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Graficas en Wiris-Cas

Antalcides Olivo

23 de abril de 2014

Resolveremos algunos problemas para explicar el procedimiento que se utiliza en Wiris-Cas para optimizar una fun-cion y para usar esta teorıa para estudiar el compotamiento de la grafica de una funcion, ademas de que sea una guıapara resolver los problemas propuestos.

1. Introduccion

En este artıculo mostraremos como usar Wiris-Cas para calcular el lımite y la derivada de una funcion y estudiar laspropiedades de esta, analizando su grafica , ademas utilzaremos Wiris-Cas para resolver problemas de aplicacion queinvolucren el concepto de derivada.

1.1. GraficacionAntes de empezar a utilizar Wiris-Cas para resolver problemas que involucren el lımite de una funcion en un punto

explicaremos como realizar graficas de funciones de la formaf : R → R

x 7→ y.

Una de las capacidades mas valiosas de Wiris-Cas es que nos permite definir nuevas funciones, de manera queestas funciones tienen la misma consideracion que las que Wiris-Cas ya tiene incorporadas. Los argumentos de estasfunciones pueden ser cualquier objeto matematico. En este apartado aprendemos como se definen las funciones y como seusan. Tambien estudiaremos varias funciones de variable real de uso fundamental en matematicas y que Wiris-Cas tieneincorporadas.

Para definir funciones, usamos el sımbolo :=, creado con el teclado o con el icono . A la izquierda de este sımboloescribimos el nombre de la funcion seguido de la lista de argumentos de la funcion entre parentesis, y a la derechaescribimos el cuerpo de la funcion, es decir, las operaciones que queremos realizar con los argumentos. Una funcionpuede tener tantos argumentos como queramos o incluso ninguno. En el cuerpo de la funcion, se pueden usar otrasfunciones ya definidas. Para aplicar la funcion a unos valores concretos, escribimos el nombre de la funcion seguido delos valores de los argumentos separados por comas y entre parentesis (esta estructura se llama Secuencia).

Uno de los problemas que se tiene cuando se usa un software como Wiris-Cas para construir una grafica es que esposible que la grafica no se construya porque no conocemos su comportamiento, por eso debemos determinar su dominioy si es posible su rango.

Ejemplo 1. Determine el dominio y el rango de la funcion

f (x) = 2x2 − x4

y luego construya su grafica.

Solucion: Aunque Wiris-Cas tiene herramientas para la representaciones graficas 2D y 3D , antes de utilizarlas, nosinteresaremos por realizar un estudio analıtico con la simple intencion de mostrar la forma de proceder con Wiris-Cas,ademas ese analisis nos ayuda a mejorar el conocimiento de la teorıa vista en clase.

Ante de resolver el ejercicio expliquemos como usar una funcion varias veces.

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FACULTAD DE CIENCIAS BASICASPROGRAMA DE MATEMATICASI TALLER DE CALCULO DIFERENCIAL (6 % )

NOMBRE: 23 de abril de 2014

Para usar una funcion varias veces debemos construir un nuevo bloque con el icono , que se encuentra en la barraeditor

Figura 1: Barra Editor

Definiremos la funcion f(x) = 2x2 − x4 de la siguiente forma:

[|f(x) := 2x2 − x4 hacemos Enter al terminar cada lınea, de tal forma que completemos lo que queremos;

como lo explicaremos a continuacion.

Primero calcularemos los puntos de interseccion con los ejes es decir los puntos donde y = 0 y x = 0 .

• Para el caso x = 0 usamos la orden f(0) .

• Para el caso y = 0 usamos la orden resolver(2x2 − x4 = 0) .

Nos interesa ademas calcular el dominio de la funcion y lo hacemos con el comando dominio(f) .

Tambien debemos encontrar el rango, para obtenerlo despajamos x de la funcion 2x2 − x4 = y usando el comandoresolver(y == 2x2 − x4, x) , debemos especificar que despejaremos la variable x ya que existen dos variables x e y.

Ahora hacemos clic en , pero las expresiones que necesitamos para calcular el rango no las puede interpretarWiris-Cas por lo que explicaremos despues como resolver este inconveniente.

Por ultimo dibujamos la grafica con la orden dibujar(f) .

Ahora mostraremos como es en Wiris-Cas .| f(x) := x2 − 2

| f(0)| resolver(2x2 − x4 = 0)| resolver(y == 2x2 − x4, x)| dominio(f(x))| dibujar(f(x))

hacemos clic en para obtener

| f(x) := x2 − x4 x 7→ x2 − x4

| f(0) 0

| resolver(2x2 − x4 = 0){{

x = 0

},{x = −

√2

},{x =√

2

}}| resolver(y == 2x2 − x4, x)

|

{{x = −

√−√−y+ 1 + 1

},{x = −

√√−y+ 1 + 1

},{x =

√−√−y+ 1 + 1

},{x =

√√−y+ 1 + 1

}}| dominio(f) IR| dibujar(f(x)) tablero 1

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Figura 2: Imagen de la funcion 2x2 − x4

En Wiris-Cas nos queda de la siguiente forma

Figura 3: Presentacion en Wiris-Cas

Con Wiris-Cas podemos generalmente dibujar las graficas de las funciones solo con el comando dibujar() comoacabamos de ver en el ejemplo (1).

3

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Al despejar y con Wiris-Cas obtuvimos{{

x = −√

−√−y+ 1 + 1

},{x = −

√√−y+ 1 + 1

},{x =

√−√−y+ 1 + 1

},{x =√√

−y+ 1 + 1

}}que nos sirve para conocer el rango de la funcion, pero si usamos el comando domidio() para cada una de las

cuatro soluciones no obtendremos ninguna respuesta ya que las calculadoras como Wiris-Cas no resuelven este tipo deproblemas, pero si observamos bien las expresiones en realiad solo nos interesa que −y+ 1 > 0, es decir y 6 1 y este serıael rango. Por tanto la mas importante de la grafica se encuentra entre −

√2 6 x 6

√2 y y 6 1.

Es decir los puntos notables de la grafica son (0, 0).(−√

2, 0

)y (√

2, 0) que ya lo calculamos ahora nos toca calcularlos extremos de la grafica y eso lo hacemos dentro del mismo bloque usando la instruccion resolver(2x2 − x4 = 1) paraobtener la respuesta

{{x = −1

},{x = 1

}}con lo que construimos los puntos (−1, 1) y (1, 1).

Figura 4: Figura optimizada

Tambien podemos construir la grafica con el comando representar() para ası poder analizar la grafica en el tablerode dibujo de Wiris-Cas , de la siguiente forma

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Figura 5: Grafica representada

En la grafica se observan unos puntos rojos y azules los cuales representan a los puntos notables de la grafica, losmismos que habıamos identificado anteriormente .

Por ultimo hay dos puntos en color zanahoria, los cuales se llaman puntos de inflexion y los estudiaremos mas adelante.Para terminar el artıculo explicaremos otro ejemplo.

Ejemplo 2. Determine el dominio, el rengo, los interceptos con los ejes y ademas represente la grafica optimizada. De la

funcion y =x2 − 4

x2 + x− 6

.

Solucion: En Wiris-Cas hacemos lo siguiente:

| f(x) :=x2 − 4

x2 + x− 6

| f(0)

| resolver(x2 − 4

x2 + x− 6

= 0)

| resolver(y ==x2 − 4

x2 + x− 6

, x)

| dominio(f(x))

| dominio(−3 · y+ 2

y− 1

)

| f(−2)| resolver(x2 + x− 6 = 0)| representar(f(x))

hacemos clic en para obte-ner

| f(x) :=x2 − 4

x2 + x− 6

x 7→ x2 − 4

x2 + x− 6

| f(0) 2

3

| resolver(x2 − 4

x2 + x− 6

= 0){{

x = −2

}}| resolver(y ==

x2 − 4

x2 + x− 6

, x){{

x =−3 · y+ 2

y− 1

}}| dominio(f(x)) x 6= −3

| dominio(−3 · y+ 2

y− 1

) y 6= 1

| f(−2) 0

| resolver(x2 + x− 6 = 0) x = −3, x = 2

| representar(f(x)) tablero1

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Figura 6: Grafica representada del ejemplo 2

En este caso Wiris-Cas nos representa la grafica de la funcion f(x) =x+ 2

x+ 3

cuyo dominio es IR− {−3} que difiere de la

funcionx2 − 4

x2 + x− 6

en el punto par el cual x = 2, ya que su dominio es IR− {−3, 2} por lo que la grafica real es

Figura 7: Grafica real representada del ejemplo 2

Es decir la funcion no esta definida en x = 2.

1.2. Lımite de una funcionCon Wiris-Cas podemos calcular cualquier lımite de una funcion, usando el icono:

Para el lımite por la izquierda.

Para el lımite.

Para el lımite por la derecha.

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que se encuentra en la barra de analisis:

Figura 8: Barra Analisis-lımite

Ejemplo 3. Calcular los siguientes lımites

1. lımx→−1

(2x2 + 6x− 1)

2. lımx→3

(2x− 9)

x2 − 3x

3. lımh→0

(x+ h)

4. lımx→4

x+ 3

1 − x

5. lımh→0

8 (x+ h) − 2 − (8x− 2)

h

6. lımx→∞ (x+ 1)2

2x2

7. lımx→∞

(2

x+ 1

) 2

2 + log(x)

8. lımx→∞

(√x2 − 2x+ 1 −

√x2 − 7x+ 3

)para calcular un lımite se hace de la siguiente forma:

Se escoge el icono correspondiente al lımite que necesitamos en este caso el bilateral y nos aparece

llenamos los recuadros verdes y hacemos clic en para obtener el resultado.

Solucion:

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| lımx→1

(2x2 + 6x− 1)

| lımx→3

(2x− 9)

x2 − 3x| lımh→0

(x+ h)

| lımx→4

x+ 3

1 − x

| lımh→0

8 (x+ h) − 2 − (8x− 2)

h

| lımx→∞ (x+ 1)2

2x2

| lımx→∞

(2

x+ 1

) 2

2 + log(x)

| lımx→∞

(√x2 − 2x+ 1 −

√x2 − 7x+ 3

)

hacemos clic en para obte-ner

| lımx→1

(2x2 + 6x− 1) 7

| lımx→3

(2x− 9)

x2 − 3x±∞

| lımh→0

(x+ h) x

| lımx→4

x+ 3

1 − x− 7

3

| lımh→0

8 (x+ h) − 2 − (8x− 2)

h8

| lımx→∞ (x+ 1)2

2x2

1

2

| lımx→∞

(2

x+ 1

) 2

2 + log(x)0,01

| lımx→∞

(√x2 − 2x+ 1 −

√x2 − 7x+ 3

)5

2

1.3. Derivada de una funcion

Para calcular la derivada de una funcion utilizando Wiris-Cas debemos usar uno de los iconos o que seencuentra en la barra de analisis

Figura 9: Barra Analisis-derivada

Para usar la opcion derivar, primero definimos la funcion que queremos derivar, por ejemplo f(x) = 3x2, ası[|f(x) := 3x2

Despues hacemos y escribimos f hacemos clic en y terminamos de la siguiente manera f ′(x) para ver el

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resultado por ultimo hacemos clic en .

Ejemplo 4. Hallar el valor de la derivada de la funcion y = 5x− x2 y luego evaluarla en los puntos x = 1, x = 0 y x = 3.

Solucion:| f(x) := 5x− x2

| f ′(x)| f ′(1)| f ′(0)| f ′(3)

hacemos clic en para obtener

| f(x) := 5x− x2 x 7→ −x2 + 5 · x| f ′(x) − 2x+ 5

| f ′(1) 3

| f ′(0) 5

| f ′(3) − 1

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