Guion video tutorial

1. Tema y saludo

Cordial saludo apreciado video escucha.

Selección y análisis de una cercha tipo Howe

En el presente video tutorial se tratara como temática principal la selección y análisis de una estructura tipo cercha usada para cubierta a la cual se le hallaran las cargas, fuerzas internas, esfuerzos de tracción y comprensión en cada una de las barras mediante el método de los nodos. De igual manera se hará una verificación de los perfiles seleccionados aplicando el factor de seguridad para la estructura elegida.

2. Objetivo del video tutorial.

Es presente video tutorial tiene como objetivo de que usted este en la capacidad de hacer la selección y análisis de fuerzas así como la verificación de perfiles que permitan reemplazar cualquier tipo de cercha en la que se desee trabajar

3. Contenido del video tutorial- Selección de la cercha y cálculo de longitudes de las barras.

Para comenzar se hace la selección de la cercha y se determina las carga en los nodos.

Se comienza por hacer la elegir la cercha y por enumerar con letras mayúsculas cada una de las uniones o nodos como se aprecia en la imagen.

Luego de haber hecho este paso se procede a determinar el área a cubrir de acuerdo a las dimensiones que se muestran a continuación:

De acuerdo a la imagen se tiene que la longitud frontal es de 6 metros y para determinar la altura de la cercha se hace uso de la fórmula:

En donde L es la longitud sobre dos por el ángulo de teta.

Al reemplazar en la expresión anterior se tiene:

El ángulo de treinta grados sale de la angulación de la cercha seleccionada.

Como en la cercha se tienen cuatro espacios lo que se hace es dividir los seis metros de la longitud total en estos espacios, lo cual quedaría de la siguiente manera en la estructura:

Luego se procede a obtener los siguientes valores que serán utilizados más adelante en el ejercicio:

Límite de la cuerda inferior.

Este valor corresponde a los seis metros obtenidos anteriormente.

Límite de la cuerda superior.

Para hallar este límite se hace necesario hacer uso de la expresión:

Al reemplazar se obtiene el siguiente resultado:

Ya con estos datos se continúa por hacer el cálculo de la longitud de las barras que aún no se conocen, ya que estos valores serán primordiales para obtener las cargas de la cercha.

Para obtener las longitudes se deben agrupar los nodos correspondientes ya sea superiores, inferiores o del medio como se aprecia en la imagen a continuación:

En la primer fila se ve que están todos los nodos de la cuerda superior en donde se divide el número total de la longitud de todo el límite superior entre cuatro que son las barras representadas por los nodos agrupados en parejas; para lo cual se obtiene un resultado de 1.73 m que sería el valor correspondiente de estas barras. Así sucesivamente se hace para las demás.

Para el resultado de los nodos BH y DF lo que se hace es que se toma lo que mide la barra en cada esquina y se multiplica por la angulación; este resultado es el mismo para ambos extremos, debido a que miden lo mismo.

Las barras BG, CG y DG tienen una longitud de 1.73 m porque si se observa la cercha estas miden lo mismo que las barras superiores por estar contrapuestas.

Al obtener estos valores se pasan a una tabla y se suma el total de los valores, con el objetivo de no confundirse al utilizarlos más adelante:

Para poder obtener las cargas vivas y muertas es necesario identificar el área de influencia (Ac) de una de las cerchas, lo cual se hace con la siguiente expresión:

S es la distancia que se deja de una cercha a la otra y esta se estima de acuerdo a voluntad del diseñador.

El área de influencia para el ejercicio seria de:

El siguiente paso es seleccionar el perfil que será usado en la cercha, el cual debe ser resistente y de un material que no ceda ante fuerzas mayores.

Los diferentes perfiles ya están prediseñados y contenidos en una tabla para hacer más fácil su uso:

Para el ejercicio se selecciona el perfil de ángulo L51 x 51 x 3.2 hecho de acero.

Es necesario conocer la densidad del perfil a usar por lo que este dato se obtiene de la tabla de propiedades de perfiles laminados de acero de unidades SI:

De acuerdo a la anterior tabla la densidad del perfil seleccionado es de 2.4 Kg/m

Ya seleccionado el perfil ahora se procede a elegir las correas y la longitud de cada una.

Es conveniente usar correas en celosía hechas en varilla de acero con una densidad de 5 Kg/m.

Antes de hacer el cálculo de las cargas es necesario hacer la selección de las tejas que irán sobre la cercha, debido a que están también ejercen un peso y si se hace el cálculo sin haber seleccionado la teja puede que la estructura no resista este peso y se venga abajo.

Para la cercha se usaran tejas de eternit número 6 con las que se busca cubrir los 3.46m, de longitud de la cuerda superior más 0.2 metros de voladizo.

El valor 3.46 corresponde a la mitad de la cercha.

Ahora se procede a calcular el número de tejas requeridas así:

3,66 m / 1,69 m = 2,2

Para cubrir los 2.5 m del ancho de influencia de la cercha se requieren 2.3 tejas.

Este valor se obtiene de la expresión:

2,5 m/ 0,873m = 2,3

Los valores 1.69 y 0.873 son sacados de la tabla de especificaciones de las tejas eternit:

En total para la cercha se necesitan 10.12 tejas cada una con un peso de 20.48 kg de acuerdo a la tabla anterior.

El número de correas a usar será de tres, separadas por 1.3 m una de la otra, para un total de7 correas para ambas pendientes.

Al multiplicar 7 x 2.5m de ancho del área se obtienen 17.5 metros de correas por cercha.

Para que las cargas de la cercha queden correctamente halladas es necesario conocer los factores externos como la velocidad del viento en donde esta será colocada; por lo que se tiene que la velocidad promedio en Cali es de 11 km/s o 3.06m/s y la máxima es de 18.5 km/h o 5.14 m/s.

Es de aclarar que los valores anteriores son tomados como ejemplo y que a la hora de hacer el análisis de su cercha pueden tomar cualquier valor correspondiente a otro lugar.

Ya con la información calculada anteriormente se pueden obtener las cargas en cada uno de los nodos de la estructura.

Se comienza por obtener las cargas vivas, lo cual se hace multiplicando el peso de la cercha por el área de influencia y por la gravedad:

CV = 70 Kg/m2 x 17, 3 m2 x 9,81 m/s2 = 11.879,9 N

Luego de obtener las cargas vivas se continúa con el cálculo de las cargas muertas de la siguiente manera:

- Primero se calcula el peso de la cercha

Se hace la sumatoria de la longitud de cada una de las barras por la densidad lineal del perfil escogido y esto se multiplica con la gravedad.

Cm = 19,85 m x 2,4 kg/m x 9,81 m/s2 = 467,3 N

- Luego se calcula el peso de las correas:

Se suma la longitud de las correas y esto se multiplica por la densidad lineal de la celosía junto con la gravedad:

= 17,5 m x 5 kg/m x 9,81 m/s2 = 858,4 N

- Peso de las tejas:

Para hallar este valor se toma el número de tejas en el área de influencia multiplicado por el peso de cada teja:

= 10,12 x 20,48 kg x 9,81 m/s2 = 2.033,2 N

- Cargas del viento

Se multiplica la presión y densidad del viento (con Pd = (1/2) ρ v2 ) por el área de influencia de la cercha

= (1/2)(1,2 kg/m2 ) (5,14 m/s)2,(17,3 m2 ) = 15,9 N/m2x 17,3 m2 = 274,2 N

Luego de tener estos valores se hace la sumatoria de los resultados para obtener el valor de la carga muerta:

CM = 467,3 N + 858,4 N + 2.033,2 N + 274,2 N = 3.633,1 N

Después de obtener las cargas vivas y muertas se obtiene la carga total que es la suma de estas dos:

CT = 3.633,1 N + 9.749,4 N = 15.512,2 N o 16 kN

Ahora se procede hacer la distribución de las cargas en la cercha de la siguiente manera:

Se dividen los 16 KN entre cinco menos uno para obtener un resultado de 4000 KN por nodo y con extremos de 2000 KN

W = 16 kN / (5-1) = 16,0 kN/4 = 4 KN

Después de obtener las cargas en cada una de las uniones es posible obtener las fuerzas internas de la estructura mediante el método de nodos.

El método de los nodos determina las fuerzas externas que actúan sobre la estructura y permite analizar las fuerzas internas que mantiene unidas las barras de la estructura entre sí.

A la imagen anterior se adicionan los apoyos en los extremos uno fijo y otro con movimiento:

Luego se sacan los ángulos con la horizontal de las barras que presentan inclinación.

Existen casos que en algunas cerchas es más complejo hacerlo por este medio y como alternativa se puede realizar mediante la ley de los ángulos. Es necesario tener en cuenta que cada triangulo pequeño debe sumar 180° en el total de sus puntas.

Al haber hecho la aclaración anterior se continua por determinar las barras que presentan inclinación, las cuales son: AB, BC, CD, DE, BG y DG con pendiente de 30° cada una.

En la siguiente imagen se muestra como debe quedar la cercha con cada uno de los ángulos en cada barra.

Es conveniente que se considere la cercha como un elemento rígido, con el objetivo de poder hallar las reacciones en los apoyos.

Luego de esto se cambian los apoyos por las reacciones Ay y Ey.

Mediante las ecuaciones de equilibrio se calcula el valor de los extremos de la cercha que ejercen comprensión:

(1) ΣFx = 0:

Ax = 0

(2) ΣFy = 0:

Ay + Ey = 16.000 N

(3) ΣMA = 0:

Lo que se hace es multiplicar los valores superiores de la cercha con signo contrario entre la longitud de la cerca disminuyendo las secciones como se muestra a continuación:

Ey (6 m) – 2.000 N (6 m) – 4.000 N (4,5 m) – 4.000 N(3 m) – 4.000 N(1,5 m) = 0

Solución del sistema de ecuaciones de equilibrio:

Se despeja Ey de (3):

Ey = 48.000 N.m/6 m = 8.000 kN

Se reemplaza Ey en (2) para obtener Ay:

Ay = 16.000 N – 8.000 N = 8.000 N

De esta manera las reacciones son: Ax = 0, Ay = Ey = 8.000 N

Después de tener el valor de los extremos se dibuja la cercha con todas las fuerzas y se coloca a un lado el seno y coseno, los cuales sirven para designar la dirección de cada una de las barras inclinadas.

Para disminuir el error es prudente colocar los valores con mínimo tres cifras a la derecha, con el objetivo de disminuir el error.

Hasta el momento la estructura debe estar así:

Ahora se procede hacer el cálculo de cada uno de los nodos, teniendo en cuenta comenzar por un nodo que tenga solo dos barras en su unión.

En este caso se inicia por el nodo A.

Se hace uso de las ecuaciones de equilibrio en la solución de cada nodo, así como del método de reducción.

A continuación se presentan los cálculos de cada nodo mediante imágenes que permiten evidenciar por deducción el proceso de desarrollo de cada uno:

Como se muestra en las imágenes es conveniente hacer los diagramas de cuerpo libre, con el objetivo de que se tenga un mayor entendimiento de los que se está llevando a cabo y así evitar confusiones.

Luego de haber realizado los cálculos de cada nodo se construye una tabla que contenga cada uno de los resultados; en donde se mencione si las fuerzas son de tracción o comprensión.

Para saber si una fuerza es de comprensión esta debe ser de signo negativo, debido a que la fuerza entra a la estructura. En cambio cuando es de tracción esta es positiva porque la fuerza sale de la cercha.

Como ya se han calculado los esfuerzos que actúan en cada una de las barras, es posible verificar si el perfil (L51x51x3,2) elegido al principio del ejercicio resistirá el esfuerzo que ejerce cada barra.

A continuación se realiza una nueva tabla con los datos anteriores en donde contenga lo siguiente:

El perfil seleccionado para la cercha fue:

Al tener calculadas y clasificadas las fuerzas de tracción y comprensión de la cercha; se procede a verificar si el perfil seleccionado (L51 x 51 x 3.2) soporta el esfuerzo de las barras en tracción.

Esta verificación se hace bajo un factor de seguridad mínimo admisible:

Para obtener este factor se hace uso de la fórmula:

FA

= σuF .S

<σy endonde F .S>( σuσy

)

Esta fórmula permite hacer el cálculo del factor de seguridad mínimo para el material.

Para este caso el material que se elige es el acero estructural laminado por ser, homogéneo, fiable, dúctil, incombustible y resistente a la corrosión.

Los datos del acero estructural son:

σu=400

σy=250

Aplicando la fórmula anterior se tiene:

F.S. > (400MPa / 250MPa)=1.6

Para que la selección se cumpla el factor de seguridad debe ser mayor o igual a 4.

Ahora con la siguiente formula se calcula el factor de seguridad de diseño para la cercha únicamente para los elementos en tracción:

Luego se tiene lo siguiente:

F . S=(σuσ )>3Lo que quiere decir esta expresión es que el factor de seguridad debe ser mayor que tres; en caso de que no lo sea se debe redimensionar el elemento.

Datos:

σ u=400

σ=esfuerzo decadabarra

F.S. = 400/ 36.6 =10.9

Para que se rompa la cercha bajo tracción primero la carga puede incrementarse 12.1 veces antes de que las barras AH, GH, FG, y EF se rompan.

Como se propuso que el factor de seguridad debía ser mayor de cuatro y se tiene en la barras un valor de 10.9; se puede afirmar que la selección hecha es favorable, debido a que no está por debajo del límite y tampoco muy por encima, lo cual puede dar lugar a un sobredimensionamiento y por ende un sobre costo en material.

Luego se procede hacer la verificación de las barras en comprensión de la siguiente manera:

Se define el factor de seguridad con la expresión

Luego se hace uso de la formula , pero para poder aplicarla al ejercicio es necesario encontrar el valor de “I”, el cual corresponde al valor mínimo de Ix e Iy. Este se calcula con el área de la sección transversal compuesta por dos ángulos (L51 x 51 x 3.2) y con la fórmula:

x=∑ Ai x i∑ Ai

y y=∑ Ai y i∑ Ai

Los momentos de inercia se obtienen aplicando el teorema de los ejes paralelos:

IxComp=∑ Ix i+A id i2 ¿¿ y IyComp=∑ Iyi+A id i

2¿¿

Se comienza obteniendo el centroide del area compuesta con ayuda del apendice C asi:

Perfil L51 x 51 x 3.2

Componente Ai (mm2) x (mm)  y (mm) Ai x i(mm3)  Ai y i(mm3)

Angulo

Derecho 316 13.9 13.9  4.392.4  4392,2Izquierdo  316 -13.9  13.9 -4.392.4  4392,2

Sumatoria 632 0 13.8

Reemplazando en las formulas se obtiene:

x=∑ 4.392+(−4.392 )632

=0

y=∑ 8,784632

=13.8

Las coordenadas del centroide del área compuesta son:

(0, 13.8 mm)

Después de tener los resultados del centroide compuesto se procede hacer el cálculo de los momentos de inercia centroidales del área.

Se hace apoyo de nuevo del apéndice C de donde se toma el valor correspondiente del momento de inercia del perfil simple.

IX = Iy = 0.0806 x 106 mm4

Como lo que se busca es agrega este valor a la fórmula de la carga crítica, entonces se pasa el valor a metros mediante conversión:

IX = Iy = 0.0806 x 106 mm4 * (1m)4 / (103 mm)4 = 80.6 x 10-9 m4

Luego de obtener el resultado en metros se aplica el teorema de los ejes.

IxCOMP=∑ ( I x i+Aid i2 )

Reemplazando en la fórmula:

IxCOMP=[(80.6 x 10−9m4+(316 x 10−6m2) (0.0138m )2+(80.6 x10−9m4 )+0 ) ]=221.3 x10−9m4

IyCOMP=∑ ( I y i+A id i2 )

Reemplazando:

IyCOMP=[ (200 x10−9m4 )+0+(80.6 x 10−9m4 )+0 ]=159.1 x 10−3m4

Se toma el valor menor (80.6 x 10-9 m4)

Después de obtener todos los datos necesarios se procede a reemplazar en la fórmula:

Ahora se procede a calcular la carga critica y el factor de seguridad, los cuales se muestran en la siguiente tabla:

Al analizar los datos encontrados se deduce que para que la cercha falle por estabilidad la carga debe ser mayor 4.4 veces para que la barra BG Y DG se pandeen. En este caso se considera que las barras están bastante por encima del factor de seguridad.

Como resultado del ejercicio se tiene que el perfil seleccionado (L51 x 51 x 3.2) cumple con los factores de seguridad para las barras en tracción y comprensión, lo cual lo hace idóneo para usar en la estructura.

Con la aplicación de este ejercicio se demuestra que la estática y resistencia de materiales es idónea a la hora de hacer el análisis de una estructura, ya que es posible identificar las posibles fallas de esta al ejercer una mayor fuerza en una de sus uniones o nodos, lo cual puede dar como resultado que esta se desplome y genere perdidas económicas.