de los encuestados no practican deportes b)Cuantos de los encuestados solo practican tenis c)Cuantos de los encuestados no practican natacin d)Cuantos de los encuestados solo practica dos deportes. 11. Determinar los siguientes conjuntos: a) Sea A el conjunto de todos los nmeros naturales divisibles por algn numero natural distinto de si mismo y de 1es decir los naturales compuestos Que conjunto designa N A? b) Sea A = {A1, A2, A3 }, de tal manera que: A1 = {n N : resto dividir(n, 3) = 0}, A2 = {n N : resto dividir(n, 3) = 1}, A3 = {n N : resto dividir(n, 3) = 2}, Que conjunto designa I31 = nnA ?Que conjunto designa U31 = nnA ? 12. Determinar la frmula correspondiente a la parte sombreada en cada uno de los siguientes casos: a)b) Lic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo33 13. Dados los siguientes pares de conjuntos en R ( nmeros reales)hallar su respectiva interseccin. a){ } 0 1 3 2 /2< + x x R x x {x/x R 2x-1>0} b){ } 0 /3= x x R x x{x/x Rx2 x f Df C-= {x } 0 ) ( / < x f DfC0 = } 0 ) ( / { = x f Df xFormas de representar una funcin Una funcin puede ser presentada a travs de: Una grfica.Una tabla de valores.Una frase que exprese la relacin entre ambas variables.Una expresin matemtica del tipo y=f(x). Clasificacin de funcionesSea f: A B funcin f es inyectiva sii ( ) ( )2 1 2 1 2 1x x x f x f A x x = = f es sobreyectiva sii y x f A x B y = ) ( :f es biyectiva si y solo si f es inyectiva y sobreyectivaLic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo44 Teorema: f es inversible si y solo si f es biyectiva Funcin lineal :La grfica de una ecuacin lineal es una recta. La pendiente de la recta que pasa por (x1, y1) y (x2, y2)se expresa por la frmula1 21 2x xy ym= Funcin polinmicas de segundo grado o cuadrtica: f(x) = ax2 + bx + c Se representa grficamentea travs de unaparbolaCorte con los ejes (eje OX: y = 0; eje OY: x = 0). Determinacin del vrtice completando cuadrados Tipos de Funciones :

Composicin de funcionesSean dos funciones B A f : D C g : tal que la Img (f)Dom(g) La composicin de f con g que se denotaf g oprimero acta f y luego acta gtal quef g o :A / D f g o (x)= g[f(x)] Si la Img (g) Dom (f)la composicinde g con f que se denotag f o primero acta g y luego f tal queg f o : C B g f o (x)= f[g(x)] Img (g) Lic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo45 E EJ JE ER RC CI IT TA AC CI I N NA AD DI IC CI IO ON NA AL L 1.Encadaunodeloscasossiguientes,indicarsilarelacindeRenRdada es o no funcin. Justificar a)2 22 + = x x y b)23y x =c) 21xy =d) x-y=2 e) x2+y=1 f) 112=xyg) y= cos x h) y= tan x j) y=|x| k)x y =l) y= log xm) y= 3x-1 2. Dada la funcin( ) 1 22+ = x x fencuentre: 0) ( ) (); 1 2 ( );911( ); 1 ( ); 0 ( ); 2 (2 ++ h conhx f h x fx f f f f f3. Se consideran los conjuntos A= {-2.-1,0,1,2,3} y B= {-1, 0,1,3,4,9,8,10} y sea la relacin f: A B tal que f(x)= x2-1.Determinar si es funcin y hallar: a) f(0) ; f(1); f(-2); b) f({-2,2}) ; f { } ( ) 0 , 1 , 3 ; f { } ( ) 1 , 1 ;f(A) c) f-1{ } ( ) 3 , 0 ; f-1{ } ( ) 3 , 1 ; f-1{ } ( ) 4 , 1 ; f-1{ } ( ) 9 , 3 ; f-1{ } ( ) 10 , 9 , 4 4.Dadalafuncin( ) 3 2 = x x f hallarlasfuncionesindicadasydeterminar sumximo dominio a)( )2x f b)( ) [ ]2x f c) ( ) x f f o 5. Representar grficamente las siguientes funciones de R en R dadas por: a)( ) 2 =x x f b)( ) 1 + =x x g c) h( ) x x x + =d)( )> < +=1 21 0 10 12x six si xx six pLic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo46 e)( )> < +=3 53 2 1 22 1x six si xx si xx t6.Determinarsilasfuncionesdadassonpares,imparesoningunadelas dos: a) a) f(x)=5x2-4b) b)f(x)=x3+1c) c) f(x)= 4x5+3x3-2x d) d) f(x)= 1122+xx e) >=0 10 1) (x six six ff) x xxx f+=3225 4) (g) g) f(x)= (x-1)2 h) h) 1) (2+=xxx fi)1 ) (2 = x x f 7. Determinarg f oyf g o si esposible encadaunodelos siguientes casos: a)R R f : tal quef ( ) x =x-1y R R g :tal queg(x)= -2x+1 b)R R f :tal que f(x)=x+1y [ ) , 3 : R gtal queg(x)= 2x2-3 c)R R f :tal que f(x)=( ) 221 xy[ ) [ ) , 0 , 0 : gtal que g(x)= (x-1)2 d) )` )` 2121: R R ftal que 1 23) (++=xxx fyR R g :tal que g(x)= 3x+2 8. Sea una funcin1 2 ) ( : = x x f que Tal R R fa) Representar grficamentee indicar f({-1,3}) b) Sea la funcinR R g : tal que g(x)= |x| graficarg f oyf g oc)Seat(x)lafuncindadaport:R R talquet(x)=-|f(x)|.Determinarla imagen de t y reformular t como la composicin de tres funciones distintas. 9. Analizar si las funciones dadas son inyectivas: a) x x f R R f = ) ( / :b) 2) ( / : x x f R R f = c) ) ( ) ( / : x sen x f R R f = d)1 | | ) ( / : = x x f R R fe)1 2 ) ( / :2+ = x x f N N ff)1 3 ) ( / : = x x f R R fLic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo47 10.Determinarelconjuntoimagenyanalizarlasobreyectividaddelas siguientes funciones de R en R a) f(x)= x+1b) f(x)= x2+1 c) f(x)= -x2+xd) f(x)=|x| e) f(x)= 2x2+4x+2f) f(x)=2 g) f(x)= x3+1h) f(x)=x.|x| 11. Analizar si las funciones dadas son biyectivas: a) f: R R / f(x)=(x,x) b) f: NxRR / f(n,x)=nx c) f: R2R2 / f(x)=(x+y,x-y) d) f: N2N/ f(x,y)=x+y e) f: N2N/ f(x,y)=x. y 12.Seanxxx g yxx f=+=1) (11) ( verificarquesonfuncionesinversas. Justificando cada paso 13.Sif(x)=x2+2x+2encontrardosfuncionesgparalascuales g f o (x)=x2-4x+5 14. Dada g(z)= 4z demostrar que g(z+1)-g(z)=3g(z) 15. Dadas las funciones f y gse pide analizar en cada caso: a) Graficar b) Analizar si f es inversible ,si es posible hallar f-1 c) En los casos en que sea posible hallarg f y f g o o a)[ ) ( ] 2 , 2 : f /( ) 2 2 ) (2 = x x f( )21 3) ( / 2 , :+= xxx g R g b)[ ) [ ) + , 3 , 2 : f /11 8 2 ) (2+ = x x x f ( ) [ ) x x g g = + + 1 3 ) ( / , 2 , 0 : Lic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo48 c)[ ) [ ) 3 2 ) ( / , 2 , 1 :2+ = + + x x x f f( )[ ]( ) += , 4 34 , 0 10 , 1) ( / :2x si xx si xx si xx g R R g 16. Se desea construir una pequea casa cuya forma sea la de un cubo con techoenformadeprismatriangular(comonosmuestralafigura).Sila altura total de la estructura debe ser de 6 m . a)Encuentrelaleyqueexpresasuvolumenenfuncindelladodelongitudx. b)Determineculdebeserlamedidadelladodelahabitacinparaqueel volumensea de 80m3. Lic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo49 E EJ JE ER RC CI IC CI IO OS S d de e I IN NT TE EG GR RA AC CI I N N 1)Determinar el conjunto A= [ ) ( ))`= +121cos232 , 0 / 21cos21cos 22cosx xx x x x 2) Determinar el dominio de la funcin f tal que: 13 5 2) ( / :2241 log+ = xx xx f R D ff 3) Determinar[ ) 2 , 0 xque verifique: 0 cos 2212= x x sen x sen 4) Hallar[ ) 2 , 0 xtal que: 6 log 5 log . 2 1 log 10 log + = ||

\|+ + ||

\|x senx sen x sen 5) Sea0 11 ln= x senehallar[ ) 2 , 0 x 6)Seanlas siguientes funciones 1 ) ( : :2+ = x x f que tal R R f[ ) [ ) , 0 , 0 : gtal que g(x)= xh:{ } R R 1tal queh(x)=11 x Hallar todas las composiciones posibles conf; g y h 7)Seanlas siguientes funciones: +< + 1 11 1:x si xx si xque tal R R f 0 18. Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias: a) x2+y2-4x+6y-36=0b) x2+y2+8x-10y+37=0 c) x2+y2+4y-117=0 19.ObtenerlaecuacindelacircunferenciadecentroC(-4,-1)yquees tangente a la recta de ecuacin 3x+2y-12=0 20.hallarlaecuacindelacircunferenciaquepasaporelpuntoP(2,6)y tiene el mismo centro que la de ecuacin x2+y2-10x+4y+13=0 21. Demostrar que:(x-h)2 = 4p (y-k) con p 0 es una ecuacin de la parbola cuyo foco es el punto F(h, k+p) y cuya directriz es la recta y=k-p 22.Encontrarunaecuacindelaparbolacuyofocoydirectrizsonel punto y la recta dados: a) F(0,)41;y=41b) F(0,-1); y=1 c) F(1,3); y=1 d) F ) 0 ,41(; x= 41e) F ( 0 ,41 ) ; y = 41 f) F(-1,1) ;x=1 23. Demostrar que: x2 + D x +E y+F=0con E 0 Es la ecuacin de una parbola cuyo eje es paralela al eje y . 24. Hallar una ecuacin de la parbola cuyo eje es paralelo al eje y , y que pasa por los puntos A(0,0) , B( -4,8) y C (1,3) Lic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo54 25.Encontrarelvrtice,eleje,elfocoyladirectrizdelassiguientes parbolas: a) (x+2)2= - 4(y-1)b) x2+8x-2y+22=0c) x2+8x+12y-8=0 d) (y-2)2=4(x-3)e) y2-4y-2x-4=0 26.HallarunaecuacindelaelipsecuyosfocossonF1(2,0)yF2(-2,0)y que tiene el eje mayor de longitud 6 27.Encontrarelcentro,losvrticesylosextremosdelejemenordelas siguientes elipses: a)14 92 2= + y xb)19 42 2= + y x c)19) 2 (16) 1 (2 2=+ y x d) 9x2+4y2-8y-32=0 e) x2+4y2-6x+16y+21=0f) 25x2+y2-12y=-11 g) 4x2+24x +13y2-26y=3h) 16x2-32x+9y2-72y=-16 28.HallarlaecuacindelahiprbolacuyosvrticessonA1( 3,0)yA2 (- 3 ,0) y cuyos focos son F1 ( 3,0)y F2 (-3,0) 29.Encontrarelcentro,losvrticesylasasntotasdelassiguientes hiprbolas. a)14 92 2= y xb)19 42 2= y x c)19) 1 (16) 2 (2 2= y x d) 9x2-4y2+36=0 e) 9x2-4y2-54x+8y+113=0f) 4x2-8x-9y2-36y-68=0 30. Resolver y graficar los siguientes sistemas de ecuaciones: a) y=x2 ,y= -2x+8b) y=x2 -2 ,y= -2x2+6x+7 Lic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo55 c) x2+9(y-3)2=36 ,y-x2= 1d) x2- y2=1 ,9x2+y2=9 e) x2- y2=1, x2+ y2=1 f)1412 2= + y x,y-x2=-1 31. Graficar los siguientes sistemas de inecuaciones: a)9 22 x x y, y 3 2 + xb)1412 2 + y x,y-x2-1 c)19 252 2 + y x ,92 2 + y x 32. Obtener una ecuacin para los puntos de: a) La recta pasa por el origen y es paralela a> =< 3 , 2 , 1 vb) La recta pasa por el punto (-2,0,3) y es paralela ak j i v 2 4 2 + =c) La recta pasa por los puntos (1,0,1) y (1,3,-2) d)Larectapasaporelpunto(-3,5,4)yesparalelaalarectadadapor 32131 =+=zy x e) La recta pasa por el punto (2,3,4) y es perpendicular al plano dado por: 3x+2y-z=6 33. Encontrar la ecuacin del plano especificado a) El plano pasa por el punto (2,1,2) y su vector normali n =b) El plano pasa por el punto (3,2,2) y su vector normal esn= 2i+3j-k c)Elplanopasaporelpunto(3,2,2)yesperpendicularalarecta 33241+= + = zyx d) El plano pasa por los puntos ( 0,0,0) , (1,2,3) y ( -2,3,3)e) El plano pasa por el punto (1,2,3) y es paralelo al plano yz f) El plano pasa por (3,2,1) y (3,1,-5) y es perpendicular al plano 6x+7y+2z=10 34. Determinar la forma general de la ecuacin de la esfera a) Centro (0,2,5) y radio 2 b) Los extremos de su dimetro son(2,0,0) y (0,6,0) c) Centro (-2,1,1) y tangente al plano coordenado xy Lic. Mara del Rosario Enrquez- Lic. Cristina De Carlo56 35. Describir y dibujar cada una de las superficies en R3 a)z=3b) x=4 c)162 2= + z x d)02= y xe)42 2= + y x f)42 2= z y 36.IdentificaryDibujarlasuperficiecudricaencadaunodelos siguientes casos a)14222= + + zyxb) 4 16 162 2 2= + z y x c)02 2= + + z y x d)02 2= + z y x e)16 4 42 2 2 = + z y x f) 2 24 z x y + = g)0 1 8 6 22 2 2= + + + + + z y x z y x h) 0 19 10 2 92 2 2= + + + + + z y x z y x i)0 33 8 32 4 4 4 42 2 2= + + + + z y x z y x j)02 2= + y z x k)0 4 2 42 2 2= + + z y x l) 0 10 6 22 2= + + y x z x 37. Traduciracoordenadas cartesianas lossiguientesconjuntosdelplano en coordenadas polares a) r=5 b) 3