h kosmik€ jewr—a diataraq‚n kai oi anisotrop—ec thc kosmik ... · diplwmatik€ ergas—a h...

διπλωματική εργασία

Η Κοσμική Θεωρία Διαταραχών

και οι Ανισοτροπίες της Κοσμικής

Ακτινοβολίας Μικροκυμάτων

Υποβάθρου

Ελένη Ευριπίδου

Τμήμα Φυσικής

Μάιος 2018

Περίληψη

Αμέσως μετά την Μεγάλη ΄Εκρηξη, το σύμπαν είχε πολύ υψηλή θερμοκρασία καιπυκνότητα. Για αυτό και οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ των σωματιδίων ήταν πολύ συχνέςκαι ενεργειακές. Το σύμπαν πέρασε από διάφορες εποχές κατά τις οποίες κυριαρχούσανδιαφορετικά είδη σωματιδίων. ΄Οταν επικράτησαν για πρώτη φορά τα φωτόνια, η ύληπλέον αποτελείτο από ηλεκτρόνια και βαρυόνια ή αλλιώς νετρόνια και πρωτόνια, ταοποία αλληλεπιδρούσαν με δυνάμεις Coulomb. Παρόλα αυτά οι υψηλές θερμοκρασίεςπου επικρατούσαν δεν τους επέτρεπαν να σχηματίσουν ουδέτερα άτομα, με το Σύμ-παν να είναι ακόμα ιονισμένο. Τα φωτόνια από την άλλη, αλληλεπιδρούσαν ισχυρά μετα ηλεκτρόνια. Αυτές οι ισχυρές αλληλεπιδράσεις μεταξύ των σωματιδίων λόγω τηςύπαρξης υψηλών θερμοκρασιών, είχε ως αποτέλεσμα την ύπαρξη ενός ενιαίου ρευστούτο οποίο καλούμε (θερμικό) πλάσμα. Καθώς το πλάσμα κρύωνε, έφτασε η στιγμήπου οι συνθήκες θερμοκρασίας οδήγησαν στην δημιουργία ελαφριών ατόμων όπως εί-

ναι το υδρογόνο και το ήλιο. Κατά την διάρκεια αυτής της διαδικασίας, έλαβε χώρακαι η αποσύνδεση των φωτονίων από το ρευστό. Τα φωτόνια ήταν πλέον ελεύθερα ναταξιδεύουν στο χωροχρόνο. Σήμερα, δισεκατομμύρια χρόνια μετά, παρατηρούμε αυτάτα φωτόνια ως ακτινοβολία μικροκυμάτων η οποία αποτελεί το απομεινάρι της Μεγάλης

΄Εκρηξης, και είναι γνωστό ως η Κοσμική Ακτινοβολία Μικροκυμάτων Υποβάθρου ήδιαφορετικά Cosmic Microwave Background (CMB). Αυτή η ακτινοβολία φαίνεται ναείναι σχεδόν ισοτροπική, με την ίδια θερμοκρασία των 2.725K να παρατηρείται σε κάθεκατεύθυνση. ΄Ομως, στην πραγματικότητα υπάρχουν κάποιες μικρές διακυμάνσεις στηνθερμοκρασία οι οποίες είναι της τάξης του 1 προς 100000. Κάποια σημεία είναι πιοκρύα και άλλα πιο θερμά. Αυτές οι διακυμάνσεις αντιπροσωπεύουν μικρές διαταραχέςστην πυκνότητα της ύλης και της ακτινοβολίας, οι οποίες στο πέρασμα του χρόνου θακαταρρεύσουν υπό την επίδραση της βαρύτητας δημιουργώντας μεγαλύτερες διακυμάν-

σεις στην πυκνότητα της ύλης. Οι περιοχές αυτές που είναι πυκνές θα οδηγήσουν στηνδημιουργία των γαλαξιών, των άστρων και των πλανητών. Υπάρχουν ισχυρές ενδείξειςότι αυτές οι διακυμάνσεις στο αρχέγονο πλάσμα προέρχονται από μικροσκοπικές κβαν-

τικές διαταραχές, οι οποίες μεγάλωσαν στο κοσμικό μέγεθος κατά την διάρκεια τηςδιαστολής του πληθωρισμού (inflation).

1

Το Cosmic Microwave Backround έχει μεγάλη σημασία στην Κοσμολογία, επειδήαποτελεί μια εικόνα του πρώιμου Σύμπαντος. Αποκωδικοποιώντας τις πληροφορίες πουμας δίνουν οι ανισοτροπίες της θερμοκρασίας, όπως ονομάζονται στην Κοσμολογία,μπορούμε να κατανοήσουμε τα γεγονότα που έλαβαν χώρα μετά την Μεγάλη ΄Εκρηξη

και να αποκτήσουμε μια πλήρης ιδέα για την δημιουργία του Σύμπαντος. Θα προσπα-θήσουμε να κατανοήσουμε τα φαινόμενα που προηγήθηκαν πριν την αποσύνδεση των

φωτονίων, επικεντρώνοντας στην φυσική προέλευση της εξέλιξης ανισοτροπιών, χρησι-μοποιώντας την κοσμική θεωρία διαταραχών (perturbation theory) και την εξίσωσηBoltzmann. Για την μελέτη τέτοιων φαινομένων θα χρησιμοποιήσουμε τις προσεγγί-σεις της ισχυρής σύνδεσης των φωτονίων με τα ηλεκτρόνια και αυτής που τα φωτόνια

κινούνται ελεύθερα χωρίς αλληλεπιδράσεις. Οι λύσεις της εξίσωσης Boltzmann εμφανί-ζουν όρους που αντιπροσωπεύεουν πρωτογενείς και δευτερογενείς ανισοτροπίες. Τοολοκλήρωμα line-of-sight μας δίνει την πλήρη εικόνα για τις τιμές των ανισοτροπιών τηςθερμοκρασίας που λαμβάνουμε σήμερα. Η φυσική προέλευση πρωτογενών ανισοτροπιώνφαίνεται να αποκωδικοποιούν φαινόμενα όπως οι ακουστικές ταλαντώσεις, το baryondrag, η διάχυση των φωτονίων, το Silk-Damping και η ακουστική ώθηση, ενώ δευτερο-γενείς ανισοτροπίες φαίνεται να προέρχονται από το λεγόμενο Integrated Sachs-Wolfeφαινόμενο.

2

Ευχαριστίες

Θερμές ευχαριστίες στους Δρ. Κωνσταντίνο Σκορδή και Δρ. Νικόλαο Τούμπα, τόσογια την καθοδήγηση όσο και για το εξαιρετικά χρήσιμο υλικό που μου πρόσφεραν,συμβάλλοντας σημαντικά στο να φέρω εις πέρας την διατριβή μου.

3

Περιεχόμενα

1 Εισαγωγή στην Κοσμολογία 61.1 Το μοντέλο Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Διαστελλόμενο Σύμπαν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 H Μετρική Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.3 Μετατόπιση προς το ερυθρό . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.4 Η εξίσωση Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.5 Κοσμολογικές Λύσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2 H Θερμική Ιστορία του Σύμπαντος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.1 Θερμοδυναμική: σχετικιστικά και μη σχετικιστικά σωματίδια . . 231.2.2 Διατήρηση της Εντροπίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.3 Αποσύνδεση Νετρίνων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.2.4 Επανασύνθεση και Αποσύνδεση . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2 Θεωρία Διαταραχών 422.1 Νευτώνεια Θεωρία Διαταραχών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1.1 Νευτώνεια ρευστά . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.1.2 Εισαγωγή μικρών διαταραχών σε ένα στατικό

Νευτώνειο ρευστό υπό την επίδραση της βαρύτητας . . . . . . . 442.1.3 Νευτώνειο ρευστό σε ένα διαστελλόμενο Σύμπαν . . . . . . . . 482.1.4 Λύσεις για την ύλη κατά την διάρκεια διάφορων εποχών . . . . . 53

2.2 Κοσμική Θεωρία Διαταραχών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.2.1 Προσδιορίζοντας τον χωρόχρονο . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.2.2 Βαθμωτές, Διανυσματικές συνιστώσες και

Τένσορες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.2.3 Καθορίζοντας τις Διαταραχές . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.2.4 Εύρεση της εξισώσης Einstein εισάγωντας

διαταραχές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4

2.2.5 Εξέλιξη των δυναμικών για τα ρευστά με

μηδενική διατμητική τάση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.2.6 Εξισώσεις για ρευστό που περιλαμβάνει ύλη και ακτινοβολία . . 69

2.3 Δομή σωματιδίων στο Πρώιμο Σύμπαν . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3 Cosmic Microwave Background 773.1 Τα φωτόνια στο Πρώιμο Σύμπαν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.1.1 Η δομή του CMB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.1.2 Κινητική Θεωρία των φωτονίων . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.2 Οι ανισοτροπίες του CMB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.2.1 Προσδιορίζοντας τις ανισοτροπίες . . . . . . . . . . . . . . . . 833.2.2 Το angular power spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.3 Εξίσωση Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.3.1 Εξίσωση Boltzmann για έναν απλό αρμονικό

ταλαντωτή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.3.2 Η εξίσωση Boltzmann για τα φωτόνια . . . . . . . . . . . . . . 88

3.4 Η προέλευση των Ανισοτροπιών του CMB . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.4.1 Το ρευστό φωτονίων-βαρυονίων κατά την διάρκεια της ισχυρής

σύνδεσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.4.2 Το ρευστό φωτόνιων μετά την αποσύνδεση . . . . . . . . . . . 1053.4.3 Η αυστηρή λύση της εξίσωσης Boltzmann . . . . . . . . . . . . 1073.4.4 Η φυσική προέλευση των πρωτογενών

ανισοτροπιών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.4.5 Η Φυσική προέλευση δευτερογενών ανισοτροπιών . . . . . . . . 127

3.5 Εικόνα των ανισοτροπιών της θερμοκρασίας του CMB σήμερα . . . . . 130

A Συνηθείς Συναρτήσεις 133A.1 Συναρτήσεις Γάμμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133A.2 Συναρτήσεις Ζήτα-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134A.3 Σφαιρικές Αρμονικές Συναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134A.4 Πολυώνυμα Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

A.4.1 Σχέσεις μεταξύ πολυωνύμων Legendre και των σφαρικών αρ-μονικών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

A.5 Σφαιρικές Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5

Κεφάλαιο 1

Εισαγωγή στην Κοσμολογία

Για αρχή θα μελετήσουμε το σύμπαν σε μεγάλες κλίμακες. Σύμφωνα με τις πληροφορίεςτου Cosmic Microwave Backgroud (CMB) σε αυτή την κλίμακα το Σύμπαν είναι ομοιο-γενές και ισοτροπικό, αφού σε όποια κατεύθυνση και αν κοιτάξουμε η θερμοκρασία είναιπερίπου ίση με 2.7K. Αυτή η προσέγγιση ονομάζεται Κοσμολογική αρχή, και περιγράφειτο σύμπαν ως ομοιογενές και ισοτροπικό. Σε ένα ισοτροπικό χώρο δεν υπάρχει διευ-θύνση που διαφέρει από τις υπόλοιπες και αυτό ισχύει για οποιονδήποτε παρατηρητή

όπου και αν βρίσκεται. Αυτό καθιστά τον χώρο να είναι ομοιογενές δηλαδή να μηνυπάρχει προνομιακή θέση. Η ομοιογένεια επιτρέπει να υπάρχουν συμμετρίες οι οποίεςόταν μετασχηματίζουν ένα σημείο σε ένα άλλο το αφήνουν αναλλοίωτο.

1.1 Το μοντέλο Friedmann

1.1.1 Διαστελλόμενο Σύμπαν

Προτού προχωρήσουμε, πρέπει να σημειώσουμε ότι το Σύμπαν μας διαστέλλεται ομοιό-μορφα. Θα εισάγουμε τον παράγοντα κλίμακας α(t) ο οποίος θα αντιπροσωπεύει τηνδιαστολή στο χωρικό μέρος της μετρικής και ισχύει ότι

xiphy = α(t)xi (1.1)

με το xiphy να είναι η φυσική συντεταγμένη και το xiνα είναι η comoving συντεταγ-

μένη. Μια φυσική απόσταση αυξάνεται με την διαστολή. Ενώ μια comoving απόστασηείναι αναλλοίωτη καθώς το σύμπαν διαστέλλεται, με τις συντεταγμένες xi να παραμέ-νουν σταθερές. Για να καταλάβουμε τι ακριβώς συμβαίνει μπορούμε να φανταστούμετο σύμπαν μας σαν ένα μπαλόνι το οποίο φουσκώνει. Τα σημεία πάνω στο μπαλόνι κα-θώς αυτό διαστέλλεται θα απομακρύνονται μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο σχήμα 1.1.

6

1.1. Το μοντέλο Friedmann 7

Σχήμα 1.1: Διαστολή του σύμπαντος. Οι comoving συντεταγμένες παραμένουν στα-θερές στο πέρασμα του χρόνου, ενώ οι φυσικές αποστάσεις αυξάνονται. Προσέξτε ότιαν οι κουκκίδες αντιπροσωπεύουν γαλαξίες, αυτοί δεν θα υποστούν κάποια διαστολή.Αυτό που διαστέλλεται είναι ο χώρος ανάμεσά τους. (Βασισμένο σε διάγραμμα πουβρίσκεται στο Baumann, Cosmology)

Παρόλα αυτά οι comoving συντεταγμένες θα παραμένουν σταθερές κατά την διάρκειατης διαστολής.Αν τώρα παραγωγίσουμε την εξίσωση 1.1, θα πάρουμε ότι

dxiphydt

= α(t)dxi

dt+

dα

dtxi

υiphy = υipec +Hxiphy

(1.2)

όπου

H =α

α(1.3)

με το H να είναι ο παράγοντας Hubble, ο οποίος έχει μονάδες μέτρησης [ 1T

] και κα-θορίζει τον ρυθμό που διαστέλλεται το Σύμπαν. Ο όρος υipec ονομάζεται ταχύτηταpeculiar και είναι η ταχύτητα ενός αντικειμένου που μετρά ένας comoving παρατηρητής


(δηλαδή αυτός που κινείται μαζί με την ροή της διαστολής). Αν υipec = 0 (συγκεκριμέναxi = 0) δύο αντικείμενα δεν κινούνται το ένα σε σχέση με το άλλο και τότε θα έχουμεότι

υiphy = Hxiphy (1.4)

Η πιο πάνω εξίσωση είναι ο Νόμος Hubble, ο οποίος περιγράφει πώς η σχετική ταχύτηταδύο αντικειμένων επηρεάζεται από την διαστολή του σύμπαντος, η οποία είναι ανάλογητης μεταξύ τους απόστασης. Ο παράγοντας Hubble σήμερα (t0) είναι H(t0) = H0,και αντιπροσωπεύει τον ρυθμό διαστολής που έχει το σύμπαν μας σήμερα. Στην Κοσ-μολογία είναι γνωστός σαν σταθερά Hubble. Σημειώνουμε ότι για προηγούμενουςχρόνους ισχύει ότι t < t0. Πιο κάτω θα δούμε πως η διαστολή του σύμπαντος έχει ωςαποτέλεσμα τα φωτόνια να μετατοπίζονται προς το ερυθρό.

1.1.2 H Μετρική Robertson-Walker

Επειδή το σύμπαν είναι χωρικά ομοιογενές και ισοτροπικό αυτό μας επιτρέπει να ανα-

παραστήσουμε το σύμπαν σε τρισδιάστατες χωροειδής επιφάνειες σε διακριτούς χρόνους

t0. Οι ομογενείς και ισοτροπικοί τρισδιάστατοι χώροι μπορούν να έχουν τρεις βαθμωτέςκαμπυλότητες: την μηδενική k = 0, την θετική k = +1 και την αρνητική k = −1.Επιπλέον, επειδή ο χώρος είναι ομοιογενής και ισοτροπικός έχει ως αποτέλεσμα η βα-θμωτή καμπυλώτητα του χώρου να είναι σταθερή. ΄Ετσι, σε ένα διαστελλόμενο σύμπανη μετρική θα έχει την γενική μορφή

ds2 = −dt2 + α2(t)

[dr2

1− kr2+ r2dθ2 + r2 sin2 θdϕ2

](1.5)

Η πιο πάνω σχέση ονομάζεται Robertson-Walker μετρική. Ο όρος α(t) είναι ο παρά-γοντας κλίμακας που αντιπροσωπεύει την χρονική εξάρτηση των αποστάσεων καθώς

το σύμπαν διαστέλλεται. Επιπλέον θέτουμε c = 1. Αν πάρουμε μια χρονική φέτα t = t0τότε η μετρική θα είναι χωρική

ds2∣∣t=t0

= dσ2 = α20

[ dr2

1− kr2+ r2dθ2 + r2 sin2 θdϕ2

](1.6)

Θέτουμε dχ2 = dr2

1−kr2 . Ολοκληρώνοντας και από τις δύο πλευρές, και χρησιμοποιώνταςτο τέχνασμα r = 1√

ksin ρ, παίρνουμε ότι χ = 1√

karcsin

√kr. Θέτοντας τις τιμές τις

καμπυλότητας k παίρνουμε ότι


k = 1, χ = arcsin (r) (1.7)k = 0, χ = r (1.8)k = −1, χ = arcsinh(r) (1.9)

Για k = 0, έχουμε ότι r = 1√k

sin√kχ ≈ 1√

k(√kχ − 1

6(√kχ)3 + ..). Εάν λάβουμε

υπόψη πρώτης τάξης χ έχουμε ότι r ≈ χ. Για k = −1, θα έχουμε ότι χ = i arcsin ir =arcsinhr. Ας δούμε πως αλλάζει η μετρική αναλόγως για κάθε διαφορετική καμπυλότηταk.

Περίπτωση για k = 1

Θα έχουμε ότι r = sinχ με 0 ≤ r ≤ 1 και 0 ≤ χ ≤ π,

dσ2 = α20

[dχ2 + sin2 χ(dθ2 + sin2 θdϕ2)

](1.10)

Αυτή είναι η μετρική της επιφάνειας μιας τρισδιάστατης σφαίρας εμβαπτισμένης στον

τετραδιάστατο Ευκλείδιο χώρο. ΄Οπως έχουμε στον τρισδιάστατο Ευκλείδιο χώρο μιαεπιφάνεια δισδιάστατης σφαίρας με τρεις συντεταγμένες να την ορίζουν: R, θ, ϕ, έτσικαι εδώ έχουμε τέσσερις συντεταγμένες: α0, χ, θ, ϕ. Με την α0 να είναι η ακτίνα και οι

υπόλοιπες να είναι γωνίες με 0 ≤ χ, θ ≤ π και 0 ≤ ϕ < 2π. Ο όγκος του Σύμπαντοςείναι πεπερασμένος και έχει τιμή ίση με

dV = α30 sin2 χ sin θdχdϕdθ

V (α0) = α30

∫ π

0

dχ sin2 χ

∫ π

0

dθ sin θ

∫ 2π

0

dϕ

= 2π2α30

(1.11)

Το σύμπαν είναι κλειστό και πεπερασμένο, με τον παράγοντα κλίμακα να προσδιορίζειτην ακτίνα του.

Περίπτωση για k = 0

Η μετρική θα έχει την εξής μορφή

dσ2 = α20

[dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdϕ2)

](1.12)

Αυτή είναι η μετρική ενός τρισδιάστατου επίπεδου χώρου γραμμένη σε σφαιρικές συν-

τεταγμένες. Με τα 0 ≤ r <∞, 0 ≤ θ ≤ π και 0 ≤ ϕ < 2π. Εδώ η συντεταγμένη τηςακτίνας δεν είναι η r αλλά η α0r. ΄Οπως φαίνεται, το σύμπαν για αυτή την περίπτωσηείναι άπειρο και ανοιχτό.


Περίπτωση για k = −1

Η μετρική θα έχει την εξής μορφή

dσ2 = α20

[dχ2 + sinh2 χ(dθ2 + sin2 θdϕ2)

](1.13)

Αν εμβαπτίσουμε την χωροειδή αυτή επιφάνεια στον τετραδιάστατο χώρο Minkowskiτότε φαίνεται πως η μετρική περιγράφει ένα τρισδιάστατο υπερβολοειδές. Με τις συν-τεταγμένες που το περιγράφουν να παίρνουν τις τιμές 0 ≤ χ < ∞, 0 ≤ θ ≤ π και0 ≤ ϕ < 2π. Το σύμπαν σε αυτή την περίπτωση είναι ανοιχτό και άπειρο, με άπειροόγκο και αρνητική καμπυλότητα.

1.1.3 Μετατόπιση προς το ερυθρό

΄Εστω ότι ένας παλμός φωτός εκπέμπεται από ένα μακρινό γαλαξία που βρίσκεται στην

comoving θέση r(θ1, ϕ1) την χρονική στιγμή t1. Τότε αυτός ο παλμός φτάνει στον δικόμας γαλαξία που βρίσκεται στην comoving θέση r = 0, την σημερινή χρονική στιγμή t0,όπου t0 > t1. Το φως θα διαγράψει την φωτοειδής γεωδετική γραμμή και άρα ds2 = 0.H εξίσωση 1.5 δίνει

−dt2 + α2(t)dr2

1− kr2= 0 (1.14)

επειδή η συντεταγμένες θ και ϕ είναι σταθερές. ΄Αρα έχουμε ότι∫ t0

t1

dt

α(t)=

∫ 0

r

dr√1− kr2

=

∫ 0

χ

dχ = χ (1.15)

Αν τώρα υποθέσουμε ότι ένας δεύτερος παλμός εκπέμπεται μετά από λίγο, την στιγμήt1 + δt1 και φτάνει στον γαλαξία μας την στιγμή t0 + δt0, τότε θα έχουμε ότι∫ t0+δt0

t1+δt1

dt

α(t)= χ (1.16)

΄Αρα μπορούμε να γράψουμε ότι∫ t0+δt0

t0

dt

α(t)=

∫ t1+δt1

t1

dt

α(t)(1.17)

και αν τα δt0, δt1 1 τότε μπορούμε να γράψουμε ότι

δt0α(t0)

=δt1α(t1)

(1.18)


Τα δt δεν είναι τίποτα άλλο από την περίοδο της εκπομπής και λήψης παλμών. ΄Αραδt = 1/ν, όπου ν είναι η συχνότητα, και τότε

ν1

ν0

=α0

α1

λ0

λ1

=α0

α1

≡ 1 + z(1.19)

΄Οπου λ0 είναι το παρατηρήσιμο μήκος κύματος και λ1 το εκπεμπόμενο μήκος κύματος

του παλμού φωτός. Ο όρος z είναι ένας αδιάστατος αριθμός. Εάν έχουμε διαστολήτότε α0 > α1 και άρα λ0 > λ1 δηλαδή το μήκος κύματος θα υπόκειται σε μετατόπιση

προς το ερυθρό. Επιπλέον αυτό έχει ως αποτέλεσμα το z > 0.Αν αναπτύξουμε τον παράγοντα κλίμακας με ανάπτυγμα Taylor γύρω από το t0, για

t− t0 1 τότε

α(t) = α(t0) + (t− t0)α(t0) +1

2(t− t0)2α(t0) + ... (1.20)

διαιρώντας με το α(t0) θα έχουμε

α(t)

α(t0)= 1 + (t− t0)H0 −

1

2(t− t0)2q0H

20 + ... (1.21)

όπου

q0 ≡ −α(t0)

α(t0)H20

(1.22)

και ονομάζεται παράμετρος επιβράδυνσης και αντιπροσωπεύει τον ρυθμό με τον οποίο

επιβραδύνεται η διαστολή. Παρατηρήσεις δείχνουν ότι σήμερα το q0 < 0 και άρα τοΣύμπαν διαστέλλεται επιταχυνόμενα. Επιπρόσθετα μπορούμε να γράψουμε για το z ότι

1

1 + z=

α(t)

α(t0)= 1 + (t− t0)H0 + ...

1 + z = [1 + (t− t0)H0 + ...]−1

≈ 1− (t− t0)H0 + ...

= 1 + (t0 − t)H0 + ...

(1.23)

άρα

z = (t0 − t)H0 + ... (1.24)

Για κοντινά σημεία, το t0 − t = d (ας μην ξεχνάμε ότι θέσαμε c=1), με το d να είναι ηφυσική απόσταση μεταξύ των σημείων και τότε βλέπουμε ότι η μετατόπιση στο ερυθρό

αυξάνεται γραμμικά συνάρτηση της απόστασης

z ≈ dH0 (1.25)


Αν σχεδιάσουμε το διάγραμμα της μετατόπισης στο ερυθρό z συνάρτηση της απόσ-τασης d, το οποίο είναι γνωστό ως διάγραμμα Hubble, μπορούμε από την κλίση ναυπολογίσουμε την σταθερά Hubble H0. Παρατηρήσεις σήμερα δείχνουν ότι η σταθεράHubble είναι

H0 = 100hkms−1Mpc−1, h = 0.744± 0.025 (1.26)

όπου η παράμετρος h αντιπροσωπεύει τις αβεβαιότητες στις μετρήσεις.

1.1.4 Η εξίσωση Friedmann

Δίνεται η εξισώση Einstein η οποία συμπεριλαμβάνει την κοσμολογική σταθερά Λ,

Gµν ≡ Rµν −1

2gµνR = 8πGTµν − Λgµν (1.27)

όπου Gµν είναι ο τένσορας Einstein, Rµν είναι ο τένσορας Ricci, R είναι η βαθμωτήκαμπυλότητα Ricci (R = gµνRµν), G είναι η σταθερά Newton, Tµν είναι ο τένσοραςενέργειας και ορμής της ύλης και της ακτινοβολίας. Η εξίσωση του Einstein σχετίζειτην γεωμετρία (αριστερό μέρος της εξίσωσης) με την μάζα (δεξί μέρος της εξίσωσης).Θεωρούμε ότι η ύλη και η ακτινοβολία αποτελεί ένα τέλειο ισοτροπικό ρευστό το

οποίο περιγράφεται από την πυκνότητα ενέργειας ρ, και πίεση P. Η μορφή του τένσοραενέργειας και ορμής τότε θα είναι

T µν = gµρTρν =

−ρ(t) 0 0 0

0 P (t) 0 00 0 P (t) 00 0 0 P (t)

(1.28)

Ο λόγος που οι συνιστώσες της πιέσης είναι ίσες, είναι επειδή ο χώρος είναι ομοιογενείςκαι ισοτροπικός όπως περιγράφει η κοσμολογική αρχή. Αυτό καθιστά τις συνιστώσεςνα εξαρτώνται μόνο από τον χρόνο και όχι τον χώρο. Υπολογίζοντας τον τανυστήRicci και την βαθμωτή καμπυλότητα μπορούμε να βρούμε ένα σετ από εξισώσεις. Στοσύμπαν Friedmann-Robetson-Walker φαίνεται ότι οι μόνοι όροι που επιβιώνουν είναιαυτοί με δείκτες µ = ν. Για το χρονικό κομμάτι µ = ν = 0 παίρνουμε την εξίσωσηFriedmann

3H2 +3k

α2− Λ = 8πGρ (1.29)

Η δεύτερη εξίσωση προέρχεται από το χωρικό κομμάτι της εξίσωσης Einstein για µ =ν = i

2α

α+H2 +

k

α2− Λ = −8πGP (1.30)


Οι δύο αυτές εξισώσεις είναι οι βάσεις του standard κοσμολογικού μοντέλου για τηνΜεγάλη ΄Εκρηξη, που περιλαμβάνουν και το τρέχων μοντέλο ΛCDM (Lambda-ColdDark Matter model). Ας δούμε λίγο την εξίσωση Friedmann (1.29). Για πολύμεγάλους χρόνους ο όρος

1α2 → 0 και τότε θα υπερισχύει ο όρος Λ στο αριστερό

μέλος. Επιπλέον για μεγάλους χρόνους η επικρατούσα πυκνότητα θα είναι αυτή τηςύλης. ΄Οπως θα δούμε παρακάτω η πυκνότητα της ύλης σχετίζεται με τον παράγοντακλίμακας με την σχέση ρ ∝ 1

α3 . ΄Αρα για μεγάλους χρόνους η πυκνότητα θα φθίνεικαι πλέον η εξίσωση του σύμπαντος θα καθορίζεται από την κοσμολογική σταθερά

Λ = σταθερ. Για μικρούς χρόνους όμως συμβαίνει το αντίθετο, με την κοσμολογικήσταθερά Λ να είναι μικρή σε σχέση με τους υπόλοιπους όρους και τότε η εξίσωση τουσύμπαντος καθορίζεται από την πυκνότητα. Αν παραγωγίσουμε την εξίσωση 1.29 τότε

6αα

α2− 6

α3

α3− 6k

α

α2= 8πGρ

⇒ ρ =3α

4πG

(αα− α2 − k

α3

) (1.31)

επειδή

dH2

dt= 2

αα

α2− 2

α3

α3(1.32)

Αντικαθιστούμε τον όρο αα όπως δίνεται από την εξίσωση 1.30 και τότε παίρνουμε

ρ =3α

4πGα

(−4πGP − 1

2(3H2 +

3k

α2− Λ)

)=

3H

4πG(−4πGP − 4πGρ)

(1.33)

όπου στο τελευταίο βήμα αντικαταστήσαμε την εξίσωση 1.29. ΄Αρα έχουμε ότι

ρ+ 3H(P + ρ) = 0 (1.34)

Η πιο πάνω σχέση είναι η εξίσωση συνέχειας για ένα τέλειο ρευστό σε ένα διαστελ-

λόμενο σύμπαν και αποτελεί αποτέλεσμα της διατήρησης ενέργειας. Αυτή η εξίσωσηεξάγεται και όταν επιβάλλουμε T µν;ν = 0. Για να το δούμε αυτό, θα πολλαπλασιάσουμεμε τον όρο α3

και τότε θα πάρουμε

α3ρ+ 3αα2P + 3αα2ρ = 0

d(α3ρ) + Pd(α3) = 0

dE + PdV = 0

(1.35)


όπου στο τελευταίο βήμα θεωρήσαμε ότι αν έχουμε ένα κύβο ή σφαίρα με ακτίνα ατότε ο όγκος τους θα είναι ανάλογος του a3

και ως γνωστόν ρ = m/V άρα ρα3 ∝ E(c=1). Το αποτέλεσμα της εξίσωσης 1.35 αποτελεί τον 1ο Νόμο της Θερμοδυναμικήςγια μια αδιαβατική διαστολή

1ο οποίος επιβάλλει την διατήρηση ενέργειας.

Τώρα θέλουμε να συνδυάσουμε την πυκνότητα με την πίεση του ρευστού και αυτό

θα το πετύχουμε με την καταστατική εξίσωση που ισχύει για κάθε ρευστό : P = P (ρ).Σημειώνουμε επειδή έχουμε τέλεια ρευστά, επιβάλλεται το null energy condition για τοοποίο ισχύει ότι ρ(t) +P (t) ≤ 0. Θα θεωρήσουμε ότι είναι μια απλή σχέση της μορφής

P = wρ (1.36)

Η παράμετρος w είναι γνωστή αναλόγως με το ρευστό που έχουμε να αντιμετωπίσουμε,και μερικές φορές ερμηνεύεται ως η ταχύτητα του ήχου στο ρευστό. Από το null energycondition παίρνουμε ότι w ≤ −1. Για την περίπτωση της ύλης, η οποία περιέχει μησχετικιστικά σωματίδια όπως είναι τα βαρυόνια, καθώς και κρύα σκοτεινή ύλη, η πίεσητου ρευστού είναι μηδενική P = 0 και τότε ισχύει ότι w = 0. Αυτή η προσέγγιση είναιαρκετά καλή για σωματίδια που αλληλεπιδρούν πολύ σπάνια, γεγονός που συμβαίνειόταν το σύμπαν κρυώσει αρκετά. Για την περίπτωση της ακτινοβολίας, η οποία περιέχειφωτόνια και άλλα σχετικιστικά σωματίδια όπως είναι τα quarks στο πρώιμο σύμπανκατά το οποίο επικρατούσαν υψηλές θερμοκρασίες, ισχύει ότι P = ρ

3, δηλαδή w = 1

3.

Για την περίπτωση της σκοτεινής ενέργειας ή διαφορετικά της κοσμολογικής σταθεράς,ισχύει ότι P = −ρ, δηλαδή w = −1. Αυτό συμβαίνει επειδή η πυκνότητα σχετίζεται μετις κβαντικές διακυμάνσεις που υπήρξαν κατά την διάρκεια του πληθωρισμού. (Πίνακας1.1)Αν αντικαταστήσουμε την εξίσωση 1.36 στην 1.34 τότε θα παίρνουμε ότι

ρ+ 3Hρ(w + 1) = ρ+ 3α

αρ(w + 1) = 0

α

αdt = − 1

3(w + 1)

ρ

ρdt

dα

α= − 1

3(w + 1)

dρ

ρ

⇒ ρ(t) ∝ α−3(1+w)

(1.37)

1Για μια αδιαβατική διαστολή ισχύει ότι η εντροπία είναι σταθερή S =σταθερά


Αν θέσουμε το αποτέλεσμα αυτό στην εξίσωση Friedmann2 1.29 με k = 0 τότε

3

(α

α

)2

= 8πGα−3(1+w) ⇒ α2 ∝ α−3(1+w)+2

⇒ α ∝ α−(1+3w)/2 ⇒ α(t) ∝ t2

3(1+w)

(1.38)

Τα αποτελέσματα των σχέσεων 1.37 και 1.38 είναι πολύ σημαντικά και θα τα χρησι-μοποιήσουμε στα επόμενα κεφάλαια. Ας δούμε πως εξαρτάται η πυκνότητα ρευστών γιακάθε είδος και πως αλλάζει ο παράγοντας κλίμακας σύμφωνα με το είδος ρευστού που

επικρατεί στο σύμπαν.

Περίπτωση της ύλης: w = 0 και τότε η πυκνότητα της ύλης είναι

ρm(t) = ρm0

(α0

α

)3

(1.39)

ενώ ο παράγοντας διαστολής κατά την εποχή που έχουμε ένα υλοκρατικό σύμπαν έχει

την μορφή

α(t) = α0

(t

t0

)2/3

(1.40)

και άρα ο παράγοντας Hubble είναι

H =2

3t(1.41)

Περίπτωση της ακτινοβολίας: w = 1/3 και τότε η πυκνότητα είναι

ρr(t) = ρr0

(α0

α

)4

(1.42)

ενώ ο παράγοντας διαστολής κατά την εποχή που επικρατεί η ακτινοβολία, έχει τηνμορφή

α(t) = α0

(t

t0

)1/2

(1.43)

και άρα ο παράγοντας Hubble είναι

H =1

2t(1.44)

2Η κοσμολογική σταθερά Λ δεν είναι μηδενική, αλλά όπως θα δούμε παρακάτω, μπορούμε να την

απορροφήσουμε στον τένσορα ενέργειας-ορμής. Για αυτό τον λόγo είναι απούσα από την εξίσωσηFriedmann


Περίπτωση της κοσμολογικής σταθεράς: w = −1 και τότε η πυκνότητα είναι

ρΛ(t) = ρΛ0 = σταθερά (1.45)

ενώ ο παράγοντας διαστολής κατά την εποχή που επικρατεί η σκοτεινή ενέργεια, έχειτην μορφή

α(t) = α0eH(t−t0) (1.46)

με τον παράγοντα Hubble να είναι H2 = 8πG3ρΛ0 =σταθερά (εξίσωση Friedmann για

k = 0). Στην περίπτωση αυτή, το Λ 6= 0, αλλά μπορεί να απορροφηθεί στον τανυστήενέργειας και ορμής. Αν ανακαλέσουμε την εξίσωση 1.28, ο τανυστής T µν στο κενό θαείναι

T µν = gµρTρν =

−ρ0 0 0 0

0 −ρ0 0 00 0 −ρ0 00 0 0 −ρ0

= −ρ0δµν (1.47)

και άρα Tµν = gµρTρν = −ρ0gµν . Επειδή έχει την ίδια μορφή με τον όρο της κοσμολογική

σταθερά στο δεξί μέρος της σχέσης 1.27, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το Λ συνεισφέρειστον τένσορα ενέργειας-ορμής και άρα

TΛµν = − Λ

8πGgµν = −ρΛ0gµν (1.48)

όπου ορίσαμε ότι

ρΛ0 ≡Λ

8πG(1.49)

Τα αποτελέσματα βρίσκονται συνοπτικά στον πίνακα 1.1, όπου συμπεριλάβαμε και τιςπεριπτώσεις που χρησιμοποιούμε τον ιδιόχρονο η έναντι του κοσμικού χρόνου t, επειδήθα φανούν χρήσιμα σε μετέπειτα στάδια.

Ιδιοχρόνος

Σημειώνουμε ότι ισχύει

α(η) = η2/(1+3w)και Hc =

2

(1 + 3w)η(1.50)

όπου ο ιδιόχρονος η ορίζεται ως

η ≡∫

dt

α(t)(1.51)

ή διαφορετικά dt = α(η)dη. Επιπλέον ισχύει ότι Hc = 1α

dαdη.


Ακτινοβολία ΄Υλη Κοσμολογική Σταθερά

w 13

0 −1

ρ α−4 α−3 Λ8πG

α(t) t1/2 t2/3 eHt

α(η) η η2 −η−1

H 12t

23t

√Λ/3

Πίνακας 1.1: Η τιμές διάφορων παραμέτρων για κάθε είδους ρευστού που επικρατεί στοσύμπαν

Αν γυρίσουμε πίσω στην εξίσωση Friedmann (με απορροφημένη την κοσμολογική στα-θερά Λ στην πυκνότητα ρ), έχουμε

H2 =8πG

3ρ− k

α2⇒ k

H2α2=

ρ3H2

8πG

− 1 (1.52)

Ορίζουμε την κρίσιμη πυκνότητα

ρc(t) ≡3H2(t)

8πG(1.53)

η οποία εξαρτάται από τον χρόνο μέσω του παράγοντα Hubble. Μπορούμε να τηνχρησιμοποιούμε για να ορίσουμε μια αδιάστατη ποσότητα πυκνότητας ως

Ω ≡ ρ

ρc=

8πGρ

3H2(1.54)

΄Οπως φαίνεται θα ισχύει ότι

k

H2α2= Ω− 1 (1.55)

Αναλόγως με την βαθμωτή καμπυλότητα του σύμπαντος η τιμή του Ω θα αλλάζει:

Ω(t)

> 1, k = 1, έχουμε ένα κλειστό Σύμπαν

= 1, k = 0, άρα έχουμε ένα επίπεδο ανοιχτό Σύμπαν

< 1, k = −1, έχουμε ένα αρνητικώς καμπυλωμένο ανοιχτό Σύμπαν(1.56)


όπου το Ω εξαρτάται από τον χρόνο. ΄Ομως όταν k = 0 το Ω = 1 =σταθερά, ενώρ(t) = ρc(t) πάντα. Για τις περιπτώσεις k = 1 και k = −1 παίρνουμε ρ > ρc και ρ < ρcαντίστοιχα, για κάθε t.Σημειώνουμε ότι τα ρ και P αποτελούν το σύνολο όλων των συνεισφορών των

πυκνοτήτων ενέργειας και των πιέσεων από κάθε είδος ρευστού. ΄Εχουμε την συνε-ισφορά ραδιενέργειας ρr (όπου ργ αντιπροσωπεύει φωτόνια και ρν νετρόνια), την μησχετικιστική ύλη ρm (ρb: βαρυόνια και ρc: κρύα σκοτεινή ύλη) και την συνεισφοράτης ενέργειας κενού-σκοτεινής ενέργειας ρΛ. Ο όρος της πυκνότητας της εξίσωσηςFriedmann (Βλ. εξίσωση 1.52) θα γραφτεί ως

8πG

3ρ =

8πG

3(ρm + ρr + ρΛ)

=8πG

3

(ρm0

(α0

α

)3

+ ρr0

(α0

α

)4

+ ρΛ0

)= H2

0

(Ωm0

(α0

α

)3

+ Ωr0

(α0

α

)4

+ ΩΛ0

) (1.57)

όπου στο τελευταίο βήμα πολλαπλασιάσαμε μεH20 και χρησιμοποιήσαμε την σχέση 1.54.

Αντικαθιστούμε στην εξίσωση 1.52 το αποτέλεσμα της εξίσωσης 1.57 και την σχέση1.55 και τότε παίρνουμε ότι

H2(α) = H20

(Ωm0

(α0

α

)3

+ Ωr0

(α0

α

)4

+ ΩΛ0 − (Ω0 − 1)(α0

α

)2)

(1.58)

Πολλές φορές θεωρούμε ότι α0 = 1 και τότε

H2(α)

H20

= Ωm0α−3 + Ωr0α

−4 + ΩΛ0 − (Ω0 − 1)α−2 (1.59)

όπου Ω0 = Ωm0 + Ωr0 + ΩΛ0, είναι η τιμή του Ω σήμερα (t0).

1.1.5 Κοσμολογικές Λύσεις

Μέχρι τώρα είδαμε πως ο παράγοντας κλίμακας εξελίσσεται όταν στο σύμπαν υπ-

άρχει ένα είδος ρευστού και είναι επίπεδο. Τώρα θα μελετήσουμε πώς η βαθμωτήκαμπυλότητα, επηρεάζει το πεπρωμένο του σύμπαντος. Η μόνη περίπτωση που θαμελετήσουμε είναι ένα σύμπαν στο οποίο επικρατεί η ύλη. Στην συνέχεια θα δούμεπως αλλάζει ο παράγοντα κλίμακας σε ένα σύμπαν στο οποίο επικρατεί η κοσμολογική

σταθερά μαζί με την ύλη επειδή τέτοιου είδος μοντέλο παρατηρούμε σήμερα στο δικό

μας σύμπαν.


Για ένα σύμπαν στο οποίο κυριαρχεί η μη σχετικιστική ύλη, μπορούμε να γράψουμετην εξίσωση Friedmann (εξ.1.29) θέτοντας μια σταθερά b ≡ 8πG

3α3ρ =σταθερά (Βλ.

τιμή του ρ από πίνακα 1.1) και απορροφώντας την κοσμολογική σταθερά, ως εξής

α2 =b

α− k (1.60)

Ανοιχτό Επίπεδο Σύμπαν για ΄Υλη

Για k = 0 η εξίσωση 1.60 παίρνει την μορφή της εξίσωσης 1.38 που υπολογίστηκεπροηγουμένως και πιο συγκεκριμένα για την περίπτωση ύλης, έχει την μορφή της 1.40.Για την παράγωγο του παράγοντα κλίμακας ως προς χρόνο ισχύει ότι α ∝ t−1/3

και

έτσι ο παράγοντας Hubble περιγράφεται από την σχέση 1.41: H = 23t

Για αυξανόμενο χρόνο, ο παράγοντας Hubble μειώνεται άρα ο ρυθμός διαστολήςεπιβραδύνεται. Παρόλα αυτά ο όρος α → 0 μόνο όταν t → ∞, και άρα το σύμπαν θασυνεχίσει να διαστέλλεται επ’ άπειρο. Αν πάμε πίσω στην αρχή του χρόνου για t→ 0,τότε α → 0. Εκεί οι φυσικές αποστάσεις καταρρέουν xphy → 0, ενώ η καμπυλότητατου χωρόχρονου απειρίζεται. Αποτέλεσμα είναι η δημιουργία βαρυτικής ανωμαλίας μετις εξισώσεις Einstein να παύουν να ισχύουν. Η αρχή του χρόνου συντελεί στο γνωστόγεγονός της Μεγάλης ΄Εκρηξης.

Κλειστό Σύμπαν για ΄Υλη

Για k = 1 η εξίσωση 1.60 γίνεται

dα

dt=

√b

α− 1 =

√b− αα

dα

√α

b− α= dt

Θέτουμε α = b sin2 ϕ

⇒ 2b sin2 ϕ cosϕdϕ√1− sin2 ϕ

= dt

b(1− cos 2ϕ)dϕ = dt

t = b(ϕ− sin 2ϕ

2)

t = b

[sin−1

(√α

b

)+

√α

b

√1− α

b

]

(1.61)


΄Οταν έχουμε μικρούς χρόνους t 1 αναπτύσσουμε τον όρο t = b(ϕ − sin 2ϕ2

) μεανάπτυγμα Taylor

t = b

[ϕ−

2ϕ+ (2ϕ)3

3!− ...

2

]≈ 2

3bϕ3 (1.62)

Ενώ α ≈ ϕ2και αν αντικαταστήσουμε τον χρόνο t, έχουμε

α ≈[

3

2tb1/2

]2/3

∝ t2/3 (1.63)

όπως ισχύει και στο επίπεδο σύμπαν! ΄Ομως έχουν μια μεγάλη διαφορά που καθορίζειτο πεπρωμένο του σύμπαντος. Για μεγάλους χρόνους t ≈ bϕ και άρα

α = b sin2 ϕ ≈ b sin2( tb

)(1.64)

Στην απαρχή του χρόνου (t → 0) το α ∼ 0 όπως και στην περίπτωση του επίπεδουσύμπαντος. ΄Αρα έχουμε την δημιουργία του σύμπαντος με την Μεγάλη ΄Εκρηξη. ΄Οτανόμως περάσει ο χρόνος, και ισούται με t = bπ τότε το α = 0, με τις φυσικές διαστάσειςτου σύμπαντος να καταρρέουν για μια ακόμη φορά με το γεγονός της Μεγάλης Κατάρ-

ρευσης (Big Crunch)! Υπάρχει ένα σημείο στο οποίο σταματά η διαστολή και αρχίζειη συστολή για α = 0. Αυτό γίνεται την χρονική στιγμή t = bπ

2και α = b =σταθερά.

Αυτή η διαδικασία μπορεί να επαναλαμβάνεται συνεχώς σε κύκλους, με την δημιουργία(Big Bang) και την καταστροφή (Big Crunch) ενός νέου σύμπαντος κάθε φορά.

Ανοιχτό Καμπυλωμένο Σύμπαν για ΄Υλη

Για k = −1 η εξίσωση 1.60 γίνεται

dα

dt=

√b

α+ 1 =

√b+ α

α

dα

√α

b+ α= dt

Θέτουμε α = b sinh2 χ

⇒ 2b sinh2 χdχ = dt

b(1− cosh 2χ)dχ = dt

t = b(−χ+sinh 2χ

2)

t = b

[− sinh−1

(√α

b

)+

√α

b

√1 +

α

b

]

(1.65)


Σχήμα 1.2: Η εξέλιξη του α(t) σε ένα υλοκρατικό σύμπαν για διαφορετικές τιμές τηςβαθμωτής καμπυλότητας, για το μοντέλο FRW. (Βασισμένο σε διάγραμμα στο βιβλίοS.Turner, The Early Universe σελ.60)

Για μικρούς χρόνους το (t→ 0) το α ∼ 0 αφού και πάλι το α ≈ ϕ2 ∝ t2/3. ΄Αρα και στηνπερίπτωση του αρνητικώς καμπυλωμένου χωρόχρονου η δημιουργία του Σύμπαντος

άρχισε με την Μεγάλη ΄Εκρηξη. Για μεγάλους χρόνους όμως α ∼ b sinh2(tb

)και άρα

για t → ∞ το α → ∞. Το Σύμπαν θα διαστέλλεται επ’ άπειρο αφού το α δεν θαμηδενίζεται ποτέ.

Επίπεδο Σύμπαν για ΄Υλη και Λ

Για αυτή την περίπτωση, μπορούμε να εξάγουμε την μορφή του α(t) από την εξίσωση1.58. Θεωρούμε ότι η ακτινοβολία δεν συμβάλει, άρα Ωr0 = 0. Επίσης επειδή k = 0 οόρος Ω0 − 1 = 0 λόγο της εξίσωσης 1.55, και άρα έχουμε ότι

H2(α) = H20

(Ωm0

(α0

α

)3

+ ΩΛ0

)(

dα

dt

)2

= H20

α30

αΩm0

[1 + ΩΛ0

(α

α0

)3]

d(α32 )

dt=

3

2H0α

320 Ω

12m0

[1 + ΩΛ0

(α

α0

)3] 1

2


Θέτουμε y =

(α

α0

) 32

,

⇒ y =3

2H0Ω

12m0

[1 + ΩΛ0y

2] 1

2

dy

[1 + ΩΛ0y2]12

=3

2H0Ω

12m0dt

Θέτουμε y =

√Ωm0

ΩΛ0

sinhχ,

χ =3

2H0Ω

12Λ0t

⇒ y =

√Ωm0

ΩΛ0

sinh

(3

2H0Ω

12Λ0t

)

(1.66)

΄Αρα

α(t) = α0

(Ωm0

ΩΛ0

) 13[sinh

(3

2H0Ω

12Λ0t

)] 23

(1.67)

Για μικρούς χρόνους φαίνεται ότι α ∝ t2/3, που δεν είναι τίποτα παρά ο παράγονταςκλίμακας σε σύμπαν που επικρατεί η ύλη. Σε μεταγενέστερους χρόνους όμως, μπορούμενα γράψουμε sinhx = ex+e−x

2→ ex

2για x → ∞. Και άρα ο παράγοντας κλίμακας θα

εξελίσσεται ως α ∝ eH0√

ΩΛ0t, όπως συμβαίνει σε ένα σύμπαν που κυριαρχεί η σκοτεινήενέργεια. Ο ρυθμός της διαστολής επιταχύνεται και δεν μηδενίζεται ποτέ. Τέτοιουείδους μοντέλο σύμπαντος, συμπίπτει με αυτό που βλέπουμε σήμερα για το δικό μαςσύμπαν. ΄Αρα βρισκόμαστε στην μετάβαση του σύμπαντος από την υλοκρατική εποχήστην εποχή που θα επικρατεί η κοσμολογική σταθερά.΄Αρχισε με την Μεγάλη ΄Εκρηξη με την ακτινοβολία να επικρατεί για αρκετό διάστημα,

στην συνέχεια έφτασε στην επικράτεια της ύλης και στο τέλος θα κυριαρχήσει η κοσ-

μολογική σταθερά που θα καθορίσει το πεπρωμένο του. Το σύμπαν μας θα πεθάνειόταν τα πάντα απομακρυνθούν τόσο πολύ μεταξύ τους, που το φως θα είναι αδύνατοννα φτάσει σε εμάς. Το σύμπαν θα καταλήξει να είναι κρύο και σκοτεινό.

1.2. H Θερμική Ιστορία του Σύμπαντος 23

1.2 H Θερμική Ιστορία του ΣύμπαντοςΜετά τον πληθωρισμό, το σύμπαν ήταν θερμό και βρισκόταν σε πυκνή κατάσταση.Οι θερμοδυναμικές ιδιότητες του πρώιμου σύμπαντος περιγράφονται από τοπική θερ-

μική ισορροπία. Υπάρχουν πολύ ισχυρές αποδείξεις από παρατηρήσεις του φάσμα-τος του CMB, ότι το πρώιμο Σύμπαν βρισκόταν σε θερμική ισορροπία. Σήμερα ηθερμοκρασία της ακτινοβολίας, δηλαδή των σχετικιστικών σωματιδίων, προέρχεται απότην θερμοκρασία των φωτονίων στα 2.7Κ και από την θερμοκρασία των τριών ειδώννετρίνων στα 1.96Κ, η οποία όμως δεν έχει παρατηρηθεί. Το γεγονός όμως ότι τοπρώιμο σύμπαν βρισκόταν σε θερμική ισορροπία με αρκετά καλή προσέγγιση, προϋπο-θέτει ότι η ακτινοβολία δεν αποτελείτο μόνο από νετρίνο και φωτόνια. Πρέπει ναυπήρχαν και άλλα είδη σχετικιστικών σωματιδίων στην ίδια αφθονία, τα οποία μαζί μετα φωτόνια και τα νετρίνο αποτελούσαν την ακτινοβολία που επικρατούσε στο σύμπαν.Καθώς το σύμπαν αρχίζει να αποκλίνει από την θερμική ισορροπία, είναι εφικτό να γίνεικατανοητή η προέλευση του CMB και η δημιουργία των ελαφριών χημικών στοιχείων.(S.Turner, The Early Universe)

1.2.1 Θερμοδυναμική: σχετικιστικά και μη σχετικιστικάσωματίδια

Για ένα αέριο με σωματίδια του ίδιου είδους μάζας m, βαθμούς ελευθερίας g, σε στατισ-τική ισορροπία, έχει πυκνότητα αριθμού καταστάσεων n, πυκνότητα ρ και πίεση P πουδίνεται από το ολοκλήρωμα της συνάρτησης κατανομής f(~p, t), με την ~p να είναι η ορμήτου σωματιδίου. Τα σωματίδια θερμοκρασίας T του αέριου, οδηγούνται και διατηρούν-ται σε θερμική ισορροπία όσο ο ρυθμός των αλληλεπιδράσεων των σωματιδίων Γ(t)είναι μεγαλύτερος από την παράμετρο Hubble H(t). Ορίζουμε ότι Γ(t) ≡ nσυ, όπου υείναι η ταχύτητα των σωματιδίων και σ η ενεργός διατομή της σκέδασης.

n =g

(2π)3

∫f(~p)d3p (1.68)

ρ =g

(2π)3

∫E(~p)f(~p)d3p (1.69)

P =g

(2π)3

∫|~p|2

3E(~p)f(~p)d3p (1.70)

όπου E2 = |~p|2 + m2. Για ένα είδος σε κινητική ισορροπία, δηλαδή τα σωματίδιαανταλλάσσουν ενέργεια και ορμή, η συνάρτηση κατανομής του δίνεται από της γνωστές


κατανομές Fermi-Dirac και Bose-Einstein. Για φερμιόνια έχουμε την Fermi-Dirac, ενώγια μποζόνια έχουμε την Bose-Einstein κατανομή, οι οποίες δίνονται από:

f(~p) =1

e(E−µ)/T ± 1, (+): Fermi-Dirac

(−): Bose-Einstein(1.71)

όπου kB = 1, h = 1, c = 1 και µ είναι το χημικό δυναμικό. Προϋπόθεση για να υπάρχειθερμική ισορροπία σε ένα σύστημα είναι να υπάρχει κινητική και χημική ισορροπία(µ1 +µ2 = µ3 + µ4, για αλληλεπιδράσεις μεταξύ 4 ειδών σωματιδίων). Στην περίπτωση μας,το χημικό δυναμικό των σωματιδίων σε πρώιμους χρόνους είναι πολύ μικρό για αυτό

και θα το αγνοήσουμε, θέτοντας το ίσο με µ = 03. Αντικαθιστώντας την συνάρτησηκατανομής στις εξισώσεις 1.68-1.70 θα πάρουμε

n =g

2π2

∫ ∞m

(E2 −m2)12

eE/T ± 1EdE (1.72)

ρ =g

2π2

∫ ∞m

(E2 −m2)12

eE/T ± 1E2dE (1.73)

P =g

6π2

∫ ∞m

(E2 −m2)12

eE/T ± 1dE (1.74)

Από εδώ και πέρα θα αντικαθιστούμε x = ET, πχ

n =g

2π2

∫ ∞m

(x2T 2 −m2)12

ex ± 1xT 2dx (1.75)

Σχετικιστικό όριο

Στο σχετικιστικό όριο η ενέργεια ηρεμίας των σωματιδίων είναι πολύ μικρότερη από

την θερμική ενέργεια τους: m T . Η πυκνότητα αριθμού μικροκαταστάσεων θα είναι

n ∝ T 3 (1.76)

επειδή

(x2T 2 −m2)12 = T (x2 − m2

T 2)

12 ' Tx (1.77)

3Υπάρχουν περαιτέρω λεπτομέριες στο S.Turner, The Early Universe (Κ.3.3) και Baumann, Cos-

mology (Κ.3.2.1)


και άρα

n =g

2π2

∫ ∞0

x2T 3

ex ± 1dx = A

g

2π2T 3 (1.78)

Ο όρος ∫ ∞0

x2

ex ± 1dx = σταθερά (1.79)

και εξαρτάται από το γεγονός αν έχουμε μποζόνια ή φερμιόνια. Για μποζόνια∫ ∞0

x2

ex − 1dx = Γ(3)ζ(3) = 2 ∗ 1.202 (1.80)

όπου Γ(n) είναι οι γάμμα συναρτήσεις και ζ(n) είναι οι ζήτα συναρτήσεις Riemannγια τις οποίες ισχύει Γ(n) = (n − 1)! =

∫∞0xn−1e−xdx και ζ(n) =

∑∞m=1m

−n =1

Γ(n)

∫∞0

xn−1dxex−1

.Ενώ για τα φερμιόνια γράφουμε

1

ex + 1=

1

ex − 1− 2

e2x − 1=

1

eE/T − 1− 2

eE/T2 − 1

(1.81)

΄Οπως φαίνεται τα φερμιόνια είναι ένα μίγμα μποζονίων με θερμοκρασία T και θερμοκρασίαT/2. Χρησιμοποιώντας τις ζήτα και γάμμα συναρτήσεις έχουμε ότι∫ ∞

0

x2

ex + 1dx =

∫ ∞0

χ2

ex − 1−∫ ∞

0

2χ2

e2x − 1=

(ζ(3)− ζ(3)

4

)Γ(3) = 3

ζ(3)

4Γ(3)

(1.82)΄Αρα έχουμε ότι

Μποζόνια: nB =g

π2ζ(3)T 3 (1.83)

Φερμιόνια: nF = 3g

π2

ζ(3)

4T 3 =

3

4nB (1.84)

Η πυκνότητα των σωματιδίων στο σχετικιστικό όριο υπολογίζεται παρόμοια, μόνο πουσε αυτή την περίπτωση χρησιμοποιούμε τα ζ(4) = π4

90και Γ(4) = 6 και τότε βρίσκουμε

ότι

Μποζόνια: ρB =π2

30gT 4 (1.85)

Φερμιόνια: ρF =7

8

π2

30gT 4 =

7

8ρB (1.86)


Για την πίεση το ολοκλήρωμα θα έχει την μορφή

P =g

6π2

∫ ∞0

x3T 4

ex ± 1dx =

1

3ρ (1.87)

΄Αρα για μποζόνια και φερμιόνια ισχύει ότι

P =ρ

3(1.88)

Το αποτέλεσμα αυτό συμπίπτει με το γεγονός ότι θεωρούσαμε πως w = 1/3 στηνσχέση P = wρ, για την περίπτωση της ακτινοβολίας. Επιπλέον συνδυάζοντας τηνεξάρτηση της πυκνότητας από τον παράγοντα κλίμακας που ισχύει για την ακτινοβολία

(Βλ. Πίνακα 1.1) με την εξάρτηση της από την θερμοκρασία (εξ. 1.85–1.86) ισχύει ότι

ργ = α−4 = T 4

⇒ Tγ ∝1

α

(1.89)

Το αποτέλεσμα αυτό αποδεικνύει πως το σύμπαν ήταν πιο θερμό για πιο μικρούς χρό-

νους. Ας μην ξεχνάμε ότι η εξάρτηση του α για την περίοδο της ακτινοβολίας είναια ∝ t1/2 και άρα Tγ ∝ t−1/2. Θεωρούμε ότι η θερμοκρασία του σύμπαντος είναι αυτή τωνφωτονίων επειδή στο πρώιμο σύμπαν τα υπόλοιπα σωματίδια αλληλεπιδρούσαν με την

ακτινοβολία σχηματίζοντας το λεγόμενο πλάσμα και μοιράζονταν την ίδια θερμοκρασία.Γι’ αυτό τον λόγο εξάλλου θεωρήσαμε στην αρχή ότι το αέριο σωματιδίων βρίσκεται σεθερμική ισορροπία. Αυτό βέβαια παύει να ισχύει όταν το σύμπαν κρυώσει αρκετά έτσιώστε τα σωματίδια να αποσυνδεθούν και να μην είναι πλέον σε θερμική ισορροπία.

Μη σχετικιστικό όριο

Στο μη σχετικιστικό όριο η ενέργεια ηρεμίας των σωματιδίων είναι πολύ μεγαλύτερη

από την θερμική ενέργεια τους: m T . Η πυκνότητα αριθμού μικροκαταστάσεων θαείναι

n ' g

(mT

2π

)3/2

e−mT (1.90)


Για να αποδείξουμε την πιο πάνω σχέση θα εκφράσουμε το n συνάρτηση της ορμής καιόχι της ενέργειας και θα ορίσουμε ότι ξ = p/T και x = m/T .

n =g

2π2

∫ ∞0

p2

e√p2+m2/T ± 1

dp

=g

2π2T 3

∫ ∞0

ξ2

e√ξ2+x2 ± 1

dξ

' g

2π2T 3

∫ ∞0

ξ2

e√ξ2+x2

dξ

(1.91)

όπου στο τελευταίο βήμα χρησιμοποιήσαμε ότι eE/T ± 1 → eE/T επειδή E/T >> 1.Θεωρούμε ότι η μεγαλύτερη συνεισφορά στην ενέργεια προέρχεται από την μάζα, άραξ x, και αναπτύσσουμε με ανάπτυγμα Taylor την παρένθεση του εκθετικού ως√ξ2 + x2 = x

√1 + ( ξ

x)2 ' x+ ξ2

2x. Το ολοκλήρωμα τότε θα γίνει

I =

∫ ∞0

ξ2

e√ξ2+x2

dξ '∫ ∞

0

ξ2

ex+ ξ2

2x

dξ = e−x∫ ∞

0

ξ2e−ξ2

2xdξ

Θέτουμε u2 = ξ2/2x,

I = (2x)3/2e−x∫ ∞

0

u2e−u2

du = (2x)3/2e−xΓ(3

2)

(1.92)

΄Αρα η πυκνότητα αριθμού μικροκαταστάσεων είναι

n ' (x)3/2e−x√π

2= g

(mT

2π

)3/2

e−mT (1.93)

Παρομοίως αποδεικνύεται για την πυκνότητα και την πίεση ότι

ρ = mn (1.94)P = nT ρ (1.95)

Θεωρούμε ότι η πίεση είναι σχεδόν μηδενική. ΄Αρα ένα αέριο με μη σχετικιστικά σωματί-δια ή αλλιώς ύλη, έχει μηδενική πίεση όπως θεωρήσαμε και στο προηγούμενο κεφάλαιο(w=0).΄Οπως φαίνεται οι σχέσεις των n, ρ και P είναι ίδιες τόσο για μποζόνια όσο και

φερμιόνια στο μη σχετικιστικό όριο. Επιπλέον, φθίνουν εκθετικά ή διαφορετικά πε-ριορίζονται από τον παράγοντα Boltzmann (ο όρος εκθετικού) καθώς η θερμοκρασία


πέφτει κάτω από την μάζα του σωματιδίου. Αυτή η συμπεριφορά αντιπροσωπεύεται απότην εξαύλωση σωματιδίου αντισωματιδίου. Παρόλο που λαμβάνουν χώρα οι εξαυλώσεις(p− p + →2γ) και σε υψηλότερες ενέργειες, ο ρυθμός τους είναι ίδιος με τον ρυθμό τηςδίδυμης γέννεσης (2γ→ p− p +). Αυτή η αντιστάθμιση παύει να είναι σε ισχύ καθώςτο σύμπαν κρυώνει, με την ενέργεια των φωτονίων μειώνεται και να φτάνει στο σημείονα είναι πολύ μικρή για να δημιουργήσει βαριά σωματίδια μαζί με τα αντισωματίδια τους.

Φαινομενικός αριθμός κάθε είδους σχετικιστικού σωματιδίου

Αν η θερμοκρασία του αερίου φωτονίων είναι η Tγ τότε η ολική πυκνότητα της ακτι-νοβολίας είναι το άθροισμα ως προς όλες τις πυκνότητες των σχετικιστικών σωματιδίων

θερμοκρασίας Ti

ρr =∑i

ρi =π2T 4

γ

30g∗(Tγ) (1.96)

όπου g∗(Tγ) είναι ο φαινομενικός αριθμός των βαθμών ελευθεριών σχετικιστικών σωματιδίωνγια την θερμοκρασία Tγ. Ανάλογα με το είδος σωματιδίου η συνεισφορά είναι διαφορε-τική. Για σχετικιστικά σωματίδια που είναι σε ΘΙ με το αερίο φωτονίων: Ti = Tγ >> mi

έχουμε ότι

gth∗ (T ) =∑bosons

gi +7

8

∑fermions

gi (1.97)

΄Οταν η θερμοκρασία πέσει κάτω από την μάζα του σωματιδίου, το σωματίδιο θα γίνειμη σχετικιστικό και τότε δεν θα συνεισφέρει στην εξίσωση. ΄Αρα ο όρος gth∗ εξαρτάταιαπό την θερμοκρασία μόνο μέσω της μάζας κάθε είδους σωματιδίου.Για σχετικιστικά σωματίδια που δεν είναι σε ΘΙ με τα φωτόνια, δηλαδή για σωματίδια

που έχουν αποσυνδεθεί (decoupled) από τα φωτόνια, θα έχουν διαφορετική θερμοκρασίαTi 6= Tγ,

gdec∗ (T ) =∑bosons

gi

(TiTγ

)4

+7

8

∑fermions

gi

(TiTγ

)4

(1.98)

Για όσο ισχύει Ti >> mi θα συνεισφέρουν στην σχέση 1.98. Παρόλα αυτά καθώςκρυώνει το σύμπαν η θερμοκρασία τους θα πέσει θα συνεισφέρουν όλο και λιγότερο

στην πυκνότητα της ακτινοβολίας.Ο συνολικός φαινομενικός αριθμός βαθμών ελευθερίας των σχετικιστικών σωματιδίων

είναι

g∗(T ) = gth∗ (T ) + gdec∗ (T ) (1.99)


Σχήμα 1.3: Η εξέλιξη των βαθμών ελευθερίας για σχετικιστικά σωματίδια συνάρτησητης θερμοκρασίας, βασισμένο στο Standard model των σωματιδίων. Η διακεκομμένηγραμμή αναπαριστά τον φαινομενικό αριθμό του βαθμού ελευθερίας για την εντροπία

g∗S(T ) (παρμένο από το Baumann, Cosmology σελ.55)

Αν ακολουθήσουμε το Standard model για τα σωματίδια, τότε όλα θα ήταν σχετικ-ιστικά για θερμοκρασίες μεγαλύτερες του T ≥ 100GeV κατά την ηλεκτρασθενής κλί-μακα. Καθώς κρυώνει το σύμπαν, τα πρώτα σωματίδια που αρχίζουν να εξαυλώνονταιείναι τα top quarks. Ακολουθούν σε σειρά, τα μποζόνια H0, W±

και Z, τα bottomquarks, τα charm quarks, τα τ λεπτόνια, μέχρι που φτάνουμε στην QCD phase transi-tion κατά την οποία τα quarks σχηματίζουν τα αδρόνια (βαρυόνια και μεσόνια). ΄Ολα τααδρόνια εκτός από τα πιόνια, σε αυτή τη θερμοκρασία (T ∼ 150MeV) είναι μη σχετικ-ιστικά και δεν συνεισφέρουν στην ακτινοβολία, αλλά συνεχίζουν να είναι σε ΘΙ με τοπλάσμα. Αμέσως μετά, τα strange quark εξαυλώνονται αφήνοντας τα μόνα σωματίδιαπου είναι σε μεγάλους αριθμούς να είναι τα ηλεκτρόνια (e±), τα πιόνια (π±, π0), ταμιόνια (μ±), τα τρία είδη νετρίνο (νe, νµ, ντ ) και τα φωτόνια. Σειρά έχουν τα πιόνιακαι τα μιόνια και τέλος εξαυλώνονται τα ηλεκτρόνια με τα ποσιτρόνια, αφήνοντας ταφωτόνια να κυριαρχούν στο σύμπαν σε θερμοκρασία T << 1MeV . Οι τιμές του g∗(T )φαίνονται στο σχήμα 1.3.


1.2.2 Διατήρηση της Εντροπίας

Σύμφωνα με τον 2ο Νόμο της Θερμοδυναμικής, η ολική εντροπία του σύμπαντος αυξάνε-ται η παραμένει σταθερή ∆S ≥ 0. Η εντροπία αποδεικνύεται ότι είναι σταθερή σε ΘΙ.Επειδή τα φωτόνια είναι περισσότερα από τα βαρυόνια, η εντροπία διακατέχεται απόαυτή των φωτονίων. Η εντροπία των σωματιδίων που αποσυνδέονται από το μονοπάτιτης ΘΙ είναι ασθενής και έτσι δεν συνεισφέρει στην ολική εντροπία. Προσεγγιστικάμπορούμε να θεωρήσουμε την διαστολή του σύμπαντος ως αδιαβατική και έτσι η εν-

τροπία παραμένει σταθερή ακόμα και αν δεν υπάρχει ΘΙ.Ο δεύτερος νόμος της θερμοδυναμικής είναι TdS = dE + PdV , όπου µ = 0.

Χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι E = ρV = ρα3όπως είχαμε και στην εξίσωση 1.35

και άρα

TdS = dE + PdV = d(ρV ) + PdV = d(ρV ) + d(V P )− V dP= d((ρ+ P )V

)− V dP

Θέτουμε dP = dTρ+ P

T,

⇒ dS =1

Td((ρ+ P )V

)− V (ρ+ P )

dT

T 2

(1.100)

όμως

d

((ρ+ P )V

T

)=

1

Td((ρ+ P )V

)− dT

T 2

((ρ+ P )V

)(1.101)

και άρα

dS = d

((ρ+ P )V

T

)⇒ S =

(ρ+ P )V

T(1.102)

Ορίζουμε ως πυκνότητα εντροπίας s ≡ SVκαι άρα

s =ρ+ P

T(1.103)

Για να δείξουμε ότι η εντροπία διατηρείται, παίρνουμε την παράγωγο της εντροπίας ως


προς τον χρόνο

dS

dt=

d

dt

((ρ+ P )V

T

)=V

T

[dρ

dt+

dP

dt+ρ+ P

V

dV

dt

]− dT

dt

(ρ+ P )V

T 2

Θέτοντας V ∼ α3και V = 3α2α,

=V

T[ρ+ 3H(ρ+ P )] +

V

T

dP

dt−

*

dPdt

dT

dt

(ρ+ P )

T

Θέτοντας ρ+ 3H(ρ+ P ) = 0 (εξ.1.34),

⇒ dS

dt= 0 Διατήρηση Εντροπίας

(1.104)

Η ολική πυκνότητα εντροπίας για μια συλλογή από διάφορα σωματίδια θα είναι

s =∑i

ρi + PiTi

=π2

30g∗ST

3 +π2

90g∗ST

3 =2π2

45g∗ST

3 (1.105)

όπου λάβαμε υπόψη ότι για μη σχετικιστικά σωματίδια Pi = 0 και ρi ∝ em/T άραμπορούμε να θεωρήσουμε ότι η συνεισφορά στην ολική εντροπία είναι πολύ πιο μικρή

από αυτή των σχετικιστικών σωματιδίων (εξ.1.85-1.88).Στον φαινομενικό αριθμό βαθμού ελευθερίας της εντροπίας, συνεισφέρουν όλα τα

σχετικιστικά σωματίδια ανεξαρτήτως αν είναι σε θερμική ισορροπία με το θερμικό

πλάσμα.g∗S(T ) = gth∗S(T ) + gdec∗S (T ) (1.106)

Παρόλο που για τα σχετικιστικά σωματίδια που είναι σε ΘΙ με το πλάσμα ισχύει ότι

gth∗S(T ) = gth∗ (T ) (εξ. 1.97), για τα σχετικιστικά σωματίδια που αποσυνδέθηκαν ισχύειότι gdec∗S (T ) 6= gdec∗ (T ), επειδή ισχύει ότι si ∝ T 3

i και άρα

gdec∗S (T ) =∑bosons

gi

(TiTγ

)3

+7

8

∑fermions

gi

(TiTγ

)3

(1.107)

΄Αρα το συνολικό g∗S(T ) ισούται με το g∗(T ) μόνο όταν όλα τα σχετικιστικά σωματίδιαείναι σε ΘΙ με το πλάσμα και ισχύει περίπου μέχρι T ∝ 1MeV (σχήμα 1.3).Η σχέση 1.105 οδηγεί σε κάποια σημαντικά αποτελέσματα. Αφού η θερμοκρασία

είναι ανάλογη του α−1 (εξ.1.89) τότε και η πυκνότητα της εντροπίας είναι ανάλογη του


παράγοντα κλίμακας ως s ∼ α−3. Ο αριθμός σωματιδίων ενός είδους σε ένα comovingόγκο θα είναι Ni ≡ α3ni και άρα έχουμε ότι

Ni ≡nis

(1.108)

Για ένα σχετικιστικό είδος σε ΘΙ τότε ισχύει ότι

Ni =45ζ(3)gi2π4g∗s

(1.109)

Αν ο αριθμός σωματιδίων που δημιουργούνται και καταστρέφονται είναι ο ίδιος, ή μεάλλα λόγια για όσο διάστημα τα σωματίδια είναι σε ΘΙ με το πλάσμα, τότε N =σταθερά,αφού το g∗S = gth∗ που δεν εξαρτάται από την θερμοκρασία των φωτονίων. Γιαπαράδειγμα ο αριθμός βαρυονίων σε ένα comoving όγκο, μετά από την βαρυογέννεσηNB ≡ nb−nb

sείναι σταθερός όσο οι αλληλεπιδράσεις γίνονται πολύ αργά.

Το δεύτερο αποτέλεσμα είναι ότι η εντροπία

S ∝ g∗ST3α3 = σταθερά (1.110)

και αυτό δείχνει ότι η θερμοκρασία του σύμπαντος εξελίσσεται ως

T ∝ 1

g1/3∗S α

(1.111)

Αυτό συμπίπτει με ότι βρήκαμε στην εξίσωση 1.89 αν το g∗S=σταθερά. Ο όρος g∗Sεισέρχεται επειδή όποτε ένα είδος σωματιδίου αποσυνδεθεί από το πλάσμα θα μεταφέρει

την εντροπία του στα υπόλοιπα σχετικιστικά σωματίδια που είναι συνδεδεμένα ακόμα

με το θερμικό πλάσμα, προκαλώντας την θερμοκρασία να μειωθεί λίγο πιο αργά απότο α−1. Στην αρχή του σύμπαντος όλα τα σωματίδια είναι σχετικιστικά και σε ΘΙμε το πλάσμα. ΄Αρα g∗S = gth∗ =σταθερά συνάρτηση της θερμοκρασίας (Βλ. σχέση1.97). Καθώς το σύμπαν κρυώνει τα σωματίδια σταματούν να βρίσκονται σε ΘΙ μετο πλάσμα, σε συγκεκριμένες θερμοκρασίες το κάθε είδος, αλλά συνεχίζουν να είναισχετικιστικά. ΄Ετσι το g∗S = gth∗ +gdec∗S 6=σταθερά, αλλά εξαρτάται από την θερμοκρασίαπου αποσυνδέονται καινούργια είδη σχετικιστικών σωματιδίων. Η θερμοκρασία τουθερμικού πλάσματος τότε θα περιγράφεται από την εξίσωση 1.111.Τα αποσυνδεδεμένα σωματίδια θα μεταφέρουν την εντροπία τους στο θερμικό πλάσμα

για όσο είναι σχετικιστικά. ΄Οταν κρυώσει αρκετά το σύμπαν, η θερμοκρασία θα πέσεικάτω από την μάζα τους και τότε θα γίνουν μη σχετικιστικά. Από εκείνη την στιγμήθα σταματήσουν να μεταφέρουν την εντροπία τους στο πλάσμα γιατί έτσι και αλλιώς

θα είναι πολύ μικρή, άρα πλέον θα έχουν gdec∗S = 0 για το συγκεκριμένο είδος.


Πώς όμως εξελίσσεται η θερμοκρασία των σωματιδίων που έχουν αποσυνδεθεί

από το θερμικό πλάσμα; ΄Οταν η θερμοκρασία πέσει κάτω από μια μάζα ενός είδουςσωματιδίου που είναι ακόμα συνδεδεμένο με το θερμικό μονοπάτι, τότε αυτό θα αρ-χίσει να εξαυλώνεται, και θα μεταφέρει την εντροπία του στο θερμικό πλάσμα με τοοποίο έχει επαφή και όχι στα αποσυνδεδεμένα σχετικιστικά σωματίδια. Για αυτό καιγια αποσυνδεδεμένα άμαζα σωματίδια, (τα οποία είναι σχετικιστικά) δεν θα αποκτούντην εντροπία από ένα είδος όταν αρχίσει να εξαυλώνεται. ΄Ετσι η θερμοκρασία τωναποσυνδεδεμένων άμαζων σωματιδίων θα εξελίσσεται ως T ∼ α−1

όπως θα δείξουμε.΄Εστω ένα είδος άμαζων σωματιδίων είναι αρχικά σε ΘΙ και αποσυνδέεται την στιγμή

tD στην θερμοκρασία TD, όταν ο παράγοντας κλίμακας είναι αD. Μετά την αποσύνδεση,η ορμή των σωματιδίων εξελίσσεται ως p(t) = pD

αDα, και άρα η ενέργεια των άμαζων

σωματιδίων μετατοπίζεται στο ερυθρό λόγο της διαστολής του σύμπαντος, E(t) =

E(tD)α(tD)α(t)

(Βλ. εξ.1.91). Η διατήρηση αριθμού σωματιδίων N = nV ∼ nα3, όμως,επιβάλλει ότι ο πυκνότητα αριθμού μικροκαταστάσεων πρέπει να συνεχίζει να μειώνεται

ως n ∼ α−3. Με λίγα λόγια, η συνάρτηση κατανομής πρέπει να η ίδια πριν και μετά τηναποσύνδεση των σωματιδίων:

f(~p, t) =f( ~pD, tD) =1

eED/TD ± 1=

1

eEα/αDTD ± 1=

1

eE/T ± 1

(1.112)

΄Αρα από την πιο πάνω σχέση, επιβάλλεται ότι

T = TDαDα∝ α−1, Για αποσυνδεδεμένα σωματίδια με m TD (1.113)

1.2.3 Αποσύνδεση Νετρίνων

Περίπου στα T ∼ 100MeV, το θερμικό πλάσμα αποτελείται από νετρίνο (ν,ν), ηλεκ-τρόνια (e±) και φωτόνια (γ). Είναι όλα σε θερμική ισορροπία, δηλαδή έχουν την ίδιαθερμοκρασία και ο αριθμός βαθμού ελευθερίας του πλάσματος θα είναι

g∗S = gth∗ = gγ +7

8(3× gν± + ge±) = 2 +

7

8(3× 2 + 4) = 10.75 (1.114)

Επειδή δεν υπάρχουν άλλα σχετικιστικά σωματίδια που να είναι αποσυνδεδεμένα από

το θερμικό πλάσμα, δεν υπάρχει όρος gdec∗ . Σε ένα επίπεδο σύμπαν στο οποίο κυριαρχείη ακτινοβολία, ο ρυθμός διαστολής του σύμπαντος δίνεται από

H2 =8Gπ

3ρr (1.115)


όπου ρr δίνεται από την εξίσωση 1.96.Τα νετρίνο είναι συνδεδεμένα με το θερμικό μονοπάτι μέσω ασθενών αλληλεπιδράσεων

(μποζόνια W± Z0) όπως

νe + νe ↔ e+ + e−

e− + νe ↔ e− + νe(1.116)

με διαφορική ενεργό διατομή σ ∼ G2FT

2, όπου GF = 1.1664 × 10−5GeV−2είναι η

σταθερά Fermi. Ο ρυθμός αλληλεπιδράσεων δίνεται

Γ = nσυ ∼ G2FT

5 (1.117)

ενώ ο ρυθμός Hubble θα είναι ανάλογος H ∼ T 2√

8πG. Καθώς η θερμοκρασία πέφτει,

ο ρυθμός αλληλεπιδράσεων θα μειώνεται με πιο μεγάλο ρυθμό από ότι ο παράγοντας

Hubble. Αν γίνει η αντικατάσταση των σταθερών βρίσκουμε ότι

Γ

H'(

T

1MeV

)3

=

T > 1MeV ⇒ Γ > H, συνδεδεμένα με πλάσμα

T < 1MeV ⇒ Γ < H, αποσυνδεδεμένα από πλάσμα

(1.118)Η σχέση αυτή ισχύει για όσα σωματίδια αλληλεπιδρούν μέσω ασθενών αλληλεπιδράσεων,όπως είναι τα νετρίνο. ΄Οταν Γ = H, τα νετρίνο αποσυνδέονται από το θερμικόμονοπάτι, και αυτό συμβαίνει περίπου στο Tdec ' 1MeV. Καθώς η θερμοκρασία πέφτεικάτω από την Tdec, η θερμοκρασία των νετρίνων εξελίσσεται ως Tν ∝ α−1

όπως αποδείξ-

αμε για άμαζα σωματίδια(εξ.1.113). Μετά από λίγο η θερμοκρασία φτάνει στην μάζατων ηλεκτρονίων που είναι ακόμα συνδεδεμένα με το πλάσμα, και όταν T < 0.5MeV ταηλεκτρόνια-ποζιτρόνια αρχίζουν να εξαυλώνονται. Εκείνη την στιγμή η εντροπία τωνηλεκτρονίων μεταφέρεται στο ρευστό ακτινοβολίας που πλέον αποτελείται μόνο από τα

φωτόνια και άρα η θερμοκρασία των φωτονίων θα πέσει λίγο πιο αργά από α−1 (Βλ.σχέση 1.111). Για θερμοκρασία T > me, τα σωματίδια που είναι σε ΘΙ είναι τα φωτόνιακαι τα ηλεκτρόνια-ποζιτρόνια. Ο βαθμός ελευθερίας του αερίου ακτινοβολίας θα είναι

g∗S = gth∗ = 2 +7

84 =

11

4(1.119)

όπου ge± = 4 και gγ = 2. Για θερμοκρασία T < me, τα σωματίδια που αποτελούν τοαέριο ακτινοβολίας είναι μόνο τα φωτόνια με βαθμό ελευθερίας

g∗S = gth∗ = 2 (1.120)

΄Οπου αγνοήσαμε τους όρους gdec∗S στους οποίους συνεισφέρουν σωματίδια που είναισχετικιστικά όπως τα νετρόνια, επειδή η εντροπία διατηρείται ολικά αλλά και ξεχωριστά


για τα αποσυνδεδεμένα σωματίδια και για το θερμικό πλάσμα. Επειδή η εντροπίαδιατηρείται για τα σωματίδια που είναι συνδεδεμένα με το αέριο ακτινοβολίας, πρέπειπριν και μετά την αποσύνδεση των ηλεκτρονίων οι εντροπίες να είναι ίσες. ΄Αρα

S ∝(g∗ST3α3)bef = (g∗ST

3α3)aft

(T 3α3)aft(T 3α3)bef

=g∗S,(bef)

g∗S,(aft)=

11

4

(1.121)

Η εντροπία όμως διατηρείται και στα αποσυνδεδεμένα νετρόνια. Πριν να αρχίσει η εξ-αΰλωση ηλεκτρονίων-ποζιτρονίων τα φωτόνια είχαν την ίδια θερμοκρασία με τα νετρόνια(Tγ)bef = (Tν)bef και επειδή ισχύει ότι Tν ∼ α−1

τότε (αTγ)bef = (αTν)bef = (αTν)aft.Χρησιμοποιώντας την τελευταία σχέση και την 1.119 έχουμε ότι

(αTγ)aft =

(11

4

)1/3

(αTν)aft (1.122)

άρα σήμερα αφού η θερμοκρασία των φωτονίων είναι Tγ = 2.725K, αυτή των φωτονίωνθα είναι

Tν =

(4

11

)1/3

Tγ = 1.945K (1.123)

Αυτή η θερμοκρασία δεν έχει παρατηρηθεί επειδή η ανίχνευση νετρίνων είναι πολύ

δύσκολη. Η θεωρία όμως αυτό προβλέπει. Αν υποθέσουμε ότι υπάρχουν τρία είδηάμαζων νετρίνων (και τρία αντινετρίνο) τότε σήμερα ο φαινομενικός αριθμός βαθμώνελευθεριών είναι

g∗(today) = 2 +7

8× 3× 2× 4

11

4/3

= 3.36 (1.124)

g∗S(today) = 2 +7

8× 3× 2× 4

11

3/3

= 3.91 (1.125)

όπου δίνεται gv± = 2. Οι αριθμοί αυτοί δεν αντιστοιχούν με ότι φαίνεται στο σχήμα1.3 επειδή στην πραγματικότητα η αποσύνδεση των νετρίνων δεν έγινε στιγμιαία, αλλάσυνεχίστηκαν κάποια νετρίνο να υπάρχουν στο ρευστό ακτινοβολίας και μετά την εξαύλ-

ωση των e+e− και έτσι μεταφέρεται εντροπία των ηλεκτρονίων σε αυτά. Ως αποτέλεσμαυπάρχει μια διαφορά στον αριθμό των ειδών των νετρίνων που υπό κανονικές συνθήκες

είναι ίσος με 3. Στην πραγματικότητα ο φαινομενικός αριθμός των νετρίνων θα είναιNeff = 3.046 και έτσι παίρνουμε τους αριθμούς που αναγράφονται στο σχήμα.


1.2.4 Επανασύνθεση και Αποσύνδεση

Επανασύνθεση

Η δημιουργία των πρώτων ουδέτερων ατόμων στο πρώιμο σύμπαν ονομάζεται επανασύν-

θεση (recombination). Πάνω από θερμοκρασία T > 1eV το σύμπαν ακόμα αποτελεί-ται από ένα πλάσμα ελεύθερων ηλεκτρονίων και πυρήνων (νετρόνια και πρωτόνια)4 σεΘΙ. Τα φωτόνια είναι ισχυρά συνδεδεμένα με τα ηλεκτρόνια μέσω σκέδασης Comp-ton(ή Thomson), ενώ τα πρωτόνια αλληλεπιδρούν ισχυρά με τα ηλεκτρόνια μέσω σκέ-δασης Coulomb. Παρόλο που οι υψηλές θερμοκρασίες δεν επέτρεπαν την δημιουργίαουδέτερων υδρογόνων, υπήρχε ένα μικρό ποσό. ΄Οταν η θερμοκρασία χαμήλωσε αρ-κετά, τα ηλεκτρόνια και οι πυρήνες συνδέθηκαν για να σχηματίσουν ουδέτερα άτομα,με την διαδικασία της επανασύνθεσης. Η ύπαρξη των ηλεκτρόνιων μειώθηκε απότομα,και η αλληλεπίδραση Compton σταμάτησε πλέον να υπάρχει λόγω των συνθηκών τωνθερμοκρασιών που επικρατούσαν, με αποτέλεσμα τα φωτόνια να αποσυνδεθούν απότην ύλη και να είναι ελεύθερα να ταξιδεύουν στον χωροχρόνο. Τα φωτόνια εκείνα,σήμερα αποτελούν το Cosmic Microwave Background. Τα φωτόνια και τα ηλεκτρόνιαήταν ισχυρά συνδεδεμένα, για όσο ίσχυε ο ρυθμός αλληλεπίδρασης των φωτονίων-ηλεκτρονίων να είναι μεγαλύτερος από τον παράγοντα Hubble, Γγ = neσ

T > H,όπου σT είναι η ενεργός διατομή της σκέδασης Thomson, και ne η πυκνότητα αριθμούμικροκαραστάσεων των ηλεκτρονίων.Κατά την διάρκεια της ισχυρής σύνδεσης, η αντίδραση e− + p ↔ H + γ (Ηλεκ-

τρομαγνητική αλληλεπίδραση) βρίσκεται σε ΘΙ, έτσι ώστε οποιοδήποτε ουδέτερο άτομουδρογόνου δημιουργηθεί, να σπάει σε ελεύθερα ηλεκτρόνια και πυρήνες. Οι πυκνότητεςαριθμού μικροκαταστάσεων των πρωτονίων np, του υδρογόνου nH και των ηλεκτρονίωνne δίνονται από

nenpnH

=

(nenpnH

)eq

(1.126)

όπου το neqi δίνεται από την εξίσωση 1.93, αφού αυτά τα σωματίδια δεν είναι σχετικ-ιστικά αυτή την περίοδο.

neqi = gi

(miT

2π

)3/2

e−miT (1.127)

Η σχέση 1.126 αποδεικνύεται από την εξ. Boltzmann (1.134) όταν επιβάλλουμε γιατον ρυθμό αλληλεπίδρασης να μην είναι μεγαλύτερος από τον ρυθμό διαστολής.

4Μετά τις εξαϋλώσεις των σωματιδίων-αντισωματιδίων, παραμένει ένα μικρό ποσοστό

σωματιδίων(κυρίως βαρυόνια) λόγω της ασυμμετρίας ύλης-αντιύλης που υπήρχε στο πρώιμο σύμπαν.Αν υπήρχε συμμετρία, τότε το σύμπαν μας θα αποτελείτο μόνο από ακτινοβολία. Οι παρατηρήσειςσήμερα δείχνουν ότι ο λόγος βαρυονίων-φωτονίων είναι nbnγ ∼ 10−9


Η ουδετερότητα στο σύμπαν προϋποθέτει ότι ne = np, και ορίζουμε το κλάσμαελεύθερων ηλεκτρονίων

Xe ≡ne

ne + nH=

npnp + nH

(1.128)

Το σύμπαν είναι εντελώς ουδέτερο όταν Xe → 0 δηλαδή nH → ∞, υπάρχει πληθώραουδέτερων ατόμων. Ενώ το σύμπαν είναι εντελώς ιονισμένο όταν Xe → 1 δηλαδήnH → 0, δεν υπάρχουν ουδέτερα άτομα υδρογόνου. Ισχύει ότι

Xe

1−Xe

=npnH

=nenH

(1.129)

Αν χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις, βρίσκουμε ότι(nenpnH

)eq

=gegpgH

(mempT

2πmH

)3/2

e−(me−mp−m−H)/T

⇒(n2e

nH

)eq

=

(meT

2π

)3/2

e−BH/T(1.130)

όπου αντικαταστήσαμε ge = 2, gp = 2, gH = 4, θεωρήσαμε ότι στον λόγο mp ' mH

και αντικαταστήσαμε στο αριστερό μέρος της εξίσωσης ότι np = ne. Επίσης θέσαμε

BH ≡ me −mp −m−H ≈ 13.6eV (1.131)

η οποία είναι η ενέργεια σύνδεσης του υδρογόνου. Αυτή η σχέση δεν είναι τίποτα απόXe

1−Xene = X2e

1−Xe (ne + nH) και άρα γράφουμε ότι(X2e

1−Xe

)eq

=1

ne + nH

(meT

2π

)3/2

e−BH/T (1.132)

Η πιο πάνω σχέση ονομάζεται εξίσωση Saha, την οποία μπορούμε να χρησιμοποιήσουμεμόνο για περιπτώσεις θερμικής ισορροπίας καθώς και για T > BH , αφού για αυτές τιςθερμοκρασίες η εξίσωση Boltzmann δεν λύνεται αριθμητικά.Ισχύει ότι η πυκνότητα αριθμού μικροκαταστάσεων των βαρυονίων είναι nb ≈ np +

nH = ne + nH αν θεωρήσουμε ότι οι πυρήνες είναι μόνο πυρήνες υδρογόνου δηλαδήπρωτόνια, και επειδή ισχύει ότι η = nb/nγ ∼ 10−9

γράφουμε ότι

nb = ηnγ = η2ζ(3)T 3

π2∝ 109T 3 (1.133)

όπου αντικαταστήσαμε το nγ από την εξίσωση 1.83. Για θερμοκρασίες T > BH ⇒e−BH/T ∼ 1 ενώ 1

nb

(meT2π

)3/2 ∼ 1015άρα

(X2e

1−Xe

)eq∼ 1015 → ∞ ⇒ Xe ' 1. Αυτό


σημαίνει ότι δεν υπάρχουν ουδέτερα υδρογόνα, αλλά όλα είναι ιονισμένα. Δηλαδή,για να έχουμε επανασύνθεση (recombination) πρέπει T BH έτσι ώστε το Xe < 1.΄Ομως καθώς το Xe → 0 η διατήρηση της ΘΙ είναι δύσκολη. Για να βρούμε την πλήρηςλύση του Xe πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση Boltzmann η οποία περιγράφειγεγονότα που δεν είναι σε ΘΙ. Δίνεται ότι η εξίσωση Boltzmann5 είναι

α−3 dneα3

dt= (nenp)eq < συ >

(nHneqH− nenpneqe n

eqp

)(1.134)

όπου < συ > είναι η μέση θερμική ενεργός διατομή. Αντικαθιστούμε np = ne και

α−3 dneα3

dt=< συ >

((neqe )2nH

neqH− n2

e

)=< συ >

(nHnb

X2e

1 +Xe

− n2e

)=< συ > nb

((1 +Xe)

(meT

2π

)3/2

e−BH/T −X2enb

) (1.135)

Επειδή nbα3είναι σταθερά μπορούμε να γράψουμε ne = Xenb και άρα

dneα3

dt= dXenbα

3

dt=

nbα3 dXe

dt. Η εξίσωση γίνεται

dXe

dt=< συ >

((1−Xe)

(meT

2π

)3/2

e−BH/T −X2enb

)=(β(1−Xe)− λX2

enb) (1.136)

όπου ορίσαμε ότι

β ≡< συ >

(meT

2π

)3/2

e−BH/T (1.137)

λ ≡< συ > (1.138)

Ο όρος β είναι ο ρυθμός ιονισμού και ο όρος λ είναι ο ρυθμός επανασύνθεσης καιισούται με

λ ' σT

(BH

T

)1/2

(1.139)

5Η απόδειξη της σχέσης είναι στο βιβλίο Dodelson, Modern Cosmology στο υποκεφάλαιο 3.1

σελ.59


Η εξίσωση Saha είναι καλή προσέγγιση αφού προβλέπει την μετατόπιση της επανασύν-θεσης στο ερυθρό αλλά αποτυγχάνει καθώς ο λόγος των ηλεκτρονίων μειώνεται και το

σύστημα ξεφεύγει από το θερμικό μονοπάτι. Η λεπτομερής εξέλιξη τουXe περιγράφεται

από την εξίσωση Boltzmann 1.136 η οποία λύνεται αριθμητικά.Μπορούμε να θέσουμε την θερμοκρασία της επανασύνθεσης όταν Xe ∼ 10−1,

δηλαδή όταν το 90% των ηλεκτρονίων ενωθήκαν με τους πυρήνες για να δημιουργήσουνουδέτερα άτομα. Η αριθμητική λύση της εξ. 1.136 βρίσκουμε ότι Trec ∼ 0.25eV . Αν αν-τικαταστήσουμε την θερμοκρασία με τον παράγοντα κλίμακας ή και με το z έχουμε ότιTrec = T0

α0

αrec= T0(1 + zrec) (Βλ. εξ. 1.19 και 1.89), και αντικαθιστώντας T0 = 2.7K,

μπορούμε να δούμε ότι η επανασύνθεση γίνεται περίπου όταν

zrec ∼ 1000 (1.140)

Ισχύει ότι για την περίοδο που η ύλη και η ραδιενέργεια επικρατούσαν ισοδύναμα στο

σύμπαν (ρm = ρr), z ' 3600, άρα μπορούμε να υποθέσουμε ότι η επανασύνθεση έλαβεχώρα κατά την διάρκεια της εποχής που επικρατεί η ύλη. Χρησιμοποιώντας την εξ.1.40, μπορούμε να βρούμε την χρονική στιγμή που έγινε η επανασύνθεση

trec = t01

(1 + zrec)3/2∼ 400000yrs (1.141)

αφού t0 ∼ 13.7 × 109yrs. Η αλήθεια είναι ότι η επανασύνθεση δεν έλαβε χώρα μιαστιγμή, αλλά άρχισε περίπου όταν z ∼ 1200 και συνεχίστηκε μέχρι ως ότου Xe = 0. Ηστιγμή trec είναι πολύ προσεγγιστική και δεν είναι απόλυτη. Η επανασύνθεση επηρέαζειτην διαδικασία της αποσύνδεσης (decoupling) των φωτονίων από την ύλη, η οποία είναιπολύ σημαντική αφού σχετίζεται με τις ανισοτροπίες του CMB που θα μελετήσουμε σεμεταγενέστερο στάδιο.

Αποσύνδεση

Η αποσύνδεση λαμβάνει χώρα όταν ο ρυθμός αλληλεπίδρασης των φωτονίων μέσω

σκέδασης Compton με τα ηλεκτρόνια γίνει πολύ μικρότερος από τον ρυθμό διαστολής,neσTH

< 1. Η αποσύνδεση θα προέκυπτε ακόμα και αν δεν συνέβαινε το recombinationλόγο της διαστολής του σύμπαντος. ΄Ομως στην πραγματικότητα συμβαίνει και αυτόέχει επίδραση στο πότε θα προκύψει η αποσύνδεση. Γράφουμε,

neσT = XenbσT = ησT2ζ(3)

π2Xe(Tdec)T

3dec =

3H20 Ω0b

mbα3Xe(Tdec)σT (1.142)

και από την εξ. 1.58 παίρνουμε ότι

H = H0

√Ωm0α

−3/2

√1 +

αeqα

(1.143)


όπου θεωρήσαμε ότι επικρατεί η ύλη και η ακτινοβολία εξίσου στο σύμπαν για καλύτερα

αποτελέσματα. ΄Αρα ο λόγος neσTHγίνεται

neσTH

= 3σTH0Ωb0Xe(Tdec)√Ωm0mbα3/2

(1 +αeqα

)−1/2

neσTH∼ 117Xe(Tdec)

(1.144)

Το τελευταίο βήμα βρέθηκε αντικαθιστώντας τις σταθερές. (Βλ. Skordis, Modern Cos-mology σελ.119) ΄Οταν neσT

H= 1, τότε τα φωτόνια αποσυνδέονται. Αυτό αντιστοιχεί

όταν το Xe(Tdec) = 1/117 ∼ 0.01. Το γεγονός αυτό δείχνει ότι για να είναι δυνατόν ταφωτόνια να αποσυνδεθούν, προϋπόθεση είναι το σύμπαν να είναι ουδέτερο σε μεγάλοβαθμό. Η αποσύνδεση των φωτονίων γίνεται κατά την διάρκεια της επανασύνθεσης, καιείναι πολύ κοντά στο z ∼ 1000 6

και άρα η χρονική στιγμή που αποσυνδέονται τα φωτό-

νια είναι περίπου tdec ∼ 400000yrs. Η διαδικασία της δημιουργίας ουδέτερων ατόμωνεκτελείται πριν και μετά την αποσύνδεση. Τα ελεύθερα φωτόνια που αποσυνδέθηκανεκείνη την στιγμή, τα παρατηρούμε με την μορφή του CMB το οποίο εμπεριέχει πληρο-φορίες για το τι έγινε στο πρώιμο σύμπαν, πριν την αποσύνδεση.

6Κοιτάχτε το βιβλίο των Dodelson, Modern Cosmology σελ.71-73 για περισσότερες πληροφορίες


Σχήμα 1.4: Μπλε διάγραμμα: Η εξέλιξη του electron ionisation fraction συνάρτησητης μετατόπισης του ερυθρού z. Το recombination του υδρογόνου αρχίζει να λαμβάνειχώρα περίπου όταν z ∼ 1100 και συνεχίζει μέχρι το Xe να μηδενιστεί. Η αποσύν-δεση λαμβάνει χώρα κατά την διάρκεια του recombination περίπου όταν z ∼ 1000 (Βλ.κόκκινο διάγραμμα). Για τιμές 5000 < z < 6000 λαμβανει χώρα το recombination τουήλιου, το οποίο αγνοήσαμε στους υπολογισμούς μας. Κόκκινο διάγραμμα: Το visibilityfunction g(z), αναπαριστά την πιθανότητα τα φωτόνια του CMB να έχουν σκεδαστείτελευταία φορά μεταξύ των τιμών (z,z+dz) και ορίζει την Επιφάνεια Τελευταίας Σκέ-δασης (Last Scattering Surface) η οποία έχει πεπερασμένο εύρος.

Κεφάλαιο 2

Θεωρία Διαταραχών

Μέχρι τώρα, θεωρούσαμε ότι το Σύμπαν είναι ομοιογενές και ισοτροπικό. Για νακατανοήσουμε όμως πώς σχηματίστηκαν δομές όπως οι γαλαξίες, ή για να μελετή-σουμε τις διακυμάνσεις του Cosmic Microwave Background, είναι απαραίτητο να προσ-εγγίσουμε το Σύμπαν σαν ανομοιογενές. Αυτό επιτυγχάνεται με την εισαγωγή τηςΚοσμική Θεωρία Διαταραχών (Cosmological Perturbation Theory). Προτού όμωςπαρουσιάσουμε αυτή την θεωρία, θα αναφερθούμε στην Νευτώνεια Θεωρία Διαταραχών(Newtonian Perturbation Theory), η οποία εφαρμόζεται για μη σχετικιστικές μάζεςκαθώς και για κλίμακες οι οποίες είναι πολύ πιο μικρές από τον κοσμικό ορίζοντα.

2.1 Νευτώνεια Θεωρία Διαταραχών

Η Νευτώνεια Βαρύτητα είναι αποδεκτό ότι αποτελεί μια επαρκή περιγραφή της γενικής

σχετικότητας για κλίμακες πολύ μικρότερες από την ακτίνα τουHubble (Hubble radius)και φυσικά για μη σχετικιστικές μάζες, όπως είναι αυτές της σκοτεινής ύλης και τωνβαρυονίων.

2.1.1 Νευτώνεια ρευστά

Σε αυτό το μέρος θα εισάγουμε τον φορμαλισμό για την περιγραφή νευτώνειων ρευστών.΄Ενα νευτώνειο ρευστό είναι μια συγκέντρωση σημειακών πανομοιότυπων σωματιδίων

μάζας m σε όγκο V . ΄Ενα μη σχετικιστικό ρευστό περιγράφεται από την ενεργειακήτου πυκνότητα (ή πυκνότητα μάζας) ρ(~x, t),την πίεση P (~x, t) και την ταχύτητα ~υ(~x, t).Οι εξισώσεις κινήσεις δίνονται από την δυναμική ρευστών, με τις οποίες οι μεταβλητέςρ, P , ~υ συσχετίζονται. Συνοψίζοντας, οδηγούμαστε στην εξίσωση συνέχειας, λόγωδιατήρησης μάζας,

42

2.1. Νευτώνεια Θεωρία Διαταραχών 43

Εξίσωση συνέχειας:∂ρ

∂t+ ~υ · ~∇ρ = −ρ~∇ · ~υ (2.1)

και στην εξίσωση Euler λόγω διατήρησης ορμών,

Εξίσωση Euler: ρ(∂~υ

∂t+ ~υ · ~∇~υ) = −~∇P − ρ~∇Φ (2.2)

Επιπλέον, θα συσχετίσουμε την ενεργειακή πυκνότητα ρ με το νευτώνειο δυναμικό Φεισάγωντας την εξίσωση Poisson. Υπενθυμίζουμε ότι το δυναμικό Φ σχετίζεται με τηνεπιτάχυνση της βαρύτητας ~g με την ακόλουθη σχέση ~g(~x) = −~∇Φ(~x), με το Φ ναισούται με

Φ(~x) = −G∫d3x′

ρ(~x′)

|~x− ~x′|(2.3)

Εξίσωση Poisson: ∇2Φ = 4πGρ (2.4)

Τέλος θέλουμε ακόμα μια εξίσωση ούτως ώστε να είμαστε σε θέση να λύσουμε το

σύστημα με τέσσερις μεταβλητές. Ορίζουμε την καταστατική εξίσωση:

Καταστατική Εξίσωση: ~∇P = c2s~∇ρ (2.5)

Η μεταβλητή cs ορίζεται σαν η ταχύτητα του ήχου, η οποία μπορεί εξαρτάται απόάλλες μεταβλητές του ρευστού πχ. cs = cs(ρ, ~υ,Φ). Η ταχύτητα του ήχου διαφέρειαναλόγως με το είδος του ρευστού που περιγράφουμε. Για παράδειγμα για ρευστόΚρύας Σκοτεινής ΄Υλης (Cold Dark Matter) η ταχύτητα του ήχου είναι μηδενική,c2s = 0.Τώρα είμαστε σε θέση να εισάγουμε μικρές διακυμάνσεις γύρω από ένα ομοιο-

γενές υπόβαθρο (background) ενός νευτώνειου ρευστού, και να δούμε τι θα δώσουν οιπάραπάνω εξισώσεις.


2.1.2 Εισαγωγή μικρών διαταραχών σε ένα στατικό

Νευτώνειο ρευστό υπό την επίδραση της βαρύτητας

Θέλουμε να μελετήσουμε πως μικρές αρχικές διαταραχές συμπεριφέρονται υπό την επί-

δραση της βαρύτητας και πως μπορούν να εξισορροπηθούν από τις εσωτερικές πιέσεις.Ορίζουμε τις τιμές των μεταβλητών ρ, ~υ και Φ γύρω από τις οποίες θέλουμε να αναπτύξ-ουμε μικρές διαταραχές. Αυτές οι τιμές αποτελούν το υπόβαθρο του ρευστού. Επιπλέον,θεωρούμε ότι αυτό το υπόβαθρο κατά μέσο όρο ότι είναι ομοιογενές, δηλαδή οι μεταβλ-ητές δεν εξαρτώνται από την θέση ~x στην οποία αναφερόμαστε και ότι είναι σε ηρεμία,άρα το ~υ = 0. Με αυτές τις υποθέσεις μπορούμε να δούμε τα χαρακτηριστικά τωνμεταβλητών του υποβάθρου από τις εξισώσεις 2.1-2.2 και 2.4-2.5. Από την εξίσωσησυνέχειας έχουμε ότι

∂ρ∂t

= 0 ⇔ ρ = ρ(~x, t) = const, συνάρτηση του χρόνου αλλά καιτου χώρου. Τι συμβαίνει με το νευτώνειο δυναμικό όμως; Το ολοκλήρωμα 2.3 δίνειΦ(~x) = const, επειδή ενδιαφερόμαστε για σημεία εντός του ρευστού. ΄Ομως έχουμε τηνελευθερία να επιλέξουμε την τιμή αυτής της σταθεράς αφού είναι αυθαίρετη, και γιααπλούστευση επιλέγουμε Φ = 0. Η εξίσωση Euler ικανοποιείται και δεν δίνει κάποιανέα πληροφορία. ΄Αρα η μόνη μεταβλητή που δεν εξαφανίζεται είναι αυτή της πυκνότηταςρ.Τώρα είμαστε σε θέση να προχωρήσουμε στις διακυμάνσεις. Ορίζουμε την ολική

πυκνότητα ρ(~x, t) με ανάπτυγμα Taylor, αγνοώντας όρους δεύτερης τάξης και άνω,

ρ(~x, t) = ρ+ δρ(~x, t) (2.6)

Ορίζουμε την μεταβλητή δ ως δ = δρρκαι άρα έχουμε

ρ = ρ(1 + δ) (2.7)

Οι υπόλοιπες μεταβλητές, ακολουθώντας το ίδιο σκεπτικό, γίνονται Φ(~x, t) = δΦ(~x, t)και ~υ(~x, t) = δ~υ(~x, t). Γι’ αυτό και για ευνόητους λόγους θα συμβολίζουμε τις δι-αταραχές αυτών των μεταβλητών με Φ και ~υ αντίστοιχα. Ας λύσουμε τώρα το σύστημαεξισώσεων για ένα νευτώνειο ρευστό. Η εξίσωση συνέχειας θα γίνει:

∂ρ

∂t+ ~υ · ~∇ρ+ ρ~∇ · ~υ = 0 (2.8)

Ο πρώτος όρος της εξίσωσης 2.8 θα μας δώσει

∂ρ

∂t=∂ρ+ δρ

∂t=∂δρ

∂t=∂ρδ

∂t= ρδ (2.9)

ενώ ο δεύτερος και ο τρίτος όρος θα δώσουν

~υ · ~∇ρ+ ρ~∇ · ~υ = ~υ · (~∇ρ+ ~∇δρ) + (ρ+ δρ)~∇ · ~υ= ρ~∇ · ~υ + δρ~∇ · ~υ + ~υ · (~∇δρ) = ρ~∇ · ~υ

(2.10)


όπου αγνοήσαμε όρους δεύτερης τάξης ως προς τις διαταραχές πχ. δρ~∇ · ~υ ≈ 0 καιλάβαμε υπόψην ότι ρ = const. Συνδυάζοντας τις εξισώσεις 2.8-2.10 και απαλείφονταςτον όρο ρ οδηγούμαστε στην εξίσωση

δ + ~∇ · ~υ = 0 (2.11)

Κρατώντας και πάλι γραμμικούς όρους ως προς τις διαταραχές, η εξίσωση Euler θαδώσει:

∂~υ

∂t= −

~∇Pρ− ~∇Φ (2.12)

και χρησιμοποιώντας την εξ. 2.5, έχουμε

∂~υ

∂t= −c2

s~∇δ − ~∇Φ (2.13)

Χρησιμοποιώντας την εξίσωση Poisson σε συνδυασμό με την απόκλιση της εξ. 2.13,μπορούμε να απαλείψουμε το δυναμικό Φ και να εξάγουμε μια διαφορική εξίσωση για

το δ. Η εξίσωση Poisson δίνει

∇2Φ = 4πGρ(1 + δ) = 4πGρδ (2.14)

και χτυπώντας την εξ. 2.13 με τον τελεστή ~∇ από τα αριστερά και αντικαθιστώνταςτις εξ.2.14 και εξ.2.11 έχουμε

~∇ · ∂~υ∂t

= −c2s∇2δ −∇2Φ = −c2

s∇2δ − 4πGρδ

⇔ ∂

∂t(~∇ · ~υ) = −∂δ

∂t= −c2

s∇2δ − 4πGρδ

(2.15)

΄Αρα οδηγούμαστε στην διαφορική εξίσωση του δ:

δ − c2s∇2δ − 4πGρδ = 0 (2.16)

Μπορούμε να λύσουμε την μερική διαφορική εξίσωση του δ (εξ.2.16), μετασχηματί-ζοντας με Fourier Transforms από τον χώρο των ~x στο χώρο των ~k, δηλαδή μετασχη-ματίζοντας από δ(~x, t) σε δ(~k, t).Για να κάνουμε Fourier Transform την εξίσωση 2.16 παίρνουμε τον κάθε όρο της

ξεχωριστά. Ο πρώτος όρος θα γίνει:

δ(~x, t) =

∫d3k

(2π)3ei~k·~x ¨δ(~k, t) (2.17)


Η παράγωγος ως προς χρόνο δεν επηρεάζει σε κάτι αφού κάνουμε F.T. ως προς τονχώρο. Ο τρίτος όρος θα δώσει παρόμοια:

−4πGρδ(~x, t) = −4πGρ

∫d3k

(2π)3ei~k·~xδ(~k, t) (2.18)

Ενώ ο τρίτος θα δώσει:

c2s∇2

xδ(~x, t) = c2s

∫d3k

(2π)3∇2r(e

i~k·~x)δ(~k, t)

= c2s

∫d3k

(2π)3ei~k·~x(−k2)δ(~k, t)

(2.19)

Υπενθυμίζουμε ότι η δράση της Λαπλασιανής ∇2σε ένα εκθετικό δίνει:

∇2xei~k·~x = ~∇ · ( ∂

∂xx+

∂

∂yy +

∂

∂zz)(ei(xkxx+yky y+zkz z))

= ~∇ · (ikxx+ ikyy + ikz z)ei~k·~x

= −(k2x + k2

y + k2z)e

i~k·~r = −k2ei~k·~x

΄Αρα η εξίσωση 2.16 θα γίνει:∫d3k

(2π)3(¨δ + c2

sk2δ − 4πGρδ) = 0 (2.20)

Για να μηδενίζεται το ολοκλήρωμα πρέπει ο όρος¨δ + c2

sk2δ − 4πGρδ = 0. Αυτή η

εξίσωση αποτελεί την νέα διαφορική εξίσωση που θα λύσουμε. Απαλείφοντας το δ = δ,έχουμε:

δ + (c2sk

2 − 4πGρ)δ = 0 (2.21)

η οποία είναι η γνωστή εξίσωση απλού αρμονικού ταλαντωτή δ + ω2δ = 0, μεω2 = c2

sk2 − 4πGρ, την οποία μπορούμε να λύσουμε εύκολα.

Για ω2 > 0, δηλαδή όταν το ω είναι πραγματικός αριθμός, έχουμε τις γνωστέςλύσεις:

δ(~k, t) = C0(~k)cosωt+ C1(~k)sinωt (2.22)

Για ω2 = 0 άρα δ = 0 έχουμε την γνωστή λύση:

δ(~k, t) = C0(~k) + C1(~k)t (2.23)


Ενώ για ω2 < 0, δηλαδή όταν το ω είναι φανταστικός αριθμός, έχουμε τις λύσεις με ταυπερβολικά ημίτονα και συνημίτονα:

δ(~k, t) = C0(~k)e|ω|t + C1(~k)e−|ω|t (2.24)

Τι μας δείχνουν αυτές οι εξισώσεις; Ας μελετήσουμε πρώτα την περίπτωση όπου τοω2 = 0. Λύνοντας ως προς k έχουμε ότι:

c2sk

2 − 4πGρ = 0

⇔ k2 =4πGρ

c2s

Αυτή η τιμή του k είναι σημαντική και ονομάζεται κυματαριθμός του Jean και θα τηνσυμβολίζουμε με kJ .

kJ =

√4πGρ

cs(2.25)

Για ω2 > 0 ισχυεί ότι k > kJ και η εξίσωση που περιγράφει την διακύμανση τηςπυκνότητας είναι η εξ.2.22, ενώ για ω2 < 0 ισχυεί ότι k < kJ και η αντίστοιχη εξίσωσηείναι η 2.24. Δηλαδή, για k > kJ , η διακύμανση της πυκνότητας ενέργειας ταλαντώνεταιμε την πάροδο του χρόνου, ενώ για k < kJ , εξελίσσεται με εκθετικό ρυθμό. Αυτή ηεκθετική εξέλιξη ονομάζεται αστάθεια του Jean. Αν συσχετίσουμε το μήκος κύματοςλ με τον κυματαριθμό k, θα έχουμε λJ = 2π

kJκαι τότε θα ισχυεί ότι

λJ = cs

√π

Gρ(2.26)

το οποίο ονομάζεται μήκος του Jean. Το μήκος αυτό είναι ανάλογο της ταχύτητας τουήχου cs. Τι σημαίνει όμως αυτό; Αφού η ταχύτητα του ήχου προέρχεται από την πίεσητου ρευστού, τότε για λ < λJ οι ταλαντώσεις αυτές στο ρευστό προέρχονται από τηνπίεση του, η οποία είναι μεγαλύτερη από την βαρύτητα. Αυτή η εξ-ισορροπία οδηγείστο να μην καταρρέει το σύστημα, αλλά στο να ταλαντώνεται. Για λ > λJ όμως, ηβαρύτητα κυριαρχεί έναντι της πίεσης και το σύστημα καταρρέει. Δηλαδή μάζες πουέχουν μεγαλύτερο μήκος από το μήκος του Jean θα καταρρεύσουν υπό την επίδρασητης βαρύτητας τους. ΄Ομως τι γίνεται όταν cs = 0, που όπως έχουμε προαναφέρειαντιστοιχεί σε ρευστό Κρύας Σκοτεινής ΄Υλης; Λοιπόν, σε αυτή την περίπτωση τολJ = 0, άρα όλα τα ρευστά θα έχουν σίγουρα μεγαλύτερο μήκος από το λJ , καιαυτό σημαίνει ότι για οποιαδήποτε κλίμακα μήκους αναφερόμαστε οι καταστάσεις του

ρευστού θα είναι ασταθείς, αφού δεν θα υπάρχει πίεση να εξισορροπεί την βαρύτητα.


2.1.3 Νευτώνειο ρευστό σε ένα διαστελλόμενο Σύμπαν

Στο προηγούμενο υποκεφάλαιο υποθέσαμε ότι το ρευστό ήταν στατικό, δηλαδή καιο χώρος που βρισκόταν ήταν στατικός, και αυτό μας οδήγησε στην υπόθεση ότι τορ = ρ(~x, t) = const . ΄Ομως στην πραγματικότητα το σύμπαν μας διαστέλλεται και έτσιγια να αντιπροσωπεύουν οι εξαγόμενες λύσεις τα παρατηρήσιμα γεγονότα, πρέπει ναεισάγουμε αυτή την διαστολή στο υπόβαθρο του ρευστού, προτού εισάγουμε μικρές δι-αταραχές. Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις νευτώνειων ρευστών μπορούμε να εξάγουμεπληροφορίες για τις μεταβλητές υποβάθρου. Σε ένα σύμπαν που διαστέλλεται με ρυ-θμό α(t) έχουμε την γνωστή σχέση μεταξύ των φυσικών συντεταγμένων ~x και τωνcomoving συντεταγμένων ~r

~x(t) = α(t)~r(t) (2.27)

΄Αρα τώρα η φυσική ταχύτητα του ρευστού θα περιγράφεται από την εξίσωση:

~υ = H(t)~x(t) + α(t)~r(t) (2.28)

Ο όρος α(t)~r(t) όπως θυμάστε αντιπροσωπεύει την peculiar ταχύτητα, αφού η ~r(t)είναι η ταχύτητα ενός αντικειμένου στην θέση ~r όπως την παρατηρεί ένας comovingπαρατηρητής, δηλαδή ένας παρατηρητής που δεν λαμβάνει υπόψιν του την διαστολή.Για τις μεταβλητές υπόβαθρου θεωρούμε ότι αυτή η ταχύτητα ~r είναι μηδενική, ενώαργότερα θα την θεωρήσουμε σαν μια διαταραχή ~u = α(t)~r(t). ΄Αρα η ταχύτητα υπ-οβάθρου είναι:

~υ = H(t)~x(t) (2.29)

Προτού προχωρήσουμε, σημειώνουμε ότι το x = ∂x∂t

= 0 και αυτό αποδεικνύεταιεύκολα. Μπορούμε να γράψουμε την ταχύτητα ~υ ως εξής

~υ =d~x

dt=∂~x

∂x

dx

dt+∂~x

∂y

dy

dt+∂~x

∂z

dz

dt+∂~x

∂t

dt

dt= ~υ · ~∇~x+ ~x (2.30)

Για τον πρώτο όρο όμως ισχυεί ότι

~υ · ~∇~x = ~υ (2.31)

αφού

~υ · ~∇~x =

(υx

∂

∂x+ υy

∂

∂y+ υz

∂

∂z

) xyz

=

υxυyυz

= ~υ (2.32)


΄Αρα για να είναι σωστή η εξίσωση 2.30, ο όρος ~x πρέπει να μηδενίζεται.Συνεχίζουμε τώρα στις εξισώσεις των νευτώνειων ρευστών. Η αλλαγή στην ταχύτητα

υποβάθρου επιφέρει αλλαγές στην πυκνότητα ενέργειας που τώρα δεν θα είναι σταθερή.Αντικαθιστώντας στην εξίσωση συνέχειας θα έχουμε

∂ρ

∂t+ ~υ ·

0

~∇ρ+ ρ~∇ · ~υ = 0

˙ρ+Hρ~∇ · ~x = 0

˙ρ+ 3Hρ = 0

(2.33)

Αφού ισχύει ότι ~∇· ~x = 3. Το αποτέλεσμα στην εξίσωση 2.31 είναι η γνωστή εξίσωσηδιατήρηση ενέργειας για μάζες χωρίς πίεση που είχαμε εξάγει στην Γενική Σχετικότητα.Το σημαντικό εδώ είναι ότι χρησιμοποιήσαμε μόνο Νευτώνεια θεωρία και το αποτέλεσμα

συμφωνεί με αυτό της Γενικής Σχετικότητας, άρα βλέπουμε ότι η προσέγγισή μας είναιπάρα πολύ καλή.Η εξίσωση Euler δίνει

ρ

(∂~υ

∂t+ (~υ · ~∇)~υ

)= −

>0

~∇P − ρ~∇Φ

ρ(H~x+H2(~x · ~∇)~x)

)= −ρ~∇Φ

(2.34)

΄Ομως (~x · ~∇)~x = ~x από την εξ.2.32 και άρα

ρ(H~x+H2~x

)= −ρ~∇Φ

~∇Φ = −(H +H2

)~x

(2.35)

Ενώ η λαπλασιανή του Φ

∇2Φ = −(H +H2

)~∇ · ~x = −3

(H +H2

)(2.36)

Αντικαθιστώντας την 2.36 στην εξίσωση Poisson θα έχουμε

H +H2 +4πGρ

3= 0 (2.37)

Συνεχίζουμε τώρα στην εισαγωγή των διαταραχών όπως κάναμε και στην περίπτωση

του στατικού ρευστού. Οι τιμές των μεταβλητών θα είναι

ρ = ρ(1 + δ) (2.38)


~υ = H(t)~x(t) + α(t)~r(t) = H(t)~x(t) + ~u (2.39)

Φ = Φ + ϕ (2.40)

Για απλοποίηση, αγνοούμε όρους 2ης τάξης, πχ. ~uδ καθώς και μηδενικής τάξης αφούθα μας δώσουν τα αποτελέσματα που έχουμε ήδη υπολογίσει στις εξισώσεις 2.33, 2.34και 2.35. ΄Ετσι η εξίσωση συνέχειας 1ης τάξης γίνεται

∂ρ

∂t+ ~∇ · (ρ~υ) = 0

∂(ρδ)

∂t+ ~∇ · (ρ~υδ + ρ~u) = 0

˙ρδ + ρδ + ~∇ · (Hρ~xδ + ρ~u) = 0

˙ρδ + ρδ +Hρ~∇ · (~xδ) + ρ~∇ · ~u = 0

˙ρδ + ρδ +Hρ(~x · ~∇+ δ*3

~∇ · ~x) + ρ~∇ · ~u = 0

:0( ˙ρ+ 3Hρ)δ + ρδ +Hρ~x · ~∇+ ρ~∇ · ~u = 0

Στο τελευταίο βήμα χρησιμοποιήσαμε την εξίσωση 2.33. Απαλείφοντας τα ρ θα έχουμε

δ +H~x · ~∇+ ~∇ · ~u = 0 (2.41)

Με παρόμοιους υπολογισμούς, η εξίσωση Euler δίνει

~u+H(~u+ ~x · ~∇~u

)= −c2

s~∇δ − ~∇ϕ (2.42)

ενώ η Poisson δίνει∇2ϕ = 4πGρδ (2.43)

Προτού προχωρήσουμε στην εύρεση της διαφορικής εξίσωσης του δ(~x, t) θα προβούμεσε εναλλαγή του χώρου με Fourier Transforms. Θα πάμε στον χώρο των comovingσυντεταγμένων ~r(t) ούτος ώστε να απλοποιηθεί ο ρυθμός διαστολής α(t) του Σύμπαν-τος.Ας ξεκινήσουμε με την εξίσωση 2.41. Ο μετασχηματισμός Fourier θα δώσει

δ(~x, t) =

∫d3k

(2π)3ei~k·~xα δ(~k, t) (2.44)

Για να εμφανίσουμε τον όρο δ πρέπει να παραγωγήσουμε την εξίσωση 2.44 ως προςχρόνο.


δ(~x, t) =

∫d3k

(2π)3

d

dt

(ei~k·~xα δ(~k, t)

)=

∫d3k

(2π)3ei~k·~xα

(˙δ(~k, t)− i~k · ~x

αHδ(~k, t)

) (2.45)

Ενώ για τον όρο ~u θα έχουμε

~u(~x, t) =

∫d3k

(2π)3ei~k·~xα ~u(~k, t) (2.46)

και αφού το ~u(~k, t) δεν εξαρτάται από τον χώρο των ~x

~∇x · ~u(~x, t) =

∫d3k

(2π)3~u(~k, t) · ~∇x

(ei~k·~xα

)=

∫d3k

(2π)3

i

α~u(~k, t) · ~∇x

(~k · ~x

)ei~k·~xα

=

∫d3k

(2π)3

i

αei~k·~xα

∑lj

ul∇lkjxj

=

∫d3k

(2π)3

i

αei~k·~xα

∑lj

ulkj*δlj

∇lxj

=

∫d3k

(2π)3

i

αei~k·~xα ulkl =

∫d3k

(2π)3

i

αei~k·~xα ~u · ~k

(2.47)

Τέλος για τον όρο H~x · ~∇δ θα έχουμε

~∇xδ(~x, t) =

∫d3k

(2π)3

i

αei~k·~xα δ(~k, t)~∇x(~k · ~x) (2.48)

και

H~x · ~∇xδ(~x, t) =

∫d3k

(2π)3

i

αei~k·~xα δ(~k, t)H~x · ~∇x(~k · ~x)

=

∫d3k

(2π)3

i

αei~k·~xα δ(~k, t)H

∑lj

xl∇lkjxj

=

∫d3k

(2π)3

i

αei~k·~xα δ(~k, t)H~x · ~k

(2.49)


Συνδυάζοντας τα αποτελέσματα των εξισώσεων 2.45,2.47 και 2.49 θα δώσουν

∫d3k

(2π)3ei~k·~xα

˙δ(~k, t)−i~k · ~x

αHδ +

i~u · ~kα

+i~x · ~k

αHδ

= 0 (2.50)

΄Αρα προκύπτει η νέα διαφορική εξίσωση, όπου ορίσαμε το ~θ = ~uατο οποίο καλείται

peculiar πεδίο και συμβολίσαμε το δ = δ

δ + i~θ · ~k = 0 (2.51)

Με παρόμοιο τρόπο προκύπτουν και οι υπόλοιπες εξισώσεις

~θ + 2H~θ = − i~k

α2(c2sδ + ϕ) (2.52)

−k2ϕ = 4πGρδ (2.53)

Αν απαλείψουμε τους όρους ϕ μπορούμε να βρούμε την διαφορική εξίσωση του δ2ης τάξης

δ + 2Hδ +

(k2c2

s

α2− 4πGρ

)δ = 0 (2.54)

Αυτή η εξίσωση είναι η αντίστοιχη της 2.21 που ίσχυε για στατικά ρευστά υπό τηνεπίδραση της βαρύτητας. Μόνο που τώρα η πυκνότητα μάζας αλλάζει με τον χρόνο καιυπάρχει ο όρος απόσβεσης 2Hδ που καθιστά την εξίσωση 2.54 να περιγράφει αρμονικόταλαντωτή με απόσβεση. Αν αγνοήσουμε τον όρο της απόσβεσης, τότε θα έχουμετον αντίστοιχο κυματαριθμό του Jean για ένα διαστελλόμενο Σύμπαν όπως είχαμε σταστατικά ρευστά.(Βλ.2.25)

kJ = α

√4πGρ(t)

cs(2.55)

΄Οπως είναι αναμενώμενο οι διαταραχές θα εξελίσσονται στο πέρασμα του χρόνου

αναλόγως με την k-κατάσταση που έχουν. Για k > kJ , οι διακυμάνσεις θα εξελίσ-σονται όπως περιγράφει η εξίσωση 2.24, μόνο που αν λάβουμε υπόψην τον όρο τηςαπόσβεσης τότε θα ταλαντώνονται με πλάτος ταλάντωσης που θα μειώνεται στο πέρασμα

του χρόνου. Για k < kJ όμως έχουμε δραματικές αλλαγές στο πως θα εξελίσσονται οιδιακυμάνσεις, και αυτό θα το αναλύσουμε πάρακάτω. ΄Οπως και στην περίπτωση τωνστατικών ρευστών ορίζουμε το μήκος Jean (Βλ. 2.26), το οποίο τώρα θα είναι έναcomoving μήκος κύματος, με το φυσικό μήκος κύματος να είναι το λphyJ = αλcomJ .


λcomJ =csα

√π

Gρ(t)(2.56)

Η φυσική σημασία της πάραπάνω εξίσωσης είναι ακριβώς ίδια με αυτή που ισχύει

για τα στατικά ρευστά, όμως υπάρχει μια σημαντική διαφορά: το λcomJ εξαρτάται από

τον χρόνο. Αυτό έχει δραματικές αλλαγές στην συμπεριφορά των διακυμάνσεων μίαςσυγκεκριμένης k-κατάσταση. Αν για παράδειγμα κάποια διαταραχή έχει μήκος κύματοςλ, και στον χρόνο t1 ισχύει ότι λ < λcomJ (t1) τότε θα ταλαντώνεται με φθίνων πλάτοςταλάντωσης. Υπάρχει περίπτωση όμως στον χρόνο t2 να ισχύει ότι λ > λcomJ (t2),επειδή η πυκνότητα ενέργειας ρ(t) εξαρτάται από το H(t) (μπορεί να ισχύει και τοαντίθετο βέβαια, όλα εξαρτώνται από το πώς εξελίσσεται το H(t)) και τότε η διαταραχήμε φιξαρισμένο μήκος κύματος λ, θα σταματήσει να εξελίσσεται στον χρόνο σαν μιαφθίνουσα ταλάντωση, αλλά θα αρχίσει να αυξάνεται ή να φθίνει (Βλ. Υποκεφάλαιο2.1.4).

2.1.4 Λύσεις για την ύλη κατά την διάρκεια διάφορων επο-

χών

Επειδή η εξίσωση 2.54 ισχύει για μη σχετικιστικές μάζες, δεν μπορούμε να την χρησι-μοποιήσουμε για την ακτινοβολία αλλά μόνο για την ύλη. Επιπλέον, είναι σημαντικό νασημειώσουμε ότι αν και θεωρήσαμε πως στο υπόβαθρο η πίεση είναι μηδενική (P = 0),η εξίσωση 2.54 μπορεί να χρησιμοποιηθεί για οποιοδήποτε κοσμολογικό υπόβαθρο, είτεαυτό είναι η εποχή της κυριαρχίας της ακτινοβολίας, της ύλης ή και της κοσμολογικήςσταθεράς Λ (σκοτεινής ενέργειας). Λαμβάνοντας αυτό υπόψιν θα βρούμε τις λύσεις γιαk < kJ , οι οποίες αλλάζουν δραματικά αναλόγως με το κοσμολογικό υπόβαθρο πουβρισκόμαστε.Προτού όμως προχωρήσουμε στις λύσεις της εξ.2.54 θα κάνουμε κάποιες απλοποιή-

σεις. Αφού ασχολούμαστε με τις καταστάσεις k < kJ , τότε μπορούμε να αγνοήσουμετον όρο k2c2

s << k2Jc

2s. Αυτή η υπόθεση είναι απολύτως συμβατή με την περίπτωση που

μελετούσαμε ύλη χωρίς πίεση, όπως αυτή της Κρύας Σκοτεινής ΄Υλης αφού το cs = 0(Βλ. υποκεφάλαιο 2.1.1).

Επικράτεια της ΄Υλης

Για αρχή θα μελετήσουμε το υπόβαθρο στην εποχή που κυριαρχεί η ύλη η οποία ακολου-

θεί αυτήν που επικρατεί η ακτινοβολία. Η εξίσωση 2.54 θα γίνει

δ + 2Hδ − 4πGρδ = 0 (2.57)


Σε αυτή την εποχή ισχύει ότι α = ( tt0

)23 και H = 2

3t. Επιπλέον αφού ρ = 3H2

8πGτότε

4πGρ = 3H2

2= 2

3t2. Αντικαθιστώντας αυτά στην παραπάνω εξίσωση έχουμε

δ +4

3tδ − 2

3t2δ = 0 (2.58)

Δοκιμάζουμε λύσεις για δ ∝ tn και τις αντικαθιστούμε στην εξ.2.58 τότε θα έχουμε

3n2 + n− 2 = 0 (2.59)

Αν λύσουμε ως προς n, βρίσκουμε ότι n1 = −1 και n2 = 23. ΄Αρα οι λύσεις είναι

δ(t) =

t−1 ∝ α2/3

φθίνουσα κατάσταση

t2/3 ∝ α αύξουσα κατάσταση(2.60)

Γι’ αυτό και η λύση για ύλη χωρίς πίεση, όπως η Κρύα Σκοτεινή ΄Υλη κατά την διάρκειατης κυριαρχίας της ύλης εξελίσσεται σαν τον ρυθμό διαστολής του Σύμπαντος α. Ναπόσο δραματική αλλαγή επιφέρει η διαστολή του Σύμπαντος. Ενώ οι διακυμάνσεις τωνστατικών ρευστών αυξάνονταν εκθετικά με τον χρόνο, στην περίπτωση του διαστελ-λόμενου Σύμπαντος, αυξάνονται συνάρτηση της δύναμης του χρόνου.

Επικράτεια της Ακτινοβολίας

Την εποχή που επικρατεί η ακτινοβολία, οι ιδιότητες του υπόβαθρου αλλάζουν αφούισχύει ότι α = ( t

t0)

12 και H = 1

2t, και η εξίσωση 2.57 παίρνει την μορφή

δ +1

tδ − 4πGρδ = 0 (2.61)

Ο όρος ρδ = (ρδ)r + (ρδ)m, όμως σε κλίμακες μικρότερες της ακτίνας του Hubble,οι διαταραχές στην πυκνότητα της ακτινοβολίας ταλαντώνονται σαν ηχητικά κύματα,και ο μέσος όρος της (ρδ)r μηδενίζεται. Επιπλέον, αφού στο υπόβαθρο επικρατεί ηακτινοβολία, τότε ισχύει ότι δ ∼ H2 ∼ 8πGρr

3>> 4πGρm, και άρα μπορούμε να

αγνοήσουμε τον τελευταίο όρο της εξ.2.61.

δ +1

tδ =

d

dt

(δt)

= 0 (2.62)


Ολοκληρώνοντας δύο φορές θα πάρουμε

δt = const = A(~k)

⇔ dδ

dt=

1

t

⇔ δ − δ0 = A(~k) ln

(t

t0

)⇔ δ(t,~k) = δ0(~k) + A(~k) ln

(t

t0

)= δ0(~k) + A(~k) lnα

(2.63)

΄Αρα όπως παρατηρείται, κατά την διάρκεια που επικρατεί η ακτινοβολία, οι διακυμάνσειςτης ύλης εξελίσσονται λογαριθμικά. Δηλαδή οι διακυμάνσεις της ύλης δεν αυξάνονταιμε γρήγορο ρυθμό και δεν είναι ικανές να παράξουν μεγάλες δομές, αλλά πρέπει ναπεριμένουμε να έρθει η εποχή που κυριαρχεί η ύλη ούτος ώστε οι διακυμάνσεις να αυξ-

ηθούν με δραματικό ρυθμό (εξ.2.60) και να δημιουργήσουν δομές όπως οι γαλαξίες.

Επικράτεια της Κοσμολογικής Σταθεράς Λ

Μετά την επικράτεια της ΄Υλης ακολουθεί η επικράτεια της Κοσμολογικής Σταθεράς

Λ. Πώς θα συμπεριφέρεται η ύλη άραγε τότε; Σε αυτή την εποχή, ο ρυθμός διαστολήςτου Σύμπαντος είναι α = eHt με το H = const =

√Λ/3. ΄Αρα έχουμε την διαφορική

εξίσωση

δ + 2Hδ − 4πGρδ = 0 (2.64)

Το ρ εδώ τώρα αντιστοιχεί σε ρ = ρΛ + ρm, όμως απ’ όσο γνωρίζουμε η σκοτεινήενέργεια δεν συμμαζεύεται σε νεφελώματα όπως η ύλη, άρα θεωρούμε ότι ρ = ρm.Επιπλέον, ισχύει ότι H2 = 8πGρΛ/3 >> 4πGρm και άρα η εξίσωση γίνεται

δ + 2Hδ = 0 (2.65)

Η λύση της διαφορικής εξίσωσης δίνει

δ(~k, t) = A(~k) +B(~k)e−2Ht = A(~k) +B(~k)α−2 (2.66)

Αυτό δείχνει ότι οι διακυμάνσεις της ύλης την εποχή που επικρατεί η Σκοτεινή

Ενέργεια, σταματούν να αυξάνονται όπως είχαμε στην εποχή της ΄Υλης, αλλά αντιθέτωςαρχίζουν να μειώνονται. Καθώς περνά ο χρόνος σταματούν να δημιουργούνται νέεςδομές και σιγά σιγά το Σύμπαν αρχίζει να πεθαίνει.

2.2. Κοσμική Θεωρία Διαταραχών 56

2.2 Κοσμική Θεωρία Διαταραχών

΄Οσο και αν η Νευτώνεια προσέγγιση ήταν ικανοποιητική στην περιγραφή της εξέλιξης

ορισμένων ρευστών ύλης, δεν είναι εφαρμόσιμη για σχετικιστικά ρευστά όπως αυτά τωννετρίνων και των φωτόνιων (ακτινοβολία) καθώς και για κλίμακες που είναι μεγαλύτερεςαπό την ακτίνα του Hubble. Για να έχουμε μια συμπληρωμένη θεωρία που περιγράφεικάθε είδος ρευστού, πρέπει να προβούμε στην προσέγγιση της Γενικής Σχετικότητας.

2.2.1 Προσδιορίζοντας τον χωρόχρονο

Η βασική ιδέα της θεωρίας της Κοσμολογικής Διαταραχής είναι ότι αναπτύσουμε μικρές

διαταραχές γύρω από το Friedmann-Robertson-Walker (FRW) Σύμπαν με ανάπτυγμαTaylor. Αυτό σημαίνει ότι το υπόβαθρο περιγράφεται από την γνωστή FRW μετρική.Για να μην υπάρξουν τυχόν συγχύσεις, η μετρική που θα χρησιμοποιήσουμε είναι αυτήπου περιγράφει ένα Επίπεδο Σύμπαν. Επιπλέον, θα χρησιμοποιήσουμε conformal συν-τεταγμένες του χρόνου η, με την μετρική να είναι

ds2 = gµνdxµdyν = −α2(η)

[−dη2 + γijdx

idxj]

(2.67)

με το γij να είναι η μετρική του τρισδιάστατου Ευκλείδιου χώρου, δηλαδή σε καρτεσιανέςσυντεταγμένες ισχύει γijdx

idyj = dx2 + dy2 + dz2, ενώ σε σφαιρικές συντεταγμένεςισχύει γijdx

idyj = dr2 + r2(dθ2 + dϕ2). Η χρήση της μετρικής αυτής επιτρέπει στοανέβασμα και κατέβασμα των χωρικών δεικτών των μεταβλητών πχ. xi = γijx

jκαι

xi = γijxj. Επειδή χρησιμοποιούμε conformal χρόνο, η παράμετρος του Hubble αλ-λάζει αναλόγως. Ορίζουμε την conformal παράμετρο Hubble Hc = αH αφού dt = αdηως

Hc =1

α

dα

dη=α′

α(2.68)

Οι εξισώσεις που έχουμε για να βρούμε τις μεταβλητές που περιγράφουν το υπόβα-

θρο ενός επίπεδου Σύμπαντος είναι

Gµν = 8πGT µν (2.69)

∇µTµν = 0 (2.70)

Η εξ.2.69 προέρχεται από τις εξισώσεις υποβάθρου του Einstein ενώ η 2.70 από τηνδιατήρηση ενέργειας και ορμής. Ας δούμε τι πληροφορίες μας δίνουν αυτές οι εξισώσεις.Η εξίσωση 2.69 για µ = 0 και ν = 0 δίνει


G00 = 8πGT 0

0

−3H2c = −8πGα2

∑I

ρI

3H2c = 8πGα2

∑I

ρI

(2.71)

ενώ για µ = ν = i παίρνουμε

Gii = 8πGT ii

−2H ′c −H2c = 8πGα2

∑I

PI(2.72)

αφού ισχύει ότι T 00 = −ρ, T ij = P δij για ένα τέλειο ισοτροπικό ρευστό (Βλ. εξ.1.28).

Οι όροι για µ 6= ν δεν δίνουν κάτι αφού έχουμε ένα ομοιογενές και ισοτροπικό υπόβα-θρο. Το άθροισμα ως προς τον δείκτη I αποτελεί άθροισμα ως προς τις πυκνότητεςκαι πιέσεις όλων των ειδών ρευστών που υπάρχουν στο σύμπαν.Η εξίσωση 2.70 για ν = 0 θα δώσει για κάθε είδος ρευστού I

ρI′ + 3H2

c

(ρI + PI

)(2.73)

Αυτή η εξίσωση είναι η αντίστοιχη εξίσωση που βρήκαμε στην Νευτώνεια προσέγ-

γιση με την χρήση της εξίσωσης συνέχειας (Βλ. εξίσωση 2.33). Επίσης συμπίπτει μεότι βρήκαμε στο FRW συμπαν (εξ.1.34).

2.2.2 Βαθμωτές, Διανυσματικές συνιστώσες καιΤένσορες

Οι διαταραχές που θα αντιμετωπίσουμε στην συνέχεια θα είναι περίπλοκες για αυτό

θα προβούμε στον διαχωρισμό βαθμωτών, διανυσματικών συνιστωσών και τένσορων.Θα διαχωρίσουμε μια διαταραχή ενός τένσορα ή ενός τετραδιανύσματος σε ένα κομμάτι

χρόνου και ένα κομμάτι χώρου.΄Εστω ότι έχουμε μια διαταραχή ενός τετραδιανύσματος uµ(~r, η). Θα θεωρήσουμε

ότι ο όρος u0(~r, η) αποτελεί το χρονικό κομμάτι που είναι μια βαθμωτή συνιστώσα καιο όρος ui(~r, η) το χωρικό που είναι μια διανυσματική συνιστώσα. Το χωρικό κομμάτιμπορεί να διαχωριστεί όπως παρακάτω

ui(~r, η) = ∂iu(~r, η) + ui(~r, η) (2.74)


με την προυπόθεση ότι ∂iu(~r, η) = 0. Αν χτυπήσουμε το ui με ∂i από τα δεξιά και χρησι-μοποιώντας την πιο πάνω συνθήκη θα έχουμε ότι ∂iu(~r, η) = ∂2u(~r, η) και στον k-χώροFourier θα ισχύει ότι u = − i

k2kiui. Η συνθήκη που λάβαμε υπόψη έχει κάποια πολύ

σημαντικά αποτελέσματα. Χρησιμοποιώντας τους κανόνες των διανυσμάτων ισχύει ότιόταν η απόκλιση ενός διανύσματος είναι μηδέν μπορούμε να γράψουμε το διάνυσμα σαν

τον στροβιλισμό ενός άλλου διανύσματος Si, δηλαδή ui = (~∇× ~S)i. Αυτό καθιστά τοδιάνυσμα να έχει πλήρης διανυσματική φύση. Επιπλέον, η κατεύθυνση του διανύσμα-τος ui είναι κάθετη στο επίπεδο της κατεύθυνση του ∂

i. ΄Αρα βρίσκεται σε χώρο δύοδιαστάσεων αντί τριών. ΄Ετσι μπορούμε να γράψουμε ότι ui = u+mi + u−ni με τα u

+

και u− να είναι οι δύο πολικότητες του διαταραγμένου διανύσματος. Με άλλα λόγια τοδιάνυσμα ui περιέχει δύο διανυσματικές συνιστώσες.΄Αρα μπορούμε να διαχωρίσουμε ένα τετραδιάνυσμα σε δύο βαθμωτές συνιστώσες τις

u0 και u, και σε δύο διανυσματικές συνιστώσες ui όταν ισχύει η συνθήκη ∂iu(~r, η) = 0.΄Εστω τώρα ότι έχουμε ένα συμμετρικό τένσορα hµν ή διαφορετικά μια μετρική. Δι-

αχωρίζοντας τον όπως προηγουμένως θα έχουμε τρία κομμάτια το h00 που είναι μια βα-

θμωτή συνιστώσα το h0i που περιέχει μια βαθμωτή και δύο διανυσματικές συνιστώσεςκαι τον τένσορα hij που περιέχει 6 συνιστώσες. Τα h00 και h0i είναι οι τέσσερις

συνιστώσες που είχαμε στο πιο πάνω παράδειγμα. Αν πάρουμε το ίχνος του hijπαίρνουμε ότι γijhij = h η οποία είναι βαθμωτή συνιστώσα. Γράφοντας τον τένσοραπροσθέτωντας και αφαιρώντας τον όρο

13hγij έχουμε ότι

hij =1

3hγij + (hij −

1

3hγij)

=1

3hγij + xij

(2.75)

Ο πρώτος όρος περιέχει μια συνιστώσα, ενώ ο τένσορας xij περιέχει πέντε. Για ναισχύει ότι γijhij = h πρέπει αναγκαστικά γijxij = 0. Ας μην ξεχνάμε ότι γijγij = 3.Αν χτυπήσουμε τον xij με ∂

i∂j θα πάρουμε ∂i∂jhij − 13∂2h = (∂i∂j − 1

3∂2γij)hij.

Ορίζουμε τον τελεστή Dij ως

Dij = ∂i∂j − 1

3∂2γij (2.76)

ο οποίος έχει μηδενικό ίχνος γijDij = 0. Τον τένσορα μπορούμε να τον γράψουμε μετην ίδια φιλοσοφία που ακολουθήσαμε προηγουμένως.

xij = Dijν + βij (2.77)

με τον πρώτο όρο να περιέχει μια βαθμωτή συνιστώσα ν και τον τένσορα βij τέσσερις.Λαμβάνοντας υπόψη για το το ισχύει για τους υπόλοιπους τένσορες έχουμε ότι γijβij =


0. ΄Οπως και προηγουμένως πρέπει να ισχύει η συνθήκη ∂i∂jβij = 0. ΄Αρα ο βij δεν περ-ιέχει βαθμωτές συνιστώσες. Αλλά πρέπει να βρούμε πόσες διανυσματικές συνιστώσεςέχει. Θα υποθέσουμε ότι περιέχει δύο διανύσματα, για αυτό τον γράφουμε ως εξής

βij = ∂ifj + ∂jfi + hTij (2.78)

με τα fi να είναι διανύσματα. Αν χτυπήσουμε με τον γij θα πάρουμε ότι πρέπει 2∂if i =0 και γijhTij = 0 ξεχωριστά για να μην έχουμε μίξη διανυσματικών συνιστωσών μετένσορες. Αν επίσης προβούμε στην πιο κάτω ενέργεια

∂jβji = ∂j∂if

j + ∂2fi + ∂jhTji

= ∂i>

0∂jf

j + ∂2fi + ∂jhTji = 0

(2.79)

΄Αρα πρέπει να μηδενίζονται ξεχωριστά οι εναπομείναντες όροι ως εξής ∂2f i = 0 και∂jhTij = 0 ο οποίος εμπεριέχει τρεις συνθήκες. Ενώ ο γijhTij = 0 εμπεριέχει τέσσερις.΄Αρα ο διαταραχόμενος τένσορας hTij αποτελείται από δύο τένσορες.Συνοψίζοντας, η διαταραχόμενη μετρική hµν αποτελείται από τέσσερις βαθμωτές

συνιστώσες, τέσσερις διανυσματικές συνιστώσες και δύο τένσορες.

2.2.3 Καθορίζοντας τις Διαταραχές

Για να βρούμε τι δίνουν οι εξισώσεις του Einstein όταν εισάγουμε μικρές διαταραχέςστο υπόβαθρο του Σύμπαντος, πρέπει αρχικά να εισάγουμε μικρές διακυμάνσεις στηνμετρική gµν . Ανάπτυγμα Taylor σε πρώτη τάξη δίνει

gµν = gµν + δgµν (2.80)

με δgµν << gµν . Αφού ο όρος δgµν είναι πολύ μικρός μπορούμε να βρούμε τουςόρους Gµ

ν τις εξίσωσης του Einstein, βρίσκοντας πρώτα τα σύμβολα Christoffel Γµαβσε πρώτη τάξη. Ακολούθως υπολογίζοντας τον τανυστή Ricci Rµν και την βαθμωτήκαμπυλότητα R, μπορεί να βρεθούν οι όροι Gµν . Από αυτές τις εξισώσεις μπορούν ναεξαχθούν οι διαταραχόμενοι όροι δGµ

ν και εντέλει σχέσεις που περιγράφουν τον τρόπο

που εξελίσσονται οι διακυμάνσεις της πυκνότητας της ύλης δ = δρρστο πέρασμα του

χρόνου. Για να είναι ολοκληρωμένες όμως οι εξισώσεις του Einstein

Gµν = 8πGT µν

⇔Gµν + δGµ

ν =8πGT µν + 8πGδT µν

⇔ δGµν = 8πGδT µν


είναι εμφανές ότι πρέπει να υπολογίσουμε και τον τανυστή ενέργειας-ορμής T µν , πουκαι σ’ αυτόν θα εισάγουμε διακυμάνσεις.Οι διαταραγμένες λύσεις που θα πάρουμε θα είναι ένα σετ από γραμμικές μερικές

διαφορικές εξισώσεις. Για αυτό και θα κάνουμε μετασχηματισμούς Fourier όπως καιστην περίπτωση της νευτώνειας προσέγγισης. ΄Αρα

X(η, ~r) =

∫d3k

(2π)3ei~k·~rX(η,~k) (2.81)

΄Ομως θα συμβολίζουμε ~r ↔ xi, ~k ↔ ki, δηλαδή ~k · ~r = kixi, και ∂i ↔ iki. Φυσικά

ισχύει ότι ∂2 ↔ −k2 = −γijkikj.

2.2.4 Εύρεση της εξισώσης Einstein εισάγωνταςδιαταραχές

Προτού προχωρήσουμε πάρακάτω πρέπει να σημειώσουμε κάποιες προσεγγίσεις που

θα προβούμε. ΄Οταν διαχωρίσαμε τους διαταραχόμενες τένσορες σε προηγούμενο υπ-οκεφάλαιο, είχαμε δει ότι αποτελούνται από τέσσερις βαθμωτές, τέσσερις διανυσματικέςσυνιστώσες και δύο καταστάσεις τένσορα. ΄Ομως συνήθως οι διανυσματικές συνιστώσεςφθίνουν στο πέρασμα του χρόνου για αυτό και δεν είναι σημαντικές στην κοσμολογία.΄Ετσι θα τις αγνοούμε πλήρως. Επιπλέον θα αγνοήσουμε και τον τένσορα hTij στηνμετρική επειδή για τον σκοπό που χρειαζόμαστε τις διαταραχές δεν θα συνεισφέρει

κάτι. ΄Οσον αφορά τις τέσσερις βαθμωτές συνιστώσες, θα έχουμε μόνο δύο λόγω τηςνευτώνειας βαθμίδας που έχουμε επιλέξει.Θέλουμε να βρούμε τι δίνει η εξίσωση Gµ

ν = 8πGT µν , ή πιο συγκεκριμένα η δGµν =

8πGδT µν . Επειδή οι πράξεις είναι πιο εύκολες για τον υπολογισμό του τανυστή ενέργειας-ορμής, θα αρχίσουμε με εκείνον. Επειδή η ύλη σε ένα ομοιογενές και ισοτροπικό Σύμ-παν πρέπει να παίρνει την μορφή ενός τέλειου ρευστού, ο τανυστής ενέργειας-ορμήςτου υποβάθρου θα είναι

T µν = (ρ+ P )uµuν + P δµν (2.82)

ενώ η διαταραχή θα είναι το διαφορικό της πάνω εξίσωσης

δT µν = (δρ+ δP )uµuν + (ρ+ P ) [δuµuν + uµδuν ] + δPδµν + σµν (2.83)

Τα διανύσματα uµ είναι τετραταχύτητες οι οποίες είναι κανονονικοποιημένες: gµνuµuν =−1 και gµν u

µuν = −1. ΄Οπως παρατηρείται, στην διαταραχή συνεισφέρει και ο τανυστήςσµν που περιγράφει ανισοτροπικές (διατμητικές) τάσεις (anisotropic shear stress) στοβαρυτικό πεδίο του ρευστού, που δεν υπάρχουν στο ισοτροπικό υπόβαθρο Friedmann,αλλά εισάγονται σε διαταραχές 1ης τάξης. Πηγή αυτών των ανισοτροπικών τάσεων


μπορούν να είναι μαγνητικά πεδία, βαρυτικά κύματα καθώς και σχετικιστικά σωματίδιαπου δεν συγκρούονται κτλ. Μπορούμε να διαλέξουμε για αυτόν τον τανυστή να έχειμηδενικό χωρικό ίχνος σii = 0, αφού το ίχνος του μπορεί απορροφηθεί στην ισοτροπικήπίεση P . Επίσης μπορούμε να διαλέξουμε να είναι ορθογώνιος με το uµ, έτσι ώστεuνσµν = uµσ

µν = 0, και αυτό οδηγεί σε σ0

0 = σ0i = σi0 = 0 επειδή

σ0νu

ν = 0⇔ σ0νu

ν = σ00u

0 + σ0i u

i = σ00

1 + Ψ

α+>O(2)

σ0i

1

α∇i = 0 ⇒ σ0

0 = 0

και

σµi uµ = 0⇔ σµi uµ = σ0i u0 + σjiuj = σ0

i

1 + Ψ

α+>O(2)

σji1

α∇i = 0 ⇒ σ0

i = 0

Με αυτές τις απλοποιήσεις, είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε το δT µν . Προτού προ-χωρήσουμε όμως, χρειαζόμαστε την μετρική η οποία έχει την πάρακάτω μορφή

ds2 = −α2(1 + 2Ψ)dη2 + α2(1− 2Φ)γijdxidxj (2.84)

΄Η διαφορετικά

gµν = α2

(−(1 + 2Ψ) 0

0 (1− 2Φ)γij

)(2.85)

Με την αντίστροφη της να είναι

gµν =1

α2

(−(1− 2Ψ) 0

0 (1 + 2Φ)γij

)(2.86)

Λαμβάνοντας υπόψιν ότι η gµν περιγράφεται από την 2.67, τότε η δgµν είναι η

δgµν = α2

(−2Ψ 0

0 −2Φγij

)(2.87)

Κάτι που πρέπει να σημειώσουμε είναι ότι η διαταραχή της μετρικής επιλέγεται ελεύθερα

γι’ αυτό και δεν είναι μοναδική, αλλά αφορά κάτι που ονομάζεται Βαθμίδα Μετασχη-ματισμού. Εμείς διαλέξαμε συγκεκριμένα την Conformal Νευτώνεια Βαθμίδα, ούτοςώστε οι εξαγώμενες εξισώσεις να συμπίπτουν όσο γίνεται με αυτές που εξάγαμε με

την Νευτώνεια Θεωρία. ΄Οπως παρατηρείται έχουμε δύο δυναμικά, το Φ και το Ψ στηνΓενική Σχετικότητα. Για να προχωρήσουμε στην επίλυση της 2.83 πρέπει να δούμε πώς


μπορούμε να γράψουμε τους διαταραγμένους όρους της τετραταχύτητας δuµ. Αφούισχύει ότι gµνu

µuν = −1 τότε πολύ απλά θα ισχύει δ [gµνuµuν ] = 0. ΄Αρα

δ [gµνuµuν ] = δgµν u

µuν + gµνδuµuν +

:gνµu

νδuµ

gµν uµδuν

δgµν uµuν + 2gµνδu

µ = 0(2.88)

μπορούμε να υπολογίσουμε τα uµ και δuµ όπως ακολούθως Ισχύει ότι οι χωρικέςτετραταχύτητες υποβάθρου είναι μηδενικές: ui = 0, και αυτό συνεπάγει ότι g00u

0u0 +2giiu

iui = −α2(u0)2 = −1 και άρα u0 = 1α. Πιο συνοπτικά μπορούμε να γράψουμε

uµ = α−1δµ0 και uµ = αδ0µ . Χρησιμοποιώντας τα τελευταία αποτελέσματα και ότι

δg00 = −2α2Ψ στην εξ.2.88 βρίσκουμε ότι

δg00u0u0 + 2g00δu

0 = 0

−Ψ + αδu0 = 0

δu0 = Ψα−1

(2.89)

Και φυσικά ισχύει ότι δu0 = Ψα. Μπορούμε να ορίσουμε δui ≡ α−1∇iu και άραδui ≡ α∇iu. Συνοψίζοντας έχουμε

u0 = u0 + δu0 = α(1 + Ψ) και

ui = ui + δui = α∇iu(2.90)

ενώ

u0 = u0 + δu0 = α−1(1 + Ψ) και

ui = ui + δui = α−1∇iu(2.91)

Τώρα έχουμε όλες τις πληροφορίες για να βρούμε τις λύσεις της εξ.2.83. Για παράδειγμαθα υπολογίσουμε το δT 0

0 και δTij .

δT 00 = (δρ+ δP )

*−1u0u0 + (ρ+ P )

:0[

δu0u0 + u0δu0

]+ δP

71

δ00 +

70

σ00

= −δρ−δP +δP = −ρδ(2.92)

δT ij = (δρ+ δP )>

0uiuj + (ρ+ P )

[δui

0uj +

70

uiδuj

]+ δPδij + σij

= ρΠδij + σij = ρΠδij + (ρ+ P )(γikDkjσ + σ(T )ij )

= ρΠδij + (ρ+ P )(∂i∂jσ + σ(T )ij )

(2.93)


όπου ορίσαμε ότι Π = δPρκαι P = P + δP = ρ(w + Π). Παρομοίως βρίσκουμε τις

υπόλοιπες συνιστώσες του δT µν οι οποίες είναι:

δT 00 = −ρδ (2.94)

δT 0i = −ρ(1 + w)~∇iu (2.95)

δT i0 = ρ(1 + w)~∇iu (2.96)

δT ij = ρΠδij + (ρ+ P )(∂i∂jσ + σ(T )ij ) (2.97)

Τώρα είμαστε σε θέση να προχωρήσουμε στον υπολογισμό των δGµν ούτος ώστε

να έχουμε μια ολοκληρωμένη διαταραγμένη εξίσωση Einstein. Για να καταφέρουμε ναυπολογίσουμε τις συνιστώσες του δGµ

ν πρέπει πρώτα να βρούμε τα σύμβολα Christoffel,για τα οποία ισχύει

Γµαβ =1

2gµν(∂αgνβ + ∂βgνα − ∂νgαβ) (2.98)

Θα υπολογίσουμε σαν παράδειγμα τον όρο Γ00i:

Για gν0 6= 0, πρέπει ν = 0 (Ισχυεί γενικά ότι gµν 6= 0 για µ = ν).

Γ00i =

1

2g0ν(∂0gνi + ∂igν0 − ∂νg0i)

=1

2g00(∂0g0i + ∂ig00)

Αντικαθιστούμε τα στοιχεία της μετρικής και άρα έχουμε:

Γ00i =

−1

2α2(1− 2Ψ)[∂i(−α2(1 + 2Ψ))]

= (1− 2Ψ)2α2

2α2∂iΨ

Αν θεωρήσουμε ότι οι διακυμάνσεις που περιγράφονται από τα δυναμικά Ψ και Φ είναι

μικρές, τότε αγνοούμε όρους δεύτερης ή μεγαλύτερης τάξης και τότε παίρνουμε:

Γ00i ≈ ∂iΨ (2.99)

Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζονται και τα υπόλοιπα στοιχεία του Christoffel:

Γ000 = Hc + Ψ′ (2.100)

Γ00i = ∂iΨ (2.101)


Γi00 = γij∂jΨ (2.102)

Γ0ij = Hcγij − (Φ′ + 2Hc(Φ + Ψ))γij (2.103)

Γij0 = (Hc − Φ′)δij (2.104)

Γijk = −δik∂jΦ− δij∂kΦ + γjkγil∂lΦ (2.105)

Σημειώνουμε ότι ο συμβολισμός A′ = ∂A∂η. Στην συνέχεια πρέπει να υπολογιστεί ο

τανυστής Ricci Rµν

Rµν = ∂λΓλµν − ∂νΓλµλ + ΓλλρΓ

ρµν − ΓρµλΓ

λνρ (2.106)

Μετά από κάποιες πράξεις φθάνουμε στο αποτέλεσμα ότι

R00 = −3H ′c +∇2Ψ + 3Hc(Ψ′ + Φ′) + 3Φ′′ (2.107)

R0i = 2∂iΦ′ + 2Hc∂iΨ (2.108)

Rij =[H ′c + 2H2

c − Φ′′ +∇2Φ− 2(H ′c + 2H2c )(Ψ + Φ)−HcΨ

′ + 5HcΦ]γij

+ ∂i∂j(Φ−Ψ)(2.109)

Το τελευταίο βήμα που πρέπει να κάνουμε, για να είμαστε σε θέση να υπολογίσουμετα δGµ

ν , είναι να βρούμε την βαθμωτή καμπυλότητα R = gµνRµν , αφού

Gµν = Rµν −gµνR

2(2.110)

Υψώνοντας τον δείκτη µ χρησιμοποιώντας την ιδιότητα Gµν = gµαGαν , βρίσκουμε ότι

δG00 : 2∇2Φ− 6Hc(Φ

′ +HcΨ) = 8πGα2∑I

ρIδI (2.111)

δG0i : 2(Φ′ +HcΨ) = 8πGα2

∑I

(ρI + PI)uI (2.112)

δGii : Φ′′+HcΨ

′+2HcΦ′+(2H ′c+H

2c+

1

3∇2)Ψ−1

3∇2Φ = 4πGα2

∑I

ρIΠI (2.113)


i 6= j δGij : Φ−Ψ = 8πGα2

∑I

(ρI + PI)σI (2.114)

Για τον υπολογισμό του δGij δεν λάβαμε υπόψιν τον τένσορα σ

(T )ij , επειδή ενδιαφερ-

όμαστε για τις λύσεις που μας δίνουν οι βαθμωτές καταστάσεις και όχι οι καταστάσεις

που περιγράφονται από τους τένσορες. ΄Οπως θα παρατηρήσετε οι εξ.2.111-2.114 θυμί-ζουν πολύ την εξίσωση Poisson, μόνο που εδώ πηγή της βαρύτητας δεν είναι μόνο ηπυκνότητα (2.111), αλλά συνεισφέρουν οι ταχύτητες, οι πιέσεις των ρευστών καθώς καιη διατμητική τάση. Επιπλέον, τα δυναμικά εξαρτώνται μεν από τον χωρόχρονο, όμωςδεν μπορούμε να τους δώσουμε αρχικές συνθήκες, αλλά θα εξαρτώνται από τις αρχικέςσυνθήκες των μεταβλητών δ και u. Βεβαίως εξαρτώνται από την πυκνότητα της ύλης,αφού αν δεν υπάρχει κάπου ύλη τότε θα ισχύει ότι ∇2Φ = ∇2Ψ = 0. Αυτό φαίνεταιπολύ καλά στην εξίσωση που εξάγεται συνδυάζοντας τις 2.112 και 2.113:

∇2Φ = 4πGα2∑I

ρI [δI + 3Hc(1 + wI)uI ] (2.115)

και για το δυναμικό Ψ από την εξ.2.114, αφού ∇2σI = 0.Τέλος, για να εμφανίσουμε τις εξισώσεις εξέλιξης του δ και του u για κάθε είδους

ρευστό, πρέπει να επιβάλουμε διατήρηση ενέργειας και ορμής υπό την επίδραση τηςβαρύτητας.

∇µTµν = 0

⇔ ∂µTµν + ΓµµαT

αν − ΓαµνT

µα = 0

(2.116)

Η αντίστοιχη σχετικιστική εξίσωση συνέχειας βρίσκεται για ν = 0

δ′ = 3Hc(wδ − Π) + (1 + w)(∇2u+ 3Φ′) (2.117)ενώ για ν = i έχουμε την αντίστοιχη σχετικιστική εξίσωση Euler

u′ = −Hc(1− 3w)u− w′

(1 + w)u+

1

1 + wΠ +

2

3∇2σ + Ψ (2.118)

Μόνο το δ και το u είναι δυναμικές μεταβλητές, δηλαδή αυτές που εξαρτώνται μόνοαπό τον χρόνο και τον χώρο. ΄Ομως οι μεταβλητές Π και σ πρέπει να καθοριστούν γιανα επιλυθούν οι εξισώσεις. Η μεταβλητή Π καθορίζεται από μια καταστατική εξίσωση,ενώ η σ καθορίζεται από την εξίσωση Boltzmann. Κάποιες ειδικές περιπτώσεις είναι

• για ύλη χωρίς πίεση, όπως η Κρύα Σκοτεινή ΄Υλη (CDM) και τα Βαρυόνια ισχύειότι Π = 0 και σ = 0.

• για σχετικιστικά πεδία, όπως αυτά των φωτονίων και των άμαζων νετρίνων ισχύειότι Π = δ/3.


2.2.5 Εξέλιξη των δυναμικών για τα ρευστά με

μηδενική διατμητική τάση

Για αρχή θα θεωρήσουμε ότι έχουμε ένα είδος ρευστού, και όχι την ρεαλιστική περίπτωσηπου έχουμε όλα τα είδη ρευστών στο Σύμπαν, για να αποφύγουμε την περιπλοκότητα.Επιπλέον θεωρούμε ότι το w =σταθερά και ισούται με την ταχύτητα του ήχου w = c2

s,έτσι ώστε Π = wδ. Αυτή η περίπτωση είναι συμβατή με αυτή της ακτινοβολίας καιτης ύλης με μηδενική πίεση. Τέλος θεωρούμε ότι η διατμητική τάση είναι αμελητέα άρασ = 0, που είναι πολύ καλή προσέγγιση στις περιπτώσεις αυτές. Από την εξ.2.114 αν μη-δενιστεί ο όρος σ, φαίνεται ότι ισχυεί Φ = Ψ για κάθε ρευστό. Και αφού ασχολούμαστεμε ένα ρευστό κάθε φορά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την σχέση H2 = 8πGρ/3.Συνδυάζοντας την με την εξ. 2.68 μπορούμε να αντικαταστήσουμε την πυκνότητα υπ-οβάθρου με ρ = 3Hc/8πGα

2στις υπόλοιπες εξισώσεις του Einstein. Η εξ.2.111 δίνει

−2k2Φ− 6Hc(Φ′ +HcΦ) = 3H2

c δ (2.119)

ενώ η εξ.2.115 δίνει

−k2Φ =3

2H2c [δ + 3Hc(1 + w)u] (2.120)

και τέλος η εξ. 2.113 γίνεται

Φ′′ + 3HcΦ′ + (2H ′c +H2

c )Φ =3

2H2cwδ (2.121)

Αν αντικαταστήσουμε τον όρο 3H2c δ χρησιμοποιώντας την εξ.2.119 στην εξ.2.121,

τότε

Φ′′ + 3Hc(1 + w)Φ′ + wk2Φ = 0 (2.122)

Θα βρούμε τις λύσεις αυτών των εξισώσεων για δύο περιπτώσεις: για κλίμακεςsuper-horizon και sub-horizon. Για κλίμακες super-horizon, δηλαδή όταν το μήκοςκύματος λ = 2π/k που έχει η ταλαντευόμενη διαταραχή είναι πολύ μεγαλύτερο από τομήκος του ορίζοντα (δηλαδή το μέγεθος του σύμπαντος) που είναι ανάλογο του 1

Hcθα

ισχύει ότι λ >> 1/Hc και άρα

k << Hc , συνθήκη για super-horizon κλίμακες (2.123)

Για κλίμακες sub-horizon φυσικά και ισχυεί το αντίθετο, δηλαδή το μήκος κύματοςείναι εντός του ορίζοντα.

k >> Hc , συνθήκη για sub-horizon κλίμακες (2.124)


΄Ομως επειδή το Σύμπαν μεγαλώνει με τον χρόνο, δηλαδή ο ορίζοντας αυξάνεται αφούτοHc μειώνεται, μια καθορισμένη κατάσταση που έχει ένα συγκερκιμένο k-κυματαριθμόμπορεί στην αρχή να βρίσκεται έξω από τον ορίζοντα και στο πέρασμα του χρόνου να

βρεθεί εντός. Για την περίπτωση που ισχύει η σχέση 2.123 τότε ο τελευταίος όρος τηςεξ.2.122 θα γίνει αμελητέος σε σύγκριση με τους υπόλοιπους και τότε έχουμε

Φ′′ + 3Hc(1 + w)Φ′ = 0 (2.125)

και φυσικά η λύση θα είναι

Φ(~k, η) = A(~k) +B(~k)α−3(1+w) (2.126)

με τους συντελεστές A και B να είναι σταθερές στον χρόνο. ΄Ομως, ο όρος Bα−3(1+w),μειώνεται με τον χρόνο αφού το α αυξάνεται και το w είναι σταθερό, άρα μπορούμε νατον αγνοήσουμε. Και τότε θα έχουμε την περίπτωση που το Φ θα είναι σταθερό ωςπρος τον χρόνο για super-horizon κλίμακες

Φ(~k, η) = Φsup(~k) (2.127)

θέσαμε το A = Φsup γιατί είναι ειδική περίπτωση. Σημειώνουμε ότι οι αρχικές συν-θήκες που επιβάλλει ο πληθωρισμός

1, καθιστά το δυναμικό στις superhorizon κλί-μακες να είναι όχι μόνο σταθερό ως προς τον χρόνο αλλά και ως προς τον χώρο k,⇒ Φsup(~k, η) = Φsup. Αυτό βέβαια δεν συμβαίνει για τις subhorizon κλίμακες. Τώραείμαστε σε θέση να βρούμε πως συμπεριφέρεται το δ σε αυτή την κλίμακα χρησιμοποιών-τας την 2.119. Χρησιμοποιώντας ότι k2 << H2

c , θα έχουμε ότι

δsup(~k, η) = −2Φsup(~k) (2.128)

΄Οπως φαίνεται το δ είναι σταθερό στο πέρασμα του χρόνου και αυτό δίνει πολύσημαντικά αποτελέσματα. Ας δούμε τώρα τι γίνεται με την ταχύτητα χρησιμοποιώνταςτην εξ.2.120. Αγνοώντας και πάλι τον όρο k2

θα έχουμε ότι

usup(~k, η) =2

3(1 + w)Hc

Φsup(~k) (2.129)

και είναι ολοφάνερο ότι η ταχύτητα εξαρτάται από τον χρόνο, αφού εξαρτάται από τοHc, και συγκεκριμένα αυξάνεται στο πέρασμα του χρόνου. Το Hc μπορούμε να το

βρούμε από την εξ. Friedmann Hc = 2(1+3w)η

και άρα

usup(~k, η) =1 + 3w

3(1 + w)Φsup(~k)η (2.130)

1Συνηθίζουμε να γράφουμε A(η,~k) = ξ(~k)A(η, k) όπου το ξ(~k) καθορίζει τις αρχικές συνθήκες

του πληθωρισμού.


Καθώς το η → 0 η ταχύτητα του ρευστού θα γίνεται u → 0. Δηλαδή καθώςπλησιάζουμε την στιγμή του Big Bang οι αρχικές συνθήκες για την ταχύτητα θα είναιusup,0 ∼ 0. Επίσης οι διαταραχές της πυκνότητας θα παραμένουν πεπερασμένες καθώςπλησιάζουμε το Big Bang, ακόμα και αν η πυκνότητα υποβάθρου μηδενίζεται.Επιπλέον, η λύση Φsup =σταθερά ισχύει για τις μη σχετικιστικές μάζες για όλες

τις κλίμακες, δηλαδή Φsup = Φsub =σταθερά. Αυτό είναι αληθές επειδή αν θέσουμεστην 2.122 το w = 0 θα έχει το ίδιο αποτέλεσμα με την 2.125. Για να ελέγξουμεότι Φsub =σταθερά είναι όντως συμβατό με τα λεγόμενα μας, θα ασχοληθούμε μετην περίπτωση ενός ρευστού χωρίς πίεση, δηλαδή w = Π = σ = 0, για sub-horizonκλίμακες(k2 >> H2

c ). Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις ρευστών 2.117 και 2.118 καιαντικαθιστώντας Φ′ = 0 έχουμε

δ′ = −k2u (2.131)

και

u′ = −Hcu+ Φ (2.132)

Αν κάνουμε τον μετασχηματισμό στον κοσμικό χρόνο t θα δούμε ότι αυτές οι εξισώσειςείναι όμοιες με τις νευτώνειες εξισώσεις 2.51 και 2.52. Αντικαθιστούμε το Φ = σταθ.στην εξίσωση 2.119 και ότι βρισκόμαστε σε sub-horizon κλίμακες και τότε παίρνουμεότι

δ = − 2k2

3H2c

Φ (2.133)

Για την εποχή που επικρατεί η ύλη ισχύει ότι Hc = 2

(1+3>0

w)η= 2

ηκαι επίσης η2 = t2/α2.

΄Ομως επειδή α ∝ t2/3 έχουμε ότι η2 ∝ α3/α2 = α και άρα

δ = −k2η2

6Φ ∝ α (2.134)

Το οποίο αποτέλεσμα είναι πλήρες συμβατό με την λύση που βρήκαμε στην Νευτώνεια

προσέγγιση (εξ.2.60). Ας μελετήσουμε την περίπτωση τις ακτινοβολίας δηλαδή w =1/3. Η εξ. 2.122 θα γίνει

Φ′′ + 4HcΦ′ +

k2

3Φ = 0 (2.135)

η οποία είναι εξίσωση ταλαντωτή με απόσβεση (όρος 4HcΦ′). Για κλίμακες sub-horizon,

δηλαδή όταν k > Hc περιμένουμε ότι το δυναμικό θα ταλαντώνεται με φθίνων πλάτος.Είναι η αντίστοιχη περίπτωση που είχαμε στην περίπτωση του Νευτώνειου ρευστού

για το μήκος Jean: λ < λJ . Αν το δούμε προσεκτικά ισχύει ότι λJ = 1/Hc, δηλαδήτο μήκος Jean στην περίπτωση της ακτινοβολίας είναι ο ίδιος ο ορίζοντας. ΄Αρα δενυπάρχει περίπτωση το λ > λJ για την περίπτωση της ακτινοβολίας και περιμένουμε ότιη διαφορική ενεργειακή πυκνότητα δr θα ταλαντώνεται και θα φθίνει γρήγορα.


2.2.6 Εξισώσεις για ρευστό που περιλαμβάνει ύλη και ακ-

τινοβολία

Τώρα είμαστε σε θέση να συνδυάσουμε τα διάφορα είδη ρευστών σε μία εξίσωση. Θαασχοληθούμε όμως μόνο με την ύλη χωρίς πίεση και την ακτινοβολία. Μπορούμε ναθεωρήσουμε ότι συμπεριλαμβάνουμε και την κοσμολογική σταθερά, απλώς δεν συνεισ-φέρει κάτι στις διαταραχές αφού είναι σταθερά. Επίσης αγνοούμε την διατμητική τάσησ επειδή είναι πολύ μικρή για αυτές τις περιπτώσεις. Πάμε πίσω στις εξισώσεις τουEinstein, πρώτα θα έχουμε ότι Ψ = Φ. Χρησιμοποιώντας την σχέση 2.115 θα έχουμεότι

−k2Φ = 4πGα2 [ρm (δm + 3Hc(1 + wm)um) + ρr (δr + 3Hc(1 + wr)ur)] (2.136)

Επειδή wm = 0 και wr = 1/3 θα έχουμε ότι

Φ = −4πGα2

k2[ρm (δm + 3Hcum) + ρr (δr + 4Hcur)] (2.137)

Η σχέση 2.112, επειδή Pm = 0 και Pr = ρ/3, δίνει

Φ′ +HcΦ = 4πGα2

(ρmum +

4

3ρrur

)(2.138)

Οι εξισώσεις των ρευστών (2.117-2.118) για μάζα χωρίς πίεση (Πm = wm = 0) θαδώσουν

δ′m = −k2um + 3Φ′ (2.139)

u′m = −Hcum + Φ (2.140)

ενώ για την περίπτωση της ακτινοβολίας (Πr = δr/3 και wr = 1/3) παίρνουμε

δ′r = −4

3k2ur + 4Φ′ (2.141)

u′r =1

4δr + Φ (2.142)

Οι λύσεις αυτών των εξισώσεων είναι αυτές που βρήκαμε στο προηγούμενο υποκε-

φάλαιο για ένα ρευστό. Δηλαδή για super-horizon κλίμακες ισχύει ότι Φsup = σταθ,αλλά η σχέση δ = −2Φsup ισχύει για την ολική διαφορική ενεργειακή πυκνότητα. Για


εποχή ακτινοβολίας εποχή ύλης

superhorizon subhorizon superhorizon subhorizon

Φ σταθερά φθίνουσα ταλάντωση σταθερά σταθερά

δm σταθερά σταθερά + lnα σταθερά η2

um η φθίνων η η

δr σταθερά φθίνουσα ταλάντωση σταθερά φθίνουσα ταλάντωση

Πίνακας 2.1: Σύνοψη των λύσεων για τα δυναμικά, για τις πυκνότητες της ακτινοβολίαςκαι την ύλης καθώς και για την ταχύτητα της ύλης κατά την διάρκεια διάφορων εποχών

ως προς τον χρόνο

αδιαβατικές αρχικές συνθήκες δίνεται ότι (Gordon, “Adiabatic and entropy perturba-tions in cosmology”)

δm =3

4δr (2.143)

Κατά την εποχή που επικρατεί η ύλη έχουμε ότι δ ≈ δm, άρα

δm = −2Φsup και δr = −8

3Φsup (2.144)

ενώ για την εποχή που επικρατεί η ακτινοβολία ισχύει ότι δ ≈ δr, άρα

δr = −2Φsup και δm = −3

2Φsup (2.145)

Για sub-horizon κλίμακες παρόλο που οι λύσεις διαφέρουν, είναιι συμβατές με αυτέςπου βρήκαμε στην Νευτώνεια προσέγγιση. Στην αλήθεια για ρευστά χωρίς πίεση τομήκος Jean είναι αμελητέο λJ ≈ 0 και άρα όλες οι καταστάσεις k θα είναι μικρότερεςαπό τον κυματαριθμό Jean, k < kJ . ΄Αρα οι λύσεις που περιγράφουν οι εξισώσεις 2.60και 2.63 είναι αληθείς. Για την εποχή που επικρατεί η ύλη έχουμε ότι

δm ∝ α ∝ η2 (2.146)

ενώ για την εποχή που επικρατεί η ακτινοβολία ισχύει ότι

δm ∝ σταθ + lnα ∝ σταθ + ln η (2.147)


Σχήμα 2.1: Διάγραμμα της χρονικής εξέλιξης του δυναμικού Φ για διαφορετικές k-καταστάσεις. Κάθε κατάσταση ki εισέρχεται στον ορίζοντα σε διαφορετική στιγμήηi. Το δυναμικό είναι σταθερό για όλα τα k στις superhorizon κλίμακες, ενώ όσαεισέλθουν στον ορίζοντα αρχίζουν να φθίνουν. Σε εποχή ακτινοβολίας το δυναμικόεκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, ενώ σε εποχή ύλης το δυναμικό είναι σταθερό. ΄Οσεςκαταστάσεις εισέλθουν κοντά στην εποχή που ρm = ρr (διακεκομμένη γραμμή), τοδυναμικό εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση μέχρι ως ότου η ύλη να υπερισχύσει έναντι της

ακτινοβολίας.

Στον πίνακα 2.1 συνοψίζουμε τις λύσεις των δυναμικών, της πυκνότητα της ύλης καιτης ακτινοβολίας, όπως και της ταχύτητας της ύλης, τις οποίες θα χρησιμοποιούμεπολύ συχνά για την περαιτέρω εξήγηση της δομής του πρώιμου σύμπαντος όπως αυτή

περιγράφεται από την εικόνα που μας δίνει το Cosmic Microwave Background το οποίοθα μελετήσουμε στο επόμενο κεφάλαιο.

2.3. Δομή σωματιδίων στο Πρώιμο Σύμπαν 72

Σχήμα 2.2: Σχηματικό διάγραμμα για τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των φωτονίων, ηλεκ-τρονίων και βαρυονίων κατά την διάρκεια της ισχυρής σύνδεσης και της αποσύνδεσης

2.3 Δομή σωματιδίων στο Πρώιμο Σύμπαν

Μέχρι τώρα είδαμε την κοσμολογική θεωρία των διαταραχών, και είμαστε σε θέσηπλέον να μιλήσουμε για την φυσική σημασία της. Υπενθυμίζουμε ότι για ρευστά ύληχωρίς πίεση, όταν βρίσκονται μέσα στον ορίζοντα (sub-horizon κλίμακες) την εποχήπου επικρατεί η ακτινοβολία, οι διακυμάνσεις της πυκνότητας εξελίσσονται λογαριθμικά(2.147), ενώ την εποχή που επικρατεί η ύλη αυξάνονται συνάρτηση του τετραγώνου του(comoving) χρόνου (2.146). ΄Εξω από τον ορίζοντα όμως (super-horizon κλίμακες) τοδm παραμένει σταθερό συνάρτηση του χρόνου όπως περιγράφουν οι εξ.2.144 και 2.144για όλες τις εποχές.Αξιοσημείωτο είναι το γεγονός ότι μια συγκεκριμένη κατάσταση-k αρχικά βρίσκεται

έξω από τον ορίζοντα (k < H(η) ⇒ k < 1/η) και στο πέρασμα του χρόνου υπάρχειμία στιγμή ηh που εισέρχεται μέσα στον ορίζοντα(k = H(ηh) ⇒ k = 1/ηh). ΄Αρα γιαένα ρευστό, η κατάσταση k στην οποία βρίσκεται καθορίζει την χρονική στιγμή πουθα εισέλθει στον ορίζοντα. ΄Αρα κάποια κατάσταση k1 μπορεί να εισέλθει μέσα στον

ορίζοντα την στιγμή ηh,1 κατά την οποία επικρατεί η ακτινοβολία, ενώ κάποια άλληκατάσταση k2 να εισέλθει στον νέο ορίζοντα την στιγμή ηh,2 κατά την οποία μπορεί ναεπικρατεί η ύλη. ΄Αρα οι διαταραχές της κάθε κατάστασης k θα εξελιχθούν διαφορετικάστο πέρασμα του χρόνου. Με την πρώτη κατάσταση να είναι αρχικά σταθερή για η <ηh,1 (έξω από τον ορίζοντα την εποχή της ακτινοβολίας) στην συνέχεια να εξελίσσεταιλογαριθμικά (μέσα στον ορίζοντα την εποχή της ακτινοβολίας) και τέλος συνάρτηση


1 10 100 1000 104

10-2

0.1

1

η

δ

Σχήμα 2.3: Η εξέλιξη της απόλυτης τιμής των διακυμάνσεων της πυκνότητας των φω-τονίων δr συνάρτηση του χρόνου η(Mpc), για διαφορετικές τιμές κυματαριθμών-k πουενδεικνύονται με διαφορετικό χρώμα. Κάθε κυματαριθμός εισέρχεται σε διαφορετικόχρόνο ηH μέσα στον κοσμικό ορίζοντα (την στιγμή που σταματά το δr να είναι ίσο μεσταθερά).

του α (μέσα στο ορίζοντα την εποχή της ύλης). Η δεύτερη κατάσταση τώρα, αρχικά θαείναι σταθερή καθ’ όλη την διάρκεια που είναι έξω από τον ορίζοντα (πρώτα στην εποχήτης ακτινοβολίας και μετέπειτα στην εποχή της ύλης για η < ηh,2) και μόλις εισέλθειστον ορίζοντα θα αρχίσει να μεγαλώνει συνάρτηση του α (εποχή της ύλης). Αυτή ησυμπεριφορά της ύλης είναι παρατηρήσιμη για το ρευστό Κρύας Σκοτεινής ΄Υλης το

οποίο έχει απολύτως μηδενική πίεση(Σχήμα 3.2(b)).Η εικόνα των βαρυονίων όμως είναι λίγο διαφορετική. Παρόλο που τα βαρυόνια

του υποβάθρου έχουν μηδενική πίεση, αυτό παύει να ισχύει όταν εισάγουμε διακυμάν-σεις. Για να δούμε γιατί συμβαίνει αυτό, πρέπει να σκεφτούμε από τι αποτελούνται ταβαρυόνια. Οι λίθοι δομής τους είναι τα quarks, και πιο συγκεκριμένα αποτελούνται απότον συνδυασμό 3 quarks. Υπάρχουν πολλά είδη βαρυονίων, όμως το πρώιμο Σύμπαναποτελείτο κυρίως από άτομα Υδρογόνου και Ηλίου. Με λίγα λόγια, τα βαρυόνια στοπρώιμο σύμπαν αποτελούνται κυρίως από πρωτόνια και πυρήνες Ηλίου (πρωτόνια και


νετρόνια), τα οποία σωματίδια είναι φορτισμένα και άρα αλληλεπιδρούν μέσω ηλεκτρο-μαγνητικών δυνάμεων. Αυτό σημαίνει ότι τα βαρυόνια αλληλεπιδρούν με τα φωτόνιατα οποία είναι οι φορείς των ηλεκτρομαγνητικών δυνάμεων. Στην κοσμολογία λέμεότι τα βαρυόνια είναι "συνδεδεμένα" (coupled) με τα φωτόνια. ΄Οσο πιο υψηλή είναι ηθερμοκρασία του Σύμπαντος τόσο πιο ισχυρή είναι αυτή η σύνδεση. Η θερμοκρασίαβέβαια εξαρτάται από την πυκνότητα των φωτονίων και αυτή των βαρυονίων. Στοπρώιμο σύμπαν η θερμοκρασία ήταν υψηλή και τα βαρυόνια ήταν ιονίσμενα. Αυτή τηνπερίοδο τόσο τα βαρυόνια όσο και τα ηλεκτρόνια αλληλεπιδρούσαν με τα φωτόνια μέσω

σκέδασης Compton (ή και σκέδαση Thomson), ενώ τα βαρυόνια ήταν επίσης ισχυράσυνδεδεμένα (tight-coupled) με τα ηλεκτρόνια αφού αλληλεπιδρούσαν μέσω σκέδασηςRutherford και σκέδασης Coulomb. Ενώ η σκέδαση Compton εξαρτάται από τηνθερμοκρασία και όταν κρυώσει αρκετά το σύμπαν σε κάποια χρονική στιγμή θα στα-

ματήσει να λαμβάνει χώρα, η σκέδαση Rutherford συνεχίζει για όλη την ιστορία τουΣύμπαντος. Αυτό σημαίνει ότι τα ηλεκτρόνια και τα βαρυόνια είναι συνεχώς ισχυράσυνδεδεμένα μεταξύ τους και μπορούμε να υποθέσουμε ότι ub = ue. Η ενεργός δι-ατομή της σκέδασης Compton τώρα, είναι αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου τηςμάζας του σωματιδίου με το οποίο λαμβάνει χώρα. Δηλαδή για τα βαρυόνια έχουμεότι |Mb|2 ∼ 1/m2

b και για τα ηλεκτρόνια |Me|2 ∼ 1/m2e. Η μάζα όμως των βαρυονίων

είναι πολύ μεγαλύτερη των ηλεκτρονίων mb >> me και άρα |Me|2 >> |Mb|2. Επι-πλέον, επειδή θεωρούμε ότι τα βαρυόνια και τα ηλεκτρόνια είναι ισχυρά συνδεδεμέναμπορούμε να τα αντιμετωπίζουμε σαν ένα ρευστό και άρα η συνολική ενεργός διατομή

του |M |2 ∼ 1(m2

b+m2e)θα είναι προσεγγιστικά ανάλογη του ∼ 1/m2

e. Από εδώ και στοεξής, όποτε αναφερόμαστε στα ηλεκτρόνια σημαίνει ότι αναφερόμαστε και στα βαρυό-νια ταυτόχρονα. Αυτό καθιστά πιο εύκολους τους υπολογισμούς επειδή το μόνο πουχρειάζεται είναι να βρούμε πώς εξελίσσονται τα ηλεκτρόνια.Την περίοδο όπου τα φωτόνια ήταν ισχυρά συνδεδεμένα με τα ηλεκτρόνια, αντάλ-

λαζαν ορμή μεταξύ τους καθιστώντας τα ηλεκτρόνια (και τα βαρυόνια) να κινούνται μεσχετικιστικές ταχύτητες. Αν θυμηθούμε το μήκος Jean, για τα φωτόνια ή αλλιώς ακ-τινοβολία έχουμε ότι λJ,γ = 1/H. Αλλά αφού τα ηλεκτρόνια και τα βαρυόνια κινούνταισχεδόν με την ταχύτητα του φωτός καθιστούν την ταχύτητα ήχου που τα χαρακτηρίζει

να ισούται με cs = c. Αυτό καθιστά απευθείας το μήκος Jean να ισούται με τον ορίζονταόπως ισχύει με τα φωτόνια. ΄Ετσι η πίεση των βαρυονίων γίνεται σημαντική, δηλαδήδεν έχουν μηδενική πίεση, όπως ίσχυε στο υπόβαθρο, αυτή την περίοδο. ΄Ομως, καθώςαρχίζει το σύμπαν να κρυώνει, έρχεται η στιγμή που τα φωτόνια δεν αλληλεπιδρούνπλέον με το ρευστό ηλεκτρονίων-βαρυονίων. Αυτή η στιγμή ονομάζεται "αποσύνδεση"(decoupling) στην κοσμολογία. Από την στιγμή που αποσυνδεθούν τα βαρυόνια απότα φωτόνια σταματούν να κινούνται με την ταχύτητα του φωτός και γίνονται μη σχετικ-

ιστικά με την ταχύτητα του ήχου τους να τείνει στο μηδέν cs → 0, όπως και το μήκος


Jean. Από αυτή την περίοδο και μετά συμπεριφέρονται πλέον σαν σωματίδια με μηδενικήπίεση.Για να δούμε τώρα πώς ακριβώς εξελίσσονται τα βαρυόνια για μια κατάσταση k

(Σχήμα 2.4(b)). Στο πρώιμο σύμπαν είπαμε ότι έχουμε την ισχυρή σύνδεση μεταξύτου ρευστού ηλεκτρονίων-βαρυονίων και των φωτονίων. Για τα βαρυόνια εκείνη τηνπερίοδο ισχύει ότι έχουν w > 0 και ο κυματαριθμός Jean είναι kJ,b = H. Η εξίσωση πουπεριγράφει πώς θα εξελίσσονται χρονικά είναι η 2.122 (όπως είχαμε για την περίπτωσητης ακτινοβολίας-εξ.2.135), η οποία περιγράφει ταλαντωντή με απόσβεση. Φυσικά γιαsuper-horizon κλίμακες, τόσο στην περίοδο της ακτινοβολίας, όσο και στην περίοδοτης ύλης το δb θα περιγράφεται τις γνωστές εξισώσεις (όπως ισχύει και για τα φωτόνιαάλλωστε), δηλαδή θα είναι σταθερή. Μόλις εισχωρήσουν τα βαρυόνια μέσα στον ορί-ζοντα, θα ισχύει ότι k > kJ,b (sub-horizon) και τότε το δb θα ταλαντώνεται με φθίνωνπλάτος. Αυτό θα ισχύει μέχρι την στιγμή που λάβει χώρα η αποσύνδεση. Τότε θαπαύει το μήκος Jean να ισούται με τον ορίζοντα, αλλά θα ισχύει ότι το νέο kJ,b > H,και επειδή η ταχύτητα cs θα μειώνεται στο πέρασμα του χρόνου, το kJ,b θα συνεχίζει ναμεγαλώνει. Θα έλθει μια στιγμή που πλέον το k < kJ,b και τότε το δb θα αρχίσει να εξ-ελίσσεται όπως οι μάζες με μηδενική πίεση, αφού cs = 0 (Μην ξεχνάτε ότι βρισκόμαστεμέσα στον ορίζοντα, δηλαδή ότι συνεχίζει να ισχύει k > H).


(a) δc = f(η) (b) |δb| = f(η)

Σχήμα 2.4: Το διάγραμμα (a) δείχνει την εξέλιξη της ύλης χωρίς πίεση και συγκεκριμένατης κρύας σκοτεινής ύλης, στο πέρασμα του χρόνου για διαφορετικές k-καταστάσεις.Το διάγραμμα (b) δείχνει την ανάλογη εξέλιξη των βαρυονίων. Είναι εμφανές ότιλόγο της ισχυρής σύνδεσης των βαρυονίων με τα φωτόνια, το δb δεν συμπεριφέρεταιόπως αυτή της ύλης, αλλά είναι ανάλογη της ακτινοβολίας δr, μέχρι την στιγμή τηςαποσύνδεσης. Κάθε κατάσταση ki εισχωρεί στον ορίζοντα σε διαφορετική στιγμή ηi.Η διακεκομμένη γραμμή αντιπροσωπεύει την στιγμή που ρr = ρm.

Κεφάλαιο 3

Cosmic Microwave Background

Το Cosmic Microwave Background (CMB) ή αλλιώς η Κοσμική Ακτινοβολία Μικροκυ-μάτων Υπόβαθρου, αποτελεί μια ηχώ της Μεγάλης ΄Εκρηξης (Big Bang). Είναι μιαεικόνα του πρώιμου Σύμπαντος την οποία μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ούτος ώστε

να κατανοήσουμε τι έγινε μετά το Big Bang.Η θεωρία του Big Bang συνιστά ότι το πρώιμο σύμπαν είχε κάποτε πολύ μεγάλη

θερμοκρασία. Και φυσικά γνωρίζετε ότι ένα θερμαινόμενο σώμα συμπεριφέρεται σαν έναμέλαν σώμα, δηλαδή εκπέμπει θερμική ακτινοβολία. ΄Αρα το σύμπαν μας θα έπρεπε ναεκπέμπει τέτοιου είδους ακτινοβολία αν πρέπει να συμφωνεί με την θεωρία της Μεγάλης

΄Εκρηξης. ΄Ομως όταν κοιτάζετε τον ουρανό, βλέπετε το απόλυτο σκοτάδι. Παρόλααυτά, στο πρώιμο σύμπαν ο ουρανός δεν ήταν σκοτεινός αλλά είχε πορτοκαλί χρώμαεπειδή η υψηλή θερμοκρασία που είχε καθιστούσε το θερμικό του φάσμα να έχει μήκος

κύματος στην περιοχή του ορατού φάσματος. Ο λόγος που σήμερα βλέπετε τον ουρανόσκοτεινό είναι επειδή το σύμπαν διαστέλλεται, και το μήκος κύματος του φωτός έχειμετατοπιστεί στο ερυθρό, καθιστώντας το σήμερα να βρίσκεται στην τάξη του μήκουςκύματος των μικροκυμάτων. Η τωρινή θερμοκρασία του σύμπαντος είναι 2.725K, κατάτην οποία το φάσμα μέλαν σώματος συμπίπτει ακριβώς με το γεγονός ότι παρατηρούμε

μικροκύματα.Αυτά τα μικροκύματα αποτελούν το ομοιόμορφο Υπόβαθρο της Κοσμικής Ακτι-

νοβολίας Μικροκυμάτων, γι’ αυτό όπου και αν κοιτάξετε στον ουρανό θα παίρνετε τοίδιο σήμα. Με αυτό τον τρόπο ακριβώς είχε ανακαλυφθεί από τους Penzias καιWilsonοι οποίοι έψαχναν μικροκύματα που προέρχονταν από τον γαλαξία μας. Συνειδητοποίη-σαν ότι σε όποια κατεύθυνση και αν έστρεφαν την αντέννα, ανίχνευαν τον ίδιο ακριβώς"θόρυβο". Ο θόρυβος αυτός δεν ήταν τίποτα άλλο από το CMB.Το CMB με λίγα λόγια αποτελείται από θερμική ακτινοβολία η οποία προήλθε

από την στιγμή που τα φωτόνια ελευθερώθηκαν από το πλάσμα (decoupling), όταν οι

77

3.1. Τα φωτόνια στο Πρώιμο Σύμπαν 78

συνθήκες θερμοκρασίας δεν ήταν ιδανικές για να λαμβάνει χώρα η σκέδαση Compton.Συγκεκριμένα, παρατηρείται ότι είχε συμβεί κατά την διάρκεια της δημιουργία ατόμωνυδρογόνου (recombination). Βέβαια, δεν λαμβάνουμε μόνο φωτόνια από το πρώιμοθερμικό πλάσμα, αλλά λαμβάνουμε και από τους γαλαξίες και τα άστρα που υπάρχουνστο σύμπαν. Κατά τις μετρήσεις του CMB, η εικόνα που παίρνουμε κυριαρχείται κυρίωςαπό το φως του γαλαξία μας. Για να πάρουμε το CMB αφαιρούμε αυτές τις πηγές φωτός(source point), και οτιδήποτε άλλα γεγονότα (CMB foregrounds1) τα οποία επηρεάζουντα φωτόνια του CMB κατά το ταξίδι τους μετά την αποσύνδεση, όπως όταν περνούναπό ιονισμένα αέρια , με διάφορα μοντέλα και τεχνικές. Από αυτή την διαδικασία φυσικάαφαιρούμε και σήμα από το CMB, χάνοντας πληροφορία.Παρόλο που αυτό το υπόβαθρο φαίνεται να είναι απολύτως ομοιόμορφο και ισοτροπικό,

στην πραγματικότητα έχει κάποιες μικρές διακυμάνσεις ή ανισοτροπίες όπως τις ονομά-

ζουμε, που αποτελούν το 1/100000 του υποβάθρου. Αυτές οι ανισοτροπίες δείχνουνότι σε κάποια σημεία υπήρχε μεγαλύτερη ή μικρότερη πυκνότητα ύλης, η οποία σε μετα-γενέστερους χρόνους συντέλεσε στην κατάρρευσή της κάτω από την βαρύτητα και στην

δημιουργία γαλαξιών.

3.1 Τα φωτόνια στο Πρώιμο Σύμπαν

3.1.1 Η δομή του CMB

Το CMB αποτελεί την πρώτη φορά που η ενεργειακή πυκνότητα υποβάθρου προερχότανκυρίως από φωτόνια. Για να καταλάβουμε πλήρως πως αυτό προέκυψε, πρέπει να δι-ηγηθούμε σύντομα την ιστορία σωματιδιακών εποχών στο πρώιμο Σύμπαν. Πιστεύουμεότι υπήρξε μία περίοδος την οποία ονομάζουμε πληθωρισμό (inflation), κατά την οποίατο σύμπαν διαστελλόταν εκθετικά. Δεν ξέρουμε πότε τελείωσε αυτή η εποχή ακριβώςαλλά πρέπει να ήταν κοντά στην κλίμακα της Μεγάλης Ενοποίησης(GUT) και σίγουραπριν από την ηλεκτροασθενή κλίμακα. Κατά την ηλεκτρασθενή εποχή, η ηλεκτρομαγν-ητική και ασθενής δύναμη ήταν ενοποιημένες σε μία δύναμη, την ηλεκτρασθενή. Γιααυτό και σε αυτή την εποχή τα φωτόνια δεν υπήρχαν. ΄Ομως η ηλεκτρασθενής συμμετρίαέσπασε καθώς το Σύμπαν κρύωνε, δηλαδή η ηλεκτρομαγνητική και η ασθενής δύναμηχωρίστηκαν, και το φωτόνιο έτσι έκανε την εμφάνισή του. Παρόλο που υπάρχουνφωτόνια αυτή την εποχή, θα κυριαρχήσουν αφετέρου.Στην συνέχεια το Σύμπαν πέρασε από την εποχή των quarks, ακολουθώντας την

εποχή των αδρονίων. Σε αυτή την εποχή τα ελεύθερα quarks εξαφανίστηκαν αφούπλέον συνιστούν τα αδρόνια (βαρυόνια και μεσόνια). Η εποχή των αδρονίων τελείωσε

1Βλ. Dickinson, “CMB foregrounds-A brief review”


Σχήμα 3.1: Ιστορία σωματιδιακών εποχών στο Σύμπαν. ΄Οταν τα φωτόνια επικρα-τούσαν στο Σύμπαν, δημιουργήθηκε για πρώτη φορά το CMB το οποίο είναι θολόκαι δεν το βλέπουμε λόγω της ισχυρής σύνδεσης των φωτονίων με τα βαρυόνια (καιηλεκτρόνια). Λίγο μετά την αρχή της διαδικασίας της επανασύνθεσης, κατά την οποίαδημιουργήθηκαν για πρώτη φορά ελαφριά ουδέτερα άτομα, προέκυψε η αποσύνδεση.Την στιγμή που τα φωτόνια αποσυνδέθηκαν από το πλάσμα, ήταν πλέον ελεύθερα ναταξιδεύουν στον χωροχρόνο. Αυτό οδήγησε το CMB μικροκυμάτων να γίνει για πρώτηφορά ορατό περίπου 400000 έτη φωτός μετά την Μεγάλη ΄Εκρηξη.


όταν τα αδρόνια εξαϋλώθηκαν μεταξύ τους αφήνωντας πίσω μόνο ελεύθερα πρωτόνια

και νετρόνια, τα οποία είναι βαρυόνια. Εκείνη την περίοδο κυριάρχησαν τα λεπτόνια καιτα νετρίνο τους μαζί με τα αντισωματίδιά τους. Τα λεπτόνια εξαϋλώθηκαν με τα αντίσ-τοιχα αντιλεπτόνια τους, δημιουργώντας καινούργια φωτόνια. Μετά την εξαΰλωση τωνλεπτονίων έμεινε πίσω ένα μικρό ποσοστό ηλεκτρονίων, επειδή η ύλη υπερίσχυε γενικάμε μικρή διαφορά έναντι της αντιύλης, το οποίο αντιστοιχούσε στο ποσοστό των πρω-τονίων. Μετά το τέλος αυτής της περιόδου, έφτασε πλέον η εποχή που κυριάρχησαντα φωτόνια. Σε αυτή την περίοδο, τα βαρυόνια (και τα ηλεκτρόνια) ήταν ισχυρά συνδ-εδεμένα με τα φωτόνια μέσω σκέδασης Compton και αποτελούσαν το λεγόμενο θερμόπλάσμα, στο οποίο τα φωτόνια σκεδάζονταν συνεχώς πάνω σε ηλεκτρόνια, και αυτό τακαθιστούσε εγκλωβισμένα. Κατά την διάρκεια της ισχυρής σύνδεσης, το πλάσμα αυτόέκπεμπε μια θερμική κατανομή η οποία αποτελεί την πρώτη φορά που δημιουργήθηκε το

CMB, όμως ήταν απολύτως ομοιογενές και θολό. Για να το έβλεπε κάποιος θα έπρεπενα βρισκόταν μέσα στο πλάσμα, σε απόσταση μικρότερη της ελεύθερης διαδρομής τωνφωτονίων. ΄Οταν έγινε η αποσύνδεση των φωτονίων από τα βαρυόνια η εποχή είχε ήδηαλλάξει σε αυτή της επικράτειας της ύλης. Τα φωτόνια τώρα ήταν ελεύθερα να ταξιδέψ-ουν στον χωρόχρονο και να φτάσουν σε εμάς μεταφέροντας την θερμική κατανομή που

είχε το πλάσμα προτού γίνει η τελευταία σκέδαση μεταξύ φωτονίου και ηλεκτρονίου

(βαρυονίου). Το CMB σε αυτό το σημείο είναι αυτό που παρατηρούμε σήμερα, τοοποίο είναι κυρίως ομοιογενές με κάποιες μικρές ανισοτροπίες. ΄Οπως συνειδητοποιείτεοι εποχές από τον πληθωρισμό μέχρι την εποχή που επικρατούν τα φωτόνια αντιστοιχεί

στην εποχή που επικρατεί η ακτινοβολία. Αν αναρωτιέστε γιατί θεωρούμε ότι επικρατείη ακτινοβολία, από την στιγμή που επικρατούν σωματίδια ύλης και όχι φωτόνια στιςπλείστες περιόδους, είναι επειδή τα σωματίδια μετά τον πληθωρισμό κινούνταν με πάραπολύ υψηλές ταχύτητες, κοντά στην ταχύτητα του φωτός, και αυτό καθιστούσε τιςμάζες να συμπεριφέρονται σχετικιστικά άρα όπως την ακτινοβολία.΄Οπως έχουμε προαναφέρει το CMB είναι ένα θερμικό φάσμα με την σημερινή

θερμοκρασία να είναι στους T0 = 2.725K. Σύμφωνα με τον κανόνα του Planck ηένταση ακτινοβολίας του I(ν) συνάρτηση της συχνότητας θα έχει την μορφή

I(ν) =4πν3

e2πν/T − 1(3.1)

Η ένταση ακτινοβολίας ισούται με την ισχύ των φωτονίων ως προς την μονάδα επιφάνειας.Αν ολοκληρώσουμε ως προς όλες τις στερεές γωνίες και όλες τις συχνότητες θα

πάρουμε τον γνωστό κανόνα Stefan-Boltzmann

PCMB = σT 4 (3.2)

ο οποίος συνδέει την ολική ισχύ του CMB με την θερμοκρασία εις την τέταρτη δύναμη.Ο όρος σ = 2π5

15είναι η σταθερά Stefan-Boltzmann. Από τις παρατηρήσεις, φαίνεται


Σχήμα 3.2: Ο ουρανός όπως απαθανατίστηκε από τον δορυφόρο Planck. Το μονόπολοτης θερμοκρασίας T0 και η διπολική συνεισφορά του Θ(n) αφαιρούνται από τον χάρτη,όπως επίσης και τα λεγόμενα foregrounds φαινόμενα, που παρεμβάλουν στις μετρήσειςτου CMB. Τα κόκκινα σημεία αντιπροσωπεύουν θερμοκρασίες υψηλότερες του T0 =2.725K ενώ τα μπλε σημεία θερμοκρασίες ψυχρότερες. Η εικόνα είναι παρμένη από τηνιστοσελίδα http://sci.esa.int/planck/

ότι το σύμπαν είχε πάντα ένα φάσμα που ικανοποιείται από την εξίσωση 3.1, και αφούο κανόνας αυτός ισχύει για σώματα που βρίσκονται σε θερμική ισορροπία, αποδεικνύε-ται ότι το σύμπαν βρισκόταν σε θερμική ισορροπία από το Big Bang μέχρι και τηνστιγμή που δημιουργήθηκε το CMB, το οποίο αποτύπωσε την εικόνα που υπήρχε στηνεπιφάνεια τελευταίας σκέδασης.

3.1.2 Κινητική Θεωρία των φωτονίων

Για να περιγράψουμε το CMB πρέπει να χρησιμοποιήσουμε κινητική θεωρία. Επειδή ταφωτόνια είναι μποζόνια (φορείς ΗΜ δύναμης) η κατανομή f που τα περιγράφει είναι αυτήτου Bose-Einstein. Επίσης αφού τα φωτόνια είναι άμαζα ισχύει ότι E = p (θέτουμε τοc = 1 και h = 1), ενώ θέτουμε το χημικό δυναμικό µ = 0. Ως γνωστόν τα φωτόνιαέχουν 2 βαθμούς ελευθερίας, δηλαδή g = 2 και τότε η κατανομή των φωτονίων θα έχειτην μορφή

f(p, t) =2

(2π)3

1

ep/T − 1(3.3)


Αυτή είναι η κατανομή στο υπόβαθρο Friedmann. Σημαντικό εδώ είναι ότι η f εξαρτά-ται μόνο από τον χρόνο και από το μέτρο της ορμής |~p| = p, και όχι από την θέσηστον χώρο ή την κατεύθυνση της ορμής. Αν γνωρίζουμε την κατανομή των φωτονίωνείμαστε σε θέση να βρούμε άλλες χρήσιμες πληροφορίες, όπως η πυκνότητα ενέργειας

ργ =

∫f(p, t)E(p)d3p

=2

(2π)3

∫d3p

p

ep/T − 1

=1

(2π)3

∫p3

ep/T − 1dp>

4πdΩp

θέτουμε x = p/T,

=T 4

(π)2

∫dx

x3

ex − 1

=T 4

π2Γ(4)ζ(4) =

T 4

π2

6π4

90

= T 4π2

15

(3.4)

και επειδή το Tγ = T0/α, με το T0 = 2.725K έχουμε ότι

ργ = T 40

π2

15α4(3.5)

Από την κατανομή, μπορούμε να βρούμε την πίεση υποβάθρου των φωτονίων, η οποίαυπολογίζεται με παρόμοια βήματα

Pγ =

∫f(p, t)

p2

3E(p)d3p

=1

3

π2

15T 4 =

1

3ργ

(3.6)

Οι πιο πάνω εξισώσεις μπορούν να γραφτούν σε μία πιο γενική μορφή

T µν =

∫f(p, t)

pµpνE

d3p =2

(2π)3

∫d3p

pµpνE

1

ep/T − 1(3.7)

Με το T 00 = ρ και το T ij = δijP . Φυσικά ο όρος T 0

i θα μας δώσει μια μέση ταχύτητα

την οποία περιμένουμε να είναι ίση με μηδέν στο υπόβαθρο Friedmann. Αν κάνουμετο ολοκλήρωμα θα δούμε ότι αυτό όντως ισχύει, από την στιγμή που η συνάρτησηκατανομή f δεν εξαρτάται από την κατεύθυνση n και θα μείνουμε με το ολοκλήρωμα∫dΩnn = 0.

3.2. Οι ανισοτροπίες του CMB 83

3.2 Οι ανισοτροπίες του CMB΄Οπως είχαμε προαναφέρει, το Κοσμικό Υπόβαθρο Μικροκυμάτων δεν είναι εντελώςομοιογενές και ισοτροπικό, αλλά φέρει κάποιες διακυμάνσεις ή ανισοτροπίες, που αποτελούντο

1105 του υποβάθρου. Αν και αποτελεί ένα πολύ μικρό μέρος, μελετώντας το μπορούμε

να κατανοήσουμε τι συνέβηκε στο πρώιμο σύμπαν, πριν την στιγμή της αποσύνδεσηςστην επιφάνεια τελευταίας σκέδασης.

3.2.1 Προσδιορίζοντας τις ανισοτροπίες

Για να παρατηρήσουμε το CMB πρέπει να παρατηρήσουμε τα φωτόνια που προέρχον-ται από διάφορες κατευθύνσεις του ουρανού. Αν παρατηρήσουμε πολλά φωτόνια απότο ίδιο σημείο του ουρανού αλλά σε ποικιλία συχνοτήτων μπορούμε να πάρουμε μια

κατανομή της ενέργειας των φωτονίων. Ενώ αυτή η κατανομή ανά μονάδα επιφάνειαςανά μονάδα χρόνου ισούται με την ένταση των φωτονίων (3.1), η οποία θα μας δώ-σει την θερμοκρασία σύμφωνα με την εξίσωση 3.2. Αν η θερμοκρασία σε διαφορετικάσημεία στον ουρανό διαφέρει από αυτή που βρέθηκε τότε το CMB είναι ανισοτροπικό. Ηθερμοκρασία T0 = 2.725K αποτελεί την μέση τιμή της θερμοκρασίας των φωτονίων πουπροέρχονται από όλα τα σημεία του ουρανού. Αν θεωρήσουμε ότι σήμερα παρατηρούμεστην κατεύθυνση n την θερμοκρασία T (n), τότε η μέση τιμή θα είναι

T0 =⟨T (n)

⟩=

1

4π

∫dΩnT (n) (3.8)

η οποία θεωρούμε ότι είναι η θερμοκρασία υποβάθρου των φωτονίων. ΄Οπως γράφαμετην διαφορά πυκνότητας ως δ = δρ

ρέτσι και εδώ χρησιμοποιούμε το ίδιο τέχνασμα για να

δημιουργήσουμε την ανισοτροπία της θερμοκρασίας φωτονίων Θ(n) στην κατεύθυνσηn

Θ(n) =T (n)− T0

T0

(3.9)

Κανονικά η μέση τιμή της ανισοτροπίας της θερμοκρασίας πρέπει να μηδενίζεται.Παίρνοντας τον μέσο της όρο έχουμε ότι

⟨Θ(n)

⟩=

⟨T (n)

⟩− T0

T0

= 0 (3.10)

Η μέση τιμή της θερμοκρασίας, T0, ονομάζεται μονόπολο της θερμοκρασίας το οποίο δενεξαρτάται από την στερεά γωνία. Το Θ(n) από την άλλη έχει μια διπολική συνεισφοράαφού εξαρτάται από την κατεύθυνση. Κάποιος μπορεί να σκεφτεί ότι το δίπολο τουCMB προέρχεται από την κίνηση του γαλαξία μας ως προς το CMB που είναι το


ακίνητο σύστημα. ΄Εστω ότι κινούμαστε (ο γαλαξίας μας) στην κατεύθυνση x, αν έναφωτόνιο γ1 κινείται προς την ίδια κατεύθυνση τότε το μήκος κύματος του φωτονίου

θα μετατοπίζεται στο ερυθρό, και η θερμοκρασία του θα μειώνεται. Αν ένα άλλοφωτόνιο γ2 κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση ως προς την ταχύτητα του γαλαξία

μας, τότε το μήκος κύματος του φωτονίου θα μετατοπίζεται προς το ιώδες, δηλαδή θακερδίζει ενέργεια. ΄Αρα με λίγα λόγια, μπορούμε να παίρνουμε μετρήσεις T0 + ∆T γιαφωτόνια που μετατοπίζονται προς το ιώδες και T0 −∆T για αυτά που μετατοπίζονταιπρος το ερυθρό. Αν όμως αφαιρέσουμε αυτό το δίπολο λόγω της κίνησης του γαλαξίαμας, το Θ(n) παραμένει. ΄Αρα οι ανισοτροπίες της θερμοκρασίας είναι ενδογενής καιπροέρχονται από άλλους λόγους, όπως είναι οι διάφορες αλληλεπιδράσεις των φωτονίωνκατά την διάρκεια του ταξιδιού τους στον χωρόχρονο.Για να μπορέσουμε να μελετήσουμε τις ανισοτροπίες της θερμοκρασίας του CMB δεν

θα χρησιμοποιήσουμε το Θ(n) επειδή για κάθε κατεύθυνση n μεταβάλλεται. Μπορούμενα χρησιμοποιήσουμε ένα σετ από άπειρες διακριτές καταστάσεις τις αlm και τις σφαιρικέςαρμονικές συναρτήσεις Ylm(n) (Βλ. Παράρτημα A.3) που θα αντικατοπτρίζουν τηνσυνεχή εξάρτηση από την κατεύθυνση. Εκφράζουμε την ανισοτροπία της θερμοκρασίαςως εξής

Θ(n) =∑lm

αlmYlm(n) (3.11)

με

αlm =

∫dΩnΘ(n)Y ∗lm(n) (3.12)

Τα αlm είναι σταθεροί μιγαδικοί συντελεστές και είναι διαφορετικοί για κάθε δείκτη lκαι m. Ισχύει ότι

α∗lm = αl−m (3.13)

λόγω της εξάρτησης τους από τις σφαιρικές αρμονικές συναρτήσεις (Y ∗lm = Yl−m). Ταl = 0, 1, 2... ενώ ταm = −l,−l+1, .., 0, .., l−1, l. Αφού χρησιμοποιήσαμε τις σφαιρικέςαρμονικές συναρτήσεις που είναι γνωστές και μπορούν να υπολογιστούν από πριν, οόρος που εμπερικλείει όλες τις πληροφορίες για τις ανισοτροπίες του CMB είναι οισυντελεστές αlm.

3.2.2 Το angular power spectrum

Για να ταυτίσουμε το κοσμολογικό μοντέλο με τις παρατηρήσεις του CMB πρέπει ναχρησιμοποιήσουμε στατιστική. Η ανισοτροπία της θερμοκρασίας σε μια κατεύθυνσηείναι τυχαία. Επειδή η μέση της τιμή είναι μηδέν (σχέση 3.10) πρέπει να χρησιμοποιή-σουμε την επόμενη διαθέσιμη στατιστική κατάσταση η οποία είναι η συνάρτηση που


συνδέει δύο σημεία (2-point correlation function). Συσχετίζουμε την ανισοτροπίατης θερμοκρασίας στην κατεύθυνση n με την ανισοτροπία της θερμοκρασίας στηνκατεύθυνση n′ και μεταβάλλοντας τις κατευθύνσεις σε όλες τις πιθανές θέσεις παίρνουμετην παρακάτω σχέση

C(n, n′) =⟨Θ(n)Θ(n′)

⟩(3.14)

Χρησιμοποιώντας την σχέση 3.11 παίρνουμε

C(n, n′) =∑lm

∑l′m′

Ylm(n)Y ∗l′m′(n′)⟨αlmα

∗l′m′

⟩= C(n · n′) (3.15)

Με την συσχέτιση των αlm να είναι⟨αlmα

∗l′m′

⟩= Clδll′δmm′ (3.16)

με τα Cl να είναι πραγματικά και θετικά. Διαφορετικά αlm (l 6= l′ και m 6= m′) δενσυσχετίζονται μεταξύ τους και άρα στατιστικά είναι ανεξάρτητες μεταβλητές. Ενώ ότανσυσχετίζουμε δύο ίδιους συντελεστές

⟨αlmα

∗lm

⟩= Cl, που είναι ανεξάρτητο του δείκτη

m. Αυτό συμβαίνει επειδή τα δύο διανύσματα n και n′ βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, καιάρα μόνο μια γωνία υπάρχει μεταξύ τους, της οποίας το συνημίτονο ισούται με n · n′.Γι’ αυτό τον λόγο μπορούμε να εκφράσουμε ότι

C(n, n′) = C(n · n′) (3.17)

επειδή αντικαθιστώντας την 3.16 και την 3.15 απαλείφεται η εξάρτηση από το m.

C(n, n′) =∑lm

ClYlm(n)Y ∗lm(n′) =1

4π

∑l

(2l + 1)ClPl(n · n′) (3.18)

όπου χρησιμοποιήσαμε την σχέση των πολυωνύμων Legendre με τις σφαιρικές αρ-μονικές συναρτήσεις

Pl(n · n′) =4π

2l + 1

∑m

Ylm(n)Y ∗lm(n′) (3.19)

Αν τώρα θεωρήσουμε ότι η γωνία μεταξύ του n και n′ είναι θ θα έχουμε ότι

C(θ) =1

4π

∑l

(2l + 1)ClPl(cos θ) (3.20)

όπου το Cl ονομάζεται angular power spectrum. Το μονόπολο C0 το θέτουμε ίσο με

μηδέν C0 = 0 επειδή έχουμε ήδη αφαιρέσει την μέση τιμή της θερμοκρασίας από την

3.3. Εξίσωση Boltzmann 86

ανισοτροπία Θ(n), όπως επίσης το δίπολο C1 ≡ 0 επειδή συνήθως το αφαιρούμε απότον ουρανό CMB.Η εξίσωση 3.16 παρουσιάζει κάτι αξιοσημείωτο. Για κάθε συγκεκριμένο l, όλα

τα αlm έχουν την ίδια μεταβλητή Cl η οποία είναι ανεξάρτητη του m, γιατί ας μηνξεχνάμε ότι για κάθε l έχουμε m = 2l + 1 συντελεστές. ΄Αρα αν το l = 100 τότεέχουμε 201 συντελεστές α100,m που προέρχονται από την ίδια κατανομή. Μετρώνταςαυτούς τους 201 συντελεστές, παίρνουμε αυτήν την κατανομή η οποία θα μας δώσειπολύ καλές πληροφορίες για την μεταβλητή C100. ΄Ομως, όταν το l είναι μικρό πχ.l =2, η πληροφορία που παίρνουμε για το C2, δεν είναι αρκετή, αφού υπάρχουν μόνο 5συντελεστές α2,m. Για αυτό τον λόγο υπάρχει μια θεμελιώδης αβεβαιότητα για τηνπληροφορία που παίρνουμε όσον αφορά τα Cl. Αυτή η αβεβαιότητα ονομάζεται cosmicvariance, η οποία όσο πιο μεγάλο είναι το l μειώνεται. Ορίζεται ως εξής

∆ClCl

=

√2

2l + 1(3.21)

Για κάθε μέτρηση του Cl έχουμε ένα αντιστοιχο σφάλμα ±∆Cl το οποίο δεν έχει καμίασχέση με το σφάλμα λόγω της διεξαγωγής του πειράματος. Ακόμα και αν δεν έχουμεσφάλματα λόγω μετρήσεων συνεχίζουμε να έχουμε την αβεβαιότητα ∆Cl.

3.3 Εξίσωση BoltzmannΕνδιαφερόμαστε για τις ανισοτροπίες στην κοσμική κατανομή των φωτονίων και στην

ανομοιογένεια της ύλης. Υπάρχουν όμως κάποιες περιπλοκές στον υπολογισμό αφούτα φωτόνια εκτός από την βαρύτητα επηρεάζονται και από την σκέδαση Compton με ταελεύθερα ηλεκτρόνια (και βαρυόνια). Η βαρύτητα (μετρική) από την άλλη καθορίζεταιαπό όλα αυτά τα σωματίδια αλλά και από την σκοτεινή ύλη και τα νετρίνο. Για ναβρούμε την κατανομή f των φωτονίων πρέπει να λύσουμε για όλα τα συμπεριλαμβανό-μενα σωματίδια. Η εξίσωση Boltzmann2 για κάθε είδος σωματιδίου καθιστά αυτή τηνεργασία δυνατή αφού ο όρος C[f ] περιέχει όλους τους δυνατούς όρους συγκρούσεων.

εξίσωση Boltzmann:df

dt= C[f ] (3.22)

Αν δεν υπάρχουν συγκρούσεις θέτουμε πολύ απλά C[f ] = 0. Προτού συνεχίσουμε στηνλύση για τα φωτόνια, θα αναλύσουμε την λύση για έναν απλό αρμονικό ταλαντωντή.

2Πληροφορίες βασισμένες στο βιβλίο Dodelson, Modern Cosmology κεφάλαιο 4


3.3.1 Εξίσωση Boltzmann για έναν απλό αρμονικόταλαντωτή

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα μη σχετικιστικό απλό αρμονικό ταλαντωτή σε μια διάσ-

ταση με ενέργεια

E =p2

2m+

1

2kx2 (3.23)

Φυσικά η κατανομή ενός αρμονικού ταλαντωτή θα εξαρτάται από τον χρόνο, τον χώροκαι την ορμή του f(t, x, p). Το ολικό διαφορικό της κατανομής ως προς τον χρόνογράφεται

df

dt=∂f

∂x

dx

dt+∂f

∂p

dp

dt+∂f

∂t

dt

dt(3.24)

Γνωρίζουμε βέβαια ότι

dx

dt=

p

m(3.25)

dp

dt= −1

2

dkx2

dx= −kx (3.26)

Αφού δεν έχουμε συγκρούσεις ισχύει ότι C[f ] = 0 και άρα η εξίσωση Boltzmannγίνεται

df

dt=

p

m

∂f

∂x− kx∂f

∂p+∂f

∂t= 0 (3.27)

Οι όροι∂f∂xκαι

∂f∂pδείχνουν πόσο γρήγορα κινείται ο ταλαντωντής στον πραγματικό

χώρο και πόσο γρήγορα τα σωματίδια χάνουν ορμή αντίστοιχα. Για να λύσουμε βέβαιατην εξίσωση πρέπει να έχουμε αρχικές συνθήκες για το f . Αν και δεν έχουμε όμωςμπορούμε να πάρουμε πολλές πληροφορίες. Για παράδειγμα, υποθέστε την περίπτωσηπου έχουμε κατανομή ισορροπίας κατά την οποία ισχύει

∂f∂t

= 0. Γενική λύση είναιf(p, x) = fEQ(E) δηλαδή η κατανομή f να εξαρτάται μόνο από την ενέργεια. Ηεξίσωση Boltzmann γίνεται

p

m

∂f(E)

∂x−kx∂f(E)

∂p=

p

m

df

dE

∂E

∂x− kx df

dE

∂E

∂p= 0

df

dE

(p

m

∂E

∂x− kx∂E

∂p

)= 0

(3.28)

αφού ισχύει ότι

∂f(E)

∂x=

df

dE

∂E

∂x


Η σχέση 3.28 δείχνει ότι dfdE

= 0, δηλαδή ότι f(E) = const συνάρτηση της ενέργειας.΄Αρα οποιαδήποτε κατανομή που περιγράφεται μόνο από την ενέργεια είναι μία κατανομή

ισορροπίας.

3.3.2 Η εξίσωση Boltzmann για τα φωτόνια

Για να βρούμε από που προέρχονται οι ανισοτροπίες στο CMB πρέπει να φύγουμε από τουπόβαθρο Friedmann και να εισάγουμε διαταραχές, όπως κάναμε στο προηγούμενο κε-φάλαιο. Απλώς τώρα θα εισάγουμε μικρές διαταραχές στην συνάρτησης κατανομής τωνφωτονίων f . Αφού πλέον θα βρισκόμαστε σε ένα ανομοιογενές Σύμπαν, η συνάρτησηκατανομής θα εξαρτάται από τον χώρο ~x ή αν θέλετε στον αντίστοιχο ~k χώρο Fourier.΄Οπως και τότε θα χρησιμοποιούμε τον χρόνο η, ενώ θα χωρίσουμε το διάνυσμα της ορ-μής σε μέτρο και κατεύθυνση ~p = pp έτσι ώστε f(η, ~x, ~p) = f(η, ~x, p, p). Γράφουμε τηνολική κατανομή f(η, ~x, p, p) σαν ανάπτυγμα Taylor γύρω από την συνάρτηση κατανομήςτου υποβάθρου που είχαμε στην εξ.3.3,

f(η, ~x, p, p) = f(η, p) + δf(η, ~x, p, p) (3.29)

Η συνάρτηση κατανομής f μπορούμε να υποθέσουμε ότι περιγράφεται από μια κατανομήBose-Einstein με μόνη διαφορά ότι εξαρτάται από την θερμοκρασία T (η, ~x, p). Η f απότην άλλη εξαρτάται από την T (η). ΄Αρα έχουμε ότι

f(η, ~x, p, p) =2

(2π)3

1

exp( pT (η,~x,p)

)− 1(3.30)

Μπορούμε να γράψουμε ότι

T (η, ~x, p) = T (η) + δT (η, ~x, p) = T (η) + T (η)∆(η, ~x, p) (3.31)

΄Αρα η εξίσωση 3.29 είναι ένα ανάπτυγμα taylor γύρω από την θερμοκρασία ¯T (η):

f(η, ~x, p, p) = f |T=T +∂f

∂T

∣∣∣∣T=T

δT (η, ~x, p) (3.32)

Ο πρώτος όρος φυσικά ισούται με f , ενώ στον δεύτερο αντικαθιστούμε με δT = T∆.Υπολογίζουμε την παράγωγο

∂f

∂T

∣∣∣∣T=T

=∂

∂T

([e

pT − 1]−1

)∣∣∣∣T=T

=p

T 2

ep/T

(ep/T − 1)2(3.33)


όμως

∂f

∂p

∣∣∣∣T=T

=∂

∂p

([e

pT − 1]−1

)∣∣∣∣T=T

= − 1

T

ep/T

(ep/T − 1)2= − T

p

∂f

∂T

∣∣∣∣T=T

(3.34)

άρα μπορούμε να αντικαταστήσουμε

∂f

∂T

∣∣∣∣T=T

= − pT

∂f

∂p

∣∣∣∣T=T

(3.35)

΄Ετσι η εξίσωση 3.32 γράφεται

f(η, ~x, p, p) = f − p∂f∂p

∣∣∣∣T=T

∆(η, ~x, p) = f − p∂f∂p

∆(η, ~x, p) (3.36)

Με λίγα λόγια η διαταραχή της συνάρτησης κατανομής είναι

δf(η, ~x, p, p) = −p∂f∂p

∆(η, ~x, p) (3.37)

Αυτή η συνάρτηση κατανομής στο ανομοιογενές σύμπαν πρέπει να υπακούει την

εξίσωση Boltzmann (3.22).

Αποδειξη της εξίσωσης Boltzmann για τα φωτόνια, χωρίς συγκρούσεις

Λαμβάνοντας υπόψη τις διαταραχές, η μετρική θα έχει την μορφή

gµν(~x, t) =

(−(1 + 2Ψ) 0

0 α2(1− 2Φ)γij

)(3.38)

αφού χρησιμοποιούμε την νευτώνεια βαθμίδα. Μπορεί να αναρωτιέστε γιατί ο χρόνοςπου χρησιμοποιήσαμε είναι ο t και όχι ο η. Για να εξάγουμε την εξίσωση Boltzmannγια τα φωτόνια

3θα εργαστούμε σε αυτό τον χωρόχρονο για να μην κουβαλούμε όρους

του α. Στο τέλος θα κάνουμε την αλλαγή του χρόνου από t→ η. Το Ψ(~x, t) είναι μιαδιαταραχή στην μετρική και αποτελεί το νευτώνειο δυναμικό, ενώ το Φ(~x, t) είναι μιαδιαταραχή στην χωρική καμπύλωση.Η εξίσωση Boltzmann είναι

df(xµ, P µ)

dt= 0 (3.39)

3Η απόδειξη της εξίσωσης Boltzmann για τα φωτόνια βασίστηκε στο βιβλίο Dodelson, Modern

Cosmology σελ. 87-92.


όπου xµ = (t, ~x) και P µείναι η τετραορμή των φωτονίων που ορίζεται ως εξής

P µ ≡ dxµ

dλ(3.40)

όπου το λ είναι μια αδρανειακή παράμετρος που περιγράφει την κοσμική τροχιά τουφωτονίου. Επειδή το φωτόνιο είναι άμαζο ισχύει ότι

P 2 = gµνPµP ν = −m2 = 0 (3.41)

Επίσης ορίζουμε την χωρική ορμή ως

p2 = gijPiP j (3.42)

΄Αρα

P 2 = g00P0P 0 + giiP

iP i = −(1 + 2Ψ)(P 0)2 + p2 = 0

⇒ P0 =p√

1 + 2Ψ≈ p(1−Ψ)

(3.43)

όπου στο τελευταίο βήμα εφαρμόσαμε το ανάπτυγμα Taylor. Επειδή το δυναμικό Ψείναι αρνητικό σε μια overdense περιοχή, η ενέργεια (P 0 = E) θα είναι μεγαλύτερητης αρχικής του ορμής, P 0 > p. Δηλαδή, καθώς ένα φωτόνιο εισέρχεται στο πηγάδι,κερδίζει ενέργεια (μετατοπίζεται στο ιώδες), ενώ καθώς εξέρχεται από το πηγάδι χάνειενέργεια (μετατοπίζεται στο ερυθρό). Μπορούμε να εκφράσουμε την εξίσωση Boltz-mann χωρίς τον όρο που να εμπεριέχει την ενέργεια ∂f

∂P 0 , γιατί όπως αποδείξαμε στηνεξίσωση Boltzmann στον αρμονικό ταλαντωτή (3.27) δεν υπήρχε συνεισφορά του όρουτης ενέργειας. Ορίζουμε ότι για τα μοναδιαία διανύσματα των χωρικών ορμών ισχύειότι pi = pi και γij p

ipj = 1. H εξίσωση Boltzmann θα έχει την μορφή

df

dt=∂f

∂t+∂f

∂xi· dxi

dt+∂f

∂p

dp

dt+∂f

∂pi· dpi

dt(3.44)

Ο τελευταίος όρος είναι 2ης τάξης ως προς τα δυναμικά άρα μπορούμε να τον αγ-νοήσουμε. Αυτό ισχύει επειδή η συνάρτηση κατανομής f είναι αυτή της κατανομήςBose-Einstein, και δεν εξαρτάται από την κατεύθυνση της ορμής ως προς μηδενικήτάξη. ΄Αρα ο όρος ∂f

∂piθα εξαρτάται από τα δυναμικά αν αναπτύξουμε την f ως προς

πρώτη τάξη. Ο όρος dpi

dtαπό την άλλη, αναπαριστά αλλαγή στην ορμή του φωτονίου

που υπάρχει μόνο στην παρουσία των δυναμικών. Αν τα δυναμικά ήταν μηδενικά τότετο φωτόνιο θα κινείται σε ευθεία γραμμή. Συνοψίζοντας ο όρος ∂f

∂pi· dpi

dt= O(2) ως

προς τα δυναμικά.


Επιπλέον, εκφάζουμε τον όρο dxi

dtως

dxi

dt=

dxi

dλ

dλ

dt=P i

P0

(3.45)

αφού ισχύει η εξίσωση 3.40. ΄Ομως θέλουμε να το εκφράσουμε συνάρτηση της χωρικήςορμής και του μοναδιαίου διανύσματος της ορμής. Για να βρούμε μια σχέση μεταξύ τουP iκαι του ppi θέτουμε ότι P i ≡ Cpi με το C να είναι μια σταθερά. Χρησιμοποιούμε

την εξίσωση 3.42 και άρα

p2 = gijPiP j = α2(1− 2Φ)C2

⇒ C =p

α√

1− 2Φ

(3.46)

και άρα

P i =ppi

α√

1− 2Φ≈ ppi

α(1 + Φ) (3.47)

Χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα αυτό και την εξίσωση 3.43 έχουμε

dxi

dt=P i

P0

=pi

α(1−Ψ)(1 + Φ) ≈ pi

α(1 + Φ)(1 + Ψ) ≈ pi

α(1 + Φ + Ψ) (3.48)

Η πιο πάνω εξίσωση, δείχνει ότι όταν ένα φωτόνιο ταξιδεύει σε μια overdense περιοχή(Φ,Ψ < 0), η ταχύτητα του μειώνεται. Αυτό είναι λογικό αφού η βαρύτητα θα μειώνειακόμα και την ταχύτητα των φωτονίων.Ο όρος

∂f∂xi

= O(1) ως προς δυναμικά, άρα μπορούμε να αγνοήσουμε τα δυναμικάστην εξίσωση 3.48. Η εξίσωση Boltzmann τότε θα έχει την μορφή

df

dt=∂f

∂t+pi

α

∂f

∂xi+∂f

∂p

dp

dt(3.49)

Τώρα μένει να βρούμε τους όρουςdpdt. Αυτό επιτυγχάνεται αν εισάγουμε την εξής

σχέση

dP 0

dλ= −Γ0

αβPαP β (3.50)


Γράφουμε

dP 0

dt=

dP 0

dλ

dλ

dt= −Γ0

αβPαP β

1/P 0

dλ

dt

⇒dP 0

dt=−Γ0

αβPαP β

p(1−Ψ)=

dp(1−Ψ)

dt

dp

dt− pdΨ

dt≈−Γ0

αβPαP β

p(1 + Ψ)

Πολλαπλασιάζοντας με (1+Ψ) και αγνοώντας όρους 2ης τάξης,

⇒dp

dt= p

dΨ

dt− (1 + 2Ψ)Γ0

αβ

PαP β

p

(3.51)

Επίσης ισχύει ότι

dΨ(~x, t)

dt=∂Ψ

∂t+∂Ψ

∂xi· dxi

dt=∂Ψ

∂t+pi

α

∂Ψ

∂xi(3.52)

και άρα

dp

dt= p

pi

α

∂Ψ

∂xi− (1 + 2Ψ)Γ0

αβ

PαP β

p

∂Ψ

∂t(3.53)

Τώρα μένει να υπολογίσουμε τα σύμβολα Christoffel (εξ.2.98).

Γ0αβ

PαP β

p=

1

2pg0λ(2∂βgλαP

αP β − ∂λgαβPαP β)

=1

2pg00(2∂βg0αP

αP β − ∂0gαβPαP β)

−1 + 2Ψ

2p(2∂βg0αP

αP β − ∂tgαβPαP β)

−1 + 2Ψ

2p

(2∂Ψ

∂xβPαP β − ∂(−1− 2Ψ)

∂tp2(1−Ψ)2+

− ∂α2γij(1− 2Φ)

∂tP iP j

(3.54)

Προσεχτικοί υπολογισμοί μας οδηγούν στην σχέση

Γ0αβ

PαP β

p= (−1 + 2Ψ)

[−∂Ψ

∂tp− 2

∂Ψ

∂xippi

α− p

(H − ∂Φ

∂t

)](3.55)


και άρα

dp

dt= −pp

i

Ψ

∂Ψ

∂xi+ p

∂Φ

∂t− pH

⇒1

p

dp

dt= − p

i

Ψ

∂Ψ

∂xi+∂Φ

∂t−H

(3.56)

όπου χρησιμοποιήσαμε ότι (1 + 2Ψ)(−1 + 2Ψ) ≈ 1. Αυτή η εξίσωση αναπαριστάτην μεταβολή της ορμής καθώς το φωτόνιο κινείται σε ένα διαταραγμένο χωροχρόνο

FRW. Ο όρος −H δείχνει ότι χάνεται ορμή λόγω της διαστολής του σύμπαντος. Ενώκαθώς ταξιδεύει σε μια overdense περιοχή Ψ,Φ < 0 ενός βαρυτικού πηγαδιού, το οποίοβαθαίνει με τον χρόνο, ∂Φ

∂t< 0, το φωτόνιο όταν προσπαθεί να εξέλθει από αυτό θα

χάνει ενέργεια, επειδή θα είναι πιο δύσκολο όσο περνά ο χρόνος. Ενώ από την άλλη,κερδίζει ενέργεια, pi

Ψ∂Ψ∂xi

< 0, καθώς εισέρχεται στο πηγάδι, αφού ελκύεται προς τοκέντρο, και μετατοπίζεται στο ιώδες. Τέλος όταν εξέρχεται από το πηγάδι, η ενέργειατου μειώνεται και άρα μετατοπίζεται στο ερυθρό.Συνδυάζοντας το αποτέλεσμα της εξ.3.56 με την εξ.3.49, έχουμε την πλήρη εξίσωση

Boltzmann για τα φωτόνια

df

dt=∂f

∂t+pi

α

∂f

∂xi− p∂f

∂p

[H − ∂Φ

∂t+pi

α

∂Ψ

∂xi

]= C[f ] (3.57)

Από την εξίσωση 3.57 μπορούμε να εξάγουμε τις εξισώσεις Boltzmann μηδενικήςκαι πρώτης τάξης ως προς το f δηλαδή df

dt= df

dt

∣∣zero order + df

dt

∣∣first order = C[f ] + C[f ].

Για την μηδενική τάξη δεν συμπεριλαμβάνουμε όρους ώς προς διαταραχές, δηλαδή Φ,Ψ, Δ άρα

df

dt

∣∣∣∣zero order

=∂f

∂t− pH ∂f

∂p= C[f ] (3.58)

Ας σταματήσουμε λίγο να σκεφτούμε τι συμβαίνει με τον όρο C[f ]. Για μηδενική τάξη,βρισκόμαστε σε ένα ομοιογενές σύμπαν (υπόβαθρο Friedmann). ΄Αρα δεν υπάρχουνοποιεσδήποτε διαταραχές. Γενικότερα ο όρος συγκρούσεων C[f ] εξαρτάται από τηνδιαταραχή της θερμοκρασίας ∆(t, ~x, p) αλλά και από άλλες μικρές διαταραχές. Με λίγαλόγια ο όρος συγκρούσεων στην μηδενική τάξη είναι μηδέν C[f ] = 0. Μπορούμε νατο σκεφτούμε και λίγο διαφορετικά: ο όρος συγκρούσεων περιλαμβάνει τον ρυθμό μιαςαντίδρασης και της αντίστροφης αντίδρασης. Αν η συνάρτηση κατανομής τεθεί ίση μετην τιμή της στην κατάσταση ισορροπίας, τότε ο ρυθμός της αντίδρασης θα απαλείψει


τον ρυθμό της αντίστροφης αντίδρασης αφού θα είναι ίσοι. ΄Αρα η εξ.3.58 γίνεται

∂f

∂t= pH

∂f

∂p

∂f

∂T

dT

dt= pH

∂f

∂p

− p

T

∂f

∂p

dT

dt= pH

∂f

∂p

H =α

α= − 1

T

dT

dt

lnα = lnT−1 + A⇒ T ∝ 1

α

(3.59)

΄Οπου στο τρίτο βήμα χρησιμοποιήσαμε την σχέση 3.35 που βρήκαμε προηγουμένως. Ηαπάντηση που βρήκαμε εδώ ήταν αναμενόμενη αφού το μήκος κύματος του φωτονίου

σε ένα διαστελλόμενο σύμπαν "τεντώνεται" (μεγαλώνει). ΄Ομως αποτελεί επιβεβαίωσητο γεγονός ότι αυτό το αποτέλεσμα βγαίνει και από την προσέγγιση Boltzmann.Ας προχωρήσουμε τώρα στην εξίσωση Boltzmann πρώτης τάξης αλλά προς το παρόν

θα αγνοήσουμε τον όρος συγκρούσεων C[f ]. Αντικαθιστούμε στην εξίσωση 3.57 όπουf = f + δf χρησιμοποιώντας την εξίσωση 3.37 και αγνοούμε όρους μηδενικής τάξηςπου είχαμε προηγουμένως

df

dt

∣∣∣∣first order

=− p ∂∂t

[∂f

∂p∆

]− pp

i

α

∂

∂xi

[∂f

∂p∆

]+ p

∂

∂p

[∂f

∂p∆

](H − ∂Φ

∂t+pi

α

∂Ψ

∂xi

)+

− p∂f∂p

[H − ∂Φ

∂t+pi

α

∂Ψ

∂xi

](3.60)

Η οποία γίνεται

df

dt

∣∣∣∣first order

= −p∂f∂p

[∂∆

∂t+pi

α

∂∆

∂xi− ∂Φ

∂t+pi

α

∂Ψ

∂xi

](3.61)

Στα βήματα που ακολουθήθηκαν για να βγει το αποτέλεσμα στην εξίσωση 3.61, λαμβά-νουμε υπόψιν ότι θέλουμε μόνο ως πρώτη τάξη μεταβλητές, δηλαδή οι όροι∆∂Φ

∂t,∆ ∂Ψ

∂xi→

O(2). Επίσης πρέπει να μην ξεχνάμε από ποιες μεταβλητές εξαρτώνται κάποιες μεταβλ-ητές όπως ∆(t, ~x, p) και f(t, p) αφού υπάρχουν παράγωγοι που μηδενίζονται. Τέλοςεμφανίζεται κάπου ο όρος

1T

dTdt

= −H.


Ο όρος συγκρούσεων

΄Οπως είπαμε για την συνάρτηση κατανομής στην κατάσταση ισορροπίας ο όρος συγ-

κρούσεων είναι ίσος με μηδέν. ΄Ομως αυτό δεν ισχύει για την συνάρτηση κατανομής fστο ανομοιογενές σύμπαν αφού στην εξίσωση Boltzmann έχουμε και όρους ως προςπρώτη τάξη των διακυμάνσεων. Κάποιες μικρές μεταβολές όπως αυτή της θερμοκρασίας∆ συνεισφέρουν στον όρο σύγκρουσης. Ο όρος σύγκρουσης προέρχεται από τηνσκέδαση Compton που έχουμε αναφέρει σε προηγούμενο κεφάλαιο. Θα δούμε πώςεπηρεάζει η σκέδαση Compton μεταξύ των φωτονίων και ηλεκτρονίων την συνάρτησηκατανομής των φωτονίων. Η σκέδαση που μας ενδιαφέρει είναι

e−(~q) + γ(~p)↔ e−(~q′) + γ(~p′) (3.62)

όπου δείχνουμε πια ορμή αντιστοιχεί σε κάθε σωματίδιο. Αφού θέλουμε να δούμεπώς επηρεάζεται η συνάρτηση κατανομής των φωτονίων με ορμή ~p γράφουμε τον όροσύγκρουσης σαν ένα ολοκλήρωμα ως προς τις υπόλοιπες ορμές που πολύ απλά επηρεά-

ζουν την ορμή ~p. Δίνεται η σχέση4

C[f(~p)] =1

p

∫d3q

(2π)32Ee(q)

∫d3q′

(2π)32Ee(q′)

∫d3p′

(2π)32E(p′)|M |2(2π)4×

× δ3[~p+ ~q − ~p′ − ~q′]δ[E(p) + Ee(q)− E(p′)− Ee(q′)]×× [fe(~q′)f(~p)− fe(~q)f(~p)]

(3.63)

Οι όροι της συνάρτησης δέλτα υπάρχουν για να ικανοποιείται η διατήρηση ενέργειας και

ορμής. Από την ολοκλήρωσης της τρισδιάστατης δέλτα συνάρτησης ως προς την ορμήd3q′ δίνεται το αποτέλεσμα ~q′ = ~p+~q−~p′. Φυσικά για ένα φωτόνιο ισχύει ότι E(p) = p

ενώ για τα μη σχετικιστικά ηλεκτρόνια ισχύει Ee(q) = me+q2

2me. Αντικαθιστούμε αυτές

τις σχέσεις στην μονοδιάστατη συνάρτηση δέλτα ως προς της ενέργειες και έχουμε ότι

δ[E(p) + Ee(q)− E(p′)− Ee(q′)] = δ

[p+

q2

2me

+ p′ +q′2

2me

]= δ

[p+

q2

2me

+ p′ +(~q + ~p− ~p′)2

2me

] (3.64)

Μπορούμε να γράψουμε

Ee(q)−Ee(q′) = Ee(q)−Ee(q+ p− p′) =q2

2me

+(~q + ~p′ − ~p)2

2me

' (~p′ − ~p)me

· ~q (3.65)

4Στην σχέση C[f ], οι όροι στην τελευταία παρένθεση αποδεικνύονται στο βιβλίο του Liboff, Kinetic

theory: classical, quantum, and relativistic descriptions.


όπου αναπτύξαμε την 2η παρένθεση στο τετράγωνο. Επίσης υποθέτουμε ότι η q είναιπολύ μεγαλύτερη από τις p και p′. Αν θεωρήσουμε δηλαδή ότι τα p και p′ είναι μικρέςδιαταραχές, μπορούμε να αναπτύξουμε με ανάπτυγμα Taylor τον όρο Ee(q′) = (~q+~p−~p′)2

2me

γύρω από την τιμή μηδενικής τάξης Ee(q)q2

2me:

δ[p+ Ee(q)− p′ − Ee(q + p− p′)] = δ

[p+

q2

2me

+ p′ +(~q + ~p− ~p′)2

2me

]' δ(p− p′) + (Ee(q

′)− Ee(q))∂

∂Ee(q′)δ [p+ Ee(q)− p′ − Ee(q′)]

∣∣∣∣Ee(q′)=Ee(q)

= δ(p− p′) +(~p′ − ~p)me

· ~q ∂∂p′

δ(p− p′)

(3.66)

όπου χρησιμοποιήσαμε ότι

∂f(x− y)

∂x= −∂f(x− y)

∂y

Χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα της 3.66 και το γεγονός ότι fe(~q + ~p − ~p′) ' fe(~q)μπορούμε να απλοποιήσουμε το ολοκλήρωμα στην 3.63. Επίσης μπορούμε να γράψουμετους όρους του ολοκληρώματος Ee = me αφού η κινητική ενέργεια των ηλεκτρονίων

τις εποχές που ενδιαφερόμαστε είναι μικρή.

C[f(~p)] =π

4m2ep

∫d3q

fe(~q)

(2π)3

∫d3p′

(2π)3p′|M |2×

×

[δ(p− p′) +

(~p′ − ~p)me

· ~q ∂∂p′

δ(p− p′)

]×

× [f(~p′)− f(~p)]

(3.67)

Για να προχωρήσουμε στην εύρεση του αποτελέσματος, πρέπει να δούμε τι είναι το Mστην σκέδαση Compton χρησιμοποιώντας τους κανόνες Feynmann. Σε αυτό το στάδιοθα θεωρήσουμε ότι είναι σταθερό δηλαδή λαμβάνουμε υπόψιν μας μόνο την εξάρτηση

από το φάσμα της θερμοκρασίας και άρα δίνεται ότι

|M |2 = 8πσTm2e (3.68)

όπου σT είναι η διαφορική ενεργός διατομή της σκέδασης Thomson. Αυτό βέβαια δενείναι το σωστό μέγεθος αφού αγνοούμε την εξάρτηση της σκέδασης Compton από την


γωνία μεταξύ των ορμών ~p και ~p′ (cos2[~p·~p′]) και επίσης την εξάρτηση από το φάσμα τηςπόλωσης(∝ |ε · ε′|2, όπου ε και ε′ είναι οι πολώσεις του εισερχόμενου και εξερχόμενουφωτονίου αντίστοιχα). Οι λόγοι που αγνοούμε τέτοιου είδους εξαρτήσεις είναι για τηνδιευκόλυνση μας στις πράξεις. Για την μελέτη τέτοιου είδους φαινομένου πρέπει ναασχοληθούμε με μια άλλη ειδίκευση του CMB.Αφού το |M |2 είναι σταθερό δεν γίνει κάποια ολοκλήρωση ως προς αυτό. Οι άλλοι

όροι θα δώσουν ∫d3q

fe(q)

(2π)3= ne (3.69)

∫d3q

fe(q)

(2π)3

(~p′ − ~p)me

· ~q = ne~ub · (~p′ − ~p), αφού ~ue = ~ub (3.70)

∫d3p′

(2π)3p′=

∫dΩ′dp′

p′

(2π)3(3.71)

f(~p′)− f(~p) = f(p′)− f(p)− p′ ∂f∂p′

∆(t, ~x, p′) + p∂f

∂p∆(t, ~x, p) (3.72)

όμως ∫p′dp′[f(p′)− f(p)]δ(p− p′) = 0 (3.73)

και

~ub · [−p′∂f

∂p′∆(t, ~x, p′) + p

∂f

∂p∆(t, ~x, p)] = O(2) (3.74)

Συνδυάζοντας τις εξισώσεις 3.68 - 3.74 το ολοκλήρωμα παίρνει την μορφή

C[f(~p)] =2π2σTne

p

∫ ∞0

dp′p′

(2π)3

∫dΩ′δ(p− p′)

[p∂f

∂p∆(t, ~x, p)− p′ ∂f

∂p′∆(t, ~x, p′)

]+

+ (~p′ − ~p) · ~ub∂

∂p′δ(p− p′)[f(p′)− f(p)]

(3.75)

Οι μόνες μεταβλητές που έχουν γωνιακή εξάρτηση (Ω′) είναι ∆(t, ~x, p′) και ~p′ · ~ub.Ορίζουμε το μονόπολο μέρος της διαταραχής της θερμοκρασίας ως

∆0(t, ~x) ≡ 1

4π

∫dΩ′∆(t, ~x, p′) (3.76)


το οποίο δεν εξαρτάται από την κατεύθυνση. Δηλαδή αποτελεί την απόκλιση τουμονοπόλου σε ένα σημείο στον χώρο από την μέση της τιμή σε όλο τον χώρο. Ηολοκλήρωση του δεύτερου όρου θα δώσει∫

dΩ′~p′ · ~ub = 0 (3.77)

αφού η ταχύτητα των βαρυονίων είναι σταθερή ως προς την ορμή ~p′. ΄Ετσι το C[f ]παίρνει την μορφή

C[f(~p)] =σTnep

∫ ∞0

dp′p′

(2π)3

δ(p− p′)

[p∂f

∂p∆(t, ~x, p)− p′ ∂f

∂p′∆0(t, ~x)

]+

+ ~p′ · ~ub∂

∂p′δ(p− p′)[f(p′)− f(p)]

(3.78)

Το πρώτο μέρος του ολοκληρώματος θα δώσει p′ = p. Το δεύτερο και τρίτο μέροςλύνεται με ολοκλήρωση κατά μέλη και δίνουν ένα παράγοντα −p∂f(p)

∂p. ΄Ετσι ο όρος

συγκρούσεων θα γίνει

C[f(~p)] =− p∂f∂pσTne

[∆0(t, ~x)−∆(t, ~x, p) + p · ~ub

](3.79)

΄Οταν η ταχύτητα των ηλεκτρονίων (και βαρυονίων) μηδενίζεται ub = 0, τότε αυτό πουσυμβαίνει είναι ότι η σκέδαση Compton είναι τόσο αποτελεσματική που βασικά η μέσηελεύθερη διαδρομή των ηλεκτρονίων είναι σχεδόν μηδενική. ΄Ετσι η κατάσταση τηςθερμοκρασίας που επιζεί είναι μόνο το μονόπολο, με τις υπόλοιπες καταστάσεις να μηνεπιζούν. Σε μια τέτοια περίοδο, η κατανομή της θερμοκρασίας είναι ομοιόμορφη. Αντο ub τώρα δεν είναι μηδέν, οι καταστάσεις που θα επιζήσουν θα είναι το μονόπολο καιτο δίπολο της θερμοκρασίες, με τις υπόλοιπες να εξαλείφονται. ΄Αρα είναι πολύ εύκολονα αναγνωριστεί η σκέδαση Compton (εποχή ισχυρής σύνδεσης) αφού προσφέρει μόνοένα μονόπολο και ένα δίπολο στην κατανομή της θερμοκρασίας των φωτονίων.

Τελική μορφή της εξίσωσης Boltzmann για τα φωτόνια

Αφού βρήκαμε με τι ισούται ο όρος συγκρούσεων για την σκέδαση Compton, πουείναι αυτή που καθορίζει την κατανομή των φωτονίων, μπορούμε να γράψουμε την

ολοκληρωμένη εξίσωση Boltzmann για τα φωτόνια. ΄Αρα έχουμε ότι dfdt

=

0dfdt

∣∣zero order+


dfdt

∣∣first order = C[f ]. Από τις εξισώσεις 3.61 και 3.75 παίρνουμε ότι

−p∂f∂p

[∂∆

∂t+pi

α

∂∆

∂xi− ∂Φ

∂t+pi

α

∂Ψ

∂xi

]=−p∂f∂pσTne

[∆0 −∆ + p · ~ub

]∂∆

∂t+pi

α

∂∆

∂xi− ∂Φ

∂t+pi

α

∂Ψ

∂xi= σTne

[∆0 −∆ + p · ~ub

] (3.80)

Σε αυτή την φάση είμαστε σε θέση να αλλάξουμε την συντεταγμένη του χρόνου από

t → η όπως είχαμε στην αρχή του κεφαλαίου αντικαθιστώντας t = αη. Επιπλέον θακάνουμε αλλαγή στον k-χώρο Fourier: ∂

∂xi= iki επειδή η επίλυση της εξίσωσης είναι

πιο εύκολη και άρα η 4.45 θα γίνει

∂∆

∂η+ ikip

i∆− ∂Φ

∂η+ ikip

iΨ = σTneα

[∆0 −∆ + p · ~ub

]∆′ + ikip

i∆− Φ′ + ikipiΨ = σTneα

[∆0 −∆ + p · ~ub

] (3.81)

Ορίζουμε ότι µ ≡ ~kk· p = ki

k· pi και άρα ο όρος ikipi = ikµ, ενώ επειδή θεωρούμε πως

η ταχύτητα των βαρυονίων είναι στην κατεύθυνση του k ενώ μπορούμε να γράψουμεότι ub,i = ∂

∂xiub

5και τότε p · ~ub = pi · ub,i = ikip

iub = ikµub και τότε έχουμε ότι

∆′ + ikµ∆− Φ′ + ikµΨ = σTneα

[∆0 −∆ + ikµub

](3.82)

Επίσης ορίζουμε το λεγόμενο οπτικό βάθος τ ως

τ(η) ≡∫ η0

η

dη′neσTα =⇒ τ ′ ≡ −neσTα (3.83)

Καταλαμβαίνεται ότι η ανισοτροπία στην θερμοκρασία θα εξαρτάται τώρα από το

µ ∈ [−1, 1] και το μέτρο του k: ∆ = ∆(η, k, µ). Τα όρια του µ καθιστούν δυνατό τηνέκφραση του ∆ με τα πολυωνύμα Legendre Pl(µ).

∆(η, k, µ) =∑l

il(2l + 1)∆l(η, k)Pl(µ) (3.84)

5Ο λόγος που μπορούμε να το γράψουμε έτσι είναι επειδή μπορούμε να γράψουμε οποιοδήποτε

διάνυσμα με την μορφή υi(η, ~r) = ∂iυ(η, ~r) + υi(η, ~r).(εξ.2.74) Λαμβάνουμε υπόψιν μόνο το πρώτομέρος επειδή η εξίσωση που μας ενδιαφέρει περιλαμβάνει βαθμωτές καταστάσεις και όχι διανυσματικές.


με το

∆l(η, k) =(−i)l

2

∫ 1

−1

dµPl(µ)∆(η, k, µ) (3.85)

Από την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε την έκφραση του μονοπόλου της θερμοκρασίας

ως

∆0(η, k) =1

2

∫ 1

−1

dµ∆(η, k, µ) (3.86)

όπου αντικαταστήσαμε το P0(µ) = 1. Η πιο πάνω εξίσωση είναι απολύτως συμβατή μετην 3.76.Τώρα θα μετατρέψουμε την εξάρτηση της εξίσωσης 3.82 από την μεταβλητή µ στην

μεταβλητή l επειδή θα έχει ως αποτέλεσμα τον χωρισμό της εξίσωσης σε διάφορες ιερ-αρχικές εξισώσεις που εξαρτώνται από ένα l. Αυτό επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας τιςιδιότητες των πολυωνύμων Legendre, πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση από τα αριστεράκαι δεξιά με τον όρο PL(µ) και ολοκληρώνοντας ως προς µ. Εφαρμόζοντας αυτά ταβήματα προκύπτουν μια εξίσωση για το μονόπολο

∆′0 = k∆1 + Φ′ (3.87)

μια εξίσωση για το δίπολο

∆′1 =k

3(2∆2 −∆0)− k

3Ψ− neσTα(∆1 +

k

3ub) (3.88)

και φυσικά ένα σετ εξισώσεων για τις υψηλότερες καταστάσεις με l ≥ 3

∆′l = − k

2l + 1[l∆l−1 − (l + 1)∆l+1]− αneσT∆l (3.89)

Για την περίπτωση του l = 2 πρέπει να λάβουμε υπόψη μας περισσότερους όρουςστο δεξί μέρος της 3.89, που προέρχονται από την σκέδαση Thomson. Δίνεται χωρίςαπόδειξη

6,

∆′2 = −2k

5∆1 −

9

10αneσT∆2 (3.90)

Για να υπολογίσουμε τις ανισοτροπίες του CMB7πρέπει να λύσουμε τις πάραπάνω

εξισώσεις μαζί με τις εξισώσεις του Einstein 2.114 με 2.115 και τις εξισώσεις των6Η απόδειξη δίνεται από τους Seljak and Zaldarriaga, “A line-of-sight integration approach to

cosmic microwave background anisotropies, 1996”7Η ερμηνεία των Ανισοτροπιών του CMB βασίστηκε στα άρθρα των Hu, “Concepts in CMB

anisotropy formation”

3.4. Η προέλευση των Ανισοτροπιών του CMB 101

ρευστών 2.117 και 2.118. Για να το κάνουμε αυτό όμως, πρέπει να γνωρίζουμε τηςδιαταραχές της πυκνότητας, της πίεσης, της ταχύτητας και φυσικά της διατμητικήςτάσης, τις οποίες βρίσκουμε μέσω της διακύμανσης της συνάρτησης κατανομής δf ,χρησιμοποιώντας την ανάλογη εξίσωση 3.7 για τις διαταραχές. Παίρνουμε ότι

δγ = 4∆0 (3.91)

uγ = −3

k∆1 (3.92)

σγ =3

k2∆2 (3.93)

ενώ για την πίεση ισχύει φυσικά ότι Πγ = 13δγ αφού για την ακτινοβολία το w = 1

3.

Πγ =4

3∆0 (3.94)

3.4 Η προέλευση των Ανισοτροπιών του CMB

3.4.1 Το ρευστό φωτονίων-βαρυονίων κατά την διάρκειατης ισχυρής σύνδεσης

Κατά την περίοδο της ισχυρής σύνδεσης, η σκέδαση Compton ήταν πολύ ισχυρή πουκαθιστούσε τα φωτόνια και τα βαρυόνια (και τα ηλεκτρόνια) να είναι συμπεριφέρονταισαν ένα ρευστό δηλαδή uγ = ub. Με λίγα λόγια ο όρος συγκρούσεων που βρήκαμε στοπροηγούμενο κεφάλαιο, τείνει στον όρο C[f ]→ αneσT >> 1 που είναι πολύ μεγάλος.Εφαρμόζοντας ότι το αneσT >> 1 στην εξισώση 3.89 βλέπουμε ότι

∆l = − 1

αneσT

[∆′l −

k

2l + 1(l∆l−1 − (l + 1)∆l+1)

]' 0 (3.95)

Δηλαδή καταστάσεις για l ≥ 2 εξαλείφονται στην προσέγγιση της ισχυρής σύνδεσης,και παραμένουν το μονόπολο και δίπολο της ανισοτροπίας της θερμοκρασίας. Πιοσυγκεκριμένα για κάθε l ισχύει ότι ∆l ∼ (αneσT )1−l. Η εξίσωση 3.88 σε αυτή τηνπροσέγγιση θα δώσει ότι ∆1 = −k

3ub και αφού ∆2 = 0, θα πάρει την μορφή

∆′1 = −k3

∆0 −k

3Ψ (3.96)

Παραγωγίζοντας την εξίσωση 3.87 ως προς τον conformal χρόνο η και χρησιμοποιών-τας την 3.96 παίρνουμε ότι

∆′′0 +k2

3∆0 = Φ′′ − k

3Ψ (3.97)


Η πιο πάνω εξίσωση αποτελεί περιγραφή εξαναγκασμένης ταλάντωσης με το δεξί μέρος

της να είναι η πηγή της ταλάντωσης. Φυσικά και στην περίπτωσή μας είναι αποτέλεσματης βαρύτητας. Οι ταλαντώσεις ταλαντεύονται με ταχύτητα του ήχου ίση μεcs = w

k= k√

3k= 1√

3. Το αποτέλεσμα της εξίσωσης 3.97 δείχνει ξεκάθαρα ότι ο

μονόπολο της θερμοκρασίας, δηλαδή η τοπική ανισοτροπία της θερμοκρασίας ταλαντεύε-ται. Γι’ αυτό και παίρνουμε ένα ωραίο ομαλό και ταλαντευόμενο φάσμα του Cl.΄Ομως η προσέγγιση που κάναμε ήταν παρατραβηγμένη επειδή αγνοεί σημαντικές

επιρροές που προέρχονται από τα βαρυόνια. Ο όρος συγκρούσεων της σκέδασης Comp-ton, διατηρεί την συνολική ορμή και ενέργεια των φωτονίων-βαρυονίων. Αυτό σημαίνειότι υπάρχει ανταλλαγή ορμής και ενέργειας μεταξύ των φωτονίων και βαρυονίων. Γιανα είμαστε σίγουροι ότι διατηρείται η ενέργεια και η ορμή πάντα, πρέπει να προσθέ-σουμε ένα όρο σύγκρουσης στην σχέση της ταχύτητας των βαρυονίων εξ.2.140 η οποίαγίνεται

u′b = −Hcub + Φ +τ ′

R

[3∆1

k+ ub

](3.98)

όπου ορίζουμε τον λόγο φωτονίων-βαρυονίων ως R = 3ρb4ργ

. Αντικαθιστούμε τώρα τοub = − 3

k∆1 αφού ας μην ξεχνάμε ότι στην περίοδο της ισχυρής σύνδεσης ub = uγ.

− 3

k∆′1 =

3

kHc∆1 + Φ +

τ ′

R

[3∆1

k+ ub

]⇒ τ ′

[3∆1

k+ ub

]=R

3

[−3

k∆′1 −

3

kHc∆1 − Φ

] (3.99)

Αντικαθιστούμε αυτό το αποτέλεσμα και ότι ∆2 = 0 στην εξίσωση 3.88

∆′1 = −k3

∆0 −k

3Ψ− R

3

[3

k∆′1 +

3

kHc∆1 + Φ

]⇒ ∆′1(1 +R) = −k

3∆0 −

k

3Ψ−RHc∆1 +

k

3RΦ

∆′1 =1

1 +R

[−k

3∆0 −

k

3Ψ−RHc

k(∆′0 − Φ′) +

k

3RΦ

] (3.100)

όπου στο τελευταίο βήμα αντικαταστήσαμε την εξ.3.87. Τώρα θα χρησιμοποιήσουμετην εξίσωση 3.100 στην

∆′′0 = k∆′1 + Φ′′ (3.101)


που είναι η παράγωγος της 3.87, και παίρνουμε

∆′′0 =k

1 +R

[−k

3∆0 −

k

3Ψ−RHc

k(∆′0 − Φ′) +

k

3RΦ

]+ Φ′′

=k

1 +R

[−k

3∆0 −

k

3Ψ−RHc

k(∆′0 − Φ′) +

k

3RΨ

]+ Φ′′

=k2

3(1 +R)∆0 −

k2

3Ψ− R

1 +RHc(∆

′0 − Φ′) + Φ′′

(3.102)

όπου χρησιμοποιήσαμε ότι Φ = Ψ, σχέση που εξάγεται από την εξίσωση του Einstein2.114 . Θέτουμε επίσης την ταχύτητα του ήχου ως cs = 1√

3(1+R)και τότε η εξίσωση

παίρνει την μορφή

∆′′0 +R

1 +RHc∆

′0 − k2c2

s∆0 = −k2

3Ψ +

R

1 +RHcΦ

′ + Φ′′ (3.103)

Ο όρος 1 + R αποτελεί ένα όρο μάζας. Είναι λες και η εξίσωση περιγράφει ένα τα-λαντωντή με φαινομενική μάζα meff = 1 + R. Η διαφορά με την εξίσωση 3.97 πουείχαμε εξάγει προηγουμένως είναι ότι τώρα η ταλάντωση είναι αποσβετική λόγο της

ύπαρξης του όρου ∆′0, η οποία και πάλι πηγάζει από την βαρύτητα, και η ταχύτητατου ήχου εξαρτάται από τον χρόνο αφού η πυκνότητα μάζας/ενέργεια ρ αλλάζει με τοπέρασμα του χρόνου.Θα προσπαθήσουμε να βρούμε τις λύσεις αυτής της εξίσωσης, λαμβάνοντας υπ-

όψιν κάποιες προσεγγίσεις. Θα θεωρήσουμε ότι τα βαρυτικά δυναμικά είναι σταθεράσυνάρτηση του χρόνου, και ότι η ταχύτητα του ήχου αλλάζει πολύ αργά έτσι ώστεc′s ≈ 0. ΄Ομως ο όρος c′s

cs= − RHc

2(1+R)8εμφανίζεται στον αποσβετικό όρο, άρα σε αυτή

την προσέγγιση θα τον αγνοήσουμε. ΄Αρα η εξίσωση ταλάντωση που θα λύσουμε είναι

∆′′0 − k2c2s∆0 = −k

2

3Ψ (3.104)

η οποία είναι απλή αρμονική εξαναγκασμένη ταλάντωση με πηγή την βαρύτητα, η οποίαισχύει τόσο για superhorizon κλίμακες όσο και για subhorizon. Ο όρος μοιάζει μεόρο πίεσης και βασικά αυτό που γίνεται είναι ότι το ρευστό φωτονίων-βαρυονίων αν-τιστέκεται έναντι της βαρύτητας για να μην καταρρεύσει. Η ανάλυση της ταλάντωσηςθα γίνει όπως κάναμε και στα προηγούμενα κεφάλαια, δηλαδή με την ανάλυση Jean.

8Υπολογίζουμε ότι

c′scs

= − R′

2(1+R) = − R2(1+R) (

ρ′bρb− ρ′γ

ργ). ΄Ομως υπενθυμίζουμε ότι Hc = − ρ′b

3ρb=

− ρ′γ4ργαπό την εξίσωση 2.73, και άρα c′s

cs= − R

2(1+R) (−3Hc + 4Hc) = − RHc2(1+R) .


Το μήκος Jean στην περίοδο της ισχυρής σύνδεσης είναι ο ορίζοντας (όπως είχαμεαναφέρει και στην αρχή του κεφαλαίου 4), όμως θα ορίσουμε μια νέα κλίμακα τονλεγόμενο ακουστικό ορίζοντα rs(η)

rs(η) =

∫ η

0

cs(η′)dη′ (3.105)

που στην προσέγγιση c′s ≈ 0, ισούται με rs(η) ≈ csη. Φυσικά για k-καταστάσεις έξωαπό τον κοσμικό ορίζοντα (super-horizon κλίμακες) το δγ = σταθερά τόσο για τηνπερίοδο της ακτινοβολίας όσο και για την περίοδο της ύλης (Βλ. υποκεφάλαιο 4.1 καιτην εξίσωση 2.135). ΄Αρα και το μονόπολο ∆0 = δγ

4= σταθερά. ΄Οταν η k-κατάσταση

εισχωρήσει μέσα στον ορίζοντα (sub-horizon κλίμακες), το ∆0 (όπως και το δγ) υπόκανονικές συνθήκες θα ταλαντώνεται με φθίνων πλάτος (Βλ. εξ.2.135) . ΄Ομως λόγοτων προσεγγίσεων που κάναμε, δηλαδή ότι τα Ψ και Φ είναι σταθερά (ή ότι αλλάζουνπάρα πολύ αργά συνάρτηση του χρόνου), αυτό δεν ισχύει για αυτή την περίπτωση.Ισχύει ότι αφού εισχωρήσει στον ορίζοντα, το ∆0 (δηλαδή το δγ) θα φθίνει (αυτό τοορίζουν αρχικές συνθήκες), μέχρι ως ότου να εισχωρήσει στον ακουστικό ορίζοντα (οοποίος είναι τόσο μεγάλος όσο ο κοσμικός) και αρχίσει να ταλαντεύεται σύμφωνα μετην εξίσωση 3.104.Για να βρούμε τις λύσεις αυτής της εξίσωσης θα θεωρήσουμε ότι έχουμε αδιαβατικές

αρχικές συνθήκες δηλαδή ότι ∆′0(0) = 0. Η λύση για όλες τις κλίμακες είναι

∆0(η, k) = −(1 +R)Ψ + A cos [krs(η)] +B sin [krs(η)] (3.106)

Επιβάλλοντας την αρχική συνθήκη, η σταθερά B = 0 και άρα

∆0(η, k) = −(1 +R)Ψ + A cos [krs(η)] (3.107)

Στις superhorizon κλίμακες, αν θέσουμε η → 0, (στην εποχή την ακτινοβολίας) ισχύειότι δγ = −2Φsup (Βλ. εξίσωση 2.139), δηλαδή∆0 = −Φsup

2, η οποία εξίσωση περιγράφει

πως συμπεριφέρεται το τοπικό μονόπολο στις superhorizon κλίμακες, και αφού R→ 0παίρνουμε

∆0(0) = −Φsup + A

⇒ A =Φsup

2

(3.108)

Αντικαθιστώντας την σταθερά A στην σχέση 3.107 έχουμε ότι το μονόπολο ισούταιμε

∆0(η, k) = −(1 +R)Ψ +Φsup

2cos [krs(η)] (3.109)


Για το δίπολο ξέρουμε ότι ισχύει η εξίσωση 3.87 και αφού

∆′0(η, k) = −kcsΦsup

2sin [krs(η)] (3.110)

το δίπολο θα ισούται με

∆1(η, k) = −csΦsup

2sin [krs(η)] (3.111)

Αυτές οι λύσεις περιγράφουν την ανισοτροπία της θερμοκρασίας των φωτονίων πριν

την αποσύνδεση τους με τα βαρυόνια, δηλαδή για χρόνους η < ηdec = η∗. Την στιγμήτης αποσύνδεσης το μονόπολο και το δίπολο της θερμοκρασίας δίνεται από

∆0(η∗, k) = −(1 +R)Ψ +Φsup

2cos [krs(η∗)] (3.112)

και

∆1(η∗, k) = −csΦsup

2sin [krs(η∗)] (3.113)

τις οποίες σχέσεις θα χρησιμοποιήσουμε αργότερα. Τώρα θα προχωρήσουμε στηνπερίοδο μετά την αποσύνδεση των φωτονίων με τα βαρυόνια, δηλαδή για χρόνουςη > η∗.

3.4.2 Το ρευστό φωτόνιων μετά την αποσύνδεση

΄Οταν τα φωτόνια αποσυνδεθούν από τα βαρυόνια ο όρος συγκρούσεων της σκέδασης

Compton φυσικά και μηδενίζεται αneσT → 0. Αυτή η προσέγγιση ονομάζεται free-streaming προσέγγιση, επειδή τα φωτόνια πλέον κινούνται ελεύθερα. Επειδή σε αυτήτην προσέγγιση τα πολύπολα της θερμοκρασίας δεν εξαλείφονται, όπως συνέβαινε στηνπροσέγγιση της ισχυρής σύνδεσης, δεν θα χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις 3.87-3.89αλλά θα πάμε πίσω στην αρχική σχέση που είχαμε την 3.82. Αυτό που συμβαίνει είναιότι η ισχύς που ήταν αποθηκευμένη στο μονόπολο και δίπολο πριν την αποσύνδεση,αρχίζει να εξαπλώνεται στα υπόλοιπα πολύπολα που βεβαίως θα δώσουν το φάσμα των

Cl. Θέτουμε αneσT = 0 στην εξίσωση 3.82 που μας δίνει την εξίσωση ελεύθερηςκίνησης των φωτονίων για χρόνους η > η∗,

∆′ + ikµ∆ = Φ′ − ikµΨ (3.114)

η οποία είναι μια ανομοιογενής διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης, που μπορεί πολύεύκολα να επιλυθεί. Το αριστερό μέρος της εξίσωσης μπορούμε να το γράψουμε δι-αφορετικά χρησιμοποιώντας το πιο κάτω trick

∆′ + ikµ∆ = e−ikµηd

dη

[eikµη∆

](3.115)


Αντικαθιστώντας αυτό στην 3.114 θα πάρουμε

e−ikµηd

dη

[eikµη∆

]= Φ′ − ikµΨ∫ η0

η∗

d[eikµη∆

]=

∫ η0

η∗

dηeikµη(Φ′ − ikµΨ)

eikµη0∆(η0)− eikµη∗∆(η∗) =

∫ η0

η∗

dηeikµη(Φ′ − ikµΨ)

∆(η0, k, µ) = eikµ(η∗−η0)∆(η∗, k, µ) +

∫ η0

η∗

dηeikµ(η−η0)[Φ′(η, k)− ikµΨ(η, k)]

(3.116)

όπου ο χρόνος η0 αντιπροσωπεύει το σήμερα. Mε άλλα λόγια το∆(η0) είναι η ανισοτροπίατης θερμοκρασίας των φωτονίων που παρατηρούμε σήμερα. Ο πρώτος όρος του αποτελέσ-ματος της εξίσωσης 3.116 αποτελεί μια αρχική συνθήκη, αφού είναι η ανισοτροπία τηςθερμοκρασίας την στιγμή της αποσύνδεσης ή καλύτερα της "τελευταίας σκέδασης" (lastscattering). ΄Αρα θα χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις 3.112 και 3.113, αφού πριν τηναποσύνδεση τα φωτόνια και τα βαρυόνια ήταν ισχυρά συνδεδεμένα. Χρησιμοποιώνταςτην εξίσωση 3.84 με την οποία εκφράζουμε το Δ συνάρτηση των πολυωνύμων Legen-dre, και υπενθυμίζοντας ότι κατά την περίοδο της ισχυρής σύνδεσης τα πολύπολα μεl ≥ 2 ήταν σχεδόν μηδενικά, γράφουμε

∆(η∗, k, µ) = ∆0(η∗, k) + 3iµ∆1(η∗, k) (3.117)

όπου αντικαταστήσαμε P0(µ) = 1 και P1(µ) = µ. Το αποτέλεσμα της εξίσωσης 4.80είναι προσεγγιστικό αφού θεωρήσαμε πως τα βαρυτικά δυναμικά κατά την περίοδο της

ισχυρής σύνδεσης είναι σταθερά συνάρτηση του χρόνου και ότι η επιφάνεια της τελευ-

ταίας σκέδασης δεν έχει πεπερασμένο πάχος, και ότι πραγματοποιήθηκε την στιγμήη∗.Τώρα θα λύσουμε το ολοκλήρωμα της εξ.4.80. Για το Ψ μέρος γράφουμε eikµ(η−η0)ikµ =

ddη

[eikµ(η−η0)] και ολοκληρώνουμε κατά μέλη

−∫ η0

η∗

dηeikµ(η−η0)ikµΨ(η, k) = −∫ η0

η∗

d[eikµ(η−η0)]Ψ(η, k)

= −:1

eikµ(η0−η0)Ψ(η0, k)− eikµ(η∗−η0)Ψ(η∗, k)+

+

∫ η0

η∗

dηeikµ(η−η0)Ψ′(η, k)

(3.118)

Επίσης γράφουμε τον όρο ∆1 = −k3uγ της εξ.4.81 συνάρτηση της ταχύτητας των

βαρυονίων, αφού την περίοδο της ισχυρής σύνδεσης ίσχυε ub = uγ.

∆(η∗, k, µ) = ∆0(η∗, k)− ikµub(η∗, k) (3.119)


και τότε η 4.80 παίρνει την εξής μορφή

∆(η0, k, µ) = eikµ(η∗−η0)[∆0 + Ψ− ikµub](η∗, k) +

∫ η0

η∗

dηeikµ(η−η0)[Φ′(η, k) + Ψ′(η, k)]

(3.120)όπου αγνοήσαμε τον όρο −Ψ(η0, k) επειδή δεν εξαρτάται από το µ και συνεισφέρειμόνο στο ∆0(η0, k), δηλαδή στο C0 που έχουμε θέσει ίσο με μηδέν.Ο πρώτος όρος της σχέσης 3.120 είναι οι Πρωτογενείς Ανισοτροπίες, οι οποίες σχη-

ματιστήκαν στην αποσύνδεση και αποτελούνται από την λεγόμενη φαινομενική ανισοτροπία

της θερμοκρασίας ∆0 + Ψ και το ανισοτροπικό τοπικό φαινόμενο Doppler −ikµub. Οδεύτερος όρος αντιπροσωπεύει τις δευτερογενείς ανισοτροπίες της θερμοκρασίας αφού

εξαρτάται από μεταγενέστερους χρόνους της αποσύνδεσης, το οποίο οδηγεί σε έναφαινόμενο που ονομάζεται Ολοκληρωμένο Sachs-Wolfe φαινόμενο (Integrated Sachs-Wolfe effect-ISW).

3.4.3 Η αυστηρή λύση της εξίσωσης Boltzmann

Σε αυτό το υποκεφάλαιο θα κάνουμε ότι κάναμε και στο προηγούμενο, μόνο που δενθα θεωρήσουμε ότι η αποσύνδεση είναι στιγμιαία, και έτσι θα έχουμε την πλήρης λύσητης εξίσωσης Boltzmann χωρίς καμία προσέγγιση. Αρχίζουμε φυσικά από την εξίσωση3.82 αλλά την γράφουμε λίγο διαφορετικά

∆′ + ikµ∆− τ ′∆ = Φ′ − ikµΨ− τ ′[∆0 + ikµub

](3.121)

όπου χρησιμοποιήσαμε τον ορισμό του οπτικού βάθους (Βλ. εξίσωση 3.83). Το αρισ-τερό μέρος της πιο πάνω εξίσωσης εξαρτάται μόνο από το Δ, και το δεξί μέρος αν-τιπροσωπεύει μια πηγή. Μπορούμε να γράψουμε το αριστερό μέρος όπως στην εξίσωση3.115 ως

∆′ + ikµ∆− τ ′∆ = e−ikµη+τ(η) d

dη

[eikµη−τ(η)∆

](3.122)

και ολοκληρώνοντας (όπως κάναμε και στο προηγούμενο κεφάλαιο) παίρνουμε

∆(η0, k, µ) =

∫ η0

0

dηeikµ(η−η0)−τ(η)

[Φ′ − ikµΨ− τ ′(∆0 + ikµub)

](3.123)

όπου χρησιμοποιήσαμε ότι τ(0) → ∞ και τ(η0) = 0. Τώρα θα κάνουμε το ίδιοtrick με προηγουμένως, δηλαδή θα γράψουμε το μέρος του ολοκληρώματος του Ψ ως∫ η0

0dηeikµ(η−η0)−τ(η)(Ψ′−τ ′Ψ), αγνοώντας όρους όπως Ψ(η0, k) για τους ίδιους λόγους


με πριν. Αν δείτε το σχήμα 1.4 θα δείτε ότι είχαμε ορίσει την συνάρτηση ορατότητας(visibility function) για πρώτη φορά. Ορίζεται ως g(τ) = −τ ′e−τ και άρα το ∆(η0)παίρνει την μορφή

∆(η0, k, µ) =

∫ η0

0

dηeikµ(η−η0)

[g(η)(∆0 + Ψ + ikµub) + e−τ (Φ′ + Ψ′)

](3.124)

η οποία είναι και η πλήρης λύση της εξίσωσης Boltzmann. Αυτή η εξίσωση συμφωνεί μετις προσεγγίσεις που κάναμε στο προηγούμενο υποκεφάλαιο αφού αν θέσουμε το g(η) =δ(η−η∗) θα πάρουμε την εξίσωση 3.120. Αυτός ο ορισμός της συνάρτησης ορατότηταςθέτει την πεπερασμένη επιφάνεια τελευταίας σκέδασης, να είναι στιγμιαία, όπως είχαμευποθέσει προηγουμένως. Βλέπουμε ότι οι προσεγγίσεις μας είναι πολύ καλές, για αυτόκαι στην συνέχεια θα χρησιμοποιούμε την προσέγγιση της στιγμιαίας αποσύνδεσης και

θα συμπεριλαμβάνουμε διαφορετικά το πάχος της συνάρτησης ορατότητας.Τώρα θα βρούμε μια διαφορετική μορφή της λύσης 3.124 που ονομάζεται line-of-

sight ολοκλήρωμα, η οποία θα είναι χρήσιμη στην συσχέτιση μεταξύ του angular powerspectrum Cl. Γι’ αυτόν τον σκοπό θα συσχετίσουμε το ∆(η0, k, µ) με τα ∆l(η0, k) γιανα μην έχουμε εξάρτηση ως προς το µ, χρησιμοποιώντας την εξίσωση 3.85. Προτούπροχωρήσουμε στην επίλυση του ολοκληρώματος ως προς µ θα γράψουμε διαφορετικάτον όρο ikµub, χρησιμοποιώντας την ίδια διαδικασία που ακολουθήσαμε για το Ψ μέροςτου ολοκληρώματος, για να μην εμφανίζεται αλλού το µ παρά μόνο στο εκθετικό.Λαμβάνοντας υπόψιν ότι το g(0) = 0 και g(η0) → 0, παίρνουμε την νέα μορφή τηςεξίσωσης 3.124

∆(η0, k, µ) =

∫ η0

0

dηeikµ(η−η0)

[g(η)(∆0 + Ψ− u′b)− g′ub + e−τ (Φ′ + Ψ′)

](3.125)

Τώρα είμαστε σε θέση να κάνουμε το ολοκλήρωμα ως προς το µ που δεν είναι παράμόνο

(−i)l

2

∫ 1

−1

dµeikµ(η−η0)Pl(µ) (3.126)

Για να λύσουμε αυτό το ολοκλήρωμα χρησιμοποιούμε την σχέση του Reyleigh

ex =∑l

(2l + 1)iljl[x]Pl(µ) (3.127)

όπου jl είναι οι συναρτήσεις Bessel. Λαμβάνουμε υπόψιν ότι το όρισμά τους πρέπει ναείναι θετικό x > 0, για αυτό και γράφουμε το ikµ(η − η0) = −ikµ(η0 − η)

e−ikµ(η0−η) =∑l′

(2l′ + 1)(−i)l′jl′ [k(η − η0)]Pl′(µ) (3.128)


΄Αρα το ολοκλήρωμα 3.126 γίνεται

(−i)l

2

∫ 1

−1

dµe−ikµ(η0−η)Pl(µ) =(−i)l

2

∑l′

(2l′ + 1)(−i)l′jl′ [k(η0 − η)]

∫ 1

−1

dµPl′(µ)Pl(µ)

=(−i)l

2

∑l′

(2l′ + 1)(−i)l′jl′ [k(η0 − η)]2

2l + 1δll′

=(−i)l

2(2l + 1)(−i)ljl[k(η0 − η)]

2

2l + 1

= (−1)ljl[k(η0 − η)]

(3.129)

όπου στο τελευταίο βήμα χρησιμοποιήσαμε ότι (−i)l(−i)l = (−1)2li2l = (−1)l. ΄Αρατο τοπικό πολύπολο της θερμοκρασίας είναι

∆l(η0, k) = (−1)l∫ η0

0

dηjl[k(η− η0)]

[g(∆0 + Ψ−u′b)− g′ub + e−τ (Φ′+ Ψ′)

](3.130)

Η πιο πάνω εξίσωση ονομάζεται ολοκλήρωμα line-of-sight. Μας δίνει απευθείας τα τοπ-ικά πολύπολα της θερμοκρασίας με όρους που είναι γνωστοί, όπως η συνάρτηση Besselκαι από ένα σετ πηγών (∆0, Ψ, Φ, ub). Αυτό μας δίνει την δυνατότητα να υπολογίζουμεεύκολα τα Cl αφού οι συναρτήσεις Bessel είναι αμετάβλητες για διαφορετικά μοντέλα,ενώ το μόνο που αλλάζει είναι το σετ πηγών. Παρακάτω θα συσχετίσουμε το angularpower spectrum Cl με την τοπική ανισοτροπία της θερμοκρασίας ∆l(η0, k) που βρήκαμεπιο πάνω.Αρχικά πρέπει να συσχετίσουμε την παρατηρήσιμη ανισοτροπία της θερμοκρασίας

της κατεύθυνσης n, Θ(n) με την τοπική ανισοτροπία της θερμοκρασίας. Η παρατηρήσιμηανισοτροπία της θερμοκρασίας παρατηρείται σήμερα, η0, στην θέση που βρισκόμαστε,την οποία ορίζουμε ~r = 0.

Θ((η0, n) = Θ(η0, ~r, n)

∣∣∣∣~r=0

(3.131)

Αλλάζοντας τώρα από τον χώρο των θέσεων στον χώρο Fourier των ~k και ορίζονταςότι η κατεύθυνση n συμπίπτει με την κατεύθυνση της ορμής των φωτονίων p παίρνουμεότι

Θ(η0, ~r, n) =

∫d3k

(2π)3ei~k·~rΘ(η0, k, k, n)

∣∣∣∣~r=0

Θ(η0, n) =

∫d3k

(2π)3Θ(η0, k, k, n)

(3.132)


Η συσχέτιση τώρα τουΘ(η0, k, k, n) με το∆(η0, k, k, n) περιγράφεται από την παρακάτωσχέση

Θ(η0, k, k, n) = ξ(~k)∆(η0, k, k, n) (3.133)

όπου το ξ(~k) είναι οι αρχικές συνθήκες που προέρχονται από κβαντικές διαταραχέςκατά την διάρκεια του πληρωθισμού (inflation theory), θεωρία η οποία περιγράφει τιέγινε ακριβώς μετά το Big Bang. Το ξ(~k) είναι μια τυχαία τιμή η οποία υπακούει το

probability law. Για κάθε ~k υπάρχει μια πιθανότητα να έχει μια συγκεκριμένη τιμή. Οόρος Θ(η0, k, k, n) είναι επίσης μια τυχαία τιμή, ενώ ο όρος ∆(η0, k, k, n) αποτελεί μια

συνάρτηση μεταφοράς η οποία αναπαράγει το ξ(~k) από τον πληθωρισμό στο σήμερα.Ορίζεται ότι η κβαντικά η κατανομή των αρχικών συνθηκών που έχουν την μορφή⟨

ξ(~k)ξ(~k′)⟩

= (2π)3P s0 (k)δ3(~k − ~k′) (3.134)

όπου το P s0 (k) είναι το αρχικό φάσμα της ισχύς που δίνεται από τον πληθωρισμό.

Χρησιμοποιώντας την πιο πάνω εξίσωση μπορούμε να συσχετίσουμε τα Θ με τα Cl.Ούτος ώστε να εμφανίσουμε την εξίσωση 3.134 στην 3.133, γράφουμε την παρακάτωσχέση⟨

Θ(n)Θ∗(n′)⟩

=

∫d3k

(2π)3

∫d3k′

(2π)3∆(η0, k, k, n)∆∗(η0, k

′, k′, n′)⟨ξ(~k)ξ(~k′)

⟩=

∫d3k

(2π)3

∫d3k′P s

0 (k)δ3(~k − ~k′)∆(η0, k, k, n)∆∗(η0, k′, k′, n′)

=

∫d3k

(2π)3P s

0 (k)∆(η0, k, k, n)∆∗(η0, k, k, n′)

(3.135)

Ο λόγος που γράφουμε τα μιγαδικά μέρη είναι επειδή ακόμα και αν λύνουμε κλασσικά

το πρόβλημα, βρισκόμαστε στον χώρο Fourier όπου υπάρχουν μιγαδικές τιμές. Ισχύειότι

C(n, n′) =⟨Θ(n)Θ∗(n′)

⟩=

1

4π

∑l

(2l + 1)ClPl(n · n′)

=

∫d3k

(2π)3P s

0 (k)∆(η0, k, k, n)∆∗(η0, k, k, n′)

(3.136)

Πολλαπλασιάζοντας και από τις δύο πλευρές με P ′l (n · n′) και ολοκληρώνοντας ως προςd(n · n′) παίρνουμε

Cl =1

4π2

∫d3kP s

0 (k)

∫dνPl(ν)∆(η0, k, k, n)∆∗(η0, k, k, n

′) (3.137)


όπου θέσαμε ότι ν = n · n′ και συνεχίζοντας εφαρμόζοντας διάφορες ιδιότητες τωνπολυωνύμων Legendre (Βλ. Παράρτημα A.4)και την σχέση 3.84 βρίσκουμε ότι

Cl =2

π

∫k2dkP s

0 (k)|∆l(η0, k)|2 (3.138)

Η πιο πάνω εξίσωση είναι η τελική φόρμουλα του Cl η οποία συνδέει το αρχικό powerspectum P s

0 (k) με την συνάρτηση μεταφοράς των φωτονίων ∆l(k) οι οποίες εμπερ-ιέχουν την κοσμολογική εξέλιξη μετά τον πληθωρισμό.

3.4.4 Η φυσική προέλευση των πρωτογενών

ανισοτροπιών

Η φαινομενική θερμοκρασία και το συνηθισμένο φαινόμενο

Sachs-Wolfe

΄Εστω ότι βρισκόμαστε στην superhorizon κλίμακα τί συμβαίνει στις ανισοτροπίεςτης Επιφάνειας της Τελευταίας Σκέδαση; Δηλαδή εκεί που έγινε η αποσύνδεση; Οιανισοτροπίες μέχρι εκείνη την περίοδο, όπως έχουμε δει από την εξίσωση 3.120 έχουντην μορφή [∆0 + Ψ− ikµub](η∗, k). Τώρα η ταχύτητα των βαρυονίων καθορίζεται απότο γεγονός ότι βρισκόμαστε στις superhorizon κλίμακες. Αυτό επιβάλει ότι ub ∝ η καιαφού οι superhorizon κλίμακες διαδραματίζονται σε η πολύ μικρό, μπορούμε να θέσουμεότι ub ≈ 0. Το δυναμικό Ψ από την άλλη είναι σταθερό ως προς τον χρόνο και ωςπρος τον χώρο, όπως επίσης ισχύει και για το ∆0 αφού εξαρτάται από το δγ =σταθερόσε αυτή την κλίμακα. ΄Αρα αφού ο όρος (∆0 + Ψ)(η, k) είναι σταθερός σε αυτή τηνκλίμακα, θα ισχύει και για το (∆0 + Ψ)(η∗, k) αυτό, το οποίο παγώνει στην Επιφάνειατης Τελευταίας Σκέδασης.Ο όρος ∆0 + Ψ έχει μια σημαντική φυσική έννοια. ΄Εστω ότι υπάρχει ένα βαρυτικό

πηγάδι κάπου στον χώρο. ΄Ενα φωτόνιο την στιγμή η1 βρίσκεται έξω από το πηγάδι και

προχωρά προς το μέρος του. Την στιγμή η2 όμως βρίσκεται μέσα στο πηγάδι και τότε

το μήκος κύματός του μετατοπίζεται προς το ιώδες (blueshifted) επειδή θα κερδίσειενέργεια λόγω της βαρύτητας. Αν βρισκόμαστε και εμείς μέσα στο πηγάδι, εκείνη τηνστιγμή το μονόπολο∆0(η2) δεν θα είναι αυτό που θα παρατηρούμε, αλλά η παρατηρίσιμη(φαινομενική) τιμή θα είναι ίση με ∆0(η2) + Ψ. Αν τώρα ένα φωτόνιο δημιουργηθείμέσα στο πηγάδι την στιγμή η1 έχοντας μονόπολο ίσο με ∆0(η1), την στιγμή η2 που θα

βγεί από το πηγάδι, θα χάσει ενέργεια και το μήκος κύματός του θα μετατοπιστεί προςτο ερυθρό. Η παρατηρήσιμη (φαινομενική) τιμή της ανισοτροπίας της θερμοκρασίας,έξω από το πηγάδι θα είναι ίση με ∆0(η2) + Ψ (Βλ. Σχήμα 3.3).Τώρα θα χρησιμοποιήσουμε το ολοκλήρωμα line-of-sight (εξ.3.130) για να συνεχί-

σουμε πάρακάτω. Ας μην ξεχνάμε ότι οι όροι στην παρένθεση του ολοκληρώματος που


Σχήμα 3.3: Τα φωτόνια εισέρχοντας ή εξέρχοντας σε/από ένα βαρυτικό πηγάδι,κερδίζουν ή χάνουν ενέργεια αντίστοιχα. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να αλλάζει τηνπαρατηρήσιμη τιμή του μονόπολου της θερμοκρασίας τους από ∆0 σε ∆0 + Ψ. Παρόλααυτά, αν ένα φωτόνιο εισέλθει και εξέλθει από το βαρυτικό πηγάδι, οι αλλαγές πουθα έχει υποστεί θα απαλειφτούν και η θερμοκρασία του θα είναι ίδια με αυτή που είχε

προτού εισέλθει στο πηγάδι. Η αλλαγή της θερμοκρασίας του εξαρτάται από την θέσηδημιουργίας του φωτονίου και την θέση του παρατηρητή.

έχουν την συνάρτηση της ορατότητας g και την παράγωγό της, αντιπροσωπεύουν τιςΠρωτογενενείς ανισοτροπίες της εξίσωσης 3.120 που έχουμε όταν η αποσύνδεση εί-ναι στιγμιαία. Θεωρούμε ότι βρισκόμαστε σε superhorizon κλίμακες και άρα ισχύει ότιub(η) = 0, το οποίο και θέτουμε στην εξίσωση 3.130. Επίσης θεωρούμε ότι τα δυναμικάΨ και Φ είναι σταθερά στο πέρασμα του χρόνου, το οποίο συμφωνεί αν βρισκόμαστεστην περίοδο που κυριαρχεί η ύλη, ασυμφωνεί όμως αν βρισκόμαστε σε subhorizonκλίμακες σε περίοδο ακτινοβολίας, κατά την οποία αν και το ub δεν είναι ανάλογο τουχρόνου, φθίνει με τον χρόνο. Το ολοκλήρωμα γίνεται

∆l(η0, k) = (−1)l∫ η0

0

dηjl[k(η − η0)]g(∆0 + Ψ)

= (−1)l∫ η0

0

dηjl[k(η − η0)]δ(η − η∗)(∆0 + Ψ)

= (−1)ljl[k(η∗ − η0)](∆0 + Ψ)(η∗)

(3.139)

όπου θεωρήσαμε ότι η αποσύνδεση γίνεται στιγμιαία. Αυτή η εξίσωση ισχύει μόνο γιαsuperhorizon κλίμακες, λόγο των προσεγγίσεων που κάναμε. Για subhorizon κλίμακες,


πρέπει να λάβουμε υπόψιν το ub στην σχέση 3.130, όπως φυσικά και τις αλλαγές τωνδυναμικών για να έχουμε πιο σωστή εικόνα για το τι συμβαίνει.Αν διερωτιέσται, τα όρια του ολοκλήρωματος αυτού μπορεί να είναι για οποιαδήποτε

στιγμή η. Μπορούμε για παράδειγμα να δούμε πως αυτές οι ανισοτροπίες θα φαίνονταιστο μέλλον, ή πώς φαίνονταν σε παρελθοντικό χρόνο. Ο λόγος που χρησιμοποιούμετον σημερινό χρόνο η0 είναι επειδή αυτά παίρνουμε από τις παρατηρήσεις μας. Επίσης,ίσως αναρωτιέστε γιατί βλέπουμε την παγωμένη εικόνα στην Επιφάνεια της Τελευταίας

Σκέδασης και όχι κάποια άλλη. Αν και τα φωτόνια μόλις αποσυνδεθούν από τα βαρυόνιασταματούν να αλληλεπιδρούν ισχυρά, δεν παύουν να αλληλεπιδρούν εντελώς. Απλώςγίνεται σε μικρότερη ισχύ. Αυτές οι λιγοστές αλληλεπιδράσεις ακόμα και αν έχουνκάποιο αντίχτυπο στο∆0+Ψ δεν έρχονται να υπερισχύσουν στον όρο της αποσύνδεσης.Παρόλα αυτά θα έχουν επιρροή στις Δευτερογενείς Ανισοτροπίες που θα μελετήσουμε

αργότερα.Αν το χρησιμοποιήσουμε αυτό τώρα στην εξίσωση 3.138 που βρήκαμε στο προηγού-

μενο υποκεφάλαιο και υποθέσουμε ότι το πρώιμο power spectrum περιγράφεται απόP s

0 = Akn−4, με το n να είναι ένας φασματικός δείκτης, ενώ θέσουμε x = k(η∗−η0)⇒k = x/(η∗ − η0), έχουμε ότι

Cl =2

π

∫k2dkAkn−4

∣∣∣∣(−1)ljl[k(η∗ − η0)](∆0 + Ψ)(η∗)

∣∣∣∣2=

2

π

∫x2dxAxn−4(η∗ − η0)n−1j2

l (x)

∣∣∣∣(∆0 + Ψ)(η∗)

∣∣∣∣2= B

∫dxxn−2j2

l (x)

(3.140)

όπου θέσαμε το B = 2πA(η∗ − η0)n−1

∣∣∣∣(∆0 + Ψ)(η∗)

∣∣∣∣2 =σταθερά.

Για να λύσουμε αυτό το ολοκλήρωμα χρησιμοποιούμε τις συναρτήσεις γάμμα Γ(m).Ισχύει ότι ∫ ∞

0

dxxn−2j2l (x) = 2n−4π

Γ(l + n−12

)Γ(3− n)

Γ(l + 5−n2

)Γ2(2− n2)

(3.141)

Αν θέσουμε το n = 1 για βαθμωτό-αμετάβλητο φάσμα, θα δώσει

Cl = Bπ

23

Γ(l)Γ(2)

Γ(l + 2)Γ2(32)

= B4πΓ(l)

23πΓ(l + 2)= B

(l − 1)!

2(l + 1)!= B

1

2l(l + 1)(3.142)

όπου θέσαμε ότι Γ(2) = 1 και Γ(32) = 1

2

√π, ενώ γενικά ισχύει ότι Γ(l) = (l− 1)!. ΄Αρα

l(l + 1)CSWl = σταθερά (3.143)


Σχήμα 3.4: Ακουστικές ταλαντώσεις. Αριστερά το ρευστό φωτονίων-ηλεκτρονίωνβρίσκεταη στην underdense περιοχή, και συμπιέζεται λόγο της βαρύτητας, οδηγών-τας το να πέσει στο κέντρο του πηγαδιού και να μετατοπιστεί στο ιώδες. Δεξιά τορευστό φωτονίων-ηλεκτρονίων βρίσκεται στην overdense περιοχή και αποσυμπιέζεταιλόγο της πίεσης των εσωτερικών σκεδάσεων του, μετατοπίζοντας το έτσι στο ερυθρό.Στην περίπτωση που λάβουμε υπόψη τα βαρυόνια, η μάζα του ρευστού αυξάνεται και ηφαινομενική θερμοκρασία είναι μεγαλύτερη στην overdense περιοχή έναντι αυτής στηνunderdense περιοχής.

Η πιο πάνω εξίσωση ονομάζεται συνηθισμένο φαινόμενο Sachs-Wolfe (Βλ. Sachs etal., “Republication of: Perturbations of a cosmological model and angular variationsof the microwave background (By RK Sachs and AM Wolfe)”), και περιγράφει τοφυσικό φαινόμενο κατά το οποίο τα φωτόνια καθώς περνούν από τα βαρυτικά πεδία

μετατοπίζονται προς το ερυθρό ή το ιώδες για superhorizon κλίμακες. Ακόμα και αντα αρχικά φωτόνια έχουν μηδενική ανισοτροπία στην θερμοκρασία, εμείς θα βλέπουμεότι στον ουρανό υπάρχει ανισοτροπία της θερμοκρασίας, λόγω αυτής της μετατόπισης.

Ακουστικές ταλαντώσεις

Αφού είδαμε πως συμπεριφέρεται το μονόπολο της θερμοκρασίας στις superhorizonκλίμακες, και πως επηρεάζει τα Cl που παρατηρούμε στον ουρανό, τώρα θα δούμε πώςσυμπεριφέρεται το μονόπολο της θερμοκρασίας στην subhorizon κλίμακα και πώς είναιδιαμορφωμένο το παγωμένο (∆0 + Ψ)(η∗, k) λόγο αυτής της προσέγγισης. Για να τοκάνουμε αυτό θα επιστρέψουμε πίσω στην προσέγγιση της ισχυρής σύνδεσης.Στο πρώιμο σύμπαν τα φωτόνια κυριαρχούσαν έναντι των βαρυονίων και άρα ο


λόγος φωτονίων-βαρυονίων γίνεται R→ 0 και η εξίσωση 3.109, γίνεται

(∆0 + Ψ)(η, k) =Φsup

2cos [krs(η)] (3.144)

ενώ η ταχύτητα του ήχου θα γίνει cs = 1√3και τότε rs = csη = 1√

3η.

΄Οπως παρατηρείται η εξίσωση αυτή αναπαριστά μια ταλάντωση της φαινομενικής

θερμοκρασίας. Ας δούμε λίγο την φυσική της προέλευση. Τα φωτόνια και τα βαρυόνιαείναι ισχυρά συνδεδεμένα μέσω της σκέδασης Compton. Αυτό οδηγεί στο να υπάρχειπίεση μέσα στο ρευστό φωτονίων-ηλεκτρονίων η οποία αντιστέκεται της συμπίεσης. Ηβαρύτητα από την άλλη, την οποία αντιπροσωπεύει ο όρος Ψ, παίζει σημαντικό ρόλο,όχι μόνο στην φαινομενική θερμοκρασία, αλλά και στο φαινόμενο της ταλάντωσης. Κα-θώς το ρευστό φωτονίων-βαρυονίων εισέρχεται στο πηγάδι, η βαρύτητα συμπιέζει τορευστό, ενώ η πυκνότητα των φωτονίων (εξ.2.133) μεταβάλλεται, όπως επίσης και αυτήτων βαρυονίων, η οποία σχετίζεται με την πυκνότητα των φωτονίων (θεωρούμε ότι τοδυναμικό είναι σταθερό ως προς τον χρόνο, αλλά όχι στον k-χώρο στις subhorizonκλίμακες για όλες τις εποχές προσεγγιστικά

9), και άρα προφανώς μεταβάλλεται και ηθερμοκρασία αφού ισχύει η σχέση 3.91. Στον πάτο του πηγαδιού, η συμπίεση λόγωτης βαρύτητας θα είναι μέγιστη (overdense region Ψ = Φ < 0), και αυτό καθιστά τηνπυκνότητα και άρα την θερμοκρασία των φωτονίων να γίνει μέγιστη, αφού ας μην ξε-χνάμε τα φωτόνια κερδίζουν ενέργεια και μετατοπίζονται προς το ιώδες. ΄Ομως σε εκείνοτο σημείο, η πίεση λόγω της σκέδασης Compton γίνεται ακόμα πιο ισχυρή η οποία αν-τιστέκεται στην βαρύτητα, ούτος ώστε να εξαναγκάσει το ρευστό να αποσυμπιεστείγια να επιστρέψει πίσω σε περιοχή που το βαρυτικό πεδίο είναι αδύναμο (underdenseregion), όπου το μήκος κύματος των φωτονίων μετατοπίζεται προς το ερυθρό. ΄Ομωςκαθώς αποσυμπιέζεται το ρευστό, η πίεση λόγο της σκέδασης Compton μειώνεταικαι η διαδικασία επαναλαμβάνεται. Αυτό οδηγεί σε αυτές τις ακουστικές ταλαντώσειςτης πυκνότητας των φωτονίων-βαρυονίων και φυσικά της θερμοκρασίας, όπως επίσηςοδηγεί στην μετατόπιση προς το ερυθρό και το ιώδες σε επαναλαμβανόμενους κύκλους,με αποτέλεσμα να εξαϋλώνονται οι αλλαγές στο μήκος κύματος (3.4). Αυτές οι τα-λαντώσεις συνεχίζονται επ’ αόριστον μέχρι ως ότου αποσυνδεθούν τα φωτόνια από ταβαρυόνια, την χρονική στιγμή η∗. Στην επιφάνεια τελευταίας σκέδασης, αυτό το μοτίβοπαγώνει, και πλέον οι ταλαντώσεις των ∆l στον χρόνο η, θα αλλάξουν σε ταλαντώσειςστο k αφού πλέον ο όρος ∆0 + Ψ έχει παγώσει, και θα εξαρτώνται από τις συναρτήσειςBessel.

9Αυτό ίσως προκαλεί μια σύγχυση, αφού στην εποχή της ακτινοβολίας όπως είδαμε ισχύει η εξίσωση

2.135. ΄Ομως στις προσεγγίσεις που κάναμε για να βρούμε την σχέση 3.109 είχαμε υποθέσει ότι ταδυναμικά είναι σταθερά ως προς τον χρόνο. Εως αυτή την στιγμή αγνοούμε τέτοιου είδους αλλαγέςαλλά θα τις δούμε πάρακάτω αφού εμφανίζονται στο ISW ολοκλήρωμα


Σχήμα 3.5: Η ακουστική ταλάντωση στην φαινομενική θερμοκρασία ∆0 +Ψ συνάρτησητου ιδιόχρονου η. Κάθε διαφορετική ki κατάσταση εισέρχεται σε διαφορετική χρονικήστιγμή ηi στον ορίζοντα. ΄Ολες οι καταστάσεις στις superhorizon κλίμακες έχουνσταθερή φαινομενική θερμοκρασία, ενώ στις subhorizon κλίμακες φθίνουν στην αρχήκαι όταν εισέρχονται στον ακουστικό ορίζοντα, αρχίζουν να ταλαντώνονται λόγο τηςσυμπίεσης-αποσυμπίεσης μέσα στο βαρυτικό πηγάδι. Η εικόνα παγώνει την στιγμήτης αποσύνδεσης, η∗, και για κάθε κατάσταση το αποτέλεσμα είναι διαφορετικό. Οιαρνητικές τιμές αποτελούν περιττές κορυφές ενώ θετικές τιμές άρτιες κορυφές. Εδώισχύει ότι k1 > k2 > k3 > k4.

Ας τα συνοψίσουμε λίγο. ΄Εστω ότι βρισκόμαστε έξω από τον ορίζοντα, τότεθα ισχύει ότι (∆0 + Ψ)(η, k) θα είναι σταθερά ως προς τον χρόνο και τον k-χώρο(Ψsup(η,~k) =σταθερά και ∆0(η,~k) ∝ δγ(η,~k) =σταθερά). ΄Οταν ο ορίζοντας γίνειαρκετά μικρότερος από το k, τότε θα εισέλθουμε στις subhorizon κλίμακες. Για δι-αφορετικό k αναλόγως θα εισέρχεται μέσα στον ορίζοντα σε διαφορετική στιγμή ότανισχύει k > Hc(η), γιατί ας μην ξεχνάμε ότι ο ορίζοντας μεγαλώνει με τον χρόνο(∝ 1

Hc). ΄Οσο πιο μεγάλο είναι το k τόσο πιο σύντομα θα εισέλθει στον ορίζοντα

(πχ. αν k1 > k2 ⇒ η1 < η2). Για εκείνες τις k-καταστάσεις που βρεθούν μέσαστον ορίζοντα η φαινομενική θερμοκρασία παύει να είναι σταθερή και αρχίζει να ταλαν-

τώνεται συνάρτηση του χρόνου όπως περιγράφει η εξίσωση 3.144. Βέβαια, υπάρχουνπολύ μικρές k-καταστάσεις που δεν θα προλάβουν να εισχωρήσουν στον ορίζοντα πριντην στιγμή της αποσύνδεσης (Σχήμα 3.6). Την στιγμή η∗ όμως αυτές οι ταλαντώσεις


Σχήμα 3.6: Η ακουστική ταλάντωση στην φαινομενική θερμοκρασία ∆0 +Ψ συνάρτησητου κυματαριθμού k την στιγμή της αποσύνδεσης. Αυτή είναι η παγωμένη εικόνα γιακάθε ki. Πχ. για το k1 η παγωμένη εικόνα θα είναι στην overdense περιοχή όπου ησυμπίεση λόγο της βαρύτητας είναι μέγιστη. Σημείωση: τα k αντιστοιχούν σε αυτάτου σχήματος 3.5

παύουν να εκτελούνται, παγώνοντας το μοτίβο στην επιφάνεια της τελευταίας σκέδασης.Φυσικά και για διαφορετικό k αυτή η παγωμένη εικόνα θα διαφέρει.Σημειώνουμε ότι το k αποτελεί επίσης τον κυματαριθμό της ταλάντωσης, όπως

φαίνεται από την σχέση 3.139. ΄Οσο μεγαλύτερο είναι το k τόσο μικρότερο είναι τομήκος κύματος λ, και άρα εκτελεί περισσότερες ταλαντώσεις σε ένα χρονικό διάστημα.Αν τύχει και το k έχει ακριβώς την τιμή για να εκτελέσει μισή ταλάντωση μέχρι τηνστιγμή της αποσύνδεσης, αυτό θα σημαίνει ότι το ρευστό συμπιέστηκε στην μέγιστητιμή δηλαδή ότι βρέθηκε στο βάθος του πηγαδιού, στην overdense περιοχή, και έχειυποστεί μετατόπιση προς το ιώδες (Σχήμα 3.5, κατάσταση-k4). Το k μπορεί να είναιακόμα πιο μεγαλύτερο και να έχει την ακριβής τιμή που θα οδηγούσε στην εκτέλεση μιας

πλήρης ταλάντωσης του ∆0 + Ψ μέχρι την στιγμή της αποσύνδεσης. ΄Αρα το ρευστότώρα, τέθηκε υπό την μέγιστη συμπίεση και την μέγιστη αποσυμπίεση, παγώνοντας


Σχήμα 3.7: Το Baryon drag για την φαινομενική θερμοκρασία ∆0 + Ψ συνάρτηση τουιδιοχρόνου η. Ο άξονας-x μετατοπίζεται λόγο της ύπαρξης του όρου −RΨ. Αυτόέχει ως αποτέλεσμα οι απόλυτες τιμές των άρτιων κορυφών να είναι μικρότερες από

αυτές των περιττών κορυφών. Επιπλέον, οι k καταστάσεις που θα είναι παγωμένεςστις underdense ή overdense περιοχές διαφέρουν από αυτές που ήταν προηγουμένως,λόγω της αλλαγής του ακουστικού ορίζοντα rs. Η οριζόντια διακεκομμένη γραμμήαντιπροσωπεύει τον άξονα-x για την περίπτωση των ακουστικών ταλαντώσεων.

σε μια underdense περιοχή του δυναμικού (Σχήμα 3.5, κατάσταση-k2). Εντωμεταξύ,ενδιάμεσες τιμές του k θα καθιστούν τα ρευστά να βρίσκονται στις ενδιάμεσες περι-οχές του δυναμικού, κατά τις οποίες μπορεί να έχουν υποστεί είτε μετατόπιση προςτο ερυθρό είτε μετατόπιση προς το ιώδες. Αυτές οι παγωμένες εικόνες αντανακλών-ται στα Cl που εξαρτώνται από το τετράγωνο του ∆0 + Ψ. Μόνο που τώρα περιττέςκορυφές αντιπροσωπεύουν τις overdense περιοχές, ενώ οι άρτιες τις underdense πε-ριοχές. Τα μηδενικά σημεία φυσικά αντιπροσωπεύουν τις περιοχές που η πίεση λόγοσκέδασης Compton και η συμπίεση λόγο βαρύτητας βρίσκονταν σε ισορροπία (Σχήμα3.5, κατάσταση-k3).

Baryon drag

Λαμβάνοντας υπόψιν το λόγο των βαρυονίων-φωτονίων R 6= 0 παίρνουμε καλύτερηπροσέγγιση για τις λύσεις των ∆0 + Ψ αφού είναι πιο κοντά στην πραγματικότητα


Σχήμα 3.8: Το Baryon drag για την φαινομενική θερμοκρασία ∆0 + Ψ συνάρτησητου κυματαριθμού k την στιγμή της αποσύνδεσης. H οριζόντια διακεκομμένη γραμμήαντιπροσωπεύει την άξονα-x για τις ακουστικές ταλαντώσεις.

αφού η πυκνότητα των βαρυονίων δεν είναι μηδενική.

(∆0 + Ψ)(η, k) = −RΨ +Φsup

2cos [krs(η)] (3.145)

Ο μη μηδενικός όρος R καθιστά την ταχύτητα του φωτός να είναι ίση με 1√3(1+R)

, η

οποία είναι μικρότερη σε σχέση με την περίπτωση που το R = 0. Από φυσικής άποψηςαυτό συμβαίνει επειδή τα βαρυόνια είναι βαριά σωματίδια, και προσφέρουν την μάζατους στην φαινομενική μάζα του ρευστού φωτονίων-βαρυονίων (όπως είχαμε αναφέρεικαι στην σχέση 3.103) η οποία μεγαλώνει την επίδραση της συμπίεσης της βαρύτηταςκαθώς πέφτει μέσα στο πηγάδι. Επιπλέον, μειώνεται και ο ακουστικός ορίζοντας, μετα φωτόνια τώρα να ταξιδεύουν πιο μεγάλη απόσταση μέχρι να εισέλθουν μέσα στον

ακουστικό ορίζοντα, και άρα ο αριθμός των πλήρων ταλαντώσεων θα είναι μικρότεροςσε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση. Ο όρος −RΨ από την άλλη μετατοπίζει τονοριζόντιο άξονα στο σημείο ∆0 + (1 +R)Ψ (μετατόπιση προς τα πάνω).


Διάχυση φωτονίων (Photon-diffusion) και Silk damping

Μέχρι τώρα θεωρούσαμε ότι όταν τα φωτόνια και τα βαρυόνια (και ηλεκτρόνια) είναιισχυρά συνδεδεμένα, ο όρος neσT → ∞ επειδή τα βαρυόνια και τα φωτόνια κινούνταιμαζί (ub = uγ) σαν ένα ενιαίο ρευστό. Αν το σκεφτούμε διαφορετικά, τα φωτόνια ότανσκεδαστούν από τα ηλεκτρόνια, η απόσταση που θα διανύσουν μέχρι να σκεδαστούνξανά είναι μηδενική, άρα σκεδάζονται συνεχώς. Την προσέγγιση αυτή, την χρησι-μοποιήσαμε για να εξάγουμε τις εξισώσεις και τις αντίστοιχες λύσεις που περιγράφουν

τις ανισοτροπίες της θερμοκρασίας κατά την διάρκεια της ισχυρής σύνδεσης. ΄Ομωςστην πραγματικότητα ο όρος είναι πεπερασμένος, αλλά φυσικά πολύ μεγάλος. Βέβαιαστο πρώιμο σύμπαν η προσέγγιση που κάναμε είναι πολύ καλή για χρόνους η η∗,παρόλα αυτά όταν πλησιάζουμε την στιγμή της αποσύνδεσης η προσέγγιση σπάζει κα-

θώς το neσT πλησιάζει τον ρυθμό του Hubble. ΄Αρα πλέον η απόσταση που διανύουντα φωτόνια μέχρι να ξανασκεδαστούν δεν είναι μηδενική. Αυτό έχει ως αποτέλεσματα φωτόνια να διαχέονται μέσα στο ρευστό ηλεκτρονίων σε τυχαίες διαδρομές. ΄Αρα ημέση ελεύθερη διαδρομή (mean free path) ενός φωτονίου που διανύει μέχρι να σκεδαστείξανά είναι λMFP = 1

neσT. Φυσικά όταν το neσT →∞ η μέση ελεύθερη διαδρομή ισού-

ται με μηδέν λMFP = 0, όπως αναφέραμε πιο πάνω, ενώ όταν το neσT → 0, στοόριο free-streaming των φωτονίων, το λMFP τείνει στο άπειρο, δηλαδή τα φωτόνια δενσκεδάζονται ποτέ ξανά.Για το χρονικό διάστημα ενός χρόνου Hubble t = H−1

τα φωτόνια θα σκεδαστούν

N φορές. ΄Αρα N = neσTHαφού ο όρος neσT αποτελεί τον ρυθμό σκέδασης. Κατά

την διάρκεια της εκτέλεσης μιας τυχαίας διαδρομής, το φωτόνιο διένυσε μια συνολικήαπόσταση λD για την οποία ισχύει ότι

λD = λMFP

√N =

1√neσTH

(3.146)

Αυτή η συνολική απόσταση ονομάζεται μήκος διάχυσης. Το φαινόμενο της διάχυσηςφωτονίων μέσα στο ρευστό συντελεί στην εξασθένηση διαταραχών με μήκος κύματος

μικρότερο από το μήκος διάχυσης. Αυτό σημαίνει ότι στον k-χώρο, μπορούμε να ορί-σουμε ένα αντίστοιχο κυματαριθμό διάχυσης kD, και όταν ένας κυματαριθμός k είναιk > kD μπορούμε να τον απορρίψουμε. Αυτές οι απορρίψεις που κάνουμε ονομάζον-ται Silk damping (Silk, “Cosmic black-body radiation and galaxy formation”), οιοποίες δεν συμπεριλαμβάνονται στις εξισώσεις των προσεγγίσεων της ισχυρής σύν-

δεσης. Για να δούμε πως εμφανίζονται στις εξισώσεις πρέπει να λάβουμε υπόψιν μιατάξη μεγαλύτερη ως προς τον όρο

1αneσT

στην σχέση 3.10310. Αφού μέχρι τώρα αγ-νοούσαμε τις καταστάσεις υψηλότερες και ίσες με την ∆2. ΄Αρα θα επιστρέψουμε πίσω

10Βλέπε Dodelson, Modern Cosmology Κ.8.4 και το άρθρο των Hu and White, “The damping tail

of cosmic microwave background anisotropies”.


στις αρχικές σχέσεις 3.87-3.90 για τις οποίες θα λάβουμε υπόψιν τις καταστάσεις ∆2.Σίγουρα οι λύσεις μας θα είναι συμβατές με τις λύσεις που βρήκαμε στην εξισώση

3.109, άρα θεωρούμε ότι το μονόπολο και δίπολο θα είναι ανάλογα με τα συνημίτονα ήδιαφορετικά ∆0,∆1 ∝ ei

∫ωdη.

Αναπτύσσοντας μέχρι και τον όρο ∆2, οι εξισώσεις 3.87-3.90 θα δώσουν

∆′0 = k∆1 (3.147)

∆′1 −k

3(2∆2 −∆0) = τ ′(∆1 +

k

3ub) (3.148)

∆′2 +2k

5∆1 =

9

10τ ′∆2 (3.149)

όπου θεωρήσαμε ότι τα δυναμικά Ψ και Φ είναι πολύ μικρά για αυτό και τα αγνοούμε.Χρησιμοποιώντας τώρα την εξίσωση 3.98 και αφού το ub ∝ ∆1 όπως περιγράφει η

εξίσωση 3.92 σημαίνει ότι θα ισχύει και για την ταχύτητα ότι ub ∝ ei∫ωdη. Παραγωγί-

ζοντας το θα έχουμε ότι

u′b ∝ ei∫ωdηi

∫dω

dηdη

u′b = iωub Hcub

(3.150)

Το τελευταίο βήμα ισχύει επειδή ω = kcs και ας μην ξεχνάμε ότι το Silk damping τοκάνουμε για κυματαριθμούς πολύ μεγάλους και πως Hc ∝ η−1. Για αυτό τον λόγο ηεξίσωση 3.98 γίνεται

R

τ ′u′b =

3∆1

k+ ub (3.151)

Αν αντικαταστήσουμε το u′b = iωub και λύσουμε ως προς ub

ub = −3∆1

k(1− iωR

τ ′)−1 (3.152)

Θα αναπτύξουμε τον όρο στην παρένθεση ως προς την επόμενη τάξη τ ′−2επειδή στην

εξίσωση 3.148 ο όρος ub πολλαπλασιάζεται με το τ ′ ενώ εμείς θέλουμε στο τέλος ναυπάρχει ένας όρος ως προς τ ′−1. ΄Αρα η σχέση 3.152 γίνεται

ub = −3∆1

k

[1 + iω

R

τ ′−(ωR

τ ′

)2](3.153)

Τώρα η εξίσωση για το ∆2 θα γίνει

∆2 =4k

9τ ′∆1 (3.154)


όπου θεωρήσαμε ότι τ ′∆2 ∆′2. Ενώ η εξίσωση 3.147 θα δώσει

k∆1 = iω∆0 (3.155)

επειδή ∆0 ∝ ei∫ωdη. Αντικαθιστούμε τις σχέσεις 3.152-3.155 στην εξίσωση 3.148,

όπως επίσης και ότι ∆′1 = iω∆1

iω∆1 −8k2

27τ ′∆1 −

k2

3iω∆1 = τ ′

(∆1 −

3∆1

k

[1 + iω

R

τ ′−(ωR

τ ′

)2])(3.156)

πολλαπλασιάζουμε με τον όρο iω και απλοποιούμε τα ∆1 και τότε

ω2 + iω8k2

27τ ′− k2

3+ ω2R + ω

(ωR)2

τ ′= 0

ω2(1 +R)− k2

3+iω

τ ′

[(ωR)2 +

8k2

27

]= 0

(3.157)

Αν λύσουμε ως προς το ω2έχουμε ότι

ω2 =k2

3(1 +R)− iω

(1 +R)τ ′

[(ωR)2 +

8k2

27

]ω =

√ω2

0 −iω0

(1 +R)τ ′

[(ω0R)2 +

8k2

27

]' ω0 −

i

2(1 +R)τ ′

[(ω0R)2 +

8k2

27

] (3.158)

Η πιο πάνω εξίσωση δεν είναι τίποτα άλλο παρά από ω = ω0 + δω, και άρα

δω = − ik2

2(1 +R)τ ′

[(csR)2 +

8

27

](3.159)

όπου αντικαταστήσαμε το ω0 = kcs. Αυτή η διαταραχή στο ω έχει ως αποτέλεσμα το∆0 και ∆1 να εξαρτώνται από

∆0,∆1 ∝ ei∫

(ω0+δω)dη = exp[ik

∫csdη

]exp[− k2

k2D

](3.160)

όπου ορίσαμε ότι ο κυματαριθμός διάχυσης έχει την μορφή

1

k2D(η)

=

∫ η

0

−dη′ ik2

6(1 +R)τ ′

[R2

1 +R+

8

9

](3.161)


Η πλήρης λύση του ∆0 τώρα θα είναι η εξής

(∆0 + Ψ)(η, k) = [−RΨ + A cos (krs)]e− k2

k2D (3.162)

από την οποία φαίνεται ξεκάθαρα ότι όταν το k > kD οι ανισοτροπίες θα μειώνονταιεκθετικά και θα αποσβένουν.Αν αναρωτιέστε πως το γεγονός ότι αγνοήσαμε τα δυναμικά δεν είναι συμβατό με

τις λύσεις μας, αυτό δεν ισχύει. Αν τα λαμβάναμε υπόψιν το kD δεν θα ήταν πολύδιαφορετικό από αυτό που βρήκαμε στην σχέση 3.161. Από την άλλη, όταν το k είναιπολύ πιο μικρό από το kD, τα Φ και Ψ θα παίζουν σημαντικό ρόλο, όμως δεν χρειάζεταιέτσι και αλλιώς ο κυματαριθμός διάχυσης σε εκείνες τις περιπτώσεις, άρα δεν υπάρχειπρόβλημα.

Ακουστική ΄Ωθηση

΄Οπως έχουμε δει μέχρι τώρα, στις προσεγγίσεις που κάναμε αγνοήσαμε την εξάρτησητων δυναμικών ως προς τον χρόνο. Αν τις λάβουμε υπόψη όμως θα υπάρξουν κάποιεςαλλαγές. Για την προσέγγιση της ισχυρής σύνδεσης η εξίσωση θα έχει δύο επιπλέονόρους οι οποίοι δεν είναι τίποτα άλλο από μια επιπλέον δύναμη στην εξαναγκασμένη

ταλάντωση της σχέσης 3.104. Αυτό συντελεί στο φαινόμενο της ακουστικής ώθησης.Σημειώνουμε ότι εξακολουθούμε να αγνοούμε τον όρο

RHc1+R

∆′0 για λόγους που έχουνήδη αναφέρθει. Βεβαίως αν τον λάβουμε υπόψη τότε η ταλάντωση δεν θα είναι εξ-αναγκασμένη, αλλά αποσβετική όπως άλλωστε συμβαίνει στην πραγματικότητα, και είναιπλήρως συμβατό με τα αποτελέσματα που βρήκαμε για την πυκνότητα των φωτονίων στο

προηγούμενο κεφάλαιο. Αν αγνοήσουμε τέτοιου είδους αποσβέσεις, η επιπλέον δύναμη,αυτό που θα κάνει είναι να αυξήσει το μέγεθος του πλάτους ταλάντωσης. ΄Ομως πρέπεινα είμαστε λίγο προσεχτικοί αφού τα δυναμικά αλλάζουν με τον χρόνο και φυσικά με

τις εποχές. Επειδή βρισκόμαστε στις subhorizon κλίμακες, για την εποχή της ακτι-νοβολίας τα δυναμικά θα ταλαντώνονται με φθίνων πλάτος, ενώ για την εποχή της ύληςτα δυναμικά είναι σταθερά συνάρτηση του χρόνου. Αυτό τι σημαίνει; Αυτό που μαςενδιαφέρει είναι το τι γίνεται στην επιφάνεια τελευταίας σκέδασης στην οποία το μοτίβο

των ταλαντώσεων των ∆0 +Ψ παγώνει. Αν η επιφάνεια τελευταίας σκέδασης προέκυψεστην εποχή της ακτινοβολίας, τότε το πλάτος της ανισοτροπίας της θερμοκρασίας στηναποσύνδεση θα είναι μεγαλύτερο από αυτό που είχαμε μέχρι τώρα. Αν όμως η αποσύν-δεση έλαβε χώρα σε εποχή που επικρατούσε ήδη για αρκετό χρόνο η ύλη, τότε αυτό τοφαινόμενο θα υφίστατο σε πολύ μικρούς χρόνους στους οποίους οι κυματαριθμοί που θα

εισέρχονταν μέσα στον ορίζοντα στην εποχή της ακτινοβολίας, θα ήταν πολύ μεγάλοικαι αυτό θα καθιστούσε ότι k > kD. Ενώ οι καταστάσεις με πιο μικρά k θα εισέρχοντανστον ορίζονταν στην εποχή της ύλης. Αυτό θα είχε ως αποτέλεσμα να λαμβάνει χώρα


το Silk damping και έτσι οι ταλαντώσεις οι οποίες θα υποστούσαν αυξημένο πλάτοςθα απόσβεναν. Παρόλο που η αποσύνδεση λαμβάνει χώρα στην εποχή της ύλης, είναιπολύ κοντά στην εποχή της ακτινοβολίας. Αυτό καθιστά τις μικρές καταστάσεις kνα εισέρχονται στον ορίζοντα στην εποχή της ακτινοβολίας και άρα να υπόκεινται σε

αύξηση του πλάτους ταλάντωσης τους χωρίς να λαμβάνει χώρα το Silk damping. Αυτόέχει ως αποτέλεσμα να αλλάζει την εικόνα του παγωμένου ∆0 + Ψ(η∗, k) για μερικά kτα οποία βρίσκονται στην περιοχή 0.05 < k < 0.07. (Σχήμα 3.9)Αυτό ολοκληρώνει την ανάλυση των Πρωτογενών Ανισοτροπιών. Στην συνέχεια

θα μελετήσουμε λίγο την φυσική προέλευση των Δευτερογενων Ανισοτροπιών.

Προβολή των ανισοτροπιών στον l-χώρο

Αφού έχουμε δει την φυσική σημασία και προέλευσης των πρωτογενών και δευτερο-

γενών ανισοτροπιών, τώρα θέλουμε να δούμε πως προβάλλονται από τον k-χώρο στονl-χώρο. Αυτό βέβαια το έχουμε ήδη κάνει, με το ολοκλήρωμα line-of-sight (εξ.3.130)μέσω των συναρτήσεων Bessel. ΄Ομως τα πράγματα γίνονται πιο εύκολα για τις περιπ-τώσεις που έχουμε μικρές κλίμακες (συνήθως για l>20) στις οποίες μπορούμε να μηνχρησιμοποιήσουμε τον αυστηρό ορισμό της συνάρτησης Bessel. Ισχύει ότι για μεγάλαl η συνάρτηση Bessel jl(x) συμπεριφέρεται σαν συνάρτηση δέλτα όταν l ∼ x, επειδή ταγια τα υπόλοιπα x οι κορυφές είναι πολύ μικρές και μπορούμε να τις αγνοήσουμε. ΄Αραθα έχουμε την σχέση

l = k(η0 − η∗) (3.163)

που θα χρησιμοποιήσουμε για να κάνουμε τον μετασχηματισμό από τον χώρο των kστον χώρο των l.Σε αυτό το σημείο θα δούμε την εναλλαγή αυτή μόνο για τις πρωτογενείς ανισοτροπίες

και άρα τα ∆l(η0, k) περιγράφονται από την πιο κάτω σχέση,

∆l(η0, k) = (−1)l∫ η0

0

dηjl[k(η − η0)]

[g(∆0 + Ψ− u′b)− g′ub

](3.164)

την οποία θα αντικαταστήσουμε για να βρούμε τα Cl.

Cl =2

π

∫k2dkP s

0 (k)|∆l(η0, k)|2 (3.165)

Οι πρωτογενείς ανισοτροπίες συμπεριλαμβάνουν το μονόπολο και δίπολο την στιγμή

η (η οποία αν δεν είναι η στιγμή της αποσύνδεσης, θα είναι στο εύρος εκείνης τηςπεριοχής-εξαρτάται από την συνάρτηση g), τα οποία περιγράφονται από τις εξισώσεις3.112 και 3.113 αντίστοιχα. Παρόλο που στην εξίσωση 3.164 αγνοήσαμε τα δίπολα,


Σχήμα 3.9: Η φαινομενική θερμοκρασία υψωμένη στο τετράγωνο, συνάρτηση τωνκαταστάσεων k, την στιγμή της αποσύνδεσης. Για μεγάλα k η φαινομενική θερμοκρασίααποσβένει σύμφωνα με το Silk damping. Επιπλέον φαίνεται η επίδραση του baryon dragστις περιττές κορυφές, που είναι μεγαλύτερες από τις άρτιες. Η τρίτη κορυφή είναι λίγουψηλότερη από τις υπόλοιπες λόγο της ακουστικής ώθησης.


στην πραγματικότητα συνεισφέρουν ένα μικρό κομμάτι στις πρωτογενείς ανισοτροπίες

που δεν είδαμε στην ανάλυση της προέλευσης των ανισοτροπιών. Ο λόγος που τααγνοήσαμε είναι επειδή είναι πολύ μικρά σε σχέση με τα μονόπολα, και αφού για τηνεύρεση των Cl πρέπει να τα υψώσουμε στο τετράγωνο, η συνεισφορά τους γίνεταιακόμα πιο μικρή |∆1|2 |∆0|2. Τα μονόπολα όπως έχουμε δει εξαρτώνται από cos(krs)και τα δίπολα από sin(krs). Οι μεγαλύτερες κορυφές των Cl θα προέρχονται από τομονόπολο για τον λόγο που αναφέραμε προηγουμένως. ΄Αρα αφού το μονόπολο έχειμέγιστα (και ελάχιστα) όταν cos(krs) = 1 και κόμβους για cos(krs) = 0, τότε τα Clθα έχουν μέγιστα (μόνο-θετικές τιμές) και κόμβους για τις ίδιες τιμές. Οι τιμές του kπου συνεισφέρουν στα μέγιστα είναι

kpeak =nπ

rs(3.166)

όπου n είναι ένας ακέραιος αριθμός που αντιπροσωπεύει το μέγιστο που μελετάμε. Οιτιμές του k που συνεισφέρουν στους κόμβους είναι

ktrough =(2n+ 1)π

2rs(3.167)

με το n να παίρνει τις ίδιες τιμές με προηγουμένως. ΄Αρα αν χρησιμοποιήσουμε τηνσχέση που συνδέει το k με το l (3.163) έχουμε ότι

lpeak =nπ(η0 − η∗)

rs(3.168)

και

ltrough =(2n+ 1)(η0 − η∗)π

2rs(3.169)

Η διαφορά μεταξύ δύο διαδοχικών μεγίστων ή δύο διαδοχικών κόμβων είναι

δl =nπ(η0 − η∗)

rs(3.170)

Ο όρος η0−η∗ δεν είναι τίποτα άλλο από την απόσταση από την στιγμή της αποσύνδεσηςμέχρι σήμερα (c=1). Το αποτέλεσμα της 3.170 δείχνει ότι η δομή των κορυφών τωνανισοτροπιών του CMB συσχετίζεται με τον λόγο της απόστασης η0 − η∗ και τουακουστικού ορίζοντα. Αυτός ο λόγος μπορεί να προέλθει και από μια άλλη σχέση.Η μικρή γωνία θ σε σχέση με την απόσταση η − η0, που σχηματίζει ο ακουστικόςορίζοντας σήμερα, μπορεί να εκφραστεί ως

θ ∼ rS(η0 − η∗)

(3.171)


Και άρα τα l ∝ πθγια μέγιστα και κόμβους. Αναλόγως με την γωνία παρατήρησης

θα βλέπουμε διαφορετικές k-καταστάσεις που συνεισφέρουν στα μέγιστα σημεία καιστους κόμβους των Cl. ΄Αρα η μορφή του Cl, για l > 20, εξαρτάται από την γωνία θπαρατήρησης.

3.4.5 Η Φυσική προέλευση δευτερογενών ανισοτροπιών

Το ολοκληρωμένο Sachs-Wolfe φαινόμενο

Αν επιστρέψετε στο σημείο όπου αναλύσαμε τις ανισοτροπίες της θερμοκρασίας όταν

τα φωτόνια κινούνται ελεύθερα (free-streaming) θα δείτε ότι εκτός από την παγ-ωμένη εικόνα την στιγμή της αποσύνδεσης, υπάρχει και ένα άλλος όρος τον οποίοονομάσαμε ολοκληρωμένο Sachs-Wolfe φαινόμενο (ISW) που περικλείει πληροφορίεςτων μεταβολών των δυναμικών ως προς τον χρόνο. Για να είμαστε λίγο πιο αυστηροίμε την λύση, δεν θα χρησιμοποιήσουμε την σχέση 3.120 αλλά θα χρησιμοποιήσουμε τοISW μέρος του ολοκλήρωματος line-of-sight (εξ.3.130) που είναι

∆ISWl (η0, k) = (−1)l

∫ η0

0

dηjl[k(η − η0)]e−τ (Φ′ + Ψ′)

≈ (−1)l∫ η0

η∗

dηjl[k(η − η0)](Φ′ + Ψ′)(3.172)

όπου ο όρος e−τ συμπεριφέρεται σαν step function: για η < η∗ ⇒ e−τ → 0 καιη > η∗ ⇒ e−τ → 1. Αυτός ο όρος περιγράφει της Δευτερογενείς Ανισοτροπίεςτης θερμοκρασίας. Τι αντιπροσωπεύουν όμως τέτοιου είδους ανισοτροπίες; ΄Εως τώραθεωρούσαμε πως κατά την διάρκεια που τα φωτόνια ταξιδεύουν στο χωρόχρονο μετά την

επιφάνεια της τελευταίας σκέδασης δεν παθαίνουν τίποτα. Αυτό θα ήταν αλήθεια αν τοσύμπαν μας ήταν επίπεδο και υπό την επικράτεια της ύλης για αυτό το διάστημα. ΄Ομωςστην πραγματικότητα, όπως αναφέραμε προηγουμένως, η αποσύνδεση έλαβε χώρα λίγομετά την εποχή που η ύλη και η ακτινοβολία ήταν σε ισορροπία. Το γεγονός αυτόσυντελεί σε κάποιες αλλαγές στα φωτόνια όταν αυτά αποσυνδεθούν από τα βαρυόνια

και για αυτό ακριβώς τον λόγο υπάρχει ο όρος ISW.Για να μην υπάρξει κάποια σύγχυση, ας ξεκαθαρίσουμε κάτι. ΄Οταν μιλήσαμε για την

ακουστική ώθηση, εισάγαμε τις αλλαγές των δυναμικών στις πρωτογενείς ανισοτροπίες.Η ακουστική ώθηση αντιπροσωπεύει τις αλλαγές που υπόκεινται τα φωτόνια όταν είναι

ισχυρά συνδεδεμένα με τα βαρυόνια. Το φαινόμενο ISW συνεισφέρει αλλαγές στην

θερμοκρασία των φωτονίων μετά την αποσύνδεση, και αποτελεί αποτέλεσμα της πλήρηςεικόνας της ανισοτροπίας της θερμοκρασίας του CMB που βλέπουμε σήμερα.Η φυσική σημασία του φαινόμενου ISW δεν έχει μεγάλη διαφορά με αυτή του

συνηθισμένου φαινόμενου Sachs-Wolfe (SW). Προκαλείται από την μετατόπιση των


Σχήμα 3.10: Καθώς το φωτόνιο βρίσκεται στο πηγάδι δυναμικού που φθίνει στονχρόνο, την στιγμή που εξέρχεται από το πηγάδι, θα έχει υποστεί συνολική μετατόπισηστο ιώδες, και η θερμοκρασία του θα έχει αυξηθεί. Αυτό είναι το ολοκληρωμένο φαινό-μενο Sachs-Wolfe. (ISW)

φωτονίων προς το ιώδες ή το ερυθρό καθώς εισέρχονται ή εξέρχονται στο πηγάδι

δυναμικού. Παρόλα αυτά αν και στο συνηθισμένο φαινόμενο SW υπήρχε περίπτωση τοτελικό μήκος κύματος φωτονίων να μην μεταβαλλόταν εκτός και αν είχε δημιουργη-

θεί μέσα στο πηγάδι, επειδή τα δυναμικά στην superhorizon κλίμακα είναι σταθερά,αυτό δεν είναι συμβατό με την περίπτωση του ISW. Τα δυναμικά επειδή μεταβάλλονταισυναρτήση του χρόνου, και συγκεκριμένα φθίνουν, ένα φωτόνιο το οποίο εισέλθει στοπηγάδι θα μετατοπιστεί στο ιώδες, αφού θα κερδίσει ενέργεια, ενώ κατά την διάρκειατου ταξιδιού του μέσα στο πηγάδι, το δυναμικό θα μειώνεται και έτσι όταν εξέλθει απότο πηγάδι, θα μετατοπιστεί ναι μεν στο ερυθρό αλλά θα χάσει πιο λίγη ενέργεια απόαυτή που κέρδισε. Δηλαδή το τελικό μήκος κύματος του θα είναι μετατοπισμένο στοιώδες.(Σχήμα 3.10)Το φαινόμενο ISW λαμβάνει χώρα σε δύο περιόδους.

• Αμέσως μετά την αποσύνδεση, και το αποτέλεσμα του είναι πιο ισχυρό αν ηαποσύνδεση έγινε πιο κοντά στην εποχή της ακτινοβολίας, γιατί εκεί τα δυναμικάταλαντώνονται με φθίνων πλάτος, ενώ στην εποχή της ύλης είναι σταθερά (βρισκό-μαστε σε subhorizon κλίμακες).

• Σε μετέπειτα χρόνους όταν στο σύμπαν επικρατεί η σκοτεινή ενέργεια (σταθεράΛ). Κατά την διάρκεια αυτής της περιόδου τα δυναμικά αρχίζουν να φθίνουν και


Σχήμα 3.11: Η επίδραση των φαινομένων προέλευσης των ανισοτροπιών στο

διάγραμμα των Cl συνάρτηση του λογαρίθμου του l. ΄Οπου li οι φυσικέςκλίμακες που συνδέονται με τον σχηματισμό ανισοτροπιών λόγω ακουστικών

φαινομένων (A), της ισορροπία ύλης-ακτινοβολίας (eq), του damping φαινομέ-νου (D) και του late ISW φαινόμενο (ΛΚ). Παρμένο από την ιστοσελίδαhttp://background.uchicago.edu/ whu/physics/spectrum.html

πάλι. ΄Ομως τα δυναμικά κάποια στιγμή θα μηδενιστούν. Δηλαδή οι διακυμάνσειςστον χωρόχρονο δεν θα υπάρχουν πλέον, με το σύμπαν μας να είναι ομοιογενές.

Σήμερα βρισκόμαστε πολύ κοντά στην εποχή που επικρατεί η σκοτεινή ενέργεια, καιαυτό έχει ως αποτέλεσμα η εικόνα των ανισοτροπιών να επηρεάζονται από τις Δευτερο-

γενείς ανισοτροπίες λόγω του φαινομένου ISW στους μετέπειτα χρόνους. Συνολικάτο φαινόμενο ISW επηρεάζει την εικόνα που παίρνουμε από το CMB σε ποσοστό τηςτάξης του 10%.Στο μέλλον, το CMB θα είναι διαφορετικό από ότι το βλέπουμε σήμερα. Καθώς

θα εισέλθουμε στην εποχή που επικρατεί η κοσμολογική σταθερά Λ, το δυναμικό Φθα φθίνει και για t→∞ θα μηδενιστεί. Δηλαδή πλέον δεν θα υπάρχουν διακυμάνσειςστο σύμπαν και άρα δεν θα υπάρχουν γαλαξίες, αστέρες και πλανήτες. Το σύμπαν θα

3.5. Εικόνα των ανισοτροπιών της θερμοκρασίας του CMB σήμερα 130

Σχήμα 3.12: Το διάγραμμα των Cl συνάρτηση του l, προτού γίνει οποιαδήποτε επεξερ-γασία.

είναι ομοιογενές στον χώρο αλλά και στον χρόνο και θα τείνει στον χωροχρόνο DeSitter, ο οποίος είναι ίδιος με τον χωροχρόνο Minkowski αλλά συμπεριλαμβάνει καιτην κοσμολογική σταθερά (Λ>0). Σε αυτή την φάση, το φάσμα του CMB θα τείνει σεαυτό ενός μέλαν σώματος με θερμοκρασία που τείνει στο απόλυτο μηδέν T → 0K.

3.5 Εικόνα των ανισοτροπιών της θερμοκρασίας

του CMB σήμεραΗ καθαρή εικόνα του CMB σήμερα έχει την μορφή του σχήματος 3.2. Τα δεδομένα πουπαίρνουμε από αυτές τις μετρήσεις αντιπροσωπεύουν όσα περιγράψαμε προηγουμένως.Αν θυμάστε χρησιμοποιούμε τα Cl για να περιγράψουμε τις ανισοτροπίες της θερμοκρασίαςκαι όχι τα ∆l. Χρησιμοποιώντας την σχέση 3.138 που βρήκαμε σε προηγούμενο υποκε-φάλαιο μπορούμε να επεξεργαστούμε τα Cl. Στο ποιοτικό διάγραμμα των Cl (σχήμα3.11) βλέπετε πώς ο συνδυασμός όλων των φαινομένων που περιγράφουν πρωτογενείςκαι δευτερογενείς ανισοτροπίες δίνουν την εικόνα των κορυφών των Cl που φαίνεται στοσχήμα. Σημειώνουμε ότι το φαινόμενο doppler το οποίο δεν μελετήσαμε, αντιπροσω-πεύει τον όρο της ταχύτητας των βαρυονίων στο ολοκλήρωμα line-of-sight (εξ.3.130).Παρόλο που επηρεάζει την εικόνα των Cl, ο όρος αυτός είναι αμελητέος σε σχέση με


τους υπόλοιπους όρους. Επιπλέον, το potential environment στο σχήμα έχει αυτή τηνμορφή επειδή συμπεριλαμβάνει και το ISW.Η μέθοδος με την οποία παίρνουμε την εικόνα των Cl στο σχήμα 3.13 είναι λίγο περί-

πλοκη. Για να μειώσουμε το σφάλμα λόγω του cosmic variance που έχουμε αναφέρει σεπροηγούμενο υποκεφάλαιο, παίρνουμε μια περιοχή που περιέχει κάποιες μετρήσεις γιαδιαφορετικά l, τα στοιχεία της οποίας μέσω κάποιων στατικών διαδικασιών δίνουν μιατιμή Cl για ένα lμέσο. Αυτή η διαδικασία είναι αντιπροσωπευτική με το να παίρναμε πολ-λές μετρήσεις για ένα σημείο, μειώνοντας το πειραματικό σφάλμα. Εδώ μειώνουμε τοσφάλμα που προέρχεται από το cosmic variance. Για αυτό και στο διάγραμμα φαίνεταιότι πήραμε αραιές μετρήσεις των Cl, ενώ είναι απλά αποτέλεσμα αυτής της στατιστικήςδιαδικασίας. Η εικόνα προτού πραγματοποιηθεί αυτή η επεξεργασία φαίνεται στο σχήμα3.12.


Σχήμα 3.13: Το διάγραμμα των Cl συνάρτηση του l(μέχρι την τιμή l = 30, η κλίμακαείναι λογαριθμική). ΄Οπου DTT

l = l(l+1)Cl. Το κόκκινο διάγραμα αποτελεί το best-fitμοντέλο, ενώ οι μπλε κουκίδες είναι τα δεδομένα από τις μετρήσεις του CMB. Στοκάτω διάγραμμα είναι το αποτέλεσμα που δίνει η αφαίρεση της αναμενώμενης τιμής

από την παρατηρήσιμη. ΄Οπως αναμένεται για το best-fit μοντέλο έχει τιμή ίση μεμηδέν. Επιπλέον φαίνονται και τα σφάλματα των Cl που όπως έχουμε αναφέρει είναιμεγαλύτερα λόγω του cosmic variance για μικρότερα l.

Παράρτημα A

Συνηθείς Συναρτήσεις

A.1 Συναρτήσεις Γάμμα

Για τις συναρτήσεις γάμμα ισχύει ότι

Γ(n) = (n− 1)! (A.1)

και

Γ(n) =

∫ ∞0

xn−1e−xdx (A.2)

Επιπλέον υπάρχει η συσχέτιση

Γ(n+ 1) = nΓ(n) (A.3)

Μερικές συναρτήσεις γάμμα είναι

Γ(−3

2) =

4

3

√π (A.4)

Γ(−1

2) = −2

√π (A.5)

Γ(1) = 1 (A.6)

Γ(1

2) =√π (A.7)

Γ(3

2) =

1

2

√π (A.8)

Γ(2) = 1 (A.9)

133

A.2. Συναρτήσεις Ζήτα-Riemann 134

Γ(−1

2) = −2

√π (A.10)

Γ(3) = 2 (A.11)Γ(4) = 6 (A.12)

A.2 Συναρτήσεις Ζήτα-RiemannΟ ορισμός των Ζήτα Riemann συναρτήσεων είναι

ζ(n) =∞∑k=1

1

kn(A.13)

Επιπλέον ισχύει ότι

ζ(n) =1

Γ(n)

∫ ∞0

xn−1dx

ex − 1(A.14)

Μερικές Ζήτα Riemann συναρτήσεις είναι

ζ(−1) = − 1

12(A.15)

ζ(0) = −1

2(A.16)

ζ(2) =π2

6(A.17)

ζ(3) ≈ 1.202056903 (A.18)

ζ(4) =π4

90(A.19)

A.3 Σφαιρικές Αρμονικές Συναρτήσεις

Οι σφαιρικές αρμονικές συναρτήσεις Ylm(θ, ϕ) είναι οι λύσεις του γωνιακού μέρους τουτελεστή Laplace:[

1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1

sin2 θ

∂2

∂ϕ2

]Ylm(θ, ϕ) = −l(l + 1)Ylm(θ, ϕ)

l = 0, 1, 2, 3...

m = −l,−l + 1, ..., 0, ..., l − 1, l

(A.20)

A.3. Σφαιρικές Αρμονικές Συναρτήσεις 135

με τις σφαιρικές αρμονικές να ορίζονται ως

Ylm(θ, ϕ) = (−1)m

√(2l + 1)(l − |m|)!

4π(l + |m|)!Pml (cos θ)eimϕ (A.21)

όπου

Pml (ξ) = (1− ξ2)|m|/2

d|m|Pl(ξ)

dξ|m|(A.22)

με τα Pl(ξ) να είναι τα πολυώνυμα Legendre. Μερικές από τις σφαιρικές αρμονικέςείναι

Y00(θ, ϕ) =1√4π

(A.23)

Y10(θ, ϕ) =

√3

4πcos θ (A.24)

Y1,±1(θ, ϕ) = ∓√

3

8πsin θe±iϕ (A.25)

Y20(θ, ϕ) =

√5

16π(3 cos2 θ − 1) (A.26)

Y2,±1(θ, ϕ) = ∓√

15

8πcos θ sin θe±iϕ (A.27)

Y2,±2(θ, ϕ) =

√15

32πsin2 θe±2iϕ (A.28)

(A.29)

Κάθε συνάρτηση f που εξαρτάται από το γωνιακό μέρος μπορεί να αναπτυχθεί ως

f(ω) = f(θ, ϕ) =∑lm

flmYlm(ω) (A.30)

όπου ω = θ, ϕ. Οι όροι flm είναι συντελεστές της σειράς και ορίζονται ως

flm =

∫d2ωY ∗lm(ω)f(ω) (A.31)

όπου d2ω = sin θdθdϕ είναι η στερεά γωνία.

A.4. Πολυώνυμα Legendre 136

Οι σφαρικές αρμονικές είναι ορθογώνιες, δηλαδή∫d2ωY ∗l′m′(ω)Y ∗lm(ω) =

∫ 2π

0

∫ π

0

sin θdθdϕY ∗l′m′(θ, ϕ)Y ∗lm(θ, ϕ) = δll′δmm′ (A.32)

∑lm

Y ∗lm(ω)Y ∗lm(ω′) = δ2(ω − ω′) =δ(θ − θ′)δ(ϕ− ϕ′)

sin θ(A.33)

Με τις συναρήσεις dirac να είναι∫ π

0

δ(θ − θ′)dθ′ = 1 (A.34)∫ 2π

0

δ(ϕ− ϕ′)dϕ′ = 1 (A.35)∫δ2(ω − ω′)d2ω′ = 1 (A.36)

A.4 Πολυώνυμα LegendreΓια να βρεθούν οι σφαιρικές αρμονικές συναρτήσεις, χρειαζόμαστε τα πολυώνυμα Leg-endre Pl(x) τα οποία είναι οι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης:[

(1− x2)d2

dx2− 2x

d

dx+ l(l + 1)

]Pl = 0 (A.37)

με τα πολυώνυμα Legendre να ορίζονται ως Pl(x)

Pl(x) =1

2ll!

dl

dxl(x2 − 1)l

x ∈ [−1, 1]

l = 0, 1, 2, ...

(A.38)

Ιαχύει ότι

Pl(x) = (−1)lPl(−x) (A.39)και Pl(1) = 1 (A.40)

A.4. Πολυώνυμα Legendre 137

Μερικά πολυώνυμα Legendre είναι

P0(x) = 1 (A.41)P1(x) = x (A.42)

P2(x) =1

2(3x2 − 1) (A.43)

P3(x) =1

2(5x3 − 3x) (A.44)

P4(x) =1

8(35x4 − 30x2 + 3) (A.45)

(A.46)

Μια συνάρτηση f(x) μπορεί να αναπτυχθεί σε πολυώνυμα Legendre ως

f(x) =∑l

il(2l + 1)flPl(x) (A.47)

με το fl να ορίζεται ως

fl =(−i)l

2

∫ 1

−1

dxPl(x)f(x) (A.48)

Τα πολυώνυμα Legendre υπακούουν την ορθογωνιότητα∫dxPl(x)Pl′(x) =

2

2l + 1δll′ (A.49)

και ∑l

Pl(x)Pl(x′)

2l + 1

2= δ(x− x′) (A.50)

με την συνάρτηση dirac ∫ 1

−1

δ(x− x′)dx′ = 1 (A.51)

A.4.1 Σχέσεις μεταξύ πολυωνύμων Legendre και των σφαρικώναρμονικών

Ισχύει ότι

Yl0(θ, ϕ) =

√2l + 1

4πPl(cos θ) (A.52)

A.5. Σφαιρικές Bessel 138

και πιο γενικές σχέσεις είναι

Pl(n · n′) =4

2l + 1

∑m

Y ∗lm(n′)Ylm(n) (A.53)

όπου n και n′ είναι δύο κατευθύνσεις μοναδιαίων διανυσμάτων. Φυσικά εξαρτώνταιαπό τις γωνίες θ, ϕ και θ′, ϕ′ αντίστοιχα ως εξής: n = (sin θ cosϕ, sin θ sinϕ, cos θ).Επιπλέον ισχύει ότι∫

dΩn

∫dΩn′Y

∗l′m′(n

′)Ylm(n)Pk(n · n′) =4π

2k + 1δklδkl′δmm′ (A.54)

Επειδή το n εξαρτάται από το ω συμβολίζουμε την στερεά γωνία ως dΩn = d2ω =sin θdθdϕ και dΩn′ = d2ω′ = sin θ′dθ′dϕ′.

A.5 Σφαιρικές BesselΟι σφαιρικές συναρτήσεις συναρτήσεις Bessel jl(x) είναι οι λύσεις της διαφορικής εξίσω-σης [

1

x2

∂

∂x

(x2 ∂

∂x

)+ 1− l(l + 1)

x2

]jl(x) = 0 (A.55)

και ορίζονται ως εξής

jl(x) =∞∑k=0

(−1)k

k!(n+ k)!

(x2

)l+2k

(A.56)

Μερικές είναι

j0(x) =sinx

x(A.57)

j1(x) =sinx

x2− cosx

x(A.58)

j2(x) =

(3

x3− 1

x

)sinx− 3

cosx

x2(A.59)

Οι συναρτήσεις Bessel υπακουούν την ορθογωνιότητα∫ ∞0

drr2jl(kr)jl(k′r) =

π

2k2δ(k − k′) (A.60)

A.5. Σφαιρικές Bessel 139

με την συνάρτηση dirac ∫ ∞0

dx′δ(x− x′) = 1 (A.61)

Υπάρχουν κάποιες ασυμπτωτικές καταστάσεις των Bessel συναρτήσεων οι οποίες είναιχρήσιμες

x→ 0⇒ jl(x)→ xl

(2l + 1)!(A.62)

x→∞⇒ jl(x)→ 1

xsin

(x− lπ

2

)(A.63)

Δύο σημαντικές σχέσεις που θα χρησιμοποιήσουμε είναι∫ ∞0

dxxn−2j2l (x) = 2n−4π

Γ(l + n−12

)Γ(3− n)

Γ(l + 5−n2

)Γ2(2− n2)

(A.64)

και η σχέση Rayleigh η οποία συνδυάζει τα πολυώνυμα Legendre με τις σφαιρικέςBessel

eixµ =∑l

(2l + 1)iljl(x)Pl(µ) (A.65)

Βιβλιογραφία

[1] Scott Dodelson. Modern Cosmology. Academic Press, 2003.

[2] Edward W. Kolb & Michael S.Turner. The Early Universe. Addison-WesleyPublishing Company, 1988.

[3] Steven Weinberg. Cosmology. Oxford University Press, 2008.

[4] Wayne Hu. “Concepts in CMB anisotropy formation”. In: The Universe at High-z, Large-Scale Structure and the Cosmic Microwave Background. Springer,1996, pp. 207–239.

[5] U Seljak and M Zaldarriaga. “A line-of-sight integration approach to cosmicmicrowave background anisotropies, 1996”. In: ApJ 469 (), pp. 437–444.

[6] Richard L Liboff. Kinetic theory: classical, quantum, and relativistic descrip-tions. Springer Science & Business Media, 2003, pp. 150–152.

[7] Ed Copeland & Costas Skordis. Modern Cosmology. School of Physics andAstronomy, University of Nottingham. ch. 1-4.

[8] Daniel Baumann. Cosmology. Part III Lecture Courses, Insitute of Astronomy,University of Cambridge. ch. 1,3-5. url: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/db275/Cosmology/Lectures.pdf.

[9] Nicolaos Toumbas. Κοσμολογία και Γενική Θεωρία της Σχετικότητας. LectureCourse, Physics Department, University of Cyprus.

[10] Rainer K Sachs et al. “Republication of: Perturbations of a cosmological modeland angular variations of the microwave background (By RK Sachs and AMWolfe)”. In: General Relativity and Gravitation 39.11 (2007), pp. 1929–1961.

[11] Joseph Silk. “Cosmic black-body radiation and galaxy formation”. In: The As-trophysical Journal 151 (1968), p. 459.

[12] Clive Dickinson. “CMB foregrounds-A brief review”. In: arXiv preprint arXiv:1606.03606 (2016).

140

Βιβλιογραφία 141

[13] Christopher Gordon. “Adiabatic and entropy perturbations in cosmology”. In:arXiv preprint astro-ph/0112523 (2001).

[14] Wayne Hu and Martin White. “The damping tail of cosmic microwave back-ground anisotropies”. In: The Astrophysical Journal 479.2 (1997), p. 568.

h kosmik€ jewr—a diataraq‚n kai oi anisotrop—ec thc kosmik ... · diplwmatik€ ergas—a h...

Documents