UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA

“JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”

MATEMATICA IV

SECCIÓN 01 CICLO 02-2014

“Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior”

Profesor: Ing. Eduardo Escapini Peñate

Jefe de Instructores: Jonathan Landaverde.

PARTE I. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL.

En los problemas del 1 al 8 compruebe si los conjuntos de funciones son linealmente

independientes en el intervalo ]−∞,∞[.

1) 𝑓1(𝑥) = 𝑥, 𝑓2(𝑥) = 𝑥2, 𝑓3(𝑥) = 4𝑥 − 3𝑥2

2) 𝑓1(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥, 𝑓2(𝑥) = 𝑥, 𝑓3(𝑥) = 𝑒𝑥

3) 𝑓1(𝑥) = 5, 𝑓2(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2(𝑥), 𝑓3(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) 4) 𝑓1(𝑥) = cos(2𝑥) , 𝑓2(𝑥) = 1, 𝑓3(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) 5) 𝑓1(𝑥) = 𝑥, 𝑓2(𝑥) = 𝑥 − 1, 𝑓3(𝑥) = 𝑥 − 3

6) 𝑓1(𝑥) = −1, 𝑓2(𝑥) = 2 − 𝑥, 𝑓3(𝑥) = 2 + 𝑥

7) 𝑓1(𝑥) = 1 + 𝑥, 𝑓2(𝑥) = 1, 𝑓3(𝑥) = 𝑥2

8) 𝑓1(𝑥) = 𝑒𝑥, 𝑓2(𝑥) = 𝑒−𝑥, 𝑓3(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)

PARTE II. SOLUCIÓN DE UNA E.D.L DE ORDEN SUPERIOR.

En los problemas del 9 al 16 compruebe que las funciones dadas forman un conjunto

fundamental de soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo indicado y formar la

solución general.

9) 𝑦ʹˈ − 𝑦ʹ − 12𝑦 = 0, 𝑓1(𝑥) = 𝑒−3𝑥, 𝑓2(𝑥) = 𝑒4𝑥, ]−∞,∞[ 10) 𝑦ʹˈ − 4𝑦 = 0, 𝑓1(𝑥) = cosh(2x), 𝑓2(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑥), ]−∞,∞[ 11) 𝑦ʹˈ − 2𝑦ʹ + 5𝑦 = 0, 𝑓1(𝑥) = 𝑒𝑥cos(2𝑥), 𝑓2(𝑥) = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥), ]−∞,∞[

12) 4𝑦ʹˈ − 4𝑦ʹ + 𝑦 = 0, 𝑓1(𝑥) = 𝑒𝑥

2, 𝑓2(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥

2, ]−∞,∞[ 13) 𝑥2𝑦ʹˈ − 6𝑥𝑦ʹ + 12𝑦 = 0, 𝑓1(𝑥) = 𝑥3, 𝑓2(𝑥) = 𝑥4, ]0,∞[ 14) 𝑥2𝑦ʹˈ + 𝑥𝑦ʹ + 𝑦 = 0, 𝑓1(𝑥) = cos(ln(x)), 𝑓2(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(ln(𝑥)), ]0,∞[ 15) 𝑥3𝑦ʹˈˈ + 6𝑥2𝑦ʹʹ + 4𝑥𝑦ˈ − 4𝑦 = 0, 𝑓1(𝑥) = x, 𝑓2(𝑥) = 𝑥−2, 𝑓3(𝑥) = 𝑥−2 ln 𝑥 , ]0,∞[ 16) 𝑦(𝐼𝑉) + 𝑦ʹˈ = 0, 𝑓1(𝑥) = 1, 𝑓2(𝑥) = 𝑥, 𝑓3(𝑥) = cos(𝑥) , 𝑓4(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), ]−∞,∞[

PARTE III. REDUCCIÓN DE ORDEN.

En los ejercicios del 17 al 30, 𝑦1 es solución de la E.D homogénea presentada. Utilizar el

método de reducción de orden para encontrar una segunda solución 𝑦2, y formar la solución

general de la E.D: 𝑦𝑔 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2.

17) 𝑦ʹˈ − 4𝑦ʹ + 4𝑦 = 0, 𝑦1 = 𝑒2𝑥

18) 𝑦ʹˈ + 16𝑦 = 0, 𝑦1 = cos(4𝑥) 19) 𝑦ʹˈ − 𝑦 = 0, 𝑦1 = cosh(𝑥)

20) 9𝑦ʹˈ − 12𝑦ʹ + 4𝑦 = 0, 𝑦1 = 𝑒2𝑥

3

21) 𝑥2𝑦ʹˈ − 7𝑥𝑦ʹ + 16𝑦 = 0, 𝑦1 = 𝑥4

22) 𝑥𝑦ʹˈ + 𝑦ʹ = 0, 𝑦1 = ln(𝑥) 23) 𝑥2𝑦ʹˈ − 𝑥𝑦ʹ + 2𝑦 = 0, 𝑦1 = 𝑥𝑠𝑒𝑛(ln(𝑥)) 24) (1 − 𝑥2)𝑦ʹˈ − 2𝑥𝑦ʹ = 0, 𝑦1 = 1

25) 𝑥2𝑦ʹˈ − 3𝑥𝑦ʹ + 5𝑦 = 0, 𝑦1 = 𝑥2cos(ln(𝑥)) 26) (1 − 2𝑥 − 𝑥2)𝑦ʹˈ + 2(1 + 𝑥)𝑦ʹ − 2𝑦 = 0, 𝑦1 = 𝑥 + 1

27) 𝑥2𝑦ʹˈ − 20𝑦 = 0, 𝑦1 = 𝑥−4

28) 𝑥2𝑦ʹˈ + 𝑥𝑦ʹ + 𝑦 = 0, 𝑦1 = cos(ln(𝑥)) 29) 𝑦ʹˈ − 4𝑦 = 2, 𝑦1 = 𝑒−2𝑥, E.D no Homogénea.

30) 𝑦ʹˈ − 3𝑦ʹ + 2𝑦 = 5𝑒3𝑥, 𝑦1 = 𝑒𝑥, E.D no Homogénea.

PARTE IV. ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES

CONSTANTES.

En los problemas del 31 al 44, determinar la solución general de cada E.D.

31) 𝑦ʹˈ − 𝑦ʹ − 6𝑦 = 0

32) 𝑦ʹˈ + 8𝑦ʹ + 16𝑦 = 0

33) 12𝑦ʹˈ − 5𝑦ʹ − 2𝑦 = 0

34) 𝑦ʹˈ + 9𝑦 = 0

35) 𝑦ʹˈ − 4𝑦ʹ + 5𝑦 = 0

36) 3𝑦ʹˈ + 2𝑦ʹ + 𝑦 = 0

37) 𝑦ʹʹʹ − 4𝑦ʹˈ − 5𝑦ʹ = 0

38) 𝑦ʹʹʹ − 5𝑦ʹʹ + 3𝑦ʹ + 9𝑦 = 0

39) 𝑑3𝑢

𝑑𝑡3+

𝑑2𝑢

𝑑𝑡2− 2𝑢 = 0

40) 𝑦ʹʹʹ + 3𝑦ʹʹ + 3𝑦ʹ + 𝑦 = 0

41) 𝑦(𝐼𝑉) + 𝑦ʹʹʹ + 𝑦ʹʹ = 0

42) 𝑑3𝑦

𝑑𝑥4+ 24

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 9𝑦 = 0

43) 𝑑5𝑢

𝑑𝑟5+ 5

𝑑4𝑢

𝑑𝑟4− 2

𝑑3𝑢

𝑑𝑟3− 10

𝑑2𝑢

𝑑𝑟2+

𝑑𝑢

𝑑𝑟+ 5𝑢 = 0

44) 𝑑5𝑥

𝑑𝑠5− 7

𝑑4𝑥

𝑑𝑠4+ 12

𝑑3𝑥

𝑑𝑠3+ 8

𝑑2𝑥

𝑑𝑠2= 0

En los ejercicios del 45 al 52 resuelva la E.D dada, sujeta a las condiciones iniciales

indicadas.

45) 𝑦ʹʹ + 16𝑦 = 0, 𝑦(0) = 2, 𝑦ʹ(0) = −2

46) 4𝑦ʹʹ − 4𝑦ʹ − 3𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦ʹ(0) = 5

47) 𝑦ʹʹ + 𝑦ʹ + 2𝑦 = 0, 𝑦(0) = 𝑦ʹ(0) = 0

48) 𝑦ʹʹ − 2𝑦ʹ + 𝑦 = 0, 𝑦(0) = 5, 𝑦ʹ(0) = 10

49) 𝑦ʹʹʹ + 12𝑦ʹʹ + 36𝑦ʹ = 0, 𝑦(0) =, 𝑦ʹ(0) = 1, 𝑦ʹʹ(0) = −7

50) 𝑦ʹʹʹ + 2𝑦ʹʹ − 5𝑦ʹ − 6𝑦 = 0, 𝑦(0) = 𝑦ʹ(0) = 0, 𝑦ʹʹ(0) = 1

51) 𝑑2𝑦

𝑑𝜃2+ 𝑦 = 0, 𝑦 (

𝜋

3) = 0, 𝑦ʹ (

𝜋

3) = 2

52) 𝑑2𝑦

𝑑𝑡2− 4

𝑑𝑦

𝑑𝑡− 5𝑦 = 0, 𝑦(1) = 0, 𝑦ʹ(1) = 2

53) Las raíces de la ecuación característica son 𝑚1 = −1

2, 𝑚2 = 3 + 𝑖,𝑚3 = 3 − 𝑖.

¿Cuál es la ecuación diferencial correspondiente?

54) Determinar una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes que tenga las

soluciones: 4𝑒6𝑥𝑦3𝑒−3𝑥.

55) Obtener la solución general de las ecuaciones diferenciales que a continuación se

presentan.

i) 𝑚6 + 2𝑚4 +𝑚2 = 0

ii) 𝑠(𝐼𝑉)(𝑡) + 2𝑠ʹʹ(𝑡) − 8𝑠(𝑡) = 0

iii) 𝑦ʹʹʹ = 𝑦ʹʹ iv) 𝑚3 − 1 = 0

v) 4𝑑

𝑑𝑥(𝑑3𝑦

𝑑𝑥3) + 2

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=

𝑑

𝑑𝑥(𝑑𝑦

𝑑𝑥) + 3

𝑑4𝑦

𝑑𝑥4

PARTE V. MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS

En los problemas del 56 al 75 resuelva las ecuaciones diferenciales usando el método CI.

56) 𝑦ʹʹ − 9𝑦 = 54

57) 𝑦ʹʹ + 𝑦ʹ = 3

58) 𝑦ʹʹ + 4𝑦ʹ + 4𝑦 = 2𝑥 + 6

59) 𝑦ʹʹʹ + 𝑦ʹʹ = 8𝑥2

60) 𝑦ʹʹ − 𝑦ʹ − 12𝑦 = 𝑒4𝑥

61) 𝑦ʹʹ − 2𝑦ʹ − 3𝑦 = 4𝑒𝑥 − 9

62) 𝑦ʹʹ + 25𝑦 = 6𝑠𝑒𝑛(𝑥) 63) 𝑦ʹʹ + 6𝑦ʹ + 9𝑦 = −𝑥𝑒4𝑥

64) 𝑦ʹʹ − 𝑦 = 𝑥2𝑒𝑥 + 5

65) 𝑦ʹʹ − 2𝑦ʹ + 5𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥)

66) 𝑦ʹʹ + 𝑦ʹ +1

4𝑦 = 𝑒𝑥(𝑠𝑒𝑛(3𝑥) − cos(3𝑥))

67) 𝑦ʹʹ + 25𝑦 = 20𝑠𝑒𝑛(5𝑥) 68) 𝑦ʹʹ + 𝑦ʹ + 𝑦 = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) 69) 𝑦ʹʹʹ + 8𝑦ʹʹ = −6𝑥2 + 9𝑥 + 2

70) 𝑦ʹʹʹ − 𝑦ʹʹ + 𝑦ʹ − 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥 + 7

71) 𝑦ʹʹʹ − 3𝑦ʹʹ + 3𝑦ʹ − 𝑦 = 𝑒𝑥 − 𝑥 + 16

72) 2𝑦ʹʹʹ − 3𝑦ʹʹ − 3𝑦ʹ + 2𝑦 = (𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)2

73) 𝑦(𝐼𝑉) − 2𝑦ʹʹʹ + 𝑦ʹʹ = 𝑒𝑥 + 1

74) 𝑦ʹʹ + 𝑦ʹ + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑛(3𝑥) 75) 𝑦ʹʹ + 𝑦 = 𝑥𝑐𝑜𝑠3(𝑥)

PARTE VI. MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS.

Resuelva cada una de las ecuaciones diferenciales en los problemas del 76 al 95, por el

método VP.

76) 𝑦ʹʹ + 𝑦 = tan(𝑥) 77) 𝑦ʹʹ + 𝑦 = sec(𝑥) tan(𝑥) 78) 𝑦ʹʹ + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 79) 𝑦ʹʹ − 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑥)

80) 𝑦ʹʹ − 9𝑦 =9𝑥

𝑒3𝑥

81) 𝑦ʹʹ − 3𝑦ʹ + 2𝑦 =𝑒3𝑥

1+𝑒𝑥

82) 𝑦ʹʹ − 2𝑦ʹ + 𝑦 = 𝑒𝑥𝑡𝑎𝑛−1(𝑥) 83) 𝑦ʹʹ − 2𝑦ʹ + 𝑦 = 𝑒𝑥 sec(𝑥)

84) 𝑦ʹʹ + 10𝑦ʹ + 25𝑦 =𝑒−10𝑥

𝑥2

85) 4𝑦ʹʹ − 4𝑦ʹ + 𝑦 = 𝑒𝑥

2√1 − 𝑥2

86) 𝑦ʹʹʹ + 4𝑦ʹ = sec(2𝑥) 87) 2𝑦ʹʹʹ − 6𝑦ʹʹ = 𝑥2

88) 𝑦ʹʹ − 𝑦 = 𝑒𝑥

89) 𝑦ʹʹ + 3𝑦ʹ + 2𝑦 = 3𝑒−2𝑥 + 𝑥

90) 2𝑦ʹʹ + 3𝑦ʹ + 𝑦 = 𝑒−3𝑥

91) 4𝑦ʹʹ − 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥

2

92) 2𝑦ʹʹ + 𝑦ʹ − 𝑦 = 𝑥 + 1

93) 𝑦ʹʹ + 2𝑦ʹ − 8𝑦 = 2𝑒−2𝑥 − 𝑒−𝑥

94) 𝑦ʹʹ − 4𝑦ʹ + 4𝑦 = (12𝑥2 − 6𝑥)𝑒2𝑥

95) 𝑦ʹʹ − 𝑦 = 𝑥2𝑒𝑥

PARTE VII. MÉTODO DE COUCHY-EULER

En los ejercicios del 96 al 110 resuelva la E.D homogénea dada, por la ecuación de Couchy

Euler.

96) 4𝑥2𝑦ʹʹ + 𝑦 = 0

97) 𝑥𝑦ʹʹ − 𝑦ʹ = 0

98) 𝑥2𝑦ʹʹ + 5𝑥𝑦ʹ + 3𝑦 = 0

99) 𝑥2𝑦ʹʹ + 3𝑥𝑦ʹ − 4𝑦 = 0

100) 4𝑥2𝑦ʹʹ + 4𝑥𝑦ʹ − 3𝑦 = 0

101) 𝑥2𝑦ʹʹ + 8𝑥𝑦ʹ + 6𝑦 = 0

102) 𝑥2𝑦ʹʹ + 5𝑥𝑦ʹ + 3𝑦 = 0

103) 𝑥2𝑦ʹʹ − 7𝑥𝑦ʹ + 41𝑦 = 0

104) 2𝑥2𝑦ʹʹ + 𝑥𝑦ʹ + 𝑦 = 0

105) 𝑥3𝑦ʹʹʹ + 𝑥𝑦ʹ − 𝑦 = 0

106) 𝑥3𝑦ʹʹʹ − 2𝑥2𝑦ʹʹ + 4𝑥𝑦ʹ − 4𝑦 = 0

107) 𝑥4𝑦(𝐼𝑉) + 6𝑥3𝑦ʹʹʹ + 9𝑥2𝑦ʹʹ + 3𝑥𝑦ʹ + 𝑦 = 0

108) 𝑥3𝑦ʹʹʹ − 2𝑥2𝑦ʹʹ − 2𝑥𝑦 + 8𝑦 = 0

109) 𝑥2𝑦ʹʹ − 5𝑥𝑦ʹ + 8𝑦 = 0, 𝑦(2) = 32, 𝑦ʹ(2) = 0

110) 𝑥2𝑦ʹʹ − 3𝑥𝑦ʹ + 4𝑦 = 0, 𝑦(1) = 5, 𝑦ʹ(1) = 3

En los ejercicios del 111 al 121 resuelva la E.D no homogénea dada, por la ecuación de

Couchy Euler.

111) 𝑥𝑦ʹʹ − 4𝑦ʹ = 𝑥4

112) 𝑥2𝑦ʹʹ − 2𝑥𝑦ʹ + 2𝑦 = 𝑥4𝑒𝑥

113) 𝑥2𝑦ʹʹ − 2𝑥𝑦ʹ + 2𝑦 = 𝑥3ln(𝑥) 114) 𝑥2𝑦ʹʹ = 𝑥 + 2𝑦

115) 𝑥2𝑦ʹʹ − 𝑥𝑦ʹ + 2𝑦 = ln(𝑥) 116) 𝑥2𝑦ʹʹ + 2𝑥𝑦ʹ + 𝑦 = 𝑥𝑙𝑛(𝑥) 117) 𝑥2𝑦ʹʹʹ − 2𝑥𝑦ʹ = 2 ln(3) ∗ 𝑙𝑜𝑔9𝑥

5

118) 𝑥2𝑦ʹʹ − 𝑥𝑦ʹ + 𝑦 = 2𝑥

119) 2𝑥2𝑦ʹʹ + 5𝑥𝑦ʹ + 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥

120) 𝑥𝑦ʹʹ + 𝑦ʹ = 𝑥

121) 𝑥2𝑦ʹʹ + 10𝑥𝑦ʹ + 8𝑦 = 𝑥2