guías modulares de estudio matemáticas iv – parte b
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Guías Modulares de Estudio
Matemáticas IV – Parte B
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Semana 1 y 2
Funciones racionales
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Funciones racionales
• Objetivo:
Resolver problemas sobre funciones racionales, teóricos o prácticos, mediante el análisis del dominio, el rango y la determinación de posibles asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, en un ambiente escolar que favorezca la reflexión de análisis y razonamiento práctico, así como el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.
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Concepto de función racional
Notación y caracterización• Una función racional se puede expresar como un cociente de dos funciones
polinomiales.• Si R denota la función definida por:
P(x)
R (x) = .
Q(x)
donde P y Q son funciones polinomiales, entonces R es una función racional.• Esta función se caracteriza por lo siguiente
– El polinomio del denominado no puede ser el polinomio nulo.– El dominio de R es el conjunto de los números reales, con excepción de
aquellos para los cuales Q (x) = 0; es decir, se excluyen los ceros de Q (x).– El rango de R es un subconjunto de los números reales.– Los polinomios P(x) y Q(x) no tienen factores comunes.
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Intersección con los ejes
• Ejemplo:
Determina los puntos de intersección de 2x + 3y = 6 con los ejes.• Solución
La intersección con el eje y se obtiene sustituyendo x con cero en la ecuación. Si x = 0
2(0) + 3y = 6De donde
3y = 6Se despeja y
y = 6/3y = 2
Por tanto (0, 2) es el punto de intersección con el eje y.Si y = 0
2x + 3(0) = 6De donde
2x = 6Se despeja x
x = 6/2x = 3
Por tanto (3, 0) es el punto de intersección con el eje x.
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Simetrías con respecto a los ejes
• Si los puntos P1 y P2 son simétricos con respecto al eje x y las coordenadas de P1 son (x, y) entonces las coordenadas de P2 serán (x, – y); es decir, P1 y P2 tienen la misma abscisa y sus ordenadas tienen el mismo valor absoluto pero diferente signo.
P2 (x, –y)
P1 (x, y)
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Simetrías con respecto a los ejes
P1 (x, y) P2 (–x, y)
• Si los puntos P1 y P2 son simétricos con respecto al eje y y las coordenadas de P1 son (x, y) entonces las coordenadas de P2 serán (–x, y); es decir, P1 y P2 tienen la misma ordenada y sus abscisas tienen el mismo valor absoluto pero diferente signo.
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Simetrías con respecto al origen
• Dos puntos P1 y P2 son simétricos con respecto al origen cuando se encuentran a la misma distancia de éste; dicho de otra forma, cuando el origen es el punto medio del segmento que determinan P1 y P2. En consecuencia, si P1 tiene por coordenadas (x, y), entonces a P2 corresponden las coordenadas (–x, –y).
P1 (x, y)
P2 (–x, –y)
P1 (x, y)
P2 (–x, –y)
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Asíntotas• Para trazar la gráfica de una función racional, en ocasiones se utilizan ciertas rectas que no
pertenecen a la gráfica pero que sirven de guía para su trazo.• Ejemplo:
Traza la gráfica de x y – 2y – 1 = 0• Solución:
Si se despeja y en términos de x, se obtiene lo siguiente:x y – 2y – 1 = 0
Se suma 1 a los dos miembros de la igualdadx y – 2y = 1
Se factoriza el primer miembroy(x – 2) = 1
Se divide la igualdad entre x – 21
y = .x – 2
Para realizar el paso anterior se requiere que x 2, porque si x = 2 se estaría dividendo entre cero.
Como y = f (x), la igualdad anterior se puede expresar así: 1
f (x) = . x – 2
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Asíntotas• A continuación vamos a construir una tabla con valores cercanos a 2, sin que lleguen a ser
iguales a 2.
• Como se puede observar en la tabla, a medida que el valor de x se acerca a 2 por la derecha, el valor de y crece sin límite. Para indicar que x se aproxima o tiende a 2 por la derecha, se utiliza el signo + como superíndice de 2.
x 2 + • En este caso
f (x) + ∞ cuando x 2+
• Esta expresión indica que el valor de la función se aumenta o crece sin límite cuando el valor de x se aproxima o tiende a 2 por la derecha.
x X – 2 1f (x) = .
x – 2
6 4 0.25
5 3 0.33
4 2 0.5
3 1 1
2.5 .5 2
2.2 .2 5
2.1 .1 10
2.01 .01 100
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Asíntotas (continúa)• Ahora veamos qué ocurre cuando el valor de x se aproxima o tiende a 2 por la izquierda.
• En esta tabla vemos que a medida que el valor de x se aproxima a 2 por la izquierda, el valor de la función se vuelve más pequeño cada vez o disminuye sin límite. Para indicar que el valor de x se aproxima o tiende a 2 por la izquierda, se utiliza el signo – como superíndice de 2.
x 2 - • En este caso
f (x) + ∞ cuando x 2-
x X – 2 1f (x) = .
x – 2
- 2 -4 -0.25
-1 -3 -0.333
0 -2 -0.5
1 -1 -1
1.5 -0.5 -2
1.8 -0.2 -5
1.9 -0.1 -10
1.99 -0.01 -100
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• La gráfica de1
f (x) = . x – 2
se representa en la figura. En ella se puede apreciar el comportamiento de la función que toma valores cada vez mayores, en valor absoluto, a medida que el valor de x se acerca al valor 2, tanto por la izquierda como por la derecha. La recta x = 2 es una asíntota vertical; es decir, una recta a la que se aproxima la gráfica de la función, pero sin llegar a tocarla.
Asíntotas (continúa)
-2
-20
-10
10
20
4
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Intervalos• Con los intervalos determinados por el dominio, se
puede conocer en qué regiones del plano está la gráfica y en cuales no.
• En la ecuación x y – 2y – 1 = 0 al despejar y en términos de x se obtiene
1y = .
x – 2• Cuya asíntota vertical es
y = 2• El dominio de la ecuación es
Dy = R – {2} = [– ∞, 2] U [2, + ∞]
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Intervalos
• Con los intervalos determinados por el dominio se puede construir la tabla siguiente.
• En esta tabla vemos que para cualquier valor de x < 2 el cociente es negativo. Esto significa que para cualquier valor de x < 2 la y < 0, por lo que la gráfica no está en la región x < 2 , y > 0.
• También se observa que para cualquier valor de x > 2 el cociente es positivo; o sea que para x > 2, y > 0; por tanto la gráfica no está en la región x > 2, y < 0.
x Numerador Denominador y
x < 2 + – –
X > 2 + + +
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Variación inversa
Definición y constante de variación• La segunda Ley de Newton establece que f = m a, donde f es la fuerza que se aplica a
una masa m para imprimirle una aceleración a.• De acuerdo con esta ley, para la misma fuerza si la masa aumenta, la aceleración
disminuye; y a la inversa, si la masa disminuye, la aceleración aumenta.• De manera general se establece lo siguiente:
Definición
• Una variable y varía en relación inversa con una variable x, si y = k/x. donde k es una constante diferente de cero.
• Dadas dos cantidades, puede ocurrir que a todo aumento (o disminución) de una corresponda una disminución (o aumento) de la otra. Cuando esto ocurre se dice que las dos cantidades son inversamente proporcionales.
• Cantidades inversamente proporcionales son:–Para la misma obra, el número de obreros y el tiempo empleado para realizarla–Para la misma distancia, la velocidad de un móvil y el tiempo empleado en recorrerla–A temperatura constante, el volumen de los gases y las presiones a que se someten.
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Variación inversa
• Ejemplo:
Para terminar una construcción en 42 días, se emplean 23 obreros. ¿Cuántos obreros se necesitarán para edificar una construcción igual en 7 días?
• Solución:
Como la variación es inversa, la proporción se puede establecer en alguna de las dos formas siguientes:
De donde
Por tanto
x2 y1
= x1 y2
y2 x1
=y1 x2
o bien
7 23 = 42 x2
y2 42 =23 7
7x2 = 42(23) 7y2 = 23(42)
x2 = 966/7 y2 = 966/7
x2 = 138 obrerosy2 = 138 obreros
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Semana 3 y 4
Funciones exponenciales
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Funciones exponenciales
• Objetivo:
Resolver problemas con funciones exponenciales y logarítmicas, teóricos o prácticos, utilizando su relación como funciones inversas y sus propiedades algebraicas, en un ambiente escolar que favorezca la reflexión sobre la utilidad de estos conocimientos y el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.
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Concepto de función exponencialNotación
• La función exponencial es una función real, no algebraica sino trascendente, cuya regla de correspondencia es:
f : R R
f (x) = ax
• Con a, x E R, a > 0, a 1
• De acuerdo con la definición de esta función, la base siempre es un número real positivo, pues cuando la base se eleva a cualquier exponente real, la potencia es un número real positivo; además, es diferente de 1 porque la unidad elevada a cualquier potencia real es 1 y si la base fuera un número real negativo, no se podría afirmar nada de su potencia, pues ésta podría dar lugar a tres situaciones: ser positiva si el exponente es par, negativa si el exponente es impar o quedar indefinida en los números reales para ciertos exponentes fraccionarios como x = ½.
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Función exponencial• Ejemplo:
Si a E [1, ∞], por ejemplo, a = 2, la función se expresa: f (x) = 2x.
Al calcular algunos valores de x se obtiene la tabla
x f (X ) = 2x (x, f (x))- 3 f (-3) = 2-3 = 1/23 = 1/8 (– 3, 1/8)
-2 f (-2) = 2-2 = 1/22 = 1/4 (– 2, 1/4)
-1 f (-1) = 2-1 = 1/21 = 1/2 (– 1, 1/2)
0 f (0) = 20 = 1 (0, 1)
1 f (1) = 21 = 2 (1, 2)
2 f (2) = 22 = 4 (2, 4)
3 f (3) = 23 = 8 (3, 8)
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Dominio y rango
• La función exponencial tiene como dominio lo números reales y como rango los números reales positivos.
• Esto es
D f = R.R f = R+
• También se puede observar que la gráfica es creciente y que pasa por el punto de coordenadas (0, 1), pues 20 = 1
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Número e
Caracterización e importancia• Hasta ahora, los valores utilizados para la base de la función
exponencial se han tomado de los intervalos definidos; sin embargo, tanto para fines teóricos como prácticos el número e se usa con mayor frecuencia. El número e se obtiene en cálculo como límite de (1 + 1/x)x cuando x → +∞. A medida que x aumenta sin límite, el valor de (1 + 1/x)x tiende a un valor finito que es el número irracional e, el cual es aproximadamente igual (≐) a 2.7182818
e ≐ 2.7182818• El valor aproximado de ex se puede obtener utilizando la expresión
(1 + 1/n)nx para valores de n suficientemente grandes, por medio de tablas o una calculadora científica.
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Función exponencial natural
• La función exponencial que tiene como base al número e se llama función exponencial natural y está definida por:
f (x) = ex
• Su dominio es el conjunto de los números reales y su rango el conjunto de los números reales positivos.
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Función logarítmica
La función logarítmica como inversa de la función exponencial• Sea f : R → R+ tal que f (x) = 2x.• Algunos de los pares ordenados que pertenecen a su gráfica aparecen en la tabla
siguiente:x f (X ) = 2x (x, f (x))- 3 f (-3) = 2-3 = 1/23 = 1/8 (– 3, 1/8)
-2 f (-2) = 2-2 = 1/22 = 1/4 (– 2, 1/4)
-1 f (-1) = 2-1 = 1/21 = 1/2 (– 1, 1/2)
0 f (0) = 20 = 1 (0, 1)
1 f (1) = 21 = 2 (1, 2)
2 f (2) = 22 = 4 (2, 4)
3 f (3) = 23 = 8 (3, 8)
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Función logarítmica (continúa)
• Con y = f (x) en f (x) = 2x se tiene y = 2x
• O bien: 2x = y.
• Que significa: log2 y = x.
• De tal manera que al sustituir a y con los valores de la tabla anterior, se tiene:
log2 1/8 = x ⇒ 2x = 1/8, 2x = 1/23, 2x = 2–3 ∴ x = –3
log2 1/4 = x ⇒ 2x = 1/4, 2x = 1/22, 2x = 2–2 ∴ x = –2
log2 1/2 = x ⇒ 2x = 1/2, 2x = 2–1 ∴ x = –1
log2 1 = x ⇒ 2x = 1, 2x = 2–0 ∴ x = 0
log2 2 = x ⇒ 2x = 2, 2x = 21 ∴ x = 1
log2 4 = x ⇒ 2x = 22, 2x = 22 ∴ x = 2
log2 8 = x ⇒ 2x = 8, 2x = 23 ∴ x = 3
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• Entonces la tabla de log2 y = x queda así:
• En las tablas de f (x) = 2x y y = log2x se observa que los componentes de los pares ordenados correspondientes están invertidos, hecho que se puede observar en la gráfica, donde las representaciones geométricas respectivas son simétricas respecto a la función identidad. En consecuencia, las funciones exponencial y logarítmica son inversas una de otra.
Función logarítmica (continúa)
y log2 y = x (y, x)1/8 log2 1/8 = – 3 (1/8, –3)
¼ log2 ¼ = – 2 (1/4, – 2)
½ log2 ½ = – 1 (1/2, – 1)
1 log2 1 =0 (1, 0)
2 log2 2 = 1 (2, 1)
4 log2 4 = 2 (4, 2)
8 log2 8 = 3 (8, 3)
f (x
) =
2x
y = log 2x
f (x)
= x
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Bibliografía
• Francisco J. Ortíz Campos. Matemáticas IV. Editorial: Publicaciones cultural, 2006.