guia didactica unidad7

Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17*Esta programación podrás encontrarla también en el CD Programación.

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1 ES

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G U Í A D I DÁ C T I C A UNIDAD 7

Ecuaciones

CO N T E N I D O

2 Unidad 7 Ecuaciones

En esta unidad se produce el primer encuentro de los alumnos con el álgebra, rama de la matemática que será de vitalimportancia en su futura formación.

Trataremos de llamar la atención sobre la gran utilidad que tienen las ecuaciones para resolver problemas de la vida coti-diana. Podemos plantear algunos problemas sencillos del entorno habitual que sean fáciles de resolver mediante ecua-ciones y que no lo sean tanto sin la ayuda de estas. De modo que inicialmente los alumnos intenten resolverlos pormétodos aritméticos y que posteriormente se resuelvan con métodos algebraicos, mostrando así como se puede redu-cir y simplificar el lenguaje ordinario a través del algebraico.

En primer lugar se distingue entre lo que son expresiones numéricas y algebraicas, dando importancia a la traducciónde una situación del lenguaje ordinario al algebraico mediante ejemplos de contextos cercanos al alumno, para des-pués mostrarle las reglas básicas para poder operar en este nuevo terreno.

Un objetivo de la unidad es resolver ecuaciones de primer grado. Antes de empezar es necesario que distingan con todaclaridad los conceptos de términos y miembros. Nos podemos apoyar en la utilización de las balanzas, un buen recur-so para que entiendan la resolución de ecuaciones como búsqueda del equilibrio en los dos miembros. Se debe comen-zar con ecuaciones sencillas e ir complicándolas poco a poco, siguiendo metódicamente los pasos que se indican en elúltimo epígrafe de la unidad. La resolución de otro tipo de ecuaciones en el futuro resultará más fácil si se aprendecorrectamente la resolución de las de primer grado.

No menos importante es la resolución de problemas. Conviene empezar con problemas sencillos y aplicados a la realidad.

• Lenguaje algebraico• Expresión algebraica• Traducción del lenguaje ordinario al lenguaje algebrai-

co• Monomio• Partes de un monomio: coeficiente y parte literal• Valor numérico de una expresión algebraica• Monomios semejantes• Suma y resta de monomios• Igualdad algebraica

• Identidad algebraica• Ecuación• Incógnitas de una ecuación• Soluciones de una ecuación• Ecuación de primer grado con una incógnita• Ecuaciones equivalentes• Regla de la suma• Regla del producto• Planteamiento y resolución de problemas mediante ecua-

ciones de primer grado

Unidad 7 Ecuaciones

CONTENIDOS

Programación de aula

OBJETIVOSCRITERIOS

DE EVALUACIÓNCOMPETENCIAS

BÁSICAS

1. Expresar situaciones de la vidacotidiana utilizando formas sen-cillas del lenguaje matemático, enespecial el lenguaje algebraico.

1.1 Expresar situaciones de la vidareal en lenguaje algebraico.

1.2 Calcular el valor numérico deuna expresión algebraica.

1.3 Operaciones con monomios.1.4 Resolver ecuaciones de primer

grado con una incógnita.

• Lingüística

• Matemática

• Interacción con el mundo físico

• Social y ciudadana

• Tratamiento de la información ycompetencia digital

• Aprender a aprender

2. Resolver ejercicios y problemasde la vida cotidiana mediante laformulación de expresiones alge-braicas sencillas y ecuaciones deprimer grado con una incógnita.

2.1 Resolver problemas relacionadoscon la vida cotidiana en los queintervengan números naturales,enteros y racionales, mediante ellenguaje algebraico, describiendoverbalmente el proceso elegido ylas soluciones obtenidas.

3Ecuaciones Unidad 7


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

1. Conocimientos previosEs fundamental que los alumnos tengan un dominio adecuado de las operaciones aritméticas: suma, resta, multiplica-ción y división de números fraccionarios y que utilicen con soltura los paréntesis.

2. Previsión de dificultadesEs una de las primeras veces que los alumnos se enfrentan en matemáticas al trabajo con letras. No cabe duda de queel paso de la aritmética al álgebra, de lo concreto a lo abstracto, puede entrañar serias dificultades en algunos alum-nos, así que conviene dar mucha importancia a la traducción de una situación del lenguaje ordinario al lenguaje alge-braico.

3. Vinculación con otras áreasEn los campos de la ciencia, la técnica, la economía y la sociedad en general aparecen fórmulas que relacionan diferentesdatos, y estas fórmulas son ejemplos claros de expresiones algebraicas.

4. Esquema general de la unidadEn esta unidad se ve la utilización del lenguaje algebraicoy su uso en igualdades, fórmulas y ecuaciones. A lo largode la etapa se verá la resolución de diversos tipos de ecua-ciones, en este curso se trata solamente de las ecuacio-nes de primer grado con una incógnita.

La unidad comienza explicando la utilización del lenguajealgebraico mediante expresiones algebraicas como unacombinación de letras y números. Se aprende a calcular elvalor numérico de distintas expresiones algebraicas, asícomo a sumar y restar monomios.

A continuación se utilizan las expresiones algebraicas paradefinir relaciones, fórmulas, igualdades, identidades yecuaciones.

La última parte de la unidad trata sobre las ecuaciones. Seve cómo simplificar ecuaciones mediante las reglas de lasuma y del producto, la definición de solución de una ecua-ción y de ecuaciones equivalentes. En el último epígrafe seexplican los distintos pasos que se deben seguir para resol-ver las ecuaciones de primer grado con una incógnita.

5. TemporalizaciónSe propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en doce sesiones:

1.ª Introducción. Lenguaje algebraico

2.ª Expresiones algebraicas. Monomios

3.ª Valor numérico de una expresión algebraica

4.ª Suma y resta de monomios

5.ª Igualdades e identidades

6.ª Ecuaciones. Soluciones. Ecuaciones equivalentes

7.ª Regla de la suma

8.ª Regla del producto

9.ª Método general para la resolución de un ecuación de primer grado

10.ª y 11.ª Actividades de repaso y consolidación

12.ª Pon a prueba tus competencias.

En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de losque se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades.

Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias paradesarrollar la unidad.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Valor numérico de unaexpresión algebraica

Monomios

Suma y restade monomios

Ecuaciones

Soluciones

Ecuacionesequivalentes

Regla de la sumaRegla del producto

Resolución deecuaciones

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CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS

Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovecha-miento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y,en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogi-dos en las subcompetencias comunicación escrita y reflexión sobre el lenguaje.

Competencia matemáticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas lassubcompetencias y descriptores.

Al estar dedicada esta unidad al lenguaje algebraico y resolución de ecuaciones de primer grado se trabajan descripto-res de las tres subcompetencias: razonamiento y argumentación, resolución de problemas, relacionar y aplicar el cono-cimiento matemático a la realidad y uso de elementos y herramientas matemáticos las que más presencia tienen.

Competencia para la interacción con el mundo físicoA lo largo de la unidad se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos asituaciones y problemas de la vida real. En las sugerencias didácticas se detalla cómo poder desarrollar la subcompe-tencias conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico y conocimiento del cuerpo humano y disposiciónpara una vida saludable.

Competencia social y ciudadanaA través del tema de entrada, de las referencias históricas en los márgenes y de la actividad final “Un problema chinomuy antiguo” se trabaja esta competencia en relación con el progreso tecnológico y científico, a través del descriptor cono-cer y comprender la realidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digitalLa unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la reso-lución de actividades interactivas.

Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las seccio-nes de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmen-te en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de construcción delconocimiento.

Competencia para la autonomía e iniciativa personalSe trabaja especialmente en las páginas de “Pon a prueba tus competencias” la subcompetencia Planificación y des-arrollo de proyectos.

Otras competencias de carácter transversal

Aprender a pensarEl proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido críticodel alumno. La unidad presenta múltiples oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio refle-xivo y crítico.

En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.


Unidad 7 Ecuaciones

5

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad,en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado des-criptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.


COMPETENCIA1.er nivel de concreción

SUBCOMPETENCIA2.º nivel de concreción

DESCRIPTOR3.er nivel de concreción

DESEMPEÑO4.º nivel de concreción

Lingüística

Comunicación escrita.

Aplicar de forma efectiva habilidadeslingüísticas y estrategias nolingüísticas para interactuar yproducir textos escritos adecuados ala situación comunicativa.

– Transcribe al lenguaje algebraico.

En toda la unidad

Reflexión sobre ellenguaje.

Conocer y valorar las tradiciones y laslenguas de nuestro país y las otrasculturas que conviven con nosotros yvalorar la diversidad cultural como unhecho de nuestra realidad cotidiana.

– Aprecia la riqueza cultural del lenguaje.

Desarrolla tus competencias

Matemática

Razonamiento yargumentación.

Interpretar y expresar con claridad yprecisión distintos tipos deinformación, datos y argumentaciones,utilizando vocabulario matemático.

– Expresa situaciones de la vida real enlenguaje algebraico.

En toda la unidad

Resolución deproblemas.

Aplicar estrategias de resolución deproblemas adecuadas a cadasituación.

Expresar de forma adecuada la soluciónde un problema y comprobar su validez.

– Plantea y resuelve problemas por medio deecuaciones e interpreta su solución.

En toda la unidad

Uso de elementos yherramientasmatemáticos.

Conocer y utilizar los elementosmatemáticos básicos (distintos tiposde números, medidas, símbolos,elementos geométricos, etc.) ensituaciones reales o simuladas de lavida cotidiana.

– Opera con monomios.

– Simplifica ecuaciones.

– Resuelve ecuaciones.

En toda la unidad

Interacción con elmundo físico

Conocimiento yvaloración deldesarrollo científico-tecnológico.

Conocer y valorar la aportación deldesarrollo de la ciencia y la tecnologíaa la sociedad.

– Valora las aportaciones matemáticas dediferentes culturas y aprecia su contribuciónal desarrollo de la ciencia.


Pon a prueba tus competencias: Interpretay resuelve, resuelve problemas

Conocimiento delcuerpo humano ydisposición para unavida saludable.

Ser conscientes de la dimensiónindividual y colectiva de la salud, conactitudes de responsabilidad y respetohacia los demás y uno mismo.

– Aprecia el acceso a medicamentos.

Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar

Social y ciudadanaDesarrollo personal ysocial.

Conocer y comprender la realidadhistórica y social del mundo y sucarácter evolutivo.

– Sitúa hechos científicos en el tiempo

Pon a prueba tus competencias: Interpreta y resuelve

Tratamiento de lainformación y

competencia digital

Obtención,transformación ycomunicación de lainformación.

Buscar y seleccionar información condistintas técnicas según la fuente o elsoporte, valorando su fiabilidad.

– Busca en diferentes páginas de internetpara complementar la información.

En la red

– Visita la página librosvivos.net

Actividades: 16, 20, 24, 27 y 42, organizatus ideas, autoevaluación

Autonomía e iniciativapersonal

Planificación yrealización deproyectos.

Afrontar los problemas de formacreativa, aprender de los errores,reelaborar los planteamientos previos,elaborar nuevas ideas, buscarsoluciones y llevarlas a la práctica.

– Resuelve problemas con respuesta múltiple.

– Resuelve problemas de forma creativa

Actividades de ampliaciónPon a prueba tus competencias: Analiza y calcula

Ecuaciones Unidad 7

6

EDUCACIÓN EN VALORESTanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos per-miten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores:

• Educación para la interculturalidad: texto de entrada.

• Educación para el consumo: actividad 81.

• Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la edu-cación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDADEn este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permi-ten trabajar la diversidad del alumnado.

• Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido.

• Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cadaunidad del libro.

• Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asi-milación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados.

• Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve paraevaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situa-ciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS


SM

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.° de ESO.

– Unidad 4. Álgebra.

• Cuadernos de matemáticas. 1.° de ESO: N.° 3: “Números enteros. Ecuaciones”.

– Unidad II: Ecuaciones.

Otros • Ideas para enseñar álgebra. Grupo Azarquiel. Editorial Síntesis.

SMwww.smconectados.com

www.librosvivos.net

Otros

Página del proyecto Descartes del MEC:

www.e-sm.net/1esomatprd12

www.e-sm.net/1esomatprd13

• Balanzas para trabajar la diferencia que existe entre igualdad y ecuación, así como para obtener ecua-ciones equivalentes.

• La calculadora, para comprobar si es correcta la solución obtenida de una ecuación.Otr

os

mat

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rnet

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liogr

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Unidad 7 Ecuaciones

7

Sugerencias didácticas

Entrada


3. Valor numérico de una expresiónalgebraica

La foto de entrada junto con el texto permite apreciar yvalorar las aportaciones que las diferentes culturas antiguashicieron a las matemáticas.

Convendría destacar que el papiro de Ahmes es una impor-tante fuente de información de las matemáticas que habíandesarrollado los egipcios. No solo vienen problemas deecuaciones, también aborda otros temas, tales como:

– Áreas

– Volúmenes

– Progresiones

– Repartos proporcionales

– Regla de tres

– Fracciones

2. Expresiones algebraicas• Los alumnos deben trabajar las expresiones algebraicas

de manera progresiva. Han de entender que se trata debuscar expresiones válidas para muchas situaciones par-ticulares. En este intento conviene pasar por varias fases:identificación y comprensión de expresiones algebraicas;escritura de expresiones algebraicas a partir de situacio-nes reales sencillas; transformación de expresiones alge-braicas en operaciones matemáticas. Para ello es necesariopracticar con actividades donde se traduzcan expresionesdel lenguaje ordinario al algebraico y viceversa.

• Al leer expresiones algebraicas, los alumnos tienen pro-blemas con aquellas en las que aparecen potencias ysumas o restas. Tienden a confundir expresiones del tipo“el cuadrado de una suma” y “la suma de los cuadradosde dos números”.

• Debe quedar clara la identificación de las diferentes par-tes de un monomio, coeficiente y parte literal, para poderrealizar operaciones en epígrafes posteriores.

4. Suma y resta de monomios• Antes de realizar las primeras operaciones con mono-

mios tiene que quedarles claro a los alumnos el concep-to de expresiones algebraicas semejantes, para ello sepodría utilizar algún método más gráfico como asociarun objeto a una letra y comparar diferentes expresiones.

• Una vez conseguido diferenciar si dos monomios sonsemejantes o no, conviene comenzar a operar mono-mios con una letra, para pasar después a monomioscon mayor parte literal y finalizar con operaciones conun mayor número de elementos.

• También es interesante que en algunas actividades no sepueda reducir la expresión algebraica.

1. Letras y números• Los alumnos deben entender que las letras en el len-

guaje algebraico representan valores indeterminados.Para ello es muy útil poner como ejemplo:

– Fórmulas ya conocidas por los alumnos como el áreade un cuadrado o el perímetro de un rectángulo.

– La forma de expresar las propiedades de las opera-ciones de los números naturales.

Verán que en todas estas expresiones aparecen letras ynúmeros, y que las letras pueden tomar cualquier valor.

• Es muy importante que desde el primer momento losalumnos se acostumbren a traducir del lenguaje ordina-rio al lenguaje algebraico. Comenzaremos con ejemplossencillos, tales como: doble de un número, triple de unnúmero, cuádruple de un número, la mitad de un núme-ro, la tercera parte de un número, el cuadrado de unnúmero, el cubo de un número.

I. Con la actividad I, los alumnos podrán comprobar quela solución que daba el escriba, sin aplicar el métodode resolución de ecuaciones, es la correcta. Podemosaprovecharla para indicar que gracias al álgebra, algu-nos problemas que ellos venían resolviendo aritmética-mente pueden resolverse de una manera más sistemá-tica y rápida.

II. La actividad II requerirá que los alumnos busquen infor-mación detallada en internet, aunque la gran mayoríade ellos sabe que uno de los usos de las matemáticasegipcias se produjo en la construcción de las pirámi-des.

III. Con esta actividad trabajaremos la competencia lin-güística, haciendo notar a los alumnos que nuestra len-gua se ha ido enriqueciendo de diversas culturas.

• El concepto de valor numérico de una expresión alge-braica no suele ser difícil para los alumnos, pero sí sepueden presentar dificultades a la hora de calcularlo, porcometer errores en las operaciones aritméticas, sobretodo cuando se sustituyen números negativos.

• Se pueden poner ejemplos en los que distintas expresio-nes tengan siempre el mismo valor numérico.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Básico 7, 8, 45 a 47 y 53

Medio 9, 51 y 52


Básico 48 a 50

Medio 14 y 15


Básico 19 y 54

Medio 55 y 56

Ecuaciones Unidad 7


Básico 3, 43 y 44

Medio 4 y 5

8


8. Regla del producto• Igual que la regla de la suma, la regla del producto es

una forma de encontrar ecuaciones equivalentes mássencillas en el sentido de que es más fácil encontrar lasolución. Aunque se llame regla del producto, tambiénse pueden dividir por un número ambos miembros de laecuación, siempre que no se divida por cero.

9. Resolución de ecuaciones• Hay que acostumbrar a los alumnos a ser ordenados y a

seguir los pasos indicados en la resolución de las ecua-ciones.

• Algunas dificultades que encuentran a la hora de resol-ver las ecuaciones y que habría que trabajar con ellosson:

– Al eliminar los denominadores solo multiplican en unmiembro de la ecuación.

– En cuanto a los signos: un signo menos delante deuna fracción afecta a todos los términos del nume-rador de la fracción, y al cambiar de signo una ecua-ción, hay que cambiarlo en ambos miembros.

• La actividad resuelta 39 es un problema que se resuelvecon ecuaciones. La dificultad al resolver los problemas esla utilización adecuada del lenguaje algebraico, ya quelos alumnos encuentran difícil pasar del lenguaje ordinarioal matemático.

• El punto clave en la traslación de los enunciados al len-guaje algebraico es el de identificar los datos descono-cidos. Una vez identificados, hay que ver la relación entreestos, y así se podrá averiguar a qué dato desconocidose le asigna la incógnita. De este modo se pueden ponertodos los datos desconocidos en función de la incógnitay plantear la ecuación, que una vez resuelta nos permi-te encontrar la solución del problema.

• Los pasos que se debe tener en cuenta al trasladar unenunciado en lenguaje ordinario al algebraico son:

1. Leer detenidamente el enunciado.

2. Identificar los datos conocidos.

3. Identificar los datos desconocidos.

4. Asignar una incógnita a un dato desconocido.

5. Plantear la ecuación.

7. Regla de la suma• Conviene hacerles ver que la regla de la suma es una for-

ma rápida y eficiente de encontrar ecuaciones equiva-lentes más sencillas en el sentido de que es más fácilencontrar la solución. Para ello se puede trabajar con labalanza, donde si se quita o añade el mismo peso a amboslados, se mantiene el equilibrio. Aunque se llame reglade la suma, también se puede restar un número a ambosmiembros de la ecuación.

5. Letras para expresar relaciones: igualdades e identidades

• En este epígrafe, los alumnos podrán darse cuenta, apartir de ejemplos numéricos, concretos y cotidianos(precio – kilogramos, precio – duración de llamada), de laimportancia y utilidad de las expresiones algebraicas.

• Se introducen los conceptos de igualdad y sus distintostipos. Conviene hacerles ver que una identidad se verifi-ca para cualquier valor que tomen las letras.


Básico 30 a 32 y 64

Medio 65ACTIVIDADES POR NIVEL

Básico 22, 23 y 57 a 59

Alto 60


Básico 30 a 32 y 64

Medio 33


Básico 40, 66, 67 y 70 a 74

Medio 41, 68, 69 y 75 a 78

Alto 79 a 81 y 83 a 85

Unidad 7 Ecuaciones


Básico 25, 26, 61 y 62

Medio 63

Alto 82, 83 y 87

6. Letras para expresar ecuaciones. Soluciones de una ecuación

• Es interesante que el alumno se haga a la idea, aunquesea de forma intuitiva, de que la ecuación es una situa-ción de igualdad. La balanza matemática servirá parareforzar esta idea de igualdad, de equilibrio.

• También conviene definir cada una de las partes de unaecuación: primero y segundo miembro, términos e incóg-nita. Conviene usar varias letras para la incógnita, nosiempre la x, ya que se acostumbran a esta letra y luegoles cuesta resolver las ecuaciones con otras incógnitas.

• Las ecuaciones de primer grado con las que trabajaremostendrán una única solución, pero se les puede avanzarque hay otro tipo de ecuaciones que pueden tener nin-guna o más de una solución.

• Es importante hacerles entender el concepto de ecua-ción equivalente y la utilidad que tendrá posteriormentea la hora de resolver las ecuaciones.

9


Pon a prueba tus competencias

INTERPRETA Y RESUELVE:UN PROBLEMA CHINO MUY ANTIGUO

Al igual que sucedía con el texto de entrada, podremosvalorar y apreciar el legado matemático que nos deja otracultura, esta vez la china.

Ecuaciones Unidad 7

Actividades de ampliación

Con estas actividades desarrollamos la competencia parala autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberánaplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son losmás apropiados para resolver cada una de las actividades.

Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias pararesolver los problemas, dado que estos no son guiados nise ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, loque puede resultarles muy estimulante, aunque al comien-zo les asuste un poco.

Además trabajaremos la competencia social y ciudadana,ya que la actividad III nos pide realizar un eje cronológicocon los avances matemáticos de las diferentes culturasque han aparecido a lo largo de la unidad.

RESUELVE PROBLEMAS:LA MÁQUINA EXPENDEDORA

Esta actividad es muy útil para que los alumnos desarro-llen la competencia aprender a aprender, ya que deberánelaborar sus propias estrategias para responder a todaslas preguntas sin una guía que les indique el camino aseguir.

ANALIZA Y CALCULA:LA ESCALERA

Para que los alumnos contesten a las actividades 1, 2 y 4debemos guiarles a fin de que construyan una tabla indi-cando el número de peldaños que utilizan para una esca-lera dependiendo del número de escalones. No les costa-rá mucho encontrar la pauta que hay al completar la tablacon ayuda de los cuatro dibujos que aparecen.

APRENDE A PENSAR:EL USO DE LOS MEDICAMENTOS

Podemos aprovechar la actividad 4 para realizar un deba-te en clase sobre cómo puede influir el acceso a los medi-camentos en las tasas de mortalidad infantil en los paísespoco desarrollados, creando en los alumnos un espíritusolidario, concienciándoles para que si al finalizar un tra-tamiento médico les han sobrado medicamentos, los llevena la farmacia o a una ONG y puedan ser remitidos a los paí-ses que los necesiten.

Organiza tus ideas

En esta página se muestran los contenidos vistos a lo lar-go de la unidad. Se dividen en tres partes. Una primeraparte trata sobre el lenguaje algebraico, en el que se vequé es una expresión algebraica, cómo calcular el valornumérico de una expresión algebraica, qué son monomiossemejantes y cómo se suman y restan monomios. En lasegunda parte se ven los conceptos de igualdad algebrai-ca, identidad algebraica y ecuación. Finalmente se indicanlos pasos a seguir para resolver una ecuación de primergrado con una incógnita.

En todos los apartados se muestran los conceptos conejemplos concretos.

10

Actividades de refuerzo

Unidad 7 EcuacionesORIENTACIONES METODOLÓGICAS

En esta unidad se introduce el lenguaje algebraico y, en particular, el planteamiento y resolución de ecuaciones de pri-mer grado con una incógnita. Los alumnos deberán terminar el tema sabiendo resolver ecuaciones de primer gradosencillas y plantearlas en problemas simples.

• Para una mejor comprensión del método de resolución de ecuaciones de primer grado es recomendable que lasoperaciones a realizar sean solo con números enteros, si acaso con fracciones cuyos denominadores sean númerospequeños.

• Se debe prestar especial atención a los signos, sobre todo cuando hay un paréntesis restando, ya que el signo afec-ta a todo el paréntesis.

• Los problemas deben poderse plantear con ecuaciones. Hay que tener en cuenta que a los alumnos les resulta espe-cialmente difícil trasladar del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico.

1. a) x = 1b) x = 5c) x = 3 d) x = 0 e) x = −1f) x = 3

2. Tres manzanas

3. Manzana, 400 gramos. Naranja, 200 gramos.

4. Al aumentar un balón de baloncesto, pasamos de 22 €a 34 €, por lo que el precio del balón de baloncesto esde 12 €, y el de fútbol, de 10 €.

5.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Dominó de ecuaciones

Para este juego necesitamos fabricar un dominó en el que cada una de las fichas esté formada por una ecuación y porun número, como se puede ver en el ejemplo.

Se puede dividir la clase en grupos de tres o cuatro alumnos y proponer a cada grupo que fabrique su propio dominó,con distintas ecuaciones y sus soluciones correspondientes, para luego intercambiarlo con otro grupo para jugar.

Se reparten las fichas y empieza el juego el alumno que tenga una ficha doble, es decir, con el mismo número en las dospartes de la ficha (en el ejemplo, la ficha con el 1 es doble).

En cada tirada deberá hacerse corresponder una ecuación con su solución, o viceversa. En caso de quedar en tablas, gana-rá el alumno cuya suma de soluciones sea menor.

1 – x = 3 2

x—2

5x + 1 = 6 –2

2x + 4 = 8 10

–2x + 7 = 1 6

6x –2 = –2 3

x + 3 = 2 4

3x + 2 = 14 0

7x = 14 –4

2x – 1 = 1 1

x + 4 = 0 4

= 3 2

x – 1 = 4 1

6x = 24 1

2 = 5

4x + 1 = 5 –1

x—5

ACTIVIDAD DE GRUPO

Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

Unidad 7 Ecuaciones

S O L U C I Ó N

G R A D O

M O N O M I O

E C U A C I Ó N

C O E F I C I E N T E

I D E N T I D A D

I N C Ó G N I T A S

1

2

3

4

5

6

7

11

1. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 3x + 1 = 4 c) 3x + 5 = 6 + x + 5 e) x − 2(x − 3) = 5 − 2x

b) 2x + 6 = 16 d) −4x + 5 = −7x − 3 + 2x + 8 f)

2. Como ya sabes, las ecuaciones, como las balanzas, buscan el equilibrio. ¿Sabrías encontrarlo en la últi-ma balanza?

3. ¿Sabrías deducir cuánto pesan la manzana y la naranja?

Plantea las ecuaciones correspondientes llamando x al peso de las frutas.

4. Calcula los precios de los balones de fútbol y de baloncesto.

5. Completa el crucigrama y obtendrás la palabra clave en las casillas de color.

1. Igualdad con letras y números que expresa una condición quedeben cumplir las letras.

2. La parte numérica de un monomio se llama …………….

3. El valor que debe tomar la incógnita de una ecuación para que secumpla la igualdad se llama……………… de la ecuación.

4. Si una igualdad es cierta para cualquier valor de las letras, sellama …………….

5. Si el exponente de las letras de una ecuación es 1, decimos quees de primer ……………

6. Las letras de una ecuación se llaman …………….

7. Expresión algebraica formada por el producto de un número yuna o varias letras elevadas a exponentes naturales.

++ = 34 €

+ = 22 €

200 g

200 g

200 g 200 g

200 g 200 g

200 g 200 g200 g

y?

xx

+= −

12

5

Unidad 7 Ecuaciones

Pági

na

foto

cop

iab

le

ACTIVIDADES de REFUERZO

Ecuaciones Unidad 7

1

2

3

4

5

6

7

12

Actividades de ampliación

Unidad 7 EcuacionesORIENTACIONES METODOLÓGICAS

A aquellos alumnos que dominen la resolución de ecuaciones se les pueden proponer otros tres tipos de actividadesdistintos:

• Ecuaciones de primer grado más complicadas, como pueden ser ecuaciones con fracciones que pueden tener laincógnita en el denominador.

• Realización de problemas más elaborados. Se recomienda realizar un gran número de problemas para que plan-teen con soltura las ecuaciones.

• Planteamiento de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, en los que se puedan apoyar enun dibujo que les ayude a ver la relación entre las incógnitas.

1. a) x = 2

b) x = 5

c) x = 6

d)

2. a) x = 2

b)

3. Es la ecuación b) x + 2 = 2x + 1.

4. El número pedido es 9.


6. Cada niño recibe 6 €, y cada niña, 7 €.


8. Los ángulos miden 58°, 60° y 62°.

9. La altura mide 6 m, y la longitud, 18 m. El área es de 108 m2.

10. Hay 24 conejos.

11. El número inicial es 233.

12. 30 preguntas.

x =12

x =78

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Concurso de problemas de ecuaciones

Formad grupos de dos o tres alumnos.

Cada grupo debe desarrollar unas frases que se puedan trasladar al lenguaje algebraico por medio de ecuaciones deprimer grado con una incógnita. Estas frases podrían tratar sobre:

• Edades. Por ejemplo, “La edad de Juan es el doble de la que tenía hace tres años”.

• Precios u objetos. Por ejemplo, “Si regalo tres CD, tengo la mitad de los que tenía”.

• Figuras geométricas. Por ejemplo, “El perímetro de un cuadrado mide 16 centímetros”.

• Animales. Por ejemplo, “En una granja donde hay pollos y vacas, contamos 20 cabezas y 50 patas”.

Además de escribir las frases, los alumnos deben escribir la ecuación correspondiente y su solución. Cuidado, porquedeben plantearse problemas que tengan sentido.

El juego consistirá en ir planteando estas frases a otros grupos para que escriban las ecuaciones y las resuelvan. Ganaquien resuelva más problemas.

ACTIVIDAD DE GRUPO

Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

Unidad 7 Ecuaciones

13


a) c)

b) d)


a) b)

3. ¿Cuál de las ecuaciones corresponde a la frase “Si un número lo aumentamos en 2 unidades, se obtie-ne el doble del número y además una unidad”?

a) b) c)

4. Encuentra un número que al restarle 5 y dividirlo por 4 sea lo mismo que restarle 4 y dividirlo por 5.

5. Halla un número sabiendo que el quíntuplo de ese número más su quinta parte es 182.

6. Reparte 47 euros entre 2 niños y 5 niñas de modo que cada niña reciba un euro más que cada niño.

7. Encuentra un número entero al que si se le suma la mitad, la mitad de la mitad, la mitad de la mitad dela mitad y una unidad, se obtiene el doble del número.

8. Los tres ángulos de un triángulo son tres números pares consecutivos. ¿Cuánto mide cada ángulo?

9. La longitud de un rectángulo es el triple de la altura. Si el perímetro es de 48 metros, ¿cuál es su área?

10. En una granja hay gallinas y conejos. Calcula el número de conejos sabiendo que hay 32 cabezas y 112patas.

11. Se tiene un número de tres cifras con la cifra de las unidades y de las decenas igual. Calcula el núme-ro sabiendo que la suma de las cifras es 8 y que si se invierte el orden de sus cifras, el número aumen-ta en 99 unidades.

12. En un determinado test, todas las preguntas valen lo mismo. Si respondes correctamente nueve de las

diez primeras, pero solamente de las restantes, obtienes como puntuación la mitad del máximo

posible. ¿Cuántas preguntas tenía el test?

310

2 2 1x x+ = +x x+ = +2 2 1x x+ = +( )2 2 1

14 9

2+ =x x

3 23

116x x

+ =

3 2 258

42

3xx x

xx

− −⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

=+

− +− 24

x x x5

14

15

10−

−= −

+

2 12

34

2 14

48

x x x x+− =

+−

+x x x++

+−

+=

35

64

13

2

Unidad 7 Ecuaciones

ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN

Pági

na

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Ecuaciones Unidad 7

14

APELLIDOS: NOMBRE:

FECHA: CURSO: GRUPO:

1. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases.

a) El triple de un número.

b) La diferencia de dos cantidades.

c) El cuadrado de un número menos un tercio del número.

d) El doble de la diferencia de los cuadrados de las dos cantidades.

2. Escribe la ecuación que expresa las siguientes frases usando una única incógnita.

a) La suma de las edades de dos hermanos, que se llevan 5 años, es 25.

b) En un huerto hay 54 manzanos y ciruelos, el número de manzanos es el doble que el de ciruelos.

c) Si a mi dinero le sumasen un tercio de lo que tengo más 5 euros, tendría 34 euros.

3. Comprueba si el número asignado a x es la solución de la ecuación.

a) para b) para

4. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son equivalentes? Indica la solución de cada ecuación.

a) b) c) d)

5. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas.

a) b)


a) b)


a) c)

b) d)

8. El dinero que tiene Juan es el doble del de Luis más 2 euros. Si entre los dos tienen 107 euros, ¿cuán-to dinero tiene cada uno?

9. Calcula tres números consecutivos que sumen 93.

10. Un tren con 176 pasajeros llega a una estación donde se baja una cantidad desconocida de pasajeros.

En la siguiente estación se bajan de los pasajeros que quedan. Si en el tren todavía quedan 50 pasa-

jeros, ¿cuántos se bajaron en la primera estación?

x xx

x3

34

232

21

3− ⋅

−= + + ⋅

+

23

x x−+

+=

13

12

6

xx

xx

+−

− = − ++2 3

51 3 4

32

x x2

12 3

3+ + =

x x x− = − +( ) +2 2 2 3 65 4 2 3x x x+ = + +( )

3 5 10 32 2a a a a a+ − + + + 2 3 4 3 2x y xy x y xy y− + − + + −

2 1 2x x+ = +x − =1 73 1 4x + =x + =2 7

x = 22 1 2 1x x x−( ) + = −x = 13 4 2 5x x+ = +

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Unidad 7 Ecuaciones

PROPUESTA de EVALUACIÓN

Unidad 7 Ecuaciones

15

Pági

na

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cop

iab

le

1. a) 3x b) a − b c) d) 2(a2 − b2)

2. a) Si x es la edad del menor, x + (x + 5) = 25.

b) Si t es el número de ciruelos, t + 2t = 54.

c) Si x es el dinero que tengo, .

3. a) , sí es solución. b) , no es solución.

4. a) b) c) d)

Dos ecuaciones de primer grado son equivalentes si tienen la misma solución. Son equivalentes la b y la d.

5. a) b)

6. a) b) x − 2 = 2x −2(x + 3) + 6

x − 2 = 2x − 2x − 6 + 6

x = 1 x = 2

7. a) ⇒ m.c.m.(3, 2) = 6 c) ⇒ m.c.m.(5, 2) = 10

2x + 3 + 2x = 18 ⇒ 5x = 15 14x − 16 = 35x − 25 ⇒ 21x = 9

x = 3

b) ⇒ m.c.m.(3, 2) = 6 d) ⇒ m.c.m.(3, 2) = 6

2(x − 1) + 3(x + 1) = 36 ⇒ 5x = 35 −7x + 36 = 10x + 13 ⇒ 17x = 23

x = 7

8. Dinero de Luis: x

Ecuación: 3x + 2 = 107 ⇒ 3x = 105 ⇒ x = 35. Luis tiene 35 €, y Juan, 72 €.

9. Números: x, x + 1 y x + 2

Ecuación: 3x + 3 = 93 ⇒ 3x = 90 ⇒ x = 30. Los números pedidos son 30, 31 y 32.

10. Pasajeros que se bajan en la 1.ª estación: x

Ecuación: ⇒ 528 − 3x − 352 + 2x = 150 ⇒ x = 26. Se bajaron 26 pasajeros.

2 9 366

6 9 4 46

x x x x− +=

+ + +2 1

2 3

3 1

3 26 6

6

x x−( )⋅

++( )⋅

=·

x xx

x3

34

232

21

3− ⋅

−= + + ⋅

+x x−+

+=

13

12

6

x =37

10 4 6 1010

30 40 5 1510

x x x x+ − −=

− + +

xx

xx

+−

− = − ++2 3

51 3 4

32

22 3

3 13 2

22 3

6 36

⋅⋅

+⋅⋅

+⋅⋅

=⋅⋅

x x1

x x3

12 3

3+ + =

5 4 2 6x x x+ = + +

5 4 2 3x x x( )+ = + +

x y xy− + 62 16 32a a+ +

x = 1x = 8x = 1x = 5

2 2 1 2 4 3 2 2 1−( ) + = ≠ = ⋅ −3 1 4 7 2 1 5⋅ + = = ⋅ +

x =2317

x x+ +( ) = ⇒2 2 107

x x x+ +( ) + +( ) = ⇒1 2 93

176 17623

50− − −( ) ⋅ =x x

x x+ + =13

5 34

y y2 13

−

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN

Propuesta de evaluación

Unidad 7 Ecuaciones

Ecuaciones Unidad 7

guia didactica unidad7

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