H* Notas sobre Mathematicapara Teoría de la Probabilidad *L

H* Importante : No se exigirán conocimientos de

MATHEMATICA. Solamente se propone como una herramienta,

paralela a la computación manual, para facilitar los cálculos,

comprobar resultados, realizar gráficos,

y un largo etcétera . Su uso es muy recomendable aunque voluntario *L

H* Función de Distribución de una Variable Aleatoria Normal NIΜ,Σ2M,

FHxL. IMPORTANTE: Desviación Típica en lugar de Varianza *LCDF@NormalDistribution@Μ, ΣD, xDH*Ejemplo*LCDF@NormalDistribution@0, 1D, 0D1

2

H*Ejemplo*LCDF@NormalDistribution@0, 1D, 2D1

2ErfcA- 2 E

H* Lo calcula de forma exacta empleando la función Erfc,

que se denomina Función Error Complementaria. Para evaluarla de

forma aproximada se emplea el operador de aproximación N *LN@%D0.97725

H* El % indica el resultado de la operación inmediatamente anterior. Es

útil para no tener que repetir la escritura de expresiones *L

H* Inversa de la Función de Distribución

de una Variable Aleatoria Normal NIΜ,Σ2M *L

InverseCDF@NormalDistribution@Μ, ΣD, xDH* Ejemplo Normal NH2,16L. Calculamos t tal que P@X£ tD=0.7896*L

InverseCDF@NormalDistribution@2, 4D, 0.7896D5.22014

H* Función de Distribución de una Variable Aleatoria Binomial BiHn,pL *L

CDF@BinomialDistribution@20, 0.4D, 8D0.595599

H* Con Plot dibujamos funciones en un intervalo *LPlot@CDF@BinomialDistribution@20, 0.4D, xD, 8x, -1, 22<D

5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

H* Obsérvense las discontiuidades de salto,

por la izquierda, en el conjunto 80,1,2,...,20< *L

H* Para hacer sumas *LSum@k, 8k, 1, 5<D15

Sum@k, 8k, 1, n<D1

2n H1 + nL

Sum@1 � k^2, 8k, 1, Infinity<DΠ2

6

N@%D1.64493

H* Para hacer integrales *LIntegrate@x, 8x, 0, 3<D9

2

Integrate@x, 8x, 0, z<Dz2

2

2 mathe_normal.nb

Integrate@1 � H1 + x^2L, 8x, -Infinity, t<, Assumptions ® t Î RealsDΠ

2+ ArcTan@tD

H* Función Generatriz de Momentos de una

Variable Aleatoria de Poisson de parámetro Λ >0 *L

Sum@Exp@t kD * Exp@-ΛD Λ^k � k!, 8k, 0, Infinity<Dã-Λ+ãt Λ

In[2]:= H* Función Generatriz de Momentos de una Variable Aleatoria

Discreta con Función de Probabilidad P@X=k�nD=1�n, k=1,2,...,

n. Problema 5. de la Relación Inicial de Repaso. Obsérvese como se

definen funciones con la barra baja después del argumento. *L

Mx@t_D = Sum@Exp@t k � nD 1 � n, 8k, 0, n<D

Out[2]=-1 + ã

t+t

n

J-1 + ãt

n N n

H* Derivada Primera respecto a t *LD@Mx@tD, 8t, 1<D

-

ãt

n J-1 + ãt+

t

n N

J-1 + ãt

n N2

n2

+

ãt+

t

n I1 +1

nM

J-1 + ãt

n N n

H* La intentamos simplificar. Realmente esto no es necesario para cálculos

posteriores. Lo hacemos por obtener una expresión más compacta *LSimplify@%D

ãt

n J1 + ãt+

t

n n - ãt H1 + nLN

J-1 + ãt

n N2

n2

H* Derivada Segunda respecto a t *LD@Mx@tD, 8t, 2<D

1

nJ-1 + ã

t+t

n N 2 ã2 t

n

J-1 + ãt

n N3

n2

-ã

t

n

J-1 + ãt

n N2

n2

+

ãt+

t

n I1 +1

nM2

-1 + ãt

n

-

2 ãt+

2 t

n I1 +1

nM

J-1 + ãt

n N2

n

H* Simplificamos *LSimplify@%D

Jãt

n J-1 - ãt

n + ãt+

2 t

n n2 + ãt H1 + nL2 + ãt+

t

n I1 - 2 n - 2 n2MNN � J-1 + ãt

n N3

n3

mathe_normal.nb 3

In[8]:= H* Para particularizar una función en un valor numérico

del argumento se emplea el operador �. argumento® valor *L

H* Ejemplo. Derivada tercera en t=1 *L

D@Mx@tD, 8t, 3<D �. t ® 1

Out[8]=1

nJ-1 + ã

1+1

n N -6 ã3�n

J-1 + ã1

n N4

n3

+6 ã2�n

J-1 + ã1

n N3

n3

-ã

1

n

J-1 + ã1

n N2

n3

+

3 ã1+

1

n

2 ã2�n

J-1 + ã1

n N3

n2

-ã

1

n

J-1 + ã1

n N2

n2

1 +1

n+

ã1+

1

n I1 +1

nM3

-1 + ã1

n

-

3 ã1+

2

n I1 +1

nM2

J-1 + ã1

n N2

n

In[9]:= Simplify@%D

Out[9]= Jã1

n J1 + 4 ã1

n + ã2�n + ã1+

3

n n3 - ã H1 + nL3 - ã1+

2

n I1 - 3 n + 3 n2 + 3 n3M + ã1+

1

n I-4 + 6 n2 + 3 n3MNN �

J-1 + ã1

n N4

n4

H* Si lo hacemos en t=0 para hallar EAX3E puede ocurrir @no siempre sucedeDque se produzca indeterminación, como en el caso que nos ocupa *L

In[10]:= D@Mx@tD, 8t, 3<D �. t ® 0

Power::infy : Infinite expression 1

04 encountered. �

Power::infy : Infinite expression 1

03 encountered. �

Power::infy : Infinite expression 1

02 encountered. �

General::stop : Further output of Power::infy will be suppressed during this calculation. �

Infinity::indet : Indeterminate expression ComplexInfinity + ComplexInfinity + ComplexInfinity encountered. �

Infinity::indet : Indeterminate expression ComplexInfinity + ComplexInfinity encountered. �

Out[10]= Indeterminate

In[11]:= H* En tal caso, hallamos el límite. Es muy intuitivo *L

Limit@D@Mx@tD, 8t, 3<D, t ® 0D

Out[11]=H1 + nL2

4 n2

H* Que es el momento de Tercer Orden *L

H* Función Generatriz de Momentos de una Variable Aleatoria Exponencial

de parámetro Λ>0. Para evitar problemas técnicos,

hacemos esta suposición con Assumptions ® *L

4 mathe_normal.nb

Integrate@Exp@t xD Λ Exp@-Λ xD, 8x, 0, Infinity<, Assumptions ® Λ > 0D

ConditionalExpressionB Λ

-t + Λ, Λ > Re@tDF

H* Nótese que la integral es convergente siempre que t <

Λ. Re indica parte real,

que aquí sería innecesario pues t se supone real. No obstante,

MATHEMATICA lo procesa como complejo en general. Si quisiéramos considerar

t directamente como número real basta añadirlo en Assumptions *LIntegrate@Exp@t xD Λ Exp@-Λ xD, 8x, 0, Infinity<, Assumptions ® Λ > 0 && t Î RealsD

ConditionalExpressionB Λ

-t + Λ, t < ΛF

H* Notas finales *L

H* 1. Como ya se ha podido observar,

los comentarios de delimitan por H* --- *L. *L

H* 2. Las funciones y operadores propios de Mathematica empiezan por

mayúscula, y aparecen en negro, si no, es que están mal escritos *L

Intograte@Sen@Cos@xDD, xD

H* 3. Las letras griegas se obtienen pulsando Esc+letra latina+Esc. Ejemplo

Esc+a+Esc genera Α y Esc+Esc genera Θ. Escribe greek y pulsa F1

para más información*LH* 4. Pertenece, Î,

se obtiene con Esc+el+Esc. Reals es el conjunto de los números reales,

Integers el de los enteros. Hay otros. Mirar ayuda. Para indicar y ,

es decir, la conjunción, se emplea el operador &&,

y para indicar distinto de

se emplea != *L

H* 5. Para obtener ayuda sobre algo, se escribe @en inglésDy se pulsa F1. Por ejemplo escribir function y pulsar F1,

o escribir Erfc y pulsar F1, o matrix y F1, y un largo etcétera. Si

se quiere acceder al menú general de ayuda pusar F1 directamente *L

H* FIN *L

mathe_normal.nb 5