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UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE INGENIERÍAINSTITUTO DE CIENCIAS BASICAS

Álgebra Guía de Ejercicios Nº4

Lenguaje simbólico y Números naturales

Primera Parte: LENGUAJE SIMBÓLICO

Elementos de Lógica proposicional1. Considere los enunciados representados por las proposiciones p y q :

p: 4 es un número primo y q: 4 es divisor de 32

Exprese en español los enunciados representados por:

a) p Ù q b) q Þ p c) p Û q

d) p Ú q e) p Þ q f) (q Ù p) Ú q

2. Si se sabe que p es falsa, q es verdadera y que r es falsa, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones :

a) (p Ù q) Þ r b) (p Þ r ) Ù q

c) (p Ù r ) Û q d) (p Þ r ) Ù (r Ú p)

3. Considere las proposiciones, p: Él es Ingeniero Civil, q: Él es Informático, r: Él es empresario. Escriba en forma simbólica los siguientes enunciados:

a) Él no es Ingeniero Civil ni Informático, pero si Empresario.

b) Él no es Ingeniero Civil y es Informático.

c) Ser Ingeniero Civil o Empresario es lo mismo que ser Informático.

d) Si él es Ingeniero Civil e Informático, entonces es Empresario.

e) Si no es Ingeniero Civil y es Informático, entonces es Empresario.

f) Es Ingeniero Civil sólo si es Economista y Empresario.

4. A través de una matriz de valores veritativos, determine si los siguientes esquemas son Tautología, Contradicción o Contingencia :

a) [ ( p Þ q ) Û ( p Ú q )] Þ (p Þ q )

b) [ (q Ú p ) Þ q ] Ù [ q Ú ( q Þ p ) ]

c) ( p Þ q ) Þ [ ( p Ù r ) Þ ( q Ù r ) ]

d) [ ( p Þ q ) Ù ( q Þ q ) ] Þ ( p Ù q )

e) [ a Þ ( b Ú c ) ] Ù [ ( a Ú b Ú c ) Þ { ( b Ú c ) Ù a }]

f) [ ( p Þ q ) Ù q ] Þ p

g) [ ( a Ú b ) Þ ( a Ù b ) ] Û b

h) [ ( p Þ q ) Ù ( q Þ q ) ] Þ ( p Ù q )

___________________________________________________________________________________ Universidad Diego Portales – Instituto de Ciencias Básicas

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5. Verifique si las siguientes proposiciones compuestas tienen carácter de Tautología, Contradicción o Contingencia, sin recurrir a tablas de verdad:

a) { [ ( a Û b ) Ù c ] Ú [ ( a Þ c ) Ù b ] }

b) ( p Ù q ) Ú [ ( p Þ q ) Þ ( q Þ p ) ]

c) { [ a Þ ( b Ù c ) ] Û b } Þ ( a Ú c )

d) [ ( p Þ q ) Ù ( p Ù q ) ] Û ( p Ù q )

e) [ (q Ú r ) Þ p ] Ú [ ( p Û r ) Ù ( p Þ r ) ]

f) { a Û [ c Þ ( a Ù b ) ] } Þ ( c Ù b )

g) [ ( p Û q ) Þ ( r Þ p ) ] Ù ( p Ú r )

6. Si se sabe que p Ù q C, demuestre, usando álgebra proposicional, que:

[ ( p Ú q ) Û ( p Ù q ) ] Ú p T

7. Si p Ú q T, demuestre que [ ( p Ú q ) Û ( p Ù q ) ] Ú q T

8. Demuestre que los esquemas p Þ ( q Ú r ) y ( p Ù q ) Þ r son lógicamente equivalentes.

9. Determine el valor de verdad de las proposiciones p, q y r en cada uno de los siguientes casos, sabiendo que el valor de verdad del esquema propuesto es el que se indica.

a) [ ( p Þ q ) Ù ( r Ú q ) ] : V

b) { [ ( p Ù q ) Þ ( p Ù r ) ] Ú ( p Þ r ) } : F

c) { [ ( p Û q ) Û ( p Ú r ) ] Ù [ p Þ ( q Ù r ) ] } : V

d) { [ ( p Ú q ) Ù ( p Þ r ) ] Þ [ ( p Ù q ) Ú ( q Þ r ) ] } : F

e) { [ p Ù ( q Þ r ) ] Ú [ ( p Ú q ) Þ ( p Ù r ) ] } : F. Comente su resultado.

10. Demuestre que si q tiene el valor de verdad F, entonces la proposición compuesta

( p Þ q ) Û [ ( q Ù r ) Ù ( p Ú q ) ] resulta ser Falsa.

11. Considere tres proposiciones p, q y r de las cuales se sabe que p Ù q es Verdadero, y que q Ù r es Falso. Determine el valor veritativo del esquema ( r Ú p ) Þ ( r Ù p ).

12. Demuestre, usando álgebra lógica, las siguientes equivalencias entre esquemas.

a) q Þ p Þ p Ú q ) ( p Ù p )

b) p Ù ( p Ú q ) Ú q Ú p ) ( p Þ p )

c) p Ú [ p Ù ( q Ú p ) T

d) ( p Ú q ) Þ p Ù q ) p

e) ( p Ù q ) Ú q Ù p ) q


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f) q Ù ( p Ù q ) Þ p Ú q ) p Ù q

13. demuestre que los siguientes enunciados son lógicamente equivalentes:

I "Si Juan termina de solucionar ese problema y el horario de trabajo terminó, entonces se retira muy satisfecho"

II "Juan no terminó de solucionar ese problema o el horario de trabajo no terminó, o Juan se retira muy satisfecho"

14. Demuestre que el valor de verdad de ( p Þ q ) Ù ( p Ù r) Þ q Ú r ) es independiente del valor de verdad de la proposición r.

15. Se define el nuevo conectivo mediante la tabla adjunta.

Exprese p Þ (q Ú r) sólo en términos del conectivo y de la

negación .

16. Dado el conjunto A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) ! x A / x + 3 = 10 b) x A : x + 3 10

c) x A / x + 3 < 5 d) x A : x + 3 7

17. Dado el conjunto A = { 1, 3, 5, 7 }, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) ( x A / 4x2 – 19x – 5 = 0 ) Ú ( x A / x2 = x )

b) ( x A / 2x + 3y = 5x ) Ù ( x A / 2x = x )

18. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones; para las que sean falsas, escriba la negación

a) x N, x es par o impar.

b) a / a2 = 1 Þ 00 = 1.

c) Si todo número primo es impar, entonces dos no es primo.

d) a, b ,

e) x , n N / x < n.

f) x A, y A / x2 + y2 25, donde A = {1, 2, 3, 4, 5}

g) x Z – {0}, x es positivo y negativo.

19. Simplifique, obteniendo una proposición de tipo afirmativo.

a) { [ x en U / p(x) ] Þ [ x en U / q(x) ] }

b) { x en U / [ p(x) Ù q(x) ] }

c) { [ x en U / p(x) ] Ù [ x en U / q(x) ] }


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p q p qV V FV F FF V FF F V

d) { [ x en U/ p(x) ] Þ [ x en U/ q(x) ] }

e) { [ x en U/ p(x) ] Þ [ x en U/ q(x) ] }

20. Traduzca a lenguaje simbólico, luego niegue y finalmente escriba la frase que corresponda a la negación, de las siguientes proposiciones:

a) Todos los números son racionales y existen números que no son enteros.

b) Algunas leyes no son legítimas pero deben ser respetadas.

c) Algunos ingenieros cantan y hacen deportes.

d) Existe al menos una empresa que hace pernos pero no tuercas.

e) Ningún hombre rico es feliz.

f) De las personas presentes en la reunión de Directorio, ninguno era fumador.

g) Si todos los Ingenieros Civiles tuviesen una segunda fuente de ingreso podrían proyectarse profesionalmente y aumentar sus rentas.

h) Si algunos de los libros de contabilidad de un monopolio de empresas son revisados, entonces todos los contadores tendrán que justificar los gastos o no podrán salir de vacaciones.

i) Todas las empresas si no pagan sus impuestos en la fecha correspondiente, deben pagar multa o solicitar una prórroga.

21. Si A = { 1, 2, { 3 }}, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas ?

a) 3 A b) { 2, { 3} } A c) { 1 } A

d) A e) { 3 } A f) { 1, 2 } A

g) { 1, 2, { 3 } } A h) { { 3 } } A

22. Sean los conjuntos: U = { x N / x < 10 } A = { x N / 2 < x < 8 }

B = { x N / x < 5 } C = { x N / x + 2 = 6 }

Determine: a) A ( B C ) b) C’ ( A B)

c) ( A B ) ( C’ A ) d) ( A C’ ) B’

23. Dados: U = { p, e, r, g, a, m, i, n, o } A = { m, e, n, o, r }

B = { g, a, m, o } C = { p, a, r, o }

a) Encuentre ( A B ) C’ por extensión.

b) Encuentre una expresión conjuntista que posea sólo los elementos p, a, r.

24. Sean: U = { a, r, s, e, n, i, c, o } A = { n, e, c, i, a }

B = { i, r, a, n } C = { r, e, n, o }


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a) Distribuya los elementos de U en un diagrama adecuado.

b) Determine el conjunto ( A’ B )’ C por extensión.

c) Exprese el conjunto {e, c, o} como resultado de una operación entre los conjuntos arriba definidos.

25. Construya un diagrama de Venn- Euler que respete exacta y sólamente las restricciones exigidas en cada uno de los siguientes casos. Indique los casos que resulten con exigencias incompatibles.

a) C ( A B ) ; A B C ; C B ; C A .

b) A B; C D; A D = ; C B = .

c) A B C = ; A B ; B C ; A C .

d) A B; A B C ; C B

26. Determine por extensión los conjuntos A, B, C y U, si se sabe que :

a) ( A, B, C U ) Ù ( B C ) =

b) ( C B )’ = { 3, 5, 9 }

c) { 3, 5 } ( A C )

d) x (A C ) Þ x { 1, 2, 3 }

e) x ( B A ) Û ( x = 8 )

f) 4 A’, 7 A’ Ù n( A’ ) = 4

g) n( B ) < n( C ) , n( U ) = 8 ; { 2, 8 } U

h) ( A B ) = { 1 }

Justifique con un diagrama.

27. Usando álgebra de conjuntos, demuestre que :

a) ( A B ) ( A C ) = A ( B C )

b) [ A ( B A’ ) [( B A ) A ’ = A

c) [ ( A’ B )’ B = B

d) S, T U: ( S T ) Þ [ T ( T S ) = S

28. Usando álgebra de conjuntos, simplifique :

a) A’ ( A’ B’ )

b) [ A ( B’ A ) [( B A’ ) A ’

c) [ ( A’ B ) ( A’ B

d) [ A ( C A ) [( C A’ ) C

e) [ ( B’ ( A B ) ( A B


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29. Determine la cardinalidad de los conjuntos A, B, C U , considerando la siguiente información :

n ( U ) = 30 n ( A B C )’ = 5 n ( A B ) = 23

n ( A C ) = 4 n ( B C ) = 8 n ( A B C ) = 3

n ( A B ) = 11 n ( A C ) = 12

30. En un curso hay 45 alumnos de la carrera A y 51 de la carrera B que no estudian la carrera A. Se sabe, además, que hay 12 alumnos que no estudian en estas carreras.

i) ¿Cuántos alumnos hay en el curso?

ii) Si 7 alumnos estudian ambas carreras, ¿cuántos estudian en la carrera B?

31. En un Universo U de 34 elementos, hay tres conjuntos A, B y C tales que C B, n ( C ) = 8, n ( A C ) = 24, n ( A B ) = 10, n ( B ) = 22 y n ( A C ) = 6.

¿Cuántos elementos se encuentran sólo en A?

32. Se hace una encuesta a 600 varones respecto de los periódicos que leen: El Mercurio, La Tercera y La Cuarta obteniéndose la siguiente información:

180 leen El Mercurio pero no La Tercera.

200 leen La Tercera y La Cuarta.

160 leen La Cuarta y jamás El Mercurio.

100 leen El Mercurio y La Cuarta pero nunca han leído La Tercera.

300 nunca han leído La Tercera.

50 sólo leen La Cuarta.

200 han leído sólo uno (cualquiera) de estos periódicos.

Determine: i) ¿Cuántos encuestados leen los tres periódicos mencionados?

ii) ¿Cuántos encuestados no leen estos periódicos?

iii) ¿Cuántos encuestados sólo leen La Tercera y La Cuarta?

33. Entre 75 personas que toman café, se hace una encuesta. 27 dicen que les gusta el café sin crema ni azúcar. A 26 les gusta con crema y 36 dicen que les gusta con azúcar. ¿Cuántos de los encuestados tomarían un café con crema y azúcar?

34. En un banco se hace un estudio con las personas que solicitaron préstamos durante el mes pasado. Los resultados de dicho estudio fueron:

55% de los solicitantes son hombres.

60% de los solicitantes pidieron préstamo en U.F.

30% de los solicitantes son hombres y no pidieron préstamo en U.F.


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5 % de los solicitantes son mujeres que pidieron préstamo de consumo.

40 % de los solicitantes pidieron su préstamo en U.F. pero no solicitaron préstamo de consumo.

Con esta información y sabiendo que el banco sólo acepta solicitudes de préstamo de consumo en U.F., determine el porcentaje de solicitantes mujer que pidió préstamo en U.F. y el porcentaje de solicitantes hombre que pidió préstamo de consumo. Además, distribuya la información dada en un diagrama adecuado a la situación.

35. Se consultaron a 250 personas sobre sus consumos a la hora de su desayuno y se obtuvo que 30 personas tomaban té con leche, 40 consumían café con leche, 80 tomaban leche, 130 tomaban té o leche y 150 consumían café o leche. Determine cuántas personas tomaban sólo leche y cuántas no tomaban ni té, ni café ni leche al desayuno.

36. De un grupo de 100 empleados de una firma, todos los hombres tienen más de 20 años de edad, hay 50 mujeres en el grupo, 60 empleados son mayores de 20 años, 25 mujeres no son solteras. Los empleados casados con más de 20 años de edad son 15, y de éstos 10 son mujeres.

a) Construya un diagrama adecuado a la situación y distribuya las cardinalidades respectivas.

b) ¿Cuántos son los empleados casados?

c) ¿Qué porcentaje de las mujeres es soltera?

d) ¿Cuántas mujeres son solteras y mayores de 20 años?

e) ¿Qué porcentaje del grupo es hombre casado?

37. En una encuesta a los egresados de un colegio científico-humanista, sobre sus preferencias para estudios superiores, se obtuvo que 29 prefieren Ingeniería Civil, 26 prefieren Psicología, 8 prefieren Ing. Civil y Psicología pero no Derecho, 5 estudiarían sólo Ing. Civil, 7 estudiarían Ing. Civil y Derecho pero no Psicología, el doble de los que prefieren sólo Psicología prefieren sólo Derecho, 4 prefieren sólo Psicología y Derecho y 50 no estudiarían Ing. Civil. Determine:

a) el número total de encuestados.

b) Cuántos de ellos elegirían carreras distintas de las mencionadas.

c) Cuántos elegirían cualquiera de las tres carreras mencionadas.


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Segunda Parte: NÚMEROS NATURALESSumatorias

1. Si , determine: a) b) c) x10

2. Suponga que para determinar:

a) b)

c) d) el valor de x si :

3. Sea {xi}i una sucesión de la cual se sabe que:

y . Obtenga el valor de:

a) b) c)

4. Si , calcule

5. Considerando que

a) Obtenga el valor de

b) Determine el valor negativo de x8 , si se sabe que .

6. Determine , usando los siguientes datos:

i) ii) y iii)


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7. Usando las fórmulas y que nos

permiten obtener las sumas de los primeros n números naturales y de sus cuadrados, respectivamente, exprese en lenguaje de sumatorias y luego calcule:

a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +..........+ 20

b) 91 + 92 + 93 + 94 + 95 + 95 + ............. + 149

c) 32 + 42 + 52 + 62 +.........+ 152

d) 1 + 9 + 25 + 49 + 81+......+ 361

e) 1 + 2 3 + 4 5 + 6 7 + 8 9 + ......... 81 + 82

f) 1 2 + 9 4 + 25 6 + 49 8 + ......... 24 + 625

8. Usando las fórmulas anteriores, calcule:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

9. Calcule y

10. Utilizar la propiedad telescópica para probar que:

a)

b)

c)

11. Demuestre que:

12. Demuestre que:


10

Inducción Matemática13. Construya una fórmula para la suma y demuestre que es

válida para todo número natural n.

14. Demuestre, usando el axioma de inducción matemática, que se tiene que:

a)

b)

c)

d)

e) 1 22 + 32 42 + . . . . . . + (1)n 1 n2 = (1)n 1 ·

f)

g) es múltiplo de 3.

h) es divisible por 15.

i) es divisible por 5.

j) .

15. Demuestre que es divisible por x y, nN.

16. Demuestre que , con x 1, nN.

17. Demuestre que , nN.

18. Se definen los números a1 , a2, ...., an , mediante , . Demuestre que an < 2 , para todo n IN.

19. Determine si se sabe que y que . Demuestre que la expresión obtenida es válida nIN.

20. Si , demuestre que:

.


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21. Sea p(n) la proposición 1 + 3 + 5 + . . . . . . . + (2n - 1) = 25 + n 2. Pruebe que p(n) Þ p(n + 1) aún cuando p(1) es falsa.

22. Sea q(n) la proposición x + y es un factor de . Pruebe que q(1) es verdadera pero que q(n) Þ q(n + 1) es falsa.

23. Determine números reales a, b y c tales que 1 + 4 + 7 +.... + (3n 2) = sea válida para n = 1, n = 2 , n =3. Pruebe, usando inducción matemática, que para los valores de a, b y c obtenidos, la igualdad anterior se cumple n IN.

Progresiones24. Encuentre tres números que están en progresión aritmética (P.A.) y tales que suman

24 y su producto es 440. ¿Y si sumaran 39 y su producto fuese 2184?

25. El vigésimo quinto término de una P.A. es 53 y el siguiente es 55. Encuentre una expresión para el término general de esta progresión.

26. Los números 29 y 44 son respectivamente los términos 10º y 15º de una P.A. ¿El número 100 pertenece a esta progresión? En caso afirmativo, ¿qué lugar ocupa?

27. Considere la P.A. 3/4, 2/3, 7/12, . . . . . .

a) Determine el orden del primer término negativo de esta progresión.

b) Obtenga S29 , la suma de los primeros 29 términos.

c) Encuentre nIN, si existe, tal que Sn = 0.

d) Entregue la fórmula más sencilla para el término general aK de esta progresión.

28. Use progresiones para calcular la suma de todos los enteros positivos menores que 300, tales que:

a) Sean múltiplos de 7 b) Terminen en 7

29. Si a, b y c están en progresión aritmética y se tiene que , demuestre que la ecuación admite como solución a x = 1.

30. La suma de n términos de una P.A. es 2n + 3n2, para cada nIN. Determine el término que ocupa el lugar k-ésimo en la P.A.

31. El p-ésimo término de una P.A. es y el q-ésimo término es . Determine el m-ésimo término de la P.A.

32. Interpole 5 medios aritméticos entre .

33. Cuatro números en Progresión Geométrica (P.G.) suman 85 y el tercero de ellos es igual al primero más 15. ¿Cuáles son los números?


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34. Encuentre 3 números en P.G. cuya suma es 38 y cuyo producto es 1.728. ¿Y si los números sumaran 52?

35. Determine el valor de x para que los números x, 2x + 7, 10x 7 estén en P.G.

36. En una P.G. de 8 términos, se sabe que el último es 2.560 y que el quinto es 320. ¿Cuál es la razón de la progresión? ¿Cuál es la suma de los 8 términos de esta P.G.?

37. Interpole 3 medios geométricos entre

38. Encontrar la suma de todos los números entre 100 y 1000 que sean divisibles por 14.

39. En una P.G., se sabe que la suma de los 6 primeros términos es igual a nueve veces la suma de los tres primeros términos . Determine la razón de esta progresión. ¿Esta razón es única?

40. Un Psicólogo puede atender consultas de 1 paciente cada 15 minutos a lo más y durante 8 horas diarias. Si hoy atenderá 5 pacientes y aumenta su agenda a razón de 3 pacientes cada mes, ¿en cuántos meses tendrá un día totalmente ocupado?

41. Un paciente es víctima de una infección que esta afectando su motricidad. Se ha encontrado una colonia bacteriana con 8 x 107 bacterias. Se ha determinado que con un tratamiento adecuado se eliminan 800.000 bacterias por día devorándose entre sí. ¿Cuántos días habrá que tratar la infección con el fin de eliminarla?

42. Juan, alcohólico inveterado, se sometió a un tratamiento dejando de beber a los 30 años. El diagnóstico mostró que había perdido en este año 120.000 neuronas de las 10 mil millones estimadas normalmente. Se sabe que sin beber, irá reduciendo la pérdida sólo en 6.000 neuronas por año. ¿Después de cuántos años dejaría de perder neuronas? ¿Cuántas neuronas perderá en total, considerando las del diagnóstico?

43. Un niño demora 7,9 segundos en los 50 metros planos. Practicando, dirigido por un entrenador, redujo su tiempo en 0,3 segundos el primer mes. Un estudio del comité olímpico afirma que un niño promedio reduce mensualmente su rendimiento en 2/3 partes de lo reducido en el mes anterior. ¿Cuál será el mejor tiempo esperado por el entrenador en el caso de este niño?

44. Un cuerpo al caer recorre 4 metros en el primer segundo. Si en cada segundo la distancia recorrida aumenta en 1,6 veces. ¿De qué altura cae este cuerpo si demoró 10 segundos en tocar el suelo?

45. En el mes de marzo de 2004 se detectaron 15 casos de SIDA en la ciudad de Santiago. El informe de un equipo médico para el año anterior afirmaba que los nuevos casos mensuales aumentan a razón de un 20% con respecto al mes anterior. De acuerdo con esto, ¿cuántos casos, aproximadamente, se esperaban para el mes de Diciembre de 1998? ¿Cuántos casos de SIDA se habrán acumulado hasta ese mes (aproximadamente)?


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46. Una persona arrienda una pieza en una pensión durante el año 2005. Acuerda con la dueña, reajustar la renta mes a mes en una cantidad fija. El arrendatario calcula que deberá pagar por la renta anual $1.058.400 y que el mes de diciembre del año 2005 deberá cancelar $134.400. Determine el monto de la renta del mes de julio de 2005 y el monto del reajuste mensual acordado.

47. Si en una progresión armónica demuestre que .

48. Si b es el medio armónico entre a y c , demuestre que .

Binomio de Newton

49. Calcule a) + b) + c) ·

50. Simplifique las siguientes expresiones:

a)

b)

c)

51. Determine una expresión para la división :

52. Demuestre que : 2 + =

53. Demuestre que + =

54. Determine el valor de x si : = 10

55. Calcule 3 + 2 +

56. Determine el sexto término de


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57. Determine el coeficiente de x5 en el desarrollo de

58. Determine el lugar que ocupa el término que contiene a x7 en el desarrollo del

binomio

59. Encuentre el término central del desarrollo de

60. Encontrar el término que contiene a x2 en el desarrollo de .

61. En el desarrollo de , hallar el quinto término, el término que contiene a

x5 y el término independiente de x.

62. En el desarrollo de determine el término central y el término

independiente de x.

63. Determine el valor de n para que los 4º términos de y sean

iguales.

Resultados – Números NaturalesSumatorias1.- a) 105 c) 41 3.- a) 260 b) 74

5.- a) 21 7.- a) 210 c) 1235 e) 41

Inducción Matemática

13.- 23.-

Progresiones

25.- 31.-

35.- x = 7 39.- q = 2

41.- 100 días 43.- 7,55 seg

Binomio de Newton


15

49.- a) 67 b) 3 c) 90

51.- 57.- 8064 59.- 92461.-

61.- a) 5º Término: b) No hay c) Término independiente de x:

63.- n = 2


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