guÍa instruccional de io. parte ii-a

7/30/2019 GUA INSTRUCCIONAL DE IO. PARTE II-A

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UNIVERSIDAD TCNICA DE BABAHOYO.

I

GUA DIDCTICA INSTRUCCIONAL.

ING. GILMA TABLADA MARTNEZ.

OCTUBRE-2012

FACULTAD DE ADMINISTRACIN,FINANZAS E INFORMTICA.


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Ing. Gilma Tablada Martnez. Investigacin Operativa.

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Parte II-A.

Unidad I: Construccin de modelos de PL y solucin grfica de problemas.

Contenidos.

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Logros de aprendizajes de la unidad..... 3

Orientaciones didcticas de la unidad. 4

Prueba de entrada o pre-test... 5

Desarrollo de aprendizaje. 5

Glosario de trminos 9

Ejercicios propuestos .... 10

Actividades evaluativas de la unidad o post-test..... 12

Actividad de consolidacin de la unidad.... 14

Examen de autoevaluacin de la unidad.. 15

NDICE.


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UNIDAD I: PLANTEAMIENTO DEL MODELO MATEMTICO Y SOLUCINGRFICA DE PROBLEMAS.

Conocer los orgenes de la Investigacin de Operaciones, su metodologa,procesos y aplicabilidad real, as como su impacto sobre la economa de unaorganizacin.Formular modelos matemticos que representen un problema.Plantear un modelo a travs de las cinco etapas y pasos sistemticospredefinidos.

Desarrollar el modelo de programacin lineal para un problema dado.Resolver modelos de programacin lineal utilizando el mtodo grfico.Realizar una interpretacin econmica de las variables, coeficientes de lafuncin objetivo y trminos independientes de las restricciones.Hacer un anlisis del comportamiento del modelo segn las variaciones de susparmetros.Hacer interpretaciones de los resultados obtenidos al aplicar el mtodo grfico.

Investigacin Operativa.

Modelos matemticos.

Formulacin del modelo matemtico de Programacin Lineal.Solucin grfica de un problema de Programacin Lineal.

Solucin ptima nica.

Soluciones mltiples.

Soluciones degeneradas:

No existen soluciones.

Soluciones no acotadas.

DESARROLLO PARTE II

LOGROS DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD.

CONTENIDOS.


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En el Captulo 1 del texto 1 indicado, (HILLIER & LIEBERMAN), usted puede determinarcul fue el origen y evolucin de esta ciencia. En la Tabla 1.1, Pg. 5 de este texto, elautor presenta algunas aplicaciones de la investigacin de operaciones que usted debeleer con atencin. En la Seccin 1.4, se hace referencia a los paquetes software que sepueden utilizar para resolver problemas de investigacin de operaciones. Sin embargo,estos paquetes computacionales slo agilitan los clculos matemticos.

En el Captulo 2, Pg. 8, de este texto podr encontrar detalles acerca de lamodelacin para problemas de PL. En este captulo el autor muestra las etapas usualesde un estudio de IO. Usted debe estudiarlas y ser capaz de formular el modelo para un

problema dado. La importancia de la investigacin de operaciones radica en lacapacidad de formular correctamente un modelo para que, de forma manual outilizando los paquetes computacionales, pueda llegar a determinar la solucin ptimadeseada. Si usted dispone de un computador, utilice el software que viene con eltexto, pero recuerde que debe desarrollar las destrezas para formular y resolvermodelos matemticos donde no disponga de un computador.

La Seccin 1.1 del texto 3 (TAHA), le presenta un problema de toma de decisiones. Lasolucin requiere la identificacin de tres componentes principales, que caracterizan aun modelo. Usted debe ser capaz de plantear el modelo correcto, resolverlo y en basea ello, tomar una decisin. El texto explica en las Secciones 1.2 y 1.3 las diversas

tcnicas de IO.Las etapas ms importantes de un estudio caracterstico de Investigacin deOperaciones las presenta el texto 3 (TAHA) en la Pg. 5, Seccin 1.4: El Arte delmodelado.

Pueden profundizar en el tema usando el texto de MATHUR & SOLOW, que tambindedica el Captulo 2 a la construccin de modelos y sus clasificaciones.

Los textos sealados en la gua abordan el mtodo grfico que optimiza la funcinobjetivo a travs de una funcin de Isoutilidad, definida a partir de la expresinanaltica de la FO del problema a resolver. Deben estudiar este mtodo para ser

debatido en clases.

Las respuestas a las preguntas de entrada o pre-test del tema, las actividadesevaluativas y las de autoevaluacin sern respondidas y llevadas en el portafolio decada estudiante. Las actividades desarrolladas en dos o grupos, segn se oriente encada caso, deben rezar en el portafolio de cada estudiante, indicando el nombre de laspersonas que compartieron la actividad.

ORIENTACIONES DIDCTICAS DE LA UNIDAD.


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1.

Responda individualmente las siguientes preguntas.

a. Desarrolle un concepto personal sobre Investigacin de Operaciones?b. Qu significa para usted un modelo matemtico?c. Cul es la importancia que tribuye usted a los modelos matemticos?d. Describa tres campos en donde se puede aplicar la Programacin Lineal.e. Presente un problema donde se fundamente la optimizacin de un objetivo y

se establezcan de forma clara las condiciones bajo las cules se deseaoptimizar.

INVESTICACIN OPERATIVA.

La Investigacin de Operaciones es una rama muy amplia de la matemtica queestudia la distribucin ptima de recursos, por lo que tambin suele llamarse

Optimizacin; consiste de optimizar una funcin que se llama Funcin Objetivo(FO) yque debe cumplir con un conjunto de condiciones, llamadas conjunto de restricciones.Tanto el conjunto de restricciones como la funcin objetivo son funciones lineales porlo que se llama Programacin Lineal (PL). La Programacin Linealcomo rama de la IOsurge y se desarrolla a fines de la dcada de 1940.

La Investigacin de Operaciones (IO) consiste en el estudio de problemas de toma dedecisiones, considerando la formulacin de un modelo matemtico, que permitaestudiar el comportamiento del problema a travs del anlisis de sus parmetros yencontrar la mejor opcin posible de solucin, bajo el cumplimiento de las condicionesgenerales del problema.

Las dos caractersticas esenciales, que distinguen a la IO de otras disciplinas oactividades que podran asimilarse a la anterior definicin, son:

i) El planteamiento del modelo matemtico.ii) La bsqueda de la mejor solucin de los problemas de decisin.Otras caractersticas de la IO, es que generalmente se requiere de la participacin degrupos interdisciplinarios y de los computadores en su aplicacin, ya que losproblemas a resolver son habitualmente muy complejos y con consecuencias sobre

PRUEBA DE ENTRADA O PRE-TEST.

DESARROLLO DE APRENDIZAJES.


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distintas partes del sistema y en la resolucin de un problema, mediante la IO,requiere habitualmente procesar gran cantidad de datos numricos.

El procedimiento descrito anteriormente se representar grficamente as:

La metodologa de un estudio de IO puede ser resumida a travs de las siguientesfases:

a)Formulacin del problema: implica definir objetivos y metas, examinar los recursosinternos para lograrlos y los aspectos relevantes del entorno, determinar programasde accin alternativos.

b) Desarrollo de un modelo para representar el problema que se est estudiando:reducir el problema a una estructura generalmente matemtica en la cual seencuentran presentes el o los objetivos y las restricciones explcitas y subyacentes paralograrlos.

Esto puede implicar la formulacin de varios modelos y su confrontacin con larealidad, hasta hallar el ms adecuado.

c)Bsqueda de una solucin al problema: hallar la mejor o la ptima solucin para ellogro del objetivo, en el marco de las restricciones.

d)Poner en prctica la solucin: implantar la solucin, ya sea a modo de prueba o enforma definitiva.

e)Retroalimentacin: establecimiento de controles sobre la solucin, prestar atencina los cambios en la situacin, a fin de incorporarlos al modelo.

Estas fases no son estrictamente secuenciales, existiendo un lmite difuso entre cadauna de ellas.

PROBLEMAMODELO

MATEMTICO

SOLUCIN

PTIMA

PROBLEMAMODELO

MATEMTICO

MEJORSOLUCIN

DEL MODELO


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MODELOS MATEMTICOS.

Modelo: Es una representacin o abstraccin de una situacin u objetos reales, quemuestra las relaciones (directas e indirectas) y las interrelaciones de la accin y lareaccin en trminos de causa y efecto. Para que un modelo sea completo, debe ser

representativo de aquellos aspectos de la realidad que estn investigndose.Modelos Icnicos: Un modelo icnico es una representacin fsica de algunosobjetos, ya sea en forma idealizada o en escala distinta.

Modelos analgicos: Incluyen aquellos que tienen una forma real, pero no lamisma apariencia fsica del objeto que se est modelando.

Los modelos simblicos: Son las representaciones de la realidad y toman laforma de cifras, smbolos y matemticas.

Modelos matemticos cuantitativos y cualitativos: Pensamiento relacionadocon los problemas de negocios comienza con los modelos cualitativos y llega

gradualmente hasta un punto donde pueden usarse modelos cuantitativos.

Modelos estndar y hecho a la medida: Describen las tcnicas que han llegadoa asociarse con la investigacin de operaciones.

Descriptivos y de optimizacin: El modelo se construye como descripcinmatemtica de una condicin del mundo real.

Estticos y dinmicos: Se usan para una serie especial de condiciones fijas queprobablemente no cambiarn significativamente a corto plazo.

Simulacin: La simulacin es un mtodo que comprende clculos secuenciales

paso a paso, donde pueden reproducirse el funcionamiento de problemas osistemas de gran escala.

FORMULACIN DEL MODELO MATEMTICO DE PROGRAMACINLINEAL.

Para construir un Modelo matemtico de PL se debe hacer un estudio muy detalladode la problemtica a resolver. A partir de ese estudio se deben definir:

El objeto de optimizacin (Maximizar o Minimizar).

Las condiciones bajo las cuales se va a optimizar el objeto o funcin de rdito.

La estructura de un modelo de PL es: ( )( ) ( )El conjunto de restricciones incluye las restricciones de no negatividad.


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SOLUCIN GRFICA DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIN LINEAL.

El mtodo grfico tiene grandes desventajas para resolver problemas de PL ya quecuando los modelos matemticos que los representan tienen ms de dos variables sedificulta la representacin grfica de los mismos. Consiste de representar en el planolas rectas que delimitan a cada una de las restricciones y determinar cul es la zonacomn para todas (absolutamente todas). A esta zona se llama Zona Factible (ZF).

La ZF puede ser cerrada, abierta o puede no existir.

- Si no existe ZF, el problema de PL no tiene solucin ptima.- Si existe y es cerrada, el problema tiene solucin ptima.- Si existe y es abierta, el problema tiene solucin ptima cuando la FO se desea

minimizar. Un problema de maximizacin no tendra solucin.

En los textos indicados en esta gua, se desarrolla el mtodo grfico que calcula la

solucin ptima a travs de la FO, definiendo una funcin de Isoutilidad a partir de laFO del problema a resolver. Deben estudiar este mtodo para ser debatido en clases

Para profundizar en la identificacin de la regin o zona factible para un problemadado revise el texto KRAJEWSKI & RITZMAN, en la pgina 641. All se exponen lasdiferentes opciones para cada tipo de restriccin posible en un MMPL.

Solucin ptima nica.

Cuando el mximo o el mnimo se alcanza slo en un punto esquina o vrtice de la

regin factible. El ejemplo de la fabricacin de artefactos manuales y elctricos,resuelto anteriormente tiene solucin ptima nica.

Soluciones degeneradas:

- No existen soluciones.Si no existe ZF, entonces no hay soluciones posibles para el problema. No existe,si quiera un punto que satisfaga las condiciones del problema.

- Soluciones no acotadas.Si el problema es de maximizar y la ZF asociada al problema es abierta, se diceque el problema tiene soluciones no acotadas. En este no existen solucionesptimas para el problema.

- Soluciones mltiples.Cuando en dos puntos esquinas se alcanza el mximo o mnimo de la FO haysoluciones mltiples. Tambin se alcanzan la solucin ptima en los puntos sobreel segmento que une a dichos puntos.


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Ejemplo:

Suponga que el siguiente grfico corresponde a la ZF de un problema de PL, y sealcanza el mximo en los puntos C y D, entonces tambin la FO es mxima en lospuntos del segmento CD, que aparece sealado en rojo.

Encuentre en los textos referidos en la bibliografa de la gua, diccionarios u otrasfuentes el significado de los trminos que a continuacin se relacionan.

Investigacin operativa.Modelo matemtico.Variables de decisin.Parmetros del modelo.Funcin objetivo.Restriccin.

Linealidad.No negatividad.Optimalidad.Certidumbre.Analoga.Cualitativo.Cuantitativo.Icnico.

Estndar.Intuicin.Creatividad.Esttico.Dinmico.Simular.

Factibilidad.Zona factible.Zona factible acotada.Zona factible no acotada.Isoutilidad.Solucin ptima.Solucin mltiple.Solucin degenerada.

GLOSARIO DE TRMINOS.

D

C


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1. Encuentre las zonas factibles determinadas por las siguientes inecuaciones convariables no negativas, si existen, diga si son cerradas o abiertas y diga cules sonsus puntos esquinas:

a. b. c.

2. Se considera la regin del primer cuadrante determinada por las inecuaciones:

a. Dibujar la regin del plano que la definen.b.Calcular sus vrtices.c. Hallar el punto vrtice de esa regin en el que la funcin

( )

alcanza el valor mnimo y calcular dicho valor.

3. Representar grficamente el conjunto de puntos que satisfacen las siguientesinecuaciones lineales:

}

a. Hallar el mximo y el mnimo de ( ) , sujeto a las restriccionesrepresentadas por las inecuaciones anteriores.4. Encuentre grficamente la regin del plano definida por las inecuaciones:

EJERCICIOS PROPUESTOS.


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a. Para qu valores de la regin (ZF) es mxima la funcin ?b. Para qu valores de la regin (ZF) es mnima la funcin ?

5. Sandra y Carlos producen alfombras y chales hechos a mano. Enrollan el estambre,lo tien y lo tejen. Un chal requiere 1 hora de enrollado, 1 hora de teido y 1 hora

de tejido. Una alfombra requiere 2 horas de enrollado, 1 hora de teido y 4 horasde tejido. Juntos, invierten, cuando ms 8 horas de enrollado, 6 horas de teido y14 horas de tejido.a. Complete la siguiente tabla:

b. Use la tabla para escribir un sistema de desigualdades que describa lasituacin.c. Trace la grfica de la regin factible de este sistema de desigualdades.

6. Word Oil Company puede comprar dos tipos de petrleo crudo: crudo ligero a uncosto de $25.00 por barril, y petrleo pesado a un costo de $22.00 por barril. Cadabarril de petrleo crudo, ya refinado produce tres productos: gasolina, turbosina yqueroseno. La siguiente tabla indica las cantidades en barriles de gasolina,turbosina y queroseno producidos por barril de cada tipo de petrleo crudo:

7. La refinera se ha comprometido a entregar 1 260 000 barriles de gasolina, 900000 barriles de turbosina y 300 000 barriles de queroseno. Formule un modelopara determinar la cantidad de cada tipo de petrleo crudo por comprar paraminimizar el costo total al tiempo que se satisfaga la demanda apropiada. Definatodas las variables de decisin.

8. Un fabricante hace dos juguetes, camiones de carga y camiones de bomberos.Ambos se procesan en cuatro departamentos diferentes y cada uno tiene una

capacidad limitada. El departamento de lminas metlicas puede procesar por lomenos 1 veces tantos camiones de carga como camiones de bomberos. Eldepartamento de ensamble de camiones de carga puede armar cuando ms 6 700camiones de carga por semana, mientras que el departamento de ensamble decamiones de bomberos puede armar cuando ms 5 500 camiones de bomberospor semana. El departamento de pintura, que da el acabado a ambos tipos de

juguetes, tiene una capacidad mxima de 12 000 semanales. Si la ganancia es de$8.50 en un camin de carga y de $12.10 en un camin de bomberos, cuntos decada tipo debe producir la empresa para maximizar la ganancia?

Enrollado. Teido. Tejido.

Chales. 1 h

Alfombras. 4 h

Disponibilidad. 8 h

Gasolina Turbosina Queroseno

Crudo ligero0.45 0.18 0.30

Crudo pesado 0.35 0.36 0.20


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Estos ejercicios sern enviados al finalizar la unidad al correo gmail del docenteindicado al inicio de la gua. La fecha tope de entrega ser precisada oportunamente.

1. Sea el recinto poligonal convexo definido por el sistema de inecuaciones convariables no negativas: a. Dibujarlo.b.Hallar sus vrtices.c. Razonar si es posible maximizar en l la funcin

( ) .

d.En caso afirmativo, calcular el valor ptimo correspondiente y puntos donde sealcanza.

2. Se considera el recinto plano de la siguiente figura en el que estn incluidos lostres lados y los tres vrtices de la figura triangular que forman las rectas asociadasa las desigualdades.a. Hallar las inecuaciones que definen el recinto.b.Maximizar la funcin sujeta a las restricciones del recinto.

3. Una empresa manufacturera elabora dos componentes: 1 y 2 para vender acompaas de refrigeracin. Los componentes son procesados en dos mquinas Ay B. La mquina A est disponible por 120 horas y la mquina B est disponible por110 horas. No ms de 200 unidades de componente 2 podrn ser vendidos, perohasta 1000 unidades del componente 1 pueden ser vendidas. De hecho laempresa tiene ya rdenes de 600 unidades de componente 1 que deben sersatisfechas. Los beneficios de cada unidad de los componentes 1 y 2 son de $8.00y $6.00 respectivamente. Elabore un modelo lineal para maximizar los ingresos, silos tiempos en minutos necesarios para elaborar cada componente en cadamquina son:

ACTIVIDADES EVALUATIVAS.


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Componente Mquina A Mquina B

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2 4 5

4. Un fabricante de cemento produce cuando menos 3.2 millones de barriles decemento anualmente. El Organismo de Proteccin Ambiental le comunica que suoperacin emite 2.5 libras de polvo por cada barril producido. Este organismo hadeterminado que las emisiones anuales deben reducirse a 1.8 millones de libras.Para lograr esto, el fabricante planea reemplazar los actuales recolectores por dostipos de precipitadores electrnicos. Uno de ellos reduce las emisiones a 0.5 libraspor barril y cuesta $0.16 por barril. El otro reduce a 0.3 libras de polvo por barril ycuesta $0.20 por barril. El fabricante no quiere gastar ms de 0.8 millones dedlares en los precipitadores. Necesita saber cuntos barriles debe producir con

cada tipo de precipitador. Sea la cantidad de barriles producidos con el primertipo de precipitador y la cantidad de barriles de cemento producidos con elsegundo tipo.5. News Magazine publica una edicin estadounidense y otra canadiense cada

semana. Se tienen 30 000 subscriptores en Estados Unidos y 20 000 en Canad.Otras copias se venden en los quioscos de peridicos. Los costos de correo y envopromedian $80.00 por 1 000 copias en Estados Unidos y $60.00 por 1 000 enCanad. Las encuestas muestran que pueden venderse no ms de 120 000 copiasde cada edicin, incluidas las subscripciones y que el nmero de copias de edicin

canadiense no debe exceder de 2 veces el nmero de copias de la edicinestadounidense. El editor puede gastar cuando ms $8 400.00 al mes en correo yembarque. Si la ganancia es de $200.00 por cada 1 000 copias de la edicincanadiense y de $150.00 por cada 1 000 copias de la edicin estadounidense,cuntas copias de cada versin deben imprimirse para obtener una gananciamxima? Cul es la ganancia mxima?

6. El anuncio de un fondo de inversin establece que todo dinero se invierte enbonos con calificacin A, AA y AAA. No se invierte ms del 30% del total en losbonos A y AA y se invierte cuando menos el 50% en AA y AAA. Los bonos A, AA y

AAA producen rendimiento del 8%, 7% y 6% anual, respectivamente. Plantee elmodelo matemtico que permita determinar los porcentajes de la inversin totalque se deben comprometer en cada tipo de bono para que el fondo maximice surendimiento anual.


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1. Comparta con 2 compaeros las respuestas de las preguntas de entrada de launidad.2. Describa tres ejemplos de: Funciones Objetivos, Variables de decisin y

restricciones?

3. Qu significa para usted la funcin objetivo de un modelo en trminosadministrativos?

4. Qu entiende usted por modelo matemtico de programacin Lineal?5. Escriba dos diferencias entre cada tipo de modelo.6. Escriba un ejemplo de cada modelo estudiado.7. nase con el compaero, segn el criterio que indique el maestro y resuelva las

siguientes cuestiones:a. Propongan un nuevo esquema y/o algoritmo de solucin de problemas

lineales, tal como se presenta en seccin 1.3 del texto MATHUR & SOLOW.Las propuestas sern presentadas y debatidas en el curso.

b. Proponga un esquema para la construccin de modelos para problemas de PL.c. Hagan un anlisis del caso de Carmac Company, ejercicio 2.9, pgina 53 del

texto MATHUR & SOLOW. Usando el esquema definido por ustedes, planteenel modelo matemtico correspondiente.

d. Compare el modelo construido en el inciso anterior (c), con el que se planteaen el texto 4 de esta gua, ejercicio 4.15, pgina 164.

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIN.


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1. Una compaa fabrica 2 productos: Beta y Zeta. Cada producto debe pasar por 2operaciones de procesamiento. Todos los materiales se introducen al inicio delproceso 1. La tabla siguiente muestra las horas requeridas para producir unaunidad de cada producto.

No hay inventarios de trabajo en proceso. La compaa puede producir

exclusivamente, cualquiera de los 2 productos o varias combinaciones bajo lassiguientes restricciones:

- La escasez de mano de obra ha limitado la produccin de Beta a 400 unidadespor da.

- No hay restricciones de horario en el programa anterior. Suponga que todas lasrelaciones entre capacidad y produccin son lineales.

Si el objetivo es maximizar el margen total de contribuciones, escoja una de lasopciones planteadas para cada caso:

a) Cul es la FO para los datos presentados?(1) Zeta + 2 Beta = $9.95(2) $4.00 Zeta + 3($5.25) Zeta = Margen total de contribucin.(3) $4.00 Zeta + $5.25 Zeta = Margen total de contribucin.(4) 2($4.00) Zeta + 3($5.25) Zeta = Margen total de contribucin.

b) Cul es la restriccin por produccin para el proceso 1?(1) Zeta + Beta 1 000(2) Zeta + 2 Beta 1 000(3) Zeta + Beta 1 000(4) Zeta + 2 Beta 1 000

c) Cul es la restriccin por produccin para el proceso 2?(1) Zeta + Beta 1 275(2) Zeta + 3 Beta 1 275(3) Zeta + Beta 1 275(4) Zeta + 3 Beta 1 275

d) Cul es la restriccin por mano de obra para la produccin de Beta?(1) Beta 400(2) Beta 400(3) Beta 1 275

Proceso 1 Proceso 2Contribucin x

unidad

Zeta 1 hora 1 hora $4.00

Beta 2 horas 3 horas $5.00

Total de horas x da 1 000 horas 1275 horas

EXAMEN DE AUTOEVALUACIN.


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2. Plantee el modelo para el ejercicio anterior y resulvalo grficamente.3. Cada semana, Florida Citrus, Inc. usa una mquina durante 150 horas para destilar

jugo de naranja y de toronja en concentrados almacenados en dos tanquesseparados de 1000 galones antes de congelarlos. La mquina puede procesar 25

galones de jugo de naranja por hora, pero slo 20 galones de jugo de toronja. Cadagaln de jugo de naranja cuesta $1.50 y pierde 30% de contenido de agua aldestilarse en concentrado. El concentrado de jugo de naranja se vende despus en$6.00 por galn. Cada galn de jugo de toronja cuesta $2.00 y pierde 25% decontenido de agua al destilarse en concentrado. El concentrado de jugo de toronjase vende luego en $8.00 por galn. Formule un modelo de programacin lineal paradeterminar un plan de produccin que maximice la ganancia para la siguientesemana usando las variables:

JN Nmero de galones de jugo de naranja por utilizar esta semana.JT Nmero de galones de jugo de toronja por utilizar esta semana.

4. Como variante del ejercicio 45, formule un modelo de programacin lineal paradeterminar un plan de produccin que maximice la ganancia para la siguientesemana usando las variables:CN Nmero de galones de concentrado de naranja por utilizar esta semana.CT Nmero de galones de concentrado de toronja por utilizar esta semana.

5. Como variante del ejercicio 45, formule un modelo de programacin lineal paradeterminar un plan de produccin que maximice la ganancia de la siguiente semanausando las variables:

TN Nmero de horas de tiempo de mquina a usarse esta semana para destilarjugo de naranja.TT Nmero de horas de tiempo de mquina a usarse esta semana para destilar

jugo de toronja.

guÍa instruccional de io. parte ii-a

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