BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM

KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

NGUYỄN DƯƠNG NGUYỄN

CÁC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP

NEWTON-KANTOROVICH VÀ ĐIỂM GẦN

KỀ CHO PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ

KHÔNG CHỈNH PHI TUYẾN ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 9 46 01 12

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1. GS. TS. Nguyễn Bường

2. PGS. TS. Đỗ Văn Lưu

HÀ NỘI - NĂM 2018

ii

LỜI CAM ĐOAN

Các kết quả trình bày trong luận án là công trình nghiên cứu của tôi,

được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TS. Nguyễn Bường và PGS.

TS. Đỗ Văn Lưu. Các kết quả trình bày trong luận án là mới và chưa từng

được công bố trong các công trình của người khác.

Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan của mình.

Tác giả luận án

Nguyễn Dương Nguyễn

iii

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được hoàn thành tại Học viện Khoa học và Công nghệ,

Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam dưới sự hướng dẫn tận

tình của GS. TS. Nguyễn Bường và PGS. TS. Đỗ Văn Lưu. Tác giả xin

bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy.

Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn tới Ban lãnh đạo, các thầy cô cùng

toàn thể cán bộ, công nhân viên thuộc Viện Công nghệ thông tin, Học

viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt

Nam đã tạo mọi điều kiện tốt nhất, giúp đỡ tác giả trong quá trình học

tập và nghiên cứu.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô trong Khoa

Cơ bản, trường Đại học Ngoại thương, nơi tác giả đang công tác, đã tạo

mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận án.

Tác giả xin cảm ơn các anh chị em nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán

ứng dụng, bạn bè đồng nghiệp đã có những trao đổi về kiến thức và đóng

góp những ý kiến quý báu cho tác giả trong suốt quá trình học tập, seminar,

nghiên cứu và hoàn thành luận án.

Tác giả xin kính tặng những người thân yêu trong gia đình của mình,

những người đã luôn động viên, chia sẻ và khích lệ để tác giả có thể hoàn

thành công việc học tập và nghiên cứu của mình, niềm vinh hạnh to lớn

này.

Tác giả

Mục lục

Trang bìa phụ i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Mục lục iv

Một số ký hiệu và viết tắt vi

Mở đầu 1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 9

1.1. Không gian Banach và các vấn đề liên quan . . . . . . . . . 9

1.1.1. Một số tính chất trong không gian Banach . . . . . . 9

1.1.2. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh 20

1.2. Phương pháp Newton-Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3. Phương pháp điểm gần kề và một số cải biên . . . . . . . . . 24

1.3.1. Phương pháp điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.2. Một số cải biên của phương pháp điểm gần kề . . . . 26

Chương 2. Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich

cho phương trình phi tuyến với toán tử loại đơn điệu 32

2.1. Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi

tuyến với toán tử đơn điệu trong không gian Banach . . . . 32

2.2. Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi

tuyến với toán tử J-đơn điệu trong không gian Banach . . . 44

2.3. Ví dụ số về xấp xỉ hữu hạn chiều cho phương pháp hiệu

chỉnh lặp Newton-Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

v

Chương 3. Phương pháp lặp tìm không điểm của ánh xạ đơn

điệu cực đại trong không gian Hilbert 64

3.1. Bài toán tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại . . . . 64

3.2. Các cải biên của phương pháp điểm gần kề với dãy tham số

của toán tử giải khả tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Kết luận chung 83

Kiến nghị hướng nghiên cứu tiếp theo 84

Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án 85

Tài liệu tham khảo 86

Một số ký hiệu và viết tắt

Rn không gian Euclide n-chiều

H không gian Hilbert

E∗ không gian đối ngẫu của không gian Banach E

θE phần tử không của không gian E

2E tập tất cả các tập con của không gian E

〈x, x∗〉 giá trị của phần tử x∗ ∈ E∗ tại x ∈ E

R tập hợp các số thực

∅ tập rỗng

A\B hiệu của tập hợp A và tập hợp B

inf M cận dưới đúng của tập hợp số M

supM cận trên đúng của tập hợp số M

S1(0) mặt cầu đơn vị trong không gian E

BE hình cầu đơn vị trong không gian E

Br(x0) hình cầu tâm x0 và bán kính r

∀x với mọi x

D(A) miền xác định của ánh xạ A

R(A) miền ảnh của ánh xạ A

A−1 ánh xạ ngược của ánh xạ A

A∗ ánh xạ liên hợp của ánh xạ A

I ánh xạ đơn vị

Jk toán tử giải của ánh xạ A với tham số rk

ZerA tập không điểm của ánh xạ A

Lp(Ω) không gian các hàm khả tích bậc p trên Ω (1 < p <∞)

lp không gian các dãy số khả tổng bậc p (1 < p <∞)

vii

l1 không gian các dãy số khả tổng bậc 1

l∞ không gian các dãy số bị chặn

Wmp (Ω) không gian Sobolev

lim supn→∞

xn giới hạn trên của dãy số xn

lim infn→∞

xn giới hạn dưới của dãy số xn

αn α0 dãy số thực αn hội tụ giảm về α0

xn → x dãy xn hội tụ mạnh đến x

xn x dãy xn hội tụ yếu đến x

Js ánh xạ đối ngẫu tổng quát

J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị

Fix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T

M bao đóng của tập hợp M

ρE mêtric của không gian mêtric E

int(C) phần trong của tập hợp C

∂mx(t)

∂tα11 ∂t

α22 · · · ∂t

αnn

đạo hàm riêng cấp m của hàm x(t), với t = (t1, t2, ..., tn)

Dom(f) miền hữu hiệu của f

PC phép chiếu mêtric lên tập hợp C

∂f dưới vi phân của phiếm hàm lồi f

arg min f tập tất cả các điểm cực tiểu (toàn cục) của phiếm hàm f

A×B tích đề các của hai tập hợp A và B

A ≡ B A trùng B

x ≈ y x xấp xỉ y

Mở đầu

Nhiều vấn đề trong trong khoa học, công nghệ, kinh tế và sinh thái như

quá trình xử lý ảnh, chụp cắt lớp vi tính, chụp cắt lớp địa chấn trong địa

chất công trình, đo sâu bằng âm thanh trong xấp xỉ sóng, bài toán quy

hoạch tuyến tính dẫn đến việc giải các bài toán dạng phương trình toán

tử sau (xem [15, 67, 68]):

A(x) = f, (0.1)

trong đó A là một toán tử (ánh xạ) từ không gian mêtric E vào không

gian mêtric E và f ∈ E. Tuy nhiên, tồn tại một lớp bài toán trong số các

bài toán này mà nghiệm của chúng không ổn định theo dữ kiện ban đầu,

tức là một thay đổi nhỏ của các dữ kiện có thể dẫn đến sự sai khác rất lớn

của nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở nên vô nghiệm hoặc vô định.

Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh. Do các số liệu thường

được thu thập bằng thực nghiệm (đo đạc, quan trắc ...) và sau đó lại được

xử lý trên máy tính nên chúng không tránh khỏi sai số. Vì vậy, yêu cầu đặt

ra là phải có những phương pháp giải các bài toán đặt không chỉnh sao

cho khi sai số của dữ liệu càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần

với nghiệm đúng của bài toán xuất phát. Những người có công đặt nền

móng cho lý thuyết bài toán đặt không chỉnh là V.K. Ivanov [50], M.M.

Lavrent’ev [57], J.L. Lions [102], A.N. Tikhonov [83, 84], ... Do tầm quan

trọng đặc biệt của lý thuyết này mà nhiều nhà toán học đã dành phần lớn

thời gian và công sức của mình cho việc nghiên cứu các phương pháp giải

bài toán đặt không chỉnh, điển hình là Ya.I. Alber [9], A.B. Bakushinskii

[15, 16], J. Baumeister [19], H.W. Engl [40, 41], V.B. Glasko [42], A.V.

Goncharskii [15], R. Gorenflo [10, 44], C.W. Groetsch [40, 45], M. Hanke

[41, 47], B. Hoffmann [49, 98], A.K. Louis [99], V.A. Morozov [63, 64],

M.Z. Nashed [66], F. Natterer [67, 68], A. Neubauer [41], G.M. Vainikko

[88], F.P. Vasil’ev [89, 90], ... Một số nhà toán học Việt Nam cũng đi sâu

2

nghiên cứu và có nhiều đóng góp cho lý thuyết cũng như ứng dụng các bài

toán đặt không chỉnh như Đ.Đ. Áng [10], P.K. Anh [1], Ng. Bường [1, 2],

Đ.Đ. Trọng [10], v.v ... hoặc có công trình liên quan đến lý thuyết trên

như Ng.M. Chương [36], Đ.N. Hào [48, 87], T.Đ. Vân [87], ...

Nếu E là không gian Banach với chuẩn ‖.‖ thì trong một số trường hợp

của ánh xạ A, bài toán (0.1) có thể hiệu chỉnh bằng phương pháp cực tiểu

phiếm hàm làm trơn Tikhonov:

F δα(x) = ‖A(x)− fδ‖2 + α‖x− x+‖2, (0.2)

cùng với việc chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ) > 0 thích hợp, ở đây fδ

là xấp xỉ của f thỏa mãn

‖fδ − f‖ ≤ δ 0, (0.3)

và x+ là phần tử được chọn trong E nhằm giúp cho ta tìm một nghiệm

của (0.1) theo ý muốn. Chính vì lí do đó mà x+ được gọi là phần tử dự

đoán. Nếu A là một ánh xạ phi tuyến thì phiếm hàm F δα(x) nói chung là

không lồi. Do đó, không thể áp dụng những kết quả đã đạt được trong việc

cực tiểu phiếm hàm lồi để tìm thành phần cực tiểu của F δα(x). Điều đó

dẫn đến việc cực tiểu và rời rạc hóa (0.2) là rất phức tạp. Vì vậy, để giải

bài toán (0.1) với A là một ánh xạ phi tuyến đơn điệu, người ta đã đưa

ra một dạng mới của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, có tên là phương

pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov. Tư tưởng của phương pháp này do

F.E. Browder [24] đưa ra vào năm 1966 để tìm nghiệm của bài toán bất

đẳng thức biến phân, trong đó sử dụng ánh xạ M làm thành phần hiệu

chỉnh, với M có các tính chất như đơn điệu, hemi-liên tục, giới nội và thỏa

mãn điều kiện bức. Cụ thể, cho T : E −→ E∗ là một ánh xạ phi tuyến đơn

điệu và cho f : E −→ (−∞,+∞] là một phiếm hàm lồi, chính thường và

nửa liên tục dưới. Với mỗi phần tử ω ∈ E∗, xét bài toán bất đẳng thức

biến phân:

Tìm phần tử u0 ∈ D(T ) sao cho

〈T (u0)− ω, v − u0〉 ≥ f(u0)− f(v), v ∈ E. (0.4)

Kí hiệu tập nghiệm của bài toán (0.4) tương ứng với phần tử ω là Aω.

Thay cho việc giải bất đẳng thức biến phân (0.4), F.E. Browder đã xét

3

bất đẳng thức biến phân sau:

〈Tα(uα)− ωα, v − uα〉 ≥ f(uα)− f(v), v ∈ E, (0.5)

trong đó α > 0, Tα = T + αM và ωα = ω + αv0, với v0 là phần tử bất

kỳ trong E∗. Ông đã chỉ ra với mỗi α > 0, bất đẳng thức biến phân (0.5)

có duy nhất một nghiệm uα và dãy nghiệm uα hội tụ mạnh về phần tử

u0 ∈ Aω khi α → 0, với u0 là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến

phân:

〈Mu0 − v0, v − u0〉 ≥ 0, v ∈ Aω.

Nếu E là không gian Banach phản xạ và không gian đối ngẫu E∗ là

không gian lồi chặt thì ánh xạ đối ngẫu tổng quát Js của E có tính chất

như ánh xạ M nêu ở trên (xem [9]). Năm 1975, dựa trên tư tưởng phương

pháp hiệu chỉnh của F.E. Browder và tính chất của ánh xạ đối ngẫu Js,

Ya.I. Alber (xem [1, 7, 9]) đã xây dựng phương pháp hiệu chỉnh Browder-

Tikhonov để giải bài toán (0.1) khi A là ánh xạ phi tuyến đơn điệu như

sau:

A(x) + αJs(x− x+) = fδ. (0.6)

Năm 2016, Ng. Bường, T.T. Hương và Ng.T.T. Thủy [32] đã phát triển

phương pháp (0.6) để đưa ra phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình

toán tử

Ai(x) = fi, i = 0, 1, ..., N, (0.7)

ở đây N là số nguyên dương cố định, fi ∈ E∗ và Ai : E → E∗ là ánh xạ

đơn điệu trên không gian Banach E, i = 0, 1, ..., N .

Ta thấy, trong trường hợp E không phải là không gian Hilbert thì Js

là ánh xạ phi tuyến và do đó, (0.6) là bài toán phi tuyến, ngay cả khi

A là ánh xạ tuyến tính. Đây là lớp bài toán khó giải trong thực tế. Hơn

nữa, một vài thông tin của nghiệm chính xác, ví dụ như độ trơn, có thể

sẽ không được giữ nguyên trong nghiệm hiệu chỉnh vì ánh xạ Js xác định

trên toàn không gian nên ta không thể biết được nghiệm hiệu chỉnh nằm

đâu trong E. Vì vậy, vào năm 1991, Ng. Bường (xem [2, 28]) đã cải tiến

phương pháp (0.6) bằng cách thay ánh xạ Js bằng ánh xạ tuyến tính và

đơn điệu mạnh B để đưa ra phương pháp sau:

A(x) + αB(x− x+) = fδ. (0.8)

4

Rõ ràng, nếu A là một ánh xạ tuyến tính thì (0.8) là bài toán tuyến

tính. Ngoài ra, phương pháp (0.8) còn có ưu điểm là nếu biết được một số

thông tin về nghiệm chính xác thì ta có thể xây dựng ánh xạ B sao cho

nghiệm hiệu chỉnh vẫn giữ nguyên được tính chất đó.

Trường hợp E ≡ H là không gian Hilbert thì phương pháp (0.6) có

dạng đơn giản nhất với s = 2. Khi đó, ánh xạ đối ngẫu J2 ≡ I là ánh xạ

đơn vị trong E và phương pháp (0.6) trở thành:

A(x) + α(x− x+) = fδ. (0.9)

Lý thuyết về ánh xạ J-đơn điệu trong không gian Banach là một hướng

mở rộng của lý thuyết ánh xạ đơn điệu trong không gian Hilbert. Bài toán

(0.1) với A là ánh xạ J-đơn điệu trong không gian Banach có mối liên hệ

chặt chẽ với bài toán điểm bất động, phương trình tiến hóa và bất đẳng

thức đồng biến phân (xem [8]). Ngoài ra, lớp bài toán này còn đóng một

vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng trong

không gian Lp và Wmp (xem [56, 59, 78, 79]). Năm 2006, Ya.I. Alber và I.P.

Ryazantseva [9] đã đưa ra sự hội tụ của phương pháp (0.9) khi A là một

ánh xạ J-đơn điệu trong không gian Banach E dưới điều kiện ánh xạ đối

ngẫu chuẩn tắc J của E liên tục yếu theo dãy. Rất tiếc là lớp không gian

Banach vô hạn chiều có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy là

quá nhỏ (chỉ có không gian lp). Năm 2013, Ng. Bường và Ng.T.H. Phương

[33] đã chứng minh được sự hội tụ của phương pháp (0.9) mà không đòi

hỏi tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J . Dựa vào

phương pháp (0.9), vào năm 2014, Ng. Bường và Ng.Đ. Dũng [30] đã xây

dựng phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử (0.7) trong

trường hợp fi ∈ E, A0 là ánh xạ J-đơn điệu và Ai là ánh xạ ngược J-đơn

điệu mạnh trên không gian Banach E, i = 1, 2, ..., N .

Tuy nhiên, ta thấy, nếu A là ánh xạ phi tuyến thì (0.6), (0.8) và (0.9)

là các bài toán phi tuyến. Chính vì lí do đó, một phương pháp ổn định

khác để giải bài toán (0.1), có tên là phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-

Kantorovich đã được quan tâm nghiên cứu. Phương pháp này được đề

xuất bởi A.B. Bakushinskii [14] vào năm 1976 để giải bài toán bất đẳng

thức biến phân với ánh xạ phi tuyến đơn điệu. Đây là phương pháp hiệu

chỉnh được xây dựng dựa trên phương pháp nổi tiếng trong giải tích số là

5

phương pháp Newton-Kantorovich. Năm 1987, dựa trên cơ sở phương pháp

của A.B. Bakushinskii, để tìm nghiệm của bài toán (0.1) trong trường hợp

A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào không gian đối ngẫu

E∗, khi thay cho f ta chỉ biết xấp xỉ của nó là fδn thỏa mãn (0.3) với δ

được thay thế bởi δn, I.P. Ryazantseva (xem [9, 77]) đã đưa ra phương

pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich:

A(zn) + A′(zn)(zn+1 − zn) + αnJs(zn+1) = fδn. (0.10)

Tuy nhiên, do phương pháp (0.10) sử dụng ánh xạ đối ngẫu Js làm thành

phần hiệu chỉnh nên nó có những hạn chế giống như phương pháp hiệu

chỉnh Browder-Tikhonov (0.6). Trường hợp A là ánh xạ J-đơn điệu trên

không gian Banach E, để tìm nghiệm của bài toán (0.1), cũng dựa trên tư

tưởng của phương pháp của A.B. Bakushinskii, năm 2005, Ng. Bường và

V.Q. Hùng [31] đã nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh lặp

Newton-Kantorovich sau:

A(zn) + A′(zn)(zn+1 − zn) + αn(zn+1 − x+) = fδ, (0.11)

dưới các điều kiện

‖A(x)− A(x∗)− J∗A′(x∗)∗J(x− x∗)‖ ≤ τ‖A(x)− A(x∗)‖, ∀x ∈ E(0.12)

và

A′(x∗)v = x+ − x∗, (0.13)

ở đây τ > 0, x∗ là nghiệm của bài toán (0.1), A′(x∗) là đạo hàm Fréchet

của ánh xạ A tại x∗, J∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E∗ và v là phần

tử nào đó trong E. Ta thấy, các điều kiện (0.12) và (0.13) sử dụng đạo hàm

Fréchet của ánh xạ A tại nghiệm chưa biết x∗ nên chúng là hết sức chặt

chẽ. Năm 2007, A.B. Bakushinskii và A. Smirnova [17] đã chứng minh sự

hội tụ của phương pháp (0.11) đến nghiệm của bài toán (0.1) khi A là ánh

xạ đơn điệu từ không gian Hilbert H vào H (trong không gian Hilbert,

khái niệm J-đơn điệu trùng với khái niệm đơn điệu) dưới điều kiện là

‖A′(x)‖ ≤ 1, ‖A′(x)− A′(y)‖ ≤ L‖x− y‖, ∀x, y ∈ H,L > 0. (0.14)

6

Nội dung thứ nhất của luận án này trình bày các kết quả mới về phương

pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với

toán tử loại đơn điệu (đơn điệu và J-đơn điệu) trong không gian Banach

mà chúng tôi đạt được, trong đó đã khắc phục được các hạn chế của các

kết quả đã nêu ở trên.

Tiếp theo, ta xét bài toán:

Tìm phần tử p∗ ∈ H sao cho 0 ∈ A(p∗), (0.15)

trong đó H là không gian Hilbert, A : H → 2H là ánh xạ đa trị và đơn điệu

cực đại. Phần tử p∗ được gọi là một không điểm của ánh xạ A. Ta đã biết,

nếu f : H → (−∞,+∞] là phiếm hàm lồi, chính thường và nửa liên tục

dưới thì dưới vi phân ∂f là một ánh xạ đơn điệu cực đại trên H. Khi đó,

bài toán tìm một cực tiểu của f tương đương với bài toán tìm một không

điểm của ∂f . Ngoài ra, trong thực tế, có nhiều bài toán có thể đưa về bài

toán tìm không điểm của một ánh xạ đơn điệu cực đại như phương trình

tiến hóa (xem [46]), bài toán bất đẳng thức biến phân (xem [61, 76]), bài

toán điểm yên ngựa lồi-lõm (xem [74]), bài toán quy hoạch lồi (xem [75]).

Một trong những phương pháp đầu tiên để tìm nghiệm của bài toán

(0.15) phải kể đến phương pháp điểm gần kề do B. Martinet [103] giới

thiệu vào năm 1970 để tìm cực tiểu của một phiếm hàm lồi và được tổng

quát hóa bởi R.T. Rockafellar [74] vào năm 1976 như sau:

xk+1 = Jkxk + ek, k ≥ 1, (0.16)

trong đó Jk = (I + rkA)−1 được gọi là toán tử giải của A với tham số

rk > 0, ở đây ek là vectơ sai số và I là ánh xạ đơn vị trên H. Vì A là ánh

xạ đơn điệu cực đại nên Jk là ánh xạ đơn trị (xem [91]). Do vậy, ưu điểm

nổi bật của phương pháp điểm gần kề là đã đưa bài toán đa trị về bài

toán đơn trị để giải. R.T. Rockafellar đã chứng minh được rằng phương

pháp (0.16) hội tụ yếu tới một không điểm của ánh xạ A dưới giả thiết tập

không điểm của ánh xạ A khác rỗng,∑∞

k=1 ‖ek‖ < ∞ và rk ≥ ε > 0, với

mọi k ≥ 1. Bằng cách kết hợp giữa nguyên lý ánh xạ co Banach và phương

pháp điểm gần kề (0.16), P.N. Anh và các cộng sự đã đưa ra các phương

pháp mới để tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu

(xem [11, 12]). Năm 1991, O. Guler [46] đã chỉ ra rằng phương pháp điểm

7

gần kề (0.16) chỉ đạt được sự hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh trong không

gian vô hạn chiều. Với mục đích đạt được sự hội tụ mạnh, một số cải biên

của phương pháp điểm gần kề để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực

đại trong không gian Hilbert (xem [21, 22, 51, 58, 60, 82, 91, 95, 97]) cũng

như của ánh xạ J-đơn điệu trong không gian Banach (xem [35, 52, 71, 80])

đã được nghiên cứu. Sự hội tụ mạnh của tất cả các cải biên này đều được

đưa ra dưới các điều kiện dẫn tới dãy tham số của toán tử giải của ánh xạ

A không khả tổng, tức là∑∞

k=1 rk = +∞. Vì vậy, một câu hỏi đặt ra là: có

tồn tại một cải biên của phương pháp điểm gần kề mà sự hội tụ mạnh của

nó được đưa ra dưới điều kiện dãy tham số của toán tử giải là khả tổng,

tức là∑∞

k=1 rk < +∞? Để trả lời câu hỏi này, nội dung thứ hai của luận

án giới thiệu các cải biên mới của phương pháp điểm gần kề mà chúng tôi

đã đạt được để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không

gian Hilbert, trong đó sự hội tụ mạnh của các phương pháp được đưa ra

dưới giả thiết dãy tham số của toán tử giải là khả tổng.

Các kết quả thu được trong luận án là:

1) Đưa ra và chứng minh sự hội tụ mạnh của một cải biên mới của phương

pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich (0.10) của I.P. Ryazantseva để

giải bài toán (0.1) với A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào

không gian đối ngẫu E∗, trong đó đã khắc phục được các hạn chế như đã

nêu của phương pháp (0.10).

2) Đưa ra và chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh lặp

Newton-Kantorovich (0.11) để tìm nghiệm của bài toán (0.1) trong trường

hợp A là ánh xạ J-đơn điệu trên không gian Banach E với việc đã loại bỏ

được các điều kiện (0.12), (0.13), (0.14) và không đòi hỏi tính liên tục yếu

theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J .

3) Đưa ra hai cải biên mới của phương pháp điểm gần kề để tìm không

điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert, trong đó sự

hội tụ mạnh của các cải biên này được chúng tôi chứng minh dưới giả thiết

dãy tham số của toán tử giải là khả tổng.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án được bố

cục gồm ba chương như sau:

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

8

Chương này có tính chất bổ trợ, trình bày một số khái niệm và tính

chất trong không gian Banach, khái niệm về bài toán đặt không chỉnh

và phương pháp hiệu chỉnh. Chương này cũng trình bày phương pháp

Newton-Kantorovich và một số cải biên của phương pháp điểm gần kề để

tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert.

Chương 2. Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich

cho phương trình phi tuyến với toán tử loại đơn điệu

Chương này trình bày về phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-

Kantorovich để giải phương trình toán tử không chỉnh phi tuyến loại đơn

điệu trong không gian Banach, bao gồm: đưa ra các phương pháp và định

lí về sự hội tụ của các phương pháp này. Cuối chương đưa ra ví dụ số minh

họa cho kết quả nghiên cứu đạt được.

Chương 3. Phương pháp lặp tìm không điểm của ánh xạ đơn

điệu cực đại trong không gian Hilbert

Chương này trình bày các cải biên mới của phương pháp điểm gần kề

để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert,

bao gồm: giới thiệu các phương pháp cũng như các kết quả về sự hội tụ

của các phương pháp này. Một ví dụ số được đưa ra ở mục cuối của chương

này nhằm minh họa cho các kết quả nghiên cứu đạt được.

Các kết quả của luận án được báo cáo tại:

• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 12, Ba Vì, Hà Nội,

23-25/04/2014.

• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 14, Ba Vì, Hà Nội,

21-23/04/2016.

• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 15, Ba Vì, Hà Nội,

20-22/04/2017.

• Hội thảo Quốc gia lần thứ XVIII "Một số vấn đề chọn lọc của

Công nghệ thông tin và truyền thông", Thành phố Hồ Chí Minh,

05-06/11/2015.

• Seminar hàng tuần ở nhóm Toán ứng dụng của Viện Công nghệ thông

tin, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày các kiến thức cần thiết nhằm phục vụ cho việc

trình bày các kết quả nghiên cứu chính của luận án ở các chương sau. Mục

1.1 giới thiệu một số khái niệm, tính chất trong không gian Banach, bài

toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh. Mục 1.2 khái quát lại

phương pháp Newton và phương pháp Newton-Kantorovich. Mục 1.3 trình

bày phương pháp điểm gần kề và một số cải biên của nó để tìm không điểm

của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert.

1.1. Không gian Banach và các vấn đề liên quan

1.1.1. Một số tính chất trong không gian Banach

Trước hết, mục này giới thiệu một số không gian Banach thông dụng.

a) Không gian các hàm khả tích bậc p trên Ω, trong đó Ω là một tập đo

được trong Rn, ký hiệu Lp(Ω) (1 < p <∞), được xác định như sau:

Lp(Ω) =

x(t) :

∫Ω

|x(t)|pdt <∞

.

Lp(Ω) là không gian Banach, với chuẩn là

‖x‖p =

∫Ω

|x(t)|pdt

1/p

, x(t) ∈ Lp(Ω).

Không gian đối ngẫu của Lp(Ω) là không gian Lq(Ω), với1

p+

1

q= 1.

Với x(t) ∈ Lp(Ω) và x∗(t) ∈ Lq(Ω) thì

〈x, x∗〉 =

∫Ω

x(t)x∗(t)dt.

Không gian L2(Ω) là không gian Hilbert.

b) Không gian các dãy số khả tổng bậc p (1 < p < ∞), ký hiệu lp, được

10

xác định như sau:

lp =

x = (x1, x2, ..., xi, ...) :

∞∑i=1

|xi|p <∞

.

lp là không gian Banach, với chuẩn là

‖x‖lp =

( ∞∑i=1

|xi|p)1/p

, x = (x1, x2, ..., xi, ...) ∈ lp.

Không gian đối ngẫu của lp là không gian lq, với1

p+

1

q= 1.

Với x = (x1, x2, ..., xi, ...) ∈ lp và y = (y1, y2, ..., yi, ...) ∈ lq thì

〈x, y〉 =∞∑i=1

xiyi.

Không gian l2 là không gian Hilbert.

c) Không gian các dãy số bị chặn, ký hiệu l∞, được xác định như sau:

l∞ =x = (x1, x2, ..., xi, ...) : xi∞i=1 bị chặn

.

l∞ là không gian Banach, với chuẩn là

‖x‖∞ = supi∈N∗|xi|, x = (x1, x2, ..., xi, ...) ∈ l∞,

ở đây N∗ = 1, 2, 3, ....d) Không gian các dãy số khả tổng bậc 1, ký hiệu l1, được xác định như

sau:

l1 =

x = (x1, x2, ..., xi, ...) :

∞∑i=1

|xi| <∞

.

l1 là không gian Banach, với chuẩn là

‖x‖1 =∞∑i=1

|xi|, x = (x1, x2, ..., xi, ...) ∈ l1.

Không gian đối ngẫu của l1 là l∞.

Với x = (x1, x2, ..., xi, ...) ∈ l1 và y = (y1, y2, ..., yi, ...) ∈ l∞ thì

〈x, y〉 =∞∑i=1

xiyi.

11

e) Không gian SobolevWmp (Ω) (1 < p <∞, m > 0): Cho Ω là một tập con

giới nội trong Rn. Kí hiệu Cm(Ω) là tập các hàm số khả vi liên tục đến cấp

m trên Ω. Do Ω là một tập compact nên Cm(Ω) ⊂ Lp(Ω),m = 0, 1, 2, ....

Vì vậy, với x ∈ Cm(Ω), ta có∑|α|≤m

‖Dαx‖pLp(Ω) =

∫Ω

|x(t)|pdt+∑

0<|α|≤m

∫Ω

|Dαx(t)|pdt < +∞,

trong đó Dαx(t) =∂|α|x(t)

∂tα11 ∂t

α22 · · · ∂t

αnn, |α| =

n∑i=1

αi, t = (t1, t2, ..., tn) ∈ Ω.

Không gian Sobolev Wmp (Ω) là không gian Banach tạo thành bởi Cm(Ω)

và được làm đầy đủ bởi chuẩn

‖x‖Wmp (Ω) =

∑|α|≤m

‖Dαx‖pLp(Ω)

1/p

, x ∈ Cm(Ω).

Không gian đối ngẫu của không gian Wmp (Ω) là W−m

q (Ω), với1

p+

1

q= 1.

Không gian Wm2 (Ω) là không gian Hilbert.

Sau đây, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất trong không

gian Banach. Để cho đơn giản, trong mục này cũng như trong suốt luận

án, chuẩn của không gian E và không gian đối ngẫu của E là E∗ cùng

được kí hiệu là ‖.‖.

Định nghĩa 1.1. Cho E và E là hai không gian Banach. Ánh xạ A :

E −→ E được gọi là liên tục yếu theo dãy tại điểm x0 ∈ D(A) nếu với

mọi dãy xn ⊂ D(A) mà xn x0 thì A(xn) A(x0).

Định nghĩa 1.2. Cho E và E là hai không gian định chuẩn và ánh xạ

A : E −→ E, với D(A) là tập mở. A được gọi là khả vi Gâteaux tại

x ∈ D(A) nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính A′(x) : E → E sao cho với mọi

h ∈ E, t ∈ R thỏa mãn x+ th ∈ D(A) thì

limt→0

A(x+ th)− A(x)

t= A′(x)h.

Khi đó:

A′(x) được gọi là đạo hàm theo nghĩa Gâteaux của ánh xạ A tại điểm x.

A′(x)h được gọi là vi phân theo nghĩa Gâteaux của ánh xạ A tại điểm x.

12

Định nghĩa 1.3. Cho E và E là hai không gian định chuẩn và ánh xạ

A : E → E, với D(A) là tập mở. A được gọi là khả vi Fréchet tại x ∈ D(A)

nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính và liên tục A′(x) : E → E sao cho với mọi

h ∈ E thỏa mãn x+ h ∈ D(A) thì

A(x+ h)− A(x) = A′(x)h+ ω(h),

trong đó lim‖h‖→0

ω(h)

‖h‖= 0. Khi đó:

A′(x) được gọi là đạo hàm theo nghĩa Fréchet của ánh xạ A tại điểm x.

A′(x)h được gọi là vi phân theo nghĩa Fréchet của ánh xạ A tại điểm x.

Nếu ánh xạ A khả vi Fréchet tại điểm x thì nó cũng khả vi Gâteaux tại

điểm x và khi đó hai đạo hàm là đồng nhất (xem [5]).

Định nghĩa 1.4. Cho E và E là hai không gian định chuẩn. Ánh xạ

A : E → E được gọi là hemi-liên tục tại điểm x0 ∈ D(A) nếu với mọi dãy

số tn, tn → 0 khi n → ∞, mọi y ∈ E thỏa mãn x0 + tny ∈ D(A) thì

A(x0 + tny) A(x0) khi n→∞.

Nhận xét 1.1. Nếu ánh xạ A liên tục tại điểm x0 thì ánh xạ A là hemi-

liên tục tại điểm x0.

Định lí 1.1. ([6]) Mọi ánh xạ tuyến tính là ánh xạ hemi-liên tục.

Bổ đề 1.1. ([23, 62, 86]) Cho E là không gian Banach thực, f ∈ E∗ vàA : E −→ E∗ là một ánh xạ hemi-liên tục. Khi đó, nếu bất đẳng thức sau

thỏa mãn

〈A(x)− f, x− x0〉 ≥ 0,∀x ∈ D(A),

thì A(x0) = f .

Bổ đề 1.1 còn được gọi là Bổ đề Minty.

Định nghĩa 1.5. Cho E là không gian Banach và E∗ là không gian đối

ngẫu của nó. Với số s ≥ 2, ánh xạ Js : E → 2E∗được xác định như sau:

Js(x) = g ∈ E∗ : 〈x, g〉 = ‖x‖‖g‖, ‖g‖ = ‖x‖s−1

= g ∈ E∗ : 〈x, g〉 = ‖x‖s, ‖g‖ = ‖x‖s−1, x ∈ E

được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của E.

13

Trường hợp s = 2, ánh xạ đối ngẫu J2 được gọi là ánh xạ đối ngẫu

chuẩn tắc của E và thường được ký hiệu là J .

Ta có

J(x) = g ∈ E∗ : 〈x, g〉 = ‖x‖.‖g‖, ‖g‖ = ‖x‖

= g ∈ E∗ : 〈x, g〉 = ‖x‖2, ‖g‖ = ‖x‖, x ∈ E.

Đặc biệt, nếu J là đơn trị thì với x ∈ E, ta có

〈x, J(x)〉 = ‖x‖2, ‖J(x)‖ = ‖x‖.

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của các không gian Lp(Ω), lp và Wmp (Ω) có

dạng như sau:

a) Đối với không gian Lp(Ω) (1 < p <∞): Với x(t) ∈ Lp(Ω) thì

J(x) = ‖x‖2−pp |x(t)|p−2x(t) ∈ Lq(Ω),

trong đó t ∈ Ω,1

p+

1

q= 1.

b) Đối với không gian lp (1 < p <∞): Với x = (x1, x2, ...) ∈ lp thì

J(x) = ‖x‖2−plp

z ∈ lq,

trong đó z = (|x1|p−2x1, |x2|p−2x2, ...) ∈ lp/(p−1),1

p+

1

q= 1.

c) Đối với không gian Sobolev Wmp (Ω) (m > 0, 1 < p < ∞): Với x(t) ∈

Wmp (Ω) thì

J(x) = ‖x‖2−pWmp (Ω)

∑|α|≤m

(−1)|α|Dα(|Dαx(t)|p−2Dαx(t)) ∈ W−mq (Ω),

trong đó t = (t1, t2, ..., tn) ∈ Ω,1

p+

1

q= 1 và Dαx(t) =

∂|α|x(t)

∂tα11 ∂t

α22 · · · ∂t

αnn,

với |α| =n∑i=1

αi.

Định lí 1.2. ([9]) Ánh xạ đối ngẫu Js : E → 2E∗tồn tại trong mọi không

gian Banach E. Hơn nữa, D(Js) = E.

Định lí 1.3. ([9, 37]) Nếu E là không gian Hilbert thì ánh xạ đối ngẫu

chuẩn tắc J của E là ánh xạ đơn vị.

14

Định nghĩa 1.6. Không gian Banach E được gọi là có chuẩn khả vi

Gâteaux nếu với mọi x, y ∈ S1(0) giới hạn

limt→0

‖x+ ty‖ − ‖x‖t

tồn tại.

Định lí 1.4. ([37]) Không gian Banach E có chuẩn khả vi Gâteaux khi và

chỉ khi ánh xạ đối ngẫu tổng quát Js (s ≥ 2) của E là đơn trị.

Định nghĩa 1.7. Không gian Banach E được gọi là không gian lồi chặt

nếu với mọi x, y ∈ S1(0), x 6= y thì∥∥∥∥x+ y

2

∥∥∥∥ < 1.

Nói cách khác, không gian Banach E được gọi là không gian lồi chặt

nếu trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt bất kỳ trên mặt

cầu đơn vị S1(0) trong E nằm phía bên trong mặt cầu đơn vị đó. Nếu E

là không gian lồi chặt thì với x, y ∈ S1(0), đẳng thức ‖x + y‖ = 2 xảy ra

khi và chỉ khi x = y.

Định lí 1.5. ([6, 9, 37]) Cho E là không gian Banach phản xạ. Khi đó

a) E là lồi chặt khi và chỉ khi E∗ có chuẩn khả vi Gâteaux.

b) E có chuẩn khả vi Gâteaux khi và chỉ khi E∗ là lồi chặt.

Định nghĩa 1.8. Không gian Banach E được gọi là có tính chất ES nếu

E là không gian phản xạ, lồi chặt và với mọi dãy xn ⊂ E thỏa mãn

xn x và ‖xn‖ → ‖x‖ thì xn → x.

Định nghĩa 1.9. Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi

ε ∈ (0, 2], tồn tại δ = δ(ε) ∈ (0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ E, ‖x‖ ≤ 1,

‖y‖ ≤ 1, ‖x− y‖ ≥ ε thì ∥∥∥∥x+ y

2

∥∥∥∥ ≤ 1− δ.

Nói cách khác, không gian Banach E là lồi đều nếu với mọi ε ∈ (0, 2],

tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho với mọi điểm x, y thuộc hình cầu đơn vị

BE = x ∈ E : ‖x‖ ≤ 1 thỏa mãn ‖x− y‖ ≥ ε thì khoảng cách từ trung

điểm của đoạn thẳng nối x và y tới mặt cầu đơn vị S1(0) ít nhất là δ.

15

Ví dụ 1.1. Mọi không gian Hilbert H là không gian lồi đều. Thật vậy,

với mọi ε ∈ (0, 2], với mọi x, y ∈ E, ‖x‖ ≤ 1, ‖y‖ ≤ 1, ‖x− y‖ ≥ ε, ta có

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2).

Suy ra

‖x+ y‖ =√

2(‖x‖2 + ‖y‖2)− ‖x− y‖2 ≤√

4− ε2.

Do đó, ∥∥∥∥x+ y

2

∥∥∥∥ ≤ 1− δ(ε), với δ(ε) = 1−√

1− ε2

4,

tức là H là không gian lồi đều.

Ví dụ 1.2. Không gian lp, Lp(Ω), với (1 < p <∞), là các không gian lồi

đều (xem [37, 38]).

Định lí 1.6. ([6, 37]) Nếu không gian Banach E là lồi đều thì E là lồi

chặt.

Ví dụ 1.3. Lấy phần tử x = (1, 0, 0, ...) và y = (0, 1, 0, ...) thuộc không

gian l1. Ta thấy ‖x‖1 = 1, ‖y‖1 = 1 và x 6= y nhưng ‖x+ y‖1 = 2. Do đó,

l1 không phải là không gian lồi chặt. Theo Định lí 1.6, l1 không phải là

không gian lồi đều.

Chiều ngược lại của Định lý 1.6 không đúng.

Định lí 1.7. (xem [6, 9, 37]) Nếu không gian Banach E là lồi đều thì E

là không gian phản xạ.

Định nghĩa 1.10. Không gian Banach E được gọi là có chuẩn khả vi

Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ S1(0), giới hạn

limt→0

‖x+ ty‖ − ‖x‖t

đạt được đều với mọi x ∈ S1(0).

Nhận xét 1.2. Nếu không gian E có chuẩn khả vi Gâteaux đều thì E có

chuẩn khả vi Gâteaux.

Định nghĩa 1.11. Không gian Banach E được gọi là có chuẩn khả vi

Fréchet đều nếu giới hạn

limt→0

‖x+ ty‖ − ‖x‖t

đạt được đều với mọi x, y ∈ S1(0).

16

Nhận xét 1.3. Nếu không gian E có chuẩn khả vi Fréchet đều thì E có

chuẩn khả vi Gâteaux đều, và do đó, E có chuẩn khả vi Gâteaux.

Định lí 1.8. ([6, 9, 37]) Cho E là không gian Banach. E có chuẩn khả vi

Fréchet đều khi và chỉ khi E∗ là lồi đều.

Ví dụ 1.4. Vì không gian Hilbert H∗ = H và các không gian l∗p = lq,

L∗p(Ω) = Lq(Ω), với 1 < p < ∞, 1

p+

1

q= 1, là các không gian lồi đều nên

H, lp và Lp(Ω) là các không gian có chuẩn khả vi Fréchet đều.

Nhận xét 1.4. Theo Ví dụ 1.4 và Nhận xét 1.3, không gian Hilbert H và

các không gian lp, Lp(Ω) là các không gian có chuẩn khả vi Gâteaux đều.

Định nghĩa 1.12. Cho E và E là hai không gian định chuẩn. Ánh xạ

tuyến tính giới nội P : E → E được gọi là phép chiếu từ không gian E

vào E nếu R(P ) = E và P 2 = P .

Định nghĩa 1.13. Không gian Banach E được gọi là có tính chất xấp xỉ

nếu tồn tại dãy En gồm các không gian con hữu hạn chiều của E thỏa

mãn En ⊂ En+1, ∪En = E và các phép chiếu Pn : E −→ En sao cho

‖Pn‖ = 1, ∀n và Pnx→ x khi n→∞, với mọi x ∈ E.

Ví dụ 1.5. Không gian Lp[a, b], với 1 ≤ p < ∞, là không gian có tính

chất xấp xỉ (xem [37]).

Định lí 1.9. ([3, 4]) Cho E, E là hai không gian định chuẩn và A : E −→E là một toàn ánh tuyến tính. Nếu tồn tại một số m > 0 sao cho

‖A(x)‖ ≥ m‖x‖, với mọi x ∈ D(A),

thì A có ánh xạ ngược A−1 liên tục.

Tiếp theo, ta có các định nghĩa và định lí sau với giả thiết E và E là

hai không gian Banach.

Định nghĩa 1.14. Ánh xạ A : E −→ 2E∗được gọi là

i) đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A), u ∈ A(x), v ∈ A(y) thì

〈u− v, x− y〉 ≥ 0.

ii) đơn điệu cực đại nếu A là đơn điệu và đồ thị của A không thực sự

nằm trong đồ thị của một ánh xạ đơn điệu khác. Nói cách khác, ánh xạ

17

A : E −→ 2E∗được gọi là đơn điệu cực đại nếu A là đơn điệu và với y ∈ E

và v ∈ E∗ thỏa mãn

〈u− v, x− y〉 ≥ 0, ∀x ∈ D(A), u ∈ A(x),

thì y ∈ D(A) và v ∈ A(y).

Định lí 1.10. ([25]) Cho E là không gian Banach phản xạ, A : D(A) ⊂E −→ E∗ là ánh xạ hemi-liên tục và w là một phần tử bất kỳ trong E∗.

Khi đó, nếu x ∈ D(A) là nghiệm của bất đẳng thức biến phân

〈w − A(y), x− y〉 ≥ 0, ∀y ∈ D(A) (1.1)

thì x cũng là nghiệm của bất đẳng thức biến phân

〈w − A(x), x− y〉 ≥ 0, ∀y ∈ D(A). (1.2)

Hơn nữa, nếu A là ánh xạ đơn điệu thì hai bất đẳng thức biến phân (1.1)

và (1.2) là tương đương.

Định lí 1.11. ([9, 27]) Cho A : E −→ E∗ là ánh xạ đơn điệu, hemi-liên

tục và D(A) = E. Khi đó, A là ánh xạ đơn điệu cực đại.

Định lí 1.12. ([27]) Cho A : E −→ E∗ là ánh xạ đơn điệu, thỏa mãn

R(A) = E∗ và có ánh xạ ngược A−1 là hemi-liên tục. Khi đó, A là ánh xạ

đơn điệu cực đại.

Định lí 1.13. ([9, 18, 73]) Cho E là không gian Banach phản xạ và A1, A2

là hai ánh xạ đơn điệu cực đại đi từ E vào E∗ thỏa mãn

D(A1) ∩ int(D(A2)) 6= ∅.

Khi đó, A1 + A2 là ánh xạ đơn điệu cực đại.

Định nghĩa 1.15. Ánh xạ A : E −→ E∗ được gọi là

i) bức nếu

lim‖x‖→+∞

〈A(x), x〉‖x‖

= +∞.

ii) α-đơn điệu mạnh (α > 0) nếu với mọi x, y ∈ D(A) thì

〈A(x)− A(y), x− y〉 ≥ α‖x− y‖2.

18

iii) đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm tăng và liên tục γ(t), với t ≥ 0, thỏa

mãn γ(0) = 0, sao cho

〈A(x)− A(y), x− y〉 ≥ γ(‖x− y‖), ∀x, y ∈ D(A).

Định lí 1.14. ([9, 27]) Nếu A : E −→ E∗ là ánh xạ đơn điệu cực đại và

bức thì R(A) = E∗.

Định nghĩa 1.16. Ánh xạ A : E −→ E được gọi là

i) J-đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x− y) ∈ J(x− y) sao cho

〈A(x)− A(y), j(x− y)〉 ≥ 0.

ii) m-J-đơn điệu nếu A là J-đơn điệu và R(A+ αI) = E với mọi α > 0, ở

đây I là ánh xạ đơn vị trên E, tức là I(x) = x với mọi x ∈ E.

iii) α-J-đơn điệu mạnh (α > 0) nếu với mọi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x−y) ∈J(x− y) sao cho

〈A(x)− A(y), j(x− y)〉 ≥ α‖x− y‖2.

iv) J-đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm số thực tăng γ(t), với t ≥ 0, thỏa

mãn γ(0) = 0 sao cho với mọi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x− y) ∈ J(x− y) để

〈A(x)− A(y), j(x− y)〉 ≥ γ(‖x− y‖).

Định nghĩa 1.17. Ánh xạ A : E −→ E được gọi là L-liên tục Lipschitz

(L > 0) nếu với mọi x, y ∈ D(A) thì

‖A(x)− A(y)‖ ≤ L‖x− y‖.

Đặc biệt, nếu L = 1 thì A được gọi là ánh xạ không giãn và nếu L < 1 thì

A được gọi là ánh xạ co.

Định lí 1.15. ([26]) Nếu A : E −→ E, với D(A) = E, là ánh xạ J-đơn

điệu và liên tục Lipschitz thì A là ánh xạ m-J-đơn điệu.

Chú ý 1.1. Nếu E ≡ H là không gian Hilbert thì J là ánh xạ đơn vị, do

đó các khái niệm J-đơn điệu, m-J-đơn điệu và α-J-đơn điệu mạnh tương

ứng trùng với các khái niệm đơn điệu, đơn điệu cực đại và α-đơn điệu

mạnh.

19

Tiếp theo, cho H là không gian Hilbert.

Định nghĩa 1.18. Phiếm hàm f : H → [−∞,+∞] được gọi là nửa liên

tục dưới tại điểm x0 ∈ H nếu với dãy xn ⊂ H, xn → x0 thì

lim infn→∞

f(xn) ≥ f(x0).

Nói cách khác, phiếm hàm f : H → [−∞,+∞] được gọi là nửa liên tục

dưới tại điểm x0 ∈ H nếu với mỗi ε > 0, tồn tại một số δ > 0 sao cho với

mọi x ∈ H, ‖x− x0‖ ≤ δ thì f(x) > f(x0)− ε.

Định nghĩa 1.19. Cho f : H → (−∞,+∞] là một phiếm hàm chính

thường. Phần tử p ∈ H được gọi là dưới gradient của f tại điểm x ∈ Hnếu

〈y − x, p〉 ≤ f(y)− f(x), ∀y ∈ H.

Tập tất cả các dưới gradient của f tại x được gọi là dưới vi phân của f

tại x, ký hiệu là ∂f(x). Như vậy, dưới vi phân của một phiếm hàm chính

thường f là ánh xạ ∂f : H → 2H được xác định bởi

∂f(x) = p ∈ H : 〈y − x, p〉 ≤ f(y)− f(x), ∀y ∈ H, x ∈ H.

Định lí 1.16. ([6, 9, 20]) Cho f : H → (−∞,+∞] là phiếm hàm lồi,

chính thường và x0 ∈ Dom(f). Nếu f khả vi Gâteaux tại x0 thì ∂f(x0) =

f ′(x0).

Định nghĩa 1.20. Ánh xạ F : H −→ H được gọi là γ-giả co chặt (γ ∈(0, 1)) nếu với mọi x, y ∈ H, ta có

〈Fx− Fy, x− y〉 ≤ ‖x− y‖2 − γ‖(I − F )x− (I − F )y‖2.

Định nghĩa 1.21. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H.

Ánh xạ T : C −→ H được gọi là ánh xạ trung bình nếu T = (1−α)I+αN ,

với α là một số cố định thuộc khoảng (0; 1) và N là ánh xạ không giãn.

Khi đó, ta nói T là α-trung bình.

Định nghĩa 1.22. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H.

Phép chiếu mêtric trên C, ký hiệu PC , là một ánh xạ đặt tương ứng mỗi

điểm x ∈ H với một điểm duy nhất trong C mà gần với điểm x nhất, cụ

thể

‖x− PC(x)‖ = infy∈C‖x− y‖.

20

1.1.2. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh

Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh đã được J. Hadamard [101] đưa

ra vào đầu thế kỷ 20 khi nghiên cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên

lên nghiệm của các phương trình elliptic cũng như parabolic.

Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình

A(x) = f, (1.3)

với A là một ánh xạ từ không gian mêtric E vào không gian mêtric E.

Bài toán (1.3) được gọi là bài toán chỉnh trên cặp không gian mêtric

(E, E) nếu:

i) Với mỗi f ∈ E tồn tại nghiệm x ∈ E;

ii) Nghiệm x đó được xác định một cách duy nhất;

iii) Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào f .

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì bài

toán (1.3) được gọi là bài toán đặt không chỉnh.

Việc biết thêm thông tin về nghiệm chính xác x∗ của phương trình (1.3)

như tính lồi, tính đơn điệu cũng như tính khả vi cho phép ta tìm nghiệm

xấp xỉ của (1.3) trong một tập hẹp hơn như là tập compact chẳng hạn.

Một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ dựa trên thông tin bổ sung về

nghiệm là phương pháp chọn, phương pháp tựa nghiệm, phương pháp sử

dụng phương trình xấp xỉ, phương pháp tựa nghịch đảo (xem [1]).

Để tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.3) trong trường hợp tổng

quát, khi không đủ thông tin để khẳng định nghiệm chính xác x∗ nằm

trong một tập compact nào đó của E, A.N. Tikhonov đã đưa ra một khái

niệm mới. Đó là phương pháp hiệu chỉnh dựa trên việc xây dựng toán

tử hiệu chỉnh và cách chọn giá trị của một tham số mới đưa vào (xem

[83, 84, 85]).

Giả sử A−1 không liên tục và thay cho f ta chỉ biết xấp xỉ của nó là

fδ ∈ E thỏa mãn ρE(fδ, f) ≤ δ 0. Bài toán đặt ra là dựa vào thông

tin về (A, fδ) và mức sai số δ, tìm một phần tử xδ xấp xỉ nghiệm chính

xác x∗. Rõ ràng, ta không thể xây dựng phần tử xấp xỉ xδ theo quy tắc

xδ = A−1fδ, vì thứ nhất là A−1 có thể không xác định với fδ, thứ hai là

A−1 không liên tục, nên nếu A−1fδ tồn tại thì cũng chưa chắc đã xấp xỉ

A−1f .

21

Tham số δ chỉ cho ta mức độ sai số vế phải của (1.3). Vì vậy, một điều

tự nhiên nảy sinh là liệu có thể xây dựng phần tử xấp xỉ phụ thuộc vào

một tham số nào đó và tham số này được chọn tương thích với δ sao cho

khi δ 0 thì phần tử xấp xỉ này hội tụ đến nghiệm x∗. Ta cũng thấy, nếu

được thì từ fδ ∈ E ta có phần tử xấp xỉ thuộc E, tức là tồn tại một toán

tử nào đó tác động từ không gian E vào không gian E.

Định nghĩa 1.23. Toán tử R(f , α), phụ thuộc tham số α, tác động từ E

vào E được gọi là một toán tử hiệu chỉnh cho bài toán (1.3) nếu:

i) Tồn tại hai số dương α1 và δ1 sao cho toán tử R(f , α) xác định với

mọi α ∈ (0, α1) và với mọi f ∈ E : ρE(f , f) ≤ δ, δ ∈ [0, δ1];

ii) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(fδ, δ) sao cho với mọi ε > 0, tồn

tại δ = δ(ε) ≤ δ1 để với mọi fδ ∈ E thỏa mãn ρE(fδ, f) ≤ δ thì

ρE(xα, x∗) ≤ ε, ở đây xα ∈ R(fδ, α(fδ, δ)).

Chú ý 1.2. Định nghĩa 1.23 không đòi hỏi tính đơn trị của toán tửR(f , α).

Phần tử xα ∈ R(fδ, α) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của phương trình

(1.3) và α = α(fδ, δ) = α(δ) được gọi là tham số hiệu chỉnh. Cũng dễ dàng

nhận thấy từ định nghĩa trên, nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ kiện ban

đầu.

Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào vế phải (1.3)

gồm hai bước:

a) tìm toán tử hiệu chỉnh R(f , α) và

b) xác định giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin của bài

toán về phần tử fδ và sai số δ.

Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ theo quy tắc trên được gọi là phương

pháp hiệu chỉnh.

Nếu (1.3) là bài toán đặt không chỉnh thì yêu cầu đặt ra là phải sử

dụng các phương pháp giải (1.3) sao cho khi δ 0 thì nghiệm xấp xỉ tìm

được càng gần với nghiệm của (1.3). Như đã trình bày trong phần Mở đầu,

trong trường hợp A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào không

gian đối ngẫu E∗, bài toán (1.3) có thể được giải bằng phương pháp hiệu

chỉnh dạng Browder-Tikhonov (0.6) (xem trang 3) hoặc (0.8) (xem trang

22

3). Trường hợp A là ánh xạ J-đơn điệu trên không gian Banach E, một

trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi để giải bài toán (1.3) là

phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder-Tikhonov (0.9) (xem trang 4). Ng.

Bường và Ng.T.H. Phương [33] đã chứng minh được kết quả sau cho sự

hội tụ mạnh của phương pháp (0.9):

Định lí 1.17. ([33]) Cho E là một không gian Banach thực, phản xạ, lồi

chặt, có chuẩn khả vi Gâteaux đều và A là ánh xạ m-J-đơn điệu trên E.

Khi đó, với mỗi α > 0 và fδ ∈ E, phương trình (0.9) có nghiệm duy nhất

xδα. Hơn nữa, nếu tham số α được chọn sao cho δ/α → 0 khi α → 0 thì

dãy xδα hội tụ mạnh tới phần tử x∗ ∈ E là nghiệm duy nhất của bất đẳng

thức biến phân sau

x∗ ∈ S∗ : 〈x∗ − x+, j(x∗ − y)〉 ≤ 0, ∀y ∈ S∗, (1.4)

ở đây S∗ là tập nghiệm của (1.3) và S∗ khác rỗng.

Ta thấy, Định lí 1.17 đưa ra sự hội tụ mạnh của dãy nghiệm hiệu chỉnh

xδα sinh bởi phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov (0.9) đến nghiệm

x∗ của bài toán (1.3) mà không đòi hỏi tính liên tục yếu theo dãy của ánh

xạ đối ngẫu chuẩn tắc J . Kết quả này là một sự cải tiến đáng kể so với

kết quả của Ya.I. Alber và I.P. Ryazantseva [9] (xem phần Mở đầu).

Do khi A là ánh xạ phi tuyến thì (0.6), (0.8) và (0.9) là các bài toán phi

tuyến nên để khắc phục hạn chế này, trong Chương 2, chúng tôi sẽ trình

bày một phương pháp hiệu chỉnh khác, có tên là phương pháp hiệu chỉnh

lặp Newton-Kantorovich. Đây là phương pháp hiệu chỉnh được xây dựng

dựa trên phương pháp nổi tiếng trong giải tích số là phương pháp Newton-

Kantorovich sẽ được trình bày khái quát lại ở Mục 1.2. Đặc biệt, sự hội tụ

mạnh của phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich trong trường

hợp A là ánh xạ J-đơn điệu trên không gian Banach (trình bày trong Mục

2.2, Chương 2) được chúng tôi chứng minh dựa trên việc sử dụng Định lí

1.17.

1.2. Phương pháp Newton-Kantorovich

Ta đã biết, phương pháp Newton là một công cụ quan trọng trong giải

tích số và tối ưu. Nó có ứng dụng rộng rãi trong khoa học quản lý, công

23

nghiệp, nghiên cứu tài chính và khai thác dữ liệu. Ý tưởng cơ bản của

phương pháp Newton là rất đơn giản: đó là tuyến tính hóa. Giả sử ta cần

giải phương trình phi tuyến

f(x) = 0, (1.5)

trong đó f : R → R là hàm khả vi. Ta có thể sử dụng phương pháp

Newton:

xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn), n = 0, 1, ..., (1.6)

để tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.5) với phần tử dự đoán thích

hợp x0 gần nghiệm cần tìm x∗.

Phương pháp Newton đã được I. Newton đưa ra vào năm 1669 (xem

[39]).

Năm 1948, L.V. Kantorovich [53] đã mở rộng phương pháp Newton cho

không gian hàm. L.V. Kantorovich đã xét phương trình giống như (1.5):

F (x) = 0, (1.7)

nhưng ở đây F là ánh xạ đi từ không gian Banach E vào không gian

Banach E. Phương pháp mà ông đưa ra, được gọi là phương pháp Newton-

Kantorovich, cũng tương tự như phương pháp (1.6):

xn+1 = xn − F ′(xn)−1F (xn), n = 0, 1, ..., (1.8)

ở đây F ′(xn) là đạo hàm Fréchet của ánh xạ phi tuyến F (x) tại điểm xn

và F ′(xn)−1 là nghịch đảo của nó.

Phương pháp Newton-Kantorovich còn có thể viết dưới dạng sau:

F (xn) + F ′(xn)(xn+1 − xn) = 0 (1.9)

và được gọi là phương pháp Newton-Kantorovich liên tục.

L.V. Kantorovich đã đưa ra định lí hội tụ sau, được gọi là định lí

Newton-Kantorovich, cho phương pháp (1.8):

Định lí 1.18. ([53]) Cho E và E là hai không gian Banach, ánh xạ F :

D ⊂ E → E hai lần khả vi Fréchet trên tập lồi và mở D0 ⊂ D và điểm xuất

phát x0 ∈ D0 sao cho ánh xạ tuyến tính F ′(x0) : E → E là khả nghịch.

24

Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn

a) ‖F ′(x0)−1‖ ≤ β;

b) ‖F ′′(x)‖ ≤ K, ∀x ∈ D0;

c) ‖F ′(x0)−1F (x0)‖ ≤ η;

d) h = βηK ≤ 1

2.

Đặt

Br(x0) = x : ‖x− x0‖ ≤ r, với r =1−√

1− 2h

hη.

Khi đó, nếu Br(x0) ⊂ D0 thì phương trình (1.7) có một nghiệm x∗ ∈ Br(x0)

và dãy xn xác định bởi (1.8) hội tụ tới x∗ với tốc độ hội tụ được xác định

bởi

‖xn − x∗‖ ≤1

2n−1(2h)2n−1η.

Phương pháp Newton-Kantorovich đã có ứng dụng rộng rãi. Nhiều

bài toán phi tuyến, chẳng hạn như phương trình tích phân phi tuyến,

phương trình vi phân thường, phương trình vi phân riêng phần và bài

toán biến phân, có thể đưa về dạng (1.7) và sử dụng phương pháp Newton-

Kantorovich để giải (xem [54, 55]).

Năm 1949, I.P. Mysovskikh [65] đã thay thế điều kiện F ′(x) là khả

nghịch tại x0 bởi điều kiện F ′(x) là khả nghịch trên D0 và tác giả đã

chứng minh được sự hội tụ của phương pháp (1.8) dưới điều kiện h < 2.

Điều kiện này yếu hơn điều kiện h < 1/2 mà L.V. Kantorovich đã nêu ra.

Nhận xét 1.5. Ta thấy, sự hội tụ của phương pháp Newton-Kantorovich

đòi hỏi ánh xạ F ′ khả nghịch và các điều kiện về đạo hàm của ánh xạ F

là hết sức chặt chẽ. Đối với F là ánh xạ đơn điệu, sự hội tụ cho phương

pháp Newton-Kantorovich là một câu hỏi mở trong một thời gian dài. Chú

ý rằng trong trường hợp này chỉ có quá trình hiệu chỉnh được xây dựng

dựa trên phương pháp Newton-Kantorovich liên tục (1.9) mới có thể cho

phép chúng ta chứng minh được sự hội mạnh tới nghiệm của phương trình

không chỉnh phi tuyến ban đầu (xem [9, 14]).

1.3. Phương pháp điểm gần kề và một số cải biên

Trong mục này, ta xét bài toán:

Tìm phần tử p∗ ∈ H sao cho 0 ∈ A(p∗), (1.10)

25

trong đó H là không gian Hilbert và A : H → 2H là ánh xạ đơn điệu cực

đại. Phần tử p∗ là nghiệm của bài toán (1.10) được gọi là một không điểm

của ánh xạ A. Giả sử tập các không điểm của ánh xạ A, ký hiệu là ZerA,

khác rỗng.

1.3.1. Phương pháp điểm gần kề

Một trong những phương pháp đầu tiên tìm không điểm của ánh xạ

đơn điệu cực đại A là phương pháp điểm gần kề. Phương pháp này được

đề xuất bởi B. Martinet [103] vào năm 1970 để tìm nghiệm của bài toán

cực tiểu:

minx∈H

f(x), (1.11)

ở đây f là phiếm hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới thỏa mãn mọi

tập mức x ∈ H : f(x) ≤ α, α ∈ R là giới nội. B. Martinet đã xây dựng

dãy lặp xk để giải bài toán (1.11) như sau:

xk+1 = arg minx

Φk(x), (1.12)

ở đây

Φk(x) = f(x) + ‖x− xk‖2 (1.13)

và chỉ ra rằng dãy xk xác định bởi phương pháp (1.12)-(1.13) hội tụ yếu

đến một nghiệm của (1.11). Chú ý rằng phương pháp (1.12)-(1.13) tương

đương với phương pháp (xem [74]):

xk+1 =

(I +

1

2A

)−1

xk, k ≥ 1, (1.14)

ở đây A = ∂f và I là ánh xạ đơn vị trên H.

Năm 1976, R.T. Rockafellar [74] đã tổng quát hóa phương pháp của B.

Martinet để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại A như sau

xk+1 = Jkxk + ek, k ≥ 1, (1.15)

trong đó Jk = (I + rkA)−1 được gọi là toán tử giải của A với tham số

rk > 0, ở đây ek là vectơ sai số. Ta đã biết, Jk là ánh xạ đơn trị, không

giãn, D(Jk) = H (xem [91]) và Fix(Jk) = ZerA (xem [93]). Do Jk là ánh

26

xạ đơn trị nên một trong những ưu điểm của phương pháp điểm gần kề

là đã đưa bài toán đa trị về bài toán đơn trị để giải. R.T. Rockafellar đã

chứng minh được rằng, nếu dãy ek thỏa mãn điều kiện

‖ek‖ ≤ εk,∞∑k=1

εk <∞, (1.16)

dãy rk giới nội dưới và cách xa 0 thì dãy xk sinh ra bởi phương pháp

(1.15) hội tụ yếu tới một không điểm của A. Điều đó thể hiện bởi định lí

sau:

Định lí 1.19. ([74]) Cho A : H → 2H là ánh xạ đơn điệu cực đại với

ZerA 6= ∅ và dãy xk sinh bởi phương pháp điểm gần kề (1.15). Giả sử

điều kiện (1.16) đúng. Hơn nữa, dãy rk thỏa mãn điều kiện

(C0) tồn tại hằng số ε > 0 sao cho rk ≥ ε với mọi k ≥ 1.

Khi đó, dãy xk hội tụ yếu tới một điểm thuộc ZerA.

Năm 1991, O. Guler [46] đã chỉ ra rằng phương pháp điểm gần kề chỉ

đạt được sự hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh trong không gian vô hạn

chiều. Để đạt được sự hội tụ mạnh, một số cải biên của phương pháp điểm

gần kề đã được đưa ra. Mục sau sẽ trình bày một số cải biên của phương

pháp điểm gần kề được xây dựng dựa trên toán tử giải của ánh xạ A.

1.3.2. Một số cải biên của phương pháp điểm gần kề

Năm 1996, N. Lehdili và A. Moudafi [58] đã đề xuất một cải biên của

phương pháp điểm gần kề, được gọi là phương pháp điểm gần kề-Tikhonov,

bằng cách kết hợp giữa phương pháp điểm gần kề và phương pháp hiệu

chỉnh Tikhonov như sau:

xk+1 = JAkk xk, k ≥ 1, (1.17)

ở đây JAkk = (I + rkAk)−1 với Ak = A+ µkI, µk > 0. Các tác giả đã chứng

minh được định lí sau cho sự hội tụ của phương pháp (1.17):

Định lí 1.20. ([58]) Giả sử rk là giới nội và µk là dãy số thực dương

thỏa mãn

limk→+∞

µk = 0,+∞∑k=1

µk =∞ và limk→+∞

∣∣∣∣ 1

µk+1− 1

µk

∣∣∣∣ = 0. (1.18)

Khi đó, dãy xk sinh bởi phương pháp điểm gần kề-Tikhonov (1.17) hội

tụ mạnh tới một phần tử thuộc ZerA có chuẩn nhỏ nhất.

27

Năm 2006, H.K. Xu [95] đã mở rộng phương pháp điểm gần kề-Tikhonov

của N. Lehdili và A. Moudafi để đưa ra dãy lặp:

xk+1 = Jk(tku+ (1− tk)xk + ek), k ≥ 1, (1.19)

trong đó u là phần tử cố định trong H. Sự hội tụ của dãy xk sinh bởi

(1.19) tới PZerAu khi k →∞, ở đây PZerAu là phép chiếu mêtric của phần

tử u trên tập ZerA, đã được tác giả đưa ra bởi định lí sau:

Định lí 1.21. ([95]) Giả sử các dãy tk, rk và ek thỏa mãn điều kiện

(C0) và

(C1) tk ∈ (0; 1) với mọi k ≥ 1, limk→∞ tk = 0 và∑∞

k=1 tk =∞;

(C2)∑∞

k=1 |tk+1 − tk| <∞;

(C3) tồn tại hằng số α > 0 sao cho rk ≤ α với mọi k ≥ 1;

(C4)∑∞

k=1 |rk+1 − rk| <∞;

(C5)∑∞

k=1 ‖ek‖ <∞.

Khi đó, dãy xk sinh bởi phương pháp (1.19) hội tụ mạnh tới phần tử

PZerAu.

H.K. Xu đã chỉ ra rằng phương pháp (1.17) của N. Lehdili và A. Moudafi

là trường hợp riêng của phương pháp (1.19) nếu ta lấy u = θH , ek = θH

và µk = tk/rk, với mọi k ≥ 1. Ngoài ra, tác giả cũng chỉ ra rằng dãy µkvới µk = 1/k, k ≥ 1 không thỏa mãn (1.18). Tuy nhiên, với dãy µk nhưtrên thì tk = rk/k. Khi đó, các điều kiện trên dãy tk trong Định lí 1.21

thỏa mãn nếu dãy rk thỏa mãn các điều kiện trong Định lí 1.21.

Năm 2012, phương pháp (1.19) đã được tổng quát hóa bởi O.A. Boikanyo

và G. Morosanu [22] bằng cách sử dụng ánh xạ không giãn T : H → H

như sau:

xk+1 = Jk(tku+ ρkxk + δkTx

k + ek), k ≥ 1, (1.20)

trong đó tk, ρk, δk ∈ [0, 1] thỏa mãn tk + ρk + δk = 1. Ta thấy, khi T ≡ I là

ánh xạ đơn vị thì phương pháp (1.20) chính là phương pháp (1.19). Các

tác giả đã đưa ra định lí sau cho sự hội tụ của phương pháp (1.20):

Định lí 1.22. ([22]) Cho T : H → H là ánh xạ không giãn với ZerA ⊂Fix(T ) và x1, u là các điểm bất kỳ nhưng cố định thuộc H. Giả sử tk, ρk, δk ∈[0, 1], với tk +ρk + δk = 1, thỏa mãn các điều kiện (C0), (C1) và hoặc (C5)

28

hoặc

(C5’) limk→∞(‖ek‖/tk) = 0.

Khi đó, dãy xk sinh bởi phương pháp (1.20) hội tụ mạnh tới PZerAu.

Trong kết quả trên, bên cạnh việc đã được loại bỏ được các điều kiện

(C2), (C3) và (C4), các tác giả đã sử dụng điều kiện tổng quát hơn đối với

với dãy ek, đó là dãy ek hoặc thỏa mãn (C5) hoặc thỏa mãn (C5’).

Giả thiết này đã được các tác giả đưa ra đầu tiên trong [21] khi nghiên

cứu sự hội tụ của phương pháp điểm gần kề co (xem Mục 3.2.2). Từ đó,

các tác giả chỉ ra rằng, mọi dãy ek mà ‖ek‖ → 0 đều thỏa mãn cho sự

hội tụ mạnh của phương pháp (1.20) miễn là ta chọn dãy tk thích hợp.

Năm 2013, Ch.A. Tian và Y. Song [82] cũng đã nghiên cứu sự hội tụ

của phương pháp (1.19) và đưa ra kết quả sau dưới những điều kiện nhẹ

hơn của H.K. Xu:

Định lí 1.23. ([82]) Giả sử các dãy tk ⊂ (0, 1), rk ⊂ (0,+∞) và dãy

ek ⊂ H thỏa mãn các điều kiện (C1), (C5) và

(C0’) lim infk→∞ rk > 0.

Khi đó, dãy xk sinh bởi phương pháp (1.19) hội tụ mạnh tới PZerAu.

Phương pháp điểm gần kề co là một dạng cải biên khác của phương

pháp điểm gần kề được giới thiệu bởi S. Kamimura và W. Takahashi [51]

vào năm 2000, với dãy xk được xác định bởi:

yk ≈ Jkxk, ‖yk − Jkxk‖ ≤ εk, x

k+1 = tku+ (1− tk)yk. (1.21)

Phương pháp (1.21) được gọi là phương pháp điểm gần kề co vì với mỗi

t ∈ (0, 1) và rk > 0 cố định thì ánh xạ x 7→ tu + (1 − t)Jkx là ánh xạ co.

Các tác giả đã đưa ra kết quả sau cho sự hội tụ của phương pháp (1.21):

Định lí 1.24. ([51]) Giả sử các dãy tk, rk và δk thỏa mãn các điều

kiện (C1) và

(C0”) rk ∈ (0;∞) với mọi k ≥ 1 và limk→∞ rk =∞;

(C6)∑∞

k=1 εk <∞.

Khi đó, dãy xk sinh bởi (1.21) hội tụ mạnh tới PZerAu khi k →∞.

Phương pháp (1.21) còn có thể viết dưới dạng:

xk+1 = tku+ (1− tk)Jkxk + ek, k ≥ 1. (1.22)

29

Ta thấy, nếu rk ≡ c, ∀k ≥ 1, với c là một hằng số nào đó thì không

thỏa mãn điều kiện (C0”). Năm 2004, bằng việc thay thế điều kiện (C0”)

bởi điều kiện nhẹ hơn là (C0), G. Marino và H.K. Xu [60] đã đưa ra định

lí sau cho sự hội tụ của phương pháp (1.22):

Định lí 1.25. ([60]) Giả sử các dãy tk, rk và ek thỏa mãn điều kiện

(C0), (C1), (C3), (C4), (C5) và hoặc (C2) hoặc

(C2’) limk→∞ tk/tk+1 = 1.

Khi đó, dãy xk xác định bởi phương pháp (1.22) hội tụ mạnh tới PZerAu.

Năm 2008, Y. Yao và M.A. Noor [97] đã mở rộng phương pháp (1.22)

bằng cách đưa ra phương pháp lặp:

xk+1 = tku+ ρkxk + δkJkx

k + ek, k ≥ 1, (1.23)

trong đó tk +ρk + δk = 1. Các tác giả đã chứng minh được kết quả sau cho

phương pháp (1.23):

Định lí 1.26. ([97]) Giả sử tk, ρk, δk ∈ (0, 1), với tk + ρk + δk = 1 và dãy

ek thỏa mãn các điều kiện (C0), (C1), (C5) và

(C4’) rk+1 − rk → 0;

(C7) 0 < lim infk→∞ ρk ≤ lim supk→∞ ρk < 1.

Khi đó, dãy xk sinh bởi phương pháp (1.23) hội tụ mạnh tới PZerAu.

So với kết quả của G. Marino và H.K. Xu, trong kết quả trên, Y. Yao

và M.A. Noor đã thay thế điều kiện (C4) bởi điều kiện nhẹ hơn là (C4’) và

loại bỏ được các điều kiện (C2), (C2’) và (C3) nhưng sử dụng thêm điều

kiện (C7).

Năm 2010, O.A. Boikanyo và G. Morosanu [21] đã chỉ ra rằng phương

pháp (1.19) tương đương với phương pháp (1.22) và đạt được kết quả hội

tụ sau cho phương pháp (1.22) với việc đưa ra giả thiết tổng quát hơn

đối với dãy ek là: dãy ek thỏa mãn hoặc (C5) hoặc (C5’) nhưng lại sử

dụng điều kiện (C0”) mạnh hơn điều kiện (C0):

Định lí 1.27. ([21]) Giả sử các dãy tk, rk và ek thỏa mãn điều kiện

(C0”), (C1) và hoặc (C5) hoặc (C5’). Khi đó, dãy xk xác định bởi phương

pháp (1.22) hội tụ mạnh tới PZerAu.

30

Tương tự như đã trình bày trong Mục 3.2.1, ta thấy, mọi dãy ek mà

‖ek‖ → 0 đều thỏa mãn cho sự hội tụ mạnh của phương pháp (1.22) miễn

là ta chọn dãy tk thích hợp.

Năm 2015, nhờ việc sử dụng giả thiết về dãy ek giống như của O.A.

Boikanyo và G. Morosanu, F. Wang và H. Cui [91] đã cải thiện được kết

quả của Y. Yao và M.A. Noor đối với phương pháp (1.23). Điều đó thể

hiện bởi định lí:

Định lí 1.28. ([91]) Giả sử tk ∈ (0, 1), ρk ∈ (−1, 1), δk ∈ (0, 2), với

tk +ρk +δk = 1 và dãy ek thỏa mãn các điều kiện (C0’), (C1), hoặc (C5)

hoặc (C5’) và

(C8) 0 < lim infk→∞ δk ≤ lim supk→∞ δk < 2.

Khi đó, dãy xk sinh bởi phương pháp (1.23) hội tụ mạnh tới PZerAu.

So với kết quả của Y. Yao và M.A. Noor, trong kết quả trên, F. Wang

và H. Cui đã đưa ra khoảng lựa chọn cho các giá trị của các tham số ρk và

δk là rộng hơn và sử dụng điều kiện (C8) là nhẹ hơn so với điều kiện (C7).

Ngoài ra, F. Wang và H. Cui đã loại bỏ được điều kiện (C4’) và cho phép

ta có nhiều lựa sự chọn hơn đối với dãy ek.

Nhận xét 1.6. Ta thấy, sự hội tụ mạnh của các cải biên của phương pháp

điểm gần kề nêu ở trên đều sử dụng một trong các điều kiện (C0), (C0’) và

(C0”). Các điều kiện này đều dẫn tới dãy tham số rk của toán tử giải là

không khả tổng, tức là∞∑k=1

rk = +∞. Trong Chương 3, chúng tôi sẽ đưa ra

hai cải biên mới của phương pháp điểm gần kề mà sự hội tụ mạnh của các

phương pháp này được đưa ra dưới điều kiện về dãy tham số của toán tử

giải hoàn toàn khác so với các kết quả đã biết. Cụ thể, chúng tôi sử dụng

điều kiện dãy tham số của toán tử giải là khả tổng, tức là∞∑k=1

rk < +∞.

KẾT LUẬN

Chương 1 có tính chất chuẩn bị, nhằm đưa ra những kiến thức phục vụ

cho việc trình bày trong các chương sau của luận án. Cụ thể, Mục 1.1 đề

31

cập một số vấn đề cơ bản về cấu trúc hình học của không gian Banach

cũng như trình bày các khái niệm liên quan đến ánh xạ loại đơn điệu (đơn

điệu và J-đơn điệu) cùng một số tính chất cơ bản của chúng. Mục này

cũng đưa ra khái niệm bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu

chỉnh. Mục 1.2 khái quát lại phương pháp Newton-Kantorovich. Mục 1.3

trình bày phương pháp điểm gần kề và một số cải biên của nó để tìm

không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert. Sự hội

tụ mạnh của các cải biên này đều sử dụng các giả thiết dẫn tới dãy tham

số của toán tử giải là không khả tổng.

Chương 2

Phương pháp hiệu chỉnh lặp

Newton-Kantorovich cho phương

trình phi tuyến với toán tử loại đơn

điệu

Chương này trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich

để tìm nghiệm của phương trình phi tuyến với toán tử loại đơn điệu. Mục

2.1 đưa ra các kết quả về phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich

cho phương trình toán tử không chỉnh phi tuyến đơn điệu. Mục 2.2 giới

thiệu các kết quả về phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho

phương trình toán tử không chỉnh phi tuyến J-đơn điệu. Mục 2.3 đưa ra

ví dụ số áp dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich để giải

phương trình tích phân kiểu Hammerstein. Các kết quả của chương này

được trình bày dựa vào các công trình [2′], [3′] và [4′] trong danh mục các

công trình đã công bố.

2.1. Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi

tuyến với toán tử đơn điệu trong không gian Banach

Xét phương trình toán tử phi tuyến

A(x) = f, f ∈ E∗, (2.1)

trong đó A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào không gian đối

ngẫu của nó là E∗, với D(A) = E. Giả sử tập nghiệm của (2.1), ký hiệu

là S, khác rỗng và thay cho f ta chỉ biết xấp xỉ của nó là fδ thỏa mãn

‖fδ − f‖ ≤ δ 0. (2.2)

33

Nếu A không có thêm tính chất đơn điệu mạnh hoặc đơn điệu đều thì

bài toán (2.1) nói chung là bài toán đặt không chỉnh.

Do khi A là ánh xạ phi tuyến thì các phương pháp hiệu chỉnh dạng

Browder-Tikhonov (0.6) (xem trang 3) và (0.8) (xem trang 3) là các bài

toán phi tuyến nên để giải (2.1), trong mục này, ta xét một phương

pháp hiệu chỉnh khác, có tên là phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-

Kantorovich. Phương pháp hiệu chỉnh này được đề xuất bởi A.B. Bakushin-

skii [14] dựa trên phương pháp Newton-Kantorovich (xem trang 23) để tìm

nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân sau trong không gian Hilbert

H:

Tìm phần tử x∗ ∈ Q ⊆ H sao cho

〈A(x∗), x∗ − w〉 ≤ 0, ∀w ∈ Q, (2.3)

trong đó A : H → H là ánh xạ đơn điệu, Q là tập lồi và đóng trong H.

A.B. Bakushinskii đã đưa ra phương pháp lặp để giải bài toán (2.3) như

sau:z0 ∈ H,

〈A(zn) + A′(zn)(zn+1 − zn) + αnzn+1, zn+1 − w〉 ≤ 0, ∀w ∈ Q,(2.4)

ở đây αn > 0 và A′(zn) là đạo hàm Fréchet của ánh xạ A tại điểm zn.

Dựa trên cơ sở phương pháp (2.4), để tìm nghiệm của phương trình

(2.1) khi A là ánh xạ phi tuyến đơn điệu từ không gian Hilbert H vào H,

A.B. Bakushinskii và A. Smirnova [17] đã nghiên cứu sự hội tụ của phương

pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich:

z0 = x+ ∈ H, A(zn) + A′(zn)(zn+1 − zn) + αn(zn+1 − x+) = fδ, (2.5)

với nguyên lý độ lệch suy rộng

‖A(zN)− fδ‖2 ≤ τδ < ‖A(zn)− fδ‖2, 0 ≤ n < N = N(δ). (2.6)

Các tác giả đã đưa ra định lí sau cho sự hội tụ mạnh của phương pháp

hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich (2.5):

Định lí 2.1. ([17]) Cho H là không gian Hilbert thực và A : H → H là

ánh xạ đơn điệu. Giả sử các điều kiện dưới đây được thỏa mãn:

34

a) A khả vi Fréchet và có đạo hàm thỏa mãn

‖A′(x)‖ ≤ 1, ‖A′(x)− A′(y)‖ ≤ L‖x− y‖, ∀x, y ∈ H. (2.7)

b) Dãy αn thỏa mãn các giả thiết

αn 0,αn − αn+1

αnαn+1≤ p, (2.8)

ở đây p là một hằng số dương nào đó.

c) Cho x∗ là nghiệm có x+-chuẩn nhỏ nhất của phương trình (2.1) và số

τ > 1 được chọn trong (2.6) thỏa mãn√(2 + Lσ)dw0r ≤ σ − 2w0r ≤ dα0, (2.9)

trong đó w0 := ‖x∗−x+‖, σ := (√τ−1)2, r := pα0+1 và d := 2(w0r+pσ).

Khi đó,

1. Với n = 0, 1, ..., N(δ),

‖xαn − zn‖αn

≤ l :=dw0

σ − 2w0r,

ở đây N(δ) được chọn bởi (2.6) và xαn là nghiệm của phương trình:

A(x) + αn(x− x+) = f. (2.10)

2. limδ→0‖zN(δ)− y‖ = 0, ở đây y ∈ S. Nếu N(δ)→∞ khi δ → 0 thì y = x∗.

Nhận xét 2.1. Phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich

(2.5) có ưu điểm nổi bật bởi tính chất tuyến tính của nó. Phương pháp

này cùng với Định lí 2.1 là một công cụ quan trọng để giải bài toán (2.1)

trong trường hợp A là ánh xạ đơn điệu trong không gian Hilbert. Tuy

nhiên, ta thấy điều kiện (2.7) là khá chặt và cần khắc phục để phương

pháp (2.5) có thể áp dụng với lớp các ánh xạ rộng hơn.

Khi E là không gian Banach, để giải phương trình (2.1) trong trường

hợp thay cho f , ta chỉ biết xấp xỉ của nó fδn ∈ E∗, thỏa mãn (2.2),

trong đó δ được thay thế bởi δn, I.P. Ryazantseva (xem [9, 77]) cũng đã

phát triển phương pháp (2.4) để đưa ra phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng

Newton-Kantorovich:

z0 ∈ E, A(zn) + A′(zn)(zn+1 − zn) + αnJs(zn+1) = fδn. (2.11)

35

Bằng việc sử dụng điều kiện

‖A′′(x)‖ ≤ ϕ(‖x‖), ∀x ∈ E, (2.12)

ở đây A′′(x) là đạo hàm Fréchet cấp hai của ánh xạ A tại điểm x, ϕ(t)

là hàm không âm và không giảm, với mọi t ≥ 0, các tác giả đã chứng

minh được kết quả sau cho phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-

Kantorovich (2.11):

Định lí 2.2. ([9, 77]) Cho E là không gian Banach có tính chất ES và

không gian đối ngẫu E∗ là lồi chặt, A : E → E∗ là ánh xạ đơn điệu, hai

lần khả vi Fréchet trên E, thỏa mãn điều kiện (2.12) và fδn ∈ E∗ thỏa mãn

(2.2) với δ được thay thế bởi δn. Giả sử s ∈ [2, 3), ánh xạ đối ngẫu Js của

E, dãy αn và điểm xuất phát z0 thỏa mãn các điều kiện sau:

a) tồn tại số c > 0 sao cho

〈Js(x)− Js(y), x− y〉 ≥ c‖x− y‖s, ∀x, y ∈ E. (2.13)

b) αn là dãy số dương, đơn điệu giảm, αn → 0, δn/αn → 0 khi n → ∞và tồn tại số σ > 0 sao cho αn+1 ≥ σαn, với mọi n = 0, 1, ...

c) (cτ11 ‖z0 − xα0

‖ηατ10

)τ≤ q < 1,

τ =1

s− 1, τ1 =

1

3− s, η = σK, K =

s− 1

(3− s)2, c1 =

ϕ(d+ γ)

2c,

trong đó γ > 0 và d được tìm từ bất đẳng thức

η

(α0

c1

)τ1≤ γ, d ≥ ‖x∗‖, (2.14)

ở đây x∗ là phần tử duy nhất thỏa mãn x∗ ∈ S, ‖x∗‖ = minx∈S‖x‖ và xα0

là

nghiệm của phương trình sau

A(x) + αnJsx = fδn (2.15)

với n = 0.

d) (|αn − αn+1|

α2τ1n

)τ≤ qs−1 − q2

c2, c2 =

dcτ11

cτστ1+K .

Khi đó, zn → x∗, ở đây zn được xác định bởi (2.11).

36

Nhận xét 2.2. Ta thấy ngay các không gian lp và Lp(Ω) (1 < p < +∞)

là các không gian Banach có tính chất ES, không gian đối ngẫu là lồi chặt

và ánh xạ đối ngẫu thỏa mãn điều kiện a) trong Định lí 2.2 (xem [9]). Tuy

nhiên, do phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich (2.11)

sử dụng ánh xạ đối ngẫu Js làm thành phần hiệu chỉnh nên nó có những

nhược điểm giống như phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov (0.6)

đã nêu ở trên.

Để khắc phục các hạn chế này, trong [3′], chúng tôi đưa ra phương pháp

hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich mới như sau:

z0 ∈ E, A(zn) + A′(zn)(zn+1 − zn) + αnB(zn+1 − x+) = fδn, (2.16)

ở đây B là ánh xạ tuyến tính và đơn điệu mạnh. Ta đã biết, ánh xạ B

có các tính chất như trên đã được sử dụng trong phương pháp hiệu chỉnh

dạng Browder-Tikhonov (0.8) (xem trang 3). Rõ ràng, (2.16) là bài toán

tuyến tính. Ngoài ra, phương pháp (2.16) còn có ưu điểm là nếu biết được

một số thông tin về nghiệm chính xác, chẳng hạn như thông tin về độ trơn

của nó, thì ta có thể xây dựng ánh xạ B sao cho nghiệm hiệu chỉnh vẫn

giữ nguyên được tính chất đó.

Bổ đề 2.1. Cho E là không gian Banach thực, phản xạ, A là ánh xạ đơn

điệu, khả vi Fréchet trên E và B là ánh xạ tuyến tính, mB-đơn điệu mạnh

với D(B) = E và R(B) = E∗. Khi đó, phương trình (2.16) có nghiệm duy

nhất zn+1 với mỗi số nguyên cố định n ≥ 0 và αn, δn > 0.

Chứng minh. Do B là ánh xạ tuyến tính và R(B) = E∗ nên B là một toàn

ánh tuyến tính. Hơn nữa, từ tính mB-đơn điệu mạnh của ánh xạ B, ta có

〈B(x), x〉 ≥ mB‖x‖2, ∀x ∈ D(B).

Từ đó, ta thu được bất đẳng thức

‖B(x)‖‖x‖ ≥ mB‖x‖2, ∀ x ∈ D(B),

hay

‖B(x)‖ ≥ mB‖x‖, ∀ x ∈ D(B).

Theo Định lí 1.9 (xem trang 16), B có ánh xạ ngược B−1 liên tục. Suy ra

B là ánh xạ đơn điệu cực đại (xem Định lí 1.12, trang 17). Vì A là ánh xạ

37

khả vi Fréchet và đơn điệu nên A′(z)(.) cũng là ánh xạ đơn điệu với mỗi

z ∈ E cố định (xem [86]). Hơn nữa, A′(z)(.) là ánh xạ liên tục. Sử dụng

Định lí 1.11 (xem trang 17), ta có A′(z)(.) là ánh xạ đơn điệu cực đại trên

E. Do E là không gian Banach phản xạ nên theo Định lí 1.13 (xem trang

17), A′(z)(.) + αB cũng là ánh xạ đơn điệu cực đại trên D(B) với mỗi

z ∈ E cố định và số α > 0 bất kỳ. Bên cạnh đó, vì A′(z)(.) +αB là ánh xạ

(mBα)-đơn điệu mạnh nên A′(z)(.) +αB là ánh xạ bức. Theo Định lí 1.14

(xem trang 18), ta có R(A′(z)(.) + αB) = E∗. Do đó, phương trình (2.16)

có nghiệm zn+1 với mỗi số nguyên cố định n ≥ 0 và αn, δn > 0. Nghiệm đó

là duy nhất vì A′(z)(.) + αnB là ánh xạ (mBαn)-đơn điệu mạnh.

Sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich

(2.16) được chứng minh dựa trên kết quả hội tụ sau của phương pháp hiệu

chỉnh dạng Browder-Tikhonov:

A(x) + αnB(x− x+) = f, x+ ∈ D(B)\S. (2.17)

Định lí 2.3. Cho không gian E và ánh xạ B như trong Bổ đề 2.1, A là

ánh xạ liên tục và đơn điệu trên E. Khi đó, với mỗi αn > 0, phương

trình (2.17) có nghiệm duy nhất xn. Hơn nữa, nếu αn → 0 khi n→∞ và

D(B) ⊃ S thì xn hội tụ mạnh tới x∗ là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức

biến phân sau:

x∗ ∈ S, 〈B(x+ − x∗), x∗ − y〉 ≥ 0, ∀y ∈ S. (2.18)

Ngoài ra, ta có

‖xn − xn+1‖ ≤|αn − αn+1|αnαn+1

d, d ≥ L

m2B

‖B(x∗ − x+)‖, (2.19)

khi ánh xạ A có thêm tính chất là L-liên tục Lipschitz.

Chứng minh. Ta có B là ánh xạ đơn điệu cực đại (xem phần chứng minh

Bổ đề 2.1). Mặt khác, vì A là một ánh xạ liên tục và đơn điệu trên E nên

theo Định lí 1.11 (xem trang 17), A cũng là ánh xạ đơn điệu cực đại. Do

đó, theo Định lí 1.13 (xem trang 17), với mỗi αn > 0, ánh xạ A + αnB

là đơn điệu cực đại. Do A + αnB là ánh xạ (mBαn)-đơn điệu mạnh nên

A + αnB là ánh xạ bức. Từ đó, theo Định lí 1.14 (xem trang 18), ta có

R(A+ αnB) = E∗. Do đó, phương trình (2.17) luôn có nghiệm, kí hiệu là

38

xn. Nghiệm này là duy nhất vì A+αnB là ánh xạ (mBαn)-đơn điệu mạnh.

Ta có

〈A(xn) + αnB(xn − x+)− A(y), xn − y〉 = 0,

với y ∈ S bất kỳ. Vì A là ánh xạ đơn điệu nên từ đẳng thức trên, ta có

〈B(xn − x+), xn − y〉 ≤ 0,

hoặc

〈B(xn − y) +B(y − x+), xn − y〉 ≤ 0.

Từ đó dẫn đến

mB‖xn − y‖2 ≤ 〈B(xn − y), xn − y〉

≤ 〈B(x+ − y), xn − y〉, ∀y ∈ S.(2.20)

Suy ra

‖xn − y‖ ≤ ‖B(x+ − y)‖/mB, ∀y ∈ S. (2.21)

Vì vậy, dãy xn là giới nội. Do E là không gian Banach phản xạ nên tồn

tại dãy con xnj hội tụ yếu tới phần tử x ∈ E khi j → ∞. Hơn nữa, từ

(2.17), tính chất đơn điệu của các ánh xạ A và B, ta có

〈A(x) + αnjB(x− x+)− f, x− xnj〉 = 〈A(x)− A(xnj), x− xnj〉

+ 〈A(xnj) + αnjB(xnj − x+)− f, x− xnj〉

+ αnj〈B(x)−B(xnj), x− xnj)〉 ≥ 0,

với mọi x ∈ D(B). Từ bất đẳng thức trên, cho j →∞, ta được

〈A(x)− f, x− x〉 ≥ 0, ∀x ∈ D(B).

Vì D(B) là trù mật trong E nên với mọi x ∈ E, tồn tại dãy un ⊂ D(B)

sao cho un → x khi n→∞ và do đó, với giả thiết A là ánh xạ liên tục, ta

có

〈A(x)− f, x− x〉 = limn→∞〈A(un)− f, un − x〉 ≥ 0.

Sử dụng Bổ đề 1.1 (xem trang 12), ta đạt được A(x) = f , tức là x ∈ S.Bây giờ, ta thay thế y và n trong (2.20) tương ứng bởi x và nj, ta được

mB‖xnj − x‖2 ≤ 〈B(x+ − x), xnj − x〉.

39

Vì xnj x khi j →∞ nên 〈B(x+− x), xnj − x〉 → 0 khi j →∞ và do đó

limj→∞‖xnj − x‖ = 0.

Sử dụng (2.20) một lần nữa, ta được

〈B(x+ − y), x− y〉 = limj→∞〈B(x+ − y), xnj − y〉 ≥ 0, ∀y ∈ S. (2.22)

Theo giả thiết, B là ánh xạ tuyến tính nên theo Định lí 1.1 (xem trang

12), B là ánh xạ hemi-liên tục. Do vậy, theo Định lí 1.10 (xem trang 17),

bất đẳng thức (2.22) tương đương với bất đẳng thức sau

〈B(x+ − x), x− y〉 ≥ 0, ∀y ∈ S.

Vì nghiệm của (2.18) là duy nhất nên x = x∗ và vì vậy, dãy xn hội tụ

mạnh tới x∗ khi n→∞.

Bây giờ, ta chứng minh bất đẳng thức (2.19). Thật vậy, từ (2.17), ta có

〈A(xn)− A(xn+1) + αnB(xn − x+)− αn+1B(xn+1 − x+), xn − xn+1〉 = 0.

Do tính chất đơn điệu của ánh xạ A nên

〈αnB(xn − x+)− αn+1B(xn+1 − x+), xn − xn+1〉 ≤ 0,

hay

αn〈B(xn)−B(xn+1), xn − xn+1〉 ≤ (αn+1 − αn)〈B(xn+1 − x+), xn − xn+1〉.

Vì vậy,

‖xn − xn+1‖2 ≤ |αn+1 − αn|mBαn

‖B(xn+1 − x+)‖‖xn − xn+1‖

=|αn+1 − αn|mBαnαn+1

‖f − A(xn+1)‖‖xn − xn+1‖

=|αn − αn+1|mBαnαn+1

‖A(x∗)− A(xn+1)‖‖xn − xn+1‖

≤ |αn − αn+1|mBαnαn+1

L‖x∗ − xn+1‖‖xn − xn+1‖

hay

‖xn − xn+1‖ ≤|αn − αn+1|mBαnαn+1

L‖x∗ − xn+1‖.

Do đó, kết hợp với (2.21) với y = x∗, ta được

‖xn − xn+1‖ ≤|αn − αn+1|m2Bαnαn+1

L‖B(x∗ − x+)‖.

Điều này dẫn tới (2.19). Ta có điều phải chứng minh.

40

Trước hết, để tìm nghiệm của phương trình (2.1) trong trường hợp

không có nhiễu cho f , ta có phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-

Kantorovich sau:

z0 ∈ E, A(zn) + A′(zn)(zn+1 − zn) + αnB(zn+1 − x+) = f. (2.23)

Chú ý 2.1. Cũng giống như phương trình (2.16), nếu không gian E, các

ánh xạ A và B được cho như trong trong Bổ đề 2.1 thì phương trình (2.23)

có nghiệm duy nhất zn+1 với mỗi n ≥ 0 cố định và αn > 0.

Áp dụng Định lí 2.3, ta chứng minh được kết quả hội tụ sau cho phương

pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich (2.23):

Định lí 2.4. Cho không gian E và ánh xạ B như trong Bổ đề 2.1, A là

ánh xạ đơn điệu, L-liên tục Lipschitz và hai lần khả vi Fréchet trên E thỏa

mãn điều kiện (2.12). Giả sử dãy αn và điểm xuất phát z0 trong (2.23)

thỏa mãn các điều kiện sau:

a) αn là dãy đơn điệu giảm với 0 < αn < 1 và tồn tại số σ > 0 sao cho

αn+1 ≥ σαn, với mọi n = 0, 1, ...;

b)

ϕ0‖z0 − x0‖2mBσα0

≤ q < 1, ϕ0 = ϕ(d+ γ), (2.24)

d ≥ max

‖B(x+ − x∗)‖

mB+ ‖x∗‖,

L‖B(x+ − x∗)‖m2B

,

trong đó số dương γ được tìm từ bất đẳng thức

2mBσα0

ϕ0≤ γ, (2.25)

x∗ là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân (2.18) và x0 là nghiệm

của (2.17) với n = 0;

c)αn − αn+1

α3n

≤ c(q − q2), c =2mBσ

3

ϕ0d.

Khi đó, zn → x∗, ở đây zn được xác định bởi (2.23).

Chứng minh. Sử dụng công thức Taylor và (2.17), ta có

A(zn) + A′(zn)(xn − zn) +1

2A′′(θn)(xn − zn)2

+ αnB(xn − x+) = f,(2.26)

41

trong đó θn = xn + θ(zn − xn) và 0 < θ < 1. Từ (2.23) và (2.26), suy ra

〈A′(zn)(zn+1 − xn)− 1

2A′′(θn)(xn − zn)2 + αnB(zn+1 − xn), zn+1 − xn〉 = 0.

Do tính chất đơn điệu của ánh xạ A′(zn)(.) nên

〈−1

2A′′(θn)(xn − zn)2 + αnB(zn+1 − xn), zn+1 − xn〉 ≤ 0.

Khi đó, kết hợp với tính chất mB-đơn điệu mạnh của ánh xạ B, ta được

αnmB‖zn+1 − xn‖2 ≤ 1

2‖A′′(θn)‖42

n‖zn+1 − xn‖,

trong đó 4n = ‖zn − xn‖ và vì vậy,

‖zn+1 − xn‖ ≤ϕ(‖θn‖)2mBαn

42n ≤

ϕ(rn)

2mBαn42n, (2.27)

ở đây rn ≥ ‖xn‖+4n. Với điều kiện a) và (2.25), suy ra σ < 1 và

2mBσαnϕ0

≤ γ, ∀n ≥ 0. (2.28)

Theo điều kiện b) và (2.25), ta được 40 ≤ γ. Mặt khác, từ chứng minh

của Định lí 2.3, ta có ‖xn‖ ≤ d, ∀n ≥ 0. Vì vậy, ta có thể lấy r0 = d + γ.

Bây giờ, ta chỉ ra rằng

ϕ04n

2mBσαn≤ q < 1, ∀n ≥ 0 (2.29)

bằng quy nạp. Thật vậy, với n = 0, bất đẳng thức (2.29) là đúng bởi điều

kiện b). Giả sử (2.29) đúng với n = k. Khi đó, ta có thể lấy rk = d+ γ và

từ đó ϕ(rk) = ϕ0. Ta chứng minh (2.29) đúng cho n = k + 1. Rõ ràng, từ

(2.19) và (2.27), ta có

4k+1 = ‖zk+1 − xk+1‖ ≤ ‖zk+1 − xk‖+ ‖xk − xk+1‖

≤ ϕ(rk)

2mBαk42k +

αk − αk+1

αkαk+1d,

(2.30)

và do đó, ta được

ϕ04k+1

2mBσαk+1≤(

ϕ0

2mBσαk4k

)2

+αk − αk+1

αkσαk.

ϕ0d

2mBσ2αk

≤(

ϕ0

2mBσαk4k

)2

+αk − αk+1

α3k

.ϕ0d

2mBσ3

≤ q2 + q − q2 = q < 1.

(2.31)

42

Vậy, bất đẳng thức (2.29) đúng với mọi số nguyên n ≥ 0. Cũng theo (2.28)

và (2.31), ta có

4k+1 ≤2mBσαk+1

ϕ0≤ γ,

và từ định nghĩa của rn, ta có thể lấy rk+1 = d+ γ. Vì αn → 0 khi n→∞nên từ (2.29), ta có 4n → 0 khi n → ∞. Mặt khác, theo Định lí 2.3 thì

‖xn− x∗‖ → 0 khi n→∞. Vì vậy, tính hội tụ mạnh của zn tới x∗ đượcsuy ra từ bất đẳng thức sau

‖zn − x∗‖ ≤ 4n + ‖xn − x∗‖.

Định lí đã được chứng minh xong.

Bây giờ, ta có kết quả sau cho sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh

lặp dạng Newton-Kantorovich (2.16):

Định lí 2.5. Cho không gian E và ánh xạ B như trong Bổ đề 2.1, cho

ánh xạ A như trong Định lí 2.4 và fδn là phần tử trong E∗ thỏa mãn (2.2),

trong đó δ được thay thế bởi δn. Giả sử dãy αn, số thực d và điểm xuất

phát z0 trong (2.16) thỏa mãn các điều kiện a), b) trong Định lí 2.4 và

c)

αn − αn+1

α3n

≤ c1(q − q2), c1 =mBσ

3

ϕ0d,

δnα2n

≤ c2(q − q2), c2 =m2Bσ

2

ϕ0.

(2.32)

Khi đó, zn → x∗, ở đây zn được xác định bởi (2.16).

Chứng minh. Từ (2.16) và (2.26), ta được

〈A′(zn)(zn+1 − xn)− 1

2A′′(θn)(xn − zn)2

+ αnB(zn+1 − xn)− (fδn − f), zn+1 − xn〉 = 0.

Do tính chất đơn điệu của ánh xạ A′(zn)(.) nên

〈−1

2A′′(θn)(xn − zn)2 + αnB(zn+1 − xn)− (fδn − f), zn+1 − xn〉 ≤ 0.

Sử dụng (2.12) và tính chất mB-đơn điệu mạnh của ánh xạ B, ta thu được

αnmB‖zn+1 − xn‖2 ≤(

1

2ϕ(rn)42

n + δn

)‖zn+1 − xn‖,

43

trong đó 4n = ‖zn − xn‖ và rn ≥ ‖xn‖+ 4n. Từ đó, suy ra

‖zn+1 − xn‖ ≤ϕ(rn)

2αnmB42n +

δnαnmB

.

Do đó, kết hợp cùng với (2.19), ta có

4n+1 = ‖zn+1 − xn+1‖ ≤ ‖zn+1 − xn‖+ ‖xn − xn+1‖

≤ ϕ(rn)

2αnmB42n +

αn − αn+1

αnαn+1d+

δnαnmB

.(2.33)

Bây giờ, ta chứng minh

γn =ϕ04n

2mBσαn≤ q < 1, n ≥ 0 (2.34)

bằng qui nạp. Thật vậy, (2.34) đúng với n = 0 (xem điều kiện b) trong

Định lí 2.4). Giả sử (2.34) đúng với n = k. Khi đó, ta có thể lấy rk = d+γ

và do đó, ϕ(rk) = ϕ0. Ta chứng minh (2.34) đúng với n = k + 1. Rõ ràng,

từ (2.33), αk+1 ≥ σαk và điều kiện c), ta có

γk+1 =ϕ04k+1

2mBσαk+1≤ γ2

k +αk − αk+1

α3k

.ϕ0d

2mBσ3+δkα2k

.ϕ0

2m2Bσ

2

≤ q2 +1

2(q − q2) +

1

2(q − q2) = q < 1.

(2.35)

Vậy, bất đẳng thức (2.34) đúng với mọi số nguyên n ≥ 0. Cũng theo bất

đẳng thức (2.35), ta có

4k+1 ≤2mBσαk+1

ϕ0≤ γ,

và do đó, từ định nghĩa của rn, ta có thể lấy rk+1 = d+ γ. Vì αn → 0 khi

n → ∞ nên từ (2.34), ta có 4n → 0 khi n → ∞. Mặt khác, theo Định lí

2.3 thì ‖xn − x∗‖ → 0 khi n → ∞. Vì vậy, tính hội tụ mạnh của zn tớix∗ được suy ra từ bất đẳng thức sau

‖zn − x∗‖ ≤ 4n + ‖xn − x∗‖.

Ta có điều phải chứng minh.

Chú ý 2.2. Để bất đẳng thức (2.24) thỏa mãn đòi hỏi trong các phương

pháp (2.16) và (2.23) ta phải chọn điểm xuất phát z0 đủ gần x0 hoặc chọn

γ sao cho 40/γ ≤ q.

44

Nhận xét 2.3. Ta thấy, (2.16) và (2.23) là các bài toán tuyến tính. Việc

đưa ra các phương pháp này đã khắc phục được tính chất "phi tuyến"

của các phương pháp trước đây để tìm nghiệm của phương trình không

chỉnh phi tuyến với ánh xạ đơn điệu trong không gian Banach. Về sự hội

tụ mạnh, phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich (2.11)

chỉ áp dụng đối với không gian Banach E có tính chất ES và không gian

đối ngẫu E∗ là lồi chặt, trong khi các phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng

Newton-Kantorovich (2.16) và (2.23) có thể sử dụng trong không gian

Banach thực và phản xạ bất kỳ. Tuy nhiên, các phương pháp hiệu chỉnh

lặp dạng Newton-Kantorovich (2.16) và (2.23) đòi hỏi điều kiện A là ánh

xạ liên tục Lipschitz.

2.2. Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi

tuyến với toán tử J-đơn điệu trong không gian Banach

Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình phi tuyến

A(x) = f, f ∈ E, (2.36)

trong đó A là ánh xạ J-đơn điệu trên không gian Banach E. Giả sử tập

nghiệm của (2.36), ký hiệu là S∗, khác rỗng và thay cho f ta chỉ biết xấp

xỉ của nó là fδ ∈ E thỏa mãn điều kiện (2.2).

Nếu A không có thêm tính chất J-đơn điệu mạnh hoặc J-đơn điệu đều

thì bài toán (2.36), nói chung, là bài toán đặt không chỉnh.

Một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi để giải bài toán

(2.36) là phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov (0.9) (xem trang 4).

Tuy nhiên, nếu A là ánh xạ phi tuyến thì (0.9) là bài toán phi tuyến. Để

khắc phục hạn chế này, Ng. Bường và V.Q. Hùng [31] đã nghiên cứu sự

hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich sau để

tìm nghiệm của bài toán (2.36) trong trường hợp thay cho f ta chỉ biết

xấp xỉ của nó là fδn ∈ E thỏa mãn điều kiện (2.2), trong đó δ được thay

thế bởi δn:

z0 ∈ E,A(zn) + A′(zn)(zn+1 − zn) + αn(zn+1 − x+) = fδn. (2.37)

Các tác giả đã đưa ra kết quả dưới đây cho phương pháp hiệu chỉnh lặp

dạng Newton-Kantorovich (2.37):

45

Định lí 2.6. ([31]) Cho không gian Banach E cùng với không gian đối

ngẫu E∗ là các không gian lồi đều, E có tính chất xấp xỉ, ánh xạ A :

D(A) = E −→ E là m-J-đơn điệu trên E, hai lần khả vi Fréchet, thỏa

mãn điều kiện

‖A′′(x)‖ ≤M, ∀x ∈ E, (2.38)

trong đó M là một hằng số dương nào đó, và dãy số dương αn. Giả sử

các điều kiện sau được thỏa mãn

a)

‖A(x)− A(x∗)− J∗A′(x∗)∗J(x− x∗)‖ ≤ τ‖A(x)− A(x∗)‖, (2.39)

với mọi x ∈ E, ở đây τ là hằng số dương nào đó, x∗ ∈ S∗ được xác định

duy nhất bởi (2.39) và J∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E∗;

b) tồn tại phần tử v ∈ E sao cho

A′(x∗)v = x+ − x∗; (2.40)

c)

limn→∞

αn = 0, 1 ≤ αn−1

αn≤ r,

M‖z0 − x0‖2α0

≤ q <1

r, an ≤

2(1/r − q)qM

,

ở đây x0 là nghiệm của phương trình

A(x) + αn(x− x+) = fδn, (2.41)

với n = 0 và

an =αn−1 − αnα2n−1

(2‖x∗‖+ bn) +δn + δn−1

α2n−1

, bn = max

δnαn,δn−1

αn−1

.

Khi đó, zn → x∗, trong đó zn được xác định bởi (2.37).

Nhận xét 2.4. Ta thấy, (2.37) có ưu điểm là bài toán tuyến tính. Tuy

nhiên, sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-

Kantorovich này cần thỏa mãn các điều kiện (2.39) và (2.40). Đây là các

điều kiện tương đối chặt bởi vì chúng sử dụng đạo hàm Fréchet của ánh

xạ A tại nghiệm chưa biết x∗.

46

Gần đây, trong [2′], để giải phương trình (2.36) cho trường hợp thay

cho f , ta chỉ biết xấp xỉ của nó là fδ thỏa mãn (2.2), bằng việc sử dụng

nguyên lý độ lệch suy rộng (2.6) và điều kiện (2.12), chúng tôi đã chứng

minh sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich

sau:

z0 ∈ E,A(zn) + A′(zn)(zn+1 − zn) + αn(zn+1 − x+) = fδ, (2.42)

mà không cần sử dụng các điều kiện (2.7), (2.39) và (2.40). Các kết quả

của chúng tôi được chứng minh dựa trên Định lí 1.17. Do đó, sự hội tụ

mạnh của phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich (2.42)

cũng không cần sử dụng giả thiết liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối

ngẫu chuẩn tắc J .

Bổ đề 2.2. Cho E là không gian Banach thực, A là ánh xạ J-đơn điệu

và khả vi Fréchet trên E. Khi đó, phương trình (2.42) có nghiệm duy nhất

zn+1, với mỗi số nguyên cố định n ≥ 0 và αn, δ > 0.

Chứng minh. Do A là ánh xạ khả vi Fréchet và J-đơn điệu nên A′(z)(.)

cũng là ánh xạ J-đơn điệu, với mỗi z ∈ E cố định (xem [86]). Mặt khác,

vì A′(z)(.) là ánh xạ tuyến tính và liên tục nên A′(z)(.) là ánh xạ liên tục

Lipschitz. Khi đó, theo Định lí 1.15 (xem trang 18), A′(z)(.) là ánh xạ

m-J-đơn điệu trên E. Do đó, trong trường hợp này, phương trình (2.42)

có nghiệm zn+1, với mỗi số nguyên cố định n ≥ 0 và αn, δ > 0. Nghiệm đó

là duy nhất vì A′(zn)(.) là ánh xạ J-đơn điệu.

Trước hết, xét phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich

cho trường hợp không có nhiễu cho f :

x0 ∈ E,A(xn) + A′(xn)(xn+1 − xn) + αn(xn+1 − x+) = f. (2.43)

Chú ý 2.3. Tương tự như phương trình (2.42), ta cũng chứng minh được

với không gian E và ánh xạ A được cho như trong Bổ đề 2.2 thì phương

trình (2.43) có nghiệm duy nhất xn+1, với mỗi số nguyên cố định n ≥ 0 và

αn > 0.

Sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich

(2.43) được cho bởi định lí sau:

47

Định lí 2.7. Cho E là không gian Banach thực, phản xạ, lồi chặt với

chuẩn khả vi Gâteaux đều, A là ánh xạ m-J-đơn điệu và hai lần khả vi

Fréchet trên E với điều kiện (2.12). Giả sử dãy αn, số thực d và điểm

xuất phát x0 thỏa mãn các điều kiện sau:

a) αn là dãy đơn điệu giảm với 0 < αn < 1 và tồn tại σ > 0 sao cho

αn+1 ≥ σαn, với mọi n = 0, 1, ...;

b)ϕ0‖x0 − xα0

‖2σα0

≤ q < 1, ϕ0 = ϕ(d+ γ),

số dương γ được tìm từ bất đẳng thức

2σα0

ϕ0≤ γ, d ≥ 2‖x∗ − x+‖+ ‖x+‖, (2.44)

trong đó x∗ ∈ S∗ là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân (1.4) và

xα0là nghiệm của phương trình sau

A(x) + αn(x− x+) = f, (2.45)

với n = 0;

c)αn − αn+1

α2n

≤ q − q2

c1; c1 =

ϕ0d

2σ2.

Khi đó, xn → x∗, ở đây xn được xác định bởi (2.43).

Chứng minh. Ký hiệu xαn là nghiệm duy nhất của phương pháp hiệu chỉnh

Browder-Tikhonov (2.45). Theo Định lí 1.17, dãy xαn hội tụ mạnh tới

x∗, thỏa mãn (1.4) khi n→∞. Từ (2.36) và (2.45), ta có

〈A(xαn)− A(x∗), j(xαn − x∗)〉+ αn〈xαn − x+, j(xαn − x∗)〉 = 0.

Do tính chất J-đơn điệu của ánh xạ A nên

〈xαn − x+, j(xαn − x∗)〉 ≤ 0. (2.46)

Từ đó, ta thu được

〈xαn − x∗, j(xαn − x∗)〉 ≤ 〈x+ − x∗, j(xαn − x∗)〉.

Theo định nghĩa và tính chất của j, ta có

‖xαn − x∗‖2 ≤ ‖x+ − x∗‖‖xαn − x∗‖,

48

hay

‖xαn − x∗‖ ≤ ‖x+ − x∗‖.

Điều này dẫn tới bất đẳng thức sau

‖xαn − x+‖ ≤ ‖xαn − x∗‖+ ‖x∗ − x+‖

≤ 2‖x∗ − x+‖, n = 0, 1, 2, ...(2.47)

Mặt khác, do xαn và xαn+1lần lượt là nghiệm của phương trình (2.45)

tương ứng với tham số αn và αn+1 nên ta được

〈A(xαn)−A(xαn+1)+αnxαn−αn+1xαn+1

−(αn−αn+1)x+, j(xαn−xαn+1

)〉 = 0.

Sử dụng tính chất J-đơn điệu của ánh xạ A, ta có

〈αnxαn − αn+1xαn+1− (αn − αn+1)x

+, j(xαn − xαn+1)〉 ≤ 0. (2.48)

Thêm bớt αnxαn+1vào vế trái của bất đẳng thức (2.48), ta thu được

〈αn(xαn − xαn+1) + (αn − αn+1)(xαn+1

− x+), j(xαn − xαn+1)〉 ≤ 0.

Do đó,

αn〈xαn − xαn+1, j(xαn − xαn+1

)〉 ≤ (αn − αn+1)〈x+ − xαn+1, j(xαn − xαn+1

)〉.

Từ đó, ta có

αn‖xαn − xαn+1‖2 ≤ (αn − αn+1)‖xαn+1

− x+‖‖xαn − xαn+1‖.

Theo bất đẳng thức (2.47), ta thu được

‖xαn − xαn+1‖ ≤ αn − αn+1

αn‖xαn+1

− x+‖

≤ αn − αn+1

αn

(2‖x∗ − x+‖

)≤ αn − αn+1

αnd, n = 0, 1, 2, ...

(2.49)

Sử dụng công thức Taylor và (2.45), ta có biểu diễn sau

A(xn) + A′(xn)(xαn − xn) +1

2A′′(θn)(xαn − xn)2

+ αn(xαn − x+) = f,(2.50)

49

trong đó θn = xαn + θ(xn − xαn) và 0 < θ < 1. Do đó, từ (2.43) và (2.50),

ta thu được

〈A′(xn)(xn+1−xαn)−1

2A′′(θn)(xαn−xn)2+αn(xn+1−xαn), j(xn+1−xαn)〉 = 0.

Vì A′(xn)(.) là ánh xạ J-đơn điệu nên

〈−1

2A′′(θn)(xαn − xn)2 + αn(xn+1 − xαn), j(xn+1 − xαn)〉 ≤ 0,

hay

αn〈xn+1 − xαn, j(xn+1 − xαn)〉 ≤1

2〈A′′(θn)(xαn − xn)2, j(xn+1 − xαn)〉.

Do đó, ta có

αn‖xn+1 − xαn‖2 ≤ 1

2‖A′′(θn)‖‖xαn − xn‖2‖xn+1 − xαn‖.

Vì vậy, ta đạt được bất đẳng thức

‖xn+1 − xαn‖ ≤ϕ(‖θn‖)

2αn‖xαn − xn‖2 ≤ ϕ(rn)

2αn42n, (2.51)

trong đó 4n = ‖xn− xαn‖ và rn ≥ ‖xαn‖+4n. Từ điều kiện a), (2.44), ta

có σ < 1 và

2σαnϕ0≤ 2σα0

ϕ0≤ γ, ∀n ≥ 0. (2.52)

Kết hợp với điều kiện b) và (2.44), ta được

40 = ‖x0 − xα0‖ < 2σα0

ϕ0≤ γ.

Mặt khác, ta có

‖xαn‖ ≤ ‖xαn − x+‖+ ‖x+‖ ≤ 2‖x∗ − x+‖+ ‖x+‖ ≤ d, n = 0, 1, 2, ...

Do đó, ta có thể lấy r0 = d + γ. Bây giờ, ta chứng minh đẳng thức sau

bằng qui nạp

ϕ04n

2σαn≤ q < 1, ∀n ≥ 0. (2.53)

50

Thật vậy, theo điều kiện b), bất đẳng thức (2.53) đúng với n = 0. Giả sử

(2.53) đúng với n = k và khi đó ta có thể lấy rk = d + γ. Ta chứng minh

(2.53) đúng với n = k + 1. Rõ ràng, từ (2.49) và (2.51) suy ra

4k+1 = ‖xk+1 − xαk+1‖ ≤ ‖xk+1 − xαk‖+ ‖xαk − xαk+1

‖

≤ ϕ(rk)

2αk42k +

αk − αk+1

αkd =

ϕ(d+ γ)

2αk42k +

αk − αk+1

αkd

=ϕ0

2αk42k +

αk − αk+1

αkd.

Kết hợp với điều kiện c), ta có

ϕ04k+1

2σαk+1≤(

ϕ0

2σαk4k

)2

+αk − αk+1

α2k

.ϕ0d

2σ2≤ q2 +

q − q2

c1.c1 = q < 1.

Vậy, (2.53) đã được chứng minh. Do đó, theo (2.52) ta được

4k+1 <2σαk+1

ϕ0≤ γ.

Vì vậy, ta có thể lấy rk+1 = d+ γ. Do αn → 0 khi n→ +∞ và theo (2.53)

ta có 4n < (2σαn)/ϕ0 nên 4n → 0 khi n → +∞. Cuối cùng, sự hội tụ

mạnh của xn tới x∗ được suy ra từ bất đẳng thức

‖xn − x∗‖ ≤ 4n + ‖xαn − x∗‖ và ‖xαn − x∗‖ → 0,

khi n→∞.

Bây giờ, ta có kết quả sau cho sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu

chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich (2.42).

Định lí 2.8. Cho không gian E và ánh xạ A như trong Định lí 2.7. Ánh

xạ A thỏa mãn thêm tính chất L-liên tục Lipschitz. Giả sử dãy αn thỏamãn điều kiện a) của Định lí 2.7. Số τ > 1 trong (2.6) được chọn sao cho

ϕ‖z0 − xα0‖

2σα0≤ q, 0 < q < 1− 3dL

τσ,

ϕ = ϕ0 + 2L2/τ , τ = (√τ − 1)2,

(2.54)

trong đó d được xác định như trong Định lí 2.7, số dương γ được tìm từ

bất đẳng thức (2.44) với ϕ0 được thay thế bởi ϕ và

αn − αn+1

α2n

+d

τ≤ 2Lσ

ϕτq. (2.55)

51

Khi đó,

1. Với n = 0, 1, ..., N(δ),

ϕ‖zn − xαn‖2σαn

≤ q, (2.56)

ở đây zn là một nghiệm của (2.42) và N(δ) được chọn bởi (2.6).

2. limδ→0‖zN(δ)−y‖ = 0, ở đây y ∈ S∗. Nếu N(δ)→∞ khi δ → 0 thì y = x∗,

trong đó x∗ ∈ S∗ là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân (1.4).

Chứng minh. Theo như chứng minh trong Định lí 2.7, ta có

‖xαn − xαn+1‖ ≤ αn − αn+1

αnd. (2.57)

Đặt 4n = ‖zn − xαn‖ và lấy số rn sao cho rn ≥ ‖xαn‖ + 4n, với n =

0, 1, 2, ... Ta chứng minh (2.56) bằng qui nạp. Trường hợp n = 0, (2.56)

đúng bởi điều kiện (2.54). Lấy n < N(δ) bất kỳ và giả sử rằng với k bất

kỳ, 0 ≤ k ≤ n < N(δ), bất đẳng thức (2.56) đúng.

Ta có

4k <2σαkϕ≤ γ,

và do đó, ta có thể lấy

rk = d+ γ, 0 ≤ k ≤ n < N(δ).

Sử dụng công thức Taylor và (2.45), ta đạt được

A(zn) + A′(zn)(xαn − zn) +1

2A′′(θn)(xαn − zn)2

+ αn(xαn − x+) = f,(2.58)

ở đây θn = xαn + θ(zn − xαn), 0 < θ < 1. Từ (2.42) và (2.58), suy ra

〈A′(zn)(zn+1 − xαn)−1

2A′′(θn)(xαn − zn)2

+ αn(zn+1 − xαn)− (fδ − f), j(zn+1 − xαn)〉 = 0.

Do tính chất J-đơn điệu của ánh xạ A′(zn)(.), ta có

〈−1

2A′′(θn)(xαn − zn)2 + αn(zn+1 − xαn)− (fδ − f), j(zn+1 − xαn)〉 ≤ 0,

hay

αn〈zn+1−xαn, j(zn+1−xαn)〉 ≤ 〈1

2A′′(θn)(xαn−zn)2+(fδ−f), j(zn+1−xαn)〉.

52

Sử dụng định nghĩa và tính chất của j, ta được

αn‖zn+1 − xαn‖2 ≤(

1

2‖A′′(θn)‖‖xαn − zn‖2 + ‖fδ − f‖

)‖zn+1 − xαn‖.

Do đó,

‖zn+1 − xαn‖ ≤ϕ(‖θn‖)

2αn‖xαn − zn‖2 +

δ

αn≤ ϕ(rn)

2αn42n +

δ

αn. (2.59)

Kết hợp (2.57) và (2.59), ta thu được

4n+1 = ‖zn+1 − xαn+1‖ ≤ ‖zn+1 − xαn‖+ ‖xαn − xαn+1

‖

≤ ϕ(rn)

2αn42n +

αn − αn+1

αnd+

δ

αn.

(2.60)

Vì n < N(δ) nên theo (2.6), ta có τδ < ‖A(zn)− fδ‖2. Do đó,

√τδ < ‖A(zn)− A(xαn)− αn(xαn − x+) + (f − fδ)‖

≤ ‖A(zn)− A(xαn)‖+ αn‖xαn − x+‖+ ‖f − fδ‖

≤ L‖zn − xαn‖+ αnd+ δ,

và vì vậy, √τδ − δ < L‖zn − xαn‖+ αnd.

Không mất tính tổng quát, giả sử rằng δ < 1. Ta có

√δ(√τ − 1) ≤

√δ(√τ −√δ) < L‖zn − xαn‖+ αnd.

Suy ra

δ <(L‖zn − xαn‖+ αnd)2

(√τ − 1)2

=(L‖zn − xαn‖+ αnd)2

τ. (2.61)

Từ (2.60) và (2.61), ta thu được

4n+1 <ϕ(rn)

2αn42n +

αn − αn+1

αnd+

(L‖zn − xαn‖+ αnd)2

αnτ

=ϕ0 + 2L2/τ

2αn42n +

2dL

τ4n +

αn − αn+1

αnd+

α2nd

2

αnτ

=ϕ

2αn42n +

2dL

τ4n +

αn − αn+1

αnd+

α2nd

2

αnτ.

53

Do đó,

γn+1 <

(ϕ4n

2σαn

)2

+2dL

τσ.ϕ4n

2σαn+αn − αn+1

α2n

.dϕ

2σ2+

d2ϕ

2σ2τ

= γ2n +

2dL

τσγn +

(αn − αn+1

α2n

+d

τ

).dϕ

2σ2

≤ γ2n +

2dL

τσγn +

2Lσ

ϕτq.dϕ

2σ2

≤ q2 +3dL

τσq ≤ q

(q +

3dL

τσ

)≤ q < 1,

ở đây γn = ϕ4n/(2σαn). Hiển nhiên, 4n+1 < 2σαn+1/ϕ ≤ γ và ta có thể

lấy rn+1 = d+ γ. Có hai trường hợp xảy ra:

1. N(δ) = N0, với mọi δ ≤ δ0. Điều này có nghĩa là limδ→0

zN(δ) = zN0. Vì A

là ánh xạ liên tục nên limδ→0

A(zN(δ)) = A(zN0). Vì vậy,

limδ→0‖A(zN(δ))− fδ‖ = ‖A(zN0

)− f‖.

Mặt khác, từ nguyên lý độ lệch suy rộng (2.6), ta có

limδ→0‖A(zN(δ))− fδ‖ = 0.

Do đó,

‖A(zN0)− f‖ = 0.

Vậy, A(zN0) = f , tức là zN0

là nghiệm của (2.36).

2. N(δ) → ∞, với mọi δ ≤ δ0. Khi đó, xαN(δ)→ x∗ và (2σαN(δ))/ϕ → 0

khi δ → 0. Mặt khác, vì 4N(δ) < (2σαN(δ))/ϕ nên 4N(δ) → 0 khi δ → 0.

Do đó, sự hội tụ mạnh của zN(δ) tới x∗ được suy ra từ bất đẳng thức

‖zN(δ) − x∗‖ ≤ 4N(δ) + ‖xαN(δ)− x∗‖.

Chú ý 2.4. 1. Điều kiện a) - c) trong Định lý 2.7 đưa ra những yêu cầu

về sự lựa chọn xấp xỉ ban đầu x0 trong (2.43) và dãy αn. Dãy αn đượcxác định bởi (6.8.14) trong [9] thỏa mãn các điều kiện nêu trong Định lý

2.7. Ví dụ, bằng việc lấy αn = (m0 + n)−α, với 0 < α < 1 và số nguyên

m0 ≥ 1, thì

αn+1

αn=

(1− 1

m0 + n+ 1

)α≥(

1− 1

m0 + 1

)α.

54

Vì vậy, ta có thể lấy σ = (1− 1/(m0 + 1))α. Do đó, điều kiện a) được thỏa

mãn. Tiếp theo, điều kiện b) sẽ thỏa mãn nếu ta chọn γ sao cho 40/γ ≤ q.

Dễ dàng thấy rằng

αn − αn+1

α2n

→ 0 khi n→∞.

Cho nên, nếu ta lấy m0 đủ lớn thì điệu kiện c) đúng với mọi n ≥ 0. Vậy,

với mọi điểm xấp xỉ ban đầu x0, tất cả các điều kiện của Định lý 2.7 được

thỏa mãn.

2. Cho ba giá trị cố định σ, ϕ0 và d, ta có thể chọn τ và L đủ lớn thỏa

mãn τ > 1, 3dL < τσ và Lσq > dϕ. Mặt khác, lấy m0 đủ lớn sao cho

(αn − αn+1)/α2n ≤ d/τ . Với cách chọn này, ta có

3dL

τσ< 1⇔ 1− 3dL

τσ> 0,

vàLσq

ϕτ>d

τ≥ αn − αn+1

α2n

⇔ 2Lσ

ϕτq >

d

τ+αn − αn+1

α2n

.

Ví dụ, lấy τ = 3dL2/σ, với điều kiện

L >1

q

[1 + d

(ϕ0

σ+

2

3d

)].

Vì q < 1 nên L > 1. Do đó 3dL = τσ/L < τσ. Hơn nữa,

Lσq > σq1

q

[1 + d

(ϕ0

σ+

2

3d

)]= σ + dϕ0 +

2σ

3

= σ + dϕ0 +2dL2

τ> d

(ϕ0 +

2L2

τ

)= dϕ.

Cuối cùng, với điểm xuất phát z0 đủ gần xα0, ta dễ dàng kiểm tra được

tất cả các điều kiện của Định lý 2.8 được thỏa mãn.

Nhận xét 2.5. Ngoài việc không cần sử dụng các điều kiện (2.7), (2.39),

(2.40) và tính chất liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

J , giả thiết về không gian Banach E trong các kết quả của chúng tôi cũng

nhẹ hơn so với Định lí 2.6. Cụ thể, trong các Định lí 2.7 và Định lí 2.8,

chúng tôi chỉ cần giả thiết E là không gian phản xạ, lồi chặt với chuẩn khả

vi Gâteaux đều thay vì E cùng với không gian đối ngẫu E∗ là các không

gian lồi đều và E có tính chất xấp xỉ như trong Định lí 2.6. Tuy nhiên, sự

hội tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich

(2.42) cần bổ sung thêm điều kiện liên tục Lipschitz của ánh xạ A.

55

2.3. Ví dụ số về xấp xỉ hữu hạn chiều cho phương pháp hiệu

chỉnh lặp Newton-Kantorovich

Xét phương trình (2.1), trong đó A : E → E∗ là ánh xạ đơn điệu,

liên tục và khả vi Fréchet trên không gian Banach thực và phản xạ E với

D(A) = E. Để giải (2.1), ta có thể sử dụng phương pháp hiệu chỉnh dạng

Browder-Tikhonov (0.8) (xem trang 3) hoặc phương pháp hiệu chỉnh lặp

dạng Newton-Kantorovich (2.16) (xem trang 36). Tuy nhiên, để có thể sử

dụng được (0.8) và (2.16) cho việc giải các bài toán thực tế bằng máy

tính thì nhiệm vụ trước tiên là phải xấp xỉ (0.8) và (2.16) bởi các phương

trình tương ứng trong các không gian hữu hạn chiều. Trong [2] và [29], Ng.

Bường đã đưa ra phương pháp xấp xỉ hữu hạn chiều cho nghiệm xδα của

(0.8) như sau:

An(x) + αBn(x− x+) = f δn, (2.62)

với An = P ∗nAPn, Bn = P ∗nBPn, fδn = P ∗nfδ, trong đó Pn là phép chiếu

tuyến tính từ E lên không gian con En của E thỏa mãn En ⊂ En+1, với

mọi n, ‖Pn‖ ≤ c, với c là hằng số và P ∗n là ánh xạ liên hợp của Pn.

Ta có kết quả sau cho sự hội tụ của dãy nghiệm xδαn của (2.62) đến

nghiệm xδα của (0.8):

Định lí 2.9. ([2, 28]) Giả sử P ∗nBPnx → Bx, với mọi x ∈ D(B). Điều

kiện cần và đủ để với mỗi α > 0 và fδ ∈ E∗, dãy nghiệm xδαn của (2.62)

hội tụ mạnh đến nghiệm xδα của (0.8) là Pnx → x khi n → ∞, với mọi

x ∈ E.

Như đã trình bày trong Mục 2.1, khi A là ánh xạ phi tuyến thì (0.8) là

bài toán phi tuyến. Để khắc phục hạn chế này, ta có thể sử dụng phương

pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich (2.16). Vì A là ánh xạ đơn

điệu nên A′(z)(.) cũng là ánh xạ đơn điệu, với mỗi z ∈ E cố định (xem

[86]). Áp dụng phương pháp xấp xỉ hữu hạn chiều (2.62) cho phương pháp

hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich (2.16) trong trường hợp αn = α

cố định, ta được

An(zn) + A′n(zn)(zn+1 − zn) + αBn(zn+1 − x+) = f δnn . (2.63)

56

Do An = P ∗nAPn là ánh xạ đơn điệu nên cũng giống như phương trình

(2.16), phương trình (2.63) có nghiệm nghiệm duy nhất zn+1 với mỗi n ≥ 0

cố định và α, δn > 0.

Cho k(t, s) là hàm số thực hai biến số liên tục, không suy biến và không

âm trên hình vuông [a, b] × [a, b] thỏa mãn: tồn tại một hằng số q 6= 2,

1 < q <∞ sao cho ∫ b

a

∫ b

a

|k(t, s)|qdsdt < +∞. (2.64)

Khi đó, ánh xạ A được xác định bởi

(Ax)(t) =

∫ b

a

k(t, s)x(s)ds, x(s) ∈ Lp[a, b], (2.65)

là ánh xạ đi từ không gian Lp[a, b] vào không gian Lq[a, b] với1

p+

1

q= 1 và

liên tục (xem [100]). Vì k(t, s) là hàm số liên tục và không âm trên hình

vuông [a, b]× [a, b] nên với x(t) và y(t) thuộc Lp[a, b], ta có

〈A(x)− A(y), x− y〉 =

∫ b

a

[A(x)− A(y)](x− y)dt

=

∫ b

a

[∫ b

a

k(t, s)[x(s)− y(s)]ds

][x(t)− y(t)]dt

≥(

min(t,s)∈[a,b]×[a,b]

k(t, s)

)(∫ b

a

[x(t)− y(t)]dt

)2

≥ 0.

Do đó, A là ánh xạ đơn điệu trên Lp[a, b]. Hơn nữa, ta có

A′(x(t))y(t) =

∫ b

a

k(t, s)y(t)ds, ∀x(t), y(t) ∈ Lp[a, b].

Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày việc áp dụng phương pháp xấp xỉ hữu

hạn chiều (2.63) để giải phương trình tích phân kiểu Hammerstein sau:

(Ax)(t) =

∫ b

a

k(t, s)x(s)ds = f(t), (2.66)

với f(t) ∈ Lq[a, b]. Giả sử rằng nghiệm x(t) của (2.66) hai lần khả vi

Fréchet và thỏa mãn điều kiện biên x(a) = x(b) = 0. Lấy

Bx(t) = x(t)− x′′(t),

57

với x(t) ∈ D(B) là bao đóng của tất cả các hàm trong C2[a, b] theo metric

của W 2q [a, b], thỏa mãn x(a) = x(b) = 0. Rõ ràng, B là ánh xạ tuyến tính.

Ngoài ra, D(B) = Lp[a, b] và R(B) = Lq[a, b] (xem [69]). Áp dụng phương

pháp xấp xỉ hữu hạn chiều (2.63) cho phương trình tích phân (2.66), ta

được:

P ∗n

∫ b

a

k(t, s)Pnzn(s)ds+ P ∗n

∫ b

a

k(t, s)(Pnzn+1(s)− Pnzn(s))ds

+ αP ∗n

(zn+1(t)− Pnx+(t)− d2(zn+1(t)− Pnx+(t))

dt2

)= P ∗nfδn(t).

(2.67)

Cho 4n = tn0 = a < tn1 < · · · < tnn = b là một phân hoạch đều của đoạn

[a, b] với h = tni − tni−1 =b− an

. Xấp xỉ không gian E bởi dãy các không

gian con tuyến tính En = Lψ1, ψ2, ..., ψn, trong đó

ψi(t) =

1, nếu t ∈ (tni−1, t

ni ]

0, nếu t /∈ (tni−1, tni ].

Chọn phép chiếu

Pnx(t) =n∑i=1

x(tni )ψi(t). (2.68)

Ký hiệu chuẩn của không gian Lp[a, b] là ‖.‖p. Ta có ‖Pn‖p = 1 và ‖(I −Pn)x‖p = O(1/n), với x ∈ Lp[a, b] bất kỳ (xem [70, 86]). Suy ra Pnx → x

khi n→∞, với mọi x ∈ Lp[a, b]. Mặt khác, ta có

d2Pnx+(t)

dt2=

d2

(n∑j=1

x+(tnj )ψj(t)

)dt2

=n∑j=1

x+(tnj )ψ′′j (t) = 0.

Lấy x(t) ∈ Lp[a, b], y(t) ∈ Lq[a, b], với (1/q) + (1/q) = 1 và theo định lí giá

trị trung bình, ta có

〈Pnx, y〉 =

∫ b

a

(Pnx(t))y(t)dt =

∫ b

a

(n∑i=1

x(tni )ψi(t)

)y(t)dt

=n∑i=1

tni∫tni−1

(x(tn1)ψ1(t) + x(tn2)ψ2(t) + · · ·+ x(tnn)ψn(t)) y(t)dt

58

= x(tn1)

tn1∫tn0

y(t)dt+ x(tn2)

tn2∫tn1

y(t)dt+ · · ·+ x(tnn)

tnn∫tnn−1

y(t)dt

≈ x(tn1)y(tn1)h+ x(tn2)y(tn2)h+ · · ·+ x(tnn)y(tnn)h

≈ y(tn1)

tn1∫tn0

x(t)dt+ y(tn2)

tn2∫tn1

x(t)dt+ · · ·+ y(tnn)

tnn∫tnn−1

x(t)dt

=n∑i=1

tni∫tni−1

(y(tn1)ψ1(t) + y(tn2)ψ2(t) + · · ·+ y(tnn)ψn(t))x(t)dt

=

∫ b

a

(n∑i=1

y(tni )ψi(t)

)x(t)dt.

Do 〈Pnx, y〉 = 〈x, P ∗ny〉 nên

P ∗ny(t) ≈n∑i=1

y(tni )ψi(t). (2.69)

Vì B liên tục nên ta có P ∗nBPnx → Bx khi n → ∞, với mọi x ∈ D(B).

Vậy, phép chiếu Pn thỏa mãn các điều kiện của Định lí 2.9. Cho 4n =

sn0 = a < sn1 < · · · < snn = b cũng là một phân hoạch đều của đoạn [a, b],

khi đó zn(tni ) = zn(sni ), i = 0, 1, 2, ..., n. Phương trình hiệu chỉnh hữu hạn

chiều (2.67) trong trường hợp này có dạng

n∑i=1

[∫ b

a

k(tni , s)

(n∑j=1

zn(snj )ψj(s)

)ds

]ψi(t)

+n∑i=1

[∫ b

a

k(tni , s)

(n∑j=1

zn+1(snj )ψj(s)

−n∑j=1

zn(snj )ψj(s)

)ds

]ψi(t) + α

n∑i=1

[zn+1(t

ni )

−n∑j=1

x+(tnj )ψj(tni )− z′′n+1(t

ni )

]ψi(t) =

n∑i=1

fδn(tni )ψi(t).

59

Đẳng thức trên tồn tại nếu∫ b

a

k(tni , s)n∑j=1

zn+1(snj )ψj(s)ds

+ α

[zn+1(t

ni )−

n∑j=1

x+(tnj )ψj(tni )− z′′n+1(t

ni )

]= fδn(t

ni ), i = 1, 2, ..., n.

Theo tính chất cộng tính của tích phân, ta cón∑l=1

∫ snl

snl−1

k(tni , s)n∑j=1

zn+1(snj )ψj(s)ds

+ α

[zn+1(t

ni )−

n∑j=1

x+(tnj )ψj(tni )− z′′n+1(t

ni )

]= fδn(t

ni ), i = 1, 2, ..., n.

Sử dụng định nghĩa của hàm ψj(s), ta thu được

n∑l=1

(∫ snl

snl−1

k(tni , s)ds

)zn+1(s

nl )

+ α

[zn+1(t

ni )−

n∑j=1

x+(tnj )ψj(tni )− z′′n+1(t

ni )

]= fδn(t

ni ), i = 1, 2, ..., n.

(2.70)

Với việc đặt

zn+1i = zn+1(t

ni ), cnil =

∫ snl

snl−1

k(tni , s)ds, xni = x+(tni ), f δni = fδn(t

ni ), (2.71)

và thay đạo hàm cấp hai z′′n+1(tni ) bằng tỷ sai phân, hệ (2.70) trở thành

n∑l=1

cnilzn+1l + α

(zn+1i −

n∑j=1

xnjψj(tni )

−zn+1i+1 − 2zn+1

i + zn+1i−1

h2

)= f δni , i = 1, 2, ..., n.

(2.72)

Khi i = 1 và i = n thì zn+10 và zn+1

n+1 không xác định. Để cho thỏa mãn điều

kiện biên ta lấy zn+10 = zn+1

n+1 = 0.

Với i = 1, ta có[cn11 + α

(1 +

2

h2

)]zn+1

1 +(cn12 −

α

h2

)zn+1

2

+n∑l=3

cn1lzn+1l = f δn1 + αxn1 .

(2.73)

60

Với i = 2, 3, ..., n− 1, ta có(cni,i−1 −

α

h2

)zn+1i−1 +

[cnii + α

(1 +

2

h2

)]zn+1i +

(cni,i+1 −

α

h2

)zn+1i+1

+n∑l=1

l 6=i−1,i,i+1

cnilzn+1l = f δni + αxni .

(2.74)

Với i = n, ta có

n−2∑l=1

cnnlzn+1l +

[cnnn + α

(1 +

2

h2

)]zn+1n

+(cnn,n−1 −

α

h2

)zn+1n−1 = f δnn + αxnn.

(2.75)

Từ (2.73), (2.74) và (2.75), ta thu được hệ phương trình tuyến tínhCnz

n+1 = f δn, trong đó Cn là ma trận

cn11 + α

(1 +

2

h2

)cn12 −

α

h2cn13 ... cn1,n−1 cn1n

cn21 −α

h2cn22 + α

(1 +

2

h2

)cn23 −

α

h2... cn2,n−1 cn2n

cn31 cn32 −α

h2cn33 + α

(1 +

2

h2

).... cn3,n−1 cn3n

... ... ... ... ... ...

cnn−1,1 cnn−1,2 cnn−1,3 ... cnn−1,n−1 + α

(1 +

2

h2

)cnn−1,n −

α

h2

cnn1 cnn2 cnn3 ... cnn,n−1 −α

h2cnnn + α

(1 +

2

h2

)

,

f δn = (f δn1 + αxn1 , fδn2 + αxn2 , ..., f

δnn + αxnn)T ,

và

zn+1 = (zn+11 , zn+1

2 , zn+13 , ..., zn+1

n−1, zn+1n )T .

Nếu ma trận Cn khả nghịch thì hệ phương trình tuyến tính này có nghiệm

duy nhất là xấp xỉ của zn+1(t).

Xét phương trình tích phân (2.66) với a = 0, b = 1, k(t, s) = |t− s|. Rõràng ∫ 1

0

∫ 1

0

|k(t, s)|3/2dsdt =

∫ 1

0

∫ 1

0

|t− s|3/2dsdt < +∞. (2.76)

Vì vậy, ta xét q = 3/2 và p = 3, tức là E = L3[0, 1] và E∗ = L3/2[0, 1]. Ta

chỉ ra B là ánh xạ đơn điệu mạnh. Thật vậy, với mọi x(t) ∈ C2[0, 1] thỏa

mãn x(0) = x(1) = 0, ta có

〈Bx, x〉 =

1∫0

(Bx(t))x(t)dt =

1∫0

(x(t)− x′′(t))x(t)dt

61

=

1∫0

x2(t)dt−1∫

0

x′′(t)x(t)dt

Đặt u = x(t)

dv = x′′(t)dt=⇒

du = x′(t)dt

v = x′(t)

Suy ra

〈Bx, x〉 =

1∫0

x2(t)dt− (x(1)x′(1)− x(0)x′(0)) +

1∫0

(x′(t))2dt

=

1∫0

x2(t)dt+

1∫0

(x′(t))2dt.

Hơn nữa, theo [81], ta thu được

‖x‖23 ≤

(3(5/3)1/2

2(5/2)1/3B(1/3, 1/2)

)2 1∫0

(x′(t))2dt ≈ 0, 115

1∫0

(x′(t))2dt,

ở đây B(x, y) =1∫0

tx−1(1 − t)y−1 dt là hàm Beta. Suy ra 〈Bx, x〉 ≥ ‖x‖23.

Do B là ánh xạ tuyến tính nên B là ánh xạ 1-đơn điệu mạnh. Với nghiệm

chính xác là x∗(s) = s(1− s), ta tính được

f(t) = −1

6t4 +

1

3t3 − 1

6t+

1

12. (2.77)

Kết quả tính toán với việc lấy x+(t) = 2,22 và fδn = f + δn, ở đây δn =

1/(1 + n)2 được trình bày trong các bảng dưới đây:

Bảng 2.1. Kết quả tính toán với α = 0,5.

n ‖zn+1 − x∗‖3 n ‖zn+1 − x∗‖3

4 0,2689666069 64 0,0424663883

8 0,1620043546 128 0,0298464819

16 0,1003942097 256 0,0230577881

32 0,0640826159 1024 0,0203963532

62

Bảng 2.2. Kết quả tính toán với α = 0,1.

n ‖zn+1 − x∗‖3 n ‖zn+1 − x∗‖3

4 0,2600031372 64 0,0388129413

8 0,1534801504 128 0,0269295563

16 0,0936525099 256 0,0204623013

32 0,0591546836 1024 0,0176684288

Bảng 2.3. Kết quả tính toán với α = 0,01.

n ‖zn+1 − x∗‖3 n ‖zn+1 − x∗‖3

4 0,1948813288 64 0,0295640389

8 0,1176798737 128 0,0196621910

16 0,0739066898 256 0,0138863679

32 0,0461148835 1024 0,0099425015

Các kết quả tính toán trên được chạy trên phần mềm Matlab 7.0.4 với

máy tính Pentium(R) Dual-Core CPU E5300 @ 2.60GHz, 2.59 GHz, 1.99

GB of RAM.

Qua các kết quả trên, ta thấy, việc áp dụng phương pháp xấp xỉ hữu

hạn chiều (2.63) cho kết quả hội tụ tới nghiệm của phương trình tích phân

kiểu Hammerstein (2.66) là khá tốt. Đặc biệt, với α càng nhỏ và tiến tới 0

thì zn+1 càng tiến gần tới nghiệm chính xác x∗.

KẾT LUẬN

Chương này trình bày các kết quả về phương pháp hiệu chỉnh lặp

Newton-Kantorovich để tìm nghiệm của phương trình phi tuyến với ánh

xạ loại đơn điệu trong không gian Banach. Trường hợp phương trình phi

tuyến với ánh xạ đơn điệu, chúng tôi đã đưa ra một cải biên mới của phương

pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich (2.11) của I.P. Ryazantseva.

Định lí 2.4 và Định lí 2.5 đưa ra sự hội tụ mạnh của cải biên này tương

ứng với trường hợp không có nhiễu và có nhiễu cho f . Chúng tôi cũng

đã phát triển phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich (2.5)

của A.B. Bakushinskii và A. Smirnova cho phương trình phi tuyến với ánh

63

xạ J-đơn điệu. Sự hội tụ mạnh của phương pháp này được đưa ra bởi các

Định lí 2.7 và Định lí 2.8 tương ứng với trường hợp không có nhiễu và

có nhiễu cho f . Mục cuối của chương này trình bày ví dụ số minh họa

cho phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich để tìm nghiệm của

phương trình tích phân kiểu Hammerstein.

Chương 3

Phương pháp lặp tìm không điểm

của ánh xạ đơn điệu cực đại trong

không gian Hilbert

Trong chương này, Mục 3.1 giới thiệu bài toán tìm không điểm của một

ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert. Để tìm nghiệm của bài

toán này, Mục 3.2 trình bày các cải biên của phương pháp điểm gần kề

trong đó sự hội tụ mạnh của các cải biên này được đưa ra dưới điều kiện

dãy tham số của toán tử giải là khả tổng. Mục 3.3 đưa ra một ví dụ số

minh họa cho các kết quả trong Mục 3.2 để tìm cực tiểu của một phiếm

hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới. Nội dung của chương này được

trình bày dựa vào các công trình [1′] và [4′] trong danh mục các công trình

đã công bố.

3.1. Bài toán tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại

Chương này xét bài toán:

Tìm phần tử p∗ ∈ H sao cho 0 ∈ A(p∗), (3.1)

trong đó H là không gian Hilbert và A : H → 2H là ánh xạ đơn điệu cực

đại. Phần tử p∗ là nghiệm của bài toán (3.1) được gọi là một không điểm

của ánh xạ A. Ta đã biết, nếu f : H → (−∞,+∞] là phiếm hàm lồi, chính

thường và nửa liên tục dưới thì dưới vi phân ∂f là một ánh xạ đơn điệu

cực đại trên H. Khi đó, bài toán tìm một cực tiểu của một phiếm hàm

lồi, chính thường và nửa liên tục dưới tương đương với bài toán tìm một

không điểm của dưới vi phân của phiếm hàm đó (xem [20, 72]). Ngoài ra,

trong thực tế, có nhiều bài toán có thể đưa về bài toán tìm không điểm

của một ánh xạ đơn điệu cực đại như phương trình tiến hóa (xem [46]),

65

bài toán bất đẳng thức biến phân (xem [61, 76]), bài toán điểm yên ngựa

lồi-lõm (xem [74]), bài toán quy hoạch lồi (xem [75]).

Một trong những phương pháp được đưa ra đầu tiên để tìm nghiệm của

bài toán (3.1) phải kể đến phương pháp điểm gần kề (1.15) (xem trang

25). Tuy nhiên, phương pháp điểm gần kề (1.15) chỉ đạt được sự hội tụ yếu

mà không hội tụ mạnh trong không gian vô hạn chiều (xem Mục 1.3.1).

Với mục đích đạt được sự hội tụ mạnh, một số cải biên của phương pháp

điểm gần kề đã được đưa ra (xem Mục 1.3.2). Như Nhận xét 1.6 trong

Mục 1.3.2 (xem trang 30), sự hội tụ mạnh của các cải biên này đều được

chứng minh dưới các điều kiện dẫn tới dãy tham số của toán tử giải của

ánh xạ A không khả tổng, tức là∞∑k=1

rk = +∞.

Trong [92], để tìm p∗ ∈ H là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến

phân

p∗ ∈ C : 〈Fp∗, p∗ − p〉 ≤ 0, ∀p ∈ C, (3.2)

với C = ZerA là tập các không điểm của ánh xạ A, F là ánh xạ L-liên tục

Lipschitz và η-đơn điệu mạnh trên H, S. Wang đã đề xuất phương pháp

lặp:

xk+1 = Jk[(I − tkF )xk + ek], k ≥ 1, (3.3)

ở đây Jk là toán tử giải của A và ek là vectơ sai số (xem Mục 1.3.1).

Tác giả đã chứng minh được sự hội tụ của phương pháp (3.3) dưới điều

kiện (C0’) lim infk→∞ rk > 0 đã nêu ở Mục 1.3.2. Đây là điều kiện dẫn tới

dãy tham số rk của toán tử giải của ánh xạ A không khả tổng.

Để trả lời câu hỏi ở phần Mở đầu (xem trang 7), trong mục tiếp theo,

chúng tôi sẽ giới thiệu hai cải biên mới của phương pháp điểm gần kề để

tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại A trên không gian Hilbert H

có dạng giống như phương pháp dạng điểm gần kề-Tikhonov (1.19) (xem

trang 27) và phương pháp điểm gần kề co (1.22) (xem trang 28) nhưng

trong các cải biên của chúng tôi, toán tử giải Jk được thay bởi hợp của k

toán tử giải của ánh xạ A. Các cải biên thu được là các trường hợp riêng

của một sự mở rộng của phương pháp (3.3) để tìm nghiệm của bài toán

bất đẳng thức biến phân (3.2) trong trường hợp C = ZerA.

66

3.2. Các cải biên của phương pháp điểm gần kề với dãy tham

số của toán tử giải khả tổng

Trong [1′], chúng tôi đưa ra hai cải biên mới của phương pháp điểm gần

kề tương ứng với dãy xk và zk được xác định bởi:

xk+1 = Jk(tku+ (1− tk)xk + ek), k ≥ 1, (3.4)

và

zk+1 = tku+ (1− tk)Jkzk + ek, k ≥ 1, (3.5)

ở đây Jk = J1J2 · · · Jk là hợp của k toán tử giải Ji = (I + riA)−1, i =

1, 2, ..., k của ánh xạ A. Vì các phương pháp (3.4) và (3.5) sử dụng Jk là

hợp của k toán tử giải của A nên chúng chứa nhiều thông tin về ánh xạ A

hơn so với phương pháp dạng điểm gần kề-Tikhonov (1.19) (xem trang 27)

và phương pháp điểm gần kề co (1.22) (xem trang 28). Trước hết, chúng

tôi đề xuất phương pháp lặp sau:

xk+1 = Jk[(I − tkF )xk + ek], k ≥ 1, (3.6)

để tìm nghiệm p∗ ∈ H của bài toán bất đẳng thức biến phân (3.2) với

C = ZerA, F : H → H là ánh xạ η-đơn điệu mạnh và γ-giả co chặt. Sau

đó, từ (3.6), bằng cách chọn ánh xạ F thích hợp, chúng tôi thu được các

phương pháp (3.4) và (3.5).

Sau đây, chúng tôi sẽ chứng minh dãy xk xác định bởi phương pháp

(3.6) hội tụ mạnh tới p∗ là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân

(3.2) với C = ZerA dưới các điều kiện (C1), (C5’) nêu ở Mục 1.3.2 trong

Chương 1 và điều kiện

(C0” ’) ri > 0, với mọi i ≥ 1 và∑∞

i=1 ri < +∞.

Ta thấy nếu điều kiện (C0” ’) thỏa mãn thì rk → 0 khi k →∞.

Trong mục này, chúng tôi cần sử dụng một số bổ đề sau:

Bổ đề 3.1. Cho H là không gian Hilbert thực. Khi đó, bất đẳng thức sau

đúng:

‖x+ y‖2 ≤ ‖x‖2 + 2〈y, x+ y〉, ∀x, y ∈ H.

67

Bổ đề 3.2. ([34]) Cho H là không gian Hilbert thực và F : H → H là

ánh xạ η-đơn điệu mạnh và γ-giả co chặt với η + γ > 1. Khi đó, với

mọi t ∈ (0; 1), I − tF là ánh xạ co với hằng số co là 1 − tτ , trong đó

τ = 1−√

(1− η)/γ.

Bổ đề 3.3. ([94]) Cho ak là dãy số thực không âm thỏa mãn điều kiện

ak+1 ≤ (1− bk)ak + bkck, trong đó bk và ck là các dãy số thực sao cho

(i) bk ∈ [0, 1], bk → 0 khi k →∞ và∑∞

k=1 bk =∞;

(ii) lim supk→∞ ck ≤ 0.

Khi đó, limk→∞ ak = 0.

Bổ đề 3.4. ([82]) Cho A là ánh xạ đơn điệu cực đại trong H. Khi đó, ta

có

‖Jkx− Jky‖2 ≤ ‖x− y‖2 − ‖x− y − (Jkx− Jky)‖2, ∀x, y ∈ H

và ‖Arkx‖ ≤ |Ax|, với mọi x ∈ D(A) ∩R(I + rkA), ở đây

Ark = (I − Jk)/rk và |Ax| = inf‖y‖ : y ∈ Ax.

Trong trường hợp A là ánh xạ đơn điệu cực đại thì Ax là tập lồi và đóng

với mọi x ∈ D(A) (xem [9]). Khi đó, tồn tại duy nhất phần tử y ∈ Ax sao

cho

‖y‖ = inf‖y‖ : y ∈ Ax = |Ax|.

Gọi A0 là ánh xạ được xác định bởi:

A0x = y ∈ Ax : ‖y‖ = |Ax|, x ∈ D(A). (3.7)

Theo trên, nếu A là ánh xạ đơn điệu cực đại thì A0 là ánh xạ đơn trị, tức

là ‖A0x‖ = |Ax|, với mọi x ∈ D(A).

Bổ đề 3.5. ([13, 96]) Cho Tiki=1 là một họ các ánh xạ trung bình và có

một điểm bất động chung. Khi đó

Fix(T1T2 · · ·Tk) = ∩ki=1Fix(Ti).

Bổ đề 3.6. ([43]) Cho C là tập con lồi và đóng của không gian Hilbert

thực H và T : C → C là ánh xạ không giãn với Fix(T) 6= ∅. Nếu xk làdãy trong C hội tụ yếu tới x và (I−T )xk hội tụ mạnh tới y thì (I−T )x = y.

Đặc biệt, nếu y = 0 thì x ∈ Fix(T ).

68

Bổ đề 3.7. ([34]) Cho H là không gian Hilbert thực và F : H → H là ánh

xạ γ-giả co chặt. Khi đó, F là ánh xạ (1 + 1/γ)-liên tục Lipschitz.

Để chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp (3.6), chúng tôi đã

chứng minh được các kết quả cần thiết sau:

Mệnh đề 3.1. Cho F là ánh xạ η-đơn điệu mạnh và γ-giả co chặt trong

không gian Hilbert thực H với η + γ > 1 và T là ánh xạ không giãn trên

H sao cho C := Fix(T ) 6= ∅. Khi đó, với dãy giới nội xk bất kỳ trong H

sao cho limk→∞ ‖xk − Txk‖ = 0, ta có

lim supk→∞

〈Fp∗, p∗ − xk〉 ≤ 0, (3.8)

ở đây p∗ là nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân (3.2).

Chứng minh. Lấy dãy con xkj của xk sao cho

lim supk→∞

〈Fp∗, p∗ − xk〉 = limj→∞〈Fp∗, p∗ − xkj〉.

Vì dãy xkj là giới nội nên tồn tại một dãy con xkji của xkj mà xkjihội tụ yếu tới phần tử x nào đó thuộc H. Không mất tính tổng quá, giả

sử xkj hội tụ yếu tới phần tử x. Hơn nữa, vì ‖xkj − Txkj‖ → 0 và T là

ánh xạ không giãn nên theo Bổ đề 3.6, ta có x ∈ Fix(T ). Do đó,

lim supk→∞

〈Fp∗, p∗ − xk〉 = limj→∞〈Fp∗, p∗ − xkj〉 = 〈Fp∗, p∗ − x〉 ≤ 0.

Bổ đề 3.8. Cho A là ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert

thực H sao cho D(A) = H và C := ZerA 6= ∅. Cho ri, với 1 ≤ i ≤ k, là

các số thực dương, Jk là ánh xạ được định nghĩa bởi Jk = J1J2 · · · Jk và

Ji = (I + riA)−1. Khi đó, Fix(Jk) = C.

Chứng minh. Do Ji là ánh xạ (1/2)-trung bình (xem [60, 91, 96]) và

Fix(Ji) = ZerA (xem [93]) nên theo Bổ đề 3.5 với Ti = Ji, i = 1, 2, ..., k,

ta thu được

Fix(Jk) = ∩ki=1Fix(Ji) = C.

Bổ đề 3.9. Cho không gian Hilbert H, ánh xạ A như trong Bổ đề 3.8 và

tham số ri thỏa mãn điều kiện (C0” ’). Khi đó, limk→∞ Jki x tồn tại với mỗi

69

x ∈ H và 1 ≤ i ≤ k, ở đây Ji = (I + riA)−1 và Jki = JiJi+1 · · · Jk.Chứng minh. Từ tính chất không giãn của Ji và theo Bổ đề 3.4, ta có

‖J l+1i x− J lix‖ = ‖JiJi+1 · · · JlJl+1x− JiJi+1 · · · Jlx‖

≤ ‖Jl+1x− x‖ = rl+1‖(Jl+1x− x)/rl+1‖ ≤ rl+1|Ax|,

với x ∈ H và 1 ≤ i ≤ l. Đặt Sn =∑n

l=1 rl. Từ điều kiện (C0” ’) suy ra tồn

tại limn→∞ Sn = S là một số hữu hạn. Nhờ đó, ta thu được

limn,m→∞

m−1∑l=n

rl+1 = limn,m→∞

(Sm − Sn) = 0.

Vì vậy, với số dương ε bất kỳ, tồn tại số nguyên k0 ≥ i sao cho với mọi

n,m thỏa mãn m > n > k0 thì

m−1∑l=n

rl+1 ≤ε

|Ax|.

Do đó

‖Jmi x− Jni x‖ =

∥∥∥∥∥m−1∑l=n

(J l+1i x− J lix)

∥∥∥∥∥ ≤m−1∑l=n

‖J l+1i x− J lix‖

≤m−1∑l=n

rl+1|Ax| < ε.

Vậy, Jki x là một dãy Cauchy trong không gian Hilbert H. Điều đó dẫn

tới limk→∞ Jki x tồn tại với mỗi x ∈ H và i ≥ 1.

Từ kết quả thu được trong Bổ đề 3.9, ta có thể định nghĩa ánh xạ J∞ivà J∞ như sau:

J∞i x := limk→∞

Jki x và J∞x := limk→∞

Jkx = limk→∞

Jk1x = J∞1 x.

Vì Jki là ánh xạ không giãn nên J∞i cũng là ánh xạ không giãn với mọi

i ≥ 1.

Bổ đề 3.10. Cho không gian Hilbert H, ánh xạ A, tập C như trong Bổ

đề 3.8 và tham số ri như trong Bổ đề 3.9. Khi đó, ta có Fix(J∞) = C.

Chứng minh. Lấy p ∈ C. Khi đó, với mọi i < k, ta có

Jki p = JiJi+1 · · · Jkp = JiJi+1 · · · Jk−1p = · · · = Jip = p.

70

Vì vậy, J∞i p := limk→∞ Jki p = p, với mọi i ≥ 1. Xét trường hợp riêng, ta

có J∞p = J∞1 p = p. Suy ra p ∈ Fix(J∞). Do đó, C ⊂ Fix(J∞).

Bây giờ, ta chứng minh Fix(J∞) ⊂ C. Lấy z ∈ Fix(J∞). Ta chỉ ra rằng

z ∈ C. Thật vậy, lấy điểm p cố định thuộc C, ta có

‖Jkz − Jkp‖ = ‖Jk1 z − Jk1 p‖

= ‖J1J2 · · · Jkz − J1J2 · · · Jkp‖

≤ ‖J2 · · · Jkz − J2 · · · Jkp‖ ≤ · · ·

≤ ‖Ji · · · Jkz − Ji · · · Jkp‖ ≤ · · ·

≤ ‖Jkz − Jkp‖ ≤ ‖z − p‖.

Từ đó cùng với J∞i p = p, với mọi i ≥ 1, suy ra

‖z − p‖ = ‖J∞z − p‖ = ‖J∞1 z − J∞1 p‖

≤ ‖J∞2 z − J∞2 p‖ ≤ · · ·

≤ ‖J∞i z − J∞i p‖ ≤ · · ·

≤ ‖J∞k z − J∞k p‖ ≤ ‖z − p‖.

Vậy, ‖J∞i z − p‖ = ‖z − p‖, với mọi i ≥ 1. Tiếp theo, sử dụng Bổ đề 3.4,

ta được

‖z − p‖2 = ‖J∞1 z − p‖2 = ‖J1J∞2 z − J1p‖2

≤ ‖J∞2 z − p‖2 − ‖J∞2 z − p− (J1J∞2 z − J1p)‖2

= ‖J∞2 z − p‖2 − ‖J∞2 z − J1J∞2 z‖2

= ‖z − p‖2 − ‖J∞2 z − J∞1 z‖2.

Điều này dẫn tới ‖J∞2 z − J∞1 z‖2 ≤ 0. Suy ra J∞2 z = J∞1 z = J∞z = z. Do

đó, z = J∞1 z = J1J∞2 z = J1z. Điều này có nghĩa là z ∈ Fix(J1) = C.

Định lí 3.1. Cho không gian Hilbert H, ánh xạ A, tập C như trong Bổ

đề 3.8, tham số ri như trong Bổ đề 3.9, ánh xạ A0 là giới nội, F là ánh xạ

η-đơn điệu mạnh và γ-giả co chặt với η + γ > 1, dãy tk ⊂ (0; 1), tk → 0

khi k →∞. Khi đó, dãy xk được xác định bởi

xk = Jk(I − tkF )xk, (3.9)

hội tụ mạnh tới p∗ khi k →∞, ở đây p∗ là nghiệm duy nhất của (3.2).

Chứng minh. Ta xét ánh xạ Uk = Jk(I − tkF ). Từ tính chất không giãn

71

của Jk và Bổ đề 3.2, ta có

‖Ukx− Uky‖ = ‖Jk(I − tkF )x− Jk(I − tkF )y‖

≤ ‖(I − tkF )x− (I − tkF )y‖

≤ (1− tkτ)‖x− y‖, ∀x, y ∈ H.

Vì vậy, Uk là ánh xạ co trong H. Theo nguyên lý ánh xạ co Banach, tồn

tại duy nhất phần tử xk ∈ H thỏa mãn (3.9). Tiếp theo, ta chỉ ra rằng

dãy xk là giới nội. Thật vậy, với phần tử p cố định thuộc C, từ Bổ đề

3.8, ta có p = Jkp. Một lần nữa, từ tính chất không giãn của Jk và Bổ đề

3.2, ta thu được bất đẳng thức sau

‖xk − p‖ = ‖Jk(I − tkF )xk − Jkp‖

≤ ‖(I − tkF )xk − p‖

= ‖(I − tkF )xk − (I − tkF )p− tkFp‖

≤ (1− tkτ)‖xk − p‖+ tk‖Fp‖.

Do đó, ‖xk−p‖ ≤ ‖Fp‖/τ . Điều này có nghĩa là xk giới nội. Theo Bổ đề

3.7, dãy Fxk giới nội. Đặt yk := (I−tkF )xk. Vì ‖yk−xk‖ = tk‖Fxk‖ → 0

và ‖xk − Jkxk‖ = ‖Jk(I − tkF )xk − Jkxk‖ = ‖Jkyk − Jkxk‖ ≤ ‖yk − xk‖nên ta có

limk→∞‖xk − Jkxk‖ = 0. (3.10)

Bây giờ, ta chứng minh rằng

limk→∞‖xk − J∞xk‖ = 0. (3.11)

Bằng cách chứng minh tương tự như Bổ đề 3.9, với l > k, ta được

limk→∞

∞∑n=k

rn+1 = limk,l→∞

l−1∑n=k

rn+1 = 0 (3.12)

và

‖Jkx− J lx‖ ≤l−1∑n=k

rn+1|Ax| =l−1∑n=k

rn+1‖A0x‖. (3.13)

Từ (3.13) dẫn tới

‖Jkx− J∞x‖ = liml→∞‖Jkx− J lx‖ ≤

∞∑n=k

rn+1‖A0x‖.

72

Nếu D là tập con khác rỗng và giới nội của H thì từ (3.12) và tính chất

giới nội của A0, với x ∈ D, suy ra limk→∞∑∞

n=k rn+1‖A0x‖ = 0. Khi đó,

với mỗi ε > 0, tồn tại một số nguyên k0 sao cho với mọi k ≥ k0, ta có

supx∈D‖Jkx− J∞x‖ ≤ ε.

Lấy D = xk : k ≥ 1, ta thu được

‖Jkxk − J∞xk‖ ≤ supx∈D‖Jkx− J∞x‖ ≤ ε.

Điều này có nghĩa rằng ‖Jkxk − J∞xk‖ → 0 khi k →∞. Do đó, từ (3.10)

và bất dẳng thức sau

‖xk − J∞xk‖ ≤ ‖xk − Jkxk‖+ ‖Jkxk − J∞xk‖,

ta sẽ thu được (3.11). Từ Mệnh đề 3.1 và Bổ đề 3.10 với việc thay thế T

bởi J∞, ta đạt được (3.8). Tiếp theo, từ tính chất không giãn của Jk, Bổ

đề 3.1, Bổ đề 3.2 và Bổ đề 3.8, ta có

‖xk − p∗‖2 = ‖Jk(I − tkF )xk − Jkp∗‖2

≤ ‖(I − tkF )xk − p∗‖2

= ‖(I − tkF )xk − (I − tkF )p∗ − tkFp∗‖2

≤ ‖(I − tkF )xk − (I − tkF )p∗‖2 − 2tk〈Fp∗, (I − tkF )xk − p∗〉

≤ (1− tkτ)‖xk − p∗‖2 + 2tk〈Fp∗, p∗ − xk + tkFxk〉.

Suy ra

‖xk − p∗‖2 ≤ 2

τ[〈Fp∗, p∗ − xk〉+ tk〈Fp∗, Fxk〉].

Sử dụng (3.8), tính chất giới nội của Fxk và giả thiết của tk, ta thu được

‖xk − p∗‖ → 0 khi k →∞.

Mệnh đề 3.2. Cho không gian Hilbert H, ánh xạ A, tập C như trong Bổ

đề 3.8, tham số ri như trong Bổ đề 3.9, các ánh xạ A0, F và dãy tknhư trong Định lí 3.1. Khi đó, với dãy giới nội bất kỳ xk ⊂ H thỏa mãn

limk→∞ ‖Jmxk − xk‖ = 0, với mọi m ≥ 1, ta thu được (3.8), với p∗ là

nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân (3.2).

Chứng minh. Cho xm là nghiệm của (3.9) với k được thay thế bởi m. Khi

đó, từ tính chất không giãn của Jm và Bổ đề 3.1, ta có

‖xm − xk‖2 = ‖Jm(I − tmF )xm − Jmxk − xk + Jmxk‖2

73

≤ ‖Jm(I − tmF )xm − Jmxk‖2 + 2〈Jmxk − xk, xm − xk〉

≤ ‖(I − tmF )xm − xk‖2 + 2〈Jmxk − xk, xm − xk〉

= 〈(I − tmF )xm − xk, (I − tmF )xm − xk〉

+ 2〈Jmxk − xk, xm − xk〉

= ‖xm − xk‖2 − tm〈Fxm, xm − xk − tmFxm〉

+ 〈xm − xk,−tmFxm〉+ 2〈Jmxk − xk, xm − xk〉

≤ ‖xm − xk‖2 − tm〈Fxm, xm − xk − tmFxm〉

+ 〈xm − xk,−tmFxm〉+ 2〈Jmxk − xk, xm − xk〉

+ 〈−tmFxm,−tmFxm〉

= ‖xm − xk‖2 − 2tm〈Fxm, xm − xk − tmFxm〉

+ 2〈Jmxk − xk, xm − xk〉.

Từ đó, suy ra

〈Fxm, xm − xk − tmFxm〉 ≤M‖Jmxk − xk‖/tm,

ở đây M ≥ ‖xm−xk‖. Do đó, cùng với giả thiết limk→∞ ‖Jmxk−xk‖ = 0,

ta có

lim supk→∞

〈Fxm, xm − xk − tmFxm〉 ≤ 0. (3.14)

Theo Định lí 3.1, ta có xm → p∗ khi m → ∞. Chuyển qua giới hạn của

(3.14) khi m→∞ cùng với tính chất của tm và tính liên tục của F , ta thu

được (3.8).

Bây giờ, ta chứng minh cho sự hội tụ mạnh của phương pháp (3.6).

Định lí 3.2. Cho không gian Hilbert H, ánh xạ A, tập C như trong Bổ

đề 3.8, các ánh xạ A0 và F như trong Định lí 3.1. Giả sử tk, ri và ek thỏa

mãn các điều kiện (C1), (C5’) và (C0” ’). Khi đó, dãy xk, được xác định

bởi phương pháp (3.6), hội tụ mạnh tới phần tử p∗ khi k →∞, ở đây p∗ là

nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân (3.2).

Chứng minh. Vì Jip = p, với p là một phần tử bất kỳ trong ZerA, nên

từ (3.6), tính chất không giãn của Jk, Bổ đề 3.2, Bổ đề 3.8 và điều kiện

(C5’), ta có

‖xk+1 − p‖ = ‖Jk[(I − tkF )xk + ek]− Jkp‖

74

≤ ‖(I − tkF )xk + ek − p‖

≤ ‖(I − tkF )xk − p‖+ ‖ek‖

= ‖(I − tkF )xk − (I − tkF )p− tkFp‖+ ‖ek‖

≤ (1− tkτ)‖xk − p‖+ tk‖Fp‖+ ‖ek‖

≤ max‖xk − p‖, (‖Fp‖+ c)/τ ≤ · · ·

≤ max‖x1 − p‖, (‖Fp‖+ c)/τ,

với mọi k ≥ 1, ở đây c là một hằng số dương sao cho ‖ek‖/tk ≤ c. Do đó,

dãy xk là giới nội. Vì F là ánh xạ liên tục Lipschitz nên dãy Fxk cũnggiới nội. Từ điều kiện (C5’) cùng với tk → 0 khi k → ∞, ta có ‖ek‖ → 0

khi k → ∞. Từ đó suy ra dãy ek giới nội. Do đó, dãy zk, với zk :=

(I − tkF )xk + ek, cũng giới nội. Lấy dãy zkk−i, với zkk−i = Jk−i · · · Jkzk,i = 0, 1, ..., k − 1. Ta có

‖zkk−i − p‖ = ‖Jk−i · · · Jkzk − Jk−i · · · Jkp‖ ≤ ‖zk − p‖.

Do vậy, dãy zkk−i giới nội. Không mất tính tổng quát, giả sử các dãy

xk, Fxk, zk và zkk−i cùng bị chặn bởi hằng số dương M1. Hơn nữa,

theo Bổ đề 3.4, ta có

‖xk+1 − p‖2 = ‖Jk[(I − tkF )xk + ek]− p‖2 = ‖J1J2 · · · Jkzk − p‖2

= ‖J1zk2 − p‖2 = ‖J1z

k2 − J1p‖2

≤ ‖zk2 − p‖2 − ‖zk2 − p− (J1zk2 − J1p)‖2

= ‖zk2 − p‖2 − ‖J1zk2 − zk2‖2

= ‖J2zk3 − p‖2 − ‖J1z

k2 − zk2‖2

≤ ‖zk3 − p‖2 − ‖J1zk2 − zk2‖2 − ‖J2z

k3 − zk3‖2 ≤ · · ·

≤ ‖zkk − p‖2 −k−1∑i=1

‖Jizki+1 − zki+1‖2

= ‖Jkzk − Jkp‖2 −k−1∑i=1

‖Jizki+1 − zki+1‖2

≤ ‖zk − p‖2 −k−1∑i=1

‖Jizki+1 − zki+1‖2

= ‖(I − tkF )xk + ek − p‖2 −k−1∑i=1

‖Jizki+1 − zki+1‖2

75

= ‖(I − tkF )xk − (I − tkF )p+ ek − tkFp‖2

−k−1∑i=1

‖Jizki+1 − zki+1‖2

≤ ‖(I − tkF )xk − (I − tkF )p‖2 −k−1∑i=1

‖Jizki+1 − zki+1‖2

+ 2〈ek − tkFp, (I − tkF )xk + ek − p〉

≤ (1− tkτ)‖xk − p‖2 −k−1∑i=1

‖Jizki+1 − zki+1‖2

+ 2〈ek − tkFp, (I − tkF )xk + ek − p〉

≤ ‖xk − p‖2 − ‖Jizki+1 − zki+1‖2 + 2tk(‖Fp‖+ ‖ek‖/tk)M,

trong đó M = M1 + ‖p‖. Vì vậy,

‖Jizki+1 − zki+1‖2 − 2tk(‖Fp‖+ c)M ≤ ‖xk − p‖2 − ‖xk+1 − p‖2.

Ta xét hai trường hợp. Trường hợp ‖Jizki+1−zki+1‖2 ≤ 2tk(‖Fp‖+ c)M , với

mọi k ≥ 1, từ điều kiện (C1), kéo theo

limk→∞‖Jizki+1 − zki+1‖2 = 0. (3.15)

Trường hợp ‖Jizki+1 − zki+1‖2 > 2tk(‖Fp‖+ c)M . Đặt

SM =M∑k=1

[‖Jizki+1 − zki+1‖2 − 2tk(‖Fp‖+ c)M ].

Ta có SM là dãy tăng và

SM ≤M∑k=1

(‖xk − p‖2 − ‖xk+1 − p‖2

)= ‖x1 − p‖2 − ‖xM+1 − p‖2

≤ ‖x1 − p‖2.

Do đó, tồn tại limM→+∞

SM là một số hữu hạn. Vì vậy,

∞∑k=1

[‖Jizki+1 − zki+1‖2 − 2tk(‖Fp‖+ c)M ] < +∞.

76

Suy ra

limk→∞

[‖Jizki+1 − zki+1‖2 − 2tk(‖Fp‖+ c)M ] = 0.

Từ giới hạn trên và điều kiện (C1), ta thu được (3.15). Tiếp theo, ta chứng

minh

limk→∞‖Jmxk − xk‖ = 0, (3.16)

với mọi m ≥ 1. Với k > m+ 1, ta có

‖Jmxk − xk‖ ≤ ‖Jmxk − Jk−1xk‖+ ‖Jk−1xk − xk‖

≤ ‖xk − Jm+1 · · · Jk−1xk‖+ ‖Jk−1xk − xk‖.

(3.17)

Theo định nghĩa của zk thì

‖zk − xk‖ = ‖ − tkFxk + ek‖ ≤ tk(‖Fxk‖+ ‖ek‖/tk) ≤ tk(M1 + c).

Điều này dẫn tới

limk→∞‖zk − xk‖ = 0. (3.18)

Ta lại có

‖zkk − xk‖ ≤ ‖zkk − zk‖+ ‖zk − xk‖

= ‖Jkzk − zk‖+ ‖zk − xk‖

= rk‖r−1k (I − Jk)zk‖+ ‖zk − xk‖

≤ rk|Azk|+ ‖zk − xk‖

= rk‖A0zk‖+ ‖zk − xk‖.

Theo điều kiện (C0” ’), tính chất giới nội của ánh xạ A0, zk và (3.18),

suy ra

limk→∞‖zkk − xk‖ = 0. (3.19)

Ta có

‖Jk−1xk − xk‖ ≤ ‖Jk−1x

k − Jk−1zkk‖+ ‖Jk−1z

kk − zkk‖+ ‖zkk − xk‖

≤ 2‖zkk − xk‖+ ‖Jk−1zkk − zkk‖

Do đó, trong (3.15) lấy i = k − 1 và sử dụng (3.19), ta đạt được

limk→∞‖Jk−1x

k − xk‖ = 0. (3.20)

77

Ngoài ra, trong (3.15), lấy i = k − 2 và trong định nghĩa của zkk−i, ta thu

được

limk→∞‖Jk−2z

kk−1 − zkk−1‖ = 0, (3.21)

và zkk−1 = Jk−1zkk . Vì vậy,

‖zkk−1 − Jk−1xk‖ = ‖Jk−1z

kk − Jk−1x

k‖ ≤ ‖zkk − xk‖,

và do đó, từ (3.19) kéo theo

limk→∞‖zkk−1 − Jk−1x

k‖ = 0. (3.22)

Ta có bất đẳng thức sau

‖Jk−2Jk−1xk − xk‖ ≤ ‖Jk−2Jk−1x

k − Jk−2zkk−1‖+ ‖Jk−2z

kk−1 − zkk−1‖

+ ‖zkk−1 − Jk−1xk‖+ ‖Jk−1x

k − xk‖

≤ 2‖zkk−1 − Jk−1xk‖+ ‖Jk−2z

kk−1 − zkk−1‖

+ ‖Jk−1xk − xk‖.

Cho nên, từ (3.20), (3.21) và (3.22), ta thu được

limk→∞‖Jk−2Jk−1x

k − xk‖ = 0.

Chứng minh tương tự, ta có

limk→∞‖Jm+1 · · · Jk−1x

k − xk‖ = 0 và limk→∞‖Jk−1xk − xk‖ = 0.

Do vậy, từ bất đẳng thức (3.17), ta nhận được (3.16). Theo Mệnh đề 3.2,

dãy xk thỏa mãn (3.8). Bây giờ, ta ước lượng giá trị của ‖xk+1 − p∗‖2

như sau:

‖xk+1 − p∗‖2 = ‖Jk[(I − tkF )xk + ek]− Jkp∗‖2

≤ ‖(I − tkF )xk + ek − p∗‖2

= ‖(I − tkF )xk − (I − tkF )p∗ − tkFp∗ + ek‖2

≤ ‖(I − tkF )xk − (I − tkF )p∗‖2

+ 2〈−tkFp∗ + ek, (I − tkF )xk + ek − p∗〉

≤ (1− tkτ)‖xk − p∗‖2

78

+ 2tk〈Fp∗ − ek/tk, p∗ − xk + tkFxk − ek〉

= (1− tkτ)‖xk − p∗‖2 + 2tk[〈Fp∗, p∗ − xk〉

+ tk〈Fp∗, Fxk − ek/tk〉

− 〈ek/tk, p∗ − (xk − tkFxk + ek)〉]

≤ (1− bk)‖xk − p∗‖2 + bkck,

ở đây

bk = tkτ,

ck = (2/τ)[〈Fp∗, p∗ − xk〉+ tk‖Fp∗‖(M1 + c) + (‖ek‖/tk)(‖p∗‖+M1)].

Vì∑∞

k=1 tk =∞ nên∑∞

k=1 bk =∞. Do vậy, từ (3.8), (C1), (C5’) và Bổ đề

3.3, ta có limk→∞ ‖xk − p∗‖2 = 0.

Chú ý 3.1. Chú ý này trình bày cách biến đổi cũng như chọn ánh xạ F

để từ phương pháp (3.6) ta thu được các phương pháp (3.4) và (3.5). Thật

vậy, trong (3.6), đặt zk = (I − tkF )xk + ek. Khi đó, ta có xk+1 = Jkzk và

zk+1 = (I − tk+1F )xk+1 + ek+1 = (I − tk+1F )Jkzk + ek+1.

Ký hiệu lại tk := tk+1 và ek := ek+1, ta thu được

zk+1 = (I − tkF )Jkzk + ek. (3.23)

Ta thấy, nếu tk → 0 thì dãy xk hội tụ khi và chỉ khi dãy zk hội tụ và

hai giới hạn này là đồng nhất. Thật vậy, từ định nghĩa của zk, ta có

‖zk − xk‖ ≤ tk(‖Fxk‖+ ‖ek‖/tk).

Vì vậy, khi dãy xk hội tụ thì dãy xk giới nội. Từ tính chất liên tục

Lipschitz của F suy ra Fxk cũng giới nội. Do tk, ‖ek‖/tk → 0 khi k →∞nên limk→∞ ‖zk − xk‖ = 0. Do đó, nếu dãy xk hội tụ thì dãy zk hội

tụ. Ngược lại, ta có

‖xk+1 − zk+1‖ = ‖Jkzk − (I − tkF )Jkzk − ek‖ = ‖tkFJkzk − ek‖

≤ tk(‖FJkzk‖+ ‖ek‖/tk).(3.24)

Nếu dãy zk hội tụ thì dãy zk giới nội. Do Jk là ánh xạ không giãn,

Fix(Jk) = ZerA và F là ánh xạ liên tục Lipschitz nên dãy FJkzk

79

cũng giới nội. Từ giả thiết tk, ‖ek‖/tk → 0 khi k → ∞ và (3.24), suy

ra limk→∞ ‖xk+1 − zk+1‖ = 0. Vậy từ sự hội tụ của dãy zk kéo theo sự

hội tụ của dãy xk.Tiếp theo, lấy F = I − f , trong đó f = aI + (1− a)u, với a là một số

cố định thuộc (0; 1) và u là một điểm cố định thuộc H. Khi đó I −F = f .

Ta có

〈Fx− Fy, x− y〉 = 〈(1− a)x− (1− a)y, x− y〉

= (1− a)‖x− y‖2

= ‖x− y‖2 − 1

a‖ax− ay‖2

= ‖x− y‖2 − 1

a‖(I − F )x− (I − F )y‖2.

Từ đó, suy ra F là ánh xạ (1− a)-đơn điệu mạnh và (1/a)-giả co chặt. Vì

a ∈ (0; 1) nên 1/a > 1 và do đó, (1 − a) + 1/a > 1. Với ánh xạ F được

chọn như trên, (3.6) và (3.23) tương ứng trở thành

xk+1 = Jk(tk(1− a)u+ (1− tk(1− a))xk + ek) (3.25)

và

zk+1 = tk(1− a)u+ (1− tk(1− a))Jkzk + ek. (3.26)

Khi đó, trong (3.25) và (3.26), ký hiệu lại tk := (1− a)tk, ta thu được các

phương pháp (3.4) và (3.5) tương ứng.

Chú ý 3.2. Điều kiện dãy tham số của toán tử giải khả tổng, tức là điều

kiện (C0” ’) được thỏa mãn, dẫn tới limk→∞ rk = 0. Kết quả trong mục

này là một gợi mở cho hướng nghiên cứu sự hội tụ mạnh của các cải biên

của phương pháp điểm gần kề dưới điều kiện dãy tham số của toán tử giải

thỏa mãn limk→∞ rk = 0.

3.3. Ví dụ số minh họa

Cho không gian R2 với tích vô hướng và chuẩn lần lượt được xác định

bởi 〈x, y〉 = x1y1 + x2y2 và ‖x‖ =√x2

1 + x22, ở đây x = (x1, x2), y =

(y1, y2) ∈ R2. Xét bài toán tối ưu lồi sau: tìm phần tử p∗ ∈ R2 sao cho

f(p∗) = infx∈R2

f(x). (3.27)

80

Ta đã biết, nếu f(x) là phiếm hàm lồi, chính thường và nửa liên tục

dưới thì dưới vi phân ∂f là một ánh xạ đơn điệu cực đại và bài toán (3.27)

tương đương với bài toán tìm một không điểm của ∂f (xem [20, 72]). Sau

đây, ta sẽ áp dụng các phương pháp (3.4) và (3.5) để tìm nghiệm của bài

toán (3.27) với hàm f(x) cho cụ thể như sau:

f(x) =

0, nếu x2 ≤ 1,

x2 − 1, nếu x2 > 1.(3.28)

Với r > 0, ta có

(I + r∂f)−1(x) =

(x1, x2), nếu x2 ≤ 1,

(x1, x2/(1 + r)), nếu x2 > 1.(3.29)

Lấy a = 1/2 và u = (0; 2). Khi đó, nghiệm của bài toán (3.27) thỏa

mãn bất đẳng thức biến phân (3.2) với A = ∂f là p∗ = (0; 1). Sử dụng

tk = 1/(k + 1), ri = 1/(i(i + 1)) và ek = (0; 0), ta thu được các bảng kết

quả sau:

a) Trường hợp điểm xuất phát là (2,0; 6,0):

Bảng 3.1. Kết quả tính toán khi áp dụng phương pháp (3.4) với thời

gian tính toán là 2,745 giây

k xk+11 xk+1

2 k xk+11 xk+1

2

1 1,5000000000 3,3333333333 2000 0,0504468881 0,9999996953

10 0,6727523804 0,9982716570 5000 0,0319113937 0,9999999357

20 0,4895426850 0,9997219609 8000 0,0252293542 0,9999999775

50 0,3152358030 0,9998464349 10000 0,0225661730 0,9999999803

100 0,2242781046 0,9999270505 12000 0,0206002179 0,9999999883

500 0,1007993740 0,9999960565 15000 0,0184255869 0,9999999946

1000 0,0713204022 0,9999986543 20000 0,0159571926 0,9999999954

Bảng 3.2. Kết quả tính toán khi áp dụng phương pháp (3.5) với thời

gian tính toán là 2,730 giây

81

k zk+11 zk+1

2 k zk+11 zk+1

2

1 1,5000000000 3,5000000000 2000 0,0504468881 1,0002497795

10 0,6727523804 1,0367234670 5000 0,0319113937 1,0000999281

20 0,4895426850 1,0225868918 8000 0,0252293542 1,0000624662

50 0,3152358030 1,0092381210 10000 0,0225661730 1,0000499833

100 0,2242781046 1,0048024836 12000 0,0206002179 1,0000416476

500 0,1007993740 1,0009925330 15000 0,0184255869 1,0000333306

1000 0,0713204022 1,0004981392 20000 0,0159571926 1,0000249980

b) Trường hợp điểm xuất phát là (10; 20):

Bảng 3.3. Kết quả tính toán khi áp dụng phương pháp (3.4) với thời

gian tính toán là 2,699 giây

k xk+11 xk+1

2 k xk+11 xk+1

2

1 7,5000000000 10,3333333333 2000 0,2522344403 0,9999996174

10 3,3637619019 0,9837468002 5000 0,1595569687 0,9999999232

20 2,4477134250 0,9999068009 8000 0,1261467712 0,9999999725

50 1,5761790149 0,9997667170 10000 0,1128308650 0,9999999996

100 1,1213905229 0,9998979723 12000 0,1030010894 0,9999999861

500 0,5039968702 0,9999947597 15000 0,0921279346 0,9999999932

1000 0,3566020110 0,9999983305 20000 0,0797859628 0,9999999946

Bảng 3.4. Kết quả tính toán khi áp dụng phương pháp (3.5) với thời

gian tính toán là 2,683 giây

k zk+11 zk+1

2 k zk+11 zk+1

2

1 7,5000000000 10,5000000000 2000 0,2522344403 1,0002497442

10 3,3637619019 1,0343656695 5000 0,1595569687 1,0000999239

20 2,4477134250 1,0224448516 8000 0,1261467712 1,0000624636

50 1,5761790149 1,0091958993 10000 0,1128308650 1,0000499805

100 1,1213905229 1,0047946859 12000 0,1030010894 1,0000416627

500 0,5039968702 1,0009920670 15000 0,0921279346 1,0000333302

1000 0,3566020110 1,0004979605 20000 0,0797859628 1,0000249977

Các kết quả tính toán trên được chạy trên phần mềm Free Pascal IDE

với máy tính Pentium(R) Dual-Core CPU E5300 @ 2.60GHz, 2.59 GHz,

1.99 GB of RAM.

82

Qua các bảng trên, ta thấy, việc áp dụng các phương pháp (3.4) và (3.5)

cho kết quả hội tụ khá tốt tới nghiệm của bài toán (3.27).

KẾT LUẬN

Chương này trình bày các cải biên mới của phương pháp điểm gần kề

mà chúng tôi đã đạt được để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực

đại trong không gian Hilbert. Sự hội tụ mạnh của các cải biên của phương

pháp điểm gần kề trước đây đều được đưa ra dưới giả thiết dẫn tới dãy

tham số của toán tử giải là không khả tổng, trong khi sự hội tụ mạnh của

các cải biên của chúng tôi được chứng minh dưới điều kiện dãy tham số

của toán tử giải là khả tổng. Điều đó được thể hiện trong Định lí 3.2. Mục

cuối của chương này đưa ra ví dụ số minh họa cho sự hội tụ của các cải

biên của chúng tôi.

83

KẾT LUẬN CHUNG

Luận án đã đề cập đến những vấn đề sau:

- Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich để giải

phương trình phi tuyến với toán tử loại đơn điệu (đơn điệu và J-đơn điệu)

trong không gian Banach.

- Nghiên cứu phương pháp lặp để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu

cực đại trong không gian Hilbert.

Kết quả chính đạt được trong luận án bao gồm:

- Đưa ra và chứng minh các định lí về sự hội tụ mạnh của phương pháp

hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich để tìm nghiệm của phương trình

phi tuyến với ánh xạ đơn điệu trong không gian Banach.

- Đưa ra và chứng minh các định lí về sự hội tụ mạnh của phương pháp

hiệu chỉnh lặp dạng Newton-Kantorovich để tìm nghiệm của phương trình

phi tuyến với ánh xạ J-đơn điệu trong không gian Banach.

- Đưa ra và chứng minh định lí về sự hội tụ mạnh của các cải biên mới

của phương pháp điểm gần kề để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu

cực đại trong không gian Hilbert, với một cách tiếp cận khác về điều kiện

của dãy tham số của toán tử giải, đó là sự hội tụ của các cải biên trước

đó được đưa ra dưới giả thiết dãy tham số của toán tử giải là không khả

tổng, trong khi sự hội tụ mạnh của các cải biên mới này được chứng minh

dưới giả thiết dãy tham số của toán tử giải là khả tổng.

84

KIẾN NGHỊ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO

• Tiếp tục nghiên cứu việc xấp xỉ hữu hạn chiều với dãy tham số hiệu

chỉnh αn và đánh giá tốc độ hội tụ tới nghiệm của các phương pháp hiệu

chỉnh lặp Newton-Kantorovich đưa ra ở Chương 2 để giải phương trình với

toán tử loại đơn điệu.

• Phát triển các phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich đưa

ra ở Chương 2 để xây dựng các phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương

trình với toán tử loại đơn điệu.

• Đánh giá tốc độ hội tụ tới nghiệm của các phương pháp lặp để tìm

không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert đã đạt

được ở Chương 3.

• Đề xuất và nghiên cứu sự hội tụ của các phương pháp lặp mới để tìm

không điểm của ánh xạ loại đơn điệu trong không gian Hilbert và không

gian Banach.

85

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ

[1′] Ng. Buong, P.T.T. Hoai, Ng.D. Nguyen, Iterative methods for a class

of variational inequalities in Hilbert spaces, J. Fixed Point Theory

Appl., 2017, 19 (4), 2383-2395.

[2′] Ng. Buong, Ng.D. Nguyen, Ng.T.T. Thuy, Newton-Kantorovich itera-

tive regularization and generalized discrepancy principle for nonlinear

ill-posed equations involving accretive mappings, Russian Math. (Iz.

VUZ), 2015, 59 (5), 32-37.

[3′] Ng.D. Nguyen, Ng. Buong, Regularization Newton-Kantorovich iter-

ative method for nonlinear monotone ill-posed equations on Banach

spaces, Kỷ yếu Hội thảo Quốc gia lần thứ XVIII: Một số vấn đề chọn

lọc của Công nghệ thông tin và truyền thông, thành phố Hồ Chí

Minh, ngày 5-6 tháng 11 năm 2015, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ

thuật, 2015, 278-281.

[4′] Ng.D. Nguyễn, Kết quả số cho phương pháp lặp dạng Newton-

Kantorovich và điểm gần kề giải phương trình với ánh xạ đơn điệu,

Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Thái Nguyên, 2018, 178 (2),

145-150.

Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

[1] P.K. Anh, Ng. Bường, Bài toán đặt không chỉnh, Nhà xuất bản Đại

học Quốc gia Hà Nội, 2005.

[2] Ng. Bường, Hiệu chỉnh bài toán phi tuyến bằng phương pháp toán tử

đơn điệu, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001.

[3] P.Đ. Chính, Giải tích hàm, Tập 1: Cơ sở lý thuyết, Nhà xuất bản Đại

học và trung học chuyên nghiệp, 1978.

[4] N.X. Liêm, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Giáo dục, 2002.

[5] H. Tụy, Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia

Hà Nội, 2003.

Tiếng Anh

[6] R.P. Agarwal, D. O’Regan, D.R. Sahu, Fixed point theory for

Lipschitzian-type mappings with applications, Springer, 2009, New

York.

[7] Ya.I. Alber, On the solution of nonlinear equations with monotone

operators in a Banach space, Siberian Math. J., 1975, 16, 1-8.

[8] Ya.I. Alber, C.E. Chidume, H. Zegeye, Regularization of nonlinear

ill-posed equations with accretive operators, Fixed Point Theory and

Applications, 2005, 2005 (1), 11-33.

[9] Ya.I. Alber, I.P. Ryazantseva, Nonlinear ill-posed problems of mono-

tone type, Springer, 2006, Dordrecht.

[10] D.D. Ang, R. Gorenflo, V.K. Le, D.D. Trong, Moment theory and

some inverse problems in potential theory and heat conduction,

Springer, 2002, Berlin.

87

[11] P.N. Anh, L.D. Muu, Coupling the Banach contraction mapping prin-

ciple and the proximal point algorithm for solving monotone varia-

tional inequalites, Acta Mathematica Vietnamica, 2004, 29 (2), 119-

133.

[12] P.N. Anh, L.D. Muu, V.H. Nguyen, J.J. Strodiot, Using the Banach

contraction principle to implement the proximal point method for mul-

tivalued monotone variational inequalities, J. Optim. Theory Appl.,

2005, 124 (2), 285-306.

[13] J.B. Baillon, R.E. Bruck, S. Reich, On the asymptotic behavior of

nonexpansive mappings and semigroups in Banach spaces, Houst. J.

Math., 1978, 4, 1-9.

[14] A.B. Bakushinskii, A regularizing algorithm based on the Newton-

Kantorovich method for solving variational inequalities, USSR Com-

put. Math. and Math. Phys., 1976, 16 (6), 16-23.

[15] A. Bakushinsky, A. Goncharsky, Ill-posed problems: Theory and ap-

plications, Springer, 1994, Dordrecht.

[16] A.B. Bakushinsky, M.Yu. Kokurin, Iterative methods for approximate

solution of inverse problems, Springer, 2004, Dordrecht.

[17] A.B. Bakushinskii, A. Smirnova, Iterative regularization and general-

ized discrepancy principle for monotone operator equations, Numer.

Funct. Anal. Optim., 2007, 28 (1-2), 13-25.

[18] V. Barbu, Nonlinear differential equations of monotone types in Ba-

nach spaces, Springer, 2010, New York.

[19] J. Baumeister, Stable solution of inverse problems, Friedr. Vieweg &

Sohn, 1987, Braunschweig.

[20] H.H. Bauschke, P.L. Combettes, Convex Analysis and Monotone Op-

erator Theory in Hilbert Spaces (Second edition), Springer, 2017,

Switzerland.

[21] O.A. Boikanyo, G. Morosanu, A proximal point algorithm converging

strongly for general errors, Optim. Lett., 2010, 4, 635-641.

88

[22] O.A. Boikanyo, G. Morosanu, A generalization of the regularization

proximal point method, Nonlinear Anal. Appl., 2012, Article ID jnaa-

00129, 6, doi: 10.5899/2012/jnaa-00129.

[23] F.E. Browder, Nonlinear elliptic boundary value problems, Bull.

Amer. Math. Soc., 1963, 69 (6), 862-874.

[24] F.E. Browder, Existence and approximation of solutions of nonlinear

variational inequalities, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1966, 56 (4),

1080-1086.

[25] F.E. Browder, On the unification of the calculus of variations and the

theory of monotone nonlinear operators in Banach spaces, Proc. Nat.

Acad. Sci. U.S.A., 1966, 56, 419-425.

[26] F.E. Browder, Nonlinear mappings of nonexpansive and accretive type

in Banach spaces, Bull. Amer. Math. Soc., 1967, 73 (6), 875-882.

[27] F.E. Browder, Nonlinear maximal monotone operators in Banach

space, Math. Ann., 1968, 175, 89-113.

[28] Ng. Buong, The regularization of variational inequalities and a gen-

eral approximation scheme for regularized solutions in Banach spaces,

Ukrain. Mat. Zh., 1991, 43 (9), 1273-1276.

[29] Ng. Buong, Regularization by linear operators, Acta Mathematica

Vietnamica, 1996, 21 (1), 135-145.

[30] Ng. Buong, Ng.D. Dung, A regularized parameter choice in regulariza-

tion for a common solution of a finite system of ill-posed equations in-

volving Lipschitz continuous and accretive mappings, Comput. Math.

Math. Phys., 2014, 54 (3), 397–406.

[31] Ng. Buong, V.Q. Hung, Newton-Kantorovich iterative regularization

for nonlinear ill-posed equations involving accretive operators, Ukrain.

Mat. Zh., 2005, 57 (2), 271-276.

[32] Ng. Buong, T.T. Huong, Ng.T.T. Thuy, A quasi-residual principle in

regularization for a common solution of a system of nonlinear mono-

89

tone ill-posed equations, Russian Math. (Iz. VUZ), 2016, 60 (3),

47–55.

[33] Ng. Buong, Ng.T.H. Phuong, Regularization methods for nonlinear

ill-posed equations involving m-accretive mappings in Banach spaces,

Russian Math. (Iz. VUZ), 2013, 57 (2), 58-64.

[34] L.C. Ceng, Q.H. Ansari, J.Ch. Yao, Mann-type steepest-descent and

modified hybrid steepest descent methods for variational inequalities

in Banach spaces, Num. Funct. Anal. Optim., 2008, 29 (9-10), 987-

1033.

[35] L.C. Ceng, H.K. Xu, J.Ch. Yao, Strong convergence of an iterative

method with perturbed mappings for nonexpansive and accretive op-

erators, Num. Funct. Anal. Optim., 2008, 29 (3-4), 324-345.

[36] Ng.M. Chuong, Ng.V. Kin, Regularization of variational inequalities

with perturbed nonmonotone and discontinuous operators, Differ.

Uravn., 1991, 27 (12), 2171–2172

[37] I. Cioranescu, Geometry of Banach spaces, duality mappings and non-

linear problems (Mathematics and its applications, 62), Kluwer Aca-

demic Publishers, 1990, Dordrecht.

[38] J.A. Clarkson, Uniformly convex spaces, Trans. Amer. Math. Soc.,

1936, 40 (3), 396-414.

[39] P. Deuflhard, A short history of Newton’s method, Doc. Math., 2012,

Extra vol.: Optimization stories, 25-30.

[40] H.W. Engl, C.W. Groetsch, Inverse and ill-posed problems, Academic

Press, Inc., 1987, London.

[41] H.W. Engl, M. Hanke, A. Neubauer, Regularization of inverse prob-

lems (Mathematics and its applications, 375), Kluwer Academic Pub-

lishers, 1996, Dordrecht.

[42] V.B. Glasko, Inverse problems of mathematical physics (Translated

from the Russian by A. Bincer), American Institute of Physics, 1988,

New York.

90

[43] K. Goebel, W.A. Kirk, Topics in metric fixed point theory (Cambridge

studies in advanced mathematics 28), Cambridge University Press,

1990, Cambridge.

[44] R. Gorenflo, S. Vessella, Abel integral equations: Analysis and appli-

cations, Springer, 1991, Berlin.

[45] C.W. Groetsch, Theory of Tikhonov regularization for fredholm equa-

tions of the first kind, Pitman Publishing Inc, 1984, Boston.

[46] O. Guler, On the convergence of the proximal point algorithm for

convex minimization, Siam J. Control and optimization, 1991, 29 (2),

403-419.

[47] M. Hanke, Conjugate gradient type methods for ill-posed problems,

Longman Scientific & Technical, 1995, Harlow.

[48] D.N. Hao, H.-J. Reinhardt, Gradient methods for inverse heat conduc-

tion problems, Inverse Problems in Engineering, 1998, 6 (3), 177–211.

[49] B. Hoffmann, Regularization for applied inverse and ill-posed prob-

lems, BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, 1986, Leipzig.

[50] V.K. Ivanov, On ill-posed problem, Mat. Sb. (N.S.), 1963, 61 (2),

211-223,

[51] S. Kamimura, W. Takahashi, Approximating solutions of maximal

monotone operators in Hilbert spaces, J. Approx. Theory, 2000, 106,

226-240.

[52] S. Kamimura, W. Takahashi, Weak and strong convergence of so-

lutions to accretive operator inclusions and applications, Set-Valued

Analysis., 2000, 8, 361-374.

[53] L.V. Kantorovich, Functional analysis and applied mathematics, Us-

pekhi. Mat. Nauk, 1948, 3, 89-185.

[54] L.V. Kantorovich, G.P. Akilov, Functional analysis in normed spaces,

Fizmatgiz, 1959, Moscow.

91

[55] L.V. Kantorovich, G.P. Akilov, Functional analysis, Nauka, 1977,

Moscow.

[56] A.G. Kartsatos, Theory and applications of nonlinear operators of ac-

cretive and monotone type (Lecture notes in pure and applied math-

ematics, 178), Marcel Dekker, Inc., 1996, New York.

[57] M.M. Lavrent’ev, Some improperly posed problems of mathematical

physics, Springer, 1967, Berlin, Heidelberg.

[58] N. Lehdili, A. Moudafi, Combining the proximal algorithm and

Tikhonov regularization, Optimization, 1996, 37, 239-252.

[59] W. Li, H. Zhen, The applications of theories of accretive operators to

nonlinear elliptic boundary value problems in Lp-spaces, Nonl. Anal.,

2001, 46 (1), 199-211.

[60] G. Marino, H.K. Xu, Convergence of generalized proximal point algo-

rithms, Comm. Pure Appl. Anal., 2004, 3, 791-808.

[61] S. Matsushita, L. Xu, Finite convergence of the proximal point algo-

rithm for variational inequality problems, Set-valued Var. Anal., 2013,

21, 297-309.

[62] G.J. Minty, On a "monotonicity" method for the solution of nonlinear

equations in Banach spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1963, 50

(6), 1038-1041.

[63] V.A. Morozov, Methods for solving incorrectly posed problems,

Springer-Verlag, 1984, New York.

[64] V.A. Morozov, Regularization methods for ill-posed problems (Trans-

lated from the 1987 Russian original), CRC Press, 1993, Boca Raton,

Florida.

[65] I.P. Mysovskikh, On the convergence of Newton’s method, Trudy Mat.

Inst. Steklov., 1949, 28, 145-147 (in Russian).

[66] M.Z. Nashed, F. Liu, On nonlinear ill-posed problems II: Monotone

operator equations and monotone variational inequalities. Theory and

92

applications of nonlinear operators of accretive and monotone type,

223-240, Lecture notes in pure and applied mathematics, 178, Marcel

Dekker, Inc., 1996, New York.

[67] F. Natterer, The mathematics of computerized tomography (Reprint

of the 1986 original), SIAM, 2001, Philadelphia, PA.

[68] F. Natterer, F. Wubbeling, Mathematical methods in image recon-

struction, SIAM, 2001, Philadelphia, PA.

[69] V.N. Pavlenko, Nonlinear equations with discontinuous operators in

Banach spaces, Ukrainian Mathematical Journal, 1979, 31 (5), 569-

572.

[70] P.M. Prenter, Splines and variational methods, Wiley-Interscience,

1975, NewYork.

[71] X. Qin , Y. Su, Approximation of a zero point of accretive operator

in Banach spaces, J. Math. Anal. Appl., 2007, 329, 415-424.

[72] R.T. Rockafellar, Characterization of the subdifferentials of convex

functions, Pacific J. Math., 1966, 17 (3), 497-510.

[73] R.T. Rockafellar, On the maximality of sums of nonlinear monotone

operators, Trans. Amer. Math. Soc., 1970, 149 (1), 75-88.

[74] R.T. Rockafellar, Monotone operators and the proximal point algo-

rithm, Siam J. Control and optimization, 1976, 14 (5), 877-898.

[75] R.T. Rockafellar, Augmented Lagrangians and applications of the

proximal point algorithm in convex programming, Math. Oper. Res.,

1976, 1 (2), 97-116.

[76] B.D. Rouhani, S. Moradi, Strong convergence of two proximal point

algorithms with possible unbounded error sequences, J. Optim. Theory

Appl., 2016, DOI: 10.1007/s10957-016-1028-5.

[77] I.P. Ryazantseva, Iterative methods of the Newton-Kantorovich type

for solving nonlinear ill-posed problems with monotone operators, Dif-

ferential Equations, 1987, 23 (11), 2012-2014.

93

[78] A.M. Saddeek, Generalized iterative process and associated regular-

ization for J-pseudomonotone mixed variational inequalities, Appl.

Math. Comput., 2009, 213 (1), 8-17.

[79] R.E. Showalter, Monotone operator in Banach space and nolinear

partial differential equations (Mathematical surveys and monographs,

49), American mathematical society, 1997.

[80] Y. Song, New iterative algorithms for zeros of accretive operators, J.

Korean Math. Soc., 2009, 46 (1), 83-97.

[81] G. Talenti, Best constant in Sobolev inequality, Ann. Mat. Pura Appl.,

1976, 110, 353-372.

[82] Ch.A. Tian, Y. Song, Strong convergence of a regularization method

for Rockafellar’s proximal point algorithm, J. Glob. Optim., 2013, 55,

831-837.

[83] A.N. Tikhonov, Solution of incorrectly formulated problems and the

regularization method, Soviet Mathematics Doklady, 1963, 4, 1035-

1038.

[84] A.N. Tikhonov, Regularization of incorrectly posed problems, Soviet

Mathematics Doklady, 1963, 4, 1624-1627.

[85] A.N. Tikhonov, V.Y. Arsenin, Solution of ill-posed problems (Trans-

lated from the Russian. Preface by translation editor Fritz John.

Scripta Series in Mathematics), V. H. Winston & Sons, 1977, Wash-

ington, D.C.

[86] M.M. Vainberg, Variational method and method of monotone opera-

tors, Nauka, 1972, Moscow.

[87] T.D. Van, D.N. Hao, Differential operators of infinite order with real

arguments and their applications,World Scientific Publishing Co. Pte.

Ltd., 1994, Singapore.

[88] G.M. Vainikko, Methods for solving linear ill-posed problems in

Hilbert spaces, Tartu. Gos. Univ., 1982, Tartu.

94

[89] F.P. Vasil’ev, Numerical methods for solving extremal problems,

Nauka, 1980, Moskow.

[90] F.P. Vasil’ev, Methods for solving extremal problems, Nauka, 1981,

Moskow.

[91] F. Wang, H. Cui, Convergence of the generalized contraction-proximal

point algorithm in a Hilbert space, Optimization, 2015, 64 (4), 709-

715.

[92] S. Wang, A modified regularization method for the proximal

point algorithm, J. Appl. Math., 2012, Article ID 567948, Doi:

10.1155/2012/567948.

[93] Y. Wang, F. Wang, H.K. Xu, Error sensitivity for strongly conver-

gent modifications of the proximal point algorithm, J. Optim. Theory

Appl., 2016, 168, 901-916.

[94] H.K. Xu, An iterative approach to quadratic optimization, J. Optim.

Theory Appl., 2003, 116 (3), 659-678.

[95] H.K. Xu, A regularization method for the proximal point algorithm,

J. Glob. Optim., 2006, 36, 115-125.

[96] H.K. Xu, Averaged mappings and the gradient-projection algorithm,

J. Optim. Theory Appl., 2011, 150, 360-378.

[97] Y. Yao, M.A. Noor, On convergence criteria of generalized proximal

point algorithms, J. Comp. Appl. Math., 2008, 217, 46-55.

Tiếng Đức

[98] B. Hoffmann, Mathematik inverser probleme, B.G. Teubner Verlags-

gesellschaft, 1999, Stuttgart.

[99] A.K. Louis, Inverse und schlecht gestellte probleme, B.G. Teubner,

1989, Stuttgart.

Tiếng Pháp

[100] S. Banach, Théorie des opérations linéaires, 1932, Warszawa.

95

[101] J. Hadamard, Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées

partielles linéaires hyperpoliques, Hermann, 1932, Paris.

[102] R. Lattès, J.L. Lions, Méthode de quasi-réversibilité et applications,

Dunod, 1967, Paris.

[103] B. Martinet, Regularisation d’inéquations variationnelles par approx-

imations successives, Revue Francaise d’Informatique et de Recherche

Opérationnelle, série rouge, 1970, 4 (3), 154-159.