guia mangá de cálculo - novatec editora...em quadrinhos i. togami, shin. ii. becom co.. iii....
TRANSCRIPT
![Page 1: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/1.jpg)
Guia mangá de
Cálculo diferencial e integral
Hiroyuki Kojima Shin Togami
Becom Co., Ltd.
novatec
![Page 2: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/2.jpg)
Original Japanese-language edition Manga de Wakaru Bibun Sekibun ISBN 4-274-06632-0 © 2005 by Hiroyuki Kojima and Becom Co., Ltd., published by Ohmsha, Ltd.English-language edition The Manga Guide to Calculus ISBN 978-1-59327-194-7 © 2009 by Hiroyuki Kojima and Becom Co., Ltd., co-published by No Starch Press, Inc. and Ohmsha, Ltd.Portuguese-language rights arranged with Ohmsha, Ltd. and No Starch Press, Inc. for Guia Mangá de Cálculo Diferencial e Integral ISBN 978-85-7522-208-9 © 2009 by Hiroyuki Kojima and Becom Co., Ltd., published by Novatec Editora Ltda.
Edição original em japonês Manga de Wakaru Bibun Sekibun ISBN 4-274-06632-0 © 2005 por Hiroyuki Kojima e Becom Co., Ltd., publicado pela Ohmsha, Ltd.Edição em inglês The Manga Guide to Calculus ISBN 978-1-59327-194-7 © 2009 por Hiroyuki Kojima e Becom Co., Ltd., copublicação da No Starch Press, Inc. e Ohmsha, Ltd.Direitos para a edição em português acordados com a Ohmsha, Ltd. e No Starch Press, Inc. para Guia Mangá de Cálculo Diferencial e Integral ISBN 978-85-7522-208-9 © 2009 por Hiroyuki Kojima e Becom Co., Ltd., publicado pela Novatec Editora Ltda.
Copyright 2010 da Novatec Editora Ltda.
Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei 9.610 de 19/02/1998.
É proibida a reprodução desta obra, mesmo parcial, por qualquer processo, sem prévia autorização, por escrito, do autor e da Editora.
Editor: Rubens PratesIlustração: Shin TogamiTradução: Edgard B. DamianiRevisão técnica: Peter Jandl Jr.Editoração eletrônica: Camila Kuwabata e Carolina Kuwabata
ISBN: 978-85-7522-208-9
Histórico de impressões:
Fevereiro/2012 Segunda reimpressãoNovembro/2010 Primeira reimpressãoMarço/2010 Primeira edição
NOVATEC EDITORA LTDA.
Rua Luís Antônio dos Santos 11002460-000 – São Paulo, SP – BrasilTel.: +55 11 2959-6529Fax: +55 11 2950-8869E-mail: [email protected]: www.novatec.com.brTwitter: twitter.com/novateceditoraFacebook: facebook.com/novatecLinkedIn: linkedin.com/in/novatec
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Kojima, Hiroyuki Guia mangá de cálculo : diferencial e integral / Hiroyuki Kojima, Shin Togami, Becom Co ; [ilutrações] Shin Togami ; [tradução Edgard B. Damiani]. -- São Paulo : Novatec Editora ; Tokyo : Ohmsha ; São Francisco : No Starch Press, 2010. -- (The manga guide)
Título original: The manga guide to calculus. ISBN 978-85-7522-208-9
1. Cálculo 2. Cálculo - Problemas, exercícios etc. 3. Cálculo diferencial 4. Cálculo integral 5. História em quadrinhos 6. Matemática - História em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série.
10-01418 CDD-515
Índices para catálogo sistemático:
1. Cálculo : Matemática em quadrinhos 515PRL20120203
![Page 3: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/3.jpg)
Sumário
PREFÁCIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
Prólogo: O QUE É UMA FUNÇÃO? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
1 VAMOS DERIVAR UMA FUNÇÃO! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
Aproximando com Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16Calculando o Erro Relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27A Derivada em Ação! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
Passo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34Passo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34Passo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
Calculando a Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39Calculando a Derivada de uma Função Constante, Linear ou Quadrática . . . . . . . . .40
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
2 VAMOS APRENDER TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
A Regra da Soma para Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48Regra do Produto de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53Derivando Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62Encontrando os Pontos de Máximo E De Mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64Usando o Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72Usando a Regra do Quociente de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74Calculando Derivadas de Funções Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75Calculando Derivadas de Funções Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
3 VAMOS INTEGRAR UMA FUNÇÃO! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
Ilustrando O Teorema Fundamental Do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82Passo 1 – Quando a Densidade é Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83Passo 2 – Quando a Densidade Muda Gradualmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84Passo 3 – Quando a Densidade Muda Continuamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85Passo 4 – Revisão da Função Linear Aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88Passo 5 – Aproximação Valor Exato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89Passo 6 – p(x) É a Derivada de q(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90
![Page 4: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/4.jpg)
viii sumário
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93Uma Explicação Rigorosa do Passo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94Usando Fórmulas de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95
Aplicando o Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101Curva de Oferta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102Curva de Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
Revisão do Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110Fórmula da Regra da Substituição para Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111A regra da potência de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
4 VAMOS APRENDER TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115
Usando Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116Usando Integrais com Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125Usando Funções Exponenciais e Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
Generalizando as Funções Exponencial e Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135Resumo das Funções Exponencial e Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140Mais Aplicações do Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142
Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144
5 VAMOS APRENDER SOBRE EXPANSÕES DE TAYLOR! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145
Aproximando com Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147Como Obter uma Expansão de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155Expansão de Taylor de Várias Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160O Que a Expansão de Taylor Nos Diz? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178
6 VAMOS APRENDER SOBRE DERIVADAS PARCIAIS! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179
O Que São Funções Multivariáveis? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180O Básico das Funções Lineares Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184Derivação Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191
Definição da Derivação Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196Derivadas Totais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .197Condições de Extremidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199Aplicando a Derivação Parcial na Economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206Derivadas de Funções Implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218
![Page 5: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/5.jpg)
sumário ix
EPÍLOGO: PARA QUE SERVE A MATEMÁTICA? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .219
A SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225
Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225Capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226Capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227Capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228Capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229
B PRINCIPAIS FÓRMULAS, TEOREMAS E FUNÇÕES APRESENTADOS NESTE LIVRO . . .231
Equações Lineares (Funções Lineares) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231Derivadas das Funções mais Comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233Expansão de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234
Índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235
![Page 6: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/6.jpg)
Prólogo: O QUE É UMA FUNÇÃO?
![Page 7: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/7.jpg)
2 Prólogo
O ESCRITÓRIO DO ASAGAKE TIMES EM
SANDA-CHO DEVE ESTAR POR AQUI.
IMAGINE – EU, NORIKO HIKIMA, UMA JORNALISTA! MINHA CARREIRA COMEÇA
AQUI!
É APENAS UM ESCRITÓRIO LOCAL
DE UM JORNAL PEQUENO, MAS
AINDA ASSIM SEREI UMA JORNALISTA!
VOU TRABALHAR PRA VALER!
![Page 8: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/8.jpg)
O QUE É UMA FUNÇÃO? 3
ESCRITÓRIO SANDA-CHO...SERÁ QUE EU PEGUEI O MAPA ERRADO?
UM DISTRIBUIDOR DE JORNAL?
VOCÊ ESTÁ PROCURANDO PELO ESCRITÓRIO LOCAL SANDA-CHO,
certo? TODO MUNDO NOS CONFUNDE COM O ESCRITÓRIO PORQUE
SOMOS MAIORES.
FICA LOGO ALI.
O DISTRIBUIDOR DO ASAGAKE TIMES EM SANDA-CHO
![Page 9: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/9.jpg)
4 Prólogo
NÃO... NÃO SE IRRITE,
NORIKO.
É UM ESCRITÓRIO LOCAL, MAS AINDA É O VERDADEIRO Asagake Times.
HUUUHH
OH, NÃO! É UM GALPÃO!
O ESCRITÓRIO LOCAL EM SANDA-CHO DO ASAGAKE TIMES
![Page 10: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/10.jpg)
O QUE É UMA FUNÇÃO? 5
BOM DIA!AQUI VAMOS NÓS!
ESTOU MOR---TA.ENTREGA DE ALMOÇO?
Zzzzzzz...
NHENNN
![Page 11: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/11.jpg)
6 Prólogo
PODE DEIXAR AÍ, POR FAVOR?
ESPERE, O QUÊ?
aH, VOCÊ FOI DESIGNADA PARA TRABALHAR AQUI.
EU SOU NORIKO HIKIMA.
VIAGEM LONGA, NÃO? EU SOU KAKERU SEKI,
O CHEFE DESTE ESCRITÓRIO.
O GRANDÃO ALI É FUTOSHI MASUI, MEU
ÚNICO SOLDADO.
APENAS DOIS...
![Page 12: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/12.jpg)
O QUE É UMA FUNÇÃO? 7
AQUI É UM ÓTIMO LUGAR. O AMBIENTE PERFEITO PARA SE PENSAR sobre
tudo.
PENSAR...?SIM! PENSAR SOBRE FATOS!
UM FATO, DE ALGUMA FORMA, ESTÁ RELACIONADO
A OUTRO FATO.
A MENOS QUE VOCÊ ENTENDA ESSES RELACIONAMENTOS,
VOCÊ NÃO SERÁ UMA REPÓRTER DE VERDADE.
JORNALISMO DE VERDADE!
![Page 13: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/13.jpg)
BEM, VOCÊ SE ESPECIALIZOU EM
HUMANAS.SIM, ISSO MESMO!
EU ESTUDO LITERATURA DESDE QUE ERA UMA CALOURA NO COLÉGIO.
VOCÊ TEM MUITO A RELEMBRAR, ENTÃO VAMOS COMEÇAR COM FUNÇÕES.
FU...FUNÇÕES? MATEMÁTICA?
O QUÊ?
QUANDO UMA COISA MUDA, ELA INFLUENCIA OUTRA COISA. UMA FUNÇÃO É
UMA CORRELAÇÃO.VOCÊ PODE PENSAR NO MUNDO EM SI COMO UMA GRANDE FUNÇÃO.
UMA FUNÇÃO DESCREVE UMA RELAÇÃO,
CAUSALIDADE OU MUDANÇA.
COMO JORNALISTAS, NOSSO TRABALHO É
ENCONTRAR A RAZÃO DAS COISAS ACONTECEREM –
AS CAUSALIDADES.
sim...
![Page 14: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/14.jpg)
O QUE É UMA FUNÇÃO? 9
VOCÊ SABIA QUE UMA EXPRESSÃO COSTUMA SER
REPRESENTADO POR y = f(x)?
Não!!
POR EXEMPLO, CONSIDERE QUE
x e y sejam animais.
ASSuma que x SEJA UM SAPO. SE VOCÊ COLOCAR
O SAPO NA CAIXA f E CONVERTÊ-LO, O GIRINO
y SAIRÁ DA CAIXA.
MAS, HÃ... O QUE É f ?
o f SIGNIFICA FUNÇÃO, É CLARO.
f É USADO PARA MOSTRAR QUE UMA VARIÁVEL y TEM UMA RELAÇÃO ESPECÍFICA COM x.
E, NA VERDADE, PODEMOS USAR QUALQUER LETRA NO LUGAR DE f.
![Page 15: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/15.jpg)
10 Prólogo
NeSSe caso, f EXPRESSA A RELAÇÃO OU REGRA ENTRE “UM PAI” E
“UMA PROLE”
E ESSA RELAÇÃO É VERDADE PARA QUASE TODOS OS ANIMAIS. SE x É UM PÁSSARO, y É UM FILHOTE DE
PÁSSARO.
CORRETO! AGORA OLHE PARA ISSO.
POR EXEMPLO, A RELAÇÃO ENTRE RENDIMENTOS E DESPESAS PODE SER VISTA COMO
UMA FUNÇÃO. COMO QUANDO AS VENDAS DE UMA
COMPANHIA SOBEM, OS FUNCIONÁRIOS RECEBEM BÔNUS?
A VELOCIDADE DO SOM E A TEMPERATURA TAMBÉM PODEM SER EXPRESSAS
COMO UMA FUNÇÃO. QUANDO A TEMPERATURA SOBE 1°C, A VELOCIDADE DO SOM SOBE
0,6 METROS/SEGUNDO.
E A TEMPERATURA NAS MONTANHAS CAI
CERCA DE 0,5°C PARA CADA 100
METROS QUE VOCÊ SOBE, NÃO É?
UMA PROLEum pai
Iúú-
rúú!
Venda de
caviar cai
durante
recessão
JATO SUPERSÔNICO X-43
ALCANÇA MACH 9,6 –
NOVO RECORDE MUNDIAL
![Page 16: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/16.jpg)
O QUE É UMA FUNÇÃO? 11
ENTENDEU? NÓS ESTAMOS CERCADOS
POR FUNÇÕES.
ENTENDI O QUE VOCÊ
QUIS DIZER!
AQUI, NÓS TEMOS TEMPO DE SOBRA
PARA PENSAR SOBRE ESSAS COISAS
SILENCIOSAMENTE.
AS COISAS EM QUE VOCÊ PENSAR AQUI PODERÃO SER ÚTEIS ALGUM DIA.
É UM ESCRITÓRIO PEQUENO, MAS ESPERO QUE VOCÊ FAÇA O SEU
MELHOR.SIM... FAREI.
AAAHH!
Plum!
![Page 17: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/17.jpg)
AI...
VOCÊ ESTÁ BEM?
AH, O ALMOÇO JÁ CHEGOU? ONDE ESTÁ O MEU PRATO COM BIFE?
FUTOSHI, O ALMOÇO AINDA NÃO CHEGOU. ESSA É...
AINDA NÃO? POR FAVOR, ACORDE-ME QUANDO O ALMOÇO
CHEGAR. ZZZ...
NÃO, FUTOSHI, NÓS TEMOS UMA NOVA...
O ALMOÇO JÁ CHEGOU?
NÃO, AINDA NÃO.
Zzz...
Flop
12 Prólogo
![Page 18: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/18.jpg)
O QUE É UMA FUNÇÃO? 13
Tabela 1: CARACTERÍSTICAS DAS FUNÇÕES
ASSUNTO CÁLCULO GRÁFICO
Causalidade A frequência do estridular de um grilo é determinada pela temperatura . Podemos expressar aproximadamente a relação entre y estrídulos por minuto de um grilo com a temperatura x°C como
O resultado é 159 estrídulos por minuto .
Quando desenhamos essas funções, o resul-tado é uma linha reta . É por isso que as chama-mos de funções lineares .
Mudanças A velocidade do som y em metros por segundo (m/s) no ar a x°C é expressa como
A 15°C,
y v= ( ) = × + =15 0 6 15 331, 340 m/s
A −5°C,
y v= −( ) = × −( ) + =5 0 6 5 331, 328 m/s
Conversão de Unidade
Conversão de x graus Fahrenheit (°F) em y graus Celsius (°C)
Então agora sabemos que 50°F equivalem a
Computadores armazenam números usando um sistema binário (1s e 0s) . um número binário com x bits (ou dígitos binários) tem o potencial de armazenar y números distintos .
(Isso é descrito com mais detalhes na página 131 .)
O gráfico é uma função exponencial .
![Page 19: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/19.jpg)
14 Prólogo
P(x) não pode ser expressa por uma função conhecida, mas ainda assim é uma função .
Se conseguisse encontrar uma maneira de prever P(7), o preço das ações em julho, você poderia ter um grande lucro .
Exercício
1. Encontre uma equação que expresse a frequência de z estrídulos/minuto de um grilo a x°F .
O preço P das ações da companhia A no mês x de 2009 éy = P(x)
1 2 3 4 5 6
300
200
100
Mês
Yen
fx f(x) g( f(x))g
Uma função compostade f e g
OS GRÁFICOS DE ALGUMAS FUNÇÕES NÃO PODEM SER EXPRESSoS POR LINHAS RETAS OU CURVAS COM FORMA REGULAR.
A COMBINAÇÃO DE DUAS OU MAIS FUNÇÕES É CHAMADA DE “COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES”. A COMBINAÇÃO DE FUNÇÕES
NOS PERMITE EXPANDIR O ESCOPO DE CAUSALIDADE.
![Page 20: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/20.jpg)
Usando Funções Exponenciais E Logarítmicas 135
Taxa decrescimento anual = =
Valor após 1 ano − Valor atual
Valor atual
f x f x
f x
+( ) − ( )( )
1
GENERALIZANDO FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
APESAR DAS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA SEREM CONVENIENTES, A DEFINIÇÃO QUE FIZEMOS DELAS ATÉ AGORA PERMITE APENAS NÚMEROS NATURAIS PARA x em f(x) = 2x E POTÊNCIAS DE 2 para y em g(y) = log2 y. NÃO TEMOS UMA DEFINIÇÃO PARA A POTÊNCIA −8, A POTÊNCIA 7⁄3 OU A POTÊNCIA
, log25, ou log2.
HMM, O QUE FAZEMOS, ENTÃO?
VOU LHE CONTAR COMO DEFINIMOS FUNÇÕES
EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS EM GERAL, USANDO EXEMPLOS.
FELIZ QUE TENHA PERGUNTADO EU ESTOU. A FORÇA DO CÁLCULO USAMOS PARA ISSO. SIM.
PRIMEIRO, USANDO O NOSSO EXEMPLO ANTERIOR, VAMOS MUDAR A TAXA DE CRESCIMENTO ECONÔMICO ANUAL pAra SUA TAXA DE CRESCIMENTO INSTANTÂNEA.
COMEÇAREMOS COM ESSA EXPRESSÃO.
![Page 21: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/21.jpg)
136 Capítulo 4 VAMOS APRENDER TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO!!
Taxa de crescimento instantânea
Idealização de Valor um pouco mais tarde = Valor atual
Valor atualTempo decorrido
− ÷
Agora, vamos considerar uma função que satisfaça a taxa de cresci-mento instantânea quando ela é constante, ou
em que c é uma constante .
Aqui assumimos que c = 1, e encontraremos f(x) que satisfaça
1. Primeiro, chutamos que isso seja uma função exponencial .
AGORA, NÓS A TRANSFORMAMOS NA TAXA DE CRESCIMENTO INSTANTÂNEA, DA SEGUINTE MANEIRA.
ENTÃO, DEFINIMOS A TAXA DE CRESCIMENTO
INSTANTÂNEA COMO
ENCONTRAR f(x)? MAS COMO a
ENCONTRAREMOS?
como , u
AGORA, RECORDE QUE, QUANDO h ESTAVA PERTO O SUFICIENTE DE ZERO, TÍNHAMOS
![Page 22: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/22.jpg)
Usando Funções Exponenciais E Logarítmicas 137
De u, temos que e ficamos com
v
Se x estiver perto o suficiente de h, temos que
substituindo x por 2h e usando f ′(h) = f(h),
Substituiremos então na nossa equação .
Da mesma forma, substituímos 3h, 4h, 5h, . . ., por x e fazemos mh = 1 .
De forma semelhante,
Então, ficamos com
em que usamos a = (1 + h)m
que sugere uma função exponencial .*
* Como mh = 1, h = . Então, . Se fizermos m → ∞ aqui, , ou
constante de Euler, um número que vale cerca de 2,718 . Então, f(1) = f(0) × e, que é consistente
com a discussão da página 141 .
![Page 23: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/23.jpg)
138 Capítulo 4 VAMOS APRENDER TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO!!
2. Em seguida descobriremos que f(x) existe com certeza e com o que ele se parece .
w
x
Agora, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo:
y
Se assumirmos que g(1) = 0 aqui . . .*
* Como mostrado na página 75, se a função inversa de y = f(x) é x = g(y), f ′(x) g ′(y) = 1 .
EXPRESSE A FUNÇÃO INVERSA DE y = f(x) como x = g(y).
DE ACORDO COM O f ’(x) = f(x) INDICADO NA PÁGINA 136, A DERIVADA DE f(x) É ELA MESMA. MAS ISSO NÃO NOS AJUDA.
ENTÃO, QUAL É A DERIVADA DE g(y)?
Como temos isso em geral,*
obtemos esse resultado, que mostra que a derivada da função inversa g(y) é explicitamente dada por .
Como sabemos agora que g ′(y) = , descobrimos que a função
g(α) é obtida integrando de 1 até α .
obtemos
ótimo! agora, vamos desenhar o gráfico de
!
![Page 24: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/24.jpg)
Usando Funções Exponenciais E Logarítmicas 139
AH, E QUANTO À TAXA DE
CRESCIMENTO RECENTE DO
Asagake Times?
...POR FAVOR,
DIGA A VERDADE. NÃO VOU FICAR
SURPRESA.
VOCÊ TÁ CHORANDO! É TÃO RUIM
ASSIM?
ISSO É UM GRÁFICO DE PROPORÇÃO INVERSA.
VAMOS DEFINIR g(α) COMO A ÁREA ENTRE ESTE GRÁFICO E O EIXO Y NO INTERVALO DE 1 até α. ISSO É UMA FUNÇÃO BEM DEFINIDA. EM OUTRAS PALAVRAS, g(α) É DEFINIDA
ESTRITAMENTE PARA QUALQUER α, SEJA UMA FRAÇÃO OU .
Como
É UMA FUNÇÃO EXPLÍCITA, A ÁREA PODE SER PRECISAMENTE DETERMINADA.
Como que satisfaz y .
Então, descobrimos a função inversa g(y), a área abaixo da curva, que tam-bém nos dá a função original f(x) .
![Page 25: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/25.jpg)
140 Capítulo 4 VAMOS APRENDER TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO!!
Resumo Das Funções Exponencial E Logarítmica
u é vista como sendo a taxa de crescimento .
v y = f(x) que satisfaz = 1 é a função que tem um crescimento constante de 1 .
Isso é uma função exponencial que satisfaz
w Se a função inversa de y = f(x) é dada por x= g(y), temos
x Se definimos g(α), podemos encontrar a área de h(y) = ,
A função inversa de f(x) é a função que satisfaz e g(1) = 0 .
y
z
e
zy
= 1
Área = 1
1
�
e é um número irracionalque vale cerca de 2,7178.
Definimos e (a base dologaritmo natural) como o yque satisfaça g(y) = 1. Ou seja,ele é o α para o qual a áreaentre a curva 1 / y e o eixo yno intervalo de 1 a α é igual a 1.
![Page 26: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/26.jpg)
Resumo Das Funções Exponencial E Logarítmica 141
Como f(x) é uma função exponencial, podemos escrever, usando a constante a0,
Como f(g(1)) = f(0) = a0a0 = a0 e f(g(1)) = 1, temos
E então sabemos que
De forma semelhante, como
e
Então, temos que .A função inversa g(y) disso é loge y, que pode ser escrito simplesmente
como ln y (ln representa o logaritmo natural) .Agora, vamos reescrever de v a x em termos de ex e ln y .
z
{
|
} Para definir 2x, uma função dos bits, para qualquer número real x, fazemos
(x é qualquer número real)
A razão disso é mostrada a seguir . Como ex e ln y são funções inversas uma da outra,
Portanto, para qualquer número natural x, temos
![Page 27: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/27.jpg)
142 Capítulo 4 VAMOS APRENDER TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO!
Mais Aplicações Do Teorema Fundamental
Outras funções podem ser expressas na forma f(x) = xα . Algumas delas são
Para essas funções em geral, a fórmula que encontramos anteriormente mostra-se verdadeira .
Exemplo:
Para
Para
PROVA:
Vamos expressar f(x) em termos de e . Percebendo que eln x = x, temos que
Então,
Derivando ambos os lados, lembrando que a derivada de ln w = , e apli-cando a regra da cadeia,
Portanto,
FÓRMULA 4-2: REGRA DA POTÊNCIA PARA DERIVAÇÃO
![Page 28: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/28.jpg)
Mais Aplicações Do Teorema Fundamental 143
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Se h(x) = f(x) g(x), obtemos da regra do produto de derivadas,
Então, como a função (a antiderivada) que dá f ′(x) g(x) + f(x) g ′(x) após a derivação fica f(x) g(x), obtemos do Teorema Fundamental do Cálculo,
Usando a regra da soma de integração, obtemos a seguinte fórmula .
Como exemplo, vamos calcular:
Chutamos que a resposta da integral terá uma forma semelhante a x cos x, então dizemos que f(x) = x e g(x) = cos x . Então tentamos,
Podemos avaliar que
Substituindo em nossas funções originais de f(x) e g(x), descobrimos que
Podemos usar esse resultado em nossa primeira equação .
FÓRMULA 4-3: INTEGRAÇÃO POR PARTES
![Page 29: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/29.jpg)
144 Capítulo 4 VAMOS APRENDER TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO!!
Então obtemos:
Rearranjando mais ainda, resolvendo os sinais, descobrimos que:
E você pode ver aqui que temos a integral original, mas agora atemos em ter-mos que podemos realmente resolver! Resolvendo para nossa função original:
Lembre-se que ∫ cos x dx = seno x, e você pode ver que
Aqui está .
Exercícios
1. tan x é uma função definida como seno x / cos x . Obtenha a derivada de tan x .
2. Calcule
3. Obtenha x tal que f(x) = xex seja mínimo .
4. Calcule
Uma dica: suponha que f(x) = x2 e g(x) = ln x, e use a integração por partes .
![Page 30: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/30.jpg)
Condições De pontos extremos 199
3ª AULA
QUE VISTA! SANDA NÃO MUDOU NEM UM POUCO!
!
SE OLHARMOS PARA AQUELA MONTANHA COMO UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS, SEU TOPO
É UM PONTO DE MÁXIMO.
AI, VOCÊ JÁ COMEÇOU A
LIÇÃO?
Condições De pontos extremos
PONTO DE MÁXIMO
![Page 31: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/31.jpg)
200 Capítulo 6 VAMOS APRENDER SOBRE DERIVADAS PARCIAIS!
Os extremos de uma função com duas variáveis f(x, y) está no ponto em que seu gráfico equivale ao topo de uma montanha ou à base de um vale .
Como o plano tangente ao gráfico no ponto P ou Q é paralelo ao plano x-y, devemos ter
com p = q = 0 na função linear de aproximação .Como
a condição de extremidade* é, caso f(x, y) tenha um extremo em (x, y) = (a, b),
ou
* O oposto disso não é verdadeiro . Em outras palavras, mesmo que fx(a, b) = fy(a, b) = 0, f nem sempre terá um extremo em (x, y) = (a, b) . Então, essa condição apenas escolhe os candidatos a ponto extremo .
Máximo
Mínimo
Ponto de máximo
Plano horizontal
z
x
y
0
z
x
y
0
z
x
y
0
Q
P
P
![Page 32: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/32.jpg)
Condições De pontos extremos 201
EXEMPLO
Vamos encontrar o mínimo de f(x, y) = (x − y)2 + (y − 2)2 . Primeiro, vamos encontrá-lo algebricamente .
Como
Se substituirmos x = y = 2 aqui,
Disso, f(x, y) ≥ f(2, 2) para todo (x, y) . Em outras palavras, f(x, y) tem um mínimo igual a zero em (x, y) = (2, 2) .
Por outro lado, e . Se fizermos
e resolvermos esse sistema de equações,
descobrimos que (x, y) = (2, 2), tal como descobrimos acima .
Nos EXTREMos DE UMA FUNÇÃO COM DUAS VARIÁVEIS, AS DERIVADAS
PARCIAIS TANTO NA DIREÇÃO DE x QUANTO NA DIREÇÃO DE y SÃO
IGUAIS A ZERO.
AS SOLUÇÕES SÃO IGUAIS!
![Page 33: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/33.jpg)
EPÍLOGO: PARA QUE SERVE A MATEMÁTICA?
![Page 34: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/34.jpg)
220 Epílogo
UFA, QUE CALOR!
NÃO IMPORTA PARA ONDE ME MANDEM,
FAREI O MEU MELHOR.
BEM, ONDE ESTÁ O ESCRITÓRIO DA ASAGAKE TIMES EM OKINAWA?
AEROPORTO DE NAHA
![Page 35: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/35.jpg)
para que serve a matemática? 221
ESSA SITUAÇÃO ESTÁ SOANDO FAMILIAR DEMAIS PRA MIM!
VOCÊ?!?
não me diga QUE VOCÊ É O CHEFE DESSE ESCRITÓRIO?!?
SEM CHANCE! TAMBÉM
ACABEI DE CHEGAR DO AEROPORTO.
AI, QUE BOM!
QUEM TÁ ENCARREGADO
DEStE ESCRITÓRIO?
o q u ê ê ! ? !
HUUUHH
MAS VOCÊ NÃO ESTÁ
AQUI TEMPO O
SUFICIENTE PARA JÁ
ESTAR DORMINDO!!
SEU FOLGADO!
AIÊ!
Tap
Tap
ESCRITÓRIO DA ASAGAKE TIMES EM
OKINAWA
![Page 36: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/36.jpg)
222 Epílogo
COM LICENÇA, VOCÊ SABERIA ME DIZER ONDE ENCONTRO
A PESSOA ENCARREGADA?
AH, ELE ESTÁ SEMPRE NADANDO.
AÍ ESTÁ VOCÊ!
tap
tap
tap
![Page 37: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/37.jpg)
para que serve a matemática? 223
sr. Seki!!! sr. Seki!!
DECIDI PASSAR MAIS UM ANO PENSANDO SOBRE AS
COISAS EM UM LUGAR QUENTE.
MARAVILHA! VOU COMER TUDO QUE EXISTE EM
OKINAWA!
SR. SEKI, DESCOBRI O
PROPÓSITO DA MATEMÁTICA.
AH, É?
![Page 38: Guia mangá de Cálculo - Novatec Editora...em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.. III. Título. IV. Série. 10-01418 CDD-515 Índices para catálogo sistemático: 1. Cálculo](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022053018/5f1e9dd64cf7d8379028b3ab/html5/thumbnails/38.jpg)
224 Epílogo
DESCREVER COISAS QUE NÃO PODEM SER DESCRITAS COM PALAVRAS.
BEM, ENTÃO, NORIKO, SUPONHA QUE O HORIZONTE SEJA O EIXO X... QUÊ? O QUE VAMOS
COMER HOJE À NOITE? HMMM, MACARRÃO SOA
BEM.
AMANHÃ SERÁ OUTRO GRANDE DIA.
HI HI